Géométrie élémentaire de l espace

Transcription

1 Chapitre 5 Géométrie élémentaire de l espace Objectifs Rappeler les différents modes de repérage dans l espace Rappeler les notions de produit vectoriel, de produit scalaire et de produit mixte ainsi que leurs applications Étudier les droites, les plans et les sphères de l espace Plan 5 Géométrie élémentaire de l espace 49 I) Les modes de repérage 49 1) Repère cartésien 49 2) Repère orthonormal 50 3) Repère orthonormal direct 51 4) Coordonnées cylindriques et coordonnées sphériques 52 II) Produit scalaire, produit vectoriel 52 1) Produit scalaire 52 2) Produit vectoriel 53 3) Produit mixte 54 III) Droites, plans et sphères 56 1) Le cas des plans 56 2) Le cas des droites 58 3) Sphères 60 IV) Exercices 61 I) Les modes de repérage E désigne l espace 1) Repère cartésien Définition 51 Un repère R de l espace est la donnée d un point O appelé origine et de trois vecteurs u, v, w non coplanaires appelés vecteurs de base, on note R = (O, u, v, w ) et B = ( u, v, w ) la base associée Les droites passant par O et de vecteurs directeurs respectifs, u, v, w sont appelés les axes du repère et notées (Ox), (Oy) et (Oz)

2 Les modes de repérage 50 Soit a un vecteur quelconque de l espace, il existe des réels x, y, z tels que a = x u + y v + z w et le triplet (x, y, z) est unique Les réels x, y, z sont appelés coordonnées de a dans la base B z M w a = OM x O u v y Soit M un point de l espace, les coordonnées de M dans le repère R sont par définition, les coordonnées du vecteur OM dans la base ( u, v, w ), autrement dit : M(x, y, z) OM = x u + y v + z w Si A(x, y, z) et B(x, y, z ) sont deux points de E, alors les coordonnées du vecteur AB sont (x x, y y, z z) car AB = OB OA Le choix d un repère cartésien permet d identifier l espace à l ensemble R 3 2) Repère orthonormal On choisit arbitrairement un repère R 0 = (O, u 0, v 0, w 0 ), on définit alors la notion de distance et d orthogonalité de la manière suivante : Définition 52 Soient a (x, y, z) et b (x, y, z ) deux vecteurs de E : La norme du vecteur a est a = x 2 + y 2 + z 2 La distance d un point A à un point B de E est la norme du vecteur AB : AB = AB Les vecteurs a et b sont dits orthogonaux lorsque a + b 2 = a 2 + b 2 Une fois ce choix [arbitraire] effectué, on dit que l espace E est euclidien Remarques : La définition de l orthogonalité est cohérente avec le théorème de Pythagore du plan Avec la définition de norme dans le repère R 0, on a : a + b 2 a 2 b 2 = 2(xx +yy +zz ), la définition d orthogonalité devient alors xx + yy + zz = 0 Avec cette définition, le repère R 0 est un repère orthonormal théorème 51 Soit R 1 = (O, u 1, v 1, w 1 ) un autre repère orthonormal, soit a de coordonnées (x, y, z) dans R 0 et (x 1, y 1, z 1 ) dans R 1, et b de coordonnées (x, y, z ) dans R 0 et (x 1, y 1, z 1 ) dans R 1, on a : x 2 + y 2 + z 2 = x y z 2 1 et xx + yy + zz = x 1 x 1 + y 1 y 1 + z 1 z 1

3 Les modes de repérage 51 théorème 52 Soit ( u, v, w ) une base de E, il existe une base orthonormale ( a, b, c ) de E telle que a est colinéaire à u et b dans le plan défini par u et v Conséquences : Tout plan de E est euclidien [non orienté], ie contient des bases orthonormales La norme de E vérifient les propriétés : u = u = 0 [découle de la définition] α u = α u [découle de la définition] u + v u + v [inégalité triangulaire] : il suffit de se placer dans un plan contenant u et v 3) Repère orthonormal direct La notion d orientation sera définie ultérieurement D une manière imagée on conviendra que le repère orthonormal R = (O, u, v, w ) est direct si lorsque l on tourne de u vers v on progresse dans le sens de w [règle du tire-bouchon], sinon on dira que R est orthonormal indirect Définition 53 (orientation induite) Soit P un plan de E, soit (A, u, v ) un repère orthonormal de P et soit w un vecteur unitaire normal à P On dira que ce repère est orthonormal direct lorsque (A, u, v, w ) est un repère orthonormal direct de E On dit que P est orienté par w [ou que P a été muni de l orientation induite par w ] w u v + P théorème 53 Tout plan P de E possède exactement deux vecteurs unitaires normaux De plus ils sont opposés On ne définit pas les angles orientés de deux vecteurs dans l espace, car un plan contenant ces deux vecteurs n est pas intrinsèquement orienté [il faudrait faire un choix d un vecteur normal unitaire pour chaque plan de E!], par contre on peut définir l angle non orienté [ou écart angulaire] de la manière suivante, soient u et v deux vecteurs non nuls : Si u = λ v avec λ > 0 on pose ( u, v ) = 0

4 Produit scalaire, produit vectoriel 52 Si u = λ v avec λ < 0 on pose ( u, v ) = π Si u et v sont non colinéaires : soit (O, a, b ) un repère orthonormal d un plan P contenant ces deux vecteurs, on a u (x, y) et v (x, y ), on pose alors ( u, ( ) v ) = x Arg +iy On peut vérifier que cette définition ne dépend pas du choix de ( a, b ) [ni de P d ailleurs] L angle non orienté de deux vecteurs est un élément de [0; π] x+iy 4) Coordonnées cylindriques et coordonnées sphériques Soit R = (O, u, v, w ) un repère orthonormal direct et soit M(x, y, z) E Le plan (xoy) est orienté par w et H désigne le projeté orthogonal de M sur xoy : z H a des coordonnées polaires (r, θ) dans le repère (O, u, v ) c est à dire OH = r u (θ)r cos(θ) u + r sin(θ) v, d où OM = OH + HM = r cos(θ) u + r sin(θ) v + z w On M dit que (r, θ, z) sont des coordonnées cylindriques de M, de plus on a y = r sin(θ) u y w x = r cos(θ) O v z = z x θ Les coordonnées cylindriques ne sont pas uniques Soit θ l angle non orienté ( w, OM ), θ [0; π], c est la colatitude de M [la latitude étant π 2 θ] Soit ϕ l angle orienté ( u, OH ), c est la longitude de M Soit r = OM H On a OH = OH cos(ϕ) u + OH sin(ϕ) v, HM = r cos(θ) w et OH = r sin(θ), donc OM = OH + HM = r sin(θ) cos(ϕ) u + r sin(θ) sin(ϕ) v +r cos(θ) w, on dit que (r, θ, ϕ) sont des coordonnées sphériques de M De x = r sin(θ) cos(ϕ) plus on a y = r sin(θ) sin(ϕ) z = r cos(θ) x u z w O θ ϕ v M y H II) Produit scalaire, produit vectoriel 1) Produit scalaire Définition 54 Soient u et v deux vecteurs de E, on pose u v = 1 [ u + v 2 u 2 v 2] 2 Remarques :

5 Produit scalaire, produit vectoriel 53 On a u u = u 2 et v u = u v [symétrie] En se plaçant dans un plan P contenant u et v on a : u v = 1 [ u + v 2 u 2 v 2] = 2 u v cos( u, v ), où ( u, v ) désigne l angle non orienté (orienter le plan ne changerait rien) On a u + v 2 = u 2 + v u v théorème 54 (Applications) Soient u et v deux vecteurs : u et v sont orthogonaux ssi u v = 0 Si ( a, b, c ) est une base orthonormale de E, alors les coordonnées de u dans cette base x = u a sont : y = u b z = u c théorème 55 (Expression dans une base orthonormale) Si R = (O, a, b, c ) est un repère orthonormal, si u a pour coordonnées (x, y, z) et v coordonnées (x, y, z ), alors u v = xx + yy + zz pour théorème 56 (Bilinéarité) Le produit scalaire est bilinéaire : soient u, v, w trois vecteurs et λ R, alors : [ u + v ] w = u w + v w et [λ u ] w = λ[ u w ] u [ v + w ] = u v + u w et u [λ v ] = λ[ u v ] 2) Produit vectoriel Définition 55 Soient u et v deux vecteurs et P un plan contenant u et v, on oriente P en choisissant un vecteur unitaire normal w et on pose : u v = [ u, v ] w = u v sin( u, v ) w Si on oriente le plan avec w alors le produit mixte change de signe et donc le résultat ne change pas Il découle de cette définition : u v = 0 ssi u et v sont colinéaires u v est orthogonal à u et v v u = u v [antisymétrie] u v = u v sin( u, v ) et donc u v 2 = u 2 v 2 ( u v ) 2 Si u, u et v sont coplanaires alors ( u + u ) v = u v + u v Si λ R alors (λ u ) v = u (λ v ) = λ( u v ) Cas particulier : si ( u, v, w ) est orthonormale directe, alors u v = w, v w = u et w u = v Soit R = (O, a, b, c ) une base orthonormale directe, soient u (x, y, z) et v (x, y, z ) deux vecteurs quelconques, il est facile de vérifier que le vecteur k (yz y z, xz + x z, xy x y) est

6 Produit scalaire, produit vectoriel 54 orthogonal à u et v et que k 2 = u 2 v 2 ( u v ) 2 = u v 2, on en déduit que si w est un vecteur unitaire normal au plan P contenant u et v, alors on a k = ± k w et donc k = ± u v, nous admettrons [cela découle de la définition de l orientation que nous verrons ultérieurement] que ces deux vecteurs ont le même sens et donc k = u v, c est à dire : u v = (yz y z) a + ( xz + x z) b + (xy x y) y y c = x x z z a x x z z b + y y c La formule ci-dessus reste vraie si u et v expression le résultat suivant : sont colinéaires Il est facile de vérifier à partir de cette théorème 57 Le produit vectoriel est bilinéaire : (λ u + µ v ) w = λ( u w ) + µ( v w ) et u (λ v + µ w ) = λ( u v ) + µ( u w ) Le produit vectoriel est interne dans E mais il n admet pas d élément neutre On peut remarquer également que le produit vectoriel n est pas associatif, plus précisément : théorème 58 (Formule du double produit vectoriel) Pour tous vecteurs u, v et w de E : u ( v w ) = ( u w ) v ( u v ) w On déduit de l antisymétrie que : ( u v ) w = ( u w ) v ( w v ) u 3) Produit mixte Définition 56 L espace E étant orienté, on appelle produit mixte de trois vecteurs u, v et w, le nombre : [ u, v, w ] = ( u v ) w Cette définition dépend de l orientation choisie, à cause du produit vectoriel Lorsque u et v sont colinéaires on a u v = 0 et donc [ u, v, w ] = 0 Si u et v sont non colinéaires alors [ u, v, w ] = 0 ssi w est orthogonal à u v ce qui revient à dire que w est dans un plan contenant u et v On peut affirmer : Le produit mixte de trois vecteurs est nul ssi ils sont coplanaires Interprétation géométrique : [ u, v, w ] est le volume algébrique du parallélépipède construit sur u, v et w

7 Produit scalaire, produit vectoriel 55 En effet, u v est l aire du parallélogramme construit sur u et v, or [ u, v, w ] = u v w cos(θ) et w cos(θ) représente la hauteur algébrique du parallélépipède, ce qui entraîne le résultat u θ u v w v théorème 59 Le produit mixte est trilinéaire, c est à dire : [λ u + µ u, v, w ] = λ[ u, v, w ] + µ[ u, v, w ] [ u, λ v + µ v, w ] = λ[ u, v, w ] + µ[ u, v, w ] [ u, v, λ w + µ w ] = λ[ u, v, w ] + µ[ u, v, w ] théorème 510 Soit ( a, b, c ) une base orthonormale directe et soient u (x, y, z), v (x, y, z ) et w (x, y, z ), alors : [ u, v, w ] = xy z + x y z + x yz xy z x yz x y z x x Notation : On pose [ u, v, x w ] = y y y = x yz x y z + y zx y z x + z xy z x y, pour z z z obtenir cette expression on ajoute tous les produits de 3 termes obtenus en en prenant un par ligne et un par colonne avec un signe + dans le sens de la diagonale principale et un signe sinon (règle de Sarrus) théorème 511 Le produit mixte est antisymétrique, c est à dire : [ v, u, w ] = [ u, v, w ], [ w, v, u ] = [ u, v, w ], [ u, w, v ] = [ u, v, w ] Autrement dit, permuter deux vecteurs change le signe du produit mixte Il en découle en particulier que ( u v ) w = ( v w ) u = ( w u ) v Extension : Si B = ( a, b, c ) est une base quelconque de E, et si on a trois vecteurs u (x, y, z),

8 Droites, plans et sphères 56 v (x, y, z ) et w (x, y, z ) alors on pose : x x det ( u, v, x w ) = y y B y = x yz x y z + y zx y z x + z xy z x y, z z z c est le déterminant dans la base B des vecteurs u, v et w Il est facile de vérifier det B ( u, v, w ) = [ u, v, w ] [ a, b, c ], on en déduit que cette application est trilinéaire, antisymétrique et que det B( u, v, w ) = 0 ssi les trois vecteurs sont coplanaires [ce qui est bien utile lorsque l on cherche une équation de plan dans un repère cartésien qui n est pas orthonormal!] Le produit mixte apparaît alors comme le déterminant dans une base orthonormale directe [et le résultat ne dépend pas de la base orthonormale directe choisie] On remarquera que si u = α a + β b + γ c, alors α = det B ( u, b, c ), β = det B ( a, u, c ) et γ = det B ( a, b, u ) III) Droites, plans et sphères 1) Le cas des plans Soit R = (O, a, b, c ) un repère de E (1) Plan P défini par la donnée d un point A(x A, y A, z A ) et de deux vecteurs non colinéaires u (α, β, γ) et w (α, β, γ ) : M(x, y, z) P ( AM, u, v ) sont non coplanaires λ, µ R, AM = λ u + µ v x = x A + λα + µα λ, µ R, det ( AM, u, v ) = 0 B x x A α α y y A β β = 0 z z A γ γ y = y A + λβ + µβ [répresentation paramétrique de P] z = z A + λγ + µγ [βγ β γ](x x A ) [αγ α γ](y y A ) + [αβ α β](z z A ) = 0 On obtient ainsi une équation cartésienne de P, elle peut se mettre sous la forme ax + by + cz = d avec (a, b, c) (0, 0, 0) [si on avait a = b = c = 0 alors u et v seraient coplanaires avec tous les vecteurs de E, et donc ils seraient colinéaires ce qui est exclu] Réciproquement l ensemble I = {M(x, y, z) / ax + by + cz = d} avec (a, b, c) (0, 0, 0) est un plan, effet supposons par exemple a 0 alors l équation équivaut x = d a b a y c az, on obtient ainsi x = d a + λ[ b a ] + µ[ c a ] une représentation paramétrique de I qui est y = λ, c est le plan passant par z = µ A( d a, 0, 0) et de base u ( b a, 1, 0) et v ( c a, 0, 1) Remarques :

9 Droites, plans et sphères 57 Si ax+by +cz = d est une équation d un plan P, alors l ensemble des vecteurs de ce plan admet comme équation ax + by + cz = 0 Si P admet comme équation ax+by +cz = d et P admet comme équation kax+kby +kcz = d avec k 0, alors P et P sont confondus si d = kd et strictement parallèles sinon (2) Plan P défini par trois points non alignés A(x A, y A, z A ), B(x B, y B, z B ) et C(x C, y C, z C ) : les vecteurs u = AB et v = AC sont non colinéaires et forment donc une base de P, on est ainsi ramené au cas précédent (3) Plan P défini par un point A(x A, y A, z A ) et un vecteur normal n (a, b, c) : le repère R est supposé orthonormal, on peut écrire alors : M(x, y, z) P AM et n sont orthogonaux AM n = 0 On trouve ainsi une équation cartésienne de P a(x x A ) + b(x y A ) + c(z z A ) = 0 Remarques : lorsque le repère est orthonormal, les coordonnées d un vecteur normal au plan se lisent sur l équation cartésienne du plan Si on connaît ( u, v ) une base du plan alors on peut prendre u v comme vecteur normal Définition 57 (Distance d un point à un plan) M Soit P un plan, M E, H son projeté orthogonal sur P et soit A P, alors AM 2 = AH 2 + HM 2, par conséquent la distance AM est minimale lorsque A = H auquel on a AM = HM, cette distance est appelée distance de M à P et notée : d(m, P) = HM A P H Calcul de d(m, P) : Soit n un vecteur normal au plan et A un point du plan, on a AH n, d où AM n = HM n = ±HM n et donc : AM n d(m, P) = HM = n Si P est donné par une équation cartésienne ax + by + cz = d dans un repère orthonormal, alors on peut prendre n (a, b, c) et on a AM n = a(x x A ) + b(y y A ) + c(z z A ) = ax + by + cz d car A P, par conséquent on a : d(m, P) = HM = ax + by + cz d a 2 + b 2 + c 2 Si P est donné par un point A et deux vecteurs non colinéaires u n = u v, on a alors AM n = [ u, v, AM ] d où : [ u, v, AM ] d(m, P) = HM = u v et v, alors on peut prendre

10 Droites, plans et sphères 58 2) Le cas des droites Soit R = (O, a, b, c ) un repère de E (1) Droite D définie par la donnée d un point A(x A, y A, z A ) et d un vecteur directeur u (α, β, γ) : M(x, y, z) D AM et u sont colinéaires t R, AM = t u x = x A + tα t R, y = y A + tβ z = z A + tγ [représentation paramétrique de D] (2) Droite définie comme l intersection de deux plans non parallèles : Soient P d équation ax + by + cz = d et P d équation a x + b y + c z = d non parallèles, c est à dire u (a, b, c) et u (a, b, c ) sont non colinéaires, soit D = P P alors : M(x, y, z) D M P et M P ax + by + cz = d [représentation cartésienne de D] a x + b y + c z = d Pour trouver les points de cette droite, on résout le système en prenant une des inconnues comme paramètre Remarques : ax + by + cz = 0 L ensemble des vecteurs de D admet comme équations a x + b y + c z = 0 À partir d une représentation paramétrique de D on peut trouver une représentation cartésienne en éliminant le paramètre Définition 58 (Distance d un point à une droite) M Soit D une droite, M E, H son projeté orthogonal sur D et soit A D, alors AM 2 = AH 2 + HM 2, par conséquent la distance AM est minimale lorsque A = H auquel on a AM = HM, cette distance est appelée distance de M à D et notée : H D d(m, D) = HM A Calcul de d(m, D) : HM est la hauteur du parallèlogramme construit sur u et AM : d(m, D) = HM = AM u u

11 Droites, plans et sphères 59 théorème 512 (perpendiculaire commune à deux droites) Soient D et D deux droites de E, il existe une droite D perpendiculaire à D et D et qui rencontre D et D Cette droite est unique lorsque D et D sont non parallèles u A H n P D H D u A D Soit A un point de D, A un point de D, D une perpendiculaire commune avec D D = {H} et D D = {H }, alors : AA 2 = AH + HH + H A 2 = [HH ] 2 + AH + H A 2 [HH ] 2 On voit ainsi que la distance AA est minimale lorsque AH + H A 2 = 0 c est ce qui se produit lorsque A = H et A = H, cette distance minimale vaut alors HH Définition 59 (Distance de deux droites) La distance minimale HH est appelée distance de D à D et notée : d(d, D ) = HH Calcul de d(d, D ) : Si les deux droites sont strictement parallèles d(d, D ) = d(a, D) = AA u u Si les deux droites sont sécantes d(d, D ) = 0 Si les deux droites sont non coplanaires : soit n = u u, d(d, D ) = HH = AA n n = [ AA, u, u ] u u

12 Droites, plans et sphères 60 3) Sphères Le repère R = (O, u, v, w ) est supposé orthonormal, la sphère de centre A(x A, y A, z A ) et de rayon R > 0 est par définition S (A, R) = {M E / AM = R}, par conséquent : M(x, y, z) S AM 2 = R 2 (x x A ) 2 + (y y A ) 2 + (z z A ) 2 = R 2 Intersection droite-sphère : C est une équation cartésienne de S Soit D une droite dirigée par a [unitaire], prenons comme repère R = (A, a, b, c ) de telle sorte que D soit dans le plan (A, a, b ) alors l équation de S est x 2 +y 2 +z 2 = R 2 et un système d équations y = d de D est avec d = d(a, D) Un point M(x, d, 0) est sur la sphère ssi x 2 = R 2 d 2, d où z = 0 la discussion : Si d(a, D) > R : alors S D = Si d(a, D) = R : alors il y a un seul point commun H(0, d, 0), c est le projeté orthogonal de A sur D, dans ce cas la droite D est dite tangente à la sphère (et elle est perpendiculaire au rayon (AH)) Si d(a, D) < R : alors il y a deux points communs I( R 2 d 2, d, 0) et J( R 2 d 2, d, 0) Intersection plan-sphère : Soit P un plan muni d une base orthonormale ( a, b ), prenons comme repère R = (A, a, b, c ) avec c = a b, alors une équation de S est x 2 + y 2 + z 2 = R 2 et une équation de P est z = d avec d = d(a, P), un point M(x, y, d) appartient à S ssi x 2 + y 2 = R 2 d 2, d où la discussion : Si d(a, P) > R : alors S P = Si d(a, P) = R : alors il y a un seul point commun H(0, 0, d), c est le projeté orthogonal de A sur P, dans ce cas le plan P est dit tangent à la sphère (et il est perpendiculaire au rayon (AH)) Si d(a, D) < R : alors S P = {M(x, y, d) / x 2 + y 2 = R 2 d 2 } dans le plan P muni du repère (H, a, b ) avec H(0, 0, d) le projeté orthogonal de A sur P, c est l équation du cercle de centre H et de rayon R 2 d 2 car HM = x a + y b Le plan tangent à S au point T 0 S est défini par T 0 M AT 0 = 0 A D A x y x y H droite-sphère plan-sphère Intersection sphère-sphère : montrer que l étude de l intersection entre deux sphères, se ramène à l étude précédente, c est à dire l intersection entre un plan et une sphère

13 Exercices 61 A x y H A sphère-sphère IV) Exercices Exercice 51 Soit R un repère de E, établir une équation du plan P dans les cas suivants : a) Passant par A( 1, 2, 3) et de base ( u, v ) avec u (1, 1, 1) et v (0, 1, 4) 3x y + z = 1 b) Contenant la droite D :, et tel que D x + y + z = 4 : x 4y + z = 2 2x y + z = 2 parallèle à P c) Passant par les points A( 1, 2, 3), B(2, 1, 4) et C(2, 1, 1) d) Passant par A( 1, 2, 3) et parallèle au plan d équation 3x + y z = 0 3x + y z + 2 = 0 e) Passant par A( 1, 2, 3) et contenant la droite D : x y + z 4 = 0 soit Exercice 52 Soit R un repère de E, établir un système d équations de la droite D dans les cas suivants : a) Passant par A( 1, 2, 3) et de vecteur directeur u (1, 2, 1) b) Passant par A( 1, 2, 3) et B(2, 1, 4) c) Passant par A( 1, 2, 3) et parallèle à la droite D 3x + y z + 2 = 0 : x y + z 4 = 0 Exercice 53 x = az + p L espace E est muni d un repère, soient D : et D x = a z + p : deux y = bz + q y = b z + q droites Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que D et D soient coplanaires

14 Exercices 62 Exercice 54 E est muni d un repère orthonormé, soit P le plan d équation 2x + y z = 1 et D la droite passant par A(1, 0, 2) et dirigée par u ( 1, 1, 2) a) Déterminer l expression de la projection orthogonale sur P Même question avec la symétrie orthogonale par rapport à P b) Déterminer l expression de la projection orthogonale sur D Même question avec la symétrie orthogonale par rapport à D Exercice 55 (O, i, j, k ) est un repère orthonormé direct, dans les cas suivants, on demande une équation du plan P : a) passant par A(1, 1, 1) et orthogonal à u (3, 1, 2) 2x y + z = 1 b) passant par A(2, 1, 1) et orthogonal à D : 3x + y + 2z = 2 Exercice 56 (O, i, j, k ) est un repère orthonormé : x y + z = 1 a) Soit D :, soit M(0, 1, 0), calculer d(m, D) 3(x + z) = 2 x = 1 + λ + µ b) Soit P : y = 1 + λ µ, soit M(1, 0, 2), calculer d(m, P) z = 1 + 2λ + 3µ Exercice 57 Montrer que pour tous vecteurs u, v, w de l espace, on a : ( u v ) w + ( v w ) u + ( w u ) v = 0 Exercice 58 Montrer que pour tous vecteurs a, b, c, d de l espace on a : ( a) a ) ( b c ) a c a d d = b c b d ( b) a ) ( b c ) d = [ a, c, d ] b [ b, c, d ] a = [ a, b, d ] c [ a, b, c ] d Exercice 59 Soient u, v, w trois vecteurs de l espace a) Montrer que [ u v, v w, w u ] = [ u, v, w ] 2 b) On suppose u, v, w non coplanaires, soient u = u v w = [ u, v, w ] v w [ u, v, w ], v = w u [ u, v, w ] i) Calculer les produits scalaires u u, u v et u w [idem avec v et w ] ii) Montrer que [ u, v, w 1 ] = [ u, v, w ] et

15 Exercices 63 Exercice 510 Soient D 1, D 2, D 3 trois droites du plan (muni d un repère) d équations respectives : a i x+b i y = c i avec i [[13]] Montrer que ces trois droites sont concourrantes ou 2 à 2 parallèles ssi : a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 = 0 On pourra considérer l espace E muni d un repère orthonormé (direct) et les a 3 b 3 c 3 trois vecteurs u (a 1, a 2, a 3 ), v (b 1, b 2, b 3 ) et w (c 1, c 2, c 3 )