Trigonométrie. Propriété : La longueur du cercle trigonométrique est

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1 Chapitre n 9 Trigonométrie I. Repérage sur le cercle trigonométrique 1. Cercle trigonométrique Définition : Soit (O; I, J) un repère orthonormé du an. On appelle cercle trigonométrique C le cercle de centre O, de rayon 1, orienté dans le sens indiqué par la flèche, appelé sens direct. Remarque : le sens direct est le sens inverse des aiguilles d une montre et le sens indirect celui des aiguilles d une montre. Propriété : La longueur du cercle trigonométrique est égale à.. Enroulement sur la droite des réels On considère C le cercle trigonométrique. On trace la droite Δ tangente au cercle C en I et on munit cette droite du repère (I; A) où IA = OI = 1. Cette droite graduée représente l ensemble R et est appelée la droite des réels. On «enroule cette droite des réels» autour du cercle C : la demi-droite [IA) s enroule dans le sens direct et la demi-droite [IA ) s enroule dans le sens indirect. Tout point N d abscisse x de la droite des réels vient se superposer sur un point M du cercle C : on dit que M est le point image du réel x et que l arc de cercle IM a pour longueur x. Par exeme, le point J est le point image de, le point I est l image de, le point J est l image de. Propriété : Deux réels x et x viennent se superposer sur un même point du cercle trigonométrique C si et seulement si x x = k, où k est un entier relatif. Remarque : On dit que les réels x et x sont distants de. Tout point de C est donc l image d une infinité de réels.

2 . Le radian Définition 1 : Sur le cercle trigonométrique, si un arc de cercle IM a pour longueur x avec 0 x alors on convient de dire que l angle géométrique IOM a pour mesure x radians. On définit ainsi une nouvelle unité de mesure d angles, le radian, noté rad. Définition : Un angle de 1 radian est un angle interceptant, sur un cercle trigonométrique, un arc de longueur 1 (c est-à-dire égale au rayon du cercle). Conséquence : Si A et B sont deux points du cercle trigonométrique, alors la mesure en radians de l angle AOB est égale à la longueur de l arc intercepté AB. Propriété : Les mesures, en degrés et en radians, d un angle géométrique sont proportionnelles. Tableau et méthode de conversion : Mesure en degrés de l angle IOM 180 d Mesure en radians de l angle IOM α On en déduit la relation suivante : α = Tableau de conversions : d 180 Mesure en degrés de l angle IOM Mesure en radians de l angle IOM Exeme : Objectif : Convertir 50 en radians et convertir 7 rad en degrés. 16 Savoir passer des mesure en degrés en radians et inversement.

3 II. Mesures d un angle orienté d un coue de vecteurs Soit (O; I, J) un repère orthonormé du an et C le cercle trigonométrique. 1. Définitions Définition 1 : Soient u et v deux vecteurs non nuls. Le coue (u, v) est appelé angle orienté de vecteurs. Soient M et N les points d intersection de C avec les demi-droites d origine O et dirigées par u et v, alors une mesure de l angle orienté (u, v) est aussi une mesure de l angle (OM, ON). Définition : Soient M et N deux points du cercle trigonométrique C où le point M est associé au réel x et le point N au réel y. On appelle mesure de l angle orienté (OM, ON) le réel y x. Notation : Si α est une mesure de l angle orienté (u, v) alors pour tout entier k, le réel α + k est une mesure de l angle orienté (u, v). On écrit u, v = α + k, k Z ou u, v = α[]. On lit alors (u, v) a pour mesure α à «k près» ou «modulo».. Mesure principale d un angle orienté Définition : Angles orientés particuliers : u, u = 0 + k c est l angle nul ; u, u = + k c est l angle at. Parmi toutes les mesures α + k d un angle orienté (u, v), il en existe une et une seule dans l intervalle ] ; ], on l appelle mesure principale de l angle orienté (u, v). Exeme : Donner la mesure principale β d un angle de mesure : 7 4 ; 9 ; 4. Méthode : Pour déterminer la mesure principale β d un angle orienté (u, v), on cherche β tel que α = β + k avec < β.

4 . Propriétés des angles orientés de vecteurs a) Angles orientés et colinéarité Propriété 1 : Soient u et v deux vecteurs non nuls. u et v colinéaires et de même sens u, v = 0 + k, k Z. u et v colinéaires et de sens contraires u, v = + k, k Z En résumé : u et v colinéaires u, v = k, k Z. Remarque : Cette propriété permet de démontrer que deux droites sont parallèles ou que trois points sont alignés. b) Angles orientés et orthogonalité Propriété : Soient u et v deux vecteurs non nuls. u et v sont orthogonaux u, v = + k ou + k, k Z En résumé : u et v sont orthogonaux u, v = + k, k Z. Remarque : Cette propriété permet de démontrer que deux droites sont perpendiculaires. c) Angles orientés et relation de Chasles Propriété : Relation de Chasles Soient u, v et w trois vecteurs non nuls. u, v + v, w = u, w + k, k Z. Propriété 4 : Conséquences Soient u et v deux vecteurs non nuls. Angles opposés : v, u = u, v + k, k Z. Angles égaux : u, v = u, v + k, k Z. Angles supémentaires : u, v = u, v + + k, k Z u, v = u, v + + k, k Z

5 Remarque : On ne change pas la mesure d un angle orienté u, v en remaçant l un ou l autre des vecteurs par un vecteur non nul colinéaire et de même sens. Si k et k sont de même signe alors ku, k v = u, v + k, k Z Si k et k sont de signes contraires alors ku, k v = u, v + + k, k Z d) Apications (1) ABC est un triangle équilatéral tel que AB, AC =. Déterminer une mesure de chacun des angles orientés suivants : a) (BA, BC) ; b) (CB, AC) () Avec les renseignements portés sur la figure, démontrer que les droites (AB) et (DE) sont parallèles. () Soit u et v deux vecteurs non nuls tels que : u, v = 9 et u, w = 4. Déterminer la mesure principale des angles : v, w ; u, v et u, w. Objectif : Déterminer la mesure d un angle orienté ; déterminer sa mesure principale. III. Cosinus et sinus d un angle orienté 1. Définitions Définition 1 : Soit un point M du cercle trigonométrique C image d un réel x. Le cosinus de x, noté cos x, est l abscisse du point M. Le sinus de x, noté sin x, est l ordonnée du point M. Définition : Soient u et v deux vecteurs non nuls. Soit u, v un angle orienté dont la mesure en radian est. Le cosinus (ou le sinus) d un angle orienté est égal au cosinus (ou au sinus) de l une quelconque des mesures en radian de cet angle. On écrit : cos u, v = cos x et sin u, v = sin x.

6 . Propriétés Propriété 1 : Pour tout réel x et pour tout entier k Z, cos x + sin x = 1 ; 1 cos x 1 et 1 sin x 1 ; cos x + k = cos x et sin x + k = sin x. Propriété : Cosinus et sinus d angles associés : A connaître par Pour tout nombre réel x, cos x = cos x sin x = sin x. cos x = cos x sin x = sin x. cos + x = cos x sin + x = sin x. M et M ont même abscisse et des ordonnées opposées M et M ont même ordonnée et des abscisses opposées M et M ont des abscisses et des ordonnées opposées cos + x = sin x sin + x = cos x. cos x = sin x sin x = cos x. M et M ont des abscisses et des ordonnées opposées M et M sont symétriques par rapport à la droite : y = x. Leurs coordonnées restent inchangées. Remarque : Toutes ces relations doivent se retrouver en visualisant mentalement le cercle trigonométrique.

7 Propriété : Valeurs remarquables du 1 er quadrant x 0 cos x 1 sin x Remarque : Le tableau et le 1 er quadrant du cercle trigonométrique sont à connaitre par. Il faut : connaitre les positions relatives des points images de 6, 4 et ; Exemes : savoir ordonner les réels 1, et sur les deux axes ; Pour trouver la fin du cercle trigonométrique, on utilise les angles associés. (1) Calculer la valeur exacte de : cos 5, sin 5 5 7, cos, sin. 6 4 Méthode : Pour calculer cos x ou sin x, on peut décomposer x en faisant apparaitre un angle remarquable (,, ou ) et utiliser les cosinus et 6 4 sinus d angles associés. () On considère un réel x compris entre 0 et tel que cos x = 1. Calculer la valeur exacte de sin x. Donner une valeur approchée de x, à 10 près avec la calculatrice.

8 . Equations trigonométriques Propriété 1 : x et a sont deux réels donnés. cos x = cos a x = a + k, k Z ou x = a + k, k Z Il existe deux points M et M d abscisse cos a. Propriété : x et a sont deux réels donnés. sin x = sin a x = a + k, k Z ou x = a + k, k Z Exemes : Il existe deux points M et M d ordonnée sin a. (1) Résoudre dans R, l équation cos x = cos. () Résoudre dans ] ; ], l équation sin x = sin 5 6. () Résoudre dans [0; ], l équation cos x =. (4) Résoudre dans ] ; ], l équation sin x = sin. Représenter ses solutions sur le 4 cercle trigonométrique. (5) Résoudre dans ] ; ], l équation sin x cos = 0. Représenter ses solutions sur le 6 cercle trigonométrique. Objectifs : Utiliser le cercle trigonométrique pour déterminer les cosinus et sinus d angles associés ; Utiliser le cercle trigonométrique pour résoudre dans R les équations d inconnue x: cos x = cos a et sin x = sin a.