Commande d un système linéaire.

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1 PSI Brizeux Ch. E4: Commande d un ytème linéaire - Le ocillateur à boucle de réaction 43 CHAPITRE E4 Commande d un ytème linéaire. Le ocillateur à boucle de réaction On peut claer le ytème en deux catégorie : ceux dit en «boucle ouverte» ou en chaîne directe qui fonctionnent en ignorant le effet de leur action ; ceux dit en «boucle fermée» pour lequel la grandeur de ortie et contrôlée dan un but d aerviement et/ou de régulation. 1. ASSERVISSEMENT D UN SYSTEME 1.1. Limite de la commande directe (yt. en boucle ouverte) Decription générale Un ytème commandé et contitué de différent organe ayant une fonction bien déterminée, jouant un rôle type que l on retrouve dan tou ce ytème. commande ytème ortie actionneur capteur Exemple : Un premier exemple et celui où le ytème et un four, la commande une énergie électrique, l actionneur une réitance chauffante, le capteur un thermomètre et la ortie la température. Un econd exemple et celui où le ytème et un arbre de moteur, la commande une tenion électrique, l actionneur un amplificateur de puiance et un moteur, le capteur un capteur de vitee et la ortie la vitee de rotation de l arbre. Remarque : un capteur de façon générale tranforme une grandeur phyique en une autre, d un autre type Inconvénient de la commande directe Prenon le econd exemple : i on imagine un «cahier de charge» (i.e. l enemble de contrainte impoée par l utiliateur) donnant une tolérance de 1% ur la vitee de rotation de l arbre moteur autour d une vitee nominale Ω 0, il faudra, dan le ca de la commande directe, calculer exactement (à 43

2 PSI Brizeux Ch. E4: Commande d un ytème linéaire - Le ocillateur à boucle de réaction 44 1% en fait) le caractéritique de la machine afin de déterminer le plu préciément poible la tenion u 0 à appliquer. On parle de commande en chaîne directe car dan ce ca, aucune information ur la vitee de rotation réelle n et prie en compte pour déterminer la tenion à appliquer. Le inconvénient ont d importance puiqu il exite de paramètre dont on peut difficilement prendre compte avec préciion, faute de modèle et/ou du fait de leur caractère fluctuant : c et le ca par exemple de frottement, de variation de température... qui font que la grandeur de ortie e modifie et peut complètement dériver an que le dipoitif de commande ne réagie. Lor de cette commande en chaîne directe, rien n aure que = optimale, et ce dan le meilleur délai : on dit que le ytème n et pa aervi à la commande, i de perturbation apparaient, peut changer an que la commande ne réagie : on dit que le ytème n et pa régulé Sytème aervi et/ou régulé (yt. en boucle fermée). Exemple On raionne ur l exemple du moteur : afin de permettre au ytème de commande de réagir lorque la vitee de rotation Ω varie, on intalle un capteur de vitee ur l arbre qui fournit une tenion u r appelée tenion de retour, image de Ω. Un comparateur effectue la différence entre u r et u c (tenion de conigne). ε = u c - u r et appelé ignal d erreur. On agit ur l actionneur (amplificateur + moteur dan cet exemple) en fonction de ε. La tructure générale d un ytème bouclé et donc la uivante (en l abence de perturbation) : conigne! comparateur correcteur actionneur u organe à aervir ortie ignal retour capteur Le ignal de retour et l image de la ortie par un capteur. ε et obervé en permanence et le ignal de commande de l actionneur, u, et ajuté en permanence par le correcteur de façon à agir ur l actionneur et corriger l erreur. Il exite différent type de loi de commande u = f(ε) : la loi de commande la plu imple et du type «tout ou rien» : i ε > 0, u = U max et i ε < 0, u = 0. Ce type de loi de commande et trè employé dan le ytème «rutique» poédant une forte inertie telle que le commande thermotatique de chauffage ; 44

3 PSI Brizeux Ch. E4: Commande d un ytème linéaire - Le ocillateur à boucle de réaction 45 la loi de commande proportionnelle : u = Κε (le correcteur et donc un imple amplificateur). Elle permet d envoyer le maximum de puiance quand la ortie a une valeur trè éloignée de la conigne, et de réduire cette puiance lorqu elle en approche. la loi de commande proportionnelle intégrale : la loi de commande proportionnelle laie en général ubiter une erreur réiduelle : en effet, i elle était nulle, la commande u = Kε le erait aui et l actionneur ne erait plu alimenté. Si l on ouhaite un ignal d erreur faible, cela e fera au prix d un gain élevé. Cela entraîne un autre déavantage : celui d une réaction diproportionnée en ca de changement de conigne par exemple et pouvant même entraîner la aturation de compoant. Une loi de commande de type intégral permet d aurer une commande plu progreive. t On choiit donc u(t) = 1 # "(x)dx où T i et la contante de temp d intégration. T i devra être choii T i 0 ni trop grand (réaction trop «molle») ni trop faible (réaction trop «brutale») par rapport aux contante de temp caractéritique du ytème à commander. La! commande intégrale permet de réagir «calmement» aux variation brutale de l erreur et d aurer aini un rattrapage progreif de la conigne. Le ignal d erreur peut annuler an que u ne annule. La commande intégrale et une commande progreive et perévérante. la loi de commande dérivée : elle permet de prendre en compte l état de l évolution de ε. En effet, i ε(t) et en train d augmenter, il faudra que le ytème réagie plu énergiquement que i ε(t) et en train de diminuer. d" On choiit donc une loi de commande u(t) = T d dt. La commande dérivée aure une plu grande rapidité et une meilleure tabilité du ytème régulé.! Exemple 1 : on peut illutrer ceci avec l exemple de la régulation et/ou aerviement d un four : N température de conigne actionneur comparateur capteur + correcteur - w four!=" c #" r température du four La température du four et commandée par l énergie électrique alimentant de réitance chauffante (actionneur). Le facteur de perturbation, plu ou moin bien connu, ont modélié par un ignal N qui contitue une entrée non maîtriée. 45

4 PSI Brizeux Ch. E4: Commande d un ytème linéaire - Le ocillateur à boucle de réaction 46 Un opérateur pourrait agir manuellement ur w pour maintenir θ r conforme à la température de conigne θ c, mai cela erait fatidieux et jutifie l emploi de ytème à boucle de réaction intégrée. On remplace donc l action d un opérateur extérieur par l organe correcteur, qui aprè détection de l erreur ε règle w «de façon appropriée». Pour un four il agit généralement d une commande de type «tout ou rien». Exemple 2 : commande de vitee d un moteur : u e! couple réitant amplificateur + (correcteur) M' M'' - u + + " ortie (ver charge) capteur de vitee moteur u r " On fait ici intervenir a priori de frottement intervenant au niveau du moteur et modélié par un couple réitant. L arbre moteur tourne à la vitee angulaire Ω et pourra éventuellement être raccordé à une charge mécanique exerçant lui aui un couple réitant ur l arbre. Le capteur de vitee et une génératrice tachymétrique, dont on verra dan un autre cour le principe de fonctionnement, mai dont on peut retenir ici qu elle délivre en ortie une tenion u r proportionnelle à la vitee de rotation Ω. Fonction aerviement : on poe dan cette étude que le entrée econdaire (couple réitant ici) ont à 0. On uppoe qu à t = 0, le ytème et au repo avec toute le grandeur nulle. A t = 0 +, on impoe u e = u c (tenion de conigne). Le moteur étant au repo Ω = 0 et donc u r = 0, d où ε(0 + ) = u c, valeur maximale du ignal d erreur. Donc l accélération du moteur et aui maximale : Ω augmente donc, u r aui et ε diminue juqu à on annulation. Le moteur n et alor plu alimenté et, en l abence de frottement, l arbre moteur aura été lancé à la valeur Ω 0 déirée. On arrive plu rapidement et plu ûrement à la valeur Ω 0 que an boucle de retour. Fonction régulation : on uppoe le ytème en régime établi. Si un couple réitant paraite fait chuter Ω, alor u r diminue, ε augmente, u aui et le moteur et accéléré, permettant à l arbre de retrouver la valeur de vitee de rotation déirée. Un ytème régulé garde de caractéritique de ortie table, même en préence de perturbation. 46

5 PSI Brizeux Ch. E4: Commande d un ytème linéaire - Le ocillateur à boucle de réaction 47 Exemple 3 : l amplificateur non invereur R 2 (t) = Aε avec ε = (v + - v - ) v + = e et v - = +R 2 = B. e(t) - + (t) On peut repréenter ce montage par le chéma fonctionnel uivant : v +! + A - avec A = gain de l A.O. et B = +R 2 v - B L A.O. joue donc le rôle de l enemble {comparateur + correcteur + actionneur}. Le quadripôle de rétroaction et le divieur de tenion formé de réitance et R 2. Remarque : on peut d ore et déjà contater ur cet exemple que l actionneur et ici un élément pouvant préenter de forte fluctuation (ω, T..), alor que le quadripôle de rétroaction poède de caractéritique beaucoup plu table Schéma fonctionnel d un ytème bouclé. Fonction de tranfert Schéma fonctionnel aerviement Lorqu on ne conidère que la fonction aerviement (en l abence de perturbation, donc), le chéma fonctionnel d un ytème bouclé et le uivant : e(p) + - r(p)!(p) G(p) F(p) (p) On y ditingue : La chaîne directe, ou chaîne d action de tranmittance G(p). Elle contient le correcteur et l actionneur. La chaîne de retour ou de rétroaction (ou de préciion) de tranmittance F(p). La fonction de tranfert et alor : H(p) = S(p) S(p) E(p). Or G(p) = ε(p) D où S(p) = G(p) (E(p) - R(p) )= G(p) [E(p) - F(p)S(p)] d où H(p) = S(p) E(p) = G(p) 1+G(p)F(p), F(p) = R(p) S(p) et ε(p) = E(p) - R(p). 47

6 PSI Brizeux Ch. E4: Commande d un ytème linéaire - Le ocillateur à boucle de réaction 48 La fonction de tranfert en boucle ouverte et définie par T(p) = T(p) = F(p)G(p) d où aui : H(p) = G(p) 1+T(p) R(p) ε(p). On a donc : Schéma fonctionnel régulation Lorque le perturbation ne ont pa négligée, le chéma fonctionnel devient : e(p) + -!(p) G 1 (p) + + e p (p) G 2 (p) (p) En fait il et trè difficile d etimer E p (p) aini que on point d application r(p) F(p) Si on ne intéree qu à la partie régulation du ytème bouclé, alor on fait E(p) = 0 et le chéma fonctionnel implifié et alor appelé chéma fonctionnel régulation : e p (p) + - G 1 (p) G 2 (p) F(p) (p) chéma dan lequel ε(p) = - R p (p) a été changé en ε(p) = R p (p) et l additionneur, placé au point d entrée de la perturbation, a donc été changé en comparateur. R p (p)=!(p) H p (p) = S(p) E p (p) = G 2 (p) 1+G(p)F(p), avec G(p) = G 1(p)G 2 (p) = tranmittance de la chaîne d action Ca d une chaîne directe à fort gain Pour le pulation telle que F(ω)G(ω) >> 1, c'et à dire dan la gamme de pulation telle que le gain en boucle ouverte et trè grand face à 1, on a : H = S(jω) E(jω) = G(jω) 1+T(jω) 1 F(jω). Le ytème bouclé e comporte alor comme un ytème dont la fonction de tranfert ne dépend que de a chaîne de rétroaction. Le caractéritique de celle-ci peuvent alor être fixée avec préciion, ce qui n et pa forcément le ca de la chaîne directe dont le caractéritique ont ouvent enible à de facteur tel que la température ou ω. Le défaut de la chaîne d action (dérive, décalage..) n affectent donc pa dan ce ca le comportement du ytème bouclé. C et ce que nou avion déjà fait remarquer dan l exemple de l amplificateur non invereur (le gain en boucle ouverte d un A.O. et de l ordre de 10 5 ) 48

7 PSI Brizeux Ch. E4: Commande d un ytème linéaire - Le ocillateur à boucle de réaction Qualité d un aerviement Il y en a au moin 3, celle que nou allon évoquer ici : Stabilité Imaginon une loi de commande proportionnelle u = Kε = K(y c -y). Si K>>1, un petit ε entraîne une commande u diproportionnée, à tel point que y peut dépaer y c entraînant une ripote dan l autre en, tout aui diproportionnée. Le ytème pourrait aini ociller autour d un équilibre difficile à trouver. Si le ytème et lent à répondre aux ordre, il peut également devenir intable. Si on procède à un mauvai branchement de la boucle de retour (entraînant y + y c au lieu de y c - y) on arrive également à l intabilité : en effet, dan ce ca, i y augmente, alor ε = y + y c augmente également et aini de uite juqu à aturation Préciion ε = y c - y meure la préciion du ytème aervi. Si la loi de commande et du type u = Kε, on voit que pour avoir ε faible, il faut choiir K trè grand (en effet, il faut qu au moindre écart ε 0, le ytème réagie efficacement), mai le ytème rique alor de devenir intable (cf ). Stabilité et préciion ont deux exigence contradictoire Ce réultat et général à tout type de commande Rapidité Nou verron ur de exemple l influence de la boucle de rétroaction ur le temp de répone d un ytème. Nou retiendron implement ici que : la rétroaction permet un accroiement enible de la rapidité d un ytème. 49

8 PSI Brizeux Ch. E4: Commande d un ytème linéaire - Le ocillateur à boucle de réaction PROPRIETES STATIQUES D UN SYSTEME BOUCLE Nou nou limiteron au ca d un ignal de commande tel que : = Gε, avec ε = e - r et r = F. Étudiant le propriété tatique d un ytème bouclé, le opérateur de la chaîne directe et de la chaîne de retour ont dan ce cadre du régime permanent de imple opérateur multiplication par une contante. Le chéma fonctionnel de ce ytème et donc : e! + - r G F chéma dan lequel rappelon-le, + - repréente une fonction comparateur donnant la grandeur d erreur par outraction de la conigne e et de la grandeur ramenée r. G On a, pour un tel ytème : = 1+FG e. On peut remarquer que ε = 1 1+FG e 0 en régime permanent pour le modèle de commande choiie Senibilité du ytème vi à vi de variation de G C et ouvent la chaîne directe comprenant amplificateur, actionneur et ytème phyique lui-même qui et la plu ujette à de variation non contrôlable de e caractéritique. On examine donc ici l influence d une variation du gain G, F et e retant contant. Prenon la différentielle logarithmique de l expreion de : d = dg G - d(1+fg) 1+FG = dg (1 G - F 1+FG ) = dg G. 1 1+FG. En aimilant différentielle logarithmique et variation relative (en retant dan le cadre de petite variation de G) on obtient : Δ = ΔG G. 1 1+FG Le choix d une valeur élevée de G permet donc de diminuer l influence d une variation de G ur. Mai connaiant l influence d une trop grande valeur de G ur la tabilité d un tel ytème, il faudra comme ça l a été dit au précédent paragraphe, trouver un compromi entre préciion et tabilité. 50

9 PSI Brizeux Ch. E4: Commande d un ytème linéaire - Le ocillateur à boucle de réaction Senibilité du ytème vi-à-vi de variation de F On uppoe ici e et G contant. On a donc : d = - d(1+fg) 1+FG = - GdF 1+FG. = - df F. FG 1+FG. D où Δ = ΔF F. FG 1+FG On a donc, pour G ou pour FG >> 1 : Δ ΔF F. On contate qu un fort gain de la chaîne directe ne permet pa de négliger le incertitude ur la grandeur de ortie. Il et donc indipenable dan tout ytème bouclé de «oigner» la chaîne de retour, c et à dire d y inérer i poible de compoant aux caractéritique le plu table qui oient. C et aini que dan le montage amplificateur non invereur à A.O, la chaîne de retour et contituée de réitance ( et R 2 ) dont on ait que ce ont de compoant table, contrairement à l A.O. par exemple Senibilité aux perturbation extérieure Comme nou l avon déjà ignalé de facteur paraite peuvent rentrer en ligne de compte : préence d un dipoitif voiin («charge»), frottement (moteur), fuite thermique (four), tenion de décalage(ao).... On et ouvent amené à modélier la p perturbation dan le chéma fonctionnel de la façon uivante. e! On a : = Gε + p + G ε = e - F G d où = 1+FG e + p 1+FG F r Si FG >> 1 : e F + premier. p 1+FG, expreion dan laquelle le econd terme et négligeable face au La perturbation et fortement atténuée par la tructure en chaîne bouclée. Remarque : i p intervenait dan la chaîne de retour, cela aurait de conéquence beaucoup plu grave ur la grandeur de ortie, puique le ytème réagirait par rapport à une valeur erronée de la grandeur de ortie. Exemple : amplificateur non invereur poédant une tenion de décalage V d. 1 On a donc : V = Aε + V d. Si = 1 kω et R 2 = 100 kω, alor F = +R 2 = 101. Pour G = 105 on a 1 donc 1+FG = L influence de V V d d ur le ignal de ortie et donc : 1000 et et donc trè atténué par rapport à a valeur du ytème non aervi (AO non bouclé). 51

10 PSI Brizeux Ch. E4: Commande d un ytème linéaire - Le ocillateur à boucle de réaction PROPRIETES DYNAMIQUES Dan le paragraphe précédent, le ignaux étaient permanent et le opérateur de imple opérateur multiplication par une contante. L apect dynamique développé ici permet de traiter le ca de ignaux variable. On rappelle que la fonction de tranfert d un dipoitif dont le gain de la chaîne directe et G(p) et G(p) celui de la chaîne de retour F(p) et H(p) = 1+F(p)G(p) Stabilité Condition de tabilité On rappelle qu un ytème de fonction de tranfert H(p) = N(p) D(p) et table i : - le degré du polynôme N(p) et inférieur à celui de D(p) - le pôle de H(p) (i.e. le 0 de D(p)) ont à partie réelle trictement négative Ca d un ytème du 1 er ordre Comme on a intérêt à choiir une chaîne de retour dont le caractéritique varient peu avec le condition d utiliation (ω notamment), on efforce généralement de choiir F(p) = cte = F (réel). Enviageant le ca d une chaîne directe du 1 er ordre du type G(p) = 1+ p, on obtient donc pour le ω 0 G 0 ytème bouclé : H(p) = G 0 1+ p. On peut encore écrire cette fonction de tranfert ou a forme ω 0 +G 0 F G 0 canonique : H(p) = 1+G 0 F ( p ) = H 0 ( ω c 1+ p ) qui fait clairement apparaître H(p) comme une ω c fonction de tranfert d un ytème du 1 er ordre. G 0 H 0 = 1+G 0 F et le gain tatique et ω c = ω 0 (1+G 0 F) la pulation de coupure du ytème bouclé. L équation différentielle du régime libre de ce ytème et : d dt + (1+G 0F)ω 0 = 0 On retrouve le condition de tabilité obtenue à partir de la dicuion ur le pôle de la fonction de tranfert, à avoir : - i (1+G 0 F) > 0 : alor le ytème et table : on a évanecence du régime tranitoire. - i (1+G 0 F) < 0 : alor le ytème et intable : le régime tranitoire diverge. - i 1+G 0 F = 0 : la mie en équation et à revoir. En fait dan ce ca (t) exite pour e(t) = 0 : on a un ocillateur, ocillateur qui feront l objet d un prochain paragraphe. 52

11 PSI Brizeux Ch. E4: Commande d un ytème linéaire - Le ocillateur à boucle de réaction Exemple R 2 R 2 e(t) - + (t) e(t) + - (t) (a) (b) Le chéma fonctionnel de ce montage ont le uivant (µ = gain de l'ao et β = +R 2 ) : V + = e + - " µ - e " + µ -! #! V - (a) (b) = µε = µ(v + -V - ) et V - = +R 2 = µε = µ(v + -V - ) = µ(-e+β) Or, pour l A.O., µ = A 0 1+ p ω 0, donc pour le ca (a), «1+G 0 F» = 1+A 0 β > 0 : (a) et table : c et le montage amplificateur non invereur. pour le ca (b), «1+G 0 F» = 1-A 0 β < 0 : (b) et intable : c et un montage comparateur dan lequel l A.O. fonctionne en régime aturé Bande paante pour un ytème du 1 er ordre 1 G Pour un tel ytème on a H(p) = H p 0 avec ω c = ω 0 (1+G 0 F) et H 0 = 1+G 0 F. ω c On contate donc que H 0 ω c = G 0 ω 0 = cte ne dépendant que de la chaîne d action (l A.O. par exemple). Cette propriété, caractéritique de ytème du 1 er ordre énonce : Le produit {gain tatique x bande paante} et une contante. Cela e traduit dan le diagramme de Bode de la façon uivante : 53

12 PSI Brizeux Ch. E4: Commande d un ytème linéaire - Le ocillateur à boucle de réaction 54 20logG 0 20logH 0 diag. de Bode de G(p) diag. de Bode de H(p) En effet : H 0 ω c = G 0 ω 0 <=> 20 log(h 0 ω c ) = 20 log(g 0 ω 0 ) <=> 20 logg 0-20 logh 0 logω 0 -logω c = -20 ce qui traduit bien la pente de -20 db/déc du diagramme de Bode de G(p) ou de H(p). logf 0 logf c On contate donc que : La rétroaction permet une augmentation de la bande-paante d un ytème, ceci e faiant au prix du gain du ytème. Ce réultat, prouvé pour un ytème bouclé du 1 er ordre et vérifié pour tout ytème bouclé Contante de temp et rapidité du ytème bouclé C et une propriété duale de celle de la bande-paante. L analye temporelle du ytème bouclé nou a livré l équation différentielle : d dt + (1+G 0F)ω 0 = (ω 0 G 0 )e. En poant τ 0 = 1 ω 0 : cte de temp de l actionneur (chaîne directe de façon plu générale) elle écrit : d dt + 1+G 0F τ 0 = G 0 τ 0 e La contante de temp du ytème bouclé et donc : τ = τ 0 1+G 0 F. Or généralement G 0 >>1d où τ <<τ 0 Le ytème bouclé et plu rapide que l actionneur. La durée du régime tranitoire, caractériée par τ et beaucoup plu faible que celle du ytème non bouclé. 54

13 PSI Brizeux Ch. E4: Commande d un ytème linéaire - Le ocillateur à boucle de réaction OSCILLATEURS QUASI-SINUSOÏDAUX 4.1. Structure d un ocillateur à boucle de réaction. Condition d ocillation Un ocillateur permet de générer un ignal de ortie en l abence de ignal d entrée. Cela peut paraître tenir du miracle, mai il ne faut pa oublier que de l énergie doit tout de même être fournie au ytème : c et par exemple ce que fait l alimentation ± 15V dan un ocillateur à Amplificateur Opérationel. Nou avon déjà évoqué dan le paragraphe précédent la poibilité de générer un ignal de ortie non nul avec une entrée nulle dan le ca d un ytème du 1 er ordre. Si 1+G 0 F = 0, le gain d un tel ytème devient infini, ce qui en pratique permet à de imple ignaux paraite en entrée d engendrer de ignaux d amplitude non négligeable en ortie. A partir de cet exemple, on peut donner le chéma fonctionnel général d un ocillateur : amplificateur Le quadripôle de réaction (chaîne de préciion) et généralement un filtre. Si G et le gain de l amplificateur et F celui du quadripôle de réaction, on a, en régime harmonique : r quadripôle de réaction V = G V r, V r = F V d où V (1-G F) = 0. On retrouve donc une condition du type : - Si 1 - G F 0, alor V =0 et le ytème ne fait pa apparaître de ignal de ortie. - Si 1 - G F = 0, alor l équation peut être atifaite pour V 0. La condition d ocillation et donc 1 = G F (critère de Barkhauen) Cette condition ur le amplitude complexe de F et G amène en pratique une double condition : arg(g F) = 0 : condition qui ne peut être atifaite que pour une fréquence donnée : cette condition, appelée condition de fréquence, fixe la fréquence d ocillation de l ocillateur. G F =1: contitue la condition d amplification. A la fréquence pour laquelle arg(g F) = 0, le réeau de réaction produit en ortie la tenion G F V r, donc! : i G F < 1 : le ignal de retour et trop faible pour entretenir le ocillation et le ocillation n apparaient pa.! 55

14 PSI Brizeux Ch. E4: Commande d un ytème linéaire - Le ocillateur à boucle de réaction 56 i G F > 1 : le ocillation ne ceent de croître et ont forcément limitée par la aturation de élément actif de l amplificateur. La tenion de ortie peut éventuellement être périodique mai pa inuoïdale : le ocillation ont ditordue.! La condition G F = 1 et trè difficile à obtenir du fait de la diperion de caractéritique de compoant. Le ocillation obtenue préentent ouvent de ditorion qui peuvent être trè faible et uniquement détectable par une analye harmonique. Le ignaux ont aini appelé ignaux quaiinuoïdaux.! 4.2. Démarrage d un ocillateur Le fonctionnement d un ocillateur comprend deux phae : Le démarrage de ocillation : c et la phae où il et poible de conidérer le élément comme linéaire (ocillation de faible amplitude). Le ocillation augmentent juqu à apparition d une éventuelle non linéarité. Le régime permanent (ou établi) : aprè le régime tranitoire, le ignal de ortie devient périodique, non rigoureuement inuoïdal du fait de l exitence d un phénomène non-linéaire (généralement apparu dan l amplificateur à la fin de la première phae). Nou allon détailler deux exemple d ocillateur quai-inuoïdaux L ocillateur à pont de Wien Le pont de Wien Il agit du filtre pae-bande uivant : Sa fonction de tranfert et : R C H(p) = RCp 1+3RCp+(RCp) 2 v e R C v d où l équation différentielle : dv e dt = τ d2 V dt dv dt + 1 τ V Schéma de l ocillateur L ocillateur à pont de Wien et contitué d un amplificateur non invereur à A.O. et d un filtre à pont de Wien. 56

15 PSI Brizeux Ch. E4: Commande d un ytème linéaire - Le ocillateur à boucle de réaction 57 R 2 _ + C v r C R R v Condition d ocillation Au démarrage de ocillation, lorqu on peut encore conidérer le élément comme linéaire (en fait, fonctionnement de l A.O. en régime linéaire dan cet exemple), on a : V = +R 2 V r = AV r et l équation différentielle régiant l évolution de V hor aturation et donc : dv dt = τ d2 V r dt dv r dt + 1 τ V r = A dv r dt d où τ d2 V r dt 2 + (3-A) dv r dt + 1 τ V r = 0 On remarque donc que la valeur A = 3 permet d obtenir un ocillateur harmonique dont la fréquence 1 d ocillation et f 0 = 2πRC. Remarque : on pouvait trouver ce réultat en faiant F G = 1 RCjω F = 1+3RCjω+(RCjω) 2. avec ici G = A et En pratique il et impoible d avoir exactement A = 3. On préfère contruire avec A légèrement upérieur à 3. L équation différentielle a alor une équation caractéritique dont tou le terme ne ont pa du même igne. Le olution en ont donc divergent. Le ytème et intable et le ocillation peuvent naître de la imple tenion de décalage de l A.O. par exemple. Ce ocillation ne ont quai-inuoïdale que i A et voiin de 3 par valeur upérieure. En effet, i A >>3 on obtient de ignaux preque carré et i on fait redecendre A en deou de 3 le ocillation arrêtent et la ortie e met à 0. 57

16 PSI Brizeux Ch. E4: Commande d un ytème linéaire - Le ocillateur à boucle de réaction L ocillateur à réitance négative Simulation de réitance négative On étudie la caractéritique tenion-courant d entrée du montage uivant appelé INIC (invereur d impédance négative). R Dan la zone linéaire de l AO, on a V + = V - et donc i = i e, d où v e = -R n i e (qui jutifie l appellation du montage). Ceci et vérifié pour v < V at c et à dire R N R N v e < R+R N V at = V 1 (puique v e = R+R N v ). i e _ + Lorque v = +V at, v e = Ri e + V at Lorque v = -V at, v e = Ri e - V at v e i R N R v i e La caractéritique courant-tenion d entrée de ce dipôle et donc : pente 1/R Sa caractéritique en S préente dan le domaine de fonctionnement linéaire de l AO une pente négative. -V 1 pente -1/R N V 1 v e pente 1/R Ocillateur On branche en érie un condenateur, une bobine et la «réitance négative». i R L équation différentielle obtenue pour la charge de l armature inférieure du condenateur et, elon le ca : L,r _ + v < V 1 : L d2 q dt 2 + (r-r N ) dq dt + q C = 0 (1) C v R N R v > V 1 : L d2 q dt 2 + (r+r N ) dq dt + q C = ±V at (2) 58

17 PSI Brizeux Ch. E4: Commande d un ytème linéaire - Le ocillateur à boucle de réaction 59 Si on uppoe l AO dan un fonctionnement linéaire, on contate que i : R N < r : (1) et à cœfficient tou poitif donc toute microtenion pouvant apparaître dan le circuit et amortie. R N = r : la olution de (1) et inuoïdale pure de pulation ω 0 = irréaliable phyiquement. 1 LC. Mai la condition R N = r et R N > r : (1) et divergente et le différente tenion croient juqu à aturation de l AO. En pratique : on choiit une valeur de R N légèrement upérieure à r. Lorque l amplitude de ocillation et uffiante, l AO et aturé et le régime et gouverné par (2) qui poède un cœfficient d amortiement poitif. Ceci redonne un régime gouverné par (1)... Le ignal et donc finalement quai-inuoïdal. 59