Devoir Maison de Mathématiques 1

Transcription

1 BCPST /2017 Devoir Maison de Mathématiques 1 On souhaite résoudre l équation (E) suivante : P (z) = 0 (E) d inconnue z complexe avec P le polynôme X 3 6X Dans un premier temps, on cherche à approximer l une des racines de P afin de le factoriser. (a) Donner le nombre de racines réelles de P. Montrer en particulier que P s annule une seule fois sur [1, 5]. On note α le réel tel que P (α) = 0 et α [1, 5]. (b) On définit les suites (a k ) k N et (b k ) k N de la façon suivante : a 0 = 1 et b 0 = 5. Pour tout entier naturel k, on note c k = a k + b k et : 2 { { a k si P (a k )P (c k ) 0 b k si P (a k )P (c k ) > 0 a k+1 = et b k+1 = sinon sinon c k i. Proposer une fonction en Python prenant en entrée un entier naturel k et renvoyant (a k, b k ). ii. En déduire des conjectures concernant les limites de (a k ) k N et (b k ) k N. iii. Démontrer que, pour tout entier naturel k, on a : b k a k = 1 2 k 2. iv. En déduire les limites de (a k ) k N et (b k ) k N. v. En déduire une fonction en Python prenant en entrée un entier naturel n et renvoyant une approximation à 10 n près de α. vi. En déduire la valeur de α. (c) Résoudre (E). 2. Dans un deuxième temps, on suppose qu il existe z 0 un complexe vérifiant l équation (E). On suppose qu il existe u et v deux complexes tels que u + v = z 0 et u v = 2. On va chercher un polynôme du second degré dont u 3 et v 3 sont les racines, cela nous permettra d expliciter u 3 et v 3 puis u et v et enfin de résoudre (E). (a) i. Démontrer que u 3 + v 3 = 4. ii. Soient a et b deux complexes. On suppose que z 1 et z 2 sont deux complexes tels que z 1 + z 2 = a et z 1 z 2 = b. Expliciter un polynôme du second degré dont z 1 et z 2 sont les racines. iii. En déduire les valeurs de u 3 et v 3. (b) i. Résoudre l équation z 3 = 1 d inconnue z complexe. ii. On note j le complexe tel que j 3 = 1 et Im (j) > 0. Prouver que j est bien définie et expliciter le. ( ) ( ) 11π 11π iii. Expliciter (1 + i) j et en déduire les valeurs exactes de cos et sin iv. Posons w = 2 + 2i, résoudre l équation z 3 = w d inconnue z complexe. (c) En déduire de nouveau les solutions de (E). c k

2 BCPST /2017 Devoir Maison de Mathématiques 2 Pour tout réel t strictement positif, on définit la suite (x n (t)) n N par : x 0 (t) = t et n N, x n+1 (t) = x n (t) ainsi que les deux suites (u n (t)) n N et (v n (t)) n N définies par : n N, u n (t) = 2 n (x n (t) 1) et v n (t) = u n(t) x n (t). 1. (a) Soit g : t t t. Étudier le signe de g. (b) En déduire que, si t est un réel supérieur à 1, (x n (t)) n N converge et déterminer sa limite. (c) Étudier (x n (t)) n N si t est un réel inférieur à Dans cette question, t est un réel strictement positif fixé. (a) Proposer une fonction en Python prenant en entrée un entier naturel n et un réel T strictement positif et renvoyant [[u 0 (T ),, u n (T )], [v 0 (T ),, v n (T )]]. (b) Que conjecturer sur les suites (u n (t)) n N et (v n (t)) n N? (c) Montrer que les suites (u n (t)) n N et (v n (t)) n N sont adjacentes, on note L(t) leur limite. (d) En déduire une fonction en Python prenant en entrée un réel T strictement positif et renvoyant une approximation à 10 3 près de L(T ). 3. On considère désormais la fonction f suivante : { R + R f : t L(t). (a) Représenter f et conjecturer ce qu est f. (b) Démontrer que L(t) est un élément de [1 1t ], t 1. (c) Montrer que f est dérivable en 1 et donner f (1). (d) On fixe dans cette question deux réels strictement positifs t 1 et t 2. i. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : x n (t 1 t 2 ) = x n (t 1 ) x n (t 2 ). (e) ii. En déduire lim (u n(t 1 t 2 ) u n (t 1 ) u n (t 2 )). n + iii. Donner une relation entre f(t 1 t 2 ), f(t 1 ) et f(t 2 ). i. Montrer que, pour tout réel t strictement positif et tout réel h tel que t + h soit strictement positif, on a : ( f(t + h) f(t) = f 1 + h ). t ii. En déduire que f est dérivable et déterminer f. iii. Expliciter f.

3 BCPST /2017 Épreuve A Agrovéto 2009 (Extrait) Durée approximative: 2h Devoir Maison de Mathématiques 3 Soient E un espace vectoriel réel de dimension 3 et ( e 1, e 2, e 3 ) une base B de E. Considérons l endomorphisme u de E tel que Mat B (u) = A avec A = Pour tout réel λ, on appelle E λ l ensemble { x E tel que u( x ) = λ x }. 1. Diagonalisation de u (a) Donner une base ( e 1 ) de E 2 et une base ( e 2, e 3 ) de E 1. (b) Montrer que ( e 1, e 2, e 3 ) est une base de E. On la note B. (c) Expliciter la matrice de u dans B. 2. Recherche des «racines carrées» de u (a) On suppose qu il existe un endomorphisme v de E tel que v v = u. i. Démontrer que u v = v u. ii. Démontrer que u ( v( e 1 ) ) = 2v( e 1 ). iii. En déduire qu il existe un réel r tel que v( e 1 ) = r e 1. iv. Soit x un vecteur tel que u( x ) = x. Démontrer que u ( v( x ) ) = v( x ) et en déduire que v( x ) appartient à Vect( e 2, e 3 ). v. En déduire qu il existe des nombres réels h, x, y, z et t tels que h 0 0 Mat B (v) = 0 x y 0 z t vi. En déduire que r 2 = 2 avec r le réel tel que v( e 1 ) = r e 1. (b) Existe-t-il des endomorphismes v de E tels que v v = u? 3. Construction d une base de E dans laquelle la matrice de u est de diagonale nulle Nous constatons que la somme des éléments diagonaux de A est nulle et nous nous proposons de démontrer qu il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est de diagonale nulle. (a) Mettons en place notre premier changement de base. i. Démontrer que la famille ( e1, u( e 1 ) ) est libre. ii. Soient a, b et c trois réels. Démontrer que a e 1 +b e 2 +c e 3 appartient à Vect ( e1, u( e 1 ) ) si et seulement si 4b c = 0. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que la famille ( e1, u( e 1 ), a e 1 + b e 2 + c e 3 ) soit une base de E.

4 Dans la suite de ce problème, e 3 désigne le vecteur e 1 + e 2 + e 3. On note alors B la famille ( e1, u( e 1 ), e 3 ). iii. Justifier que B est une base de E. iv. Écrire la matrice de u dans la base B. La matrice obtenue est de la forme A = où α, β, γ, δ, λ, µ désignent des nombres réels. 0 α β 1 γ δ 0 λ µ (b) Soit C = ( (1, 0), (0, 1) ) la base canonique de R 2. Considérons l endomorphisme f de R 2 défini par ( ) γ δ Mat C (f) =, λ µ où les nombres γ, δ, λ, µ ont été calculés à la question précédente. On appelle C la famille ( (0, 1), f((0, 1)). i. Démontrer que C est une base de R 2 et écrire la matrice de f dans la base C. ii. On appelle a, b, c et d quatre réels tels que : ( ) a c = Mat C (C ). b d Calculer u (au( e 1 ) + b e 3 ) et u (cu( e 1 ) + d e 3 ). (c) En déduire une base de E dans laquelle la matrice de u est de diagonale nulle.

5 BCPST /2017 Devoir Maison de Mathématiques 4 On définit, pour tout entier naturel non nul n, les deux quantités suivantes : J n = 1 1. On va d abord prouver que (J n ) n N tend vers (1 + x 3 ) dx et I 1 n n = 0 (1 + x 3 ) dx. n (a) i. Montrer que la suite (J n ) n N est décroissante. ii. Montrer que la suite (J n ) n N est convergente. On note l sa limite. (b) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, on a : J n 3n = 1 3n 2 + (J n n J n+1 ). (c) En déduire la nature de n 1 J n n. (d) Que peut-on en déduire sur l? 2. (a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, I n est bien définie. (b) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, on a : dx (1 + x 3 ) n 3n 1. (c) En déduire que la suite (I n ) n N converge vers (a) Déterminer trois réels a, b et c tels que : x R +, x = a x + bx + c 1 x + x. 2 (b) En déduire que I 1 = 2π 3 3. (c) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, on a : I n+1 = 3n 1 3n I n. 4. Écrire une fonction en Python qui, étant donné un entier naturel non nul n, calcule et affiche la valeur de I n. Vérifier que la suite (I n ) n N converge bien vers 0.

6 BCPST /2017 Épreuve B Agrovéto 2013 (Extrait) Durée approximative: 3h Devoir Maison de Mathématiques 5 Pour deux événements A et B d un même espace probabilisé, on notera P (A) la probabilité de A et, si P (B) 0, P (A B) la probabilité conditionnelle de A sachant B. Le but de ce problème est de définir et d utiliser dans des cas simples la notion d espérance conditionnelle, dont la définition dans le cas de variables discrètes est donnée ci dessous et servira dans les parties A, B et C. Les parties A, B, C sont indépendantes. Pour n et p deux entiers naturels non nuls, soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs respectivement dans 0, n et 0, p. On suppose que, pour tout i 0, p, P (Y = i) 0. On appelle espérance conditionnelle de X sachant (Y = i) la quantité E(X Y = i) = n kp (X = k Y = i). k=0 A) Question préliminaire Avec les notations de la définition ci-dessus, montrer, à l aide de la formule des probabilités totales, la relation suivante : E(X) = p E(X Y = i)p (Y = i). i=0 Cette relation, connue sous le nom de formule de l espérance totale, sera utilisée dans les parties A, B et C de ce problème. Nous y ferons référence sous le nom ( ). B) Étude d un premier exemple 1) Soient U et V deux variables aléatoires indépendantes et de même loi uniforme sur 0, 3. On note M la variable aléatoire dont la valeur est égale au maximum de la valeur de U et de la valeur de V, soit M = max(u, V ). a) Donner la loi conjointe du couple (U, V ). b) Représenter dans un tableau la loi conjointe du couple (U, M). En déduire la loi marginale et l espérance de M. 2) Le but de cette question est de généraliser le résultat de la question précédente. Soit n un entier naturel non nul. U et V désignent désormais deux variables aléatoires réelles discrètes, indépendantes, de même loi uniforme sur 0, n. On note alors M = max(u, V ) la variable aléatoire égale à la valeur maximale prise par U et V. n a) Calculer la valeur de k pour un entier naturel i tel que i < n. b) Montrer que : n i 2 = i=0 k=i+1 c) Montrer que E(M U = n) = n. n(n + 1)(2n + 1). 6 d) On considère i un entier naturel tel que i < n. i) Montrer que : E(M U = i) = ip (M = i U = i) + ( ) n kp (M = k U = i). k=i+1

7 ii) Montrer que, pour tout k de i + 1, n, on a : P (M = k U = i) = 1 n + 1. n iii) En déduire la valeur de kp (M = k U = i) en fonction de i et n. k=i+1 iv) Que vaut P (M = i U = i)? v) Calculer E(M) en fonction de n à l aide de la relation (*). Ce résultat est-il cohérent avec celui obtenu dans la question B)1)b)? C) Étude d un second exemple Étant donné b un entier naturel non nul, on considère une urne contenant b boules blanches. Les autres boules, au nombre de c, c entier naturel, sont noires. L urne contient ainsi b + c boules, on note N cette quantité. On tire les boules une à une et sans remise. On s intéresse au nombre Y N de boules noires tirées avant d obtenir la première blanche (l indice N marque la dépendance de Y par rapport au nombre total de boules dans l urne avant le premier tirage). On pose u N = E(Y N ) et on raisonne par récurrence sur N pour une valeur de b fixée. X 1 désigne la variable de Bernoulli égale à 1 si la première boule tirée est blanche et 0 sinon. 1) Quelles sont les valeurs possibles de Y N? 2) Que vaut E(Y N X 1 = 1)? 3) On suppose dans cette question N > b. Justifier, pour tout i de 1, N b, l égalité P (Y N = i X 1 = 0) = P (Y N 1 = i 1). 4) En déduire que E(Y N X 1 = 0) = 1 + u N 1 si N > b. 5) Déduire de la relation ( ) qu on a u N = (1 + u N 1 ) N b si N > b. N 6) Que vaut u b? Déterminer u b+1, u b+2 à l aide de la question précédente. 7) Donner E(Y b+k ) pour tout k entier naturel. D) Étude d un troisième exemple On s intéresse maintenant au problème suivant. Pour un examen, une liste de N (avec N un entier supérieur à 2) questions a été fournie aux étudiants pour leurs révisions. Le jour de l examen, n (avec n un entier naturel inférieur à N) questions de la liste, choisies aléatoirement, sont posées sous forme de questionnaire à choix multiple (QCM), avec quatre réponses possibles à chaque fois dont une seule est juste. Chaque réponse juste rapporte un point, les réponses fausses rapportent zéro point. Les questions sont indépendantes entre elles. On s intéresse ici à un étudiant donné, qui a révisé et connaît la réponse à b (avec b un entier naturel inférieur à N) questions de la liste. Le jour de l examen, il se retrouve donc face à n questions, chacune de l un ou l autre des deux types suivants : Celles qui sont parmi les b qu il a révisées et dont il connaît la réponse ; on note C la variable aléatoire égale au nombre de ces questions ; Celles qu il n a pas révisées, auxquelles il donne une réponse au hasard parmi les quatre fournies («au hasard»signifiant ici qu il possède une chance sur quatre de donner la bonne réponse) ; on note D le nombre de ces questions auxquelles l étudiant répond correctement. On supposera dans la suite que 1 n b et n N b. On note Y le nombre total de points obtenus par l étudiant à son examen. Le but est le calcul de l espérance de Y. 1) Quelle est la loi suivie par C? En déduire E(C).

8 2) Soit k 0, n. Déterminer la loi conditionnelle de D sachant [C = k]. En déduire E(D C = k). 3) Calculer E(D) à l aide de la relation (*), puis E(Y ).

9 BCPST /2017 Devoir Maison de Mathématiques 6 On note B la base canonique du C-espace vectoriel C 4 et id l endomorphisme identité de C 4. On note M 4 (C), respectivement M 4 (IR), l ensemble des matrices carrées d ordre 4 à coefficients dans C, respectivement dans IR. On définit les matrices suivantes : I = et J = On note g l endomorphisme de C 4 dont la matrice dans la base B est J. Pour tout quadruplet (a 1, a 2, a 3, a 4 ) C 4, on note M (a1,a 2,a 3,a 4 ) la matrice l endomorphisme de C 4 dont la matrice dans la base B est M (a1,a 2,a 3,a 4 ). Première partie 1. Résoudre l équation z 4 = 1 d inconnue z complexe. 2. On note Sp (g) l ensemble des valeurs propres de g. (a) Expliciter J 4. (b) Soit λ une valeur propre de g, montrer que λ 4 = 1. (c) En déduire que Sp (g) = {1, i, 1, i}. 4 a k J k 1 et f (a1,a 2,a 3,a 4 ) (d) Déterminer une base de chaque sous-espace propre associé formée de vecteur(s) dont la première composante dans la base canonique est 1. (e) L endomorphisme g est-il diagonalisable? 3. On considère un quadruplet (a 1, a 2, a 3, a 4 ) de C 4, on l appelle A. (a) Calculer les coefficients de la matrice M A. (b) Montrer que f A est combinaison linéaire de id, g, g g et g g g. (c) Calculer l image par f A des vecteurs propres de g déterminés à la question 2. (d) En déduire que l endomorphisme f A est diagonalisable et donner une matrice diagonale à laquelle M A est semblable. z Pour tout z C, on note M(z) la matrice M(z) = 1 z z z (a) Déterminer les valeurs propres de M(z). (b) Déterminer l ensemble des complexes z pour lesquels la matrice M(z) est inversible. (c) Soient n IN, k IN et z C. i. Calculer ( M(1) ) k et ( M(z) M(1) ) k. ii. En déduire une expression de ( M(z) ) n à l aide de z, n, M(1) et I. k=1

10 5. (a) Écrire une fonction en Python qui, étant données deux matrices de M 4 (IR), renvoie le produit matriciel des deux matricesà l aide de boucles for. (b) Écrire une fonction en Python qui, étant donnés une matrice de M 4 (IR) et un entier naturel n, renvoie la puissance n-ième de la matrice en utilisant la fonction précédente. (c) Écrire une fonction en Python qui, étant donnés un réel z et un entier naturel n, évalue (M(z)) n. (d) Écrire une fonction en Python permettant de vérifier la formule de la question 4. Commenter les résultats obtenus. Seconde partie On note IR 3 [X] l ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à 3. On note P 0, P 1, P 2, P 3 les polynômes suivants : P 0 = 1, P 1 = X, P 2 = X 2, P 3 = X 3. On rappelle que B 1 = (P 0, P 1, P 2, P 3 ) est une base du IR-espace vectoriel IR 3 [X]. Pour tout polynôme P de IR 3 [X], on définit h(p ) par : h(p ) = ( 1 X 2) [ P (0) P ( )] (0) P (0) + X P (0) Montrer que h est un endomorphisme de IR 3 [X]. 2. Déterminer la matrice de h dans la base B Déterminer l ensemble des valeurs propres réelles de h. 4. L endomorphisme h est-il diagonalisable? 5. Déterminer une base de l image et du noyau de h.

11 BCPST /2017 Devoir Maison de Mathématiques 7 Épreuve G2E 2016 (Extrait) Durée approximative: 2h Dans tout le problème n désigne un entier naturel non nul et a, λ et λ sont des réels strictement positifs. Dans la partie A, on détermine l ensemble de définition d une fonction définie par une intégrale. Dans la partie B, on établit quelques propriétés remarquables de cette fonction et on en calcule des valeurs. Cette fonction est utilisée dans la partie C pour construire une densité de probabilité dont on constate qu elle est en lien avec les lois de Poisson. Partie A : Ensemble de définition d une fonction définie par une intégrale Soit Γ la fonction définie sur une partie de R par : Γ : x + 0 e t t x 1 dt. Soit x un réel. ( 1. (a) Calculer lim e t t x+1) et en déduire qu il existe T [1, + [ tel que : t + t [1, + [, t T e t t x 1 1 t 2. (b) Pour quelles valeurs de x, (c) Démontrer que 1 de cette intégrale. (d) En déduire que e t t x 1 dt est-elle convergente? t x 1 dt converge si et seulement si x > 0 et donner dans ce cas la valeur e t t x 1 dt converge si et seulement si x > Déduire des questions précédentes l ensemble de définition de Γ. Partie B : Quelques propriétés de cette fonction 1. (a) Démontrer que : x R +, Γ(x) > 0. (b) Démontrer que : x R +, Γ(x + 1) = xγ(x). (c) Calculer Γ(1) puis démontrer par récurrence que pour tout n N, Γ(n) = (n 1)!. 2. On admet que Γ a une limite en 1, en 0 + et en +. (a) Déterminer ces trois limites. ( ) Γ(x) (b) Déterminer également lim x + x

12 3. (a) Rappeler la valeur de + e x2 2 dx et en déduire + 0 e x2 2 dx. (b) A l aide d un changement de variable que l on justifiera avec soin, démontrer que : ( ) 1 Γ = π. 2 ( (c) En déduire enfin, pour tout n N, une expression de Γ n + 1 ) à l aide de factorielles. 2 Partie C : Une densité de probabilité On rappelle que a, λ et λ sont des réels strictement positifs et on considère la fonction f a,λ définie sur R par : λ a f a,λ : x Γ(a) e λx x a 1 si x > 0 0 si x 0 1. (a) Etudier la continuité de f a,λ sur R et déterminer à quelle condition nécessaire et suffisante, f a,λ est continue sur R. (b) Etudier les variations de f a,λ sur R (a) Justifier que f 1,λ est une densité de probabilité d une variable aléatoire suivant une loi que l on précisera. (b) Plus généralement, montrer que f a,λ est une densité de probabilité d une variable aléatoire X. (c) Quelle est alors une densité de la variable aléatoire λ λ X? 3. Démontrer que : E(X) = a λ. 4. On suppose dans cette dernière question que a est un entier naturel non nul et on note t un réel strictement positif. Z désigne une variable aléatoire suivant une loi de Poisson. (a) Démontrer que la fonction ci-dessous est une primitive de f a,λ sur R : (b) En déduire P (X > t). a 1 (λx) k x R e λx si x > 0, F a,λ (x) = k! k=0 0 si x < 0 (c) En déduire enfin que P (X > t) = P (Z < a) en précisant le paramètre de la variable aléatoire Z.