Epreuve de spécialité de Mathématiques Série L

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1 Epreuve de spécialité de Mathématiques Série L Durée de l'épreuve: 3 heures. Le candidat doit traiter tous les exercices. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entrent pour une part importante dans l'appréciation des copies. EXERCICE 1 (6 points) Une horloge électronique a été programmée pour émettre un bip toutes les sept heures. Le premier bip est émis le 31 décembre 2004 à minuit. 1 a) A quelle heure est émis le dernier bip du 1erjanvier 2005? b) A quelle heure est émis le premier bip du 2 janvier 2005? c) A quelle heure est émis le dernier bip du 2 janvier 2005? d) A quelle heure est émis le premier bip du 3 janvier 2005? Expliquer les réponses. 2 a) Montrer que : 24 3(modulo7). b) En déduire le reste de la division euclidienne de 2 24 par 7 et le reste de la division euclidienne de 3 24 par 7. Justifier les réponses. Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant : c) Expliquer pourquoi l horloge émet un bip à minuit tous les 7 jours et tout les 7 jours seulement. n Reste de la division euclidienne par 7 de n 24 3 On rappelle que l année 2005 est une année non bissextile et comporte donc 365 jours. a) Déterminer le plus petit entier naturel a tel que : 365 a(modulo7) b) A quelle date l horloge émettra-t-elle un bip à minuit pour la dernière fois en 2005? Expliquer la réponse. EXERCICE 2 (3 points) On considère l'algorithme ci-dessous 1 Entrée a et b deux entiers 2 Initialisation donner à q la valeur initiale 0 donner à m la valeur initiale b Traitement Tant que m a 3 affecter à q la valeur q + 1 affecter à m la valeur m + b 4 affecter à r la valeur a q b 5 Sortie Afficher la valeur de q et la valeur de r. 1 Montrer que si a = 55 et b = 17 le programme affiche q = 3 et r = 4 à l'étape 5. 2 Si a = 102 et b = 36 qu'affiche le programme à l'étape 5 Même question pour a = 25 et b = Que représente les valeurs affichées à l'étape 5

2 EXERCICE 3 ( 6 points ) Le but de l exercice est d étudier la fonction f définie sur l intervalle [ 1 ; 3 ] par f (x) = x 2 ln x x. On rappelle que e est le nombre tel que ln e = 1. On note (C ) la courbe représentative de la fonction f dans un repère (O; i ; j ) La courbe (C ) est donnée en annexe et à rendre avec la copie. Cette courbe permettra de contrôler l exactitude de certains résultats, mais ne doit pas être utilisée pour justifier les réponses. Partie I On considère la fonction u définie sur l intervalle [ 1 ; 3 ] par u (x) = x ln x. On note u' la dérivée de la fonction u. Calculer u' (x). Dresser le tableau de variations de la fonction u sur l intervalle [ 1 ; 3 ] On admet l existence d un nombre unique a, appartenant à l intervalle [ 1 ; 3 ] tel que u (a) = 0. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en indiquant le signe de u (x). Partie II x 1 a 3 u (x) 0 a) On note f ' la dérivée de la fonction f. On admet que pour tout x de l intervalle [ 1 ; 3 ], f ' (x) = u(x) 2 x 2 où u est la fonction définie dans la partie I. Déterminer selon les valeurs de x le signe de f ' (x) sur l intervalle [ 1 ; 3 ]. b) Dresser le tableau de variations de la fonction f (on ne calculera pas f (a)). On note A le point de coordonnées 1, 1 2. Montrer que la tangente ( T ) à la courbe (C ) au point d abscisse e est parallèle à la droite (OA). Tracer la droite ( OA ) et la tangente ( T ) sur l annexe à rendre avec la copie. Placer le point B de coordonnées ( a ; f (a) ) et la tangente à la courbe (C ) au point B. EXERCICE 4 (5 points ) Des chardons envahissent une pelouse de deux façons différentes. Ce dimanche 13 juin, ils couvrent 300 m 2 de la pelouse. Chaque semaine l aire de la surface envahie par les chardons augmente d une part de 4 % par la prolifération des racines, d'autre part de 13 m 2 dus aux graines envolées des jardins voisins. On appelle U n l'aire de pelouse, en m 2, envahie par les chardons au bout de n semaines. On a donc U 0 = Calculer U 1, U 2 et U 3. 2 Justifier que pour tout entier naturel n, U n+1 = 1,04 U n On définit la suite (V n ) par V n = U n a) Démontrer que V n+1 = 1,04 V n. b) En déduire que la suite (V n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 4 Exprimer V n en fonction de n, en déduire que U n = 625 (1,04) n Au bout de combien de semaines les chardons auront-ils envahi plus de 700 m 2 de la pelouse?

3 Annexe de l exercice 3 à compléter et à rendre avec la copie

4 Exercice 1 (6 points) (Nouvelle-Calédonie novembre 2005) Une horloge électronique a été programmée pour émettre un bip toutes les sept heures. Le premier bip est émis le 31 décembre 2004 à minuit. 1 a) A quelle heure est émis le dernier bip du 1erjanvier 2005? 3 7 = 21 < 24 < 4 7 donc le dernier bip du 1 er janvier 2005 a été émis à 21 h b) A quelle heure est émis le premier bip du 2 janvier 2005? = 4 donc le premier bip du 2 janvier 2005 a été émis à 4 h c) A quelle heure est émis le dernier bip du 2 janvier 2005? < donc le dernier bip du 2 janvier 2005 a été émis à 18 h d) A quelle heure est émis le premier bip du 3 janvier 2005? Expliquer les réponses = 1 donc le premier bip du 3 janvier 2005 a été émis à 1 h 2 a) Montrer que : 24 3(modulo7). 24 = donc 24 3 b) En déduire le reste de la division euclidienne de 2 24 par 7 et le reste de la division euclidienne de 3 24 par 7. Justifier les réponses. Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant : modulo 7 on a 24 3 donc le reste de la division par 7 est donc 6 modulo 7 on a 24 3 donc donc le reste de la division par 7 est 2 n Reste de la division euclidienne par 7 de n 24 c) Expliquer pourquoi l horloge émet un bip à minuit tous les 7 jours et tout les 7 jours seulement. Pour qu'un bip soit émit à minuit n jours après le premier janvier 2005 il faut que 24 n soit divisible par 7. Pour tout entier naturel n, si r est le reste de la division de n par 7 on a : n r modulo 7 donc n 24 r 24 modulo 7 avec 0 r < 7 24 n 0 r 24 0 r = 0. Donc l'horloge émet un bip à minuit tous les 7 jours. 3 On rappelle que l année 2005 est une année non bissextile et comporte donc 365 jours. a) Déterminer le plus petit entier naturel a tel que : 365 a(modulo7) 365 = b) A quelle date l horloge émettra-t-elle un bip à minuit pour la dernière fois en 2005? Expliquer la réponse modulo 7 donc modulo 7 A 24 h 3 h = 21 h l'horloge émettra un bip à minuit pour la dernière fois. ( 6 points ) (Centre Etrangers juin 2004) Le but de l exercice est d étudier la fonction f définie sur l intervalle [ 1 ; 3 ] par f (x) = x 2 ln x. On rappelle que e est le nombre tel que ln e = 1. On note (C ) la courbe représentative de la fonction f dans un x repère (O; i ; j ) La courbe (C ) est donnée en annexe et à rendre avec la copie. Cette courbe permettra de contrôler l exactitude de certains résultats, mais ne doit pas être utilisée pour justifier les réponses. Partie I On considère la fonction u définie sur l intervalle [ 1 ; 3 ] par u (x) = x ln x. On note u' la dérivée de la fonction u. Calculer u' (x). u '(x) = 2 x + 2 x > 0

5 Dresser le tableau de variations de la fonction u sur l intervalle [ 1 ; 3 ] u(1) = ln 1 = 1 et u(3) = ln 3 = ln 3 9,2 x 1 3 signe de u ' ln 3 u 1 On admet l existence d un nombre unique a, appartenant à l intervalle [ 1 ; 3 ] tel que u (a) = 0. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en indiquant le signe de u (x). x 1 a 3 u (x) 0 + Partie II a) On note f ' la dérivée de la fonction f. On admet que pour tout x de l intervalle [ 1 ; 3 ], f ' (x) = u(x) 2 x2 définie dans la partie I. Déterminer selon les valeurs de x le signe de f ' (x) sur l intervalle [ 1 ; 3 ]. 1 f (x) = x 2 ln x f ' (x) = 1 x 2 x x 1 ln x x 2 = ln x x 2 = x ln x 2 x 2 = u(x) 2 x 2 Pour tout réel x de [ 1 ; 3 ] 2 x 2 > 0 donc f ' (x) est donc du signe de u(x) b) Dresser le tableau de variations de la fonction f (on ne calculera pas f (a)). x 1 a 3 signe de f ' ln 3 3 f où u est la fonction f(a) On note A le point de coordonnées 1, 1. Montrer que la tangente ( T ) à la courbe (C ) au point d abscisse e est parallèle à la 2 droite (OA). Tracer la droite ( OA ) et la tangente ( T ) sur l annexe à rendre avec la copie. Placer le point B de coordonnées ( a ; f (a) ) et la tangente à la courbe (C ) au point B. f ' (e) = ln e e 2 = e 2 = 1 2 le coefficient directeur de la droite (OA) est égal à : y A y O x A x O = 1 2 On retrouve le coefficient directeur de la tangente

6 EXERCICE 2 (5 points ) (Centre Liban juin 2004) Des chardons envahissent une pelouse de deux façons différentes. Ce dimanche 13 juin, ils couvrent 300 m2 de la pelouse. Chaque semaine l aire de la surface envahie par les chardons augmente d une part de 4 % par la prolifération des racines, d'autre part de 13 m2 dus aux graines envolées des jardins voisins. On appelle Un l'aire de pelouse, en m2, envahie par les chardons au bout de n semaines. On a donc U0 = Calculer U1, U2 et U3. U 1 = = 325, U 2 = = 351 et U 3 = = 378,04 2 Justifier que pour tout entier naturel n, Un+1 = 1,04 Un La prolifération due aux racines est de U n et celle due aux graine est de 13 4 On a donc U n+1 = U n U n + 13 = 1,04 U n On définit la suite (Vn) par Vn = Un a) Démontrer que Vn+1 = 1,04 Vn. V n+1 = U n = 1,04 U n = 1,04 U n ,04 V n = 1,04 (U n + 325) = 1,04 U n + 1, = 1,04 U n = V n+1 b) En déduire que la suite (Vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. pour tout entier naturel n, V n+1 = 1,04 V n donc la suite (V n ) est géométrique de raison 1,04. Son premier terme est U 0 = Exprimer Vn en fonction de n, en déduire que Un = 625 (1,04) n 325. V n = V 0 (1,04) n = ( ) (1,04) n = 625 (1,04) n donc U n = V n 325 = 625 (1,04) n Au bout de combien de semaines les chardons auront-ils envahi plus de 700 m2 de la pelouse? 625 (1,04) n équation 625 (1,04) n 1025 (1,04) n 1025 n ln (41/25) ln (1,04) 13 semaines. EXERCICE n ln (1,04) ln ln (41/25) On a : ln (1,04) 12,6 donc les chardons auront envahi plus de 700 m2 de la pelouse au bout de (3 points) On considère l'algorithme ci-dessous 1 Entrée a et b deux entiers 2 Initialisation donner à q la valeur initiale 0 Traitement donner à m la valeur initiale b Tant que m a 3 affecter à q la valeur q + 1 affecter à m la valeur m + b 4 affecter à r la valeur a q b 5 Sortie Afficher la valeur de q et la valeur de r. 1 Montrer que si a = 55 et b = 17 le programme affiche q = 3 et r = 4 à l'étape 5. a = 55 et b = 17 q = 0 et m = ? oui q = 1 et m = ? non r = = 4 le programme affiche q = 3 et r = ? oui q = 2 et m = 51 2 Si a = 102 et b = 36 qu'affiche le programme à l'étape ? oui q = 3 et m = 63

7 a = 102 et b = 36 q = 0 et m = ? oui q = 1 et m = ? non r = = 30 le programme affiche q = 2 et r = ? oui q = 1 et m = 108 Même question pour a = 25 et b = 32. a = 25 et b = 32 q = 0 et m = ? non r = = 25 le programme affiche q = 0 et r = 25 3 Que représente les valeurs affichées à l'étape 5 q représente le quotient de a par b et r le reste de la division de a par b