Ch 3 : Triangles et Quadrilatères

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1 Ch 3 : Triangles et Quadrilatères I Vocabulaire des angles 1) Angles complémentaires, angles supplémentaires Deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à 90. Deux angles sont supplémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à ) Angles adjacents Deux angles sont adjacents lorsque : ils ont le même sommet. ils ont un côté commun. ils sont situés de part et d autre du côté commun. 3) Angles opposés par le sommet Deux angles sont opposés par le sommet lorsque : ils ont le même sommet. leurs côtés sont dans le prolongement l un de l autre. Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure 4) Angles alternesinternes et correspondants Deux droites (d) et (d ) coupées par une sécante (D) définissent deux paires d angles alternesinternes. Deux droites (d) et (d ) coupées par une sécante (D) définissent quatre paires d angles correspondants. LFM Mathématiques 3 ème 1

2 II Angles et droites parallèles 1) Deux propriétés servent à démontrer que des angles ont la Propriété 1 : Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors deux angles alternesinternes ont Hypothèses de l énoncé : ce que je sais (données) On sait que les droites (d) et (d ) sont parallèles. Les deux angles codés sont alternesinternes. On sait aussi que (d) et (d ) sont coupées par une sécante. la propriété 1, on démontre que ces deux angles ont la Propriété 2 : Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors deux angles correspondants ont Hypothèses de l énoncé : ce que je sais (données) On sait que les droites (d) et (d ) sont parallèles. On sait aussi que (d) et (d ) sont coupées par une sécante. Les deux angles codés sont correspondants. la propriété 2, on démontre que ces deux angles ont la LFM Mathématiques 3 ème 2

3 2) Deux propriétés servent à démontrer que deux droites sont parallèles. Propriété 3 : Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternesinternes de même mesure, alors ces droites sont parallèles. Hypothèses de l énoncé : ce que je sais (données) On sait que (d) et (d ) sont coupées par une sécante. On sait aussi que les deux angles alternesinternes codés ont la même mesure. la propriété 3, on démontre que (d) et (d ) sont parallèles. Propriété 4 : Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles correspondants de même mesure, alors ces droites sont parallèles. Hypothèses de l énoncé : ce que je sais (données) On sait que (d) et (d ) sont coupées par une sécante. On sait aussi que les deux angles correspondants codés ont la même mesure. la propriété 4, on démontre que (d) et (d ) sont parallèles. Remarque : On dit que les propriétés 3 et 4 sont les propriétés réciproques des propriétés 1 et 2. III Angles et Triangles Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180 Si un triangle est.., alors il a deux angles de Si un triangle est.., alors chacun de ses angles mesure Si un triangle est rectangle, alors la somme de ses deux angles aigus est égale à.. On dit aussi que les deux angles aigus d un triangle rectangle sont COMPLEMENTAIRES LFM Mathématiques 3 ème 3

4 IV Inégalité triangulaire Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. Exemple : Dans le triangle ABC, on a : AB < AC + CB AC < AB + BC BC < BA + AC V Reconnaître des triangles égaux et des triangles semblables Définition : Deux triangles sont égaux lorsque leurs côtés sont deux à deux de même longueur. Propriétés : Si deux triangles ont, deux à deux, un angle de même mesure compris entre deux côtés de même longueur ou un côté de même longueur compris entre deux angles de alors ils sont égaux Définition : Deux triangles sont semblables lorsque leurs angles sont deux à deux de Propriétés : Si deux triangles sont égaux alors ils sont semblables. Par contre deux triangles semblables ne sont pas forcément égaux. Pour démontrer que deux triangles sont semblables, il suffit de démontrer que deux paires d angles sont de Propriété Si deux triangles ABC et A B C sont semblables, alors les longueurs des côtés opposés aux angles égaux sont proportionnelles. On a donc!!!! =!!!! =!!!! = k (k est un réel non nul)!"!"!" Si k < 1, alors A B C est une réduction de ABC de rapport k Si k > 1, alors A B C est un agrandissement de ABC de rapport k LFM Mathématiques 3 ème 4

5 VI Reconnaître un parallélogramme Définition : Un quadrilatère qui a un centre de symétrie est un parallélogramme. Le centre de symétrie est appelé centre du parallélogramme. Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leurs milieux. Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont parallèles Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés ont la même longueur. Démontrer qu un quadrilatère est un parallélogramme Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de la même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles alors ce quadrilatère est un parallélogramme Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c est un parallélogramme VII Reconnaître un parallélogramme particulier Définitions : Un rectangle est un quadrilatère dont les 4 angles sont droits Un losange est un quadrilatère dont les 4 côtés sont de même longueur Un carré est un quadrilatère dont les 4 angles sont droits et les 4 côtés de même longueur. Les carrés sont des rectangles et des losanges particuliers Le rectangle, le losange et le carré sont des parallélogrammes particuliers donc ils ont toutes les propriétés du parallélogramme. Si un quadrilatère est un RECTANGLE alors ses diagonales sont de même longueur Si un quadrilatère est un LOSANGE alors ses diagonales sont perpendiculaires Le carré possède les propriétés du losange et du rectangle LFM Mathématiques 3 ème 5

6 Comment démontrer qu un quadrilatère est un rectangle ou un losange ou un carré? Utilisation de ce schéma pour retrouver des propriétés : Si un PARALLELOGRAMME a ses diagonales perpendiculaires alors c est un LOSANGE Si un PARALLELOGRAMME a 2 côtés consécutifs égaux alors c est un LOSANGE Si un PARALLELOGRAMME a un angle droit alors c est un RECTANGLE Si un PARALLELOGRAMME a ses diagonales de même longueur alors c est un RECTANGLE Si un RECTANGLE a alors c est un CARRE Si un RECTANGLE a alors c est un CARRE Si un LOSANGE a.. alors c est un CARRE Si un LOSANGE a.. alors c est un CARRE Il existe d autres formulations possibles pour les propriétés permettant de reconnaître un parallélogramme particulier. LFM Mathématiques 3 ème 6