1SA Angles - Corrigé

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1 1SA Angles - Corrigé Mesure principale des angles Exercice 1 1) Déterminer la mesure principale de l angle orienté dont une mesure est : a) 7π = π b) 199π 6 = 20π 6 5π 6 = 5π 6 c) 77π 3 = 78π 3 + π 3 = π 3 d) 99π 8 = 96π 8 3π 8 = 3π 8 e) π 5 ] π; π]. C est donc la mesure principale. 2) Sur le cercle trigonométrique, placer le point M repéré par le réel 17π puis indiquer tous les réels de l intervalle ] π, π] repérant M. Annexe 1 17π = 6π + π 3 3 Dans l intervalle ] π, π], M est l image sur le cercle des réels π, 7π, 5π, 11π ) Représenter en rouge l ensemble L des points du cercle trigonométrique repérés par les réels de l intervalle [ 5π, π ]. Annexe 1. 3 Voir ci-dessous. ) Déterminer tous les réels 5π + k π, k Z à 2π près. Placer les images de ces points sur le cercle 6 2 trigonométrique. Placer la mesure de l angle à côté du point correspondant. Annexe 2 Si k = 0, on a 5π 6 5π 6 + π 2 = π 3 5π 6 + π = π 6 3 5π π 2 = 2π 3 N. Duceux LFIB Année 201/15 Page 1

2 Exercice 2 1) Sur le cercle trigonométrique, placer le point M repéré par le réel 5π, puis indiquer tous les réels de l intervalle ] 3π, 3π] repérant M. Dans chaque intervalle de longueur 2π, il y a un unique réel repérant M Dans l intervalle ] 3π, π], on a le réel 5π, dans l intervalle ] π; π] le réel 3π = 5π + 2π a pour image M, dans l intervalle ]π; 3π] le réel 3π + 2π = 11π a pour image M. 2) Représenter l ensemble L des points du cercle trigonométrique repérés par les réels de l intervalle [ 5π, π 3 ]. Exercice 3 Triangle équilatéral Soit ABC un triangle équilatéral direct. 1) Faire une figure 2) Déterminer les angles suivants et en donner la mesure principale: a) (AB ; AC ) = π car ABC est un triangle équilatéral direct 3 b) (CB ; CA ) = π 3 c) (AB ; CB ) = (BA ; BC ) = π 3 d) (BA ; AC ) = (AB ; AC ) + π = π = 2π 3 3 e) (AB ; CA ) = (AB ; AC ) + π = 2π 3 Exercice Triangle isocèle rectangle Soit ABC un triangle isocèle rectangle en A et direct. Soit J le milieu de [AB] et I le milieu de [BC]. 1) Faire une figure 2) Donner la mesure principale des angles orientés suivants : a) (IA, AC ) = (AI ; AC ) + π = π + π = 3π bissectrice de l angle droit A b) (JB, IA ) = (AJ ; IA ) = π + (AJ ; AI ) = 3π car (AI) est la c) (JA, IB ) = (BJ ; IB ) = π + (BJ ; BI ) = π π = 3π N. Duceux LFIB Année 201/15 Page 2

3 Exercice 5 Triangle isocèle rectangle ABC est un triangle isocèle rectangle en B et direct. est la médiatrice de [AC]. Compléter les égalités suivantes pour que l équivalence soit vraie : a) M ]AC) (AM, AB ) = π b) M ]BC) (BM, BC ) = 0 c) M {B} (BM, BA ) = π d) M ]AB[ (MA, MB ) = π (π) e) M arc(bc) (MB, MC ) = π Exercice 6 Triangle isocèle rectangle ABC est un triangle rectangle isocèle en B et direct. K est le point d intersection de [BC] avec la bissectrice de BAC 1) Déterminer une mesure en radians de a) (BC, CA ) = (CB, CA ) + π = π + π = 3π b) (AB, AK ) = π car (AK) est la bissectrice de l angle A 8 c) (BC, KA ) = (KC ; KA ) = π π π = 5π 8 8 2) Soit J le milieu du segment [AC]. a) Démontrer que (BJ, KA ) = (KA, CB ) (KA, CB ) = (KA ; KB ) = π (KC ; KA ) = 3π 8 (BJ, KA ) = (BJ ; BK ) + (BK ; KA ) = π + π + (KB ; KA ) = 3π 3π 8 = 3π 8 Donc (BJ, KA ) = (KA, CB ) = 3π 8 b) Quelle est la nature du triangle BKI, où I désigne le centre du cercle inscrit dans ABC. Le triangle BKI est isocèle en I. En effet (IB ; IK ) = (BJ ; KA ) = 3π 8 opposés par le sommet. (KI ; KB ) = (KA, CB ) = 3π 8 car ces deux angles sont. Les angles (IB ; IK ) et (KI ; KB ) sont égaux. Exercice 7 Triangle isocèle rectangle Sur la figure ci-contre, le triangle ABC est rectangle isocèle en B et les triangles ACM et ABN sont équilatéraux. N. Duceux LFIB Année 201/15 Page 3

4 Déterminer la mesure principale, en radians, des angles : a) (BC, AC ) = (CB, CA ) = π car ABC est un triangle rectangle isocèle en B. b) (AN, AC ) = (AN, AB ) + (AB, AC ) = π + π = 7π 3 12 c) (MA, AB ) = π + (AM, AB ) = π 7π d) (AN, AM ) = π + π + π 11π = = 5π 12 Exercice 8 Triangle isocèle Soit ABC un triangle isocèle en C. On donne (CA, CB ) = π. 6 Soit J le point du segment [AC] tel que (BJ, BA ) = π. 1) Déterminer la mesure principale en radian des angles orientés en justifiant soigneusement : a) (BJ, CA ) = (BJ, BA ) + (BA, CA ) = π + (AB, AC ) 2(AB, AC ) = π π donc (AB, AC ) = 5π 6 12 Et (BJ, CA ) = π + 5π = 2π 12 3 b) (JB, BC ) = π + (BJ, BC ) (BC, BJ ) = (BC ; BA ) (BJ ; BA ) = 5π π = π 12 6 Donc (JB, BC ) = π π = 5π 6 6 Ou bien : (BJ, CA ) = (BJ, JA) = (JB ; JA) + π (JA ; JB ) = π π 5π = π 12 3 (BJ, CA ) = (JB ; JA) + π = π π = 2π 3 3 2) Quelle est la nature du triangle BJC? Justifier vos résultats (JB, BC ) = 5π 6 = π + (BJ, BC ) donc (BJ, BC ) = 5π π = π. 6 6 Par hypothèse (CJ ; CB ) = π. 6 Les angles BCJ et CBJ sont égaux donc le triangle BCJ est isocèle en J Exercice 9 - Triangle Un triangle ABC est tel que (AB ; AC ) = π 8 O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC et Ω est le centre du cercle circonscrit au triangle OBC. N. Duceux LFIB Année 201/15 Page

5 1) Calculer (OB ; OC ) (OB ; OC ) = 2(AB ; AC ) D après le théorème de l angle inscrit. D où (OB ; OC ) = π 2) Calculer (ΩB ; ΩC ) (ΩB ; ΩC ) = 2(OB ; OC ) d après le théorème de l angle inscrit. Donc (ΩB ; ΩC ) = π 2 3) Qu en déduit-on pour les droites (ΩB) et (ΩC)? (ΩB ; ΩC ) = π (ΩB) (ΩC) 2 Exercice 10 Triangle équilatéral ABC est un triangle équilatéral direct et I est le milieu de [BC]. 1) Déterminer l ensemble E des points M définis par la relation (MA, MB ) = 0 (MA, MB ) = 0 les vecteurs MA et MB sont colinéaires et de même sens M (AB) [AB] M appartient à la droite (AB)en dehors du segment [AB] 2) Déterminer l ensemble F des points M définis par la relation (MC, IB ) = 5π 6 (MC, IB ) = (CM, IC ) = π (CM, CI ) = 5π 6. D où (CM, CI) = π 5π = π 6 6 Donc F est la demi-droite ]CJ), où J désigne le milieu de [AB]. Exercice 11- Parallélogramme ABCD est un parallélogramme tel que (AB, AD ) = 3π. 5 1) En utilisant les angles associés, donner une mesure des angles orientés suivants : a) (BC, DC ) = (CB, CD ) = (AD, AB ) = 3π 5 b) (BC, BA ) = (AD, BA ) = π + (AD, AB ) = π 3π = 2π 5 5 2) On suppose de plus que ABCD est un losange. Déterminer la mesure principale des angles suivants : a) (CA, CD ) = 1 (π 2π ) = 3π quatre côtés ont même longueur). car ADC est un triangle isocèle en D (dans le losange les b) (DC, BD ) = π + (DC, DB ) = π 1 (π 3π ) = π π = π c) (CA, AD ) = π (AC, AD ) = π + 3π 10 = 7π 10 N. Duceux LFIB Année 201/15 Page 5

6 Exercice 12 - Carré ABCD est un carré direct de centre O. 1) Faire une figure 2) Déterminer l ensemble E des points M du plan tels que (CM ; CA ) = 3π (CD ; CA ) = π. (π) (CM ; CA ) = π ℇ est la droite (CD) privée du point C. (π). Le point D appartient à l ensemble E car 3) Déterminer l ensemble F des points M du plan tels que (MB ; MD ) = π 2 Le point A est tel que (AB ; AD ) = π. Tout point de l arc DB privé de D et B dans le sens direct du 2 cercle circonscrit au triangle DAB convient car [DB] étant un diamètre du cercle, tout triangle MBD est droit, M étant un point de l arc de cercle et sur cet arc de cercle la mesure de l angle (MB ; MD ) = π 2. Exercice 13 - Losange ABCD est un losange direct de centre O tel que BD = AD. Idésigne le milieu du segment [CD]. Déterminer la mesure principale, en radians, de chacun des angles orientés suivants : a) (AB, AD ) = π car le triangle ABD est équilatéral direct. 3 b) (BI, AD ) = (BI, BC ) = π car AD = BC et (BI) est une des 6 bissectrices du triangle équilatéral BDC. c) (DC, BO ) = π (DC, DO ) = 2π 3 d) (BI, AC ) = (BI, BD ) + (BD, AC ) = π π = π car BO = OD et angles supplémentaires Exercice 1 Pentagone ABCDE est un pentagone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique de centre O. A est diamétralement opposé à A. Donner la mesure principale, en radians, des angles suivants en justifiant soigneusement vos résultats: a) (OA, OB ) = 2π 5 car le pentagone étant régulier les cinq angles AOB, BOC, COD, DOE, EOA sont égaux et leur somme vaut 2π. (OA, OB ) = (OA ; OC) + (OC; OB) = π 5 2π 5 = 3π 5 N. Duceux LFIB Année 201/15 Page 6

7 car COD étant isocèle en O, (OA ) est la bissectrice de l angle DOC (AO, AB ) = 3π car les angles A et B sont égaux dans le triangles ABO isocèle en O. 10 b) (BE, AO ) = (BE ; BA ) + (BA ; AO ) = π + (AB ; AO ) + π = π + 3π + π = π c) (BO, OE ) = (OB ; OE ) + π = π + π = π 5 5 d) (EC, EO ) = π car EOC est isocèle en O 10 e) (CB, CD ) = (CB ; CO ) + (CO ; CD ) = 2(AO ; AB ) = 3π. 5 Exercice 15 - Décagone On considère un décagone régulier ABCDEFGHIJ de sens direct et de centre O. 1) Donner en justifiant soigneusement la mesure principale des angles : a) (OA ; OB ) = 2π = π car le décagone étant régulier les 10 angles AOB, BOC, COD, DOE, 10 5 EOF, FOG, GOH, HOI, IOJ, JOA sont égaux et leur somme vaut 2π b) (OA ; OG ) = (OA ; OJ ) + (OJ, OI ) + (OI ; OH ) + (OH ; OG ) = π 5 c) (FI ; OC ) = (FI ; FO ) + (FO ; OC ) = (FI ; FO ) + (OF ; OC ) + π. Le triangle FIO est isocèle en O. L angle (OF ; OI ) = 3π 5 (FI ; FO ) = π 5 et les angles IFO et FIO sont égaux et leur somme vaut 2π. Donc 5 (FI ; OC ) = (FI ; FO ) + (OF ; OC ) + π = π 3π + π = 3π d) (EI ; EB ) = 1 (OI ; OB ) d après le théorème de l angle inscrit. 2 Donc (EI ; EB ) = 3π 10 e) (EF ; EA) = π 2. En effet [AF] est un diamètre du cercle circonscrit au décagone et E est un point de ce cercle. Donc le triangle EFA est droit en E. 2) Montrer, en utilisant les propriétés des angles orientés, que les droites (AH) et (FC) sont parallèles. (HA ; FC ) = (HA ; HO ) + (HO ; FO ) + (FO ; FC )+= (HA ; HO ) + (OH ; OF ) + (FO ; FC ) = π 2π π 5 = 0. On en de duit que les vecteurs sont coline aires et donc que les droites (AH)et (FC)sont paralle les. Exercice Soit (AB) une droite, C un point n'appartenant pas à (AB), C le symétrique de C par rapport à (AB). On veut comparer les mesures des angles (CA ; CB ) et (C A ; C B ) N. Duceux LFIB Année 201/15 Page 7

8 1. Exprimer (CA ; CB ) à l'aide des angles (AB ; AC ) et (BA ; BC). La somme des angles d un triangle vaut π. D où (CA ; CB ) = π (AB, AC ) (BC ; BA ) 2. Comparer (AB ; AC) et (AB ; AC ) d'une part et (BA ; BC ) et (BA ; BC ) d'autre part. (AB ; AC ) = (AB ; AC ) car (AB) est la médiatrice de [CC ]. Donc AC = AC. (AB) est aussi bissectrice de l angle A dans le triangle isocèle ACC De même (BA ; BC ) = (BA ; BC ) avec les mêmes considérations dans le triangle BCC 3. En utilisant les résultats des questions 1 et 2, comparer alors (C A ; C B ) et (CA ; CB ). (C A ; C B ) = (C A; AB ) + (AB ; C B) = π + (AC ; AB ) + (BA ; BC ) = π + (AB ; AC ) (BA ; BC ) = π + (AB ; AC ) (AB ; BC ) π = (AB ; AC ) + (BC ; AB ) = (BC ; AC ) = (CA ; CB ) 17π = π, 15π 6 = 12π 6 + 3π 6 = π 2 7π 3 = 6π 3 π 3 = π 3, 3π π = 500π + π = π 31π, = 2π + 7π = 7π , 5π = π ] π; π] c est donc une mesure principale, N. Duceux LFIB Année 201/15 Page 8