Chapitre 2 : Transformations du plan.

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1 Chapitre : Transformations du plan. 1. Les symétries orthogonales : Par une symétrie orthogonale, une figure se déplace en se retournant. Une symétrie orthogonale est caractérisée par une droite appelée axe de symétrie. Une symétrie orthogonale est une transformation du plan qui envoie tout point : - de l autre côté de l axe, - sur la droite perpendiculaire à l axe et passant par ce point, - à une même distance de l axe. est l image du point par une symétrie orthogonale d axe m se note S ( ) '.. Les symétries centrales : Par une symétrie centrale, une figure se déplace en tournant d un demi-tour. Une symétrie centrale est caractérisée par un point appelé centre de symétrie. Une symétrie centrale est une transformation du plan qui envoie tout point : - de l autre côté du centre, - sur la droite passant par le point et le centre, - à une même distance du centre. B est l image du point B par une symétrie centrale de centre se note ' 3. Les translations : Par une translation, une figure se déplace en glissant. Une translation est caractérisée par une flèche appelée vecteur. Une translation est une transformation du plan qui déplace tout point : - dans une même direction, - dans un même sens, - d une même distance. m S B B. T C C. C est l image du point C par une translation de vecteur B se note ' B

2 Chapitre 4 : Les figures planes. 1. Les triangles : a. Classement des triangles : D après la longueur des côtés : - Le triangle scalène : triangle dont tous les côtés sont de longueurs différentes. - Le triangle isocèle : triangle dont au moins deux côtés sont de même longueur. - Le triangle équilatéral : triangle dont tous les côtés sont de même longueur. D après l amplitude des angles : - Le triangle acutangle : triangle dont tous les angles sont aigus. - Le triangle obtusangle : triangle dont un angle est obtus. - Le triangle rectangle : triangle dont un angle est droit. b. ire et périmètre d un triangle : c. Droites remarquables : Bh. P C C C 1 3 La médiane d un triangle est une droite qui passe par un des sommets du triangle et le milieu du côté opposé. La hauteur d un triangle est une droite qui passe par un des sommets du triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé ou à son prolongement. La médiatrice d un triangle est une droite qui est perpendiculaire à un des côtés du triangle et qui passe par le milieu de ce côté. La bissectrice d un triangle est une droite qui partage un angle en deux angles de même amplitude. Remarque : un triangle possède trois médianes, trois hauteurs, trois bissectrices et trois médiatrices. d. Points particuliers : L orthocentre d un triangle est le point d intersection des trois hauteurs du triangle. Le centre de gravité d un triangle est le point d intersection des trois médianes du triangle.

3 . Les quadrilatères : a. Carré : Un carré est un quadrilatère qui a ses côtés de même longueur et ses quatre angles droits. La formule d aire d un carré est côté côté ou côté au carré. La formule de périmètre d un carré est 4 côté. Les diagonales d un carré se coupent en leur milieu et ont la même longueur. Les diagonales d un carré sont perpendiculaires et bissectrices des angles. Les médianes et les diagonales d un carré se coupent en un même point qui est le centre du cercle circonscrit au carré. b. Rectangle : Un rectangle est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles et de même longueur et dont les quatre angles sont droits. La formule d aire d un rectangle est longueur largeur. La formule de périmètre d un rectangle est (longueur + largeur). Les diagonales d un rectangle se coupent en leur milieu et ont la même longueur. Dans un rectangle, les angles opposés ont la même amplitude et les angles consécutifs sont supplémentaires (leur somme fait 180 ). Les médianes et les diagonales d un rectangle se coupent en un même point qui est le centre du cercle circonscrit au rectangle. c. Parallélogramme : Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles et de même longueur. La formule d aire d un parallélogramme est base hauteur. La formule de périmètre d un parallélogramme est (longueur + largeur). Les diagonales d un parallélogramme se coupent en leur milieu. Dans un parallélogramme, les angles opposés ont la même amplitude et les angles consécutifs sont supplémentaires (leur somme fait 180 ). Les médianes d un parallélogramme sont parallèles aux côtés. Les médianes et les diagonales d un parallélogramme se coupent en un même point.

4 d. Losange : Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés sont de même longueur. Un losange est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles. La formule d aire d un losange est grande diagonale petite diagonale. La formule de périmètre d un losange est 4 côté. Les diagonales d un losange se coupent perpendiculairement en leur milieu. Les diagonales d un losange sont bissectrices des angles. Dans un losange, les angles opposés ont la même amplitude et les angles consécutifs sont supplémentaires (leur somme fait 180 ). Les médianes d un losange sont parallèles aux côtés. Les médianes et les diagonales d un losange se coupent en un même point. e. Trapèze isocèle : Un trapèze isocèle est un quadrilatère qui a deux côtés parallèles. Les côtés non parallèles d un trapèze isocèle sont de même longueur. La formule d aire d un trapèze isocèle est petite base grande base hauteur. La formule de périmètre d un trapèze isocèle est la somme des quatre côtés. Dans un trapèze isocèle, les angles adjacents à une même base ont la même amplitude. Les diagonales d un trapèze isocèle ont la même longueur. 3. Le disque : r P r d....

5 Chapitre 7 : Les solides. 1. Définitions et classification : Solides : figures géométriques qui possèdent un volume. Polyèdres : formes géométriques à trois dimensions limitées par des faces planes qui sont des polygones. Non-polyèdres ou corps ronds : solides qui ont au moins une face qui n est pas plane. Un polyèdre possède des faces, des arêtes et des sommets. Si on prolonge une face dans tous les sens, on obtient un plan. Une face est donc une partie de plan. Une face est un polygone qui se note par ses sommets, donc par des lettres majuscules (ou par une lettre grecque). Un sommet est un point et se note donc par une lettre majuscule. Si on prolonge une arête dans les deux sens, on obtient une droite. Une arête est donc un segment de droite et se note par deux lettres majuscules (ou une lettre minuscule). L'intersection de deux faces est une arête. L'intersection de deux arêtes est un sommet.. Positions relatives de deux droites et de deux plans : a. Positions relatives de deux droites : Deux droites parallèles distinctes sont deux droites situées (incluses) dans un même plan et qui n ont aucun point commun. [D] // [BE] Deux droites parallèles confondues sont deux droites situées (incluses) dans un même plan et qui ont tous leurs points en commun. Deux droites sécantes sont deux droites situées (incluses) dans un même plan et qui se coupent en un point en formant un angle différent de 90. [B] // [BC] Deux droites perpendiculaires sont deux droites situées (incluses) dans un même plan et qui se coupent en un point en formant un angle droit. D DE Deux droites gauches sont deux droites qui ne sont pas situées (non-incluses) dans un même plan. [D] G [BC]

6 b. Positions relatives de deux plans : Deux plans parallèles distincts n ont aucun point en commun. C 90 B G E BC // EFG. F Deux plans parallèles confondus ont tous leurs points en commun. Deux plans sécants peuvent être perpendiculaires ou non. B C D 90 B F C E D BD BDF BC // BCD 3. Définitions, caractéristiques, représentations et développements de certains polyèdres : Définition : a. Le parallélépipède rectangle : Un parallélépipède rectangle, aussi appelé pavé droit, est un polyèdre dont toutes les faces sont des rectangles. Caractéristiques : Un parallélépipède rectangle a 8 sommets, 1 arêtes et 6 faces. Développement : Le développement d un solide est une figure plane obtenue en dépliant un polyèdre. Perspective cavalière : En perspective cavalière, deux segments parallèles et de même longueur sont représentés par deux segments parallèles et de même longueur. Par contre, deux segments perpendiculaires et de même longueur ne sont par représentés par deux segments perpendiculaires et de même longueur. La perspective cavalière conserve le parallélisme et les rapports de mesures. Cas particulier : le cube : Un cube est un parallélépipède rectangle particulier et possède donc les mêmes caractéristiques.

7 Définition : b. Le prisme droit : Un prisme droit est un solide qui a faces polygonales superposables appelées bases du prisme. Les autres faces sont des rectangles. Caractéristiques : Les bases d un prisme sont parallèles et isométriques. Les arêtes latérales ont la même longueur : cette longueur commune est appelée hauteur du prisme. Les arêtes latérales sont parallèles entre elles. Les arêtes latérales sont perpendiculaires aux bases. Dénombrement : Si la base d'un prisme a n côtés, ce prisme a n sommets, 3n arêtes et n + faces. c. La pyramide droite : Une pyramide est un solide constitué à partir d un polygone de base et d un sommet. En joignant chaque sommet du polygone au sommet de la pyramide, on obtient un solide limité par le polygone de base et par autant de triangles que le polygone a de côtés. L ensemble de ces triangles constitue la surface latérale de la pyramide. Le segment abaissé depuis le sommet perpendiculairement à la base est la hauteur de la pyramide.

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