Préparation à l évaluation sur les vecteurs - Corrigé

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1 Préparation à l évaluation sur les vecteurs - Corrigé Exercice 1 Dans le repère, on considère les vecteurs : ( ) et ( ) Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses? a) Cette affirmation est vraie. a pour coordonnées ( ) dans la base. Donc. b) Les vecteurs et sont colinéaires. Vrai. ( ) donc les vecteurs et sont colinéaires. c) Les vecteurs et sont colinéaires. Vrai. ( ) ( ) et ( ) ( ). Donc les vecteurs et sont colinéaires. Exercice 2 Dans un repère du plan, soit les points et. 1) Déterminer une équation cartésienne de la droite. Soit un point du plan. ( ) ( ) et ( ). sont colinéaires. Une équation cartésienne de la droite est. 2) Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par le milieu de [ ] et parallèle à et La droite est parallèle à. Le vecteur est donc un vecteur directeur de. Soit un point du plan. ( ). sont colinéaires. Une équation cartésienne de la droite est. N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 1

2 3) est la droite d équation Prouver que et sont sécantes en un point de coordonnées à déterminer. et sont sécantes Les droites et sont sécantes en un point de coordonnées. Montrer que le milieu de [ ] est un point de. et Exercice 3 Soit un triangle non aplati. Pour tout réel, on considère le point, défini par la relation vectorielle. 1) Construire sur la même figure et. est défini par la relation vectorielle : est défini par la relation vectorielle : est défini par la relation vectorielle : 2) Déterminer et construire le lieu géométrique des points, lorsque décrit. On se place dans le repère. Le point est défini par la relation. Il a donc pour coordonnées où t est un réel quelconque. Donc appartient à la droite d équation dans le repère. N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 2

3 Exercice 4 Soit un carré dont la longueur du côté est. Soit le milieu de [ ] et le milieu de [ ]. 1) Faire une figure. 2) On souhaite démontrer que les droites et sont parallèles de différentes manières : a) Méthode 1 Exprimer le vecteur en fonction de et. Faire de même pour le vecteur et conclure. d après la relation de Chasles car le milieu de [ ] d après la relation de Chasles car carré car le milieu de [ ] car carré On en déduit que donc les droites et sont parallèles. b) Méthode 2 Dans le repère, donner les coordonnées des points et. calculer les coordonnées des vecteurs et. Conclure. Dans le repère, et. Donc ( ) ( ) et ( ) c) Méthode 3 Dans le repère, déterminer une équation cartésienne des droites et. Conclure. Soit un point du plan. ( ) et ( ) sont colinéaires ( ) et ( ) N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 3

4 sont colinéaires ( ) est un vecteur directeur de et de donc ces deux droites sont parallèles. Exercice 5 est un parallélogramme. Les points E et F sont tels que et. 1) Réaliser une figure. 2) Exprimer les vecteurs et en fonction de et. d après la relation de Chasles d après la relation de Chasles 3) En déduire que les droites et sont parallèles. ( ) Les vecteurs et sont donc colinéaires et les droites et sont parallèles. Exercice 6 Soient et deux points distincts du plan. On considère le point C défini par. Justifier que les points et sont alignés. ( ) On en déduit que les vecteurs et sont colinéaires donc que les points et sont alignés. N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 4

5 Exercice 7 Soit et trois points distincts et non alignés du plan. 1) Déterminer et représenter l ensemble des points du plan tels que et sont colinéaires (penser à faire intervenir les milieux des segments [ ] et [ ]). car le milieu de [ ]. et sont colinéaires et sont colinaires M appartient à la droite de vecteur directeur et passant par I le milieu de [ ]. 2) Déterminer l ensemble des points du plan tels que et appartient au cercle de centre I et de rayon Exercice 8 Soit un repère orthonormé du plan. Soit et deux points mobiles respectivement sur l axe des abscisses et sur l axe des ordonnées, tous deux distincts de l origine O. On note l abscisse du point et l ordonnée du point. a) Déterminer une équation cartésienne de la droite. Dans le repère, a pour coordonnées et Soit un point du plan. ( ) et ( ) sont colinéaires b) Déterminer à quelle condition la droite et une droite passant par l origine sont sécantes. Déterminer alors les coordonnées de leur point d intersection que l on nommera. On considère une droite passant par l origine différente de (Oy). Alors il existe telle que ait pour équation. Comme et la droite a pour équation réduite. Les droites et sont parallèles lorsque. Si alors et sont sécantes en un point. N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 5

6 et sont sécantes ( ) Le poin d in ersec ion des droi es et est d abscisse et d ordonnée c) En vous aidant du cercle de diamètre [ ], déterminer la condition pour qu une droite passant par l origine du repère soit perpendiculaire à la droite ( et sont fixés). Si le point se trouve sur le cercle de centre et de diamètre [ ] alors le triangle est rectangle en Ainsi les droites et sont perpendiculaires. On a donc. Pour calculer la distance seconde : on utilise la formule vu en ( ) ( ) ( ) car, et Si alors une droite passant par l origine du repère est perpendiculaire à la droite. N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 6