Axe MSA Bilan scientifique et perspectives. ENSM.SE L. Carraro - 17 décembre 07

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Ernest Lafontaine
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2 17 décembre 07 2 Plan Compétences acquises domaines scientifiques compétences transverses Domaines ou activités accessibles : immédiatement au prix d adaptations faciles via des efforts conséquents Conclusion

3 17 décembre 07 3 Cartographie (domaines scientifiques) spatial Complexité croissante temporel monodim multidim linéaire multidim non linéaire statique

4 17 décembre 07 4 Cartographie (domaines scientifiques) spatial séries chros processus temporel monodim Cours 1A projet statique multidim régression linéaire plans exp. anal. données multidim non linéaire

5 17 décembre 07 5 Cartographie Compétences transverses Questionnement sur un problème Compréhension Prise en compte du contexte, des contraintes Rapport coût/qualité Communication écrite orale Travail en groupe

6 17 décembre 07 Domaines ou activités 6 accessibles immédiatement Etudes de données expérimentales laboratoires (industrie, santé ) mise en évidence de facteurs importants service qualité Prévisions prévisions de vente ou de consommation finance, assurances prévisions de coûts

7 17 décembre 07 Domaines ou activités 7 accessibles immédiatement Aide à la décision construction d indicateurs probabilisation de décisions sociétés de conseil (finance, risques ) Appui méthodologique à un autre domaine mécanique, matériaux procédés, environnement santé

8 17 décembre 07 Domaines ou activités 8 accessibles facilement Statistical Process Control. Traitement statistique du signal. Séries temporelles multidimensionnelles, économétrie. Régression non linéaire. Méthodes non paramétriques en petite dimension.

9 17 décembre 07 9 géostatistique linéaire spatial analyse d images séries chros monodim calcul processus stochastique processus, champs de Markov Cours 1A statique Aller plus loin? temporel traitement du signal - filtrage géostatistique non linéaire compression, ondelettes multidim régression linéaire plans exp. anal. données Apprentissage statistique : réseaux multidim de neurones support non vector linéaire machines bagging, boosting

10 17 décembre géostatistique linéaire spatial analyse d images séries chros monodim calcul processus stochastique processus, champs de Markov Cours 1A statique Aller plus loin? temporel traitement du signal - filtrage géostatistique non linéaire compression, ondelettes multidim régression linéaire plans exp. anal. données Apprentissage statistique : réseaux multidim de neurones support non vector linéaire machines bagging, boosting

11 17 décembre 07 Filtrage de Kalman 11 et modèles d état! Modèle d état : X n = F X n"1 + G# n équation d état Y n = H X n + F n équation d observation Y n : vecteur p*1 observé au temps n X n : vecteur q*1 décrivant le système au temps n E n, F n : vecteurs de résidus aléatoires Modèle discret d équation différentielle bruitée, avec mesure.

12 17 décembre Cas d un ARMA(2,1)!! x n " # 1 x n"1 " # 2 x n"2 = $ n " % 1 $ n"1 # X n = % $ x n x n"1 & # (, E n = ) n % ' $ ) n"1 & (, Y n = x n ' # X n = " 1 " 2 & # % ( X $ 1 0 n)1 + 1 )* & 1 % ( E ' $ 0 0 n ' [ ] X n Y n = 1 0!

13 17 décembre Problèmes traités Filtrage : E(X n /Y 1,,Y n ) =? Prévision : E(X n+h /Y 1,,Y n ) =? Var(X n+h /Y 1,,Y n ) =? Loi de X n+h /Y 1,,Y n ) =? Algorithme de Kalman, valable en temps continu (ED stochastiques), non stationnaire. Applications innombrables aux pbs temps réel (cf. aéronautique) Vers le contrôle

14 17 décembre Géostatistique Historique : exploitation minière (or) D. Krige, G. Matheron Modélisation de phénomènes spatiaux : Géométrie en 2D ou 3D (ou ND!) Observations non régulières Observation d une fonction y(x) en certains points x de l espace. Objectif = prévoir y(x) pour des x non observés ou inobservables.

15 17 décembre Modèle probabiliste y(x) est supposé être la réalisation d un processus gaussien Y(x) tel que : [ ] = m E Y(x) [( ) 2 ] = 2#(h) E Y(x + h) " Y(x) γ est le (demi-) variogramme du processus! Si Var(Y(x)) = σ 2 : cov(y(x),y(x + h)) = " 2 # $(h)!

16 17 décembre Lien variogramme-processus

17 17 décembre Simulations en 2D

18 17 décembre Simulations en 2D

19 17 décembre Applications Tous les domaines qui mettent en œuvre des variables spatiales non totalement accessibles : Mines, pétrole, gaz Environnement Halieutique Computer experiments

20 17 décembre 07 Estimation de la longueur 20 moyenne du hareng écossais

21 17 décembre Carte au toit d un champ pétrolier

22 17 décembre Vers l apprentissage statistique Arbres de régression : Principe : Première séparation : Parmi tous les prédicteurs et tous les niveaux, trouver ceux qui séparent la réponse en deux groupes les plus hétérogènes (déviance) Séparations suivantes : Recommencer dans chaque sous-groupe Elagage de l arbre Remonter dans l arbre et couper les branches homogènes.

23 17 décembre Exemple : données de spam 1 réponse qualitative : spam ou pas spam 57 prédicteurs : fréquence d apparition de caractères ou de mots observations NB : X. = ; X..3=! X..1=( X..2=[ X..4=$ X..5=#

24 17 décembre Arbre avant élagage

25 17 décembre 07 Arbre après élagage 25

26 17 décembre 07 Problèmes de stabilité 26

27 17 décembre Modèles de ruine Origine : assurances sinistres, conception de barrages, fils d attentes Réserve de risque Z(t)au temps t : Z(t) = x + βt - X(t) x = capital initial β = taux (constant) de primes d assurances entrantes X(t) = montant des sinistres cumulé au temps t X(t) = N " t X k k=1

28 17 décembre Hypothèses et premiers éléments (N t ) t est un processus de Poisson homogène d intensité λ Les variables X k sont i.i.d. d espérance µ!! E(X(t) /N t ) = µn t Et par suite : E(Z(t)) = x + "t # $µt Donc on doit avoir " > #µ!

29 17 décembre Vers la théorie de la ruine Explicitation du lien entre x et P(T<+ ) T = instant de ruine = Inf{t, Z(t)<0} Difficulté du problème : Théorique (voir martingales) Numérique (processus à sauts) Introduction de la réassurance

30 17 décembre Conclusion Axe MSA = des bases solides Compléments méthodologiques : option maths applis finance, assurance autres Compléments applicatifs : tous domaines

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