TRANSLATION ET VECTEURS

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1 TRANSLATION ET VECTEURS w Série N 2 NIVEAU : 1 ère année Exercice N 1 : 1 ) Quelles sont les images de A ; C ; H ; D et L par la translation de vecteur GA? 2 ) Quels sont les vecteurs égaux au vecteur u? 3 ) Quelles sont les images de K ; D ; B ; I et G par la translation de vecteur HA? 4 ) Quel point a pour image A par la translation de vecteur CD? 5 ) Quel point a pour image H par la translation de vecteur EA? 6 ) Quel point a pour image J par la translation de vecteur LH? 7 ) Quelles sont les images de L ; H et D par la translation de vecteur KB? 8 ) Quelles sont les images de F ; I ; B et E par la translation de vecteur JB? 9 ) Donner tous les vecteurs égaux au vecteur BI. 10 ) Donner tous les vecteurs égaux au vecteur CA. Exercice N 2 : 1 ) Construire E et F, images des points A et B par la translation de vecteur DC. Ecrire les égalités de 2 ) Construire G et H, images des points D et A par la translation de vecteur CA. Ecrire les égalités de 3 ) Construire I et J, images des points E et D par la translation de vecteur AC. Ecrire les égalités de 4 ) Quelle est l image du point G par la translation de vecteur AI? 5 ) Quelle est la nature du quadrilatère AFBG? Justifier. 6 ) Quelle est la nature du quadrilatère CJGH? Justifier. 7 ) Quelle est la nature du quadrilatère ECGH? Justifier. 8 ) Que représente A pour EG? Justifier. 9 ) Que représente C pour DI? Justifier. 1

2 Exercice N 3 : Sur la figure ci-contre ABCD est un parallélogramme et le point F est l image de E par la translation de vecteur AB. 1 ) Quelle est l image de A par la translation de vecteur AB? l image de D? 2 ) Quelle est l image de A par la translation de vecteur DC? l image de D? l image de E? 3 ) Pourquoi DC EF 4 ) Recopier et compléter les vectorielles : CD... AD... 5 ) Montrer que ABFE est un parallélogramme. Exercice N 4 : Soit ABF un triangle On pose C est l image de B par la translation de vecteur AB et E est l antécédent de F par la translation de vecteur AB. Construire C et E. 1 ) Montrer que F est l image de C par la translation de vecteur BE. 2 ) Déterminer l image de (EF) par la translation de vecteur AB. 3 ) Construire l image de (EA) par la translation de vecteur AB. Exercice N 5 : On considère un parallélogramme ABCD, et les points I, K et H tels que : IB et H est l image de C par la translation de vecteur BC. 1 ) Construire les points I, K et H 2 ) Déterminer les droites et ' tels que : l image de (BC) par la translation de vecteur AD. ' l image de (AD) par la translation de vecteur AH. 3 ) Montrer que HK DB Exercice N 6 : On donne un triangle ABC. 1 ) Construire le point D tel que AD BC. 2 ) Montrer que AB DC. CI, I est le milieu de AK 3 ) a) est une droite qui passe par le point C et parallèle à la droite (BD) coupe (AB) en E et (AD) en F. Montrer que BE DC et BC DF. b) En déduire que C est le milieu de EF. 2

3 Exercice N 7 : On considère un parallélogramme ABCD et les points I, K et H définis par : IB segment AK et HC CB. 1 ) Faire un dessin (en justifiant). 2 ) Donner trois représentants de chacun des vecteurs AB et BC. 3 ) Montrer que HK DB. 4 ) Prouver que C est le centre de gravité du triangle AHK. 5 ) Construire le point S symétrique de A par rapport à C. En déduire que C est le centre de gravité du triangle SBD. Exercice N 8 : CI ; I est le milieu de A et B sont deux points distincts. Déterminer dans chaque cas l ensemble des points M et le construire. 1 ) AM AB. 2 ) AM AB. 3 ) AM BM. 4 ) AM=BM. 5 ) ( AM) ( AB). 6 ) ( AM) ( MB). Exercice N 9 : Le sommet P du triangle MNP n est pas représenté. Sans sortir du cadre construire un triangle de même périmètre que MNP. (Penser à construire l image du triangle MNP par une translation convenable). Exercice N 10 : Tracer un triangle ABC. On note H le pied de la hauteur issue de A. 1 ) Construire le triangle CB C image de ABC par la translation de vecteur AC. 2 ) Soit H le pied de la hauteur de CC B issue de C. Démontrer que H est l image de H par la translation de vecteur AC. 3

4 Exercice N 11 : On considère un triangle ABC et un rectangle EBCD. La perpendiculaire à (AC) passant par E coupe la perpendiculaire à (AB) passant par D en un point K. 1 ) Faire une figure. 2 ) Construire le point H image du point K par la translation de vecteur EB. Que représente le point H pour le triangle ABC? Exercice N 12 : Tracer un cercle C de centre O et de rayon 3cm et placer un point O tel que OO = 5cm. 1 ) Tracer C l image de C par la translation de vecteur OO '. 2 ) Les cercles C et C se coupent en I et J. Construire le point I image de I par la translation de vecteur OO '. 3 ) Montrer que les droites (IJ) et (I I ) sont perpendiculaires. 4 ) Montrer que O, J et I sont alignés. 5 ) Placer un point M sur C et construire M son image par la translation de vecteur OO '. 6 ) Quelle est la nature du triangle JI M? 7 ) Montrer que lorsque M varie sur le cercle C, l orthocentre du triangle JMM reste fixe. Exercice N 13 : ABCD est un rectangle de centre O surmonté d un triangle équilatéral I DC et tel que CAD 60. Soit H L orthocentre du triangle IDC. 1 ) Déterminer les images respectives de D,C et (IH) par la translation du vecteur DA. 2 ) Montrer que l image de (HD) par la translation du vecteur DA est (AC). 3 ) Montrer que O est l image de H par la translation du vecteur DA. 4 ) Soit le cercle C de centre C et passant par O et le cercle de centre D Déterminer et construire C l image de C par la translation du vecteur DA. 5 ) a) Déterminer une translation qui transforme (OI) en (DA). b) Soit le cercle C de centre D et passant par I existe-t-il une translation qui transforme C en C. Exercice N 14 : Dans la figure ci-dessous et sont deux droites sécantes. A et B sont deux points distincts de et D est un point de. Soit C l image de D par la translation de vecteur AB et E l image de D par la translation de vecteur AC. 4

5 A 1 ) Construire C et E. 2 ) Montrer que C est le milieu du segment [EB] 3 ) Déterminer l image de par la translation du vecteur AC et l image de (DE) par la translation du vecteur AC. 4 ) Soit c le cercle de centre A et passant par B et c le cercle de centre c et passant par D. Montrer que c est l image de c par la translation du vecteur AC. B On suppose que A et B son fixent et D est un point variable sur la droite Déterminer et construire l ensemble des points C lorsque D varie. Exercice N 15 : Soit C un cercle de centre O de diamètre [ CD] et soit A un point de C distinct de C et D. 1 ) Construire C l image de C par la translation t de vecteur CA. (on désigne par O le centre de C ) 2 ) La droite (AC) rencontre C en B. La droite passant par B et perpendiculaire à (AC) rencontre C en F a) Déterminer l image de (AC) par la translation de vecteur CA. b) Montrer que B est l image de A par la translation de vecteur CA. c) En déduire que (BF) est l image de (AD) par la translation de vecteur CA. 3 ) Soit [AH] l hauteur issue A dans le triangle ACD et [BH ] l hauteur issue B dans le triangle BCD. Montrer que (BH ) est l image de (AH) par la translation de vecteur CA. 4 ) On suppose que M est un variable sur la droite (AH) et M son image par la translation de vecteur CA. Déterminer l ensemble des point M lorsque M varie. Exercice N 16 : Soit un cercle c de rayon r et A et B deux points distincts et extérieurs à c tel que AB <2r. Construire deux points M et N du cercle c tel que ABNM soit un parallélogramme 5