AGRANDISSEMENT ET RÉDUCTION
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- Angèle Renaud
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1 Ch 2 AGRANDISSEMENT ET RÉDUCTION Sommaire 0- Objectifs 1- Le théorème de Thalès 2- La réciproque du théorème de Thalès 3- Agrandissement et réduction 0- Objectifs Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés des deux triangles déterminés par deux parallèles coupant deux droites sécantes. Connaître et utiliser un énoncé réciproque. Agrandir ou réduire une figure en utilisant la conservation des angles et la proportionnalité entre les longueurs de la figure initiale et celles de la figure à obtenir. Connaître et utiliser le fait que, dans un agrandissement ou une réduction de rapport k, - l aire d une surface est multipliée par k 2, - le volume d un solide est multiplié par k 3.
2 1- Le théorème de Thalès 3 situations possibles : Théorème de Thalès : Soient deux droites (AB) et (AC) et deux points M (AB) et N (AC). AB Si (MN) // (BC) alors AM = AC AN = BC MN Remarque : Ce théorème signifie que le triangle ABC est une réduction ou un agrandissement du triangle AMN (côtés correspondants proportionnels). Exemples : * savoir-faire n 1 page 186 * savoir-faire n 3 page 187 * Dans le schéma ci-contre, (CB) et (AD) se coupent en E avec (CD)//(AB), EC = 2,8 cm, EA = 3,5 cm, EB = 4 cm et CD = 3 cm. Calculer DE et AB. E, C et B sont alignés, ainsi que E, D et A. Comme (CD) est parallèle à (AB), on peut donc utiliser le théorème de Thalès : les deux triangles ECD et EBA ont des côtés proportionnels. On a donc EC EB = ED EA = CD BA 2,8 cm donc 4 cm = ED 3,5 cm = 3cm BA donc ED = 3,5 cm 2,8cm 4cm et BA = 3cm 4cm 2,8 cm = = 9, ,8 cm = cm = cm = 2,45 cm 20 cm 4,3 cm (arrondi au dixième)
3 Application : partager un segment * savoir-faire n 4 page 188 * Placer le point P de [AB] tel que AP = 2 7 AB Soit un segment [AB]. On trace une droite qui passe par A et on place des points C 1, C 2, C 3, C 4, C 5, C 6 et C 7 répartis régulièrement sur cette droite :le segment [AC 7] est donc partagé en 7 parts égales. En prenant le point C2, on a AC 2 AC 7 = 2 7 On trace [BC 7] et la droite qui est parallèle à [BC 7] et qui passe par C2 : elle coupe [AB] en un point P. A, P et B sont alignés, ainsi que A, C 2 et C 7 Par ailleurs, [BC 7] et [PC 2] sont parallèles on peut donc utiliser le théorème de Thalès : AP AB = AC 2 = PC 2 AC 7 BC 7 AC 2 Or, = 2 AP donc AC 7 7 AB = 2 7 d'où AP = 2 7 AB
4 2- La réciproque du théorème de Thalès Théorème : Soient deux droites (AB) et (AC) et deux points M (AB) et N (AC) tels que les points A, M, B soient dans le même ordre que les points A, N,C. AB Si AM = AC alors (MN) // (BC) AN Exemples : * savoir-faire n 2 page 186 * Observer le schéma ci-contre : deux segments [AB] et [DC] se coupent en E avec DE = 7 cm, CE = 11 cm, BE = 16,5 cm et AE = 10,5 cm. Démontrer que (AD)//(BC). A, E et B sont alignés dans le même ordre que l'alignement D, E et C Par ailleurs, ED EC = 7 11 donc ED EC = AE EB et AE EB = 10,5 16,5 = = = 7 11 donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AD) et (BC) sont parallèles. Contre-exemple : * savoir-faire n 3 page 187
5 3- Agrandissement et réduction Définition : Lorsque deux figures ont la même forme et des longueurs proportionnelles (k étant le coefficient de proportionnalité), on dit que l'une est un agrandissement ou une réduction de l'autre, de rapport k. k > 1 agrandissement k < 1 réduction Exemples : * Soit un rectangle de côtés 3 cm et 6 cm. a) Agrandir ce rectangle dans le rapport 1,2. b) Réduire ce rectangle dans le rapport 0,4. a) Le rectangle agrandi aura pour côtés 3 cm 1,2 et 6 cm 1,2 : c'est donc un rectangle de côtés 3,6 cm et 7,2 cm. b) Le rectangle réduit aura pour côtés 3 cm 0,4 et 6 cm 0,4 : c'est donc un rectangle de côtés 1,2 cm et 2,4 cm. Remarque : Une carte ou un plan est une réduction de la réalité : l'échelle est le rapport de réduction. Exemple : 1 * Un plan est à l'échelle Quelle est sa longueur réelle?. Une route mesure 20 cm sur ce plan. 1 Comme l'échelle du plan est (1 cm sur le plan mesure cm dans la réalité), la longueur réelle est fois plus grande. On a 20 cm = cm = 5 km La longueur réelle de la route est donc égale à 5 km. Remarque : Quand on agrandit ou réduit une figure, les angles sont conservés.
6 Propriété : Pour un agrandissement ou une réduction de rapport k : * les longueurs sont multipliées par k * le périmètre est multiplié par k * l'aire est multipliée par k² * le volume est multiplié par k³ (voir le Ch 12) Exemple : * savoir-faire n 5 page 188 * Sur une carte au 1/5 000, un bois a une aire de 8 cm². Quelle est l'aire du bois dans la réalité? L'échelle étant 1/5 000, cela signifie que les dimensions réelles sont obtenues en multipliant les dimensions sur la carte par ; donc les aires mesurées sur la carte sont multipliées par 5 000² pour obtenir les aires réelles. 8 cm² 5 000² = cm² = cm² = 2 hm² = 2 ha L'aire du bois est de 2 ha dans la réalité.
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