CHAPITRE 12 : Produit scalaire

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1 CHAPITRE 12 : Produit scalaire 1 Définition avec la norme des vecteurs et la norme de leur somme Produit scalaire de vecteurs colinéaires de même sens ; Produit scalaire de vecteurs orthogonaux Vecteurs colinéaires de même sens Vecteurs orthogonaux Définition analytique Bilinéarité du produit scalaire Linéarité pour l addition Linéarité pour la multiplication par un réel Application : produit scalaire de deux vecteurs colinéaires Définition avec le projeté orthogonal Définition avec le cosinus de l angle orienté Théorème de la médiane Equation d une droite à l aide d un vecteur normal Equation d un cercle Cercle défini par centre et rayon Cercle défini par un diamètre Formules d addition et de duplication Formules d addition Formules de duplication

2 CHAPITRE 12 : produit scalaire 1 Définition avec la norme des vecteurs et la norme de leur somme Définition : Etant donnés deux vecteurs u et v, on appelle produit scalaire des vecteurs u et v le nombre réel noté u. v défini par : Exemples : Calculer AB. AD u. v = 1 2 ( u + v 2 u 2 v 2 ) AB. AD = 1 2 ( AB + AD 2 AB 2 AD 2 ) AB. AD = 1 2 ( AC 2 AB 2 AD 2 ) AB. AD = 1 2 ( ) AB. AD = 27 2 Calculer AB. BC AB. BC = AB. AD AB. BC = 1 2 ( AB + AD 2 AB 2 AD 2 ) AB. BC = 1 2 ( AC 2 AB 2 AD 2 ) AB. BC = 1 2 ( ) Propriétés : AB. BC = 35 2 Si l un des vecteurs est nul alors le produit scalaire est nul : Pour tous vecteurs u et v : u. 0 = 0. v = 0 Le produit scalaire est symétrique : Pour tous vecteurs u et v : u. v = v. u Le produit scalaire de u par lui-même est appelé carré scalaire de u et est noté u 2 : Pour tout vecteur u : u 2 = u 2 Remarque : Pour tous points A et B du plan : AB 2 = AB 2 = AB 2 2

3 2 Produit scalaire de vecteurs colinéaires de même sens ; Produit scalaire de vecteurs orthogonaux 2.1 Vecteurs colinéaires de même sens Vecteurs AB et BC colinéaires de même sens Considérons les points A, B et C alignés dans cet ordre Calcul de AB. BC : AB. BC = 1 2 ( AB + BC 2 AB 2 BC 2 ) AB. BC = 1 2 ( AC 2 AB 2 BC 2 ) Comme A, B et C sont alignés dans cet ordre, alors AC = AB + BC ou encore : AC = AB + BC Donc : AB. BC = 1 2 (( AB + BC ) 2 AB 2 BC 2 ) AB. BC = 1 2 ( AB AB BC + BC 2 AB 2 BC 2 ) AB. BC = 1 2 (2 AB BC ) AB. BC = AB BC AB. BC = AB BC 2.2 Vecteurs orthogonaux u. v = 0 équivaut à u et v sont orthogonaux. Considérons le triangle ABC Calcul de AB. BC : AB. BC = 1 2 ( AB + BC 2 AB 2 BC 2 ) AB. BC = 1 2 ( AC 2 AB 2 BC 2 ) D après le théorème de Pythagore AC 2 AB 2 BC 2 = 0 équivaut à ABC est rectangle en B. Conclusion : AB. BC = 0 équivaut à AB et BC sont orthogonaux. Remarque : Si u = 0 ou si v = 0 alors u. v = 0. Ainsi le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur du plan 3

4 3 Définition analytique Soit dans une base orthonormée (i, j) et deux vecteurs u ( x y ) et v (x ). Alors : y u. v = xx + yy On sait que, comme la base (i, j) est orthonormée : u = x 2 + y 2 v = x 2 + y 2 x + x Et comme u + v ( y + y ) alors u + v = (x + x )2 + (y + y) 2 u. v = 1 2 ( u + v 2 u 2 v 2 ) u. v = 1 2 ( (x + x )2 + (y + y) 22 x 2 + y 22 x 2 + y 22 ) u. v = 1 2 ((x + x )2 + (y + y) 2 (x 2 + y 2 ) (x 2 + y 2 )) u. v = 1 2 ((x2 + 2xx + x 2 ) + (y 2 + 2yy + y 2 ) (x 2 + y 2 ) (x 2 + y 2 )) u. v = 1 ((2xx ) + (2yy )) 2 u. v = xx + yy Soit trois points A(3; 4), B(2; 1) et C(6; 3) dans un repère orthonormé. Démontrer que le triangle ABC est isocèle et rectangle en A. On calcule les coordonnées des vecteurs AB et AC : AB ( ) AB ( 1 3 ) AC ( ) AC ( 3 1 ) AB = ( 1) 2 + ( 3) 2 = = 10 et AC = (3) 2 + ( 1) 2 = = 10. Donc AB = AC. Donc ABC est isocèle en A. AB. AC = ( 1)(3) + ( 3)( 1) = 0. en A. Remarque : AB et AC sont orthogonaux donc ABC est rectangle (i, j) est une base orthonormée du plan signifie que i. j = 0 et que i = 1 et j = 1 4

5 4 Bilinéarité du produit scalaire 4.1 Linéarité pour l addition Quels que soient les vecteurs u, v et w, on a : (u + v). w = u. w + v. w u. (v + w ) = u. v + u. w On se place dans un repère orthonormé du plan. Soit u ( x y ), v (x ) et w (x" y y" ). x + x On a u + v ( y + y ) D où : (u + v). w = (x + x )(x") + (y + y )(y") (u + v). w = xx" + x x" + yy" + y y" D autre part : u. w + v. w = (x)(x") + (y)(y") + (x )(x") + (y )(y") Conclusion : Quels que soient les vecteurs u, v et w, on a (u + v). w = u. w + v. w On procède de la même façon pour démontrer u. (v + w ) = u. v + u. w 4.2 Linéarité pour la multiplication par un réel Quels que soient les vecteurs u, v et w, quel que soit le réel k on a : u. (kv) = k u. v (ku ). v = k u. v On se place dans un repère orthonormé du plan. Soit u ( x y ) et v (x y ). On a kv ( kx ky ) D où : u. (kv) = (x)(kx ) + (y)(ky ) u. (kv) = kxx + kyy D autre part : k u. v = k(xx + yy ) Conclusion : Quels que soient les vecteurs u, v et w, on a u. (kv) = k u. v On procède de la même façon pour démontrer (ku ). v = k u. v Conséquences : Résultats (u + v) 2 = u 2 + 2u. v + v 2 (u v) 2 = u 2 2u. v + v 2 (u + v). (u v) = u 2 v 2 u. v = (u. v) Démonstrations (u + v) 2 = (u + v). (u + v) = u. u + u. v + v. u + v. v (u v) 2 = (u v). (u v) = u. u u. v v. u + v. v (u + v). (u v) = u. u u. v + v. u v. v u. (kv) = k u. v avec k = 1 5

6 4.3 Application : produit scalaire de deux vecteurs colinéaires On a vu au 2.1 que si AB et BC sont colinéaires de même sens, alors AB. BC = AB BC Cas de deux vecteurs AB et CD colinéaires et de même sens : Si les vecteurs AB et CD sont colinéaires et de même sens, alors il existe un réel positif k tel que CD = kab. AB. CD = AB. kab AB. CD = kab. AB AB. CD = kab 2 AB. CD = kab 2 AB. CD = kab AB AB. CD = AB kab AB. CD = AB CD Cas de deux vecteurs AB et CD colinéaires et de sens contraires : Si les vecteurs AB et CD sont colinéaires et de sens contraires, alors il existe un réel négatif k tel que CD = kab. AB. CD = AB. kab AB. CD = kab. AB AB. CD = kab 2 AB. CD = kab 2 AB. CD = kab AB Comme k est négatif, alors k est positif AB. CD = AB kab AB. CD = AB CD Conclusion : Si AB et CD sont colinéaires et de même sens, alors AB. CD = AB CD Si AB et CD sont colinéaires et de sens contraires, alors AB. CD = AB CD 5 Définition avec le projeté orthogonal Définition : Le projeté orthogonal H d un point M sur une droite d est le point d intersection de la perpendiculaire à la droite d passant par M avec la droite d. 6

7 Soit les points A, B, C, et D, avec A et B distincts. Soit C et D les projetés orthogonaux des points C et D sur la droite (AB). Alors : AB. CD = AB. C D AB. CD = AB. (CC + C D + D D ) AB. CD = AB. CC + AB. C D + AB. D D Comme les vecteurs AB et CC sont orthogonaux, alors AB. CC = 0 Comme les vecteurs AB et D D sont orthogonaux, alors AB. D D = 0 Conclusion : AB. CD = AB. C D Conséquence : Pour calculer un produit scalaire, on peut remplacer l un des deux vecteurs par son projeté orthogonal sur la direction de l autre. Dans le rectangle ABCD, on a : AB. AC = AB. AB AB. AC = AB 2 AB. AC = 25 Pour calculer un produit scalaire, on ne peut pas remplacer les deux vecteurs par leurs projetés orthogonaux sur la direction d un troisième. Dans le rectangle ABCD, on n a pas : AC. BD = AB. BA Mais on a : AC. BD = (AB + BC ). BD AC. BD = AB. BD + BC. BD 7

8 Soit trois points A, B et C tels que A et B soient distincts. Soit H le projeté orthogonal de C sur (AB) Alors : AB. AC = AB. AH C est un cas particulier de la propriété précédente car A a pour projeté lui-même. Remarques : Si H appartient à la demi-droite [AB), alors AB et AH sont colinéaires et de même sens, donc : AB. AH = AB AH Conséquence : Si l angle BAC est aigu, alors AB. AC > 0 Si H n appartient pas à la demi-droite [AB), alors AB et AH sont colinéaires et de sens contraires, donc : AB. AH = AB AH Conséquence : Si l angle BAC est obtus, alors AB. AC < 0 6 Définition avec le cosinus de l angle orienté Pour tous vecteurs u et v non nuls, u. v = u v cos(u, v) On pose u = AB et v = AC et on étudie successivement les cas et 8

9 1 er cas : Si H appartient à la demi-droite [AB), alors AB. AH = AB AH Dans le triangle rectangle ACH, on a : cos BAC = AH AC D où : AH = AC cos(bac ) On obtient : AB. AC = AB. AH AB. AC = AB AH AB. AC = AB AC cos(bac ) On remarque que la mesure principale de l angle orienté (AB, AC ) est soit BAC, soit BAC, selon qu on tourne dans le sens positif ou dans le sens négatif pour aller de AB à AC. Mais pour tout réel x, cos x = cos x, donc cos BAC = cos BAC = cos(ab, AC ) Et donc : 2 ème cas : Si H n appartient pas à la demi-droite [AB), alors AB. AH = AB AH Dans le triangle rectangle ACH, on a : cos HAC = AH AC D où : AH = AC cos(hac ) Or, HAC = π BAC pour tout réel x, cos(π x) = cos x, donc cos HAC = cos BAC AB. AC = AB. AH AB. AC = AB AH AB. AC = AB AC cos(hac ) AB. AC = AB AC cos(bac ) AB. AC = AB AC cos(ab, AC ) Même remarque que pour le premier cas : cos BAC = cos BAC = cos(ab, AC ) AB. AC = AB AC cos(ab, AC ) Conclusion : Pour tous vecteurs AB et AC, on a : AB. AC = AB AC cos(ab, AC ) Exemple d utilisation : Deux forces F 1 et F 2 d intensités respectives 4 et 6 s appliquent sur un objet au point A en faisant un angle de 35. Calculer l intensité de la force résultante R = F 1 +. F 2 On exprime R en fonction de AB. BC : AB. BC = 1 2 ( R ) R 2 = 2AB. BC + 52 d où R 2 = 2AB. AD + 52 avec AB. AD = 4 6 cos(35 ). 9

10 7 Théorème de la médiane Soit deux points A et B et I le milieu de [AB]. Alors, pour tout point M du plan : MA 2 + MB 2 = 2MI AB2 On traduit les carrés de distances en carrés scalaires de vecteurs : MA 2 + MB 2 = MA 2 + MB 2 Puis on décompose les vecteurs par la relation de Chasles, de façon à faire apparaitre MI 2 : MA 2 + MB 2 = (MI + IA ) 2 + (MI + IB ) 2 MA 2 + MB 2 = MI 2 + 2MI. IA + IA 2 + MI 2 + 2MI. IB + IB 2 On revient aux distances : MA 2 + MB 2 = MI 2 + 2MI. IA + IA 2 + MI 2 + 2MI. IB + IB 2 MA 2 + MB 2 = 2MI 2 + 2MI. IA + ( AB 2 2 ) + 2MI. IB + ( AB 2 2 ) MA 2 + MB 2 = 2MI 2 + 2MI. IA + 2MI. IB + 2 ( AB 2 2 ) MA 2 + MB 2 = 2MI 2 + 2MI. (IA + IB ) + 2 ( AB 2 2 ) Comme I est le milieu de [AB], alors IA + IB = 0 MA 2 + MB 2 = 2MI 2 + 2MI ( AB 2 2 ) MA 2 + MB 2 = 2MI AB2 4 MA 2 + MB 2 = 2MI AB2 Conclusion : pour tout point M du plan : MA 2 + MB 2 = 2MI AB2 Applications : Ce théorème permet de calculer la longueur des trois médianes connaissant les trois côtés. Calculer la longueur de la médiane [CA ] dans le triangle cicontre. CA 2 + CB 2 = 2CA AB = 2CA d où CA =

11 8 Equation d une droite à l aide d un vecteur normal Le plan est muni d un repère orthonormé (O; i, j). Définition : Un vecteur normal à une droite d est un vecteur non nul et orthogonal à tout vecteur directeur de d. n est un vecteur normal à la droite d Soit d une droite de vecteur normal n ( a b ). Alors une équation cartésienne de d s écrit : ax + by + c = 0 Réciproquement : Si a et b ne sont pas tous les deux nuls simultanément, alors l équation ax + by + c = 0 est l équation d une droite de vecteur normal n ( a b ). Soit les points A(2 ; 1), B(0 ; 2) et C( 3 ; 5) dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O; i, j). Déterminer une équation de la hauteur d A issue de A dans le triangle ABC. d A est la droite perpendiculaire à la droite (BC) passant par A. Donc BC ( 3 0 ) est un vecteur normal à 5 ( 2) la droite d A. On a BC ( 3 7 ). Donc une équation de d A est 3x + 7y + c = 0. On détermine c en remplaçant x et y par les coordonnées du point A(2 ; 1) qui est sur d A : 3(2) + 7(1) + c = 0 c = c = 1 Conclusion : d A a comme équation cartésienne : 3x + 7y 1 = 0 11

12 9 Equation d un cercle 9.1 Cercle défini par centre et rayon Un point M(x ; y) appartient au cercle (C ) de centre A(x A ; y A ) et de rayon r si et seulement si (x x A ) 2 + (y y A ) 2 = r 2 Soit les points A(4 ; 5) et B( 2 ; 7) dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O; i, j). Déterminer une équation du cercle C de centre A passant par B. AB ( ) AB ( 6 2 ) M(x ; y) C équivaut successivement à : AM = r (x 4) 2 + (y 5) 2 = ( 6) (x 4) 2 + (y 5) 2 = 40 x 2 8x y 2 10y + 25 = 40 x 2 + y 2 8x 10y + 1 = 0 Conclusion : Le cercle C a comme équation x 2 + y 2 8x 10y + 1 = 0. Retrouver le centre et le rayon à partir d une équation : On écrit le polynôme en x comme début d une identité remarquable. De même pour le polynôme en y. Puis on met sous la forme (x x A ) 2 + (y y A ) 2 = r 2 Déterminer l ensemble E des points M(x ; y) vérifiant l équation x 2 + y 2 2x + 8y 6 = 0. x 2 2x est le début de (x 1) 2 = x 2 2x + 1 y 2 + 8y est le début de (y + 4) 2 = y 2 + 8y + 16 M(x ; y) E équivaut successivement à : x 2 + y 2 2x + 8y 6 = 0 (x 1) (y + 4) = 0 (x 1) 2 + (y + 4) 2 = 23 (x 1) 2 + (y + 4) 2 = ( 23) 2 (x (1)) 2 + (y ( 4)) 2 = ( 23) 2 Conclusion : l ensemble E est le cercle de centre A(1 ; 4) et de rayon r =

13 9.2 Cercle défini par un diamètre Un point M(x ; y) appartient au cercle (C ) de diamètre [AB] et seulement si : MA. MB = 0 Soit les points A(1 ; 2) et B( 2 ; 3) dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O; i, j). Déterminer une équation du cercle C de diamètre [AB]. M(x ; y) C équivaut successivement à : MA. MB = 0 MA ( 1 x ) et MB 2 x ( 2 y 3 y ) (1 x)( 2 x) + (2 y)(3 y) = 0 2 x + 2x + x y 3y + y 2 = 0 x 2 + y 2 + x 5y + 4 = 0 Conclusion : Le cercle C de diamètre [AB] a comme équation x 2 + y 2 + x 5y + 4 = 0 10 Formules d addition et de duplication 10.1 Formules d addition Propriété 1 : Pour tous nombres réels a et b on a : cos(a b) = cos a cos b + sin a sin b Soit A et B deux points du cercle trigonométrique associés aux réels a et b. On a (OB, OA ) = (OB, i) + (i, OA ) (OB, OA ) = (i, OA ) (i, OB ) (OB, OA ) = a b [2π] OA. OB = OA OB cos(ob, OA ) OA. OB = 1 1 cos(a b) OA. OB = cos(a b) D autre part, OA (cos a ; sin a) et OB (cos b ; sin b) Donc : cos a cos b + sin a sin b = cos(a b) cos π 12 = cos (4π 12 3π 12 ) cos π 12 = cos (π 3 π 4 ) cos π 12 = cos π 3 cos π 4 + sin π 3 sin π 4 cos π = cos π = 12 (1 + 3 ) cos π = cos π 12 =

14 Propriété 2 : Pour tous nombres réels a et b on a : cos(a + b) = cos a cos b sin a sin b D après la propriété 1, pour tous réels x et y on a : cos(x y) = cos x cos y + sin x sin y x = a En particulier pour { y = b : cos(a ( b)) = cos a cos b + sin a sin b cos(a + b) = cos a cos b + sin a sin b Or, pour tout réel x, cos x = cos x et sin x = sin x Donc : cos(a + b) = cos a cos b + sin a sin b Conclusion : Pour tous nombres réels a et b on a : cos(a + b) = cos a cos b sin a sin b Propriété 3 : Pour tous nombres réels a et b on a : sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a D après la propriété 1, pour tous réels x et y on a : cos(x y) = cos x cos y + sin x sin y En particulier pour { x = π 2 a y = b : cos (( π 2 a) b) = cos (π 2 a) cos b + sin (π a) sin b 2 cos ( π 2 (a + b)) = cos (π 2 a) cos b + sin (π a) sin b 2 Or, pour tout réel x, cos ( π x) = sin x et 2 sin (π x) = cos x 2 Donc : sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b Conclusion : Pour tous nombres réels a et b on a : sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a Propriété 4 : Pour tous nombres réels a et b on a : sin(a b) = sin a cos b sin b cos a D après la propriété 3, pour tous réels x et y on a : sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x x = a En particulier pour { y = b : sin(a b) = sin a cos b + sin b cos a Or, pour tout réel x, cos x = cos x et sin x = sin x Donc : sin(a b) = sin a cos b sin b cos a Conclusion : Pour tous nombres réels a et b on a : sin(a b) = sin a cos b sin b cos a 14

15 10.2 Formules de duplication Les formules de duplication permettent de calculer le sinus du double de a et le cosinus du double de a quand on connait sin a et cos a. Propriétés : Pour tous nombres réels a et b on a : sin(2a) = 2sin a cos a cos(2a) = cos 2 a sin 2 a cos(2a) = 2cos 2 a 1 cos(2a) = 1 2 sin 2 a Démonstrations : 1. On a, pour tous réels x et y on a : sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x x = a En particulier pour { y = a : sin(a + a) = sin a cos a + sin a cos a sin(2a) = 2 sin a cos a 2. On a, pour tous réels x et y on a : cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y x = a En particulier pour { y = a : cos(a + a) = cos a cos a sin a sin a cos(2a) = cos 2 a sin 2 a 3. On a, pour tout réel a, sin 2 a + cos 2 a = 1 donc cos 2 a = 1 sin 2 a. cos(2a) = cos 2 a sin 2 a s écrit aussi : cos(2a) = (1 sin 2 a) sin 2 a cos(2a) = 1 2 sin 2 a 4. On a, pour tout réel a, sin 2 a + cos 2 a = 1 donc sin 2 a = 1 cos 2 a. cos(2a) = cos 2 a sin 2 a s écrit aussi : cos(2a) = cos 2 a (1 cos 2 a) cos(2a) = 2 cos 2 a 1 Soit a R tel que { cos a = 4 5 sin a = 3 5 Calculer les valeurs exactes de sin 2a et cos 2a. sin 2a = 2sin a cos a sin 2a = sin 2a = cos 2a = 1 2 ( 3 5 )2. cos 2a = cos 2a = cos 2a =