Expressions algébriques Équations et inéquations du 1 er degré

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1 Expressions algébriques Équations et inéquations du 1 er degré I. Expressions algébriques et équations a) Développer, factoriser DÉFINITIONS Développer un produit, c'est le Factoriser une somme, c'est la. PROPRIÉTÉS (RAPPELS) Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition.. k (a + b) = k est un facteur commun à ka et kb... Double distributivité (a + b)(c + d) = Identités remarquables.. (a + b) 2 = (a b) 2 = (a + b)(a b) =... EXEMPLES Développement de f(x) = (x 7)(4x + 7) f(x) = f(x) =. f(x) = Factorisation de g(x) = 6x 2 12x g(x) =.. g(x) =.. Page 1 sur 5

2 b) Équations du premier degré à une inconnue EXEMPLE : résolution de l'équation 2x 1 = 4x + 1 2x 1 = 4x + 1 2x 1.. = 4x + 1 2x 1 = 1 2x 1 = 1. 2x = 2 2x 2 = 2 2 soit x = Graphiquement, résoudre cette équation revient à lire, dans un repère, l'abscisse du point d intersection des droites représentant les fonctions affines x 2x 1 et x 4x + 1. c) Équations «produit nul» PROPRIÉTÉS (RAPPELS) Un produit est nul si, et seulement si, l'un des.. Autrement dit A B = 0 équivaut à ou Logique L'emploi de «si et seulement si» ou «équivaut à» permet d'énoncer les propriétés ci-dessous en une seule phrase : Si A B = 0, alors A = 0 ou B = 0, et aussi la réciproque : Si A = 0 ou B = 0 alors A B = 0 EXEMPLE : résolution de l'équation (2x + 1 ) (4 x) = 0 (2x + 1)(4 x) = 0 équivaut à. ou. c'est-à-dire x =.. ou x =. Les solutions de l'équation sont donc les nombres réels et... Exercice résolu : Savoir identifier la forme la plus adéquate d une expression f est la fonction définie sur R par f(x) = (x + 2)(4x 1) (x 5)(x + 2) 1. Justifier algébriquement les affichages obtenus ci-contre avec un logiciel de calcul formel. 2. Dans chaque cas, résoudre l'équation en utilisant la forme la plus adéquate de f(x). a) f(x) = 0 b) f(x) = 8 Exercice 2 f est la fonction définie sur R par : f(x) = (x + 2) On se propose de résoudre l'équation f(x) = 0. a) Pour cela, vaut-il mieux factoriser ou développer l'expression de f(x)? b) Résoudre alors l'équation f(x) = Résoudre chacune des équations : a) f(x) = 1 b) f(x) = 3 Page 2 sur 5

3 Exercice 3 Fred a utilisé l'affichage ci-dessous pour résoudre chacune des équations : (E) (x 4)(2x 1) x(x 5) = 0 (F) (x 4)(2x 1) x(x 5) = 16 Qu'en pensez-vous? Exercices 11 à 18 de la fiche d exercices II. Signe de ax + b et inéquations a) Signe de ax + b (avec a 0) Dans un repère, d est la droite représentative d'une fonction affine x ax + b. Lorsque a 0 la droite d coupe l'axe des abscisses en un point d'abscisse x 0. a > 0 donc f est croissante sur R. a < 0 donc f est décroissante sur R. b) Inéquations du premier degré à une inconnue RÈGLES (RAPPEL) Pour résoudre algébriquement une inéquation du 1 er degré, on utilise les règles ci-dessous. On.. ou on. un même nombre aux deux membres de l'inéquation. On.. ou on. les deux membres de l'inéquation : par un nombre strictement positif en.. de l'inégalité. par un nombre strictement négatif en. de l inégalité. EXEMPLE : résolution de l'inéquation 4x 3 > 2x + 3 4x 3 > 2x + 3. >.. On.chaque membre de l inégalité. 4x > 2x + 6. >. On.. à chaque membre. 6x > 6 6x < 6 On. chaque membre de l inégalité < 0 donc de l inégalité. x < 1 L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc l intervalle ] ; 1[. On a coloré cet ensemble en rouge sur la droite graduée ci-dessous : Page 3 sur 5

4 Exercice résolu Donner le tableau de signes d'une fonction affine f est la fonction affine définie surr par f(x) = 2x + 1. a) Donner le tableau de signes de f(x). b) En déduire la résolution de l'inéquation 2x Exercice 5 f est la fonction affine définie sur R par : f(x) = 4x 3 a) Donner le tableau de signes de f(x). b) En déduire la résolution de l'inéquation : 4x 3 > 0 Exercice 6 g est la fonction affine définie sur R par : g(x) = 3x 1. a) Donner le tableau de signes de g(x). b) Célia affirme : «Sans calcul, je peux donner le signe de g( 0,502)». Est-ce possible? c) Déduire du tableau de signes obtenu au a) la résolution de chacune des inéquations : 3x 1 < 0 3x 1 > 0 Exercice 7 f et g sont des fonctions affines définies sur R par f(x) = 5x + 5 et g(x) = 5x Donner le tableau de signes de f(x) puis celui de g(x). 2. Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse. Justifier à l'aide de la question 1. a) Elie affirme : «Je peux dire que f(0,982) est positif sans effectuer de calcul». b) Quentin déclare : «Il existe un nombre réel inférieur à 2 dont l'image par f est positive». c) Karen note : «Pour tout nombre réel x négatif, son image g(x) est négative». d) Geoffroy dit : «Il existe des nombres réels x tels qu'à la fois f(x) et g(x) sont positifs». III. Systèmes de deux équations du 1 er degré a, b, c, a, b, c sont des nombres réels donnés. a) Système de deux équations à deux inconnues Exercices 19 à 24 de la fiche d exercices ax + by = c (S) est le système { a x + b d inconnues x et y. y = c Une solution de ce système est..qui est.solution de chacune des deux équations. Résoudre un système, c'est trouver... x + y = 4 EXEMPLE : { 2x y = 5 est un système de deux équations à deux inconnues x et y. Pour x = 1 et y = 3 : x + y = = 4 donc le couple (1 ; 3) de la 1 ère équation. Page 4 sur 5

5 2x y = = 1.. donc le couple (1 ; 3).. solution de la 2 ème équation. Le couple (1 ; 3)..du système. Pour x = 3 et y = 1: x + y = = 4 donc le couple (3 ; 1) de la 1 ère équation. 2x y = = 5 donc le couple (3 ; 1). de la 2 ème équation. Donc le couple (3 ; 1). du système. b) Nombre de couples solutions et interprétation graphique On suppose que b 0 et b 0. ax + by = c = x Résoudre le système (S) : { a x + b revient à résoudre le système {y y = c y = x Dans un repère, on note d et d les droites représentatives des fonctions affines x a x + c et b b x a c b x + b. Pour connaitre le nombre de couples solutions de (S), on étudie la position relative des droites d et d'. Exercice résolu Résoudre algébriquement un système Résoudre le système : 3x + y = 5 12x + 16y = 8 a) (S 1 ) { b) (S 5x + 2y = 1 2 ) { 15x + 20y = 5 7x 3y = 5 c) (S 3 ) { 28x 12y = 20 Exercice 9 x + y = 1 (S) est le système { 2x y = 5. a) Expliquer pourquoi ce système (S) a un seul couple solution. b) Résoudre ce système. Exercice 10 Résoudre les systèmes (il n'a pas un seul couple solution). 3x + y = 2 3x + 2y = 6 a) { b) { 3 9x + 3y = 4 x + y = 3. 2 Exercices 25 à 32 de la fiche d exercices Page 5 sur 5