THEME 1 : FONCTIONS (1) NOTIONS de FONCTIONS REPRESENTATIONS GRAPHIQUES

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1 THEME : FONCTIONS () NOTIONS de FONCTIONS REPRESENTATIONS GRAPHIQUES * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * A la fin du thème, tu dois savoir : Notion de fonction Vocabulaire : Image antécédent Courbe représentative d une fonction Calculer l image d un nombre par une fonction Lire graphiquement une image ou un antécédent Dresser un tableau de valeurs avec un tableur Construire une courbe à l aide d un tableur Construire une courbe avec un logiciel de géométrie ACTIVITE : «LA NOTION DE FONCTION» Partie A : «Une approche : le processus» Pour transformer des nombres, un mathématicien utilise trois processus : Le processus f calcule le double du nombre introduit. Le processus g calcule le racine carrée du nombre introduit. Le processus h calcule le carré du nombre introduit. ) Qu obtient-on après avoir utilisé le nombre 9 avec : Le processus f? : 9 = 8 Le processus g?: 9 = Le processus h? : 9 ² = 8 ) Qu obtient-on après avoir utilisé le nombre avec : Le processus f? : = 8 Le processus g?: = Le processus h? : ² = 6 ) Qu obtient-on après avoir utilisé le nombre avec : Le processus f? : Le processus g?: Le processus h? : Partie B : «Vers la notion de fonction» Le processus qui transforme chaque nombre utilisé s appelle une fonction. Le processus f qui transforme chaque nombre en son double est une fonction. On le note : f : a et on lit «la fonction f qui à associe» ) Note les fonctions g et h définies dans la partie A. La fonction g est notée : La fonction h est notée : g : a et se lit : «la fonction g qui à associe» h : a et se lit : «la fonction f qui à associe»

2 ) Complète : f : a 6 ; f : 7 a ; f : 5a 0 ; f : a g :6a ; g :,69 a, ; g : 8a 9 ; g : 65a 5 h : 5a 5 ; h : 5 a 5 ; h : a 6 ; h : 7 a 7 Partie C : «Le vocabulaire des fonctions» Image et antécédent Soit la fonction f : a. Cette fonction f, au nombre 5, associe son double, c est-à-dire 0 On dit que : l image de 5 par la fonction f est 0 et on note f ( 5 ) = 0 5 est un antécédent de 0 par la fonction f. f : 5a antécédent 0 image ) En utilisant les fonctions f, g et h définies dans la partie A, complète : L image de par la fonction f est 6 On a : f ( ) = 6 L image de 8 par la fonction f est 6 On a : f ( 8 ) = 6 L image de 9 par la fonction g est 7 On a : g ( 9 ) = 7 L image de 6 par la fonction h est 6 On a : h ( 6 ) = 6 Un antécédent de 0 par la fonction f est 5 ( car 5 = 0 Un antécédent de par la fonction g est ( car = ) ) Remarque importante : L image de par la fonction h est 6 ( ² = 6 ) L image de (- ) par la fonction h est 6 ( (- ) ² = ² = 6 ) Complète : «Les nombres et ont la même image par la fonction h. Le nombre 6 admet deu antécédents et par la fonction h» Un nombre peut-il avoir plusieurs images? : NON Un nombre peut-il avoir plusieurs antécédents? : OUI

3 Eercice n :. On désigne par et y les dimensions non nulles, en cm, d un rectangle dont l aire est égale à 0 cm². Eprime y en fonction de. Soit A l aire du rectangle, on a A = y. Avec A = 0, on a : y = 0 En eprimant y en fonction de, on a donc : y =. En multipliant un nombre par et en ajoutant au produit, on obtient un nombre y. Eprime y en fonction de. 0 Soit un nombre. On multiplie par, on a donc : On ajoute au produit, on obtient : + Le résultat est un nombre appelé y. C'est-à-dire y = + Eercice n : On considère une fonction f qui, à un nombre associe le double de son inverse.. Détermine le nombre associé par la fonction f, au nombre : ; ; - ; f ( ) = =. L image de par la fonction f est f ( ) = = =. L image de par la fonction f est f ( ) = =. L image de - par la fonction f est 8 8 f ( ) = = = =. L image de par la fonction f est 8 8. Définie la fonction f par une notation. 8. La fonction f est notée f : a Eercice n : On considère la fonction définie par : g : a.. Définie cette fonction à l aide d une phrase. La fonction g qui à associe comme image. Calcule g (6) et g (). g (6) = 6 = et g () = =

4 Eercice n : Voici des renseignements sur une fonction f. Complète : En français En mathématique L image de 5 est. f ( 5 ) = est l image de 7. f ( 7 ) = est l antécédent de 9. f ( ) = 9 6 a pour antécédent. f ( ) = 6. Eercice n 5 : Traduis chaque notation par une phrase contenant le mot «image» et par une égalité. a. f : a «a pour image par la fonction f». On a f ( ) = b. g : 7 a «7 a pour image par la fonction g». On a g ( 7 ) = c. h : a «a pour image par la fonction h». On a h ( ) = d. i : a + 9 «a pour image + 9 par la fonction i». On a i ( ) = + 9 Eercice n 6 : On considère la fonction j définie par j : a + 5 Calcule l image de chacun des nombres suivants : ; 6 ; 7 ; 0 ;. L image du nombre est j ( ) On a donc : j() = + 5 j() = + 5 j() = j() = 7 Conclusion : L image de par la fonction j est 7 L image du nombre 6 est j ( 6 ) On a donc : j( 6) = ( 6) ( 6) + 5 j( 6) = j( 6) = j( 6) = 6 Conclusion : L image de 6 par la fonction j est 6 L image du nombre 7 est j (7 ) On a donc : j(7) = j(7) = j(7) = j(7) = 87 Conclusion : L image de 7 par la fonction j est 87 L image du nombre 0 est j ( 0 ) On a donc : j(0) = j(0) = j(0) = j(0) = 5 Conclusion : L image de 0 par la fonction j est 5

5 L image du nombre est j ( ) On a donc : j = j = + 5 j = j = Conclusion : L image de par la fonction j est Eercice n 7 : On considère la fonction g : a. Calcule ), ), 7), ), ), ), 7), 6) ) = ( ) ) = 6 g ( ) = 5 ) = ( ) ) = g ( ) = 7) = ( 7) 7) = 7 g ( 7) = 6 ) = ) = g ( ) = 0 ) = ) = g ( ) = ) = ) = 6 g ( ) = 5 7) = 7 7) = 7 g ( 7) = 6 6) = 6 6) = 6 g ( 6) = 5. En utilisant la question précédente ; détermine, sans calculer, deu antécédents de 5, de et de 6. On remarque que et ont la même image 5. Donc deu antécédents de 5 sont et On remarque que et ont la même image. Donc deu antécédents de sont et On remarque que 7 et 7 ont la même image 6. Donc deu antécédents de 6 sont 7 et 7

6 Eercice n 8 : Une fonction h est telle que 7 a deu antécédents : et. La fonction h pourrait-elle être définie par h ( ) = 6? Pourrait-elle être définie par ) = 7? Justifie. Avec la fonction définie par h ( ) = 6 Méthode : La fonction h est définie par h ( ) = 6 On doit résoudre l équation h ( ) = 7 On a donc : 6 = 7 = = Cette équation admet donc deu solutions = et = Conclusion : Comme on a pas et comme antécédents, la fonction h ne peut pas être définie par h ( ) = 6 Méthode : On calcule l image de et de par la fonction h. h() = 6 h( ) = ( ) 6 On a : h() = 6 h() = 5 et h( ) = 6 h( ) = 5 Conclusion : Comme l image obtenue n est pas 7, alors la fonction h ne peut pas être définie par h ( ) = 6 Avec la fonction définie par ) = 7 En utilisant la méthode, on a : g ( ) = 7 = 7 et g ( ) = 7 ( ) = 7 Conclusion : Comme ici 7 a un seul antécédent, alors la fonction h ne peut pas être définie par ) = 7 Eercice n 9 :. Calcule la hauteur puis l aire d un triangle équilatéral de côté 5 cm. A Calcul de la hauteur : Comme ABC est un triangle équilatéral, alors la hauteur issue de A passe par le milieu de [BC], donc HC = BC : = 5 : =,5 (cm) Dans le triangle HAC rectangle en H, d après le théorème de Pythagore, on a : AC ² = HC ² + AH ² 5² =,5² + AH² 5 = 6,5 + AH² AH² = 5 6,5 AH² = 8,75 AH = 8, 75 Conclusion : La hauteur mesure 8, 75 cm. B H C Calcul de l aire du triangle équilatéral : BC AH 5 8,75 Soit A l aire du triangle, on a : A = = =,5 8, 75 Conclusion : L aire du triangle équilatéral mesure,5 8, 75 cm²

7 . On note le côté d un triangle équilatéral (en cm). Eprime sa hauteur en fonction de. En posant BC = AC =, on a HC = (cm) Dans le triangle HAC rectangle en H, d après le théorème de Pythagore, on a : AC ² = HC ² + AH ² ² = AH² = ² AH² = AH² = AH = + AH² Conclusion : La hauteur mesure en fonction de cm.. On appelle f la fonction qui a associe l aire du triangle équilatéral de côté. Détermine une epression de f. Soit A l aire du triangle, on a : A = f (5) = f ( 5) = BC AH = =. On a donc : Calcule f ( 5), f (), f ( ) 5 5 f ( ) = f () =,5 8,75 f ( ) = f ( ) =,5 6,75 f ( ) =,5 f : a Eercice n 0 : On considère la fonction h définie par h ( ) =. 5 Détermine le nombre qui n a pas d image par la fonction h. est définie si le dénominateur est non nul, c'est-à-dire si 5 0 soit encore 5 5 Conclusion : le nombre qui n a pas d image par la fonction h est le nombre 5.

8 ACTIVITE : «TABLEAU ET REPRESENTATION GRAPHIQUE D UNE FONCTIOIN» ) Complète le tableau suivant : Soit la fonction f : a 5,5,5,5,5 0,7 0,5 0, 0 y = f() 5 0,5,5 9 6,5,5 0,9 0,5 0,09 0 0, 0,5 0,7,5,5,5,5 5 y = f() 0,09 0,5 0,9,5 6,5,5 0,5 5 ) Représentation graphique: Sur une feuille de papier millimétré, trace un repère en prenant le cm comme unité sur chaque ae. ( On tracera l ae des abscisses en bas de la feuille ) Place les points de coordonnées ( ; y), avec y = f( ), calculées précédemment dans le tableau de la question ). Relie à main levée les points obtenus par une courbe régulière. On admet que le tracé effectué est la courbe représentative de la fonction f ) Lecture graphique a. Quelle est l image du nombre? : f ( ) = b. Quelle est l image du nombre? : f ( ) = 9 c. Quelle est l image du nombre? : f ( ) = 6 d. Quels semblent être les antécédents du nombre 5? : environ, et, Vérifie en résolvant l équation f ( ) = 5 0n a : f ( ) = ² soit ² = 5 L équation admet deu solutions = 5, et = - 5 -, e. Détermine les antécédents du nombre, puis résous l équation correspondante pour vérifier la réponse. Graphiquement les antécédents du nombre sont environs, et, 0n a : f ( ) = ² soit ² = L équation admet deu solutions =, et = - -, f. Détermine approimativement, par lecture graphique, les antécédents du nombre. Quelles sont les valeurs eactes de ces antécédents? Graphiquement, les antécédents du nombre sont et Les antécédents du nombre sont = et =

9 y = ² 6 9 6,5,

10 Eercice n : Soit f la fonction définie par Complète le tableau de valeurs suivant : f ( ) =. 0 f () 08 0 f () = = 08 ; f () = = ; f () = = ; f (0) = 0 = 0 ; f ( ) = ( ) = ; f ( ) = ( ) = Eercice n : Soit g la fonction définie par Complète le tableau de valeurs suivant : g ( ) = +. 0 ) 0,5 0,5 0,75 0,5 0,75,5 ( ) g ( ) = = = = 0, 5 ; g (0) = = = = 0, g = = = = = = : = = = 0, = = + + g = = = 0, 5 ; g () = = = = 0, g () = = = =, 5 Eercice n :,5 0,5 f Ce graphique représente deu fonctions : f et g. a. Quelle est l image de par f? b. Quelle est l image de par g? ,5 c. Donne des valeurs pour : - g f ( ) = 0,5 g ( 0 ) = 0 L image de par g : g ( ) = 0,5 L image de par g et f : g ( ) = et f ( ) =,5

11 - 0 6 Eercice n : g est une fonction définie par ce graphique. a. Lire les images de 0, de, de 5. L image de 0 par la fonction g est L image de par la fonction g est environ,7 L image de 5 par la fonction g est 0 b. Lire les antécédents de, de. Il y a trois antécédents de : 0, et 6 Les antécédents de sont tous les nombres compris entre et. c. Cite un nombre qui n a pas d antécédent. Le nombre n a pas d antécédent. 5 Eercice n 5: Ce graphique définie une fonction f. a. Lire f (0,5), f ( ) et f (0). f (0,5) = 0, f ( ) =, f (0) = ,5 Cite un nombre qui : n a aucun antécédent : le nombre 5 a un seul antécédent : le nombre a trois antécédents : le nombre a deu antécédents : le nombre 0 a plus de trois antécédents : le nombre. Eercice n 6: On a représenté une fonction h pour des valeurs de comprises entre et 9. Par lecture graphique, détermine : a. L image par h du nombre 8 est b. h ( ) = c. Les antécédents par h du nombre 0 : et 7 d. L image par h du nombre : e. Les antécédents par h du nombre : et 6 - f. Les antécédents par h du nombre : Il y a, 0, et 8

12 Eercice n 7: Tableau comparatif fonction Les points Passage par sont alignés l origine Allure de la, représentation Droite Image négatives Images positives Proportionnalité fonction Droite fonction Parabole fonction Courbe fonction 5 Courbe