1. Montrer que, pour tout x de R\{2πZ} et pour tout couple d entiers naturels (p, q) tels que p q, on a l inégalité q. 2.

Transcription

1 6/7 Feuille. Montrer que, pour tout x de R\{πZ} et pour tout couple d entiers naturels p, q tels que p q, on a l inégalité q e i x sin x. =p. Calculer S = 3 cos π Soit n N, et ω = e i π n. Montrer que : z C, 4. Calculer + n. z + ω n = n z n Résoudre cos 5x cos 3x = sin x + sin 6x. 6. Soit a = π. Calculer X = cos a + cos3a + cos5a + cos7a + cos9a. 7. Résoudre l équation : sin x + cosx sin3x cos4x + sin5x =. 8. Soit l équation différentielle E : x y + y = x + x. a Déterminer les solutions de E sur R + et sur R. b Existe-t-il des solutions de E sur R? 9. Soit P C[X]. On suppose que P divise P. a Donner la forme de P si le degré de P est. b Donner la forme de P si le degré de P est n.. Soit P un polynôme de R[X] de degré n. On suppose que, pour tous les entiers compris entre et n +, P =. Calculer P n +. n. Déterminer le reste de la division euclidienne de X sin π n + cos π par X +. n. Déterminer P R[X] de degré minimal tel que le reste de la division euclidienne de P par X + X + soit X et que le reste de la division euclidienne de P par X X + soit X. 3. Déterminer les polynômes de degré 7, puis tous les polynômes P tels que P + soit divisible par X 4 et P soit divisible par X + 4.

2 6/7 Feuille Indications.. Partir de q q p e i x = e i px e i x. Puis somme des termes d une suite géométrique. =p. Poser α = e i π/7. Utiliser la formule d Euler pour le cosinus. Calculer la somme en utilisant α 7 =? et + α + α + α 3 + α 4 + α 5 + α 6 =?. 3. Utiliser la formule du binôme de Newton, puis permutation des sommes finies. 4. Utiliser la fonction f : x n x = + x n, en se demandant comment faire apparaître On utilise les formules de trigonométrie : cos p cos q = et sin p + sin q =. 6. Poser α = e i π/. Utiliser une formule d Euler. Remarque : on a α = et α =. 4 Autre méthode : calculer T = e i +π/. 7. Ecrire sin x + sin5x + cosx cos4x sin3x =, puis utiliser les formules de trigonométrie. 8. a Résolution d abord sur R + et R : résoudre d abord l équation homogène, puis utiliser la méthode de la variation de la constante. b Soit y une solution de E sur R. Les restrictions de y à R + et R sont solutions de E sur R + et R. Utiliser la continuité de y en pour déterminer les constantes. En utilisant le développement en série entière de la fonction Arctan, justifier que la fonction obtenue est de classe C sur ], [. Puis justifier qu elle est de classe C sur R. 9. a Justifier que P admet une racine double. b Méthode. Ecrire n P = X α P, puis dériver. S intéresser à la racine α. Méthode. Ecrire n P = X α P, puis résoudre une équation différentielle.. Considérer le polynôme X P X degré, racines, valeur en?.. Écrire la division euclidienne et utiliser une racine de X +.. On cherche donc un polynôme P de R[X] de degré minimal tel qu il existe deux polynômes Q et R vérifiant P = X + X + R + X et P = X X + R X +. On utilise les racines dans C de X + X + et X X + sont j et j. On aura donc 4 équations, on cherche donc un polynôme P de R 3 [X] 4 coefficients. 3. Soit P un polynôme de degré 7 tel que P + soit divisible par X 4 et P soit divisible par X + 4. Que peut-on dire de et pour le polynôme P? Utiliser en plus P = et P =.

3 6/7 Feuille 3 Solutions.. On a e ix. On a q q p e i x = e i px =p e i x q p+x i px ei = e e ix Comme e i q+p x/ = et sin q p + x/, on a q p+x/ i px ei e i q p+x/ e i q p+x/ = e e ix/ e ix/ e ix/ = e i q+px/ sin q p + x/ sinx/ q =p e i x sinx/. On a, en posant α = e i π/7, On a : cos π = e i π/7 + e i π/7 = α + 7 α cos π 7 = α + α + = α α cos 4 π 7 = α + α = α 4 + α Donc cos 6 π 7 S = = α α + + α 3 + α 3 = α 6 + α 3 α α α3 α 6 + On met au même dénominateur, on simplifie en utilisant α 7 =, et on obtient De plus Donc Conclusion S = 4 + α + α + α 3 + α 4 + α 5 + α + α + α 3 + α 4 + α 5 + α 6 + α + α + α 3 + α 4 + α 5 + α 6 = α7 α = S = 4 α6 α 6 S = 4

4 6/7 Feuille 4 3. Soit S = z + ω n. On utilise le binôme de Newton. n n S = z n p ω p = On a ω p = e i p π n. p= Si p n, ω p est une racine n-ième de l unité distincte de, et donc Si p = ou p = n, ω p = et Ainsi ω p = n. S = n p z n ω n + n n p= n p z n n p ω p z ω n n = n z n + ω p =. 4. Soit la fonction La fonction f est continue sur R. Pour tout x de R, Et pour tout x de R, x ft dt = x On en déduit, avec x =, que x ft dt = f : x n x n n t dt = x = + x n n [ + t + t n n+ dt = n + + n x t dt = ] x = n+ n + n x + = + xn+ n L équation équivaut à sin 4x sin x = sin 4x cos x L équation équivaut donc à sin 4x = ou sin x = cos x La première équation donne comme ensemble de solutions { π } 4 Z. La seconde équation équivaut à π sin x = sin x soit Z, x = π π x + π ou Z, x = π x + π { π } { L ensemble des solutions pour la seconde équation est donc + π Z π 6 + π } 3 Z. Finalement l ensemble des solutions est { π } { π } { 4 Z + π Z π 6 + π } 3 Z

5 6/7 Feuille 5 6. Posons ω = e i π/. Remarque : on a ω = et ω =. On a, pour tout n de N, cosna = cosn π = e i nπ/ + e i nπ/ = ω n + ω n. On a successivement : X = ω + ω + ω3 + ω 3 + ω5 + ω 5 + ω7 + ω 7 + ω9 + ω 9 = ω + ω 8 ω 9 + ω + ω 6 ω 9 + ω4 + ω 4 ω 9 + ω6 + ω ω 9 + ω8 + ω 9 = ω 9 + ω + ω 4 + ω 6 + ω 8 + ω + ω + ω 4 + ω 6 + ω 8 + ω ω = ω 9 ω ω ω = ω ω 9 car ω = = ω9 ω 9 car ω = = Conclusion : X =. Autre méthode. Le réel X est la partie réelle de la somme T = 4 e i + π. On écrit : T = e i π = e i π = e i π = e i 5 π = e i 5 π 4 e i π e i π e i π e i 5 π e i π e i 5 π e i 5 π e i π e i π i sin 5 π i sin π sin 5 π sin π On en déduit que On a Donc cos 5π sin 5π = X = cos 5π sin 5 π sin π π sin = sin π π = sin π X = 7. On utilise en particulier : sin p + sin q =, cos p cos q =.

6 6/7 Feuille 6 L équation équivaut successivement à : sin x + sin5x + cosx cos4x sin3x = sin3x cos x sin3x sin x sin3x = sin3x cosx + sin x = sin3x sin x sin x = sin3x sin x sin x = Conclusion. L ensemble des solutions est : { π 3 + π } { π } { } 5 π 3 Z 6 + π Z 6 + π Z 8. Remarque. C est une équation différentielle linéaire d ordre. Les fonctions x, x et x x sont continues sur R. + x La fonction x x ne s annule pas sur R +. D après le cours de fin d année sur les équations différentielles, l ensemble des solutions sur R + est un sousespace affine de C R +, R de dimension. De même sur R. Par contre sur R on ne peut rien dire a priori. a On résoud d abord l équation homogène H : x y + y =, soit sur R + ou sur R : y = x y. On obtient R + R x K x K R et R R x L x L R On remarque que dans les deux cas, l ensemble des solutions est effectivement une droite vectorielle. Pour R +, c est la droite engendrée par la fonction : R + R, x x. Sur R + ou sur R, on cherche une solution particulière sous la forme y x = Kx zx, où zx = x est solution de l équation homogène. On a Soit x y + y = x y + y = x + x x K x zx + Kx z x + Kx zx = x + x x + x x K x zx + Kx x z x + zx = x + x Comme x z x + zx =, puisque z est solution de l équation homogène, on a x y + y = x + x x K x zx = x + x Finalement Comme x y + y = x + x K x = x + x x + x = + x + x = + x,

7 6/7 Feuille 7 on peut prendre Kx = x Arctan x On peut donc prendre comme solution particulière : D où les solutions de E : R + R x x Arctan x x + K x K R y x = x Arctan x x et R R x x Arctan x x + L x L R On voit donc apparaître dans les deux cas une droite affine. Sur R +, c est la droite contenant la fonction : R + R, x x Arctan x x, et de direction la droite vectorielle engendrée par la fonction : R + R, x x. b Soit y une solution de E sur R. Elle est de classe C sur R. La restriction de y à R + est solution de E sur R +. Donc De même K R, x R +, yx = x Arctan x + K x L R, x R, yx = x Arctan x + L x Comme la fonction y est continue sur R, elle est continue en. Donc x Arctan x + K On a donc lim x + x R. Comme lim x = et x + De même L =. On a donc lim x Arctan x + K = K, nécessairement K =. x + x R, yx = x Arctan x x En utilisant un développement limité de la fonction Arctangente en, on a donc y =. yx = x Arctan x Donc si y est solution sur R, on a x y = Réciproquement, considérons cette fonction y. si x R Elle est de classe C sur R, par opérations sur les fonctions usuelles. lim yx = y R. x + Sur ], [, le développement en série entière de la fonction Arctangente est : Arctanx = On en déduit que x ], [, yx = + n= n+ xn n + x Arctan x lim x + x =. On a + n= n xn+ n +. La fonction y est donc développable en série entière au voisinage de, avec un rayon R =. On en déduit que y est de classe C sur ], [.

8 6/7 Feuille 8 Elle est donc de classe C sur R. La fonction y est donc de classe C sur R, et les calculs effectués dans la première question montre que, pour tout x de R, x y x + yx = x. Ceci étant vrai aussi pour x =. + x Donc la fonction y est l unique solution de E sur R. 9. a P est un polynôme de degré. Comme P divise P, l unique racine de P est aussi racine de P. Donc P admet une racine double. Donc P est du type : P = a X α, avec a Réciproquement, si P est de ce type, on a P = X α P, donc P divise P. b Méthode. Supposons que P divise P. On peut écrire n P = X α P En dérivant, on obtient puis par récurrence Pour n, n, donc n P = X α P, n P = X α P + P α = Ainsi α est racine d ordre au moins n de P. Comme P est de degré n, on a P = λ X α n Réciproque sans difficulté. Méthode. A partir de n P = X α P, on résoud une équation différentielle sur ]α, + [. On obtient une fonction polynômiale P : x λ x α n. Le polynôme P X λ X α n admettant une infinité de racines, c est le polynôme nul. D où le résultat.. On considère le polynôme QX = X P X Le degré de QX est n +. D après l hypothèse, QX admet comme racines :,,..., n +. Donc : λ R, QX = λ X X... X n + Comme Q =, on en déduit que On a ainsi X P X = λ = n n +! n X X... X n + n +!

9 6/7 Feuille 9 On déduit que P n + = + n n +. Notons P X = n X sin π n + cos π. n Il existe un unique polynôme QX et un unique couple a, b R, tels que D après l égalité précédente, on a P i = a i + b. D autre part, on a Donc P i = n i sin π n + cos π = n Donc le reste dans la division euclidienne est P X = QX X + + a X + b n e i π/n = e i π n ++ +n = e i π n P i = cos n + π + i sin n + π RX = sin n + π X + cos n + π nn+ = e i π n+. On cherche donc un polynôme P de R[X] de degré minimal tel qu il existe deux polynômes Q et R vérifiant P = X + X + R + X et P = X X + R X + Les racines de X + X + sont j et j et les racines de X X + sont j et j. Considérons un polynôme P de R[X] de degré 3, qui a donc 4 coefficients réels : P = a X 3 + b X + c X + d En écrivant que P j = j, compte-tenu que les coefficients sont réels, on aura équations, et en écrivant que P j = j +, compte-tenu que les coefficients sont réels, on aura aussi équations. Si ainsi on obtient un unique quadruplet solution a, b, c, d et que a, c est qu il n existe pas de polynôme de degré inférieur ou égal à trois qui est solution du problème posé. En écrivant que P j = j et P j = j +, on obtient : Comme j 3 = et + j + j =, on en déduit que a j 3 + b j + c j + d = j a j 3 + b j c j + d = j + c b j + a b + d = j c + b j a b + d = j +

10 6/7 Feuille Comme, j est une famille libre dans l espace vectoriel C sur le corps R, on a : On en déduit : On obtient donc le polynôme c b = a b + d = c + b = a b + d = a = 5 4, b =, c =, d = 4 P = 5 4 X3 X 4 Ce polynôme convient : P = X + X X + + X 4 et P = X X X 9 X + 4 Comme on a obtenu a, c est le polynôme de plus bas degré. 3. Soit P un polynôme de degré 7 tel que P + soit divisible par X 4 et P soit divisible par X + 4. Comme est racine de P + avec un ordre de multiplicité au moins 4, est racine du polynôme dérivé, soit P, avec un ordre de multiplicité au moins 3. De même est racine de P, avec un ordre de multiplicité au moins 3. Donc P est divisible par X 3 X + 3. Comme le degré de P est 6, il existe a R tel que Puis il existe b R tel que P = a X 3 X + 3 P = a X 3 = a X 6 3 X X P = a 7 X7 3 5 X5 + X 3 X + b Or il existe un polynôme Q tel que P + = Q X 4. On en déduit que P =. De même P =. Donc Par addition, on a b =, puis par soustraction a = a b = a b = P = 6 Réciproquement considérons ce polynôme P. 5 X 7 X X 3 35 X D après les calculs précédents, on P est divisible par X 3 X + 3, P = et P =.

11 6/7 Feuille Notons Q le polynôme défini par Q = P +. On a Q = P. On a donc Q divisible par X 3. De plus Q = P + =. Donc Q = Q = Q = Q 3 = Donc est racine de Q d ordre de multiplicité au moins 4. Donc X 4 divise Q = P +. De même X + 4 divise P. Donc ce polynôme P est solution. Considérons un polynôme S qui vérifie également : S + est divisible par X 4 et S est divisible par X + 4. Alors, en utilisant le polynôme P obtenu ci-dessus, on a S P = S + P + = S P divisible par X 4 et par X + 4. Donc il existe un polynôme R tel que S P = R X 4 X + 4 Ainsi S = P + R X 4 X + 4 Réciproquement, considérons un tel polynôme S. On a S + = P + + R X 4 X + 4 Comme P + est divisible par X 4, il en de même pour S + De même S est divisible par X + 4. Donc les polynômes solutions sont les polynômes du type P +R X 4 X+ 4 avec R polynôme quelconque.