Prénom : Mardi 15 mars 2005 MATHÉMATIQUES Durée : Terminale ES Devoir 5 3 h. d 1. d 2

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1 NOM : Prénom : note : 20 M. SORIN Mardi 5 mars 2005 MATHÉMATIQUES Durée : Terminale ES Devoir 5 3 h La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. L usage d une calculatrice est autorisé. Exercice : Commun à tous les candidats o Chaque réponse exacte rapporte 0,25 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point. (Questions. et 2.) Chaque réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point. (Questions 3. à 6.) o Une question sans réponse ne rapporte ni n enlève aucun point. o Si le total est négatif, il est ramené à zéro. Répondre en cochant la case de la réponse exacte.. La courbe représentative de la fonction f définie sur par f(x) = O 2 x + x 2 + x 2. Lecture graphique. La figure suivante donne la représentation graphique d une fonction g dans un repère orthonormé. d d 2 A pour asymptote au voisinage de + la droite d équation y = 2 x A pour asymptote au voisinage de + la droite d équation y = x + Est sous l asymptote au voisinage de + Est sous l asymptote au voisinage de x g(x) = 0 x g(x) = 0 + x La droite d équation y = 0 est asymptote à la courbe au voisinage de et de +. g (2) = Les droites d et d 2 sont tangentes à la courbe. On note g la dérivée de la fonction g. g (4) = 0 3. La courbe représentative de la fonction ln admet une tangente de coefficient directeur 3 au point A de coordonnées : 4. Les fonctions f et g définies sur ] 0 ; + [ par : f(x) = ln(x + ) ln x et g(x) = ln g(x) = 0 g(x) = g (x) < 0 pour x > 4 g (x) < 0 pour < x < 4 A 3 ; ln 3 A(3 ; ln e 3 ) + rai x sont égales. aux 5. La tangente à la courbe représentative de la fonction ln au point d abscisse e passe par l origine du repère et 3 sont solutions de l équation : rai aux ln[(x 2)(x + 3)] = ln 6 ln(x 2) + ln(x + 3) = ln 6

2 Exercice 2 : Commun à tous les candidats 4 points Soit P le polynôme définie par P(x) = 2 x 3 + x 2 5 x + 2 ou par P(x) = (x + 2)(2 x 2 3 x + ).. Déterminer l ensemble S des solutions réelles de l équation P(x) = Déterminer l ensemble S des solutions réelles de l équation : 2 e 3x + e 2x 5 e x + 2 = Déterminer l ensemble S des solutions réelles de l équation : 2 (ln x) 3 + (ln x) 2 5 ln x + 2 = Déterminer l ensemble S des solutions réelles de l équation : 2 ln (x) + ln (2 x + ) = ln (5 x 2). Exercice 3 : Candidats n ayant pas suivi l enseignement de Spécialité Un organisme financier a besoin de prévoir en fonction du montant des prêts accordés quelle somme il doit lui-même emprunter sur les marchés financiers. Pour cela il réalise une étude sur les 2 derniers trimestres écoulés. Le montant global des prêts accordés chaque trimestre est donné en millions d euros. Trimestres 4 e T-99 er T-00 2 e T-00 3 e T-00 4 e T-00 er T-0 2 e T-0 3 e T-0 4 e T-0 er T-02 2 e T-02 3 e T-02 Rang x i Montant y i Représentation du nuage de points associé à la série statistique (x i, y i ) On envisage de résumer quantitativement l observation faite à l aide d une droite qui ajuste au mieux les 2 points du nuage. a) Donner l équation de la droite d ajustement affine par la méthode des moindres carrés, la représenter sur le graphique. (On donnera l équation sous la forme y = a x + b avec a et b arrondi avec deux décimales.) b) Calculer la somme des carrés des résidus (C est-à-dire la somme des carrés des différences (y i (a x i + b)) où a et b sont les coefficients de l équation de la droite d ajustement affine par la méthode des moindres carrés déterminée ci-dessus.). c) Donner une estimation du montant des prêts accordés pour le quatrième trimestre Cette extrapolation des données repose sur les 2 trimestres précédents, mais pour tenir compte des évolutions récentes, on peut se iter aux quatre derniers trimestres. a) Avec les quatre derniers trimestres, donner une équation de la droite d ajustement par moindres carrés. Représenter sur le graphique précédent. b) Sous l hypothèse que cette tendance se maintienne, donner une prévision pour le quatrième trimestre Commenter ces deux estimations.

3 Exercice 3 : Candidats ayant suivi l enseignement de Spécialité Le er janvier 2000, une entreprise compte employés. Pour ajuster ses effectifs à ses besoins, elle ne compensera que partiellement les départs à la retraite. Tous les ans, elle embauchera 200 jeunes, alors qu il est prévu que 0 % de l effectif parte en retraite. Le sur-effectif est estimé à personnes au er janvier On note u n le nombre, en milliers, d employés le er janvier de l année n.. a) Calculer u, u 2 et u 3. b) Exprimer u n+ en fonction de u n. Justifier. 2. a) Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, u n 2. b) Déterminer, pour tout entier naturel n, la différence u n+ u n en fonction de u n. c) En déduire que la suite (u n ) est décroissante. d) Démontrer que la suite (u n ) est bornée. 3. On pose v n = u n 2. a) Calculer v 0. b) Calculer v n+ en fonction de v n. c) En déduire que la suite (v n ) est géométrique de raison à préciser. d) Exprimer v n en fonction de n. e) En déduire u n en fonction de n. 4. En quelle année l entreprise ne sera plus en sur-effectif? Justifier. Quel sera alors son effectif? Exercice 4 : Commun à tous les candidats 6 points A. Question préinaire : étude de la fonction f Soit f la fonction définie sur I = ] 2 ; + [ par : f(x) = x ln(x + 2).. Calculer la fonction dérivée f de f sur I. Déduire le sens de variation de f sur I. 2. Calculer les ites de la fonction f aux bornes de I. 3. Dresser le tableau de variation de f. B. La courbe C f C f est la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal (O ; i, j ) (unités graphiques : 2 cm sur l axe des abscisses et cm sur l axe des ordonnées ).. Déterminer une équation de la tangente à C f au point A d abscisse et une équation de la tangente à C f au point B d abscisse 0. Placer A et B, et tracer les deux droites ainsi définies dans le repère (O ; i, j ). 2. Déduire du calcul des ites de f l existence d une asymptote à la courbe C f en donner une équation. Tracer cette asymptote et la courbe C f. 3. Montrer que l équation f (x) = 0 admet une solution unique dans l intervalle [,9 ;,8]. C. Calcul d une primitive. h est la fonction définie sur I par : h(x) = (x + 2) ln(x + 2) x. Calculer h (x), où h désigne la fonction dérivée de h. 2. Calculer la primitive de la fonction f qui s annule pour x =. On rappelle que la dérivée de la fonction x ln(x + 2) est la fonction x x + 2.

4 Exercice 4 O

5 Exercice : Commun à tous les candidats. La courbe représentative de la fonction f définie sur par f(x) = 2 x + x 2 + x 2. Lecture graphique. La figure suivante donne la représentation graphique d une fonction g dans un repère orthonormé. d A pour asymptote au voisinage de + la droite d équation y = 2 x A pour asymptote au voisinage de + la droite d équation y = x + Est sous l asymptote au voisinage de + Est sous l asymptote au voisinage de x g(x) = 0 x g(x) = 0 + x g(x) = 0 g(x) = aux rai rai aux aux rai aux rai O g (x) < 0 pour x > 4 d 2 g (x) < 0 pour < x < 4 rai La droite d équation y = 0 est asymptote à la courbe au voisinage de et de +. g (2) = rai Les droites d et d 2 sont tangentes à la courbe. On note g la dérivée de la fonction g. g (4) = 0 aux 3. La courbe représentative de la fonction ln admet une tangente de coefficient directeur 3 au point A de coordonnées : 4. Les fonctions f et g définies sur ] 0 ; + [ par : f(x) = ln(x + ) ln x et g(x) = ln 5. La tangente à la courbe représentative de la fonction ln au point d abscisse e passe par l origine du repère. A aux 3 ; ln 3 + x sont égales. rai 6. 4 et 3 sont solutions de l équation : ln[(x 2)(x + 3)] = ln 6 rai Exercice 2 : Commun à tous les candidats. P(x) = 0 (x + 2)(2 x 2 3 x + ) = 0 x + 2 = 0 ou 2 x 2 3 x + = 0 ( = ) x = 2 ou x = 2 ou x = 4 points Donc l ensemble S des solutions réelles de l équation P(x) = 0 est S = 2 ; 2 ; e 3x + e 2x 5 e x + 2 = 0 X = e x 2 X 3 + X 2 5 X + 2 = 0 X = e x P(X) = 0 X = ex X = 2 ou X = 2 e x = 2 ou e x = 2 ou X = ou e x = (impossible dans ) x = ln 2 ou x = 0 Donc l ensemble S des solutions réelles de l équation 2 e 3x + e 2x 5 e x + 2 = 0 est S = { ln 2 ; 0 }. 3. Il faut et il suffit que x > 0 Donc on étudie sur l intervalle ]0 ; + [. 2 (ln x) 3 + (ln x) 2 5 ln x + 2 = 0 X = ln x 2 X 3 + X 2 5 X + 2 = 0 X = ln x P(X) = 0

6 X = ln x X = 2 ou X = 2 ln x = 2 ou ln x = 2 ou X = ou ln x = x = e 2 ou x = e ou x = e Donc l ensemble S des solutions réelles de l équation 2 (ln x) 3 + (ln x) 2 5 ln x + 2 = 0 est S = { e 2 ; e ; e }. 4. Il faut et il suffit que x > 0 et 2 x + > 0 et 5 x 2 > 0 x > 0 et x > 2 et x > 2 5 Donc on étudie sur l intervalle 2 5 ; ln (x) + ln (2 x + ) = ln (5 x 2) ln x 2 + ln (2 x + ) = ln (5 x 2) ln [x 2 (2 x + )] = ln (5 x 2) 2 x 3 + x 2 = 5 x 2 2 x 3 + x 2 5 x + 2 = 0 P(x) = 0 x = 2 ou x = 2 ou x = or ; et ; et 2 5 ; Donc l ensemble S des solutions réelles de l équation 2 ln (x) + ln (2 x + ) = ln (5 x 2) est S = 2 ;. Exercice 3 : Candidats n ayant pas suivi l enseignement de Spécialité. a) On obtient le tableau de valeurs suivant : x i y i (x i x) (x i x) 2 (y i y) (x i x)(y i y) 40 5,5 30,25 2,92 7, ,5 20,25 0,92 49, ,5 2,25 8,92 3, ,5 6,25 7,92 9, ,5 2,25 4,92 7, ,5 0,25 2,92, ,5 0,25 0,92 0, ,5 2,25 2,08 3, ,5 6,25 5,08 2, ,5 2,25 0,08 35, ,5 20,25 5,08 67, ,5 30,25 7,08 93,96 On obtient : Sommes 43 Sommes 392,5 i=2 i= i=2 x i Donc x = N i= x = 2 78 x = 3 2 x = 6,5 x i = 78 et i=2 i= i=2 y i y = N i= y = y = y < 52,92 y i = 635 L équation de la droite d ajustement affine par la méthode des moindres carrés est de la forme y = a x + b avec : a = i=2 i= (x i x)(y i y) i=2 i= a = 392,5 43 a = a < 2,74 (x i x) 2 et b = y a x b = b = b < 35,08 Donc l équation de la droite d ajustement affine par la méthode des moindres carrés est y = 2,74 x + 35,08.

7 G G Représentation du nuage de points associé à la série statistique (x i, y i ) et des droites d ajustement affine b) Tableau de valeurs : x i y i somme 2,74 x i + 35,08 37,82 40,56 43,3 46,04 48,78 5,52 54, ,74 62,48 65,22 67,96 y i (2,74 x i + 35,08) 2,8,44 0,7,04 0,78,52 2,26 2,74 0,52 2,78 2,04 [y i (2,74 x i + 35,08)] 2 4,75 2,07 0,49,08 0,6 2,3 5, 4 3,03 0,27 7,73 4,6 35,62 Donc la somme des carrés des résidus est égale à 35,62. c) Pour le quatrième trimestre 2002, x i = 3. On obtient à l aide l équation de la droite d ajustement affine déterminée au a) : y = 2, ,08 y = 70,7 Donc une estimation du montant des prêts accordés pour le quatrième trimestre 2002 est 70,7 millions d euros. 2. a) On obtient le tableau de valeurs suivant : x i y i (x i x) (x i x) 2 (y i y) (x i x)(y i y) 9 58,5 2,25 6,75 0, ,5 0,25,75 0, ,5 0,25 3,25, ,5 2,25 5,25 7, Sommes 5 Sommes 20,5 L équation de la droite d ajustement On obtient : x i = 42 et y i = 259 affine par la méthode des moindres carrés i= x i Donc x = N i= x = 4 42 x = 2 2 x = 0,5 i= y i y = N i= y = y = y = 64,75 est de la forme y=ax+bavec : a = i= (x i x)(y i y) i= a = 20,5 5 a = 4 0 a = 4, (x i x) 2 Donc l équation de la droite d ajustement affine par la méthode des moindres carrés est y = 4, x + 2,7. et b = y a x b = b = 27 0 b = 2,7 b) Pour le quatrième trimestre 2002, x i = 3. On obtient à l aide l équation de la droite d ajustement affine déterminée au a) : y = 4, 3 + 2,7 y = 75 Donc, sous l hypothèse que cette tendance se maintienne, une estimation du montant des prêts accordés pour le quatrième trimestre 2002 est 75 millions d euros. 3. Commentaire des deux estimations.

8 Exercice 3 : Candidats ayant suivi l enseignement de Spécialité. a) On a u 0 = 220 or d après l énoncé «Tous les ans, l entreprise embauchera 200 jeunes, alors qu il est prévu que 0 % de l effectif parte en retraite.». Donc u =,2 + u 0 0, u 0 u =, , 220 u =, u = 99,2 u 2 =,2 + u 0, u u 2 =,2 + 99,2 0, 99,2 u 2 =,2 + 99,2 9,92 u 2 = 80,48 u 3 =,2 + u 2 0, u 2 u 3 =,2 + 80,48 0, 80,48 u 3 =,2 + 80,48 8,048 u 3 = 63,632 b) D après l énoncé «Tous les ans, l entreprise embauchera 200 jeunes, alors qu il est prévu que 0 % de l effectif parte en retraite.». Donc u n+ =,2 + u n 0, u n u n+ =,2 + ( 0,) u n u n+ =,2 + 0,9 u n 2. a) Soit P n la proposition u n 2 Au rang initial : u 0 = 220 or donc u 0 2 donc P 0 est vraie On suppose que pour un entier n donné P n est vraie, donc u n à 2 on a 0,9 u n 0,9 2 donc 0,9 u n 0,8 donc,2 + 0,9 u n 2 donc u n+ 2 donc P n+ est vraie Conclusion : la proposition est vraie au rang initial, elle est héréditaire, Donc pour tout entier naturel n, u n 2. b) Pour tout entier naturel n, u n+ u n =,2 + 0,9 u n u n u n+ u n =,2 + (0,9 ) u n Donc pour tout entier naturel n, u n+ u n =,2 0, u n c) Pour tout entier naturel n, u n+ u n =,2 0, u n et u n 2 donc 0, u n 0, 2 donc 0, u n,2 donc,2 0, u n 0 donc u n+ u n 0 donc u n+ u n Donc la suite (u n ) est décroissante. d) La suite (u n ) est décroissante et u 0 = 220 donc la suite est majorée par 220 et pour tout entier naturel n, u n 2 donc la suite est minorée par 2 Donc que la suite (u n ) est bornée par 2 et a) v 0 = u 0 2 v 0 = Donc v 0 = 208. b) Pour tout entier naturel n, v n+ = u n+ 2 v n+ =,2 + 0,9 u n 2 v n+ = 0,9 u n 0,8 v n+ = 0,9 u n 0,9 2 v n+ = 0,9 (u n 2) Donc pour tout entier naturel n, v n+ = 0,9 v n. c) Pour tout entier naturel n, v n+ = 0,9 v n et v 0 = 208 Donc la suite (v n ) est géométrique de raison 0,9 et de terme initial 208. d) La suite (v n ) est géométrique de raison 0,9 et de terme initial 208. Donc, pour tout entier naturel n, v n = 208 0,9 n. e) Pour tout entier naturel n, u n = v n + 2 Donc, pour tout entier naturel n, u n = 208 0,9 n Pour déterminer en quelle année l entreprise ne sera plus en sur-effectif il faut déterminer le plus petit entier n tel que u n 20. u n ,9 n ,9 n 08 0,9 n ln 0,9 n ln Donc en 2007, l entreprise ne sera plus en sur-effectif. Elle comptera 485 employés. n ln ln 0,9 or ln ln 0,9 < 6,22

9 Exercice 4 : Commun à tous les candidats A.. f est définie et dérivable sur I. Pour tout réel x de I, f (x) = 2 x + 2 f (x) = 2 x2 + 4 x + 2 x + 2 x + 2 f (x) = 2 (x2 + 2 x + ) 2 (x + )2 f (x) = x + 2 x + 2 or pour tout réel x de I, 2 > 0 et (x + ) 2 0 et x + 2 > 0 donc, pour tout réel x de I, f (x) 0 Donc f est strictement croissante sur ] 2 ; + [. 6 points 2. x2 = 4 x 2 x + 2 = 0 x 2 2 ln x = x 0 x2 = + x + 2 = + 2 ln x = + donc, par composée, 2 ln (x + 2) = x 2 donc, par composée, 2 ln (x + 2) = + donc, par somme, x 2 f(x) = donc, par somme, f(x) = + 3. D où le tableau de variation de f. valeurs de x 2 + signe de f (x) + variations de f + B.. L équation de la tangente à C f au point A d abscisse est de la forme y = f ( ) (x + ) + f( ) avec f ( ) = 0 et f( ) = donc y = 0 (x + ) + Donc y = est l équation de la tangente à C f au point A d abscisse. L équation de la tangente à C f au point B d abscisse 0 est de la forme y = f (0) (x 0) + f(0) avec f (0) = et f(0) = 2 ln 2 donc y = (x 0) + 2 ln 2 Donc y = x + 2 ln 2 est l équation de la tangente à C f au point B d abscisse On sait que x 2 f(x) = Donc la droite d équation x = 2 est une asymptote à la courbe C f. 3. f est définie, continue et strictement croissante sur I On sait que f(x) = et f(x) = + or 0 x 2 d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l équation f (x) = 0 admet une solution unique dans l intervalle I. de plus f(,9) < 0,995 et f(,8) < 0,02 Donc l équation f (x) = 0 admet une solution unique dans l intervalle [,9 ;,8]. C.. h est définie et dérivable sur I. Pour tout réel x de I, h (x) = ln(x + 2) + (x + 2) x + 2 h (x) = ln(x + 2) + Donc h (x) = ln(x + 2) 2. f est définie, continue et dérivable sur I, donc f admet des primitives sur I, soit l une d elles. Pour tout réel x de I, (x) = 3 x3 + 2 h(x) (x) = 3 x3 + 2 [(x + 2) ln(x + 2) x] L ensemble des primitives de f sur I sont de la forme (x) + K = 3 x3 + 2 [(x + 2) ln(x + 2) x] + K La primitive de f qui s annule en est telle que ( ) + K = 0 ( ) + K = 0 3 ( )3 + 2 [( + 2) ln( + 2) ( )] + K = K = 0 K = 5 3 Donc la primitive de la fonction f qui s annule pour x = est x 3 x3 + 2 [(x + 2) ln(x + 2) x] 5 3.

10 Exercice 4 A B O