Chapitre 2. Fonctions usuelles. P. Saadé Année Table des matières. 1. Rappel de terminale et quelques théorèmes à retenir...

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1 Chapitre Fonctions usuelles P. Saadé Année Table des matières. Rappel de terminale et quelques théorèmes à retenir Fonctions logarithme, exponentielle et puissance Logarithme népérien Logarithme de base a Exponentielle Exponentielle de base a Puissances Comparaison des fonctions logarithme, exponentielle et puissance Fonctions circulaires Rappel de l approche géométrique Fonctions circulaires directes Fonctions circulaires réciproques Fonctions de trigonométrie hyperbolique Fonctions ch et sh Fonctions th et coth Quelques formules de trigonométrie hyperbolique Fonctions hyperboliques réciproques Argument sinus hyperbolique Argument cosinus hyperbolique Argument tangente hyperbolique Complément Fonction exponentielle complexe

2 . Rappel de terminale et quelques théorèmes à retenir Théorème. Si une fonction f : [a, b] R est continue et strictement monotone avec [a, b] un intervalle fermé borné, alors pour tout k compris entre f(a) et f(b), l équation f(x) = k admet une unique solution dans [a, b]. Nous admettons, pour l instant, la généralisation suivante de ce théorème : Théorème. Si une fonction f :], + [ R est continue et strictement monotone sur cet intervalle ], + [, et que f admet l et l pour limites en et + respectivement, alors pour tout k compris entre l et l, l équation f(x) = k admet une unique solution dans ], + [. Remarque. Le théorème de terminale se généralise également au cas des intervalles ouverts de la forme ]a, b[ ou bien au cas des intervalles semi-ouverts de la forme [a, b[ ou ]a, b] à condition de remplacer les valeurs aux points extrêmes de l intervalle par des limites lorsque ces points ne sont pas dans l intervalle... Remarque (Fait important). Sous les hypothèses du premier théorème, cela signifie que l on peut définir une application, notée f et appelée réciproque de f par : f : [f(a), f(b)] ou [f(b), f(a)] [a, b] y l unique x tel que y = f(x) Sa courbe représentative est symétrique de celle de f par rapport à la première bissectrice. { f : [a, b] R continue et strictement monotone Théorème (Très important). Soient y [f(a), f(b)] ou [f(b), f(a)] On note x l unique antécédent de y par f dans [a, b]. Si on suppose en plus que f est dérivable sur l intervalle [a, b] et que f (x) 0 alors f est dérivable au point y avec : (f ) (y) = f (f (y)). Fonctions logarithme, exponentielle et puissance.. Logarithme népérien. Définition. On appelle logarithme népérien l application Théorème 4. ln : R + R x ln(x) = x dt t. ln est une application bijective strictement croissante de R + sur R. Elle est de classe C : ln C (R + ). a, b R +, ln(a b) = ln(a) + ln(b) Remarque. Sur le sens de C dans cet énoncé... Démonstration.. ln est dérivable sur R + (il faudra attendre le cours sur la primitivation) et ln (x) = x > 0 sur R +. Par un théorème que l on démontrera rigoureusement plus tard, on en déduit que ln est strictement croissante. De plus, ln( n ) = n ln() (on utilise le point qu on va démontrer juste après!!!) Donc lim + ln( n ) = + et par un argument utilisant la croissance de la fonction, on peut montrer que

3 lim ln(x) = + + De même, on déduit facilement que lim ln(x) = 0 + Il vient par le théorème qu on a évoqué au début que ln(r + ) = R.. (classique) On pose f a (x) = ln(ax) Il se trouve que f a est dérivable sur R + et que f a(x) = a ax = x De sorte que f a est aussi une primitive sur R + de x. Ainsi, K R, f a = ln +K Alors, f a () = ln(a) = ln() + K et on en déduit : b R +, ln(ba) = ln(b) + ln(a) Remarque. Comme ln est dérivable, ln est continue. Cette propriété est fondamentale en analyse mais sa démonstration nécessite un certain bagage mathématique qui nous échappe pour l instant. Il faut garder en tête l articulation entre ces deux notions... Ensuite, x est C sur R +... Proposition. ln : (R +, ) (R, +) est un isomorphisme du groupe multiplicatif (R +, ) sur le groupe additif (R, +). Remarque. Expliquons ce qu est un morphisme de groupe... Proposition. Pour n N et a, b, a,..., a n éléments de R +, on a : ( a ). ln = ln(a) ln(b) ( b n ) n. ln a i = ln(a i ) i= i=. k Z, ln(a k ) = k ln(a) Proposition (Limites classiques).. lim ln(x) = + x +. lim ln(x) = x 0 + ln( + x). lim = x 0 x Graphe.

4 y = ln(x).. Logarithme de base a. Ici, a R + \ {}. Définition. On appelle logarithme de base a l application log a : R + R x log a (x) = ln(x) ln a Remarque. On a : k Z, log a (a k ) = ln(ak ) ln(a) = k On comprend intuitivement que la fonction log a ( ) permet de déterminer comment un réel quelconque x s écrit comme puissance du réel fixe a. C est pourquoi cette version de la fonction logarithme est dite de base a. Exemple. Par exemple, log 0 (000) = et log 0 (00) =, 0... On rappelle que les Décibels sont définis à l aide de la formule : ( ) U 0 log 0 U Proposition.. log a C (R +) et log a(x) =. log a () = 0 et x ln(a) x, y R +, log a (xy) = log a (x) + log a (y). Formule du changement de base (peu utile... Historique) : 4. log a (x) = log a(x) log b (x) = log b (a) log a (x) Graphe.

5 5 log a 0 < a < < a O.. Exponentielle. - L application ln : R + R est continue et strictement croissante. De plus, ln(r + ) = R. Par application d un théorème fondamental concernant les applications continues, on en déduit que ln est continue de R sur R +. On appelle exponentielle cette application réciproque : exp : R R + x y = exp(x) ln(y) = x De plus, ln est dérivable et a R +, ln (a) = a 0. On remarque intuitivement que c est une condition suffisante pour en déduire la dérivabilité de l application réciproque exp et qu en plus, si b R, exp (b) = ln (exp(b)) = exp(b) Proposition. L application exp est de classe C sur R : exp C (R). Proposition. Pour n N et a, b, a,..., a n R. exp(0) = et. et exp(a + b) = exp(a) exp(b) exp(a b) = exp(a) exp(b) ( n ) exp a i = i= n exp(a i ) i= exp(na) = (exp(a)) n Proposition. L application exp : R R + est un isomorphisme du groupe (R, +) sur le groupe (R +, ). Proposition (Limites classiques).. lim exp(x) = + x +. lim x exp(x). lim = x 0 x Proposition.. La suite (u n ) n N définie par n N, u n = On note e sa limite.. On a de plus exp() = e n k=0 k! est convergente.

6 6 Démonstration. C est un résultat un peu difficile pour l instant. Il nous sera accessible plus tard dans l année. Remarque. Puisque exp() = e, on a adopté une notation plus concise : exp(t) = e t Le réel e étant positif, on sait que e n ou e n a un sens bien défini. De plus, par les propriétés fonctionnelles de l application exp, ceci coïncide toujours avec exp(n) et exp( n ). C est donc par extension qu on utilise la notation e t. Graphe. 7 6! "$#"&%(')#+**)#, y = e x Exponentielle de base a. Ici, a R + \ {} Définition. On appelle exponentielle de base a l application exp a : R R + réciproque de log a. Remarque. Sachant que k Z, log a (a k ) = k, on a k Z, exp a (k) = a k. Par extension aux réels, la fonction exponentielle de base a est donc celle qui permet de calculer des puissances non entières de a. Remarque. Pour a ]0, [ ], + [, on sait définir a n et a n sans recourir aux fonctions (pour n N ) et dans ce cas, { ln(a n ) = n ln(a) ln(a n ) = n ln(a) { { ln(expa (n)) = n ln(a) expa (n) = a n Or ln(exp a ( n )) = n ln(a) d où exp a ( n ) = a n On peut facilement en déduire alors que : On étend cette notation à R et on pose x Q, x R, a x = exp a (x) exp a (x) = a x Proposition. x R, exp a (x) = e x ln(a)

7 7 Proposition.. exp a : x a x est de classe C sur R et x R, exp a (x) = (ax ) = (ln(a)) a x. a 0 = et a x+y = a x a y ainsi que a x y = ax. a, b ]0, [ ], + [, on a Graphe. { (ab) x = a x b x ( a b ) x = a x b x a y 0 < a < 4 < a -/.0 a : y = a x O -.5. Puissances. Définition. Pour α R, on définit l application puissance d exposant α par : p α : R + R x p α (x) = e α ln(x) = x α Étude. De par sa définition, x α est C sur ]0, + [. De plus, p α(x) = α x eα ln(x) = αx α. er cas : α > 0. Alors p α est strictement croissante. Dans ce cas, p α se prolonge par continuité à droite en 0 et p α (0) = 0. ème cas : α = 0. Alors p α (x) = se prolonge à tout R. ème cas : α < 0. Alors p α est strictement décroissante 4 α > α = 0 < α < α = 0 O α <

8 8 Remarque. (x α ) α = e α ln(xα) = e α ( ) α ln(x) = x. α De même, x α = x. De sorte que les applications x x α et x x α sont des bijections réciproques de R + sur R +. On rappelle que la notation x n = n x On prendra bien garde, dans la notation a bc de préciser le parenthèsage car (a b ) c a (bc)..6. Comparaison des fonctions logarithme, exponentielle et puissance. Théorème 5. Soient { α, β R + a ], + [ ln x. lim x + x = 0. lim x + (ln x) α x β = 0. lim x β ln x α = 0 x a x lim x + x α = + 5. lim x x α a x = 0. On a : Démonstration. Ceci nécessite d avoir des connaissances sur l intégration afin de mieux contrôler la croissance de ln(x). On a : x dt x x >, ln(x) = t dt [ = ] x t x t d où : 0 < ln(x) x 0 x x + Par une petite manipulation, on se ramène à : (ln(x)) α ( ) ( α ln(x) α ln(x β α ) x β = = β et on conclut par composition de limites. On pose y = x et xβ ln(x) α = ln(y) α y β avec y + quand x Cette fois, on pose y = e x et : x β α x β α ) α a x x α = ex ln(a) x α = (y)ln(a) (ln(y)) α + y + car ln(a) > 0, α > 0 et y + quand x +. 5 Si y = x on a a x x α = y α a y 0, ce qui permet de conclure. y + Vocabulaire. Dans un produit f g ou un quotient f, s il y a indétermination et si l une des fonctions g impose sa limite au produit ou au quotient, on dit que cette fonction l emporte sur l autre au point où on calcule la limite. Exemple. En +, l application e x l emporte sur x dans le quotient ex x. La seconde fonction est alors dite négligeable devant celle qui l emporte. Mais ce vocabulaire contient un piège car il pourrait faire croire que cette fonction négligeable prend de très petites valeurs... Exemple. lim x 0 + x e x

9 9 lim x + lim x + e x + x ( (ln(x)) 00 x e x x ln(x) ). Fonctions circulaires.. Rappel de l approche géométrique. sin(x) x - - cos(x) - À connaître par coeur : / / ainsi que les règles de changement : { cos( x) = cos x cos( + x) = cos x et { sin( x) = sin x sin( + x) = sin x d après l aide mémoire graphique { ( cos x) = sin x cos ( + x) = sin x et { ( sin x) = cos x sin ( + x) = cos x

10 4 0 + x x x + x - x - Enfin, on a : cos x = cos y sin x = sin y x y[] ou x y[] x y[] ou x y[].. Fonctions circulaires directes. Proposition.. cos C (R) et sin C (R). tan C (R \ { + Z}) et cotan C (R \ Z) avec tan(x) = sin(x) cos(x) et cotan(x) = cos(x) sin(x) Remarque. Pour les formules de trigonométrie circulaire, il faut se reporter au chapitre sur C. Pour ce qui est de la dérivation des fonctions circulaires, on a : Graphes. { cos (x) = sin(x) sin (x) = cos(x) et tan (x) = cos (x) = + tan x cotan (x) = sin (x) = ( + cotan x) 57698;:=<?>A@!BC<9D y = cos(x)

11 E7F9GIHAJ!KLGNM y = sin(x) y = tan(x) y = cotan(x) Proposition. Si t = tan θ et ainsi alors, pour tout θ pour lequel les formules suivantes sont définies, on a : cos θ = t + t et sin θ = t + t tan θ = t t Nous allons interpréter et démontrer géométriquement ces formules :

12 U Q P S O T W R V Théorème 6 (Rappel : Théorème de l angle au centre). θ θ θ ( OB, OC) ( AB, AC)[] ( OB, OC) ( ( DB, DC))[] Ce théorème se démontre à l aide du lemme suivant : Lemme. Si AB est un diamètre du cercle C, alors ( AB, AC) ( OB, OC) θ θ θ β β β Démonstration. Comme AOC est isocèle en O, on a : ÔAC = ÔCA De plus { β + β + β = θ + (θ + β ) + β = qui donne θ β = 0, soit θ = β. La démonstration du théorème de l angle au centre à l aide de ce lemme est laissée en exercice... Pour démontrer géométriquement les formules énoncées :

13 Y \ X [ ] ^ Z θ/ θ On a IJH rectangle en J. Puis ĴIH = θ D où tan θ = JH IJ, soit t = JH qu on va noter JH = t Ensuite, d après Thalès, on a : ce qui donne Si on élève l égalité de droite au carré, on trouve JH P M = IJ IP = IH IM t sin α = + cos α = + t ( + cos α) + sin α ( + cos(θ)) = + cos(θ) + cos (θ) + sin (θ) + t ( + cos(θ)) = + t car on a + cos(θ) 0 cos(θ) = t + t Ensuite, en inversant l égalité de gauche, on trouve sin(θ) = t sin(θ) = t + t ( + ) t + t 4. Fonctions circulaires réciproques Définition. On appelle arcsinus l application réciproque de l application sin [, ] : [, ] [, ] x sin x qui est continue et strictement croissante (et même C ). Ainsi arcsin : [, ] [, ] est bijective, strictement croissante et continue sur [, ]. Remarque. Pour tout y ], [ on sait que sin (y) = cos(y) 0. Donc arcsin est dérivable sur ], [ et (arcsin) (x) = cos(arcsin(x)) = = sin (arcsin(x)) x

14 4 Proposition. arcsin ],[ C (], [) et (arcsin) (x) = x Graphes. x + Arcsin Arcsin Arcsin sin Proposition (Importante).. x [, ], sin(arcsin(x)) = x (Remarque : cette formule n est possible qu avec x [, ]) { x k si x [. x R, arcsin(sin(x)) = Ainsi : Il s agit d une fonction -périodique. + k, + k] (k + ) x si x [ + (k + ), + (k + )] 4 y = Arcsin(sin(x)) O y = x + y = x - - y = x y = x y = x

15 5 Définition. On appelle arccosinus l application réciproque de l application cos [0,] : [0, ] [, ] x cos(x) qui est continue et strictement décroissante (et même C ). Ainsi arccos : [, ] [0, ] est bijective, strictement décroissante et continue sur [, ]. Remarque. Pour tout y ]0, [ on sait que cos (y) = sin(y) 0. Donc arccos est dérivable sur ], [ et (arccos) (x) = sin(arccos(x)) = cos (arccos(x)) = x Proposition. arccos ],[ C (], [) et (arccos) (x) = x Graphe. x + Arccos Arccos 0 Arccos - - cos Proposition (Importante).. x [, ], cos(arccos(x)) = x (Remarque : cette formule n est possible qu avec x [, ]) { x k si x [0 + k, + k]. x R, arccos(cos(x)) = k x si x [ + k, 0 + k] Ainsi : Il s agit d une fonction -périodique.

16 6 y = Arccos(cos(x)) y = x y = + x y = x - y = x y = x y = x - O Théorème 7. x [, ], arccos(x) + arcsin(x) = Définition. On appelle arctan l application réciproque de l application tan ], [ : ], [ R x tan x qui est bijective, continue et strictement croissante (et même C ). Ainsi arctan : R ], [ est bijective, strictement croissante et continue sur R. Remarque. Pour tout y ], [ on sait que tan (y) 0. Donc arctan est dérivable sur R et (arctan) (x) = + tan (arctan(x)) = + x Proposition. arctan C (R) et x R, (arctan) (x) = + x Graphes. x 0 + Arctan + Arctan 0

17 7 tan Arctan Proposition (Importante).. x R, tan(arctan(x)) = x. x R \ ( + Z), arctan(tan(x)) = x k si x ] + k, + k[ Ainsi : Il s agit d une fonction -périodique. 4 y = Arctan(tan(x)) O y = x + y = x + Enfin, il y a une relation incontournable : Proposition (Importante). - - y = x y = x y = x x R, arctan(x) + arctan( x ) = Signe(x) Démonstration. ère méthode Sur R +, on pose f(x) = arctan(x) + arctan On a alors : f (x) = + x + + ( ) ( x ) = 0 La fonction f est donc constante sur R +. De plus : x ( ). x On procède de même sur R. f() = arctan() + arctan() = =

18 8 ème méthode Si x R +, on a arctan(x) ]0, [ d où : Soit ( ) tan arctan(x) = tan(arctan(x)) = x arctan(tan( arctan(x))) = arctan(x) = arctan ( x ) Ce qui démontre l égalité sur R +. On peut ensuite utiliser l imparité pour obtenir le résultat sur R. 5. Fonctions de trigonométrie hyperbolique 5.. Fonctions ch et sh. Définition. On appelle. cosinus hyperbolique l application : ch :. sinus hyperbolique l application : sh : R R x ex + e x R R x ex e x Remarque.. Attention : dans la définition du sh, il n y a pas de i au dénominateur!. Parfois, on commet l abus de noter ch : R R + Proposition. { ch C ch est une fonction paire telle que (R) { ch = sh sh C sh est une fonction impaire telle que (R) sh = ch { sh(0) = 0 De plus, et x R, ch(x) > 0 ch(0) = Graphes. On a les tableaux de variations suivants : et les graphes x 0 + ch + + ch x 0 + sh + + sh 0

19 9 ch y = ex O sh - - Pourquoi ces fonctions sont dites hyperboliques. Tout d abord, on a la proposition suivante : Proposition. x R { ch(x) + sh = e x. ch(x) sh = e x. ch (x) sh (x) = Dans le cas de la trigonométrie circulaire, on a la relation cos (t) + sin (t) = de sorte que le point M(t) = (cos(t), sin(t)) offre une paramétrisation du cercle unité d équation x + y =. Ici le point M(t) = (ch(t), sh(t)) fournit une paramétrisation d une branche de l hyperbole équilatère d équation x y = et de graphe : Attention : on ne trouve bien qu une seule des deux branches de l hyperbole. Si l on pose H + = {(x, y) H x > 0} et H = {(x, y) H x < 0}, on comprend que chacune de ces deux branches admet sa paramétrisation : γ + : R H + t (ch(t), sh(t)) et γ : R H t ( ch(t), sh(t)) Vérifions le pour H + :. si t R, il est clair que l égalité ch (t) sh (t) = prouve γ + (t) H. De plus ch(t) > 0. D où, γ + (R) H +. { x > 0. Soit (x, y) H +. On a alors que x y = sh étant une bijection de R sur R, il vient :!t R sh(t) = y D où x = ch (t). Comme x et ch(t) sont tous les deux positifs, on a x = ch(t) et ainsi (x, y) = γ + (t). 5.. Fonctions th et coth.

20 0 Définition. On appelle. tangente hyperbolique l application th : R R x sh(x) ch(x) th(x) = ex e x +. cotangente hyperbolique l application coth : R R x ch(x) sh(x) Proposition. th et coth sont des fonctions impaires et th C (R) et coth C (R ) th (x) = ch De plus (x) = th (x) coth (x) = sh (x) = coth (x) d où et Graphes. x 0 + th + th 0 e x lim th(x) = lim + + e x + = = lim coth(x) + x 0 + coth + coth coth th O Quelques formules de trigonométrie hyperbolique.

21 Proposition.. Formules de Moivre : n N. Développement : x, y R. Somme : p, q R 4. Produit : a, b R (chx + shx) n = ch(nx) + sh(nx) (chx shx) n = ch(nx) sh(nx) ch(x + y) = ch(x)ch(y) + sh(x)sh(y) ch(x y) = ch(x)ch(y) sh(x)sh(y) sh(x + y) = sh(x)ch(y) + ch(x)sh(y) sh(x y) = sh(x)ch(y) ch(x)sh(y) th(x) + th(y) th(x + y) = + th(x)th(y) th(x) th(y) th(x y) = th(x)th(y) ( ) ( ) p + q p q ch(p) + ch(q) = ch ch ( ) ( ) p + q p q ch(p) ch(q) = sh sh ( ) ( ) p + q p q sh(p) + sh(q) = sh ch ( ) ( ) p + q p q sh(p) sh(q) = ch sh sh(p + q) th(p) + th(q) = ch(p)ch(q) sh(p q) th(p) th(q) = ch(p)ch(q) ch(a)ch(b) = [ch(a + b) + ch(a b)] sh(a)sh(b) = [ch(a + b) ch(a b)] sh(a)ch(b) = [sh(a + b) + sh(a b)] Remarque. De ceci, on peut déduire les formules ch (x) + sh (x) ch(x) = ch (x) + sh (x) sh(x) = sh(x)ch(x) Règle utile. Pour des raisons que nous verrons plus tard, on passe des formules de trigonométrie circulaire aux formule de trigonométrie hyperbolique et vice versa à l aide des changements : cos ch i sin sh i tan th 6. Fonctions hyperboliques réciproques

22 6.. Argument sinus hyperbolique. L application sh : R R est continue, strictement croissante, sh(x) et sh(x) +. Donc x x + sh admet une application réciproque : Argsh : R R x l unique y R t.q. x = sh(y) Ainsi : Exemple. (x, y) R, y = Argsh(x) x = sh(y) Argsh(0) = 0 Proposition.. Argsh est définie sur R et est impaire.. Argsh est continue, strictement croissante sur R.. Argsh est dérivable sur R, de dérivée Argsh (x) = x + et donc Argsh est C sur R 4. On a : x R, Argsh(x) = ln(x + x + ) Démonstration. Courbe représentative. sh Argsh Argument cosinus hyperbolique. L application ch : R + R est continue, strictement croissante, ch(0) = et ch(x) x + élément de [, + [ admet par ch un unique antécédent positif. On peut donc définir : Argch : [, + [ R + x l unique y R t.q. x = ch(y) +. Donc tout Ainsi : x [, + [, y [0, + [, y = Argch(x) x = ch(y) Exemple. Argch() = 0

23 Proposition.. Argch est définie sur [, + [.. Argch est continue, strictement croissante sur [, + [.. Argch est dérivable sur ], + [, de dérivée et donc Argch est C sur ], + [. Argch (x) = x 4. Argch n est pas dérivable en, mais sa courbe y admet une tangente verticale. 5. On a : x [, + [, Argch(x) = ln(x + x ) Démonstration. Courbe représentative. ch Argch Argument tangente hyperbolique. L application th : R R est continue, strictement croissante, th(x) et th(x). Donc tout x x + élément de ], [ admet par th un unique antécédent. On peut donc définir : Argth : ], [ R x l unique y R t.q. x = th(y) Ainsi : x ], [, y R, y = Argth(x) x = th(y) Proposition.. Argth est définie sur ], [ et est impaire.. Argth est continue, strictement croissante sur ], [.. Argth est dérivable sur ], [, de dérivée et donc Argth est C sur ], [. 4. On a : Argth (x) = x x R, Argth(x) = ( ) + x ln x Démonstration.

24 4 Courbe représentative. Argth th O Complément. -4 On peut définir coth la cotangente hyperbolique par coth = ch, puis argcoth l argument cotangente sh hyperbolique. On peut alors vérifier que celle-ci est définie sur ], [ ], + [ et admet une expression logarithmique analogue à celle de Argth. Pour préciser, on peut écrire : x R {, }, { ln + x x = Argth x si x ], [ Argcoth x si x < ou x > 7. Fonction exponentielle complexe Définition. On appelle exponentielle complexe l application exp : lorsque l on a décomposé z en x + iy. C C z exp(z) = e x (cos y + i sin y) Remarque.. Il est clair que cette application est un prolongement de l application exp : R R. Car x R, exp(x) = exp C (x + i0) = e x.. Cette application est aussi un prolongement de l application ir C iθ e iθ En fait, exp(z) = exp(x + iy) = e x e iy ce qui nous conduit à adopter la notation suivante : Notation. On décide de noter e z ou e x+iy la valeur de exp(z). Exemple. e +i, e i Théorème 8 (Fondamental). Avec cette notation, on a z, z C, e z+z = e z e z

25 5 Démonstration. Ceci est une conséquence des formules trigonométriques. (Rem. : en réalité, cette relation admet une autre démonstration et ce sont les relations de trigonométrie qui découlent de cette relation.) Ici, posons z = x + iy et z = x + iy. D où e z+z = e (x+x )+i(y+y ) = e x+x (cos(x + x ) + i sin(y + y )) = e x e x [cos(x) cos(x ) sin(x) sin(x ) + i(sin(y) cos(y ) + sin(y ) cos(y))] = e z e z Proposition. n N, et z, z,..., z n C. e z 0. e z = e z 0 n. e k= C z k A = n k= e z k 4. k Z, e kz = (e z ) k Remarque. Ne jamais écrire ou parler du logarithme népérien d un complexe : ln(z). Car la valeur de ln(z) n est déterminée qu à près et la construction rigoureuse de cette fonction multivaluée est expressément hors-programme... Théorème 9. L application f : { }. ], [ U \ { } θ e iθ est une bijection continue de ], [ sur U \ Démonstration. Le théorème est admis! Proposition.. Soit a C un complexe. L application f : R C t e at est C sur R et on a ( e at ) = a e at { I un intervalle de R. Soient ϕ : I C une application continue et dérivable Alors, l application g : I C t e ϕ(t) est continue et dérivable avec g (t) = ϕ (t)e ϕ(t)