Classe de seconde. Exercices de Mathématiques

Transcription

1 lasse de seconde Exercices de Mathématiques

2

3 hapitre I : alcul numérique alculer les fractions suivantes : = : 4 = (7 ) ( ) = = alculer : = ( ) = 9 ( ) ( ) 4 5 = (5 ) ( ) ( 4 ) 5 = ( 0 ) (5 0 4 ) omparer les nombres suivants en comparant au préalable leurs carrés : Soit x = + 4 alculer : = 4x + 0y + 6z = x + y z y = 4 5 : 5 z = a = et b = 4 c = 7 et d = 0 e = + 5 et f = g = + 5 h = 6 5 alculer : a = 49 b = 080 c = d = ( 8 8)( ) e = f = 5 4 Ecrire sous forme scientifique : = , Soit X = + a) Montrer que X < 0. b) alculer X c) En déduire la valeur de X. 8 Ecrire les expressions suivantes sous la forme : n p 5 q 7 m E = 4 ( ) 7 ( 7 ) 6 F = (4 ) ( 9) 5 ( ) 4 ( 5) = = 0 4, 0 0, 000 = ( 0 ) ( 0 4 ) (0 ) E = (0, ) 5 ( 0, 00) (0, 0) F = , 0 4 6,

4 hapitre I : alcul numérique evoir I alculer : a = + 5 b = ( 5 + )( 4 ) 5 c = d = 7 5 II Pour x =, calculer : = 4x x + x + = x (x )(x + x + ) III Effectuer les calculs suivants : a = b =, , 5 0, , 06 c = d = ( ) , 00 IV Simplifier : = a 4 b 5 (ac ) (ba ) 5 = a8 b 6 c 4 a 0 b 8 c 6 V Soit X = + a) Etudier le signe de X b) alculer X. c) En déduire X. VI La sphère atomique de l argon a un rayon égal à 0,98 Å. ombien d atomes d argon doit-on placer en file l un derrière l autre pour obtenir une longueur de mm. (rappel : Å=0 0 m.) VII La vitesse de la lumière est estimée à 0 8 m/s et la distance moyenne Terre-Soleil à 49 millions de kilomètres. alculer le temps nécessaire à un signal lumineux issu de la Terre pour parvenir au Soleil. IX Le nombre d or est le nombre : Φ = + 5. Vérifier les égalités suivantes : Φ = Φ + Φ = Φ + φ = Φ + 4

5 Exercices d évaluation de fin d année Exercice n Résoudre les inéquations suivantes : x + x 6 ( x)(x ) 0 x( x) = + x Exercice n Sur la figure ci-contre, la fonction f(x) est représentée en vert et la fonction g(x) en rouge. L unité est le carreau. ) a) Quelle est l image de par f? b) Quel est l antécédant de 4 par g? ) Tracer le tableau de variation de la fonction f. ) Résoudre graphiquement : f(x)= f(x) 0 f(x)=g(x) f(x) g(x) f(x) g(x) 4 ) Tracer la représentation graphique de la fonction affine : h(x) = x 5 )éterminer l expression de la fonction affine g(x) 6 ) a) Résoudre par le calcul, l équation : g(x)=h(x). b) Expliquer comment retrouver ce résultat graphiquement. Exercice n ) a) Résoudre le système : { x + y 4 = 0 x y + 5 = 0 b) ans un repère orthonormal (O; i ; j ), tracer les droites () et ( ) d équation x + y 4 = 0 et x y + 5 = 0. c) Vérifier graphiquement le résultat du ). 5

6 Exercice n 4 L unité de longueur est le cm et l unité d aire est le cm. est un triangle isocèle en tel que = 5. E H est le pied de la hauteur issue de du triangle. On pose H = x. E est un rectangle tel que = 5 et E =x x x ) Exprimer en fonction de x l aire f(x) du triangle et l aire g(x) du rectangle E. H 5 cm ) Tracer dans un repère les courbes représentatives des fonction f et g. (les calculs devront figurer sur la copie.) ) Trouver la hauteur H pour laquelle le triangle et le rectangle E ont la même aire. On traitera cette question graphiquement et algébriquement. Exercice n 5 Soit un parallélogramme. onstruire les points E, F, G et H tels que E = 4 F = 5 4 G = 4 H = 5. 4 Montrer que EFGH est un parallélogramme. Exercice n 6 ans un repère (O ; i ; j ), on donne les points ( ; 5), (4 ; ), ( 5; ) et ( ; 6).. alculer les coordonnées des vecteurs, et et de la longueur.. Que peut-on dire des droites () et ()?. Le point K est tel que K = +. 4 éterminer les coordonnées du point K. 4. éterminer les coordonnées du point I milieu du segment []. 5. émontrer que les points I, K et sont alignés. 6

7 hapitre II : Les ensembles de nombres ire auquels des ensembles N, Z,, Q, R appartiennent les nombres suivants : -; 5; 0; 6 ; 7 ; ; π ; 57 0 ; 04 ; 0 ; 0 ; 75 7 ; éterminer la nature des nombres suivants : 44 = = π 4 = ( 5 + )( 5 ) 400 =0, E= π π Ecrire sous forme d intervalles (x... ) : 5 < x x x 4 x > 5 et x, 5 4 Ecrire plus simplement : [ 6; [ ] 4; ] ; ] [; 4[ ] ; 4[ ] ; + [ ] ; ] [; + [ [ ; + [ [; + [ ] ; ] [; 4[ 5 Ecrire plus simplement : [ ; [ ]; 4[ ] ; ] [ ; + [ ] 5; ] [4; + [ ]; + [ [ ; + [ x ] ; ] ou x [; + [ x ] ; ] et x [; + [ 6 La longueur L d une planche est de,46 m à mm près. onner un encadrement de la valeur de L. Sa largeur est de 0,4 m à mm près. onner un encadrement de sa largeur puis de son aire. 7 eux nombres a et b vérifient les conditions : a + b = et a + b = a) alculer la valeur du réel ab. a et b sont-ils des entiers relatifs? b) Vérifier que les deux réels a = + et b = vérifient les conditions imposées. c) Utiliser la calculatrice pour donner les arrondis, notés a et b à 0 5 de a et de b. d) L arrondi à 0 5 près de a + b est-il égale à l arrondi à 0 5 près de a + b? 8 éterminer à quels intervalles appartiennent les nombres x, y et z sachant que : l arrondi de x à 0 près est,5. la valeur approchée par défaut de y à 0 près est 4,. la valeur approchée par excès de z à 0 près est,40 7

8 hapitre II : Les ensembles de nombres 9 Soit : = = = ( 0 ) (0 ) = , Indiquer à quels ensembles parmi N, Z,,Q, R appartiennent ces nombres. 0 Soit E = 80 et F = 7 6. a) En utilisant la calculatrice, expliquer comment le résultat d une division permet de dire que E et que F. a b)montrer que E peut s écrire sous la forme 0 n où a Z et n N. Que peut-on en déduire pour E? c) Expliquer pourquoi F ne peut pas s écrire sous a la forme où a Z et n N. n 0 On rappelle que le nombre 5 7 peut s écrire sous la forme 0, où les chiffres soulignés sont la partie décimale qui se répète indéfiniment. Les nombres qui peuvent s écrire sous cette forme sont des éléments de Q (nombres rationnels). ) Ecrire sous cette forme les rationnels suivants : et 4 7. ) On veut écrire sous forme de fraction le nombre x=8,... a) alculer 0x-x où x=8,... b) En déduire la valeur de x sous forme de fraction. c) Ecrire de même les nombres y= 0, et z=0,... ) x et y sont deux nombres inverses, quel est leur produit? ) soit x=0,88... ; y=5,5 et z=0, a) l aide de la calculatrice peut-on dire que x et y sont inverses? que z et π sont inverses? b) Ecrire x et y sous forme de fractions. Sont-ils inverses? c) Est-ce que z et π sont éléments de Q. Sont-ils inverses? Nombres premiers a) écomposer en nombres premiers 60 et 480. En déduire PG(60;480). b) alculer PG(7077;887) par l algorithme d Euclide. En déduire une simplification de c) écomposer en nombres premiers Simplifier d) Ecrire les dix premiers multiples de 05 et de 75. alculer Un nombre parfait est un entier naturel égal à la somme de ses diviseurs, autres que lui-même. insi, 6 est un nombre parfait, car 6 = + +. Trouver le seul nombre parfait compris entre 5 et 0. 5 eux entiers positifs m et n sont dits amicaux, si la somme des diviseurs de m (autres que m) est égale à n et simultanément la somme des diviseurs de n (autres que n) est égale à m. Les plus petits nombres amicaux sont 0 et 84. a) écomposer en produit de nombres premiers 0 et 84. b) Vérifier que 0 et 84 sont amicaux. 8

9 hapitre II : Les ensembles de nombres 6 eux voitures font des tours sur un circuit fermé; elles partent toutes les deux à midi de la ligne de départ. L une parcourt le circuit en 0 minutes, l autre en 6 minutes. quelle heure les deux voitures repasseront-elles en même temps la ligne de départ? ombien auront-elles fait de tours? 7 ) a) évelopper et réduire l expression : (n + ) n. b) En déduire que tout nombre impair peut s écrire comme la différence de deux carrés. ) pplication à faire aux entiers et 45.. Montrer que le carré d un nombre impair est un nombre impair 4. a) alculer la somme de trois entiers impairs consécutifs. Le résultat est-il un nombre premier? (Faire plusieurs essais) b) émontrer ce que vus avez observé à la question a) 5. a) évelopper et réduire l expression b) En déduire que tout nombre impair s écrit comme la différence des carrés de deux entiers consécutifs. c) ppliquer ce résultat aux entiers, 45 et alculer le produit de quatre entiers consécutifs et ajouter. Que remarque-t-on? (Faire plusieurs essais). Montrer que, pour tout réel x, on a a(a + )(a + )(a + ) + = (a + a + ) Expliquer le résultat observé à la question. 9. alculer la somme de 5 entiers consécutifs. Que remarque-ton? (Faire plusieurs essais). Montrer que la somme de cinq entiers consécutifs est un multiple de 5 0. Un nombre pair s écrit sous la forme... Un nombre impair s écrit sous la forme.... Montrer que le carré d un nombre pair est un nombre pair éterminer si les nombres suivants sont premiers. S ils ne sont pas premiers, donner leur décomposition en produit de facteurs premiers ans chacun des cas suivants, déterminer le(s) chiffre(s) a, b, c sachant que : a4 est divisible par. a4 est divisible par mais pas par 9. b5c est divisible par et par 5. Soit le nombre = 5 7. / Vérifier que possède 4 diviseurs. / Trouver le plus petit entier naturel k tel que k soit le carré d un entier. / Trouver le plus petit entier naturel m tel que m soit le cube d un entier. 9

10 hapitre II : Les ensembles de nombres evoir n I / près avoir simplifier au maximum les nombres suivants, donner le plus petit ensemble auquel ils appartiennent. onner aussi leur nature. a) 0,, / a) onner un rationnel non décimal. b) onner un réel non rationnel. c) onner un décimal non entier. d) onner un entier non naturel. II ) onner la définition de nombre premier. ) onner 8 nombres premiers. ) éterminer si les nombres suivants sont premiers. S ils ne le sont pas, donner leur décomposition en produit de facteurs premiers. a) 06 b) 5 5 c) 7 d) ) Mettre les fractions suivantes sous forme irréductible en décomposant en produit de facteurs premiers le numérateur et le dénominateur. Préciser quels sont les nombres décimaux / Simplifier les racines carrées suivantes en utilisant la décomposition en produit de facteurs premiers / onner le PG des nombres suivants en utilisant la décomposition en produit de facteurs premiers. a) PG ( 0; 798 ) b) PG ( 9 60; ) III Parmi les nombres suivants, indiquer ceux qui sont écrits en notation scientifique. Ecrire les autres sous forme scientifique. a) 0 b) 6, c)5, d) 0, 4 0 e) 4, 56 0 evoir n I ) Le nombre 40 est-il premier? Justifier. ) Le nombre 07 est-il premier? Justifier. ) écomposer les nombres suivants en produit de facteurs premiers : = 5 = II ) onner à l aide de la calculatrice une ( ) 5 valeur approchée de = puis 4 évelopper. ) Simplifier ) Ecrire sous forme de fraction irréductible : = III Simplifier les expressions suivantes, en 0 montrant les étapes de simplification : = = = IV ) Montrer que pour tout nombre a et b de on a l égalité suivante : (a b ) = (a b)(a + ab + b ) ) Utiliser cette égalité pour factoriser (x 8) V Ecrire = 98 + sous la forme a b où b est le plus petit possible. e nombre est-il un élément de Q?

11 hapitre III :.Inégalités et valeurs absolues. ) Ecrire un encadrement de 5 à 0 près et à 0 près. ) Ecrire un encadrement de 7 à 0 près et à 0 près. ) Soit x = 5. Ecrire un encadrement de x à 0 près. On donne, 0 x, 0 7, 48 y 7, 49, 5 z, 4, t, onner un encadrement à 0 près de x + y ; x y ; x y + 5z ; xy ; yz ; zt; x ; z ; y z ; x et z. onner un encadrement de l aire d un rectangle dont les dimensions sont 0 cm et 5 cm avec une précision de mm. 4 En utilisant l encadrement, 7, 7 donner un encadrement de = + ; = et = 5. 5 a et b sont deux réels non nuls de même signe. omparer a b + a b et. 6 Soient deux réels x et y strictement positifs. ) émontrer que x + y xy ) émontrer que x + y x + y ( x + y ) 7 Ecrire sans barres de valeurs absolues, les nombres suivants : x = y = 5 z = π 5 t = 7 π v = π 8 ompléter le tableau suivant : Reproduire Traduction en Traduction en Traduction avec Traduction avec sur un axe valeurs absolues distances des inégalités des intervalles 0 [ -I ] - x d(x; ) x x [ ; ] x x > d(x; 4) x x [6; 0] x 4 ou x ] I [ 0 ] [ - x + <

12 hapitre III : Inégalités et valeurs absolues. evoir n I a) omparer en écrivant au même dénominateur : 5 6 et 6 7. b) omparer en utilisant la calculatrice : et c) omparer : n n + et n n + +. II On sait que 0, 8 < x < 0, 9. Ecrire un encadrement de y = x + z = x. et de III Sachant que l on a :, 7 x, 5 5, b 5 onner un encadrement de a + b ; a b; ab; b et a b. IV Ecrire sans barres de valeur absolue chacun des nombres suivants : (5 ) π V Soit f(x) = x 5x a) alculer f(); f( ); f( ) et f( 5 ). b) ompléter : Si x 0, c est à dire si x... alors x =... Si x 0, c est à dire si x... alors x =... c) Expliciter, de même, 5x d) ompléter le tableau suivant : x 5 + x 5x f(x) VI Ecrire plus simplement : E = ( 5) ( 5) VII Résoudre les équations suivantes : x < x x 5 x + x 6 7 x +, 0, 7 x 5 x < x VIII éterminer les nombres a et r tels que chacune des relations ci-dessous soit équivalente à x a r. x [; ] x 5 5 x 7 5 x 9 IX Soit une droite graduée. Les points et ont pour abscisse x = et x = 4. a) éterminer l ensemble des points tels que : d(; M) = 5 d(; M) d(, M) d(; M) b) Ecrire sous forme de distance, les inégalités suivantes : x x + 8 < x < 7

13 hapitre III : Inégalités et valeurs absolues. evoir n I omparer les nombres suivants a) 5 et b) 5 et c) 5 5 et En déduire une écriture simple de II est un nombre strictement négatif. omparer dans chaque cas a et b. a) a = 5 et b = 8 b) a = 5 et b= 8 c) a = et b = 5 6 III ans chaque cas, a et b sont deux réels strictement positifs. omparer et en étudiant le signe de. a) = ab + et = (a + )(b + ) b) = a b + b a et = IV x désigne un nombre réel tel que x =(x ) et = (x ) a) Factoriser la différence b) En déduire le signe de et comparer alors et V Soient a et b deux réels strictement positifs. émontrer que : a + b a + b VI Ranger dans l ordre croissant a, a et a pour a= et pour a = VII x désigne un nombre réel tel que 0 x omparer les nombres ( + x) et ( + x) VIII Soit x un réel vérifiant x Préciser dans quels intervalles se trouvent : x ; x ; x + ; x IX alculer la valeur absolue des nombres suivants : =0 4 0 =9 0 0 =π 4 = 4π E= F= X x est l abscisse d un point M d une droite graduée. Les points, et de cette droite ont pour abscisses respectives, et 5 Traduire chacune des phrases suivantes à l aide d une valeur absolue et placer sur la droite les points M correspondants (une droite par question) :. La distance OM vaut 5. La distance OM est inférieure ou égale à. La distance M vaut La distance M vaut et la distance M est strictement inférieure à. XI Justifier les égalités suivantes : a) ( 5) = 5 = 5 b) 4 = = XII Trouver les réels x satisfaisant à la condition indiquée. a) x = b) x = XIII aractériser à l aide de la notation valeur absolue l ensemble des réels x satisfaisant à la condition indiqué : a) x [; ] b) x ] ; 9[

14 hapitre III : Inégalités et valeurs absolues. evoir n I omparer : VI + 7 et II Soit x un nombre réel strictement positif. On note =x + et =. x omparer et. III Soient m et p deux nombres réels strictement positifs tels que : m p.. omparer m + et p + m + p +. omparer et 5 5 IV b est un réel tel que : b.. onner un encadrement de b. 5. On se donne de plus le réel a tel que : a. onner un encadrement de b a. V Ranger les nombres a, a, a dans l ordre croissant dans les deux cas suivants :. a =. La figure représente un pièce métallique percée. La somme des périmètres des deux cercles intérieurs est entre 87 mm et 90 mm.. a) Exprimer la somme des périmètres P(x) des deux cercles en fonction de x. b) Exprimer l aire (x) de la pièce métallique en fonction de x.. a) éterminer un encadrement de x par deux décimaux d ordre (c est à dire avec un chiffre après la virgule). Indication : utiliser le périmètre des deux cercles. b) Encadrer l aire par deux entiers.. a = +. 4

15 hapitre IV : Factorisation et développement lasse de sixième évelopper, réduire et ordonner : = (x + 4)(x + ) = (x 7)(x + )( 4x) = (x + ) ( x)(x + ) = (x + ) E = (x ) F = 5(4x ) Factoriser les expressions suivantes : = 5x 5x = (x + 6) (x + )(x + 6) = (4x 8)( x) (9x 8)(4x ) = (x ) + (9x 6)(x + ) E = (x )(x + ) + ( x)(4x 5) F = (5 x) + (x 5)(x + ) G = (x ) (5x + ) H = 49x 4(x 4) I = 4(x + 7) 9(x + ) J = 8x 4x + 8x Factoriser par la technique du début d un carré : = x + x + = x + 4x 5 = x x = x x + E = x x + F = x 4x + G = x + 5x H = x 6x + I = x x éterminer les valeurs interdites puis simplifier les expressions suivantes : = x x 5 + x 5x = x 5 x x + 9 x + + x = 5 5 x x x = 5x + + 5x + 5 Factoriser : L = 4(x + 7) 9(x + ) = x 9 M = 5x 5x = 4x 5 N = 49x 7x = 4x x + 9 O = 0x 5x + 5x = 9x x + 4 P = 6x 7 8x 4 E = x Q = 4x (x + ) x(x + ) F = 49 6 ( x) R = (x + 6) (x + )(x + 6) G = (6x ) 4x S = (x )(x ) x( x) H = 49x (x 4) T = (4x 8)( x) (9x 8)(5 x) I = (x 4x ) (x 4x + ) U = xy x y + J = (x + 5) 9(4x 5) K = (x 6) (x + 4) V = + x y xy W = xy 4y + x 5

16 6

17 hapitre V : Equations et inéquations Résoudre les équations suivantes : a) x + 5 = 7(x ) 7x b) x 4 x c) 6(x ) 5 = 0 = x d) (x 6) = (x + 4) e) 9x + 8x = x + (x + ) éterminer les valeurs interdites puis résoudre les équations : a) x x = 0 b) (x + ) 4(x ) 5x 5 c) x x + = x x + d) x x + = x x = 0 Résoudre les inéquations : a) x + 4 b) (x 5) > 4 + 6x c) ( 5x)(x + ) 0 d) x + 0 e) x 5 0 f) 5 4x > 0 g) x + x 0 h) x(x + ) (x ) < 0 4 Résoudre les inéquations : a) x 5 x 4x + 6x b) 4x x + 9 (x )(4x + ) (5x 4)( x) 0 5 Résoudre les systèmes d inéquations suivants : { x + < x a) x + 5x + b) x 6 < x < 5( + x) 6 Résoudre les inéquations suivantes et donner les solutions (lorsqu il en existe) sous la forme d un intervalle. a) 4x + > x b) 8(x 5) 5(x 8) 4(x ) + 6 c) 4(x ) 7x 8 d) x x + e) x + 4 < 0 f) (x 4) g) 4x + > (x ) 7 Résoudre les inéquations suivantes a) x 9 < 0 b) (4x )(x + ) > 0 c) t t 0 d) y(5 + y) 0 e) y + 0 f) x < 6x g) (a + ) (a 5) h) x + x + < 0 i) (y 5)(y 4) 4(y ) j) k) l) m) x x 0 a 5 (a + ) 0 (x + 7)( x) 4x x + 9 < 0 ( x)(x + 5) 0 x + n) 5 a a 4 < 0 7

18 hapitrev :Equations et inéquations 8 9 Un particulier a des marchandises à faire transporter. x cm Un premier transporteur lui demande 460e au départ et,5e par kilomètre. Un second transporteur lui demande 000e au départ et e par kilomètre. Pour quelles distances à parcourir est-il plus avantageux de s adresser au second transporteur? et sont deux cercles concentriques. éterminer le rayon x du cercle intérieur, pour que l aire de la couronne soit inférieure à 00 m. 0 Une société veut imprimer des livres. La location de la machine revient à 750e par jour et les frais de fabrications élèvent à,75e par livre. ombien faut-il imprimer de livres par jour pour que le prix de revient d un livre soit inférieur ou égal à 6e 8

19 hapitre VI : Statistiques On a mesuré les tailles d un groupe de enfants. Taille nb d enfants effectifs cumulés Effectifs cumulés Fréquences x i y i en cm x i y i croissants décroissants [0;4[ [4;8[ 7 [8;[ [;6[ 9 [6;40[ Total ) Indiquer ce que sont le caractère et l effectif de cette série statistique. Le caractère est-il qualitatif ou quantitatif? Est-il discret ou continue? Quelle est l étendue? ) alculer les effectifs cumulés croissants. ) alculer les effectifs cumulés décroissants. 4 ) alculer les fréquences en pourcentage. 5 ) quelle classe appartient le mode? 6 ) quelle classe appartient la médiane? 7 ) alculer la moyenne. 8 ) Tracer l histogramme. 9 ) Tracer les courbes des effectifs croissants et des effectifs décroissants. Lire la valeur de la médiane. ans un groupe de personne, 8 possèdent une voiture de marque Renault, 7 ont une voiture de marque itroën et 5 possèdent une voiture de marque Peugeot. Tracer le diagramme circulaire de cette série statistique. Tracer l histogramme de la série statistique suivante : [0;4] [4 ;6] [6 ;7] [7;8] [8;0] [0;4] [4;0] ans le lycée Molière, le proviseur affiche les résultats obtenus au ac. série nombre de candidats taux de réussite L 75 % ES % S 5 80 %. alculer le nombre de reçus dans chaque série.. a) En voyant les résultats affichés, Sébastien affirme que le taux de réussite global est de 80 %, Thomas lui dit que non. Qui a raison? Justifier par un calcul de moyenne. b) Retrouver le taux de réussite au ac dans ce lycée à l aide du nombre total de reçus. 9

20 hapitre VI : Statistiques 5 Le coucou est un oiseau qui fait couver ses oeufs par des oiseaux d autres espèces de tailles très différentes. Une étude a été faite sur des oeufs déposés dans des nids de petite taille (nids de roitelets) ou de grande taille (nids de fauvettes). Le tableau suivant donne en mm le diamètre des oeufs. nids de roitelets 9,8,,5 0,9, 0, 0,9 0,8, nids de fauvettes,9 0,9,8 5 4,8,7,8,,5,. onner pour chacune des deux séries la moyenne, la médiane et l étendue.. Regrouper les valeurs des deux séries en classes. Prendre [9; 0[, [0; [, [; [, [; [ pour la première série; [0; [, [; [, [; [, [; 4[, [4; 5] pour la deuxième.. Représenter sur un même graphique les histogrammes donnant la distribution des fréquences en utilisant deux couleurs différentes. 4. u vu de ces résultats, quelle hypothèse peut formuler le biologiste concernant l existence d un lien entre la taille des nids et celle des oeufs déposés? 6 La capacité vitale est le volume d air maximal pouvant être mobilisé en une seule inspiration. Sur un échantillon de 7 personnes, on a mesuré la capacité vitale (en litres). Voici la liste des résultats : 4,5-4,48-5,4-4,8-4,95-4,05-4, - 4,7-5,5-4,58-4, - 5,7-4,85-5,05-4,65-4,7-4,8.. éterminer l étendue et la moyenne de cette série. rrondir la moyenne au centilitre près.(pour la moyenne, on utilisera la calculatrice sans explication.). En expliquant la méthode utilisée, déterminer la médiane de cette série.. On décide de regrouper les valeurs de la série par classes. ompléter le tableau suivant : capacité vitale (en litres) [4; 4,5[ [4,5; 5[ [5; 5,5[ [5,5; 6[ effectifs effectifs cumulés croissants 4. a) l aide de cette répartition par classes, déterminer la moyenne des valeurs. b) On admet que dans chaque classe, la répartition est uniforme. Tracer alors la courbe des effectifs cumulés. En déduire graphiquement le médiane de ces valeurs. 0

21 hapitre VI : Statistiques alcul de moyennes 7. près six contrôles, un élève obtient de moyenne, puis 5 au septième contrôle. Tous les contrôles ont le même coefficient. Quelle est la nouvelle moyenne?. On doit déterminer la moyenne de 560 nombres. la calculatrice, on trouve 5 comme moyenne. Mais on s aperçoit que l on a oublié d entrer l un des nombres, à savoir 7. Expliquer comment on peut réparer cette étourderie sans recalculer la moyenne des 560 nombres. Quelle est la moyenne des 56 nombres? 8 ans un lycée, il y a quatre classes de seconde contenant respectivement 0,, 8 et 7 élèves. ans une classe, il y a 0 filles et 5 garçons. La moyenne des tailles des élèves est de,7 m. La moyenne des tailles des garçons est de,8 m. Quelle est la taille moyenne des filles de cette classe? Justine a 9,8 de moyenne sur les quatre contrôles du trimestre. Mais le professeur, après s être aperçu de son erreur dans la correction du dernier contrôle, l a noté sur 5 et non. Quelle est la moyenne corrigée de Justine? Les moyennes des notes d Education physique de ces classes sont respectivement,, et 4. Quelle est la moyenne des notes d Education physique pour l ensemble des quatre classes de seconde du lycée. 9 La moyenne de cinq notes d un élève est. Les quatre premières notes sont, 0, 8 et 5. près quatre contrôles de mathématiques, Virginie a de moyenne et Elodie a 0,5. a) Virginie obtient 0 au 5 ieme contrôle et Elodie 5. alculer leurs moyennes après cinq contrôles. b) u 6 ieme contrôle, Virginie a eu. éterminer la note x d Elodie au 6 ieme contrôle sachant qu elle a atteint la même moyenne que Virginie après six contrôles. Quelle est la cinquième? 0 On note m la moyenne de n nombres a, a,...,a n. ) On transforme chaque a i de la manière suivante : on lui ajoute et on multiplie le résultat obtenu par. Quelle est la moyenne de cette nouvelle série de nombres? ) On transforme chaque a i de la manière suivante : on le multiplie par et on ajoute au résultat obtenu. Quelle est la moyenne de cette nouvelle série de nombres?

22

23 hapitre VII : Généralités sur les fonctions Voici la représentation graphique d une fonction f, répondre aux questions suivantes : a) Quel est l ensemble de définition de f? b) Quelles sont les images de 4, 0, 7 et? c) onner une valeur approchée de f( ), f( ) et f(). d) Quels sont les antécédants de 0,, et 4? e) Sur quels intervalles f est-t-elle croissante? décroissante? f) resser le tableau de variation de f. g) Quels sont les extrémum de f? Pour quelles valeurs sont-ils atteints? h) Résoudre graphiquement les équations : f(x)=, f(x)= et f(x)= 4. i) Résoudre graphiquement les inéquations : f(x) 0 et f(x) - j) resser le tableau de signes de f. 4 a) Tracer une représentation graphique des fonctions f et g dont voici le tableau de variation : x f(x) x g(x) 0 0 b) Résoudre graphiquement l équation : f(x)=0. c)omparer g( ) et g() f() et 0 f( ) et f(4).

24 hapitre VII : Généralités sur les fonctions Soit f la fonction à variable réelle définie par : R R x x a) alculer les images de et de. b) éterminer les antécédants de 5; ; 0 et 4. c) alculer les images des entiers compris entre et puis tracer la représentation graphique de f. 4 On sait que la fonction f est croissante sur [ ;0] et décroissante sur [0 ;5]. On a f( )=; f(0)=4 et f(5)=. a) resser le tableau de variationde f. b) ompléter par < ou >. - < x <-0, 5 alors f( )... f(x)... f( 0,5) < x < alors f()... f(x)...f() x > alors f(x)... f() x [ ;0] alors...f(x) a) Les fonctions dont voici une représentation graphique sont-elles paires ou impaires? b) ompléter les représentations graphiques suivantes pour qu elles définissent des fonctions paires ou impaires. f est paire f est impaire f est paire f est impaire 6 Les fonctions suivantes sont elles paires? impaires? f(x) = x - g(x) = x h(x) = x + -x i(x) = x x + 4 j(x) = x -x + k(x) = Soit E un trapèze rectangle en de bases [] et [E] tel que E=6 cm, = cm et = cm. Soit un point du segment [E]. On note E=x. Soit f(x) l aire de, g(x) l aire de E, h(x) le périmètre de et k(x) le périmètre de E. 4 ) ans quel intervalle le nombre x peut-il varier? ) Tracer deux figures, l une pour x=, l autre pour x=4. ) alculer les images de et de 4 pour chacune des fonctions f, g, h et k. 4 ) Exprimer en fonction de x, f(x), g(x), h(x) et k(x). 5 ) Pour quelle valeur de x les aires de et de E sont elles égales? 6 ) Pour quelle valeur de x les périmètres de et de E sont-ils égaux?

25 hapitre VII : Généralités sur les fonctions 8 ans cet exercice, f(x) est définie par une expression algébrique. ans chaque cas, préciser l ensemble de définition de f. Pour chacune des courbes ci-dessous, indiquer si c est celle d une fonction et, dans ce cas, préciser son ensemble de définition. a) f(x) = x + b) f(x) = x + x c) f(x) = x d) f(x) = x + e) f(x) = (x 4)(x + ) x f) f(x) = (x ) g) f(x) = x x + h) f(x) = x x 9 Pour chaque fonction de l exercice précédent, déterminer lorsque c est possible les images des nombres suivants : ; ; ; ; 4 0 Soit f la fonction représentée ci-contre. ) onner l ensemble de définition. ) a) Lire l image de par f; alculer f(); f( 4); f( ) et f(5). b) Lire les antécédents de par f. c) Lire les antécédents de 0 par f. La courbe ci-contre représente dans ce repère une fonction f définie sur [ ; 4] par f(x) = 0, 5(x + ). ) l aide du graphique, dire si chacun des points suivants appartient ou non à la courbe : (0;, 5); (; 0); ( ; ); ( ; 0); E(,5; ); F( ; -) ) éterminer par le calcul l image de 0, de - et de. Retrouver les résultats sur la courbe. ) éterminer par le calcul les antécédents de 0, et. Retrouver les résultats sur la courbe

26 hapitre VII : Généralités sur les fonctions eux fonctions f et g sont définies sur l intervalle [ 5; ]. est la courbe représentative de f et celle de g. 5 La fonction est donnée par sa courbe. resser son tableau de variation. ) Quel est l ensemble des réels x pour lesquels est au-dessus de? ) Quels sont les réels pour lesquels f(x) = g(x)? f(x) g(x)? Tracer une courbe susceptible de représenter f à partir de son tableau de variation et des renseignements donnés. 4 (O; i ; i ) est un repère orthonormal. est le demi-cercle de centre O et de rayon. 0 M H ) a) La courbe est-elle la représentation graphique d une fonction f? b) Quel est l ensemble de définition de cette fonction? ) M est le point du demi-cercle d abscisse. alculer l ordonnée de M. En déduire f( ). ) e la même manière, calculer : f( ); f( 5 ); f ); f(0). 4 ) Trouver les réels x de l intervalle [ ; ] qui ont pour image par f : 0; ; v 5 ) x est un réel de l intervalle [ ; ] et M le point de d abscisse x. alculer l ordonnée de M en fonction de x. En déduire l expression de f(x). a) f =R; f( 4) = ; f() = ;f(4) =. x f(x) La courbe ci-dessous est la courbe d une fonction f définie sur R ( on précise de plus que f(,5) = 0. ) resser le tableau de variation de f. ) Résoudre graphiquement les inéquations f(x) > 0 et f(x) < 0. En déduire le signe de f(x) suivant les valeurs de x. ) Résoudre graphiquement f(x)

27 hapitre VII : Généralités sur les fonctions 8 La trajectoire d une balle de jeu est donné par : f(x) = 5x + 0x + 5. où x est le temps écoulé depuis le lancement en l air, exprimé en secondes, avec x [0; ], et f(x) est la hauteur de la balle au dessus du sol, exprimée en mètres. ) Interpréter f(0) et f(). ) a) après le graphique, quelle est la hauteur maximale atteinte par la balle? b) onner les instants où la hauteur est égale à 5 m. c) Résoudre graphiquement f(x) 8. En donner une interprétation concrète f est la fonction définie sur R par f(x) = + (x + ). ) Pourquoi peut-on affirmer que pour tout réel, f(x)? ) vant d affirmer que est le minimum de f sur R, il faut démontrer que f(x) prend effectivement la valeur. Le démontrer et conclure. 0 est un triangle isocèle en avec : = = 0 cm. H est le pied de la hauteur issue de. On se propose d étudier les variations de l aire du triangle lorsqu on fait varier la longueur x (en cm) du côté []. ) a) alculer la valeur exacte de l aire de lorsque x = 5, puis lorsque x = 0. b) Peut-on avoir x = 0? Pourquoi? ans quel intervalle varie x?. a) Exprimer H en fonction de x. b) On désigne par f(x) l aire de. émontrer que : f(x) = x x. c) alculer f(x) pour chacune des valeurs entières de x prises dans [0; 0] : arrondir les résultats au dixième et les présenter dans un tableau. d) ans un repère orthogonal bien choisi, placer les points de coordonnées (x ; f(x)) du tableau précédent. onner alors l allure de la courbe représentant f. 7

28 hapitre VII : Généralités sur les fonctions est un trapèze rectangle de base = 6 cm, = cm, de hauteur = 4 cm. H est le projeté orthogonal de sur []. Un point M décrit le segment [] et on pose M = x. La parallèle à () passant par M coupe [] en N et la parallèle à () passant par N coupe [] en P. ) a) émontrer que le triangle H est un triangle rectangle isocèle. b) émontrer que MNP est un rectangle et NP un triangle rectangle isocèle. ) On appelle f(x) l aire du rectangle MNP lorsque x décrit l intervalle [0 ; 4]. a) Montrer que f(x) = x(6 x) et vérifier que f(x) =9 (x ). b) ompléter le tableau suivant : 8 longueur M= x 0,5 4 aire de MNP, f(x) ) Le graphique ci-contre est la courbe représentative de la fonction f :x f(x) sur l intervalle [0; 4]. Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes : a) Lorsque M =, quelle est l aire de 4 MNP? b) Pour quelle position de M l aire du rectangle MNP semble-t-elle maximale? c) Sur quel segment faut-il choisir le point M pour que l aire du rectangle soit supérieure ou égale à 8 cm? d) Vérifier qu il existe deux points M pour lesquels l aire du rectangle est égale à 7 cm. 4 ) Répondre aux questions suivantes en choisissant pour f(x) l expression la mieux adaptée. a) émontrer que f(x) 9. Peut-on affirmer cette fois que l aire du rectangle est maximale lorsque x =? Quelle est la nature de MNP lorsque x =? b) émontrer que l aire du rectangle MNP est égale à 7 lorsque x =6 ou

29 hapitre VIII : Fonctions affines Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont affines? Représenter graphiquement les fonctions suivantes : f(x) = x f(x) = x + f(x) = x + f(x) = x + f(x) = x f(x) = 4x f(x) = f(x) = (x ) (x + ) f(x) = x g(x) = 4 x + h(x) = x i(x) = j(x) = x k(x) = x + a) Par lecture graphique, déterminer l expression des fonctions f, g, h, i, j et k. b) Indiquer si ces fonctions sont croissantes, décroissantes ou constantes. c) Résoudre graphiquement les équations : f(x) = g(x) et g(x) j(x). 6 k(x) f(x) i(x) 4 8 g(x) h(x) j(x) 4 éterminer les fonctions affines définie par : a) f()= et f()=5 b) f(-)= et f(4)= c) f(0)=4 et f( )=- d) f()= et f()= 9 5 ) Tracer les représentations graphiques des fonctions f(x) = x et g(x) = 5 x. ) Résoudre graphiquement l équation : f(x) = g(x). Vérifier par le calcul. ) Résoudre graphiquement l inéquation : f(x) > g(x). Vérifier par le calcul.

30 hapitre VIII : Les fonctions affines 6 ) Tracer un triangle isocèle en sachant que ==5 cm et H=4 cm où H le pied de la hauteur issue de. ) Soit K un point du segment [H]. On pose KH= x. La parallèle à la droite () passant par K coupe respectivement les droites () et () en I et J. alculer en fonction de x les longueurs I, IJ et J. ) On note f(x) la mesure du périmètre du quadrilatère IJ. a) Expliciter f(x). b) Tracer dans un repère orthogonal la représentation graphique de la fonction f. c) onner un encadrement de x. En déduire un encadrement de f(x). d) Répondre graphiquement aux questions suivantes : Où se trouve le point K du segment [H] lorsque le périmètre du quadrilatère IJ mesure 4,5 cm? ombien mesure le périmètre du quadrilatère IJ lorsque le point K est le milieu du segment [H]? 7 Trois trains partent simultanément à minuit des trois villes suivantes : lphaville, étaville et Gammaville. ans la suite du problème, ces villes seront respectivement désignées par les lettres, et G. Sur une carte très détaillée (à l échelle / ), on remarque que : les villes, et G sont alignées; les voies ferrées sont des segments de droite; étaville est située entre lphaville et Gammaville; =7, cm et G=6 cm. Le train T part de lphaville et se dirige vers Gammaville à la vitesse constante de 0 km/h. Le train T part de étaville et se dirige vers Gammaville à la vitesse constante de 60 km/h. Enfin, le train T part de Gammaville et se dirige vers lphaville à la vitesse constante de 6 km/h. ) alculer en kilomètres les longueurs des voies ferrées entre et, puis entre et G, enfin entre et G. ) On désigne par x (t), x (t) et x (t) les distances en kilomètres séparant respectivement les trains T, T et T d lphaville à l heure t en minutes. Exprimer x (t), x (t) et x (t) en fonction de t. ) Le plan est muni d un repère orthogonal. Les unités graphiques sont les suivantes : cm sur l axe des abscisses correspond à km. cm sur l axe des ordonnées correspond à un quart d heure. Représenter dans ce repère les trois fonctions x, x et x. 4 ) partir de ces graphes, répondre aux questions suivantes (vous indiquerez éventuellement les meilleures valeurs approchées possibles) : a) quelle heure le train T passe-t-il en gare de Lambaville, située à 6 km après étaville? b) quelle heure le train T passe-t-il en gare de entreville, situé à égale distance de et de G? c) Entre quels instants le train T est-il situé entre les trains T et T? 5 ) En effectuant des calculs appropriés répondre avec éventuellement plus de précision aux questions du 4 ). 0

31 hapitre VIII : Fonctions affines evoir n I est un rectangle et O est un point fixé à l intérieur de ce rectangle. Le but du problème est de déterminer la position des points M etm sur le pourtour du rectangle de manière à obtenir trois domaines de même aire. Un point M se déplace sur les côtés du rectangle. L unité de longueur est le centimètre. = 5 et =. On note x la distance entre et M en parcourant le rectangle dans le sens. On appelle f(x) l aire de la partie hachurée. ) onner un encadrement de x lorsque M [], M [], M [] et M []. ) Quelles valeurs peut prendre x? ) éterminer f(x) dans les cas suivants : a) M [] b) M [] (indication : aire(om) = aire(o) + aire(om)) c) M [] (méthode similaire à la précédente) d) M [] 4 ) Représenter graphiquement cette fonction. 5 ) Résoudre graphiquement le problème. II est un parallélogramme tel que : = 7,5; = 4,5 et = 90. Soit M un point libre du segment []. On pose M = x, avec x [0 ; 7,5]. La parallèle à la droite () passant par M coupe le segment [] en N. On cherche la position du point M afin que le triangle MN, de base [MN], ait une hauteur de longueur égale à la longueur de cette base. ) a) Faire une figure à l échelle, unité cm. Tracer la hauteur [H] relative à la base [MN]. Quelle est la nature du quadrilatère NH? b) alculer. ) a) Exprimer MN en fonction de x. On nommera MN = f(x). b) Exprimer H en fonction de x. On nommera H = g(x). ) a) Représenter dans un même repère orthonormal, les fonctions f et g. b) onner une valeur approchée de x tel que MN = H. 4 ) Résoudre algébriquement f(x) = g(x). onner la valeur exacte de M répondant au problème posé. alculer alors l aire du triangle MN.

32 hapitre VIII :Fonctions affines evoir n I f est une fonction affine telle que f() = et f( ) = 4. ) Exprimer f(x) en fonction de x. III ) Sans effectuer la représentation graphique de la fonction f, donner, en justifiant, le sens de variation de f. E ) alculer f(. 4 ) Résoudre l inéquation f(x). x x II Résoudre les inéquations suivantes : a) x 4x + 4 < (x )(x + 5) b) x + )(x ) 5x + 0 H 5 cm L unité de longueur est le cm et l unité d aire est le cm. est un triangle isocèle en tel que = 5. H est le pied de la hauteur issue de du triangle. On pose H = x. E est un rectangle tel que = 5 et E =x ) Exprimer en fonction de x l aire f(x) du triangle et l aire g(x) du rectangle E. ) Tracer dans un repère les courbes représentatives des fonction f et g. (les calculs devront figurer sur la copie.) ) Trouver la hauteur H pour laquelle le triangle et le rectangle E ont la même aire. On traitera cette question graphiquement et algébriquement.

33 hapitre IX : Fonctions de référence compléter : Si 0 a < b alors a...b car... Si a < b 0 alors a...b car... Si x alors x... Si x alors x... Si 0 x y alors (x )...(y ) Si a + b + 0 alors (a + )...(b + ) Si x y alors x... y Soit la fonction définie sur R par f(x) = x. ) Quelle est la parité de f? ) Montrer que f est croissante sur [0; + [. ) Montrer que f est décroissante sur ] ; 0]. 4 ) resser le tableau de variation de f. 5 ) Quel est le minimum de f? 6 ) Quels sont les antécédants de par f? 7 ) alculer f(0), f( ), f(), f() et f(). 8 ) Tracer la courbe de f. 7 ) Résoudre graphiquement f(x) = x et f(x) x. 4 Tracer la courbe de la fonction : x x. Résoudre graphiquement : x = 4 x = 9 x = 0 x = x 4 x 9 x 0 x (x ) = (x ) (x ) x 4 (x + ) 4 (x 5) 0 5 Soit f(x) = x 6x +. éterminer a et b tels que f(x) = (x a) + b. 6 Ecrire sous forme canonique : f(x) = x + 4x + g(x) = x + 8x + 5 h(x) = x 5x + 6 i(x) = x 8x + 4 j(x) = x + 9x 4 k(x) = 5x 0x + Soit la fonction définie sur R par f(x) = (x ) +. ) f est-elle paire ou impaire? ) Montrer que f est décroissante sur [; + [ et croissante sur ] ; ]. ) Tracer la représentation graphique de f après avoir calculé les images de ;,5; ; ; 4; 0,5; 0; et. 4 ) f admet-elle des extrémas? 5 ) Quel est l axe de symétrie de la fonction f? 6 ) Résoudre les équations f(x) = 4 et f(x) = 4. 7 Tracer les courbes des fonctions f(x) = x et g(x) = x +. a) Résoudre graphiquement l équation f(x) = g(x). b) En déduire les solutions de l équation x x = 0. 8 a) Résoudre l inéquation (x + ) x + 4. b) Tracer les courbes des fonctions f : x (x + ) et g : x + 4. c) Retrouver graphiquement les solutions de l inéquation : (x + ) x + 4.

34 hapitre IXI : Fonctions de référence Fonctions inverses b) Montrer que f est croissante sur ] ; ]. c) resser le tableau de variation de f. 9 ans un repère (O; i; j), tracer la courbe de la fonction : f : x x. a) Quel est son tableau de variation? b) Résoudre graphiquement : f(x) = x +. f(x) x + c) ompléter : Si 0 < a b alors a... b Si a b < 0 alors a... b. Si 0 < x < y alors x... y 0 Soit la fonction f : x + x a) éterminer l ensemble de définition de f. b) Soit < a < b, comparer f(a) et f(b). Que peut-on en déduire? c) Si a < b <, comparer f(a) et f(b). Que peut-on en déduire? d) Tracer le tableau de variation de f. e) alculer les images de,;.5;,5; ; ; 4; 0,9; 0,75; 0,5; 0 ; ; ; puis tracer la courbe de f. f) Résoudre graphiquement l équation : + x = 5 g) Résoudre par le calcul l équation f(x) 5. h) Quel est le centre de symétrie de la courbe de f? Soit la fonction g : x x x + 5. éterminer a et b tels que g(x) = a + b x 5. d) Quel est le maximum de f? e) Tracer la courbe de f. ) Soit la fonction g définie par g(x) = + x. a) Quel est l ensemble de définition de g? b) Montrer que g est décroissante sur ] ; ] et sur [; + [. c) resser le tableau de variation de g. d) Tracer la courbe de g dans le même repère que celle de f ) Résoudre graphiquement : f(x) = 0 f(x) f(x) = g(x) g(x) = 0 g(x) f(x) g(x) Tracer les courbes des fonctions f : x x et g : x x. Résoudre graphiquement : f(x) = g(x) puis f(x) g(x). 4 Soit la fonction f : x x x. a) éterminer a et b tels que f(x) = a + b x. b) En déduire les variations de f. utres fonctions 5 ompléter : Si a b alors a...b car... Si 0 a b alors a... b car... Si 0 a b alors a... b car... Si a b 0 alors a... b car... ) Soit la fonction f définie par f(x) = (x ) +. a) Montrer que f est décroissante sur [; + [. 4 6 éterminer l ensemble de définition des fonctions : f(x) = x et g(x) = 4 9x x

35 hapitre VIII : Fonctions de référence 7 Soit la fonction f : x x +. ) Quel est l ensemble de définition f de f? ) Montrer que f est croissante sur f. ) Tracer la courbe de f. Si a 0 c est-à-dire si a... alors a =... Si x + 0 c est-à-dire x... alors x + =... Si x + 0 c est-à-dire x... alors x + =... 4 ) Résoudre graphiquement puis par le calcul : f(x) = et f(x) = 0. 8 ompléter : Si a 0 alors a =... Si a 0 alors a =... Si a 0 c est-à-dire si a... alors a =... 9 Soit la fonction f : x x 5 a) Ecrire f(x) sans barre de valeurs absolues quand x 5 et quand x 5. b) Tracer la courbe de f. c) Résoudre graphiquement l équation f(x)=0. Tracer le tableau de variation de f. Quel est le minimum de f? Pour quelle valeur est-il atteint? 0 Soit la fonction f définie sur R par x x et la fonction g définie sur R par x x x +. ) ompléter les tableaux suivant : x 0 0,5 0,5 0,75,5,5,75 f(x) 0,06 0,4,95 5,56 x 0, 5 0 0,5 0,75,5,5 g(x) 0,75 0,5 0, 5,5 ) Tracer la courbe de f sur [0;]. ) Tracer la courbe de g sur [ ;, 5]. 4 ) Tracer le tableau de variation de g. dmet-il un extrémum? 5 ) éterminer une valeur approchée des antécédants de par g. 6 ) Résoudre graphiquement l équation f(x)=g(x). Retrouver ce résultat par le calcul. 8 ) Résoudre graphiquement puis par le calcul g(x). 8 ) éterminer en fonction de m, le nombre de solutions de l équation g(x)=m. 5

36 hapitre IX : Fonctions de référence evoir n Soit un triangle rectangle en avec = 0 cm et = 6 cm. Soit E un point de [] tel que E = x. EFG est un rectangle. F E G ) alculer. a) Quelles sont les valeurs possibles pour x? b) Exprimer E en fonction de x. c) Exprimer EF en fonction de x. d) Pour quelle valeur de x le rectangle EFG est-il un carré? ) a) alculer en fonction de x le périmètre P(x) du rectangle EF G. b) Pour quelle valeur de x a-t-on P(x) =? ) a) Montrer que l aire du rectangle EFG est donnée par : (x) = 4 x(6 x) b) alculer (0) et (6). Vérifier géométriquement ce résultat. c) ompléter le tableau de valeurs suivant : x 0 0, 5, 5, 5, 5 4 4, 5 5 5, 5 6 (x) d) Représenter graphiquement la fonction dans un repère orthogonal (unités : cm en abscisse et cm en ordonnée). e) Résoudre graphiquement (x) = 9. f) éterminer à l aide du graphique le maximum de la fonction et donner la valeur de x correspondante. 4 ) a) Montrer que : (x) = 4 (x ) + b) En déduire par le calcul le maximum de la fonction et donner la valeur de x correspondante. c) Etudier (par le calcul!) les variations de sur [0; ] et sur [; 6]. d) onner dans chaque cas un encadrement de (x) en justifiant et en utilisant les résultats de la question précédente. x 4 x 5 6

37 hapitre IX : Fonctions de référence evoir n I Un oiseau se nourrit de poissons en plongeant dans l eau depuis une falaise. Soit h(x) la hauteur de l oiseau au dessus du niveau de l eau en fonction de la distance x, à l horizontale, le séparant de la rive. L oiseau décrit une parabole et on trouve : h(x) = x 6x + 5 pour x appartenant à [0; 6]. Falaise Niveau de la mer Hauteur (en m) distance horizontale (en m) Partie. quelle hauteur l oiseau a-t-il commencé son plongeon? Justifier.. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant : x 0, 5, h(x). Tracer la courbe représentative de h dans un repère orthogonal. 4. Indiquer graphiquement : (a) le sens de variation de h, (b) à quelle distance de la rive la hauteur de l oiseau est minimale. Partie. Montrer que h(x) = (x ) 4.. Étudier les variations de h sur ] ; ] puis sur [; + [.. onner dans chaque cas un encadrement de h(x) en justifiant votre réponse : (a), 5 x (b) x Étudier l extremum de h sur R. 5. En déduire le tableau de variations complet de h sur [0; 6]. 6. Écrire l équation qui permet de déterminer à quelles distances l oiseau est entré puis sorti de l eau. Résoudre cette équation. Indiquer comment on retrouve ce résultat graphiquement. 7. Trouver par le calcul les solutions de h(x) < 0. II. Résoudre : ( x)(4x + ) 0. Résoudre : (x )(x + ) 0 ( x). onner tous les nombres entiers vérifiant : { x + x + 8 4x 7 x + 7

38 hapitre IX : Fonctions de référence ngles orientés et trigonométrie Exercice n Sur le cercle trigonométrique de centre O, placer dans chaque cas, deux points et tels que la mesure principale de ( O ; O) soit : π π π π 4 π 6 Exercice n ans chaque cas, déterminer la mesure principale de l angle : 5π 40π 5π π 5π 6 4 π 7 Exercice n est le cercle trigonométrique de centre O et est un point de. ans chaque cas, placer le point M tel qu une mesure en radians de ( O ; OM) soit : 7π π 4 π 6 47π 08π π 67π π 7 Exercice n 4 Exprimer les mesures d angles en radians puis déterminer une mesure principale pour : gr gr Exercice n 7 Tracer un hexagone régulier EF de centre O. onner, en radians, la mesure principale de chacun des angles orientés suivants : ( O ; O) Valeur des angles ( ; F) ( ; E) ( ; ) ( ; O) Formules de trigonométrie ( E ; F) ( O ; OE) ( ; ) x 0 π 6 π 4 π π π sin x 0 0 cos 0 tan x 0 interdit 0 Formulaire cos(t + kπ) = cos t cos( t) = cos t cos(π + t) = cos t sin(t + kπ) = sin t sin( t) = sin t sin(π + t) = sin t cos(π t) = cos t sin(π t) = sin t cos( π t) = sin t sin( π t) = cos t cos(π + t) = sin t + t) = cos t 8

39 hapitre X : onfiguration planes onstruire deux triangles non superposables de hauteur [H] tels que = 8 cm; H= cm et H=4 cm. alculer dans chaque cas, la longueur du segment []. Soit un triangle et H le pied de sa hauteur issue de. On a =5 cm; H= cm et H= cm. Le triangle est-il rectangle? Soit un triangle. et sont les milieux des côtés [] et []. H est le projeté orthogonal de sur la droite (). émonter que la droite ( ) est la médiatrice du segment [H]. 4 eux cercles et de centres respectifs O et O sont sécants en et. Soit E le point diamétralement opposé à sur le cercle et F le point diamétralement opposé à sur le cercle. ) émontrer que les points E, et F sont alignés. ) émontrer que la droite (EF) est parallèle à la droite (OO ). ) On a O= cm; O =4 cm et (O) (O ). a) alculer la longueur du segment [EF]. b) alculer l aire du triangle EF. En déduire la longueur du segment []. 5 Soit un rectangle. Soit I le milieu du segment [], E le symétrique de par rapport au point I et F le symétrique de par rapport au point. ) émontrer que, et E sont alignés. ) émontrer que EF est un losange. ) Sachant que = 4 cm et = cm, calculer l aire du triangle E. En déduire la distance du point à la droite (). 6 Soit un triangle isocèle en. Soit M un point du segment [], H le projeté orthogonal de M sur la droite (), K le projeté orthogonal de M sur la droite () et le projeté orthogonal de sur (). émontrer, en calculant les aires des triangles M et M, que MH+MK=. 7 Soit un triangle et H son orthocentre. ) éterminer les orthocentres des triangles H, H et H. ) Quelle remarque peut-on faire quand est rectangle en? 8 Soit un trapèze tel que =4 cm, ()//(). E et F sont les projetés orthogonaux de et de sur la droite (); FE est un carré. E est un triangle rectangle isocèle. F est un triangle rectangle en F avec F=60. ) alculer les longueurs des diagonales [] et []. ) Soit I le point d intersection des diagonales [] et []. alculer I I et I I. ) alculer les longueurs I, I, I et I. 9 Un triangle rectangle en est tel que =4,5 cm et =,6 cm. ) alculer la longueur. ) Soit H le projeté orthogonal de sur (). En écrivant sin de deux manières, calculer H. En déduire H et H. ) Tracer la parallèle à () passant par H. Elle coupe () en E. alculer HE, E et E. 4 ) La bissectrice de l angle H coupe () en. Soient K et L les projetés orthogonaux, respectivement sur (H) et (H). a) Montrer que KLH est un carré. Soit a son côté. b) En utilisant le théorème de Thalès, calculer a puis et. 0 est un triangle et O un point du plan tel que (O) coupe () en. Par, on trace la parallèle à (O) qui coupe () en F et la parallèle à (O) qui coupe () en E. émontrer que (EF)//(). est un quadrilatère convexe dont les diagonales [] et [] se coupent en O. Les parallèles menées par O à () et () coupent respectivement () en M et () en N. émontrer que (MN)//(). 9

40 hapitre X : onfiguration planes Soit un triangle. onstruire à l extérieur du triangle la carré E. Les droites () et () se coupent en M. Les droites (E) et () se coupent en N. La droite passant par N et perpendiculaire à () coupe la droite () en P. La droite passant par M et perpendiculaire à () coupe la droite () en Q. ) émontrer que (PQ)//(). Quelle est la nature de MNPQ? ) émontrer que PN=NM. Quele est la nature de MNPQ? Soit un triangle. I, J et K sont les milieux respectifs des côtés [], [] et []. est le milieu du segment [KJ]. ) émontrer que les points,, I sont alignés et que est le milieu de [I]. ) Soit J le point du segment [] tel que J =. K est le point du segment [] tel que K =. E est l intersection des droites (I) et (J K ). émontrer que le point E est le milieu du segment [J K ]. noté E. Les droites (K) et (J) se coupent en un point noté F. ) émontrer que les points, E, O, F et sont alignés.(indication : on considérera les médianes des triangles et.) ) émontrer que E=EF=F. 7 Soient et deux triangles rectangles de même hypothénuse []. Soit I le point d intersection des droites () et ( ). La perpendiculaire à () passant par I coupe la droite () en J. Montrer que les points, et J sont alignés. (Indication : utiliser les hauteurs du triangle IJ). 8 Soit un carré. Soit E le point intérieur au carré tel que E soit un triangle équilatéral. Soit F le point extérieur au carré tel que F soit un triangle équilatéral. ) alculer les mesures des angles E, ÂE et EF ) En déduire que les points, E et F sont alignés. 4 Soit un triangle dont l angle est aigu. est le projeté orthogonal de sur la droite (). est le projeté orthogonal de sur (). est le projeté orthogonal de sur (). Le point se projette orthogonalement en M sur la droite () et en N sur la droite (). émontrer que (MN)//( ). 5 Tracer un triangle non rectangle et mener de la perpendiculaire à () et de la perpendiculaire à (). es deux droites se coupent en. Montrer que appartient au cercle circonscrit au triangle. (Indication : on considérera le cercle de diamètre [].) 6 est un parallélogramme de centre O. Soient I, J, K et L les milieux respectifs des segments [], [], [] et []. Les droites (I) et (L) se coupent en un point 9 Soit un triangle inscrit dans un cercle. H est le point de concours des hauteurs du triangle. est le point diamétralement opposé à dans le cercle. ) éterminer 5 couples de droites perpendiculaires. ) En déduire que le quadrilatère H est un parallélogramme. 0 Sur un cercle de centre O, on marque deux points et tels que (O) soit perpendiculaire à (O). alculer l angle ÂM lorsque M est un point du petit arc. Sur un cercle de centre O et de rayon 4 cm, marquer trois points, et tels que =60. alculer la longueur du petit arc d extrémités et. 40

41 hapitre X : onfiguration planes I 47 O 9 O N O M O J Figure Figure Figure? 76 O 80? O O R I S O Figure 4 Figure 5 Figure 6 Pour la figure, calculer les angles du triangle. 5 Pour la figure 4, calculer les angles et Â. Pour la figure, montrer que ÂM = N. 6 Pour la figure 5, montrer que ÂO = O. 4 Pour la figure, sachant que la distance est égale au rayon du cercle, calculer la mesure des angles ÂI et ÂJ. 7 Pour la figure 6, on sait que les deux cercles sont concentriques. Montrer que ÂR = ĈS. 4

42 hapitre X : onfiguration planes evoir n I Résoudre les équations suivantes : a) x x + (x ) = 0 b) (x + ) = 5 II est un triangle tel que =. est le milieu de [], E est le milieu de [] et F est le milieu de []. Les segments [E] et [F] se coupent au point G. ). émontrer que est un triangle isocèle en. F G ) émontrer que(g) est la médiane issue de du triangle. ) On admet que E = F. E émontrer que G est un triangle isocèle en G. III ans la figure ci-contre, est un triangle équilatéral et son cercle circonscrit. M est un point quelconque du petit arc de cercle. On considère le point I du segment [M] tel que MI = M. Le but de l exercice est de montrer que M + M = M. O I ) Montrer que ÂM = Â En déduire que le triangle MI est équilatéral. ) l aide d une rotation de centre (à préciser), démontrer que M = I. ) onclure. IV M On considère le triangle MNP rectangle en M. On trace la hauteur de ce triangle issue de M. Elle coupe [NP] en H. I et J sont les milieux respectifs de [MN] et [MP]. N H ) Montrer que les triangles MIH et MJH sont des triangles isocèles respectivement en I et en J. I ) Montrer que la droite (IJ) est la médiatrice du segment [MH]. ) En utilisant une symétrie axiale (à préciser), montrer que les droites (HI) et (HJ) sont perpendiculaires. M J P 4

43 hapitre X : onfiguration planes 4

44 hapitre XI : Les vecteurs Simplifier les expressions suivantes : E + E O + O + E. Soient,, et quatre points. onstruire les points E, F et G tels que E = + F = G =. Soit un triangle. On pose = u et = v. ) onstruire, E, F et G tels que : = u + v E = u v F = v G = u + v. ) En utilisant la relation de hasles, exprimer E et FG en fonction de u et v. Que peut-on en conclure? ) Exprimer F et en fonction de u et v. Que représente le point pour le quadrilatère EGF? 4 On considère quatre points,, et non alignés. ) onstruire M et N tels que : M = + N = +. ) émontrer que NM = +. 5 onstruire les points,,,, E et F tels que = et E = F. émontrer que = FE et F = E. 6 Soit un triangle et M le milieu de []. ) onstruire le point symétrique de par rapport à. ) onstruire le point E, image du point M par la translation de vecteur. ) Montrer que E est le milieu de []. 7 Soit un triangle. onstruire les points, E, F et G tels que : = E = F = 4 G =. 5 8 Soit un parallélogramme. onstruire le point F tel que F = + puis le point G tel que G =. émontrer que GF =. 9 Soient et deux points distincts. partir de chacune des relations vectorielles suivantes, exprimer le vecteur M en fonction de puis placer le point M sur la droite (). M = M M + M = 0 M = M 5 M M = 0. 44

45 hapitre XI : Les vecteurs lasse de seconde 0 Soit un triangle. onstruire les points M, N et Q tels que : M = 4 N = N + N Q + Q Q = 0. i et j sont deux vecteurs non colinéaires. On considère les points O, M et N tels que : OM = 5 i + 7 j ON = 5 i j. émontrer que les points O, M et N sont alignés. Soit un triangle. E et F sont les points tels que E = et F =. 4 5 émontrer que les points, E et F sont alignés. Soit un triangle. I et J sont les points tels que I = et J =. émontrer que (I) et (J) sont parallèles. 5 Soit un triangle Placer les points I et J tels que I = et J =. Montrer que J = I et en déduire que les droites (J) et (I) sont parallèles. 6 Soit un triangle. Placer les points et E tels que E = et E =. Montrer que est le milieu de []. 7 Soit un parallélogramme, M et N les points définis par : M = et N =. ) Etablir les relations : N =. M = ) En déduire que les points, M et N sont alignés. 8 Soit un triangle. ) onstruire le point tel que = +. ) émontrer que, et sont alignés. 4 Soit un triangle. Placer les points M, N et P tels que M = M N = N P = P. 6 ) Exprimer M, N et P en fonction de et. ) Montrer que M, N et P sont alignés. 9 Soit un parallélogramme. onstruire les points E, F, G et H tels que E = 4 F = 5 4 G = 4 H = 5. 4 Montrer que EFGH est un parallélogramme. 45

46 hapitre XI : Les vecteurs 0 Soit un triangle, le point E tel que soit le milieu de [E], le point F milieu de [] et le point G tel que G =. ) Montrer que : EG = + EF = +. ) Montrer que E, F et G sont alignés. Soit, et trois points non alignés. ) onstruire le point M tel que : 5 M M + M =. ) onstruire le point N tel que : N = ) Montrer que M, N et sont alignés. Soit un triangle. I, J et K les milieux respectifs des segments [], [] et []. Soit un triangle. a) Placer le point tel que : + + = 0. b) Montrer que pour tout point M, M + M + M = 4 M. c) éterminer l ensemble des points M tels que : M + M + M = 6. d) éterminer l ensemble des points N tels que N + N + N = 4 N. 4 On considère un triangle rectangle en. On donne =5; = et G tel que : G =. 5 4 a) alculer G. b) Soit I le point défini par I + I + I = 0. onstruire I. c) éterminer l ensemble des points du plan tels que M + M + M = 6. On appelle centre de gravité du triangle, le point G vérifiant G + G + G = 0. a) Montrer que : G = I G = J G = K. b) Placer le point G. c) Soit M un point quelconque du plan. Montrer que M + M + M = MG. d) Montrer que G est aussi le centre de gravité du triangle IJK. 46

47 hapitre XII : alculs dans un repère. Vecteurs et distances. ans le plan rapporté au repère orthonormé (O; i; j), placer les points ( ; 4); ( ;); (7 ; ) et ( ; 8). ) alculer les coordonnées des vecteurs et. ) alculer d( ;); d( ;) et d( ;). En déduire que est un triangle rectangle. ) alculer. En déduire la nature du quadrilatère. 4 ) alculer les coordonnées du centre M de. ans le plan rapporté à un repère orthonormé (O; i; j), placer les points ( ;); (;) et ( 4; 4). a) éterminer les coordonnées du point tel que soit un parallélogramme. b) éterminer les coordonnées du point M vérifiant M + M = 4 M. ans chaque cas, est-ce que u et v sont colinéaires? a) u (; 4) et v ( 6 5 ; 8 5 ) b) u (5; ) et v (4; ) c) u = 8 i + 6 j et v = 4 i + j. 4 éterminer x de façon que u et v soient colinéaires. a) u = i j et v = i + x j b) u ( : 5 ) et v ( ; x ) 5 ans un repère orthonormé (O; i; j), soit les points ( ; 0); ( 4; ) et (5 ;). Montrer que, et sont alignés. 6 ans le repère orthonormé (O; i; j), soient les points ( ;0); ( ;0); (0 ;4) et (0 ;6). a) Soit I le milieu de de [] et J le point défini par OI = 7 OJ. alculer les coordonnées des points I et J. b) Montrer que le point J est sur la droite (). 7 G E Sur la figure ci-dessus, on définit le repère (; ; ). a) Quels sont les coordonnées des points,,,, E, F et G dans ce repère? b) Montrer que E, F et G sont alignés. 8 Soit un triangle. I et J sont les points tels que I = et J =. On définit le repère (; ; ). a) Ecrire les coordonnées des points,,, I et J dans ce repère. b) Montrer que les droites (I) et (J) sont parallèles. 9 Soit un triangle. On considère le repère (; ; ). a) éterminer les coordonnées du point vérifiant : = +. b) émontrer que, et sont alignés. 0 Soit un triangle. Soient les points M, N et P tels que M = M N = N P = 6 P. a) Ecrire les coordonnées des points,,, M, N et P dans le repère (; ; ). b) Montrer que M, N et P sont alignés. F 47

48 hapitre XII : alculs dans un repère. Equations de droites Par lecture graphique, donner une équation de chacune des droites dans le repère repère orthonormé (O; i; j). 4 5 j O i 6 Soit la droite d équation : y = x. Est-ce que les points ( ;); (;); (5;) et E(0;0) appartiennent à la droite? Les points (a ;); ( ;b); (c ; 5) et ( ;d) sont sur la droite d équation y = 5x+. alculer a, b, c et d puis tracer la droite. 4 ans le repère orthonormé (O; i; j), tracer les droites suivantes : : y = x : y = x + : y = 4 : x = 5 5 : y = x 6 : y = x. Pour chaque droite, donner le coefficient directeur et l ordonnée à l origine. 5 éterminer une équation cartésienne de la droite () et l écrire sous la forme ax+by=0 avec a) ( ;) et ( ;) b) ( ; ) et ( 4;) c) ( ;) et ( ;). 6 éterminer une équation cartésienne de la droite de coefficient directeur m qui passe par le point pour a) m= et ( ; ) b) m= et ( ; 6 ) éterminer un vecteur directeur u et un point des droites suivantes, puis les tracer. : x + y = 0 : x + y + 5 = 0 : y = x + 4 : x = y 5 : y = 6 : x =. 8 Parmi les droites suivantes, déterminer celles qui sont parallèles ou perpendiculaires. : 6x 4y + = 0 : x y + = 0 : x + y = 0 4 : y = x : y = x 6 : x + y 7 = 0 9 a) éterminer une équation de la droite passant par ( ;) et ( ;5). b) éterminer une équation de la droite passant par (;) et de coefficient directeur. c) éterminer une équation de la droite passant par ( ; ) et E(;4). d) éterminer une équation de la droite 4 passant par E(5;) et F( ;). e) éterminer une équation de la droite 6 passant par G( ;) et parallèle à la droite d équation y = 5 x. f) éterminer une équation de la droite 6 passant par H( ;) est perpendiculaire à la droite d équation y = x +.

49 hapitre XII : alculs dans un repère. 0 Résoudre les systèmes suivants : { x 7y = x y = 4 { x + 5y = x 7y = 9 { x 4y = 0 x 7y 8 = 0 eux café et quatre cocas coûtent 8,80 euros. Trois cafés et deux cocas coûtent 6,80 euros. Quel est le prix d un café? d un coca? La salle de spectacle compte 400 places. Les parterres sont à 8 euros et les balcons sont à 6 euros. Quand le théâtre est plein, la recette est de 6840 euros. ombien y a t-il de places au balcon? au parterre? ) Résoudre le système : { x + y = 76 7x + 9y = 64 ) Une personne achète 76 plants d arbres fruitiers constitués de pommiers à 7 euros le pied et de poiriers à 9 euros le pied. Le montant de la facture s élève à 64 euros. a) Mettre le problème en équation. b) éterminer le nombre d arbres fruitiers de chaque sorte. 4 Pour fêter ses 5 ans, Jean veut offrir à sa femme un bouquet de 5 fleurs, composé d iris et de roses. Un iris coûte euros et une rose coûte euros. Son bouquet lui revient à 86 euros. ombien Jean a t-il acheté d iris et de roses? 5 u théâtre, le prix normal d un billet est de 4 euros. ) ertains spectateurs peuvent bénéficier d une réduction de 0 %. ombien paient-ils leur entrée? ) Un groupe de 5 personnes va au théâtre, certains paient 4 euros et d autres 9, euros. Sachant que pour les 5 entrées, le groupe a payé ,8 euros, trouver le nombre de billets à 4 euros et le nombre de billets à 9, euros. 6 u café, Pierre et ses amis ont commandé cafés et chocolats pour la somme de 6 euros. Paul et ses camarades ont payé 8 euros pour deux cafés et quatre chocolats. Trouver le prix d un café et le prix d un chocolat. 8 Un père a le triple de l âge de son fils. ans 5 ans, l âge du père sera le double de l âge de son fils. Quel est l âge du fils et du père? 9 La somme de deux nombres x et y est 58. En ajoutant 5 à chacun des deux nombres, l un devient le triple de l autre. Quels sont ces deux nombres? 0 Trouver deux nombres x et y connaissant leur différence 5 et la différence de leur carré 75. Un élève a deux notes sur 0 en maths, l une de contrôle notée x et affecté du coefficient, l autre de devoir notée y et affecté du coefficient. On appelle moyenne pondérée le nombre : x + y m = 5 ) alculer la moyenne pondérée de Fabien qui a eu en contrôle et 4 en devoir. ) Joël veut avoir 0 de moyenne pondérée. Il a eu 7 au devoir. Quelle note lui faut-il au contrôle? ) Elsa a eu 4 de moyenne pondérée. Elle s aperçoit qu en intervertissant les notes du devoir et du contrôle, elle obtient une moyenne pondérée de 6. Quelles sont ses notes au devoir et au contrôle?

50 4 ) En intervertissant ses notes de devoir et de contrôle, éatrice trouve deux fois la même moyenne pondérée qui est. Quelles sont ses notes en devoir et en contrôle? 50

51 hapitre XII : alcul dans un repère evoirs evoir n ans un repère orthonormal (O ; i ; j ), on considère les points ( ;); (5 ; ) et (4;6). ) alculer les coordonnées du point M, milieu du segment []. ) Le point est le symétrique du point par rapport à M. alculer les coordonnées du point. ) a) Vérifier par un calcul que les points et appartiennent à la droite d équation y = x +. b) éterminer l équation de la droite (). c) alculer les longueurs M ; M et. d) En déduire que () est perpendiculaire à (). 4 ) Montrer que le quadrilatère est un losange. evoir n ans un repère orthonormal (O ; i ; j ), on donne les points ( ; ; (;) et (7 ;0). ) éterminer les coordonnées du point tel que soit un parallélogramme. ) éterminer l équation de la droite (). ) Vérifier que les points et appartiennent à la droite d équation : y = x +. 4 ) alculer les coordonnéees du point d intersection M des droites () et (). 5 ) éterminer les coordonnées du point G tel que G = M. 6 ) Soit K le milieu du segment []. alculer les coordonnées du point K. evoir n ans un repère orthonormal (O ; i ; j ) : ) Tracer la droite () d équation : y = 0, 5x +. ) La droite () coupe la droite (OI) en et la droite (OJ) en. alculer les coordonnées de et de. ) Par N( ;0), on trace la parallèle à () qui coupe (OJ) en M. éterminer les coordonnées du point M. 4 ) éterminer les coordonnées du point G vérifiant : G G + G = 0 5 ) éterminer les coordonnées du milieu E du segment []. 6 ) Monter qu il existe un réel k tel que G = k E. evoir n 4 ) a) Résoudre le système : { x + y 4 = 0 x y + 5 = 0 b) ans un repère orthonormal (O ; i ; j ), tracer les droites () et ( ) d équation x + y 4 = 0 et x y + 5 = 0. c) Vérifier graphiquement le résultat du ). ) Répondre aux mêmes questions pour le système : { x y = 0 x + 4y = 0 7 ) Montrer que les points, G et K sont alignés. 5

52 hapitre XIII : Triangles isométriques et semblables. est un triangle équilatéral, M, N, P sont des points de [], [], [] tels que M = N = P.. émontrer que les triangles MP, NM et NP sont isométriques deux à deux.. En déduire que MNP est équilatéral. P M N est un carré de centre O, M un point de []. On mène par la perpendiculaire à (M) qui coupe () en P.. a) émontrer que M = ÂP. b) En déduire que les triangles M et P sont isométriques et que M = P.. a) émontrer que les triangles OM et OP sont isométriques. b) En déduire que le triangle POM est rectangle et isocèle. P O M E est un triangle isocèle en. La médiatrice de [] coupe la droite () en. Le point E de la droite () est tel que E =.. émontrer que les triangles et E sont isométriques.. En déduire que le triangle E est isocèle. 4 est un carré, (M) est tangente au cercle ( ) de diamètre [].. émontrer que les triangles O et OM sont isométriques.. émontrer que les triangles MR et R sont isométriques. En déduire la nature du triangle MR. M R O () 5 est un parallélogramme, N un point du segment [] distinct de et. La droite (N) coupe () en M.. émontrer que les triangles N et M sont des triangles semblables.. En déduire que N M =. () 6 () est un cercle de centre O de rayon r, est un triangle inscrit dans () tel que l angle est aigu. H est le projeté orthogonal de sur []. La droite (O) recoupe en.. émontrer que les triangles et H sont semblables.. On pose = c, = b et H = h. éduire de la question précédente que bc = rh. 5 O H

53 hapitre XIII : Triangles isométriques et semblables. 7. Quel théorème permet de montrer que les triangles et E sont semblables (les mesures sont en mm)?. Quel est le rapport des aires de ces deux triangles? =,4 =,05,6 4,8 E 8 eux cercles () et ( ) de centre O et O se coupent en et. Une droite passant par coupe en M et en M. () ( ). a) émontrer que (OO ) est la médiatrice de []. b) En déduire que ÂM = ÂOO.. a) émontrer que les triangles OO et MM sont des triangles semblables. b) En déduire que M M = r r où r et r sont les rayons respectifs de () et ( ). O O 9 ans un repère orthonormé,,,, E, F, G sont les points dont voici les coordonnées : ( 4; 0); (;); (6;6); E(0; 5); F ( ;-4); G( ;-6).. émontrer que les triangles et EFG sont de même forme.. alculer l aire de.. alculer de deux façons différentes l aire de EFG. 0 est un triangle, H le projeté orthogonal de sur [], H = 45, Ĥ = 0 et H = 6 cm. Le cercle de diamètre [H] et de centre O coupe () en et () en E.. a) alculer et. b) Montrer que E = cm.. a) émontrer que ÂHE = ÂE = 60. b) émontrer que et E sont semblables O c) En déduire que 6 4 est le rapport de réduction qui fait passer du triangle au triangle E. E. a) alculer. b) En déduire que E = ( 6 + ) cm. H 4. On note F le point diamétralement opposé à sur. a) émontrer que FE = 75. b) En déduire que sin75 = ( 4 ( + ). 5

54 hapitre XIV : Géométrie de l espace. S S est une pyramide régulière à base carrée. M est le milieu de [S], N est le point de [S] tel que SN = S.. émontrer que les droites (MN) et () sont sécantes.. Placer le point d intersection de (MN) et (). M H N EFGH est un cube. I est le milieu de [].J est le milieu de []. E F G Quel est dans chacun des cas suivants, l intersection des deux plans? Justifier chaque réponse.. Le plan (IE) et le plan (IG).. Le plan (I) et le plan (J).. Le plan (HEF) et le plan (J). J ans un tétraèdre, I est un point de l arête [], J un point de l arête []. Le but de l exercice est de trouver l intersection des plans (J) et (I).. Prouver que chacun des points I et J appartient à la fois aux plans (J) et (I).. Quelle est alors l intersection de ces deux plans. J I 0 I 0 4 On considère un cube EFGH, I est un point de l arête [], J un point de l arête [G].. Montrer que les points I et J appartiennent à la fois aux plans (J) et (GI).. Quelle est l intersection des plans (J) et (GI). 5 est un tétraèdre, I est un point de l arête [] et J un point de l arête []. N est un point du segment [J] et M un point de la demi-droite [I) extérieur au segment [I].. Quelle est l intersection des plans (IJ) et ()?. a) émontrer que les points M, N, I et J sont dans un même plan. b) On note P le point d intersection de la droite (MN) et du plan (). Prouver que P est sur (IJ). E I H N J F J G I M 54

55 hapitre XIV : Géométrie de l espace.. 6 EFGH est un cube. I est le milieu de []. On se propose de représenter la droite, intersection des plans (FI) et (EFG).. Pourquoi F appartient-il à?. Quelle est l intersection des plans (IF) et ()?. Que sait-on sur les plans () et (EFG)? En déduire la droite. 4. Tracer puis tracer la section du cube par le plan (IF). E H I F J G 7 Soit un tétraèdre, I est le milieu de [] et J un point de la face (autre que ).. onstruire l intersection du plan (IJ) avec le plan (). I. Le plan (IJ) est-il toujours sécant au plan ()? onstruire l intersection des plans (IJ) et (). 8 Soit un tétraèdre, I est le milieu de [], J le milieu de [] et K le point du segment [] tel que K =. I S J K. Les droites (I) et (J) se coupent en S. Que représente le point S pour le triangle?. onstruire l intersection des plans (S) et ().. éterminer l intersection de la droite (IK) avec le plan (). 9 I et J sont les milieux des arêtes [EH] et [EF] du parallélépipède rectangle EFGH. Les droites (I) et (H) se coupent en M. Les droites (J) et (F) se coupent en N. émontrer que les droites (IJ) et (MN) sont parallèles. H M I E J G F N 55

56 hapitre XIV : Géométrie de l espace.. 0 est un tétraèdre. I est le milieu de [], J celui de [], K celui de [], L celui de [].. émontrer que les droites (IL) et (JK) sont parallèles et que les droites (IJ) et (KL) sont parallèles.. Quelle est la nature du quadrilatère IJKL? I J H L K G EFGH est un cube. M est un point de l arête []. Le plan (FHM) coupe () en P. émontrer que les droites (FH) et (MP) sont parallèles. E P M F S est une pyramide de sommet S ; la base est un parallélogramme. M est un point de l arête [S] et N de l arête [S] ; de plus (MN) est parallèle à ().. émontrer que les droites () et (MN) sont parallèles.. ans le plan (MN), les droites (N) et (M) se coupent en un point noté P. a) émontrer que le point P appartient à chacun des plans (S) et (S). b) Pourquoi la droite d intersection des plans (S) et (S) est-elle la droite (SP)? c) En déduire que (SP) est parallèle à () et à (). S N M P S est une pyramide régulière à base carrée ; O est le centre de. (SO) est donc la hauteur de la pyramide. I est le milieu de l arête []. S. émontrer que (SO) est orthogonale à la droite ().. En déduire que () est orthogonale au plan (SOI). O I 56

57 hapitre XIV : Géométrie de l espace.. 4 EFGH est un cube, = 4 cm. O est le centre du carré EFGH.. Prouver que la droite (O) est l intersection des plans (EG) et (HF).. a) essiner en vraie grandeur le rectangle HF, placer O. E H O F G b) En calculant tan ĤO et tan Ĥ, prouver que (H) et (O) sont perpendiculaires.. a) émontrer que (H) est orthogonale à (EG). b) En déduire que (EG) est orthogonale au plan (HF), puis à (H). 4. émontrer que (H) est orthogonale au plan (EG). 5 Les faces, et de cette pyramide sont des triangles rectangles et isocèles en et = cm. alculer le volume V de cette pyramide. cm 6 est un tétraèdre régulier, I est le milieu de []. On trace les segments [I] et [I]. émontrer que les droites () et () sont orthogonales. I 7 est un tétraèdre. M est le point de [] tel que M =, N est le point de [] tel que N = et P le milieu de []. 4. émontrer que (MN) coupe (), que (NP) coupe () et que (MP) coupe ().. On note I, J, K, ces points d intersection. émontrer que ces trois points sont alignés. M N P 57

58 hapitre XIV : Géométrie de l espace.. 8 ans ce pavé, I est le milieu de l arête []. onstruire la trace du plan (IEG) sur le pavé. Quelle est nature du polygone obtenu? 9 S est un tétraèdre. La droite (S) est orthogonale au plan () et le triangle est rectangle en.. a) émontrer que () et (S) sont orthogonales. b) émontrer que le triangle S est rectangle en.. H est un point de l arête [] ; on trace par H le plan (P) orthogonal à (). e plan coupe () en I, (S) en J et (S) en K. a) émontrer que les droites (HI) et () sont parallèles. b) En déduire que les droites (HI) et (KJ) sont parallèles. c) émontrer que les droites (KH) et (S) sont parallèles. d) En déduire que les droites (HK) et (IJ) sont parallèles. e) émontrer que HIJK est un rectangle. E F K H I S H J I G. On suppose à présent que = et que S = =. On pose H = x. a) émontrer, en utilisant le théorème de Thalès dans le triangle, que HI = x. b) émontrer, en utilisant le théorème de Thalès dans le triangle S, que HK =( x). c) alculer l aire du rectangle HIJK en fonction de x. On note (x) cette aire. 4. a) émontrer que 4x( x) = ( x). b) Pour quelle valeur de x l aire (x) est-elle maximale? Quelle est alors la position du point H sur []. Quelle est alors la nature du quadrilatère HIJK? 58

59 Révisions n Exercice n Ecrire sous forme scientifique : = =0,000 4 = 0 ( ) 0 5 Exercice n Ecrire le plus simplement possible : = E= 4 5 F= Exercice n Résoudre l équations et l inéquations suivantes : 5(x ) = 4x + 4x + ( x) (x + 5) 0 x( + x) Exercice n 4 ) alculer : = + 6 ) Résoudre graphiquement : x = 5 x 5 5 x + Exercice n 5 Sur la figure ci-contre, la fonction f(x) est représentée en vert et la fonction g(x) en rouge. L unité est le carreau. ) a) Quelle est l image de 0 par f? b) Quel est l antécédant de par g? ) Tracer le tableau de variation de la fonction f. ) Résoudre graphiquement : f(x)= f(x) 0 f(x)=g(x) f(x) g(x). 59

60 Exercice n 6 Soit un triangle rectangle en tel que =6 cm et = cm. E est un point du segment [] distinct de et de. On pose E=x. La parallèle à la droite () passant par E coupe la droite () en F. La parallèle à la droite () passant par F coupe la droite () en G. ) Montrer que EFG est un rectangle. ) Ecrire la longueur G en fonction de x. ) éterminer l aire (x) du rectangle en fonction de x. La fonction (x) est représentée ci-contre. En abscisse, un carreau représente cm. En ordonnée, un carreau représente cm 4 ) En utilisant la courbe, répondre aux questions suivantes : a) Quelles sont les valeurs de x pour lesquelles l aire du rectangle est égale à 0? b) Quel est l axe de symétrie de cette courbe? c) Quelles est la valeur maximale de l aire du rectangle EFG? Où se trouve le point E correspondant? Exercice n 7 est un triangle tel que =. est le milieu de []. E est le milieu de [] et F est le milieu de []. Les segments [E] et [F] se coupent au point G. ) émontrer que est un triangle isocèle en. ) émontrerque (G) est la médiane issue de du triangle. ) Montrer que E=F. 4 ) émontrer que G est un triangle isocèle en G. F G E 60

61 Révisions pour le devoir commun de Pâques ) Représenter graphiquement la fonction carré définie par f(x) = x. ) ompléter : si 0 x alors... x... si < x < 0 alors... < x <... si x alors.. x... ) Résoudre dans R : a) x = 4 b) x + = 0 c) x < 4 d) x 9 )Représenter graphiquement la fonction inverse définie par g(x) = x ) ompléter : si x < alors... < x <... si x alors... x... ) Résoudre dansr : a) x = b) x c) x Résoudre l inéquation : (x )(x + ) ( x + )(x + ) 0 4 ans un repère (O ; i ; j ), on donne les points ( ; 5), (4 ; ), ( 5; ) et ( ; 6).. alculer les coordonnées des vecteurs, et.. Que peut-on dire des droites () et ()?. Le point K est tel que K = +. 4 éterminer les coordonnées du point K. 4. éterminer les coordonnées du point I milieu du segment []. 5. émontrer que les points I, K et sont alignés. 5 est un triangle. Les points N et P sont tels que : N = et P = Faire une figure et placer les points N et P.. a) Exprimer P en fonction de et de. b) En déduire qu il existe un réel k tel que P = k N. c) Que peut-on conclure? 6 f est une fonction affine telle que f() = et f( ) = 4.. Exprimer f(x) en fonction de x.. Sans effectuer la représentation graphique de la fonction f, donner, en justifiant, le sens de variation de f.. alculer f( ). 4. Résoudre l inéquation f(x)=. 6

62 Révisions pour le devoir commun de Pâques 7 L unité de longueur est le cm et l unité d aire est le cm. E est un triangle isocèle en tel que = 5. H est le pied de la hauteur issue de du triangle. On pose H = x. E est un rectangle tel que = 5 et E = x. x x 5. Exprimer en fonction de x l aire f(x) du triangle et l aire g(x) du rectangle E.. Tracer dans un repère les courbes représentatives des fonction f et g. (les calculs devront figurer sur la copie.). Trouver la hauteur H pour laquelle le triangle et le rectangle E ont la même aire. On traitera cette question graphiquement et algébriquement. 8 (4) () () O () Voici les représentations graphiques des fonctions : ttribuer sa courbe à chaque fonction. f : x x g : x (x + ) h : x x l : x 6

63 Révisions pour le devoir commun de Pâques 9 Soit la fonction f définie sur R par f : x 5x 5x + 6. ) alculer les images de 0 et de. ) éterminer les antécédants de 6 et de 4. 0 ) Résoudre graphiquement f(x)=g(x) et f(x) g(x). ) ompléter : si a b 5 alors f(a)...f(b)... 4 car f est...sur... ) Montrer que f(x) = (x 5 ) 4. 4 ) Quel est le minimum de la fonction f? Pour quelle valeur est-il atteint? 5 ) Tracer la courbe de f. 6 ) En déduire le tableau de variation de f. 7 ) Retrouver graphiquement les résultats du ) et du ). 8 ) Résoudre graphiquement puis par le calcul l équation f(x) = 0. 9 ) Tracer la courbe de la fonction g : x x ans un repère (O; i; j), placer les points ( ;5); (;); ( ;) et ( ; 4) a) éterminer la fonction f dont la courbe représentative est la droite (). b) éterminer la fonction g dont la courbe représentative est la droite (). c) éterminer les coordonnées du point d intersection des droites () et (). d) En déduire la solutionde l équation f(x)=g(x). e) Résoudre par le calcul l inéquation f(x) g(x). ans la figure ci-contre,,, et sont cocycliques. On a : I=,5 = I=,5 =6,. ) Montrer que les triangles I et I sont semblables. I O ) alculer les longueurs des côtés du triangle I. Tracer un triangle isocèle et rectangle en. Soit M un point du segment []. La parallèle à la droite () passant par M coupe [] en P. La parallèle à la droite () passant par M coupe [] en N. Soit I le milieu de []. 6 a) Montrer que I=I. b) Montrer que NMP est un rectangle. c) Montrer que NM=N puis que N=P. d) Montrer que ĈI =45 et que  ==45. e) Que peut-on en déduire pour les triangles IP et NI? f) Montrer que NI=IP. g) Montrer que N IP ==90.