RUGOSIMETRE TRIDIMENSIONNEL à GRANDE VITESSE I ETUDE FONCTIONNELLE DU SYSTEME «RUGOSIMETRE «3D»

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1 Mines-Ponts MP 26 (coigé) RUGOSIMETRE TRIDIMESIOE à GRADE VITESSE I ETUDE FOCTIOEE DU SYSTEME «RUGOSIMETRE «D» Question n (dix minutes): Popose une analyse fonctionnelle pa diagamme SADT de l ensemble du système «pototype de ugosimète 2D». Indique le niveau «A-» (A moins zéo) pésentant la fonction globale, puis le niveau «A» détaillant ses sous fonctions. On évitea les confusions ente entées, moyens et contôles. On fea claiement appaaîte les boucles d assevissement et l élaboation finale de l estimation de la gandeu physique mesuée..a : Actigamme A- Consignes Énegie (E) Suface éelle Mesue l état de suface d une pièce mécanique Rugosimète Infomations Suface estimée z (x,y).b : Actigamme (A.) la tête optique mesue la distance ente point focal PF et pofil éel de la pièce. Ce capteu, de faible amplitude de lectue (2 m), pemet une mesue apide des hautes féquences spatiales (vaiations apides) des pofils ugosimétiques mesués ; un assevissement mécanique vetical à gande amplitude (envion mm) pemet à la tête optique de suive les moyennes et basses féquences spatiales (vaiations plus lentes) des pofils. e déplacement vetical du capteu optique est assué pa une Unité de Rotation (U.R.) potée pa le coulisseau (2) lui-même déplacé pa l Unité de Tanslation (U.T.). /7

2 Mines-Ponts MP 26 (coigé) Un second capteu donne la position veticale de la tête optique et donc la position éelle du PF. le pilotage en altitude du PF se fait su une consigne égale à la position moyenne du pofil de ugosité. e pofil complet sea obtenu pa la somme des signaux founis pa les deux capteus. 2/7

3 Mines-Ponts MP 26 (coigé) /7

4 Mines-Ponts MP 26 (coigé) Consignes Énegie (E) Gée le fonctionnement Commande de position du PF (z c ) Infomations Suface éelle Patie commande Position du PF Position du PF églée Déplace le point focal UR + UT + capteu (E) (E) Mesue de la distance z Mesue la distance du point focal à la suface Mesue de la position du PF (z p ) (E) Reconstuie la suface Unité de taitement des données Suface estimée z (x,y) Tête optique II SIMUATIO DE A REPOSE DU CAPTEUR OPTIQUE Question n 2 (quinze minutes): Indique en fonction de (x, y, z, R e, R, α) si S appatient d une pat au cylinde du faisceau d émission et d aute pat à l un des deux demis-cylindes de éception. 2.a : e point S appatient au cylinde du faisceau d émission d axe (,e) si Soit e F B S R e sin α cos α x y= z B B y.cos α x.cos α z.sin α y.sin α Soit : ( y.cos α) ² + ( x.cos α z.sin α) ² + ( y.sin α) ² R ² ( x.cos z.sin α) ² + y² R ² e e F ( e unitaie) α Équation 4/7

5 Mines-Ponts MP 26 (coigé) 2.b : e point S appatient à l un des demis-cylindes du faisceau de éception d axe ( F, ) Soit B ( unitaie) si F S R sin α cos α x y= z B B y.cos α x.cos α + z.sin α y.sin α Soit : ( y.cos α) ² + ( x.cos α + z.sin α) ² + ( y.sin α) ² R ² ( x.cos + z.sin α) ² + y² R ² α Équation 2 III SIMUATIO DE A SURFACE RUGUEUSE Question n (quinze minutes): A quel ode minimal min doit-on calcule W pou que l eeu δr a commise su le R a soit inféieue à une bone fixée, notée ici δ? Equation - : Ra = W(x). dx x = Equation -4 : ( Ra ) = W(x). dx x = Equation -5 : δr a = R a ( R a ) δr δr a a =. W(x).dx W(x).dx =. x= x= x = W(x) W(x).dx. x= x = W(x) W ( W(x) W (x) ). k= + (x). dx k k Equation -2 : W(x) W (x) = e (x) = a.cos( b. x) δr δr a a soit. a a δr a x= k= + + k.cos b ca a ], [ + a δ a k k k k (.x).dx. a.cos( b.x).dx. a.dx. k= + x= ( ) a a + δ. ( a) ( +.ln ) ( a ) ln δ. ( a ) ln( δ. ( a) ) ln( δ. ( a) ) ca ln( a) < ln( a) ( ) min = E ln a dx k= + x= k= + k a. IV MISE E EQUATIO DU RUGOSIMETRE Question n 4 (quaante minutes) : Détemine deux équations difféentielles sans aute paamétage géométique que (x, ), pa l application de pincipes, théoèmes et méthodes laissés à l initiative du candidat. Constate que ces équations sont non-linéaies, et 5/7

6 Mines-Ponts MP 26 (coigé) couplées (c est-à-die qu elles ne sont pas éductibles à deux équations à une seule vaiable chacune). Gaphe des liaisons : C x Pivot ( O,x ) Glissièe x 2 Hélicoïdale ( O, x ) P poids x x z ( C + C ) y Pivot ( P, y ) P poids Figue de calcul z. isolons S={} : Bilan d actions mécaniques su S={} : X2 2 { I (2 } = Y2 fθ& pivot de coefficient de fottement visqueux f Z P 2 M 2 B { I( M } = moteu M Cy { I( essot } = C y essot d équilibage C = k. ( θ + θ ) mgz m.gz { I(poids } = = m.g..cos θy G Théoème du moment dynamique en (P) en pojection su ( y ) : M(P, ext ).y = δ ( / ). P y Calcul du moment dynamique en P : σp ( / ) = σg ( / ) + mpg V(G, / ) V(G, / ) = V(P, / ) + Ω( / ) PG = xx & V(G + θy x, / ) xx. z P & P poids & = & θ Équation 6/7

7 Mines-Ponts MP 26 (coigé) σ G G ( / ) = [ I (G )]. A Ω( / ) = F E F B D E D C B. θ& σ ( / ) = F. θ& x + B. θ& y D. θ& z Équation 4 σ P P ( / ) = F. θ& x + B. θ& y D. θ& z + mx ( xx &. θ& z ) ( B. θ & + m. ( x& sin θ +. θ& ) y D. θ& z σ ( / ) = F. θ& x + Équation 5 δ P ( / ).y dσ = P ( / ) dt.y + m ( V(P / ) V(G, / ) ). y ( σ ) σ d P ( / ) d P ( / ).y.y = = B. && θ m.. & dt dt B (&& x.sin θ + x. & θ& cos θ. & θ) ( V(P / ) V(G, / ) ).y = m ( xx & ( xx &. θ& z ).y = m.. θ&.x. & cos θ m δ / ).y = B. && θ m.. (&& x.sin θ + x. & θ& cos θ. && θ) + m.. θ&.x. & cos θ = B. && θ m..x. && sin θ + m.².&& θ P ( e théoème du moment dynamique s écit donc : C k.( θ + θ ) f. θ & + m.g.. cos θ = B. && θ m..x. && sin θ + m. ². & θ Soit.&& θ m..x. && sin θ + f. θ & + k.( θ + θ ) + m.².&& θ = C + m.g.. cos θ B À l équilibe (θ= et C =), on a. θ m.g. Équation 6 k = D où : ( + m.² ). θ& m..x. && sin θ + f. θ & + k. θ = C + m.g.. ( cos θ ) & Équation 7 B 2. isolons S={2+} : Bilan d actions mécaniques su S={2+} : Il y a une eeu d énoncé le moment des actions de su 2 doit ête + f4. &ϕ. x ) p X.X2 + f4. ϕ& 2 2 π = Y2 M2 hélicoïdale de coefficient de fottement Z2 2 ( x,y i, z i ) visqueux f 4, pas à doite { I( 2} 2 ( x,y, ) { I( 2} = Y M glissièe de coefficient de fottement visqueux f 2 f2.x& 2 Z2 2 2 i zi 7/7

8 Mines-Ponts MP 26 (coigé) mgz m.gz { I(poids } = = m.g..cos θy G P m2gz { I(poids 2} = G 2 e théoème de la ésultante dynamique en pojection su x pemet de détemine X 2. F( ext 2 + ).x = ( m2a(g 2,2 / ) + ma(g, / ) ). x a(g 2,2 / ) = a(p,2 / ) = && xx (Solide en tanslation) a(g, / ) = && xx. && θz θ& ² x d apès Equation. X f.x& = ( m + m )&& xx m. && θz m θ& ²x. ( 2 ) 2 2 x ( m + m )&& x m. && θ sin θ m θ& ² θ = f.x& + cos Équation 8 X Système isolé : S = {} Bilan d actions mécaniques su S={} : p X.X2 f4. ϕ& 2 2 π { I(2 } = Y2 M2 hélicoïdale de coefficient de fottement Z2 2 ( x,y i, z i ) visqueux f 4, pas à doite X f. ϕ& { I( } = Y M pivot de coefficient de fottement visqueux f Z ( x,yi, zi ) mgz { I(poids } = G { I( M } = Cx e théoème du moment dynamique en en pojection su x pemet de détemine C en fonction de X 2. M(, ext ).x = δ (/ ). x δ ( / ).x = Jϕ& (Solide en otation autou d un axe fixe) ϕ ( ( )) & p C f. + OG mgz.x + X2 f4. ϕ & = J ϕ& 2π p Avec ϕ&. = x& 2π p 2π 2 X f f. x& π = J && Équation 9 2π p p C Soit ( ) x es équations 8 et 9 donnent : 8/7

9 Mines-Ponts MP 26 (coigé) 2π p 2π ( ) p p f + f..x& f. x& J + ( m + m )..x && + m... (&& θ.sin θ + θ& ². θ) = cos p 2π p 2π 2π Eeu! Souce du envoi intouvable.équation C Equation 7 et équation foment un système de deux équations difféentielles couplées, non linéaies, d inconnues (x,θ). V COMMADE DE A TETE OPTIQUE : AAYSE PREVISIOEE Question n 5 (quaante minutes) : Justifie le choix d une linéaisation de θ au voisinage de. e bon fonctionnement du capteu optique nécessite que sa position soit quasihoizontale. De plus, duant le fonctionnement du ugosimète, θ este petit. a linéaisation pemet de modélise le mécanisme pa utilisation des tansfomées de aplace. En tenant compte des hypothèses du début du $5, monte que l une des équations déteminées à la question 4 se éduit à la fome C = J.& θ + f. θ & + k. θ, puis emplace la fome généale de H ot donnée dans l équation 5-, pa sa valeu en fonction des données du $4. e solide 2 tanslate à vitesse constante soit x & = cte. équation 7 devient : ( B + m.² ). & θ + f. θ & + k. θ = C + m.g.. ( cos θ ) puis comme θ petit : ( B + m.² ). && θ + f. θ & + k. θ = C On obtient donc : H ot ( p) = ( p) J.p² + f.p + k θ (p) = avec J B m. ² C = + Équation 9/7

10 Mines-Ponts MP 26 (coigé) Compléte le schéma bloc de la figue : place le capteu inductif (de gain K ind ) et faie appaaîte le signal que l on cheche à mesue : la coodonnée Z est de la position estimée du pofil éel pa appot à F. Adaptateu H =/K opt H 2 =K ba /K ind H Z po - Z foc Adaptateu + + Z est K ind H 2 Z foc Capteu inductif es données du sujet indiquent ici que l angle du bas est assevi pa appot à la consigne Z po. Expime la FTBF globale, notée H BF, en fonction des blocs de la figue, puis expime en fonction de H BF la éponse θ à une entée simulée pa W défini au $. H BF θ(p) K (p) = = Z (p) + K po θ( p) = HBF (p).w(p) opt opt.h.h co k k avec (x) = a.cos( b. x) k= co (p).k (p).k mot mot W avec x = V.t k k soit (t) = a.cos( b.v. t) d où W et donc θ(p) = H k= BF (p). k a. p² k= + p k ( b ).V ².K.K ot ot.k bas W (p) = k a. p² k= + p k ( b ) Die, sans développe les calculs, comment pévoi si le système sea capable de suive à vitesse constante v un pofil W..V ² Une étude féquentielle du gain de H BF (jω) pou este suffisant dans la plage ω ],b.v[ ω = b k. V pemet de savoi si le gain /7

11 Mines-Ponts MP 26 (coigé) VI COMMADE DE A TETE OPTIQUE : IDETIFICATIO ET REGAGE Question n 6 (quaante minutes) : Déduie des ésultats expéimentaux de la figue 2 et de la figue, les valeus numéiques des paamètes de H ot donnés dans l équation 5- ainsi qu une paticulaité impotante de la fonction de tansfet du coecteu H co. K ot Hot (p) = 2. ξ équation 5- +.p + p² ωn ωn ² On obseve une éponse oscillatoie amotie essemblant à celle d un second ode de coefficient d amotissement <. a éponse indicielle figue 2 donne les dépassements D i suivants : n du D D 2 D D 4 dépassement amplitude % 42% 6% 5% temps (s),2,24,5,46 ERREUR SUR UITE DU TEMPS (en ms) /7

12 Mines-Ponts MP 26 (coigé) D D D2 D4 Soit D 2 > D, ce qui n est pas le cas dans la éponse indicielle du second ode. En admettant qu il s agisse cependant d un second ode (en négligeant les autes modes éventuels et les non linéaités pésentes dans l équation 7), on détemine les caactéistiques (K ot,, n ) : Z foc Z foc K ot : pa la valeu asymptotique finale : K ot.k mot.k opt.k bas = : Z Z Ici l échelon entée Z po est d amplitude 8 mm et la éponse est en égime 24 pemanent 24 mm soit K ot = =,2 ad /(.m ) 8..,5.,5 ξ : pa l amplitude des dépassements. es difféents dépassements ont pou amplitude D i = e % i. π. ξ ξ ² n du D D 2 D D 4 dépassement amplitude % 42% 6% 5% ξ,5.4,9,5 es deux pemies dépassements sont modifiés pa la pésence d autes modes. On peut appoxime ici le coefficient d amotissement pa : po po 2/7

13 Mines-Ponts MP 26 (coigé) ξ,2 n pa l amplitude de la pseudo-péiode : On a une pseudo-péiode de 22,5 ms. 2π En utilisant T = on touve ω n = 285 ad / s ω. ξ² n a éponse hamonique indique que le système est de classe (pente à -2 db/décade et phase à -π/2 pou les petites pulsations), d où la pésence d un intégateu dans le coecteu. Quelle est la conséquence de cette paticulaité su le fonctionnement? a pésence de cette intégation pemet : D avoi une eeu de position nulle en éponse à un échelon. D annule l eeu ε pet due à une petubation constante, puisque l intégation se situe en amont de cette petubation. a éponse hamonique expéimentale est-elle confome au modèle théoique du $5? Au-delà de 56 Hz envion (soit 5 ad/s), la éponse expéimentale ne coespond pas. K ot Hbo,théoique (p) = K opt.h co (p).k mot. 2ξ p² + p + ωn ωn ² Pou les gandes pulsations, avec un coecteu P.I., la phase devait tende ves -8 et le gain décoîte à -4 db/décade. Popose un églage de gain statique en boucle ouvete pemettant d obteni une mage de phase de π/4, en expliquant son choix pa un schéma. Gaphiquement, on détemine ω 5 = 6 Hz = 226 ad / s Puis HdB ( ω 5 ) = 5dB Pou une mage de phase de 45, il faut ( ) db 5 2 Soit logK p = HdB ω 5 = K p = soit K p = 5, 6 /7

14 Mines-Ponts MP 26 (coigé) ω -5-5 db ω -5-5 Quelle conséquence ce églage aua-t-il su la pécision, la apidité et la stabilité du système? Pécision : Compte tenu de la classe α =, l eeu statique est nulle et l eeu de taînage est constante = /K BO e églage de K p n a donc aucun effet su l eeu statique, pa conte il diminue l eeu de taînage. Stabilité : 4/7

15 Mines-Ponts MP 26 (coigé) a mage de phase est plus faible avec le nouveau gain K P. Quant à la mage de gain : initialement de 7 db, elle sea donc de 2 db seulement, ce qui est insuffisant. 5/7

16 Mines-Ponts MP 26 (coigé) ω -5 ω -8-5 db -7 db 2.logKp = 5dB ω -5 ω Rapidité : e système sea pobablement tès oscillant compte tenu de la mage de gain (il l est déjà sans coecteu). amplitude des oscillations augmentant, le temps de éponse augmentea lui aussi. 6/7

17 Mines-Ponts MP 26 (coigé) Remaque : es sujets PSI et MP, bien que taitant du même suppot, modélisent le système difféemment. Bizae e sujet PSI indique quant à lui une stuctue d assevissement où la consigne est le pofil moyen : 7/7