Chapitre VIII : Trigonométrie

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1 Chapitre VIII : Trigonométrie I. Le radian 1. Rappel Soit c un cercle de centre O et de rayon R. Soient A et M deux points du cercle. La longueur l de l arc AM est proportionnelle à la mesure en degrés de l angle au centre AOM qui intercepte cet arc.. Définition A et M étant deux points du cercle c de rayon R, l angle AOM a pour mesure un radian lorsque la longueur l de l arc géométrique AM intercepté par cet angle est égal au rayon R. Le radian est noté rad. La mesure d un arc est la mesure de l angle qui intercepte cet arc (exprimée en degrés ou radians). angle AOA AOC AOD AOM arc sur c cercle demi-cercle quart de cercle AM mesure de 360 rad 180 rad 90 rad l angle rad mesure de 360 rad 180 rad 90 rad l arc rad longueur de R R R l arc(*) l = R = 180 R (*) la longueur de l arc est exprimée dans la même unité que le rayon du cercle. Formule de conversion : Si est un angle exprimé en radian et sa mesure correspondante en degré, on a alors la relation : = Remarque : Si le rayon du cercle est égal à 1, alors la longueur de l arc est égale à sa mesure en radian. C est pour cette raison que nous travaillerons dans ce chapitre avec un cercle de rayon 1. II. Mesure des angles orientés 1. Points sur le cercle trigonométrique + Définition : Un couple de points (M ;N) du cercle trigonométrique c détermine un angle orienté ( OM ; ON) - Si l arc MN 1 de longueur l 1 est parcouru dans le sens positif, alors la mesure en radians de l angle orienté est positive et vaut 1 l 1 - Si l arc MN de longueur l est parcouru dans le sens négatif, alors la mesure en radians de l angle orienté est négative et vaut l Remarque : tous les nombres - 4, -, +, + 4., + k ( k Z ) sont alors d autres mesures du même angle orienté (chacun correspond à un trajet de M vers N effectué sans changer de sens. 1

2 Propriété : si est une mesure en radians d un angle orienté, alors toutes les mesures en radians, de cet angle sont tous les nombres de la forme +koù k Si x kalors on note x [ ] et on lit «x est égal à modulo» Définition : Parmi toutes les mesures d un angle orienté, il n en existe qu une seule appartenant à l intervalle ]- ;]. Cette mesure est appelée mesure principale de l angle orienté. Exemple : Si 5 est une mesure d un angle orienté alors 13 ou 3 sont également des mesures de cet angle car 13 4 = et 3 4 = 5 mais, parmi toutes les mesures de l angle, un seul 4 appartient à l intervalle ] ; ] c est 3 4 Remarques : qui est la mesure principale. La mesure en radians de l angle géométrique MON est égale à la valeur absolue de la mesure principale de l angle orienté ( OM, ON) Soient x et y deux réels associés aux points M et N du cercle trigonométrique d origine I. Alors les mesures en radians de l angle orienté ( OI, OM) sont tous les nombres x k (k) De même, les mesures en radians de l angle orienté ( OI, ON) sont tous les nombres y k (k) Propriété : La différence y x est une mesure en radians de l angle orienté ( OM, ON) et les mesures de cet angle sont alors tous les nombres : y x k (k) Remarque : en effet, si M a pour abscisse curviligne x k (k) et N a pour abscisse curviligne y k (k) Alors y k ' x k y x k ' k y x Kavec K. Mesure de l angle orienté de deux vecteurs non nuls Soient u et v deux vecteurs non nuls. Il existe alors deux points M et N du cercle trigonométrique tels que : OM et ON aient respectivement même sens et même direction que u et v. On a alors : OM k u et ONk v avec On a alors et On dit que les vecteurs OM et ON sont unitaires. L angle orienté ( OM, ON) est alors appelé l angle orienté des vecteurs u et v et est noté ( u, v) Les mesures de l angle ( u, v) sont alors celles de l angle ( OM, ON). Exemple : ( u, u) = 0 + k ( u, u) = + k u ( u, v ) = + k ( u, v ) = + k v

3 Propriété : Relation de Chasles u, w w, v u, v) [] Conséquences : Pour u et v deux vecteurs non nuls : a) v, u ( u, v) [] b) ( u, v) = ( - u, - v) [] c) (- u, v) = ( u, v) + = ( v, u) [] d) ( u, - v) = u, v) + [] a) ( u, v)+( v, u)=( u, u)= donc ( u, v)= ( v, u) [] c) ( - u, v) = (- u, u)+( u, v)= + ( u, v) [] = ( u, v) ) = v, u[] d) Idem que précédemment b) ( - u, - v) = + ( u, - v) [] = + u, v) + [] = u, v) + [] = ( u, v) [] CQFD III. Trigonométrie 1. Cosinus et Sinus d un nombre Définitions : Le repère (O, i, j ) est dit orthonormé direct si : ( i, j)= [] et si i = j =1 Le repère (O, i, j ) est orthonormé indirect si : ( i, j)= [] et si i = j =1 c désigne un cercle trigonométrique de centre O place dans un repère orthonormé direct (O, i, j ). un nombre réel et M le point image de x sur le cercle c On se Soit x L abscisse du point M est le cosinus de t, noté cos t. L ordonnée du point M est le sinus de t, noté sin t. 3

4 Propriétés : -1 cos t 1 et -1 sin t 1 pour tout réel t (cos t (sint pour tout réel t cost k cost et sint k sint pour tout t et tout k Si Mc alors -1 x M 1 et -1 y M 1 ; OM = 1 OM² = 1 x M ² y M ² Or x M cos t et y M sint donc -1 cos t 1 et -1 sin t 1 pour tout réel t et (cos t (sint pour tout réel t CQFD. Cosinus et sinus d un angle orienté Définition : Le cosinus et le sinus d un angle orienté sont le cosinus et le sinus d une quelconque de ses mesures. Ainsi, si ( u, v)= t [] alors cos ( u, v)=cos t et sin( u, v)=sin t Valeurs particulières : t 0 Cos t 1 Sin t Angles associés Pour tout réel t on a : cost cost cos t cost cos t cost ()sint sint sin t sint sin t sint cos t = sint cos t sint sin t cost sin t cost Exemples : cos = cos ( + ) = cos = sin = sin ( ) = sin = 4

5 cos = cos = sin ( ) = sin ( ) = sin (10 ) = sin ( ) = sin = 4. Formules d addition et de duplication Ces formules permettent de déterminer les valeurs exactes des cosinus et sinus des réels ou d angles orientés à partir des valeurs remarquables déjà connues. Les formules d additions ne pourront être démontrées qu en fin d année lorsque nous aurons abordé la notion de produit scalaire. Nous les admettrons donc pour l instant. Formules d addition : Quels que soient les réels a et b : cosa b cosacosb sinasinb cosa b cosacosb sinasinb sina b sinacosb cosasinb sina b sinacosb cosasinb Formules de duplication Quelques soit le réel a, cosa cos a sin a cos a sin a sina sinacosa Démonstration évidente avec les formules d addition. Exemple : On cherche à calculer la valeur exacte de cos. On utilise le fait que Donc cos cos² () donc cos² () et ainsi, cos Par conséquent, cos Propriété : 5. Equations cosx cosa et sinx sina L équation cosx cosa a pour solutions les nombres réels x a k et x a k ; ket k Propriété : L équation sinx sina a pour solutions les nombres réels x a k et x a k', ket k 5