Géométrie analytique plane

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1 Géométrie analytique plane Élie Arama cbea 28 décembre 2017

2 1 Vecteurs 2 Repérage dans le plan 3 Équations de droites

3 1 Vecteurs

4 Définition Un vecteur est représenté par un segment orienté (une flèche) ayant pour extrémités un point de départ et un point d arrivée. L emplacement dans le plan n a pas d importance, deux déplacements de deux points d origine distincts peuvent correspondre au même vecteur, seuls comptent sa longueur, sa direction et son sens. Il est donc possible de le faire glisser librement dans le plan, parallèlement à lui-même. Si A et B sont deux points distincts, le vecteur AB possède trois éléments caractéristiques : sa direction (celle de la droite (AB)); son sens (de A vers B ou de B vers A); sa longueur (celle du segment [AB]).

5 Exemple A B D C Les vecteurs AB et CD sont égaux car ils possèdent tous les deux la même direction, le même sens et la même longueur. Ils représentent tous les deux le même déplacement v.

6 Remarque La longueur d un vecteur porte aussi le nom de norme. Notation Si v est un vecteur du plan, on note v sa norme. Définition On appelle vecteur nul le vecteur de norme 0. Il correspond à un déplacement nul et on le note 0. De manière générale, pour tout point P du plan : PP = 0

7 Définition Deux vecteurs u et v du plan sont dits orthogonaux lorsque leurs directions respectives sont perpendiculaires. Cela se note : u v

8 Exemple u v

9 Exemple u v

10 Définition Deux vecteurs u et v sont dits colinéaires lorsque leurs directions respectives sont parallèles. Algébriquement, cela se traduit par le fait qu il existe k R tel que : v = k u

11 Exemple u v

12 Exemple u v

13 Remarque Attention, comme le montre l exemple précédent, deux vecteurs colinéaires ont la même direction mais n ont pas forcément le même sens.

14 Définition On appelle vecteur directeur d une droite D tout vecteur non nul dont la direction est celle de D. Ainsi, si A et B sont deux points distincts de D, les vecteurs directeurs de D sont les vecteurs non nuls, colinéaires à AB. B A

15 Théorème Soient A, B et C trois points du plan. On appelle relation de Chasles l égalité : AB + BC = AC

16 Exemple A AB + BC AB B BC C

17 Théorème Soit A et B deux points du plan. Puisque : AB + BA = 0 alors, on a : BA = AB

18 Théorème Soient A et B deux points du plan. Le point M est le milieu du segment [AB] si et seulement si : AM = 1 AB 2 On peut illustrer ce résultat ainsi : A M B AB 1 2

19 2 Repérage dans le plan

20 Théorème Soient i et j deux vecteurs du plan. Pour tout vecteur v du plan, il existe v 1 et v 2 réels tels que : v = v 1 i + v 2 j Définition Les réels ( v 1 et ) v 2 sont appelés coordonnées du vecteur v dans la base i, j et on note : ( ) v1 v v 2

21 Exemple v j i

22 Exemple v 3 j 2 i j i v ( ) 2 3

23 Théorème Soient u et v deux vecteurs ayant pour coordonnées respectives ( ) ( ) ( ) u1 v1 et dans une base i, j. u 2 v 2 Soit k un nombre réel. On a : ( ) u1 + v u + v = 1. u 2 + v 2 k u = ( ) k u1. k u 2 ( ) u1 u =. u 2 u v = ( u1 v 1 u 2 v 2 ).

24 Exemples Soient u = ( ) 7 et v = 3 ( ) 4. On a : 8 u + v = = ( ) 7+( 4) 3+8 ( ) u = = ( ) ( ) 21 9 u v = = ( ) 7 ( 4) 3 8 ( ) 11 5

25 Définition Munir le plan d un repère, c est choisir un point O appelé origine ainsi que deux vecteurs i et j non colinéaires. j O i

26 Définition Munir le plan d un repère, c est choisir un point O appelé origine ainsi que deux vecteurs i et j non colinéaires. j O i Les normes des vecteurs i et j définissent les unités respectivement ( «horizontales» et «verticales» du repère que l on note : O, i, ) j.

27 Définition Soit R = ( O, i, j ) un repère du plan. Lorsque i j, on dit que R est un repère orthogonal. Lorsque i = j, on dit que R est un repère normé. Lorsque R est orthogonal et normé, on dit que R est un repère orthonormé.

28 j O i O j i Repère orthogonal Repère normé j O i Repère orthonormé

29 Théorème On se place dans un repère du plan R = ( ) O, i, j. Pour tout point P du plan, il existe un unique couple de nombres réels (x ; y) appelés coordonnées cartésiennes de P dans le repère R tels que : OP = x i + y j Définition Le réel x s appelle l abscisse du point P. Le réel y s appelle l ordonnée du point P.

30 Exemple P j O i

31 Exemple j O i OP = 4 i + 3 j 4 i P(4;3) 3 j

32 Définition La droite sur laquelle on lit les abscisses des points est appelée axe des abscisses et celle sur laquelle on lit les ordonnées des points est appelée axe des ordonnées.

33 Théorème Soient A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) deux points dans un repère ( ) R = O, i, j du plan. On a : c est-à-dire : AB = (x B x A ) i +(y B y A ) j AB = ( ) xb x A y B y A

34 Démonstration D après la relation de Chasles, on a : AB = AO + OB = OA+ OB ( ) = x A i + y A j + ( ) x B i + y B j = x A i y A j + x B i + y B j = x B i x A i + y B j y A j = (x B x A ) i +(y B y A ) j

35 Exemple Soient A( 1;4) et B(5;2). Le vecteur AB a pour coordonnées : AB = = ( ) 5 ( 1) 2 4 ( ) 6 2

36 Théorème Soient A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) deux points dans un repère ( R = O, i, ) j du plan. Le milieu M du segment [AB] a pour coordonnées : ( xa + x B ; y ) A + y B 2 2

37 Démonstration Puisque M est le milieu de [AB], on a : Ainsi, on a : AM = 1 AB 2 x M x A = x B x A 2 y M y A = y B y A 2 x M = x B x A 2 + x A y M = y B y A 2 + y A x M = x A + x B 2 y M = y A + y B 2

38 Exemple Soient A(2; 3) et B( 4;9). Le milieu de [AB] a pour coordonnées : ( 2+( 4) ; 3+9 ) = ( 1;3) 2 2

39 Théorème On se place dans un repère orthonormé du plan R = ( ) v1 Soit v = un vecteur de R. On a : v 2 v = v 12 + v 22. k v = k v. ( ) O, i, j.

40 Exemple Le vecteur v = ( ) 3 a pour norme : 4 v = 3 2 +( 4) 2 = 25 = 5 Le vecteur w = 2 v a donc pour norme : w = 2 5 = 2 5 = 10

41 Théorème Soient u = R = ( O, i, j ( u1 ) et v = u 2 ) du plan. ( v1 ) deux vecteurs d un repère v 2 Les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si : u 1 v 2 u 2 v 1 = 0

42 Démonstration Les vecteurs u et v sont colinéaires, il existe donc un réel k tel que v = k u. Ainsi, on a : v 1 = ku 1 et v 2 = ku 2. u 1 v 2 u 2 v 1 = u 1 (ku 2 ) u 2 (ku 1 ) = ku 1 u 2 ku 1 u 2 = 0

43 3 Équations de droites

44 Définition On muni le plan d un repère R = ( O, i, ) j. On appelle droite tout ensemble de points (x ; y) vérifiant une équation de la forme : ax + by + c = 0 où a, b et c sont des nombres réels tels que (a;b) (0;0).

45 Exemple Soit D la droite d équation : 2x + 3y 5 = 0. La droite D est formée de l ensemble des points (x ;y) du plan vérifiant l équation : 2x + 3y 5 = 0 tels que A(1; 1) et B( 2; 3). En effet : = = 0 2 ( 2) = = 0 En revanche, le point C(6; 2) n appartient pas à D car : ( 2) 5 = = 1 0

46 Remarques Soit D( une droite d équation : ax + by + c = 0 dans un repère R = O, i, ) j du plan. Si c = 0, alors la droite D passe par O, l origine du repère. Si b n est pas nul, l équation : ax + by + c = 0 est équivalente à : y = a x + b avec a = a b et b = c b. Les réels a et b portent respectivement les noms de coefficient directeur et d ordonnée à l origine de la droite D.

47 Remarques (suite) Si a est nul, l équation : ax + by + c = 0 est équivalente à : y = c b La droite D est horizontale et passe par le point ( 0; c b). Si b est nul, l équation : ax + by + c = 0 est équivalente à : x = c a La la droite D est verticale et passe par le point ( c a ; 0).

48 Exemple Lorsque c = 0 : la droite passe par l origine du repère. D : 3x + 2y = Puisque b 0, la droite D a aussi pour équation : y = 3 2 x.

49 Exemple Lorsque a = 0 : la droite est horizontale et passe par ( 0; c b). D : 2y + 6 = La droite D a également pour équation : y = 3.

50 Exemple Lorsque b = 0 : la droite est verticale et passe par ( c a ; 0). D : 5x + 10 = La droite D a également pour équation : x = 2.

51 Théorème Soit D une droite d équation ax + by + c = 0 et D une droite d équation a x + b y + c = 0. ( ) b Le vecteur v = est un vecteur directeur de D. a Les droites D et D sont parallèles si et seulement si a et b sont proportionnels à a et b.

52 Exemple La droite D d équation x 3y + 9 = 0 à pour vecteur ( ) 3 directeur : v =. 1 D v

53 Exemple Lorsque deux droites sont parallèles : leurs coefficients a et b sont proportionnels. D : 3x 4y + 16 = D : 6x + 8y + 16 =

54 Démonstration Soit A(x 0 ; y 0 ) un point de D. On a donc : ax 0 + by 0 + c = 0. Le point B(x 0 b; y 0 + a) appartient aussi à D car : a(x 0 b)+b(y 0 + a)+c = ax 0 ab+by 0 + ba+c Donc AB = = ax 0 + by 0 + c = 0 ( ) b est un vecteur directeur de D. a

55 Démonstration (suite) Les droites D et D sont parallèles si et seulement si les vecteurs ( ) ( ) b b directeurs v = et v a = a sont colinéaires, soit : ba a( b ) = 0 ab ba = 0 Donc a et b sont proportionnels à a et b.

56 Application Déterminer l équation de la droite D passant par A( 1;5) et de ( 3 vecteur directeur v =. 2)

57 Application Déterminer l équation de la droite D passant par A( 1;5) et de ( 3 vecteur directeur v =. 2) ( ) x + 1 Soit M(x ; y) un point du plan. On a : AM =. y 5 Le point M appartient à D si et seulement si les vecteurs AM et v sont colinéaires, c est-à-dire : (x + 1) ( 2) (y 5) 3 = 0 2x 2 (3y 15) = 0 2x 3y + 13 = 0

58 Liens et références Géométrie analytique (Wikipédia) ; Repérage dans le plan et dans l espace (Wikipédia) ; Vecteurs et droites 1reS (Yvan Monka) ; 1 - Vecteurs directeurs et équations de droites - Cours (PolyMatheux) ; Maths collection Indice (Bordas) : pages