DIPLÔME NATIONAL DU BREVET Série Collège MATHÉMATIQUES

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1 Collège Georges Brassens PERSAN mai 2012 DIPLÔME NATIONAL DU BREVET Série Collège MATHÉMATIQUES Durée : 2 heures (aucune sortie ne sera acceptée avant ce temps) L emploi de la calculatrice est autorisé. Barème : Activités numériques : Activités géométriques : Problème : Expression écrite et présentation : 12 points 12 points 12 points 4 points Organisation et gestion de donnée, fonctions : Repérer un point dans un plan muni d un repère orthogonal. Lire, utiliser, interpréter des données présentées sous forme de tableaux, de graphiques. 5D09 Dans le plan muni d un repère orthogonal : lire les coordonnées d un point donné. 5D10 Dans le plan muni d un repère orthogonal : placer un point de coordonnées données. 5D11 Lire et interpréter des informations à partir d un tableau ou d une représentation graphique (diagrammes divers, histogramme). 5D12 Présenter des données sous la forme d un tableau 5D13 Calculer des effectifs 4D04 Calculer la moyenne d une série statistique 3D03 Notion de série statistique (liste, tableau, représentation graphique). Nombres et calcul : Mener à bien un calcul instrumentalisé (calculatrice ou tableur). Conduire un calcul littéral simple 4N09 Calculer la valeur d une expression littérale en donnant aux variables des valeurs numériques. 3N07 Connaître les identités: (a + b)(a b) = a 2 b 2 ; (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 et (a b) 2 = a 2 2ab + b 2. 3N08 Utiliser la calculatrice pour calculer la valeur exacte ou approchée de la racine carrée d'un nombre positif. Géométrie : Utiliser des propriétés d une figure et les théorèmes de géométrie pour traiter une situation simple. Raisonner logiquement, pratiquer la déduction, démontrer. 4G02 4G03 3G02 Caractériser le triangle rectangle par l égalité de Pythagore. Calculer la longueur d un côté d un triangle rectangle à partir de celles des deux autres. Utiliser le théorème de Thalès dans un triangle pour calculer une longueur Grandeurs et mesures : Mesurer une longueur, un angle, une durée. Calculer une longueur, une aire, un volume, une vitesse, une durée. 5M04 Calculer le volume d un parallélépipède rectangle

2 Exercice 1 : (4 points) ACTIVITES NUMERIQUES 12 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n est demandée. Pour chacune des questions, quatre réponses sont proposées, une seule est exacte. Compléter le tableau prévu à cet effet dans l annexe (à rendre avec la copie). On répondra par A, B, C ou D. N Questions A B C D 1 La forme développée de (2x 1)² 1 est 2 x² 2x 4 x² 4x 4 4 x² 4x 1 2 Le couple solution du système est : 3 Quelle est la solution de l équation 5 x (7x 4) 8? 4 Un objet coûtant 120 augmente de 5%, son nouveau prix est (2; 0,5) (1; 1,05) (0,95; 1,2) (1,2; 0,95) Exercice 2 : (2 points) Voici un programme de calcul : On choisit un nombre, on en prend le triple, puis on retranche 10 au résultat. 1) Appliquer ce programme de calcul au nombre 2. [0,5 pt] 2) Quelle fonction f peut-on définir pour réaliser ce programme à partir d un nombre x? [1 pt] 3) Vérifier le résultat de la question 1) en calculant f(2). [0,5 pt] Exercice 3 : (6 points) Une classe de 3 ème souhaite participer à un concours régional de mathématiques. Le professeur souhaite faire une sélection des candidats, il organise pour cela une évaluation. Voici le diagramme en bâtons des notes obtenues par la classe de M. Ledix. Effectifs 1) Compléter le tableau de l annexe. Notes [1 pt] 2) Combien d élèves y-a-t-il dans cette classe? [1 pt] 3) Calculer la moyenne des notes obtenues dans la classe de M. Ledix. [1 pt] 2

3 4) Déterminer la note médiane de cette série de notes. Puis, en donner une phrase d interprétation. [1 pt] 5) Déterminer les 1 er et 3 ème quartiles de cette série statistique. [1 pt] 6) Calculer l étendue de cette série statistique. [1 pt] Exercice 1 : (3 points) ACTIVITES GEOMETRIQUES 12 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n est demandée. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Compléter le tableau prévu à cet effet dans l annexe (à rendre avec la copie). On répondra par A, B ou C. Réponse A Réponse B Réponse C 1 L arrondi au centième de sin 20 est : 20,00-0,857 0, Dans un triangle rectangle, la tangente d un angle aigu est donnée par la formule La diagonale d un carré de côté 1 cm mesure Exercice 2 : (5 points) 2 cm cm 1,4 cm La figure ci-dessous n est pas à l échelle. L unité de longueur est le centimètre. On donne : OM = 3,9 ; OP = 5,2 ; OA = 6 ; OB = 8 et MP = 6,5. O M A P B 1) Montrer que les droites (MP) et (AB) sont parallèles. [2 pts] 2) Démontrer que AB = 10. [1,5 pts] 3) Démontrer que le triangle OAB est rectangle en O. [1,5 pts] Exercice 3 : (4 points) ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle tel que : AB = 10cm ; BC = 4,8 cm et GC = 6,4 cm. 1) Calculer le volume de ABCDEFGH. Arrondir au cm 3 près. [1 pt] 2) Calculer FC. [1,5 pts] 3) On admettra que le triangle FCE est rectangle en F. Calculer l arrondi à l unité de l angle FCE. [1,5 pts] 3

4 PROBLEME 12 POINTS Première partie : (9 points) Le graphique ci-dessous représente l évolution de la vitesse, en km/h, d un TGV en fonction du temps écoulé, en minutes, depuis son départ. 3) Par lecture graphique, déterminer approximativement le temps, en minutes, mis par le train pour atteindre 120 km/h. Laisser apparent votre raisonnement sur le graphique de l annexe. Rédiger une phrase en utilisant le vocabulaire des fonctions. [1 pt] 4) Par lecture graphique, déterminer la vitesse, en km/h, qu atteint le train 10 minutes après son départ. Laisser apparent votre raisonnement sur le graphique de l annexe. Rédiger une phrase en utilisant le vocabulaire des fonctions. [1 pt] 5) a) Quelle est la vitesse du train à partir de 10 minutes de trajet? [1 pt] b) En déduire une expression de pour Comment appelle-t-on ce type de fonction? [1 pt] Deuxième partie : (3 points) Le TGV roule maintenant à sa vitesse maximale, soit 300 km/h. Il a été calculé qu il met 40s pour s arrêter en cas de freinage d urgence. La distance d arrêt D A exprimée en mètres d un train roulant à une vitesse en km/h est déterminée par la formule suivante : On appelle v la fonction qui associe la vitesse du train en km/h au temps écoulé depuis le départ exprimé en minutes. 1) Compléter le graphique fourni en annexe en légendant les axes et en complétant les graduations. [1 pt] 2) Pour (c est-à-dire pour t compris entre 0 et 10 minutes) : a) Calculer. Faire une phrase avec le mot image. Quelle est la vitesse du train 5 minutes après son départ? [2 pts] b) Calculer l antécédent de 168,75 par. Rédiger une phrase avec le mot antécédent et interpréter le résultat comme dans la question précédente. [2 pts] Une voiture est bloquée sur un passage à niveau et le TGV arrive lancé à 300 km/h à 1km de distance. Que se passe-t-il? Vous ferez apparaître toute démarche ou calcul indiquant un début de réflexion, même non aboutie. 4

5 N de la copie :.. ANNEXE A rendre avec la copie Exercice 1 : ACTIVITES NUMERIQUES N Questions Réponses 1 La forme développée de (2x 1)² 1 est 2 Le couple solution du système est : 3 Quelle est la solution de l équation 5 x (7x 4) 8? 4 Un objet coûtant 120 augmente de 5%, son nouveau prix est Exercice 3 : Notes obtenues Effectifs 5 Effectifs cumulés croissants Exercice 1 : ACTIVITES GEOMETRIQUES N Questions Réponses 1 L arrondi au centième de sin 20 est: 2 Dans un triangle rectangle, la tangente d un angle aigu est donnée par la formule 3 La diagonale d un carré de côté 1 cm mesure PROBLEME 5

6 Exercice 1 : (4 points) CORRECTION BREVET BLANC N 2 - mai 2012 ACTIVITES NUMERIQUES N Questions Réponses 1 La forme développée de (2x 1)² 1 est B 2 Le couple solution du système est : C 3 Quelle est la solution de l équation 5 x (7x 4) 8? B 4 Un objet coûtant 120 augmente de 5%, son nouveau prix est A Exercice 2 : (2 points) 4) On choisit le nombre 2, on en prend le triple, puis on retranche 10 au résultat, on obtient le nombre A : 5) 6) Exercice 3 : 1) Q 1 Note Médiane Q 3 Notes obtenues Effectifs croissants Effectifs cumulés ) Dans cette classe, il y a 24 élèves ( = 24) 3) Moyenne des notes obtenues = La moyenne des notes obtenues lors de cette évaluation est de 10. 4) Pour déterminer la note médiane de cette série de notes, on répartit les 24 notes en deux séries de même effectif, soit 12 notes chacune (24 = ), alors, les notes étant rangées dans l ordre croissant, une note médiane est n importe quelle valeur située entre la 12 ème et la 13 ème note soit entre 8 et 8. Par lecture sur le tableau, on trouve : note médiane = 8 OU La médiane de cette série étant la valeur du caractère à partir de laquelle l effectif cumulé devient supérieur ou égal à la moitié de l effectif total. Calcul de la moitié de l effectif total : = 12. Dans la ligne des effectifs cumulés croissants, la 1 ère valeur supérieure à 12 est : 13. On lit alors la valeur du caractère correspondant, on trouve : 8. La note médiane est donc 8. Phrase d interprétation : Il y autant de notes inférieures ou égales à 8 que de notes supérieures ou égales à 8. Ou : 50% des notes obtenues lors de cette évaluation sont inférieures ou égales à 8, et 50% des notes sont supérieures ou égales à 8. 5) Calcul du 1 er quartile : 24 = 6 Donc, le 1 er quartile se situe en 6 ème position ; on trouve : Q 1 = 6 Calcul du 3 ème quartile : 24 = 18 Donc, le 3 ème quartile se situe en 18 ème position ; on trouve : Q 3 = 14 6

7 6) Etendue des notes = note la plus élevée note la plus basse = 17 5 = 12 ACTIVITES GEOMETRIQUES Exercice 1 : N Questions Réponses 1 L arrondi au centième de sin 20 est: C 2 Dans un triangle rectangle, la tangente d un angle aigu est donnée par la formule 3 La diagonale d un carré de côté 1 cm mesure C B Exercice 2 La figure ci-dessous n est pas à l échelle. L unité de longueur est le centimètre. M On donne : OM = 3,9 ; OP = 5,2 ; OA = 6 ; OB = 8 et MP = 6,5. O 1) On calcule d une part et d autre part : A P B On constate que. De plus, les points O, M, A et O, P, B sont alignés dans le même ordre. Donc, d après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MP) et (AB) sont parallèles 2) On sait que les droites (MP) et (AB) sont parallèles et que les points O, M, A et O, P, B sont alignés. On peut donc appliquer le théorème de Thalès : D où : 3) Dans le triangle OAB, [AB] est le plus grand côté. Donc, on calcule d une part et d autre part : On constate que. Donc, d après la réciproque du théorème de Pythagore, OAB est rectangle en O. Exercice 3 : (4 points) ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle tel que : AB = 10cm ; BC = 4,8 cm et GC = 6,4 cm.. 7

8 2) Dans le triangle FBC rectangle en B, on peut appliquer le théorème de Pythagore : 3) Dans le triangle FCE rectangle en F : D où : Première partie : (9 points) PROBLEME 12 POINTS Le graphique ci-dessous représente l évolution de la vitesse, en km/h, d un TGV en fonction du temps écoulé, en minutes, depuis son départ. 2) Pour : c) 300 v (km/h) 75 est l image de 5 par la fonction v. 270 Cela signifie que 5 minutes après le départ, le train roule à 75 km/h. 240 d) On cherche t tel que 210 On résout donc l équation : On ne s intéresse qu à la solution positive, donc : 60 t (min) 2,5 7, , ,5 20 L antécédent de 168,75 par la fonction v est donc 7,5. Cela signifie que le train atteint une vitesse de 168,75 km/h au bout de 7,5 minutes, soit 7 minutes et 30s. 8

9 4) On lit sur le graphique l abscisse du point de la courbe ayant 120 en ordonnée, soit environ 6,3. On a donc déterminé graphiquement que 6,3 est l antécédent de 120 par la fonction v. 5) On lit sur le graphique l ordonnée du point de la courbe ayant 10 en abscisse, soit 300. On a donc déterminé graphiquement que 300 est l image de 10 par la fonction v. 6) a) Pour 10 minutes de trajet et au-delà, la vitesse du train n évolue plus. Le train a atteint sa vitesse maximale, soit 300 km/h. c) Pour : v est alors une fonction constante. Deuxième partie : (3 points) avec Le train a donc besoin de 1 333m pour s arrêter. Il ne dispose que de 1000 m, donc il percute la voiture bloquée sur la voie. C est vraiment horrible! 9