Cours Traitement Numérique du Signal Digital Signal Processing

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1 1ère Année Informatique Cours Traitement Numérique du Signal Digital Signal Processing M. Frikel 1 GREYC, UMR 6072 CNRS, 6, Boulevard Maréchal Juin, Caen Cedex 1 Mes remerciements à Monsieur Guy BINET, Maître de Conférences à l Université de Caen, pour son support.

2 Table des matières 1 Les signaux discrets Généralités - Signal - Mesure - Capteurs Généralités sur les signaux : Classification des signaux Modélisation des signaux-théorie du signal Systèmes - Filtres : Signaux discrets Signaux continus, discrets, échantillonnés : Signaux élémentaires - distributions : signaux discrets et périodiques : Analyse fréquentielle Transformée de Fourier : Application aux signaux périodiques : Application aux signaux discrets : Reconstruction d un signal échantillonné : Signaux discrets et périodiques : Signaux réels : Transformée de Fourier, transformée de Laplace et transformée en Z : 18 2 Transformée de Fourier discrète : TFD et principe des analyseurs de spectre "numériques" Transformée de Fourier Discrète. Définition mathématique : Estimation de la transformée des signaux Principe : Cas général : Signaux périodiques : TFD et série de Fourier Signaux périodiques, signaux discrets : Signaux échantillonnés et périodiques : lien avec la série de Fourier : Quelques applications de la TFD Amélioration de la précision fréquentielle : Interpolation temporelle : Analyseur de spectre - Fenêtres de pondération Analyseur de spectre "numérique" (principe) : Elargissement des raies : Limite de résolution :

3 2.6.4 Utilisation d une fenêtre : Les systèmes discrets Etude des systèmes discrets. Discrétisation-Numérisation Système discret, filtres : Système discret-système numérique : Systèmes discrets linéaires invariants Linéarité. Equation récurrente : Récursivité. Forme récursive. Forme non récursive : Invariance temporelle Causalité : Analyse temporelle Opérateur retard : Réponse impulsionnelle : Convolution discrète : Utilisation de la transformée en Z : Fonction de transfert Résolution des équations aux différences : Fonction de transfert : Inversion de la transformée en Z analyse temporelle - modes Division selon les puissances de z 1 : Résolution de l équation aux différences : Décomposition en éléments simples : Méthode des résidus : Modes et Pôles Cas de pôles simples Cas des pôles de multiplicité > Stabilité Mode dominant - Mode auxiliaire Analyse fréquentielle Justification Réponse harmonique Analyse sommaire Filtres à réponses impulsionnelle infinie - Filtres RII Propriétés Fonction de teransfert (Rappels) Principe de la transposition Exemple Approximation de la dérivée Approximations Qualité de l approximation Invariance impulsionnelle Principe de la méthode Qualité de l approximation Transposition par bloqueur d ordre N Principe

4 4.4.2 Bloqueur d ordre Autres bloqueurs Transposition par pôles et zéros Transformation bilinéaire Transformation bilinéaire Qualité de la méthode Transformation avec pré-décalage (Transformation de Tustin) Equivalence discret-continu Quelques rappels sur les filtres analogiques Filtres à tréponse impulsionnelle finie - Filtres FIR Propriétés Fonction de transfert (Rappels) Exemples Forme récursive Filtres à phase linéaire Intérêt d une phase linéaire Conditions d obtention d une phase linéaire Premier cas particulier : ϕ 0 = 0, filtres de types I et II Deuxième cas particulier : ϕ 0 = π/2, filtres de type III et IV Avantage pratique Synthèse par la méthode des fenêtres Principe Problème général de la troncature par une fenêtre de pondération Fenêtre rectangulaire Autres fenêtres Filtres passe-haut, passe-bande, coupe-bande Filtre passe-tout Filtre passe-haut Filtre passe-bande Filtre coupe-bande

5 Chapitre 1 Les signaux discrets 1.1 Généralités - Signal - Mesure - Capteurs Généralités sur les signaux : Un signal est une grandeur physique accessible à la mesure. En général, un signal dépend des coordonnées d espace (l endroit où il se situe et le temps) soit {x, y, z, t}. On attribue à un signal des propriétés élémentaires comme l intensité, la puissance, l énergie... Ce sont ces grandeurs auxquelles sont sensibles les capteurs qui constituent l instrument de mesure du signal. Un capteur mesure l un des aspects du signal par exemple : Signal électrique : intensité (ampères), tension (volts), puissance (watts). Signal thermique : intensité ( C, Kelvin), énergie (calorie ou joule ). Signal lumineux : intensité (lumen), puissance (watts), énergie (joules)... Mélange chimique : concentration (mol/l), acidité (ph), taux de calcaire( th). Signal magnètique (tesla). Signal barométrique (hectopascal). Vitesse d un mobile (m/s,rd/s), accélération... Etc... Bon nombre de capteurs sont aussi en général des transducteurs c est à dire qu ils transforment la grandeur physique étudiée en une autre grandeur physique éventuellement proportionnelle et plus aisée à traiter avec les outils modernes d où la grande vogue des signaux électriques (tensions ou courants) Classification des signaux Les signaux sont classables selon des grands groupes de propriétés : Signaux continus ou discrets. Signaux périodiques ou non. Signaux déterministes ou aléatoires. 5

6 1.1.3 Modélisation des signaux-théorie du signal Afin de pouvoir prévoir des comportements ou de concevoir des appareils susceptibles de modifier, d analyser les signaux il est intéressant de les modéliser grâce à des outils mathématiques les plus puissants possibles. La modélisation du signal peut se faire grâce à des "fonctions" mathématiques plus ou moins compliquées décrivant la manière dont le signal évolue dans l espace et le temps s(x, y, z, t). Pour l étude d un signal en un point de l espace la fonction sera uniquement dépendante du temps : s(t). Si le signal est une image statique formée par exemple sur une barrette CCD, la fonction devient s(x). S il s agit d une image statique : s(x, y), d une image à 3 dimensions (hologramme,...) : s(x, y, z). Si ces images sont animées on retrouve soit s(x, t) soit s(x, y, t) soit s(x, y, z, t). L étude du signal de manière élémentaire se fait sur des fonctions d une seule variable s(t) ou s(x). La généralisation à plusieurs dimensions utilise les mêmes concepts, seule est ajoutée un peu de complexité Systèmes - Filtres : Les signaux sont traités par des systèmes ou filtres dont le but est de les modifier pour leur conférer certaines propriétés ou d en extraîre des informations. De même que les signaux, les systèmes se classent en grandes catégories : continus ou discrets. Dans l une et l autre de ces catégories le cas particulier des systèmes linéaires invariants par translation (SLI, LTI) est particulièrement intéressant car nous disposons pour l étude de ceux-ci d outils mathématiques performants tout en restant d approche relativement aisée. 6

7 Outils mathématiques : 1.2 Signaux discrets Signaux continus, discrets, échantillonnés : Signal continu : Classe de signaux largement étudiée dans les cours précédents. Un signal continu est connu à chaque instant t sauf en un nombre de points de mesure nulle (discontinuités de première espèce). Les signaux élémentaires ont déjà été largement étudiés : l échelon d Heaviside e(t) e at e(t) te(t) cos (ωt + ϕ) e j2πft... Signal discret : 7

8 Un signal discret n est connu qu à certains instants t k soit un tableau de valeurs numériques x(t = t k ). Le cas le plus simple et le plus important est celui ou : (t k+1 t k ) = cste = T s k. Le signal est alors connu par sa série de valeurs contenues dans un tableau {x(kt s )} {x k }. La représentation d un signal discret par un tableau de valeurs {x k } n est pas vraiment satisfaisante car un tableau n est pas un objet mathématique aisé à manipuler tel quel en comparaison avec les fonctions. La représentation graphique liée à ce modèle (modèle physique) sera : Nous allons voir ensuite comment lui associer un modèle mathématique plus intéressant à manipuler. Signal échantillonné : Un signal échantillonné est un signal discret dont les valeurs {x k } sont prélevées (mesurées) sur un signal continu. Par convention cela se schématise comme suit : Signaux élémentaires - distributions : Nous verrons par la suite que les signaux discrets et périodiques sont intimement liés. Pour palier à l insuffisance de la modélisation par un tableau de valeurs et ainsi pouvoir manipuler les signaux discrets de manière analytique il est intéressant d utiliser la théorie des distributions de Laurent Schwartz ( ). Cette même théorie permet de modéliser les signaux périodiques et constitue ainsi un excellent outil pour l étude globale des signaux discrets. Par ailleurs rappelons que c est la seule approche satisfaisante pour l étude de la dérivation généralisée dans le cas des signaux continus ayant des discontinuités de première espèce. Il n est pas nécessaire de reprendre les détails de cette théorie développée dans les cours de mathématiques mais simplement de rappeler les quelques résultats élémentaires qui nous intéressent. 8

9 Deux signaux fondamentaux seront ainsi utilisés : Propriétés mathématiques fondamentales de la distribution de Dirac : parité : δ( t) = δ(t) facteur d échelle : δ(at) = ( 1 )δ(t) avec a R a produit d une fonction (distribution régulière) par la distribution de Dirac : x(t).δ(t t 0 ) = x(t 0 ).δ(t t 0 ) produit de convolution d une fonction (ou d une distribution) par la distribution de Dirac : x(t) δ(t t 0 ) = x(t t 0 ). Le produit de deux distributions de Dirac n existe pas : δ(t t 1 ).δ(t t 2 ) n a pas de sens. Le produit de convolution de deux distributions existe en particulier : δ(t t1) δ(t t 2 ) = δ(t t 1 t 2 ). Transformée de Fourier : T F [δ(t)] = 1. Ces propriétés ne dépendent bien évidemment pas de la variable (ici le temps t), nous pouvons l utiliser dans tout autre espace comme celui des fréquences : par exemple y(f) δ(f f 0 ) = y(f f 0 ) ce qui représente la translation fréquentielle. Propriété mathématique fondamentale du peigne de Dirac : Le peigne de Dirac est une distribution périodique nous savons calculer sa transformée de Fourier : [ + ] T F δ(t nt s ) = 1 δ(f k ) = f s δ(f kf s ) (1.1) n= T s k= T s k= "La transformée d un peigne de Dirac est un peigne de Dirac". Attention au coefficient f s = 1 T s. Représentation des signaux périodiques : Un signal périodique est constitué par une fonction motif x m (t) = x(t). La modélisation complète du signal est obtenue en périodisant à la période T 0 le motif x m (t) puis en superposant les composantes obtenues soit : x(t) = n= x m (t nt 0 ) (1.2) 9

10 Un cas particulier très utilisé pour les représenter est de définir x m (t) pour t [0, T 0 ] (ou tout autre intervalle de largeur T 0 ) et nulle en dehors de la période T 0 La convolution par la distribution de Dirac fournissant la représentation d une translation, nous aurons : x(t) = n= x m (t nt 0 ) = x m (t) n= δ m (t nt 0 ) (1.3) Périodicité convolution par un peigne de Dirac. Remarque : ceci est aussi valable pour tout autre variable que t en particulier la fréquence f. Représentation des signaux discrets et des signaux échantillonnés : Par définition, la modélisation mathématique d un signal discret est effectuée par un peigne de Dirac pondéré par les échantillons du signal : x(t) = k= x k δ(t kt s ) (1.4) Un signal échantillonné est un signal discret obtenu à partir d un signal continu dont on prélève les valeurs à intervalles de temps réguliers T s (période d échantillonnage) : x e (t) = k= x k δ(t kt s ) = x(t) k= δ(t kt s ) (1.5) Echantillonner produit simple par un peigne de Dirac. Un problème pratique pour l échantillonnage : Certains signaux continus, en tout cas leur représentation mathématique (signaux définis presque partout sauf en un ensemble de points de mesure nulle), présentent des discontinuités de première espèce : e(t), signal carré,...les propriétés d une de ces discontinuités à t = t 0 sont : A l instant t 0 le signal n est pas connu. Seule hypothèse : sa valeur est bornée. f(t + 0 ) = lim[f(t 0 + εe)] f(t 0 ) = lim[f(t 0 ε)] et f(t 0 ) = f(t + 0 ) f(t 0 ) ε 0 ε 0 La dérivée n existe qu au sens des distributions : f (t 0 ) = f(t 0 )δ(t t 0 ). Que se passe-t-il si nous échantillonnons un tel signal à l instant t = t 0? La valeur de l échantillon ne peut être f(t 0 ) qui n existe pas. Si nous considérons la discontinuité en t 0 comme un cas limite, selon le cas choisi la valeur sera f(t 0 ), f(t + 0 ), 1/2f(t 0 ) + f(t + 0 ). Ce raisonnement est purement théorique. 10

11 Si nous nous intéressons au problème pratique, l échantillonnage est réalisé par un circuit électronique type SAH (sample and hold), convertisseur analogiquenumérique... Quelque soit le circuit utilisé, entre l instant où il reçoit l ordre d effectuer l échantillonnage et l instant de réalisation, il y aura toujours un retard (mêeme extrémement faible : qqs ns ou µs).. Cette façon de voir les choses nous amène donc à considérer que la valeur de l échantillon en t 0 sera systématiquement f(t + 0 ). Sauf indication contraire nous choisirons par la suite cette valeur. Ce n est en aucun cas rigoureux et nous parlerons alors de "convention d échantillonnage réel" signaux discrets et périodiques : Un signal peut être à la fois échantillonné et périodique. Sa représentation devient simple lorsque le nombre d échantillons dans une période est entier soit : T 0 = N.T s avec N entier. Sa représentation peut se faire de trois façons complètement équivalentes : Motif discret périodisé : x ed = [ N 1 k=0 x k δ(t kt s ) Motif continu échantillonné et périodisé : x ed = [ x(t) N 1 k=0 ] δ(t kt s ) Motif continu périodisé et échantillonné : x ed = [ x m (t) n= ] δ(t nt 0 ) n= n= ] N 1. k=0 δ(t nt 0 ) δ(t nt 0 ) δ(t kt s ) 11

12 1.3 Analyse fréquentielle Transformée de Fourier : L analyse de Fourier largement utilisée dans le domaine du signal permet de décomposer une fonction sur une base d exponentielles : Transformation directe : T F [x(t)] = X(f) = Transformation inverse : T F 1 [X(f)] = x(t) = + + x(t)e j2πft dt X(f)e j2πft df Cette transformée définie au sens des fonctions de L (1) est étendue aux distributions tempérées avec les résultats suivants : Translation temporelle - Déphasage fréquentiel T F [δ(t t 0 )] = e j2πft 0 T F [δ(t t 0 )] = 1 Déphasage temporel - Translation fréquentielle T F [ e j2πft 0] = δ(f f0 ) La dérivation généralisée appliquée aux séries de Fourier à termes complexes permet d établir les formules de Poisson : x(t) = n= e j2πfnt 0 = f 0 n= δ(f nf 0 ) (1.6) Ce qui permet d établir les formules déjà rappelées pour le peigne de Dirac (avec f 0.T 0 = 1) : [ + ] + T F δ(t nt 0 ) = e j2πfnt 0 = f 0 δ(f nf 0 ) n= n= n= [ + ] T F 1 δ(f nf 0 ) = T 0 δ(t nt 0 ) n= n= Application aux signaux périodiques : Spectre discret (méthode no1) : Un signal périodique possède une décomposition en série de Fourier à termes complexes : avec C n = 1 T 0 = T F [x(t)] = (T 0 ) x(t)e j2πnf 0t dt n= x(t) = C n T F [ e j2πnf 0t ] = n= C n e j2πnf 0t n= C n δ(f nf 0 ) d où le résultat important suivant : la transformée de Fourier d un signal périodique est discrète. Signal périodique TF discrète Spectre discret (méthode no 2) : 12

13 En utilisant l expression du signal périodique défini à partir de sa fonction motif x m (t) : [ ] T F [x(t)] = T F x m (t) n= δ(t nt 0 ) = n= X m (nf 0 ).f 0 δ(f nf 0 ) Le résultat est toujours un peigne de Dirac pondéré = la transformée de Fourier est discrète. Lien série-transformée : Les deux méthodes précédentes sont équivalentes et aboutissent bien sûr à la même conclusion. En comparant les deux résultats il vient : C n = f 0 X m (nf 0 ) Ce résultat nous permet de concevoir différemment le coefficient de décomposition en série de Fourier à termes complexes : le coefficient C n est obtenu par discrétisation fréquentielle d intervalle f 0 de la transformée de Fourier du motif du signal périodique multipliée par f 0. Cas particulier des sinusoïdes : Les sinusoïdes peuvent être exprimées par les formules d Euler : cos (2πf 0 t) = ej2πf 0t + e j2πf 0t 2 T F [cos (2πf 0 t)] = 1 2 δ(f f 0) δ(f + f 0) sin (2πf 0 t) = ej2πf 0t e j2πf 0t 2j T F [sin (2πf 0 t)] = 1 2j δ(f f 0) 1 2j δ(f + f 0) 13

14 1.4 Application aux signaux discrets : Signaux discrets (méthode no1) : x(t) = k= T F [x(t)] = x k δ(t kt s ) k= x k e j2πkt sf C est une série de Fourier à termes complexes dans le domaine des fréquences = T F [x(t)] est une fonction périodique de la fréquence f. Signal discret TF périodique Conséquence : Les x k sont des coefficients de décomposition en série de Fourier à termes complexes nous pouvons donc les retrouver à partir de la transformée de Fourier : X(f) = T F [x(t)] 1 f s (f s ) X(f)e j2πkt sf df = T s (1/T s ) X(f)e j2πkt sf df Signaux échantillonnés (méthode no 2) : Cette propriété peut être établie de manière plus élégante en faisant intervenir les distributions. Le signal échantillonné x(t) est obtenu à partir du signal continu x c (t). x(t) = k= T F [x(t)] = X c (f) x k δ(t kt s ) = x c (t). n= δ(f nf s ) = f s k= δ(t kt s ) n= X c (f nf s ) (1.7) Nous retrouvons ainsi la périodicité du spectre. Bande de fréquence de Shannon : Pour étudier le spectre d un signal discret, il suffit de le connaître sur une période fréquentielle de durée f s le reste du spectre étant obtenu par périodisation de ce motif. Par convention, nous utiliserons la bande de fréquence de Shannon (ou de 14

15 Nyquist) [ f s 2, f s 2 ] [ 1 1, ]. L utilisation de fréquences normalisées justifiant 2T s 2T s la notation abrégée [ 1 2, 1 2 ]. Pour les calculs, bon nombre de logiciels utilisent la bande de fréquences [0, f s ] soit [0, 1] en fréquences normalisées. Ceci sera utilisé en particulier avec la transformée discrète (TFD) et son algorithme rapide (FFT). Phénomène de recouvrement fréquentiel : (repliement, folding, aliasing) Si le spectre f s X c (f) est plus étendu que la bande de Shannon, la périodisation va introduire un recouvrement dont la conséquence est que X(f) f s X c (f) ce qui interdit par simple filtrage (troncature fréquentielle) de retrouver le signal continu d origine. THEOREME DE SHANNON ( ) : C est le premier résultat fondamental de la théorie des signaux discrets. Si on appelle f M la fréquence maximale du spectre X c (f) du signal continu, celui-ci pourra être retrouvé sans distorsion si on respecte la condition : f s 2.f M T s 1 2.f M 1 est la période d échantillonnage critique (pour un signal sinusoïdal, 2 échantillons par période). 2.f M Remarque : En pratique, pour un grand nombre de signaux, le spectre de Fourier n est pas limité mais tend asymptotiquement vers 0 lorsque f +. Dans ce cas, f M = + et il est impossible de respecter rigoureusement la condition de Shannon. On peut quand même chercher à la respecter approximativement par exemple en négligeant dans le spectre toutes les fréquences pour lesquelles le module de la transformée de Fourier du signal est inférieur à α% de son maximum. Conséquences expérimentales : 15

16 Expérimentalement il est nécessaire de supprimer toutes les fréquences supérieures f M en particulier celles qui peuvent être dues à des bruits. Il faut donc de procéder au préalable à un filtrage du signal par un filtre passe-bas : le filtre anti-repliement. Ce filtre ne peut être évidemment réalisé que de manière analogique puisqu il précède l échantillonnage. 1.5 Reconstruction d un signal échantillonné : Celle-ci est théoriquement possible si la condition d échantillonnage de Shannon a été respectée. Il suffit de faire le raisonnement suivant : Isoler le spectre du signal continu dans la bande de Shannon : X c (f) = ( 1 f s ).X(f).rect( f f s ) Effectuer la transformation de Fourier inverse : x c (t) = T F 1 [X c (f)] x c (t) = 1 sin (πf s t) x(t) f s f s πf s t = x c (t) = k= x k sin (πf s (t kt s )) πf s (t kt s ) Connaissant les échantillons x k nous sommes donc capables de reconstituer le signal. Il y a cependant un inconvénient : cette reconstruction n est pas causale puisque, à un instant t donné, il nous faut tous les échantillons y compris ceux qui interviennent dans le futur. Elle nécessite le calcul avec tous les échantillons qui peuvent être en nombre infini temps de calcul prohibitif. Cette technique peut néanmoins être utilisée en temps différé sur des signaux possédant un nombre limité d échantillons. Dans la pratique nous levons ces inconvénients en s adressant à des techniques de reconstruction approximatives mais causales et de temps de calcul raisonnable. La formule exprime quand même le fait théorique important qui est que, si on respecte la condition de Shannon, le signal échantillonné possède la totalité des "informations" contenues dans le signal continu. 16

17 1.6 Signaux discrets et périodiques : Ils seront étudiés en détail dans le chapitre sur la transformée de Fourier discrète. Compte tenu des chapitres précédents, le spectre aura les deux propriétés de périodicité et de discrétisation. Signal discret TF périodique Signal périodique TF discrète = Signal périodique et discret TF discrète et périodique 1.7 Signaux réels : Signaux dont la mesure est exprimée par un nombre réel (x k R) c est à dire la grande majorité des signaux traités dans la pratique. Que le signal soit discret ou continu leur spectre a les mêmes propriétés générales. Ce sont ces propriétés déjà établies dans le cas continu qui sont ici brièvement rappelées. Propriétés de la transformée de Fourier d un signal réel : Utilisons les propriétés de la transformée de Fourier (cf preuve en fin de paragraphe) : X(f) = T F [x(t)] X( f) = T F [ x(t) ] = T F [x( t)] Pour un signal x(t) réel : T F [x(t)] = X(f) = A(f) + jb(f) où A(f) et B(f) sont réels X( f) = A( f) + jb( f) = T F [x(t)] = A(f) jb(f) La transformée de Fourier d un signal réel est telle que : sa partie réelle A(f) est paire sa partie imaginaire B(f) est impaire. X(f) peut être exprimée aussi sous la forme module-argument : X(f) = X(f) e jϕ(f) Cas du module : X(f) 2 = A(f) 2 + B(f) 2 = X( f) 2 Cas de l argument : ϕ(f) = Arg[X(f)] = Arctg[B(f)/A(f)] = Arg[X( f)] La transformée de Fourier d un signal réel est telle que : le module X(f) est pair l argument Arg[X(f)] est impair. Application au calcul de la transformée de Fourier d un signal réel : Dans le cas d un signal réel et discret, il suffit de calculer la transformée de Fourier sur la moitié de la bande de Shannon [0 ; 0.5] l autre partie [-0.5 ; 0] ou [0.5 ; 1] étant complétée : par symétrie pour le module qui est pair. par antisymétrie pour l argument qui est impair. Cas particulier d un signal pair : Si x(t) est pair la transformée de Fourier est paire : X(f) = X( f). Si de plus il est réel seul A(f) existe X(f) est réel. La transformée de Fourier d un signal réel et pair est réelle et paire. Cas particulier d un signal impair : Si x(t) est impair la transformée de Fourier est impaire : X(f) = X( f). 17

18 Si de plus il est réel seul B(f) existe X(f) est imaginaire. La transformée de Fourier d un signal réel et impair est imaginaire et impaire. Annexe : propriétés de la transformée de Fourier d un signal réel : Cas de signaux continus : T F [x(t)] = X(f) = X( f) = x(t)e j2πft dt x(t)e j2πft dt = x( t)e j2πft dt = T F [x( t)] + Cas de signaux discrets : [ + ] T F [x(t)] = T F x k δ(t kt s ) = X(f) = X( f) = T F [x( t)] x k e j2πktsf = x(t)e j2πft dt = T F [ x(t) ] = x k e j2πkt sf x k e j2πkt sf = T F [ x(t) ] = x k e j2πktsf = 1.8 Transformée de Fourier, transformée de Laplace et transformée en Z : Ce sujet est plus largement discuté dans l étude de la transformation en Z dont nous rappelons ici les points essentiels. La transformée de Fourier n existe que pour les signaux de L (1) (ensemble des signaux stables). En continu, elle a été généralisée par la transformée de Laplace (moyennant quelques conditions de convergence) et l extension de cette transformation de Laplace peut se faire avec précautions aux distributions et en particulier à la distribution de Dirac. Nous sommes ainsi en mesure de l étendre à l étude des signaux discrets. + T L[x(t)] = X(p = σ + jω) = x(t)e pt dt au sens des fonctions. T L[δ(t)] = 1 T L[δ(t τ)] = e pτ pour les distributions. x(t) = k= T L[x(t)] = x k δ(t kt s ) k= x k e kpt s 0 La transformée de Laplace d un signal discret ne se met plus sous forme polynomiale comme dans le cas continu ce qui nous fait perdre un outil puissant. Pour le retrouver un changement de variable complexe suffit et amène à définir la transformée en Z d un signal discret : z = e pt s T L[x(t)] = k= x k e kpt s = k= x k z k = T Z[x(t)] Le passage de cette transformée en Z à la transformée de Fourier se fait en posant z = e jwt s et n est possible que si le cercle unité appartient à l anneau de convergence 18

19 de la transformée en Z étudiée (cf : notions de base sur la transformée en Z) 19

20 Chapitre 2 Transformée de Fourier discrète : TFD et principe des analyseurs de spectre "numériques" Transformée de Fourier discrète (TFD). Application aux analyseurs de spectre. La transformée de Fourier discrète est la transformée de Fourier "exacte" d un signal périodique et discret. Elle est très simple à calculer à partir de séries mathématiques limitées et ce calcul s implante facilement sur calculateur ou circuit spécialisé (DSP) avec un algorithme FFT (Fast Fourier Transform) permettant d en accélérer le temps de calcul de plusieurs centaines de fois. Moyennant quelques précautions d emploi, elle permet d approximer en un temps record la transformée de Fourier d un signal continu à partir de sa version échantillonnée d où le grand intérêt de cette transformation pour les ingénieurs, scientifiques et traiteurs de signaux. 2.1 Transformée de Fourier Discrète. Définition mathématique : Mathématiquement, la transformée de Fourier discrète est une transformation qui fait correspondre deux séries de données de N points chacune : {x k } {X n } avec k, n entiers 0 n appartenant pas à [0; N 1] Transformation directe : Transformation inverse : X n = [ N 1 k=0 ] k.n j2π x k e N (2.1) x k = 1 N [ N 1 n=0 ] k.n j2π X n e N 20 (2.2)

21 Réalisation pratique : Pour calculer ces séries il existe un algorithme de transformée de Fourier rapide ou FFT (Fast Fourier Transform) qui dans le cas où N = 2 M est particulièrement performant (en utilisant cet algorithme pour N = 1024, le temps de calcul est divisé par un facteur environ 1000 par rapport à l utilisation directe de la définition. Implanté sur des ordinateurs ou réalisations à base de processeurs actuels, il dure moins d une µs). Cet algorithme très célèbre est largement étudié dans les cours d informatique et d algorithmique. 2.2 Estimation de la transformée des signaux Principe : Echantillonnons à la période T s un signal continu x c (t) pendant un temps d acquisition T a. Ce temps d acquisition dure N échantillons d où la relation : T a = N.T s Le signal échantillonné est : x(t) = x c (t) k= δ(t kt s ) = 21 N 1 k=0 x k δ(t kt s ) (2.3)

22 x k = x c (kt s ) x c (t NT s ) = 0 En prenant la transformée de Fourier des deux membres : T F [x(t)] = X c (f) f s. = = k= N 1 k=0 k= f s.x c (f kf s ) δ(f kf s ) x k e j2π.fkt s (2.4) Cette relation rappelle le fait que le spectre est continu et périodique. Si nous calculons N points de ce spectre pour les fréquences f = n. f s avec n [0; N 1] en N absence de repliement nous obtenons N points du spectre fréquentiel tels que : f s X c (n f N 1 s N ) = T F [x(t)] = x k e j2π.fkt s = X n (2.5) 22 k=0

23 en remarquant que f s N = 1 T a nous obtenons donc, si l effet du repliement est négligeable une bonne approximation de la transformée de Fourier du signal : X n f s.x c ( 1 T a ) (2.6) 1 est l intervalle entre deux points fréquentiels ou pas fréquentiel. T a 1 est la largeur de la bande [0; 1] sur laquelle est effectuée l estimation T s Nous mesurons N points en temporel et estimons ainsi N points en fréquentiel Cas général : k= f s X c ( n T a kn n T a ) = X n = f s X c ( n T a ) + k 0 f s X c ( n T a kn n T a ) N 1 k=0 X n = terme "principal" + terme de repliement. Il faut donc soigneusement éviter le repliement x k e j2π.fkts = X n (2.7) 2.3 Signaux périodiques : TFD et série de Fourier Signaux périodiques, signaux discrets : Signaux périodiques : Un signal périodique possède une décomposition en série de Fourier à termes complexes : avec C n = (T 0 ) x(t) = x(t)e j2π.nf 0t dt T F [x(t)] = n= n= C n e j2π.nf 0t = X n (2.8) C n T F [ e j2π.nf 0t ] = n= C n δ(f nf 0 ) (2.9) la transformée de Fourier d un signal périodique est discrète : Signal périodique TF discrète 23

24 Signaux discrets : Un signal échantillonné x(t) est obtenu à partir d un signal continu x c (t). x(t) = k= x k δ(t kt s ) (2.10) T F [x(t)] = k= x k e j2π.kt sf = X c (f) f s = f s n= n= δ(f nf s ) X c (f nf s ) (2.11) la transformée de Fourier d un signal discret est périodique : Signal discret TF périodique 2.4 Signaux échantillonnés et périodiques : Hypothèse : Le nombre N d échantillons par période est supposé entier : T 0 = N.T s f 0.T s = 1 N. Transformation de Fourier directe : Le signal périodique et échantillonné peut être modélisé par un motif discret de durée T 0 = N.T s périodisé : x ep (t) = [ N 1 k=0 x k δ(t kt s ) ] n= δ(t nt 0 ) (2.12) 24

25 T F [x ep (t)] = X ep (f) = = = [ N 1 x k e j2πkft s ].f 0 δ(f nf 0 ) k=0 n= + [ N 1 ] f 0 x k e j2πknf 0T s δ(f nf 0 ) n= k=0 + [ N 1 ] kn j2π f 0 x k e N δ(f nf 0 ) (2.13) n= k=0 {x k } étant la série d échantillons du motif du signal échantillonné périodique, nous voyons apparaître sa transformée de Fourier discrète {X n } et : X n = [ N 1 k=0 ] kn j2π x k e N (2.14) T F [x ep (t)] = X ep (f) = n= f 0 δ(f nf 0 ) Remarques : X n est la transformée de Fourier du motif temporel échantillonné prise pour la valeur f = n.f 0. X n+αn = X n α la TF est périodique de période fréquentielle N.f 0 = f s soit la largeur de la bande de Shannon. (propriété déjà vue, typique d un signal discret). La TF est échantillonnée avec la périodicité fréquentielle f 0 (propriété d un signal périodique). Transformation de Fourier inverse : La procédure est la même que pour la transformée directe puisque nous avons un spectre à la fois discret et périodique. La transformée de Fourier X ep (f) est donc un motif fréquentiel de largeur f s échantillonné à la cadence f 0 et périodisé à la distance f s. Ceci peut s écrire mathématiquement sous la forme : X ep (f) = [ N 1 n=0 X n = [ N 1 k=0 ] kn j2π x k e N ] f 0 X n δ(f nf 0 ) La transformation de Fourier inverse donne : T F 1 [X ep (f)] = [ N 1 n=0 = f 0 T s f 0 X n e j2πnf 0t k= [ N 1 n=0 δ(f kf s ) k= ].T s k= δ(t kt s ) X n e j2πnf 0kT s ] δ(t kt s ) 25

26 = 1 N k= = x ep (t) = [ N 1 n=0 k= ] nk j2π X n e N δ(t kt s ) x k δ(t kt s ) (2.15) d où l expression de la transformée de Fourier discrète inverse (TFD 1 ) : x k = 1 N [ N 1 n=0 ] kn j2π X n e N (2.16) Conclusion : La transformée de Fourier Discrète (TFD) est la manière rigoureuse de calculer la transformée de Fourier d un signal à la fois périodique et discret. La TFD et sa transformation inverse permettent de relier les échantillons {x k } du motif du signal périodique aux échantillons {X n } du motif de sa transformée de Fourier lien avec la série de Fourier : Un signal périodique se décompose en série de Fourier et nous pouvons l échantillonner en prenant N échantillons par période T 0 = N.T s : [ + ] x p (t) = C m e j2πmf 0t m= (2.17) x k = x p (t = kt s ) = m= mk j2π C m e N X n = 1 N D où la relation : [ N 1 k=0 ] kn j2π x k e N = [ N 1 k=0 [ C m e j2π km N m= ] ] kn j2π e N (2.18) X n = = N 1 k=0 m= C m m= [ C m e k(m n) j2π N e jπ(m n) (m n) jπ e N [C m N 1 ] + ] k(m n) j2π = e N m= k=0 sin (2π(m n)) sin ( 2π (m n) ) (2.19) N Le coefficient de C m est tel que : sin (2π(m n)) sin ( 2π (m n) ) = 0 pour m n αn et = N pour m n = αn N 26

27 d où : X n = N.C n+αn = N.C n + α= α 0 N.C n+αn Terme principal + terme de repliement Dans certaines conditions liées à l absence de repliement subsiste seul le terme principal correspondant à α = 0 et on aura la relation : X n N.C n (2.20) Application pratique : La TFD des échantillons d un signal périodique est une évaluation du coefficient de décomposition en série de Fourier à termes complexes de ce signal. Cette estimation sera rigoureuse si nous respectons lors de l échantillonnage la condition de Shannon. Par ailleurs il ne faut pas oublier la condition T 0 = N.T s c est à dire un nombre entier d échantillons dans une période du signal (le non respect, de cette condition est vu plus tard dans le chapitre V) Nous disposons ainsi d une méthode numérique de calcul de la série de Fourier permettant de remplacer le calcul d une intégrale par celui d une série de nombre finis de termes. 2.5 Quelques applications de la TFD Une fois les acquisitions du signal réalisées, il n est pas toujours possible de les recommencer. Pour obtenir des "données" supplémentaires sur le signal, il n est pas théoriquement nécessaire de reprendre l acquisition car, si l échantillonnage a été correctement effectué, le théorème de reconstruction prouve que le signal échantillonné contient autant "d indications" que le signal continu d origine. Les "données" recherchées peuvent ainsi être obtenues directement à partir du fichier. De nombreuse applications utilisent ce fait cependant, elles sont déduites des deux grandes méthodes d interpolation permettant d augmenter soit la précision fréquentielle soit la précision temporelle Amélioration de la précision fréquentielle : Problème : Un signal a été échantillonné en respectant la condition de Shannon. Nous avons acquis N points de ce signal qui, grâce à la TFD, nous ont permis d obtenir une estimation de sa transformée de Fourier en N points répartis dans la bande de fréquences de Shannon. Nous avons montré que l écart entre deux de ces points adjacents est de f 0 = f s constituera ainsi notre précision fréquentielle. N.f 0 27

28 Cette précision ne nous convient pas et nous souhaitons l améliorer sans pour autant reprendre l expérience. Est-ce possible? Interpolation fréquentielle ("zero padding") : Le problème précédent est possible et même trivial. Il suffit d avoir rempli une condition : éviter une troncature temporelle lors de l acquisition du signal. Le temps d acquisition du signal est T 0 = N.T s. Nous évitons la troncature si à t = T 0 le signal est terminé c est à dire supposé pratiquement nul. Pour augmenter la précision fréquentielle il faut diminuer f 0 soit augmenter T 0. Si le signal n a pas été tronqué lors de la première acquisition, augmenter T 0 revient à faire l acquisition d échantillons supplémentaires de valeur nulle. Inutile de refaire une manipulation pour cela, il suffit de les ajouter à la fin du fichier de données. Donc pour augmenter la précision fréquentielle, il suffit d ajouter autant de zéros que souhaité en fin de fichier ("zéro padding") puis de traiter celui-ci. premier fichier N points précision fréquentielle f s N. deuxième fichier N points + M zéros nouvelle précision fréquentielle Interpolation temporelle : f s N+M. C est le même problème que précédemment mais en permutant le rôle du temps et des fréquences. Cependant cela n est pas évident au premier abord et nous allons tenter de montrer ce résultat ainsi que les dispositions pratiques qui permettent de l obtenir. Problème : Un signal a été échantillonné en respectant la condition de Shannon et nous avons acquis N points de ce signal. En réalité ce nombre de points est insuffisant et nous voulons des points "intermédiaires". Pour obtenir ce résultat, il faudrait recommencer l acquisition avec une période d échantillonnage plus faible cependant, le signal échantillonné contenant toutes les informations du signal continu, il doit suffire pour retrouver ces échantillons et éviter de refaire l expérience. Propriétés de base : Nous avons un signal continu x c (t) échantillonné à une période T s1 pendant un temps d acquisition T 0 = N.T s1 ce qui nous donne le signal x 1 (t). Supposons le même signal x c (t) échantillonné à la période T s2 pendant le même temps T 0 = M.N.T s2. Ceci donne un autre signal x 2 (t) possédant M fois plus d échantillons que x 1 (t). Quelles sont les points communs et les différences entre x 1 (t) et x 2 (t)? Les deux signaux proviennent du même signal continu x c (t) et ont même durée T 0 l intervalle entre les échantillons fréquentiels est le même dans les deux cas = f 0 = 1 T 0. Pour les deux la condition de Shannon est supposée respectée T s2 < T s1 < 1/(2f max ), (f max étant la plus haute fréquence du spectre de x c (t)). 28

29 1 La largeur de la bande de Shannon pour x 1 (t) est = N. T s1 T 0 1 La largeur de la bande de Shannon pour x 2 (t) est = M.N soit M fois plus T s2 T 0 large que celle associée à x 1 (t). Le théorème de Shannon étant respecté dans les deux cas, le spectre de x 2 (t) est donc le même que celui de x 1 (t) mais sur une bande de Shannon plus large le spectre de x 2 (t) est le spectre de x 1 (t) complété par des zéros. Nous retrouvons ici l analogie avec le "zéro padding" : pour interpoler un signal temporel, il suffit de suréchantillonner à la période désirée et de faire en sorte que son spectre de fréquence soit complété par des zéros. exemple : x c (t) = t 2 exp( 3.t) avec T 0 = 3s. Ce signal à la forme ci-dessous : En choisissant : T s1 = 0.15s, T s2 = 0.05s N = 20 M = 3 Les spectres et bandes de Shannon associées sont les suivants : Interpolation temporelle : Il faut donc changer de période d échantillonnage, la diminuer. La méthode est basée sur la propriété que nous venons de voir et se fait en trois étapes illustrées par l exemple choisi : étape 1 : Echantillonnage du signal à la période T s1 conformément au théorème de Shannon. Etape 2 : Changement de période d échantillonnage, nous intercalons (M 1) zéros entre les échantillons du fichier nouvelle période d échantillonnage T s2 = T s1 et extension M de la bande de fréquence de Shannon. 29

30 En effet, les données numériques sont inchangées (des zéros ne donnent rien dans la TFD). Soit x(t) le signal échantillonné à la période T s1 (N échantillons) et y(t) le signal obtenu avec des zéros intercalés donc de période d échantillonnage T s2 (M.N échantillons). y(t) est tel que : y p = x k pour p = M.k et y p = 0 pour p M.k le calcul de la TFD nous donne : X n = [ N 1 k=0 ] kn j2π x k e N n n appartient pas [0; N 1] (2.21) M.N 1 pq Y q = j2π y p e MN p=0 n n appartient pas [0; M.N 1] (2.22) 30

31 les seuls échantillons y p non nuls étant pour p = M.k nous pouvons effectuer le changement de variable et : Y q = [ N 1 k=0 ] M.kq j2π y M.k e MN n n appartient pas [0; M.N 1] (2.23) le nouveau signal ainsi obtenu a donc même transformée de Fourier que le précédent, seule la bande de fréquence de Shannon est changée puisque multipliée par M. Nous représentons donc M bandes de Shannon du signal x(t). Etape 3 : Nous effectuons un filtrage passe-bas de fréquence de coupure 1 2.T s1 =largeur de la bande de Shannon du premier signal nous mettons à zéro les échantillons fréquentiels ajoutés. Réalisation pratique : 31

32 Applications : C est une méthode de compression du signal discret, il suffit de stocker juste les données nécessaires correspondant à une période d échantillonnage T s1 voisine de l échantillonnage critique. Si un besoin d échantillons se fait ressentir, la technique ci-dessus permet de les retrouver en temps réel. L un des domaines d utilisation de ce procédé est le CD audio. A l heure actuelle, un enregistrement musical est effectué à la limite de la fréquence de Shannon mais cela est insuffisant pour obtenir une restitution satisfaisante car il faut reconstruire un signal continu en temps réel. Pour cela, à la lecture du CD il est procédé à une interpolation avec M = 8 pour fournir le signal de qualité satisfaisante. Le stockage sur le CD y a quand même gagné ce facteur 8. 32

33 2.6 Analyseur de spectre - Fenêtres de pondération Analyseur de spectre "numérique" (principe) : Au chapitre III nous avons montré que si nous calculons la TFD des échantillons d un signal continu x c (t) de transformée de Fourier X c (f),celle-ci nous donne : 33

34 X n = f s X c (nf 0 ) + k 0 f s X c (nf 0 knf 0 ) terme principale + terme de repliement Si l effet du repliement est négligeable, la TFD devient une bonne approximation de la transformée de Fourier du signal : X n f s X c (nf 0 ) Déjà discuté, le résultat précédent montre que : La TFD appliquée à un signal quelconque permet d avoir une estimation de la valeur de sa transformée de Fourier en N points distants de f 0 = f s N. Pour cela, la TFD permet de remplacer une intégrale par une série à nombre fini de termes ce qui est une méthode numérique qui s implante très facilement sur calculateur, microprocesseur ou processeur de signal (DSP). Il a été développé des algorithmes mathématiques dits FFT (Fast Fourier Transform) qui accélèrent le temps de calcul dans certains cas par des facteurs 100 voire 1000 et calculer une TFD sur 1024 points peut être une opération qui ne prend que quelques µs. De ce fait, la TFD et FFT sont devenus des outils puissants de traitement de signal. Nous avons ici tous les ingrédients permettant de développer un appareil performant pour l analyse de Fourier : analyseur de spectre Elargissement des raies : Cas des sinusoïdes : Le signal dont le spectre de fréquences est le plus simple est le signal sinusoïdal de période T p. Son spectre ne contient théoriquement que deux raies aux fréquences 1 T p et 1 T p. Ceci est montré sur la figure ci-dessous. 34

35 Pour obtenir ce résultat, nous avons utilisé un temps d acquisition T a du signal égal à un nombre entier de fois la période T p de la sinusoïde. Si cette condition n est pas vérifiée nous obtenons le résultat suivant : nous ne retrouvons plus deux raies mais un spectre dit élargi. Explication : L un des résultats fondamentaux de l analyse Fourier est le principe d incertitude. Si DT est l étalement de la distribution d énergie dans le temps et DF l étalement associé dans le domaine fréquentiel nous savons que : t. f 1 4π Nous pouvons traduire cette relation par : plus un signal est étendu dans le domaine temporel, moins il le sera dans le domaine fréquentiel. L utilisation de la TFD implique un nombre fini d échantillons et donc un signal de durée finie. Pour les signaux de longue durée (signaux tendant asymptotiquement vers une valeur non nulle, signaux périodiques...) l utilisation de la TFD introduira une troncature temporelle plus ou moins importante dont l effet peut être indésirable sur les raies du spectre du signal. Exemple d une sinusoïde : Ce type de signal très étendu dans le temps donne théoriquement lieu à un spectre avec deux raies spectrales de largeur nulle (étalement fréquentiel faible). x(t) = k= x k δ(t kt ), x k = a.cos (2πf p kt s ) T F [(x(t)] = a 2 [δ(f f p) + δ(f + f p )] Si nous estimons son spectre grâce à une TFD calculée sur N points, cela revient à effectuer une troncature sur l intervalle de temps T a = N.T s ce qui limite l étalement temporel du signal et doit conduire à un étalement fréquentiel. 35

36 Le signal réel et sa transformée de Fourier seront : x(t, T a ) = x(t).rect( t T a/2 T a ) T F [x(t, T a )] = T F [x(t)] [T a.e jπft a sin (πft a) πft a ] a 2 T a[ sin (π(f f p)t a ) π(f f p )T a + sin (π(f + f p)t a ) π(f + f p )T a ] La troncature d un signal sinusoïdal a deux conséquences : Plutôt que deux raies "fines", nous trouvons des raies "élargies" correspondant aux deux sinus cardinaux. La largeur du lobe central (prise entre les deux premiers minima nuls) des raies est 2 f = 2 T a = 2 (NT s ). Outre ce phénomène d élargissement de la raie, il apparaît des lobes latéraux que nous pourrions être tentés d interpréter comme d autres raies présentes au pied de la raie principale (phénomène d apodisation des raies par troncature). Pour un sinus cardinal, le premier lobe secondaire a une amplitude relative d environ 22% ce qui est loin d être négligeable. Cas général : Un signal quelconque est une superposition de signaux sinusoïdaux et l utilisation de la TFD a deux conséquence sur les raies spectrales : Un élargissement d autant plus grand que la troncature est importante. Cela nous limite dans la séparation (la résolution) de raies voisines. L apparition de raies secondaires qui peuvent cacher des raies principales d une autre composante du signal Limite de résolution : Si le signal est composé de deux sinusoïdes de fréquences voisines : 36

37 x(t) = a 1 cos (2πf 1 t) + a 2 cos (2πf 2 t) Le spectre de ce signal doit comporter deux raies qui vont se trouver élargies par la troncature du signal. Quand peut-on dissocier (séparer) ces deux raies? Nous pouvons estimer cela en utilisant un critère correspondant à un cas limite : c est le critère de résolution de Rayleigh. Critère : Deux raies d un spectre sont considérées comme séparables, si le maximum de l une correspond au premier minimum nul de l autre. En appelant 2 f la "largeur" d une raie prise par convention comme étant l écart entre les fréquences correspondant aux deux premiers minima nuls encadrant le maximum de la raie, la limite de résolution sera donc telle que f 2 f 0 = f. Ceci est illustré par les figures suivantes (elles correspondent à des raies avec fenêtre de Hamming étudiée ensuite) Utilisation d une fenêtre : Pour éviter ces inconvénients, nous pouvons réaliser une troncature avec pondération des échantillons : fenêtre de pondération. La fenêtre doit être choisie de manière à ce que sa transformée de Fourier ait un lobe central le plus étroit possible et des lobes latéraux d amplitude la plus faible possible. Le compromis entre ces deux exigences est réalisé par un certain nombre de fenêtres : Hanning, Hamming, etc. Fenêtre rectangulaire : C est la troncature simple, son lobe central est de largeur 2 f = 2 (NT 0 ) = 2 et l amplitude du premier lobe de l ordre de 22%. (NT s ) L effet des lobes latéraux se met en évidence sur le traitement d un signal composé de deux raies théoriquement résolues mais d amplitudes de rapport 10. La TFD donne le résultat ci contre où la "petite" raie est non détectable. 37

38 Fenêtre de Hanning : Fenêtre dite en "cosinus", son lobe central est de largeur 2 f = 4 et son premier lobe latéral d amplitude relative d environ 3%. (NT s ) ( ) 2πt f(t) = [ cos ]rect( t ) T 0 T 0 T F [f(t)] = F (f) = 1 2 δ(f)1 4 {[δ(f 1 ) + δ(f + 1 sin (πft 0 ) )]} [T 0 T 0 T 0 (πft 0 ) Nous perdons un facteur 2 en résolution spectrale mais l importance des lobes latéraux est moindre ce qui permet par rapport à la troncature de mieux séparer les raies d amplitudes différentes. Ceci est montré sur la figure ci-contre qui reprend le traitement par TFD avec fenêtre de Hanning de l exemple précédent de deux raies théoriquement résolues et d amplitudes de rapport 10 Fenêtre de Hamming : Dite en "cosinus rehaussé", son lobe central est de largeur 2 f = 4 et ses lobes latéraux d amplitude relative inférieure à 1%. (NT s ) 38

39 ( ) ( 2πt t f(t) = [α + (1 α)cos ]rect T 0 T 0 ) Le paramètre α est ajusté pour minimiser ( les ) lobes ( latéraux ) en particulier le second 2πt t α = 0.54 f(t) = [ cos ]rect T 0 Tout en concédant toujours un facteur 2 sur la résolution de la fenêtre rectangulaire, l importance des lobes latéraux est moindre ce qui améliore le résultat de la fenêtre de Hanning pour la détection de raies d amplitudes différentes. La figure ci-contre reprend le traitement par TFD de l exemple de deux raies théoriquement résolues et d amplitudes de rapport 10 avec une fenêtre de Hamming Autres fenêtres : De nombreuses autres fenêtres ont été développées. Elles sont aussi utilisées dans les méthodes de synthèse des filtres RIF. Elles sont traitées à ce niveau, les analyseurs de spectre se contentant largement de celles que nous venons d étudier. Signalons une fenêtre dite à "toit plat" (flat top) utilisée dans les analyseurs de T 0 39