Classes de 3 ème Brevet Blanc de MATHEMATIQUES Jeudi 19 Mai 2011

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1 Durée 2 heures. La calculatrice est autorisée. Il sera tenu compte de la clarté et de la présentation de la copie. (4 points sur 40) ACTIVITES NUMERIQUES 12 points Exercice 1 Pour les questions 1 et 2 écrire les différentes étapes de calcul. On pose : A = B = ² C = Calculer A et donner le résultat sous forme d une fraction irréductible. 2. Calculer B et donner une écriture scientifique du résultat, puis une écriture décimale de ce résultat. 3. a. Donner la valeur décimale arrondie au millième de C. b. Écrire C sous la forme a 2 où a est un entier. Exercice 2 1. Développer (x 1) 2. Justifier que 99 2 = en utilisant le développement précédent. 2. Développer (x 1)(x + 1). Justifier que = en utilisant le développement précédent. Exercice 3 Dans cet exercice, on utilisera le programme de calcul suivant : choisir un nombre x; retrancher 3 au double de x; élever le résultat au carré; retrancher 16 au résultat obtenu. 1) Si on choisit x = 5, quel résultat final obtient-on? 2) Indiquer parmi, les expressions suivantes, celle qui décrit le programme donné : (a) 2x 3x² - 16 (c) (2x 3)² - 16 (e) (3x 16)² - 2 (b) [(x 3)² 2]² - 16 (d) 16 [2 (x 3)²] 3) a) On pose F = (3x 16)² - 2 Développer et réduire F. b) On pose E = (2x 3)² Montrer que E = (2x 7)(2x + 1). 4) Pour quelles valeurs de x le programme de calcul donne-t-il le nombre 0 pour résultat final? 1

2 ACTIVITES GEOMETRIQUES 12 points Exercice 1 EFG est un triangle rectangle en E tel que EF = 5 cm et FG = 13 cm. La figure donnée n'est pas réalisée à l'échelle. 1) Calculer la mesure de l'angle a EFG. Arrondir au degré près. 2) Montrer que EG = 12 cm. 3) On considère le point M sur [EG] tel que EM = 3 cm. Calculer GM. 4) La perpendiculaire à (EG) passant par M coupe [FG] en N. Les droites (MN) et (EF) sont-elles parallèles? Justifier. 5) Calculer GN. Exercice 2 : S On considère la pyramide SABCD ci-contre : la base est le rectangle ABCD de centre O. A' D' D O' O B' C' C AB = 40 cm et BD = 50 cm. La hauteur [SO] mesure 81 cm. 1) Montrer que AD = 30 cm. 2) Calculer en cm, le volume de la pyramide SABCD. 3) Soit O' le point de [SO] tel que SO' = 54 cm. A B a) Quelle est la nature de la section A'B'C'D' obtenue? On coupe la pyramide par un plan passant par O' et parallèle à sa base. b) La pyramide SA'B'C'D' est une réduction de la pyramide SABCD. Donner le coefficient de réduction. c) Quel est le volume de SA'B'C'D'? 2

3 PRO B L ÈM E 12 points Pour la saison , le théâtre «MODECIA» propose les tarifs suivants : Tarif A : 150 la carte permettant d assister à tous les spectacles. Tarif B : 75 l abonnement pour la saison qui permet d acheter une place pour 6. Tarif C : 19 la place «plein tarif». 1. Compléter le tableau figurant dans l annexe 1, qui sera à remettre avec votre copie. 2. Si x est le nombre de spectacles auxquels Marc assiste durant la saison, écrire, en fonction de x, PA(x), PB(x) et PC (x), le prix que devrait payer Marc, suivant le tarif utilisé. 3. Parmi ces trois fonctions y a-t-il une fonction linéaire? Si oui laquelle? 4. Dans l annexe 2, qui sera à remettre avec votre copie, on a tracé les représentations graphiques (TA) et (TC) des fonctions PA et PC. Tracer la représentation graphique (TB) de la fonction PB dans le repère de l annexe Si on dispose de 100, lire graphiquement le nombre de spectacles auxquels on peut assister avec le tarif C (laisser apparaître les tracés sur le graphique). 6. Retrouver graphiquement le tarif le plus intéressant pour voir huit spectacles. 7. Résoudre l inéquation : 19x > 6x En déduire le nombre de spectacles pour lequel le tarif B est plus intéressant que le tarif C. 3

4 Numéro de candidat : ANNEXE 1 A remettre avec la copie Problème : Nombre de spectacles Tarif A Tarif B Tarif C ANNEXE 2 y T C T A x 4

5 Exercice 1 3 points Pour les questions 1 et 2 écrire les différentes étapes de calcul. On pose : A = B = ² C = pt 1 pt 0,25 pt 0,75 pt 1. Calculer A et donner le résultat sous forme d une fraction irréductible. 2. Calculer B et donner une écriture scientifique du résultat, puis une écriture décimale de ce résultat. 3. a. Donner la valeur décimale arrondie au millième de C. b. Écrire C sous la forme a 2 où a est un entier. 1) A = = = = = 5 30 = 1 6 2) B = ² = 37, ² = 37, = 37,5 10² B = 3, : écriture scientifique B = : écriture décimale 3) a) C 18,385 b) C = = = = 13 2 Exercice 2 4 points pts pts 1. Développer (x 1) 2. Justifier que 99 2 = en utilisant le développement précédent. 2. Développer (x 1)(x + 1). Justifier que = en utilisant le développement précédent. 1) (x 1)² = x² - 2x ² = (100 1)² = 100² = = ) (x 1)(x + 1) = x² = (100 1)( ) = 100² - 1 = =

6 Exercice 3 5 points Dans cet exercice, on utilisera le programme de calcul suivant : choisir un nombre x; retrancher 3 au double de x; élever le résultat au carré; retrancher 16 au résultat obtenu. 1 pt 0,5 pt 1 pt 1,5 pts 1 pt 1) Si on choisit x = 5, quel résultat final obtient-on? 2) Indiquer parmi, les expressions suivantes, celle qui décrit le programme donné : (a) 2x 3x² - 16 (c) (2x 3)² - 16 (e) (3x 16)² - 2 (b) [(x 3)² 2]² - 16 (d) 16 [2 (x 3)²] 3) a) On pose F = (3x 16)² - 2 Développer et réduire F. b) On pose E = (2x 3)² Montrer que E = (2x 7)(2x + 1). 4) Pour quelles valeurs de x le programme de calcul donne-t-il le nombre 0 pour résultat final? 1) 2) choisir un nombre x 5 retrancher 3 au double de x = 10 3 = 7 élever le résultat au carré 7² = 49 retrancher 16 au résultat obtenu = 33 choisir un nombre x x retrancher 3 au double de x 2x 3 élever le résultat au carré (2x 3)² retrancher 16 au résultat obtenu (2x 3)² - 16 C'est donc l'expression C qui convient. 3) a) F = (3x)² - 2 3x ² - 2 F = 9x² - 96x F = 9x² - 96x b) E = (2x 3)² - 4² E = [(2x 3-4)] [(2x 3) + 4] E = (2x 7)(2x + 1) 4) On doit résoudre l'équation (2x 7)(2x + 1) = 0 C'est une équation produit nul. On a donc 2x 7 = 0 ou 2x + 1 = 0 6

7 Soit x = 7 2 ou x = Le programme de calcul donne le nombre 0 pour résultat final pour x = 7 2 ou x = ACTIVITES GEOMETRIQUES 12 points Exercice 1 : 6,5 points EFG est un triangle rectangle en E tel que EF = 5 cm et FG = 13 cm. La figure donnée n'est pas réalisée à l'échelle. 1,5 pts 1,5 pts 1,pt 1) Calculer la mesure de l'angle a EFG. Arrondir au degré près. 2) Montrer que EG = 12 cm. 3) On considère le point M sur [EG] tel que EM = 3 cm. Calculer GM. 1 pt 4) La perpendiculaire à (EG) passant par M coupe [FG] en N. Les droites (MN) et (EF) sont-elles parallèles? Justifier. 1,5,pts 5) Calculer GN. 1) Dans le triangle EFG rectangle en E, on a : cos a EFG = EF FG = 5 13 Avec la calculatrice, on obtient a EFG 67 2) On applique le théorème de Pythagore dans le triangle EFG rectangle en E : Soit : 13² = 5² + EG² FG² = EF² + EG² D'où : EG² = 13² - 5² = = 144 = 12² Donc EG = 12 cm. 3) GM = EG EM = 12 3 = 9 cm 4) Les droites (MN) et (EF) étant perpendiculaires à la même droite (EG) sont parallèles. 7

8 5) Les droites (MN) et (EF) étant parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles GMN et GEF : Soit : 9 12 = GN 13 D'où : GN = 13 9 = 9,75 cm 12 Exercice 2 : 5,5 points GM GE = GN GF = MN EF S On considère la pyramide SABCD ci-contre : la base est le rectangle ABCD de centre O. AB = 40 cm et BD = 50 cm. A 0,5 pts 0,5 pts A' D' D O' O B' B C' 1,5 pts C 0,5 pts 0,5 pts La hauteur [SO] mesure 81 cm. 1) Montrer que AD = 30 cm. 2) Calculer en cm, le volume de la pyramide SABCD. 3) Soit O' le point de [SO] tel que SO' = 54 cm. On coupe la pyramide par un plan passant par O' et parallèle à sa base. a) Quelle est la nature de la section A'B'C'D' obtenue? b) La pyramide SA'B'C'D' est une réduction de la pyramide SABCD. Donner le coefficient de réduction. c) Quel est le volume de SA'B'C'D'? 1) ABCD étant un rectangle, le triangle ABD est rectangle en A. On peut donc appliquer le théorème de Pythagore dans ce triangle : Soit 50² = 40² + AD² BD² = AB² + AD² Donc : AD² = 50² - 40² = = 900 = 30² Donc AD = 30 cm 2) On a V SABCD = 1 3 AB AD OS = = cm3 3 3) a) La section A'B'C'D' est une réduction du rectangle de base ABCD car le plan de coupe est parallèle à la base de la pyramide. b) Le coefficient de réduction est : k = SO' SO = = 2 3 c) On a alors V SA'B'C'D' = k 3 V SABCD = = cm 3 8

9 PRO B L ÈM E 12 points Pour la saison , le théâtre «MODECIA» propose les tarifs suivants : Tarif A : 150 la carte permettant d assister à tous les spectacles. Tarif B : 75 l abonnement pour la saison qui permet d acheter une place pour 6. Tarif C : 19 la place «plein tarif». 1. Compléter le tableau figurant dans l annexe 1, qui sera à remettre avec votre copie. 2. Si x est le nombre de spectacles auxquels Marc assiste durant la saison, écrire, en fonction de x, PA(x), PB(x) et PC (x), le prix que devrait payer Marc, suivant le tarif utilisé. 3. Parmi ces trois fonctions y a-t-il une fonction linéaire? Si oui laquelle? 4. Dans l annexe 2, qui sera à remettre avec votre copie, on a tracé les représentations graphiques (TA) et (TC) des fonctions PA et PC. Tracer la représentation graphique (TB) de la fonction PB dans le repère de l annexe Si on dispose de 100, lire graphiquement le nombre de spectacles auxquels on peut assister avec le tarif C (laisser apparaître les tracés sur le graphique). 6. Retrouver graphiquement le tarif le plus intéressant pour voir huit spectacles. 7. Résoudre l inéquation : 19x > 6x En déduire le nombre de spectacles pour lequel le tarif B est plus intéressant que le tarif C. 9

10 1) 2 pts Nombre de spectacles Tarif A Tarif B = = = 159 Tarif C 19 3 = = = 266 1,5 pts 1) P A (x) = 150 P B (x) = x P C (x) = 19x 2) La fonction linéaire est P C car son expression est de la forme ax (avec a = 19). 3) 1,pt 10

11 4) 2 pts On lit l'abscisse du point appartenant à la droite passant par l'origine du repère dont l'ordonnée est égale à 100. On lit environ : 5,3. Si on dispose de 100, on peut assister avec le tarif C a environ 5 spectacles. 11

12 5) On compare les différentes ordonnées de l'intersection de la droite verticale correspondant à x = 8 avec les 3 autres droites. Le tarif le plus intéressant correspond au point d'intersection dont l'ordonnée est la plus faible. Il s'agit du tarif B. 1,5 pts 2,5 pts 6) 19x > 6x + 75 Soit : 19x 6x > 75 Soit 13x > 75 Soit : x > Les solutions de cette inéquation sont les nombres strictement supérieurs à ,8 Or cette inéquation traduit l'inégalité : T C (x) > T B (x). Le tarif B est plus intéressant que le tarif C pour plus de 6 spectacles. 12