BREVET BLANC. Mercredi 6 mai Epreuve de Mathématiques 2 heures
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1 BREVET BLANC Mercredi 6 mai 2009 Epreuve de Mathématiques 2 heures L usage de la calculatrice est autorisé. Vous devez cependant écrire les détails de vos calculs. Un résultat juste sans les étapes des calculs ne sera pas considéré comme suffisant. ucun échange de matériel n est autorisé. Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la présentation (2 points).
2 Activités numériques Exercice 1 (3 points) Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Pour chacune des questions, vous recopierez son numéro sur la copie et écrirez la réponse. Aucune justification n est demandée. Questions A B C x 5 6 est égal à x (10 3 ) -2 x x10-2 est égal à Pour tout nombre x, (3x 2) 2 est égal à 3 x 2 12x x 2 12x x 2-4 Exercice 2 (6points) Dans une classe de 26 élèves, les résultats suivants ont été obtenus à un devoir : Note Effectifs Effectifs cumulés croissants 1 ) a. Calculer la moyenne de ce devoir arrondie au dixième. b. Calculer le pourcentage d élèves de la classe qui ont une note supérieure ou égale à 12. Le résultat sera arrondi à l unité. 2 ) Calculer l étendue de cette série de notes. 3 ) Compléter le tableau puis déterminer la note médiane. 4 ) Déterminer Q 1 et Q 3, les valeurs du premier et troisième quartiles de la série. Exercice 3 (5,5 points) On considère l expression E = ( 3x + 2 ) 2 - (3x + 2)(x + 7) 1. Développer et réduire E. 2. Factoriser E. 3. Calculer E lorsque x = Résoudre l équation (3x + 2)(2x 5) = 0 Exercice 4 (1,5 point ) Résoudre l équation x + 15 = 3 (x + 7)
3 Activités Géométriques Exercice : (8 points) Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB = 6 cm, AC = 8 cm. 1. Faire une figure. 2. Calculer et donner une valeur arrondie au dixième de ABC. 3. Montrer que BC = 10 cm. Placer le point E sur le segment [AB] tel que BE = 1,5 cm. Placer le point F sur le segment [BC] tel que BF = 2,5 cm. 4. a) Montrer que les droites (AC) et (EF) sont parallèles. b) Calculer EF. Problème (14 points) Les 2 parties sont indépendantes. Un artisan fabrique des boîtes en forme de tronc de pyramide pour un confiseur. Pour cela, il considère une pyramide régulière SABCD à base carrée, où O est le centre du carré ABCD. On a : OA = 12cm et SA = 20 cm. 1ère partie : 1. a) Préciser la nature du triangle AOS et montrer que SO = 16 cm. b) Préciser la nature du triangle AOB et montrer que AB = 288 cm. c) Calculer l aire du carré ABCD. d) En déduire le volume de la pyramide SABCD.
4 2. L artisan coupe cette pyramide SABCD par un plan parallèle à la base tel que SM = 2 cm, où M est le centre de la section IJKL ainsi obtenue. a) Calculer le coefficient de réduction transformant la pyramide SABCD en la pyramide SIJKL. b) En déduire le volume de la pyramide SIJKL. 2ème partie : L artisan fabrique donc des boîtes sur le modèle du tronc de pyramide ABCDIJKL. Le confiseur vend ces boîtes remplies de bonbons et de chocolats à une grande surface. Deux tarifs sont proposés au choix : Tarif A : 2 la boîte tous frais compris. Tarif B : 300 de frais quel que soit le nombre de boîtes achetées et la boîte est vendue 1,5. 1. a) Calculer le coût d achat pour 500 boîtes puis pour 700 boîtes avec les deux tarifs. b) Quel est le tarif le plus avantageux pour la grande surface pour 500 boîtes? Pour 700 boîtes? 2. Le nombre de boîtes achetées par la grande surface est notée x. a) On note SA la somme à payer pour l achat de x boîtes au tarif A. Exprimer SA en fonction de x. b) On note SB la somme à payer pour l achat de x boîtes au tarif B. Exprimer SB en fonction de x. c) Déterminer à partir de combien de boîtes achetées le tarif B devient plus avantageux pour la grande surface.
5 CORRECTION DU BREVET BLANC Activités numériques Exercice 1 1. La bonne réponse est B : La bonne réponse est C : La bonne réponse est B : 9 x 2 12 x + 4. Exercice 2 1 ) a. Moyenne du devoir : 1 6x3 + 4x7 + 4 x x x x x x x x 19 x = 26 x 11,2 b. Il y a 12 élèves qui ont une note supérieure ou égale à la moyenne, d où le pourcentage : 1 12 x ) Etendue de cette série : 1/ = 13 3 ) Note Effectifs Effectifs cumulés croissants / élèves ont une note inférieure ou égale à 10 et 13 élèves ont une note supérieure ou égale à 11 : la médiane est 10,5. 4 ) 25% de l effectif correspond à 6,5 et il y a 7 élèves qui ont une note inférieure ou égale à 7 donc Q 1 = % de l effectif correspond à 19,5 et il y a 20 élèves qui ont une note inférieure ou égale à 15 donc Q 3 = 15. Exercice 3 1 ) E = ( 3x + 2 ) 2 - (3x + 2)(x + 7) E = ( 9x x + 4 ) ( 3x x + 2x + 14) 11/2 E = 9 x x + 4 3x 2 21x 2x 14
6 E = 6 x 2 11x ) E = ( 3x + 2 ) 2 - (3x + 2)(x + 7) 11/2 E = ( 3x + 2)[ (3x + 2) (x + 7)] E = ( 3x + 2)( 3x + 2 x 7) E = ( 3x + 2)( 2x 5) 3 ) Si x = 3 E = 6 ( 3 ) E = E = ) (3x + 2)(2x 5) = 0 Un produit de facteurs est nul si l un au moins des facteurs est nul 11/2 Alors 3x + 2 = 0 ou 2x 5 = 0 Soit x = ou x = Exercice 4 x + 15 = 3 (x + 7) x + 15 = 3x /2 x 3x = x = 6 x = - 3 Activités Géométriques 1 ) 11/2
7 2 ) Dans le triangle rectangle ABC tan ABC = AC AB 11/2 tan ABC = 8 6 ABC 53,1 3 ) Dans le triangle rectangle ABC Ecrivons la propriété de Pythagore BC 2 = AB 2 + AC 2 BC 2 = /2 BC 2 = BC 2 = 100 BC = 10 cm 4 ) a) BE BA = 1,5 = 1 BF 6 4 BC = 2,5 10 = 1 4 Dans le triangle ABC A,E,B sont alignés 2 B,F,C sont alignés dans le même ordre BE BA = BF BC D après la réciproque de la propriété de Thalès, les droites (EF) et (AC) sont parallèles. b) Dans le triangle BAC B, E, A sont alignés B,F,C sont alignés 11/2 Les droites (EF) et (AC) sont parallèles. D après la propriété de Thalès BE BA = BF BC = EF AC Soit 1,5 6 = 2,5 10 = EF 8 D où EF = 8 x 2,5 10 = 2 cm
8 Problème 1ere partie 1 ) a) La hauteur [SO] est perpendiculaire à la base ABCD, donc est perpendiculaire à (AO) : le triangle AOS est un triangle rectangle. Dans le triangle rectangle AOS, écrivons la propriété de Pythagore : AO 2 + OS 2 = AS 2 OS 2 = AS 2 AO 2 11/2 OS 2 = OS 2 = OS 2 = 256 OS = 16 cm b) Les diagonales de la base carrée sont égales, perpendiculaires et se coupent en leur milieu : le triangle AOB est rectangle et isocèle. Dans le triangle rectangle AOB, écrivons la propriété de Pythagore : AO 2 + OB 2 = AB 2 2 AB 2 = AB 2 = AB 2 = 288 AB = 288 cm c) Aire du carré ABCD : 1 AB x AB = 288 cm 2 d) Volume de la pyramide SABCD: V = 1 x aire de ABCD x SO 3 11/2 V = 1 x 288 x 16 3 V = 1536 cm ) a) le coefficient de réduction est : SM SO = 2 16 = 1 8 b) Volume de la pyramide SIJKL 1 11/2 V = 512 x 1536 V = 3 cm 3 V = ( 1 8 )3 x volume de la pyramide SABCD
9 2ème partie 1 ) a) On peut faire le tableau suivant : Tarifs Nombre de boites A 500 x 2 = x 2 = 1400 B 500 x 1, = x 1, = b) Pour 500 boîtes, le tarif le plus intéressant est le tarif A 1 Pour 700 boîtes, le tarif le plus intéressant est le tarif B. 2 ) a) S A = 2 x 1 b) S B = 1,5x c) Le tarif A est plus avantageux si : 2x < 1,5x x 1,5x < /2 0,5x < 300 x < 300 0,5 x < 600 Le tarif A est plus intéressant jusqu à 600 boîtes puis au-delà de 600 boîtes, c est le tarif B.
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