par Gilles CHRISTOL 1. Vecteurs de Witt 0 + px pn 1 = X pn p n X n. = W 0 (a 0 ),..., W n (a 0,..., a n ),...

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1 RAYONS DES SOLUTIONS DE L ÉQUATION DE DWORK par Gilles CHRISTOL Résumé. Soit a dans une extension valuée de Q p. On se propose de calculer le rayon de convergence de la solution de l équation différentielle 1 xf = πpx p + axf. aux différents points de Berkovich t du plan affine. Pour a = 1 et t = 0, la solution est l exponentielle de Dwork expπx p πx. Pour n 0, on pose : W n X 0,..., X n = En particulier, W 0 = X 0, 2 n i=0 1. Vecteurs de Witt p i X pn i i W 1 = X p 0 + X 1 et = X pn 0 + px pn p n X n. W n X 0,..., X n = W n 1 X p 0,..., Xp n 1 + pn X n Si A est un anneau et si a = a 0,..., a n,... est un élément de A N, on pose : W a = W 0 a,..., W n a,... = W 0 a 0,..., W n a 0,..., a n,.... faisant ainsi de W une application de A N dans A N. L image de l application W est facile à caractériser lorsque A est contenu dans l anneau des entiers d une extension non ramifiée de Q p. On ne sait pas étudier directement le cas d une extension ramifiée mais on utilisera le détour suivant : on considérera son anneau des entiers comme une extension A = A 0 [π] de l anneau des entiers A 0 d une extension non ramifiée et la spécialisation X π de l anneau non ramifié A 0 [X] dans A permettra de trouver des éléments de WA N. Classification mathématique par sujets H25,14F30. Mots clefs. p-adic coefficients.

2 2 GILLES CHRISTOL Définition 1.1. Un anneau A est dit pnr p non ramifié s il est de caractéristique nulle et s il est muni d un endomorphisme d anneau τ : A A tel que, pour tout élément a de A, la différence τa a p appartienne à pa. Remarques 1. On vérifie facilement les faits suivants 1 L anneau Z est pnr d après le petit théorème de Fermat, τ =identité convient. 2 Plus généralement, si k est un corps de caractéristique p, l anneau des vecteurs de Witt W k muni de l endomorphisme de Frobenius voir exercice?? est pnr. 3 Si l anneau A est pnr, alors l anneau A[x] resp. A[[x]], Ax est pnr pour l endomorphisme τ a s x s = τa s x ps. 4 Par contre, si K est une extension ramifiée de Q p, alors l anneau A des entiers de K n est pas pnr. En effet, il existe π dans A et n > 1 tels que π n = pa avec a = 1 en particulier a est dans A mais pas dans pa. Si A était pnr, on devrait avoir τa a p p < a p donc τa = a p = 1, τπ n = τπ n = pτa = p donc τπ = p 1/n = π, τπ π p p < p 1/n = τπ donc τπ = π p < π. Contradiction. Le résultat suivant est classique et est une variante algébrique du théorème des valeurs intermédiaires. Si A est un anneau topologique, on peut étendre les résultats 3, 4 et 5 au cas où R appartient à A[[x]] à condition d imposer à a et b d appartenir au domaine de convergence de R. Notation 1.2. Soit P un polynôme de A[x] ou une série entière de x A[[x]]. On définit par récurrence P 0 = x, P n x = P P n 1 x. Lemme 1.3. Soit A un anneau et R dans A[x]. On pose P x = x p +Rx. Pour a et b dans A et n entier, 1 b n a n appartient à b aa, 2 Si b a appartient à p A, alors b p a p appartient à pb aa, 3 Rb Ra appartient à b aa, 4 Si b a appartient à p A, P b P a appartient à pb aa, 5 Si b a appartient à pa, P n b P n a appartient à p n b aa p n+1 A. Preuve. Les points 1 et 2 sont des conséquences immédiates de la formule du binôme appliquée à b n = b a + a n. Le point 3 est une conséquence du point 1 et le point 4 découle des points 2 et 3. Pour le point 5, on fait une démonstration par récurrence sur n. C est évident pour n = 0 car b a appartient bien à b aa! Si, pour n 1, P n 1 b P n 1 a appartient à p n 1 b aa donc à p n A. Alors, d après le point 4 P n b P n a = P P n 1 b P P n 1 a appartient à p P n 1 b P n 1 a p n b aa. Proposition 1.4. Soit A un anneau pnr. L application W est injective et w 0,..., w n,... appartient à WA N si et seulement si, pour tout n, w n τw n 1 appartient à p n A.

3 RAYONS DES SOLUTIONS DE L ÉQUATION DE DWORK 3 Preuve. Si Wa = Wb, on trouve a 0 = W 0 a 0 = W 0 b 0 = b 0 et, par récurrence sur n, en utilisant la relation 2 p n a n = W n a W n a p 0,..., ap n 1, 0 = W n b W n b p 0,..., bp n 1, 0 = pn b n, d où a n = b n car A est de caractéristique nulle. Appliquons le lemme avec R = 0 c est-à-dire P n x = x pn. Pour a dans A, la différence a p τa appartient à p A et donc a pn τa pn 1 appartient à p n A. Il vient : W n a p 0,..., ap n W n τa0,..., τa n = p k a pn k+1 k Si on calcule modulo p n A, on trouve donc : w n W n a 0,..., a n 1, 0 = W n 1 a p 0,..., ap n 1 τa k pn k p n+1 A τ W n 1 a 0,..., a n 1 = τw n 1 mod p n A Réciproquement, si w n τw n 1 appartient à p n A pour tout n, on peut construire par récurrence une suite a n de A N telle que w 0,..., w n,... = Wa 0,... : On pose a 0 = W a 0 = w 0 et, si on connait a 0,... a n 1, comme w n W n 1 a p 0,..., ap n 1 w n τ W n 1 a 0,..., a n 1 il existe a n dans A tel que = w n τw n 1 mod p n A, w n = W n 1 a p 0,..., ap n 1 + pn a n = W n a 0,..., a n. Le résultat suivant contient déjà beaucoup de congruences entre nombres binomiaux voir [5] page 50 une autre manière de présenter la démonstration : Théorème 1.5. Soit Φ un polynôme de Z[X, Y ]. Pour chaque n 0, on peut choisir un polynôme ϕ n de Z[X 0,..., X n, Y 0,..., Y n ] de telle sorte que l on ait W n ϕ0 X 0, Y 0,..., ϕ n X 0,..., X n, Y 0,..., Y n = Φ W n X 0,..., X n, W n Y 0,..., Y n. Les polynômes ϕ n satisfaisant cette relation sont uniques. Preuve. L anneau A = Z[X 0, Y 0,..., X n, Y n,...] est pnr d après la remarque 1-3. Posons w n = Φ W n X 0,..., X n, W n Y 0,..., Y n. On veut montrer que w n appartient à WA. D après la proposition 1.4 il suffit de vérifier que w n τw n 1 appartient à p n A pour tout n. Or, en utilisant le lemme 1.3-3, on trouve τw n 1 = Φ W n 1 X p 0,..., Xp n 1, W n 1Y p 0,..., Y p n 1 = Φ W n X 0,..., X n p n X n, W n Y 0,..., Y n p n Y n Φ W n X 0,..., X n, W n Y 0,..., Y n = w n mod p n A. Si on applique le théorème 1.5 au polynôme ΦX, Y = X + Y resp. Φ[X, Y ] = XY et si on note S n resp. P n les polynômes ϕ n correspondants, on en déduit facilement le résultat suivant

4 4 GILLES CHRISTOL Proposition définition 1.6. Soit A un anneau commutatif quelconque. Les lois de compositions suivantes a + b = S 0 a 0, b 0,..., S n a 0,..., a n, b 0,..., b n,... ab = P 0 a 0, b 0,..., P n a 0,..., a n, b 0,..., b n,... font de A N un anneau commutatif appelé anneau des vecteurs de Witt à coefficients dans A et noté W A. Voici une autre application de la proposition 1.4. Au prix de petites difficultés techniques, on peut la généraliser en remplaçant l anneau Z par un anneau pnr quelconque ou bien en emplaçant le polynôme R resp. Q par une série entière de Z[[x]] resp. de xz[[x]]. Proposition 1.7. Soit Q et R dans Z[x]. On pose P x = x p + p Rx. Alors 1 Q P 0 x,..., Q P n x,... appartient à W W Z[x], 2 si Q0 = R0 = 0, Q P 0 x,..., Q P n x,... appartient à W W x Z[x]. Preuve. L anneau Z[x] est pnr pour l endomorphisme τhx = Hx p Comme P x x p = prx appartient à pz[x], d après les congruences 5 et 3 du lemme 1.3, on trouve, modulo p n Z[x], Q P n x = Q P n 1 P x Q P n 1 x p = τ Q P n 1 x Il suffit maintenant d appliquer la proposition 1.4. Si Q et R appartiennent à x Z[x], alors, pour n 0, Q P n x appartient à x Z[x]. Il reste à voir que si w 0,... = Wa 0,... pour des polynômes w n de x Z[x] alors les a n eux aussi appartiennent à x Z[x]. Mais ceci se vérifie facilement par récurrence à partir de la formule 2. Remarque 1.8. La proposition 1.7, avec Qx = x, montre qu il existe a dans W Z[x] tel que Wa = P 0 x,..., P n x,.... Par définition de la somme et du produit des vecteurs de Witt, on a alors W Qa = Q P 0 x,..., Q P n x,.... L introduction d un polynôme Q dans cette propostion peut donc sembler une généralisation inutile. En fait ce qui va nous être utile est de savoir que, si R et Q sont divisibles par x, il en est de même des composantes de Qa. On peut montrer directement que, si Q0 = 0, on a Q W x Z[x] W x Z[x] mais cette vérification est un peu laborieuse. 2. Exponentielle d Artin-Hasse Le résultat suivant contient de nouvelles congruences entre factorielles.

5 RAYONS DES SOLUTIONS DE L ÉQUATION DE DWORK 5 Théorème 2.1. La série formelle Ex := exp p h x ph 1 = p h x ph n = α s x s n! h=0 n=0 a des coefficients α i qui appartiennent à Z p Q. Preuve. En écrivant l entier n sous la forme n = dp h avec d premier à p, on trouve 1 log1 x = n xn = 1 p h x dph d i,p=1 n=1 h=0 d,p=1 La formule d inversion de Moebius di=n µi = 0 pour n 2 donne alors : µi log1 x i µi = p h x diph i di On trouve finalement = Ex = i,p=d,p=1 n,p=1 di=n i,p=1 µi n h=0 h=0 h=0 1 x i µi/i et on conclut en remarquant que, pour a dans Z p Q, la série 1 x a aa + 1 a + s 1 = x s s! appartient à Z p Q [[x]]. On met ensemble les congruences que nous venons de trouver. s s=0 p h x nph = p h x ph Proposition 2.2. Soit A un anneau et soit a un élément de W A. On a Ea, x: = exp W n a p n x pn = E a i x pi. n=0 En particulier, la série entière Ea, x appartient a A[[x]]. De plus on a : 1 Ea + b, x = Ea, x Eb, x 2 Si V a = 0, a 0, a 1,... alors E V a, x = Ea, x p. Preuve. On a Ea, x = exp n n=0 i=0 i=0 h=0 i=0 a pn i i p i n x pn = exp i=0 h=0 = exp p h a i x pi ph = Ea i x pi. i=0 h=0 a ph i p h x ph+i La relation 1 est une conséquence immédiate de la définition de la somme dans l anneau W A. Cette définition s écrit en effet W n a + b = W n a + W n b. La relation 2 vient de la formule W n V a = p Wn 1 a.

6 6 GILLES CHRISTOL Remarque 2.3. Si on note 1 = 1, 0,... l élément neutre de la multiplication dans W A, on a E1, x = Ex. En général, la dérivée logarithmique n=0 W nax pn 1 de la fonction Ea, x est une série entière. Pour étudier les équations différentielles d ordre un, le seul cas intéressant est celui où cette dérivée logarithmique est un polynôme, c est-à-dire où les W n a non nuls sont en nombre fini. Nous sommes donc amenés à construire des vecteurs de Witt ayant cette propriété. Définition 2.4. Un générateur de Tate ϖ est une suite π m d entiers non nuls d une extension K de Q p vérifiant P π 0 = 0 et P π m = π m 1 pour m 1 pour un polynôme P x = x p + p x + px 2 Rx avec R dans Z[x]. Le polynôme P est appelé polynôme de Lubin-Tate associé à ϖ. On pose π m = 0 pour m < 0. Ainsi on a P π m = π m 1 pour m dans Z. Remarque 2.5. En regardant le polygone de Newton du polynôme P, il est facile de constater que π m = ω p m. Plus précisément, si le degré du polynôme R est au plus p, toutes les racines non nulles du polynôme P m ont cette valeur absolue mais si le degré de R est plus grand que p alors P a aussi des racines de valeur absolue supérieure à 1. Ces dernières ne joueront aucun rôle. Proposition définition 2.6. Soit ϖ un générateur de Tate et soit m 0 un entier. Il existe un unique vecteur de Witt ϖ m de W π m Z[π m ] tel que πm, π m 1,..., π 0, 0,... = Wϖ m. Autrement dit, W i ϖ m = π m i pour tout i 0. Soit Q un polynôme de x Z[x], alors Qϖ m = λ 0,... avec, pour tout i, λ i dans π m Z[π m ] et donc en particulier λ i < 1. Preuve. Soit P le polynôme de Lubin-Tate associé à ϖ. D après la proposition 1.7, P 0 x,..., P n x,... appartient à W W Z[x]. On spécialise x en π m et on remarque que, par construction, P i π m = π m i pour i 0. On constate que πm,..., π 0, 0... appartient à W W Z[π m ]. Or W Qϖ m est la spécialisation de Q P 0 x,..., Q P n x,... qui appartient à W W x Z[x] d après la proposition On en déduit que Qϖ m appartient à W π m Z[π m ]. Définition 2.7. Soit ϖ un générateur de Tate et soit m 0 un entier. On appelle exponentielle de Robba la série entière e m,ϖ x: = Eϖ m, x = exp π m x + π m 1 p 1 x p π 0 p m x pm. Théorème 2.8. Soit ϖ un générateur de Tate et soit m 0 un entier. L exponentielle de Robba e m,ϖ x appartient à Z[π m ][[x]] et a un rayon de convergence exactement égal à 1.

7 RAYONS DES SOLUTIONS DE L ÉQUATION DE DWORK 7 Preuve. Puisque ϖ m appartient à W Z[π m ], la fonction e m,ϖ appartient à Z[π m ][[x]] d après la proposition 2.2. Comme π m < 1, ses coefficients sont des entiers p-adiques et elle a un rayon de convergence au moins égal à 1. Posons ηx = π m π 0 x pm 1 de telle sorte que d dx e m,ϖ = ηx e m,ϖ. Pour ρ assez grand, on a ηx ρ = ω ρ pm 1 > ρ 1. Un calcul classique fait par de nombreux auteurs parmi lesquels il est d usage de ne retenir que Young le module différentiel M η de rang 1 associé à l opérateur D η a un rayon de convergence RayM η, ρ = ω η 1 ρ = ρ 1 pm. Pour ρ < 1, la fonction e m,ϖ est une solution du module différentiel M η qui converge dans le disque générique Dt ρ, ρ. On constate donc que RayM η, ρ = ρ pour ρ < 1 en fait pour ρ 1. La fonction ρ RayM η, ρ est logarithmiquement concave comme limite de fonctions logarithmiquement concaves en particulier elle est continue il en résulte que RayM η, ρ = ρ 1 pm < ρ pour ρ > 1 et pas seulement pour ρ assez grand. Or, si e m,ϖ avait un rayon de convergence R > 1, on devrait avoir RayM η, ρ = ρ pour ρ < R. Donc le rayon de convergence de e m,ϖ est exactement 1. Remarque 2.9. Si Rx = 0, c est-à-dire si P x = x p +px, alors on peut prendre π 0 = π le π de Dwork. Les fonctions e m,ϖ font partie de celles que Robba obtenait dans [3] lemme 10.8 voir aussi [4] théorème par une construction extrêmement astucieuse mais détournée. Si P x = x + 1 p 1, alors π m = ζ m 1 avec ζ p 0 = 1 et ζp m = ζ m 1. Autrement dit ζ m est une racine p m -ème primitive de l unité. Les fonctions e m,ϖ sont celles que Matsuda a construites quand il a introduit les vecteurs de Witt dans l étude des exponentielles de Robba [1]. La décomposition donnée dans la proposition 2.2 ne permet pas, en général, de trouver le rayon de convergence de la fonction Ea, x car elle fait intervenir un produit infini. Lorsque Wa n a qu un nombre fini de composantes non nulles, les fonctions e m,ϖ vont donner une décomposition en un produit fini permettant de calculer ce rayon de convergence. Proposition Soit ϖ un générateur de Tate, m 0 un entier, A un anneau contenant Z[π m ] et a = a 0,... un vecteur de Witt de W A. On a Eϖ m a, x = m e m i,ϖ a i, x pi. i=0 En particulier, si a i < 1 pour 0 i m, le rayon de convergence de la fonction Eϖ m a, x est strictement plus grand que 1.

8 8 GILLES CHRISTOL Preuve. Par définition, on a W i ϖ m a = π m i W i a pour 0 i. On trouve m i Eϖ m, x = exp π m i p j a pi j j p i x pi i=0 m = exp m j j=0 h=0 j=0 π m h j a ph j p h x ph+j = m e m j,ϖ a j x pj. Si a i < 1 pour 0 i m, chacune des fonctions e m i,ϖ a i x pi a un rayon de convergence strictement supérieur à 1. Il en est de même de leur produit. L un des points de départ des travaux de Dwork est de remarquer que la fonction expπx πx p a un rayon de convergence strictement supérieur à 1. Le résultat suivant en est une généralisation. Théorème 2.11 [2] théorème 2.5. La fonction e m,ϖ x/e m,ϖ x p a un rayon de convergence strictement supérieur à 1. Preuve. Comme π 1 = 0, on trouve : j=0 e m,ϖ x e m,ϖ x p = exp π m x + π m 1 x p = exppπ m+1 x exp... + π 0 pπ 1 xpm p m x pm p m π mx p x p m+1... π 0 p m p π 0 π m pπ m+1 x + π m 1 pπ m xp p π 1 pπ 0 xp m+1 p m+1 Posons Qx = 1 x P x xp = x p 1 + px Rx de telle sorte que Il vient π k 1 pπ k = P π k pπ k = π k Qπ k = W m+1 k ϖm+1 Qϖ m+1. e m,ϖ x e m,ϖ x p = exppπ m+1 x E ϖ m+1 Qϖ m+1, x Le polynôme Q appartient à x Z[x]. D après la proposition 2.6, Qϖ m = λ 0,... avec λ i < 1. D après la proposition 2.10, la fonction Eϖ m Qϖ m, x a un rayon de convergence strictement supérieur à 1. Comme pπ m+1 < ω, il en est de même de la fonction exppπ m+1 x. Remarque Soit ϖ et ϖ deux générateurs de Tate. En s inspirant de la démonstration du théorème 2.11 et en posant Qx = 1 x P x P x ], on montre de manière analogue que la fonction e m,ϖ x/e m,ϖ x a un rayon de convergence strictement supérieur à 1.

9 RAYONS DES SOLUTIONS DE L ÉQUATION DE DWORK 9 3. Calcul de la fonction rayon de convergence 3.1. Quelques notations. Nous notons Db, r = {x ; x b < r le disque ouvert de centre b. On choisit un générateur de Tate associé au polynôme P x = x p + px. Autrement dit, on choisit 1. un pi de Dwork π, à savoir une racine non nulle de l équation π p + pπ = 0. On a clairement π = p 1/p le deuxième terme π 1 du générateur de Tate à savoir une racine de l équation π p 1 + pπ 1 = π. En regardant le polygone de Newton de cette équation, on trouve π 1 = p 1/pp 1. Pour clarifier l écriture, on pose Expx = expπx. On sait alors que la fonction Eϖ, x := expπ 1 x+πx p /p cf definition 2.7 a un rayon de convergence exactement égal à 1. Pout des questions de normalisation, on choisit une racine de l équation ζ p = p et on pose b = ζ π 1. Ainsi la fonction π Eϖ, ζx = exp πx p + bx = Expx p + bx a un rayon de convergence égal à ζ 1 = p 1/p. On a b p = p π pπ 1 πp = 1 + pπ 1 π et donc b p + 1 = pπ 1 = p 1 1/pp 1+1/p 1 = p 1+1/p > p. π En regardant le polygone de Newton du polynôme x 1 p b p = x p px p b p dont b + 1 est racine, on obtient finalement b + 1 = p p 1/p2 > p 1/p. Nous poserons aussi b a = p β, γ = min{β, 1 p } et δ = 1 γ p 1 si a = 0 on a β = 0 = γ et δ = 1 p 1 si a = 1 β = p 1 p 2 = γ et δ = 1 p 1 1 p 2 si a b p 1/p, β 1 p et γ = 1 p = δ..en particulier,

10 10 GILLES CHRISTOL 3.2. Rayon de convergence : cas général. Soit t un point dans une extension valuée Ω de Q p a. La solution de 1 qui vaut 1 au point t est fx, t = Expx p + ax t p at = Exp x t p + a + pt p 1 x t + p 1 k=2 p x t k t p k k = Exp x t p + bx t Exp b + a + pt p 1 x t p 1 On trouve que : k=2 Exp Exp x t p + bx t converge pour x t < p 1/p. Exp b + a + pt p 1 x t converge pour x t < min{p β, p t 1 p }. p Exp x t k t p k converge pour x t < p 1/k t 1 p/k. k La figure suivante dans le cas β < 1/p résume cette situation : log p x t x t = p t 1 p 1 p x t = p 1/k t 1 p/k β = γ 1 1 log p t p δ p 1 p x t k t p k. k On remarque que nos définitions font que p γ = p p δ 1 p. On constate alors que le rayon de convergence générique Rt est donné par la formule : Rt = { p γ si t < p δ, p t 1 p si t > p δ. Pour t = p δ, deux des facteurs du produit ont le même rayon de convergence et on ne peut pas conclure directement. Toutefois la concavité de la fonction rayon de convergence permet directement de conclure dans certains cas si a ζ π 1 p 1/p Rt = π { p γ si t p 1/p, p t 1 p si t p 1/p.

11 RAYONS DES SOLUTIONS DE L ÉQUATION DE DWORK 11 log p Rt cas a ζ π 1 p 1/p π 1 p 1 p 1 p 1 log p t 3.3. Rayon de convergence : disques particuliers. Nous supposons désormais que β < 1/p. Pour étudier ce qui se passe sur la circonférence t = p δ, nous introduisons les p 1 points c tels que b + a + pc p 1 = 0. On a clairement c p 1 = p β 1 soit c = p δ. Les points c sont bien sur la circonférence. En fait les p 1 disques Dc, p δ sont disjoints. Si t = p δ mais t n est pas dans l un des disques Dc, p δ, on a b + a + pt p 1 = p 1+δp 1 = p β et on en conclut que Exp b + a + pt p 1 x t converge pour x t < p β. On en déduit que { Si d p δ et b + a + pd p 1 = p β p β si t d < p δ, Rt = p t d 1 p si t p δ. Ce sera en particulier le cas si d = 0. Bien entendu, on ne peut rien dire si t d = p δ à cause des points c. log cas d p δ et b + a + pd p 1 = p β p Rt β log p t d δ Nous étudions maintenant ce qui se passe dans un disque Dc, p δ. On trouve b + a + pt p 1 = pt p 1 pc p 1 = pt ct p c p 2.

12 12 GILLES CHRISTOL Donc, dans le disque Dc, p δ, c est-à-dire si b + a + pt p 1 < pt p 1, on a b + a + pt p 1 = t c p δp 2 1. Si t est dans le disque Dc, p δ on constate que : Exp x t p + bx t converge pour x t < p 1/p. Exp b + a + pt p 1 x t converge pour x t < t c 1 p 1 δp 2. p 1 Exp p k=2 k x t k t p k converge pour x t < min 2 k p 1 p 1/k t 1 p/k = p 1/2 p δ 1 p/2 = p 1 δ2 p /2. Nous sommes maintenant en mesure de trouver la valeur de Rt en fonction de t c et donc de tracer le graphe logarithmique de la fonction Rt au voisinage d un point c. p γ si t c p δ2 p, si b + a + pc p 1 = 0 Rt = t c 1 p 1 δp 2 si p δ2 p t c < p δ, p t c 1 p si t c > p δ. La subtilité cachée est contenue dans la relation suivante : t c 1 p 1 δp 2 1 δ2 p /2 = t c = t c = p log p Rt cas b + a + pc p 1 = 0 c = p δ δ2 p x t = p 1/2 t 1 p/2 β δ log p t c 1 p

13 RAYONS DES SOLUTIONS DE L ÉQUATION DE DWORK 13 On peut résumer cette étude en disant que le rayon de convergence est donné par le graphe suivant dans laquelle on a posé r = 1 δ2 p /2 c p 1 t cp 1,p r c 2 t 0,p δ t c2,p r c 1 t c1,p r Sur le grand coté, le rayon est p t 1 p et de t c i 1 p 1 δp 2 sur le coté allant à t ci,pr. Pour les points qui ne sont pas sur le graphe, le rayon est celui du point du graphe où ils sont connectés. Remarques Tous les calculs précédents restent corrects si on remplace b par n importe quel nombre b tel que b b p 1/p. 2. On constate que la fonction t Rt satisfait deux propriétes : pour tout point u elle est constante et égale à Ru sur le disque D u, Ru. Ceci se traduit par le fait que les extrémités du graphe ne sont pas en c i mais au point t ci,p r. pour tout point u la dérivée à droite ou à gauche u t ± = d d t u log p Rt est une fonction de t u constante par morceaux à valeurs entières négatives ou nulles, non croissante. De plus, si, dans Ω un corps algébriquement clos et complet qui contient u, le disque fermé de centre u et de rayon t u est la réunion disjointe des disques Du i, t u i Ω et si Ru < t u, alors u t + = i ui t. La somme de droite est finie autrement dit, pour presque tous les u i, on a ui t = 0 ce qui est équivalent à Ru i = Rt. Cela signifie qu au sommet du graphe ici il n y en a qu un, la somme des pentes logarithmiques de la fonction rayon de convergence sur les petits cotés est égale à la pente logarithmique sur le grand coté. La première propriété est facile et vient du fait qu une fonction analytique a le même rayon de convergence en chacun des points de son disque de convergence. La seconde propriété est beaucoup plus subtile. C est un corollaire du théorème de

14 14 GILLES CHRISTOL Robba qui affirme que u t ± est l indice de l opérateur différentiel agissant sur les fonctions analytiques dans le disque Du, t ±. Références [1] S. MATSUDA. Local indices of p-adic differential operators corresponding to Artin- Schreier-Witt coverings. Duke Math [2] A. PULITA. Rank One Solvable p-adic Differential Equations and finite Abelian Characters via Lubin-Tate Groups. Math. Annalen 337, [3] P. ROBBA. Indice d un opérateur différentiel p-adique IV : Cas des systèmes. Mesure de l irrégularité dans un disque. Ann. Inst. Fourier [4] P. ROBBA, G. CHRISTOL. Equations différentielles p-adiques. Applications aux sommes exponentielles. Actualités Mathématiques. Hermann, Paris, 1994, 236p. [5] J.P. SERRE. Corps locaux. Paris, Hermann 1962 Gilles CHRISTOL, Université PARIS 6, case 247, 4 place Jussieu, PARIS CEDEX 05 christol@math.jussieu.fr Url :