PSI Bizeux Ch. T4 : Phénomènes de diffusion - 36 - Etude de deux phénomènes de diffusion : LA DIFFUSION THERMIQUE & LA DIFFUSION de PARTICULES 1. LA DIFFUSION : UN MODE DE TRANSFERT SANS MOUVEMENT MACROSCOPIQUE 1.1. Les difféents modes de tansfet de la chaleu Comme nous l avons évoqué dans le pemie chapite, les tansfets themiques peuvent se faie selon 3 modes : pa conduction themique, pa convection ou pa ayonnement. Le tansfet themique pa diffusion peut avoi lieu même à taves des milieux matéiels macoscopiquement immobiles : un tisonnie dont une extémité plonge dans un feu, voit pogessivement sa tempéatue augmente du fait des échanges themiques pa conduction tout le long de la bae. L explication vient du mouvement d agitation themique des paticules qui composent le solide, mouvement qui se popage de poche en poche. Dans le cas de la convection, les tansfets themiques se font pa l intemédiaie d un fluide calopoteu : ce fluide, au contact d une zone «chaude» peut ecevoi de la chaleu. En se déplaçant pa des mouvements macoscopiques, ce fluide poua ensuite céde de la chaleu à des zones «foides». Ce mode de tansfet themique est beaucoup plus apide que le pécédent et pemet la themalisation apide des fluides. Dans ces fluides, les phénomènes de conduction sont souvent masqués pa les phénomènes de convection. Dans le cas des tansfets pa ayonnement, aucun suppot matéiel n est nécessaie : le Soleil échauffe note planète alos que le vide les sépae.tout cops «chaud» émet un ayonnement électomagnétique qui tanspote de l énegie susceptible d échauffe le cops qui le eçoit. 1.2. Homogénéisation : couants de diffusion Les phénomènes de diffusion se manifestent losque, dans un milieu donné, existe une inhomogénéité : de tempéatue T dans le cas de la diffusion themique, de densité paticulaie n dans le cas de la diffusion de paticules. Il se cée alos un couant themique (esp. de paticules) qui tend à unifomise cette gandeu intensive même en l absence de mouvement macoscopique du milieu. Si on débouche un flacon de pafum, on en essent l odeu au bout de quelques temps (pou ête dans les conditions de la diffusion, il faut évite tout couant d ai qui mettait en jeu de la convection) ; un goutte d ence vesée dans un vee d eau tenda à se épande et coloe la totalité de l eau contenue dans le vee (même si on «touille» pas, ce qui penda évidemment plus de temps que si on agite le mélange) ; les poignées d une cocotte métallique dans laquelle boue de l eau sont chauffées pa conduction pa le dessous de cette cocotte.
PSI Bizeux Ch. T4 : Phénomènes de diffusion - 37 - Ces couants sont caactéisés pa des vecteus dont la diection donne le sens des échanges et la nome l intensité sufacique de ces échanges. Vecteu densité de couant de paticules : j N tel que le flux de ce vecteu à taves une suface epésente le nombe de paticules tavesant cette suface pa unité de temps. Si dn désigne le nombe de paticules tavesant Σ pendant dt, on a : M ds % dn = ' & $$ M"# ( j N (M)dS* dt ) " j N (M) j N a pou dimension L -2 T -1 et s expime en m -2.s -1. Vecteu densité de couant themique (ou densité de flux themique) : j Q tel que le flux de ce vecteu à taves une suface epésente la puissance themique tavesant cette suface (c est-à-die, l énegie themique pa unité de temps). M ds Si δq désigne le tansfet themique tavesant Σ pendant dt, on a : & ) "Q = ( %% j Q (M)dS+ dt ' * M#$ " j Q (M) j Q a la dimension d une puissance sufacique et s expime en W.m -2. P th = $$ j Q (M)dS epésente donc la puissance themique M"# tavesant la suface Σ. 1.3. Lois phénoménologiques de Fick et de Fouie Le phénomène de diffusion de paticules (esp. de la chaleu) naît de l inhomogénéité des concentations (esp. des tempéatues) et le couant de paticules (esp. de chaleu) tend à homogénéise ces gandeus. M s Fick, pou la diffusion de paticules et Fouie pou la diffusion de chaleu, ont poposé des lois similaies : 1.3.1. Loi de Fick : cœfficient de diffusion. j N (M) = "Dgad M n : loi de Fick dans laquelle n désigne la densité volumique de paticules (en m -3 ) et D le cœfficient de diffusion qui s expime en m 2.s -1. Cette loi phénoménologique taduit les faits suivants :
PSI Bizeux Ch. T4 : Phénomènes de diffusion - 38 - - le couant de paticules est d autant plus gand que l inhomogénéité de concentation est impotante (cf la popotionnalité au gadient de la concentation). - le couant de paticules a le sens des concentations décoissantes (cf le signe «-» de la loi) : le mouvement micoscopique de diffusion de paticules a lieu des zones les plus iches en paticules ves les zones les plus pauves et tend donc à homogénéise le milieu. - le cœfficient D dépend de la natue des paticules et du milieu suppot. Plus D est impotant, plus les paticules diffusent facilement dans le suppot. Un ode de gandeu d un cœfficient d autodiffusion d un gaz dans lui-même : D 10-5 m 2.s -1. 1.3.2. Loi de Fouie : conductivité themique j Q (M) = "#gad M T : loi de Fouie dans laquelle T désigne la tempéatue et λ la conductivité themique du matéiau qui s expime en W.m -1.K -1. Cette loi phénoménologique taduit les faits suivants : - le couant themique est d autant plus gand que l inhomogénéité de tempéatue est impotante (cf la popotionnalité au gadient de la tempéatue). - il a le sens des tempéatues décoissantes (cf le signe «-» de la loi) : le tansfet themique a lieu des zones les plus chaudes ves les zones les plus foides et tend donc à homogénéise la tempéatue. -le cœfficient λ dépend de la natue du milieu. Plus λ est impotant, plus les tansfets themiques se font facilement. On dia du milieu qu il est un bon conducteu themique. Voici quelques odes de gandeu de la conductivité themique selon les milieux : cuive 390 ; acie inox 16 ; vee 1,2 ; laine de vee 4.10-2, gaz dans les conditions usuelles : 3.10-2 ; polystyène expansé : 10-3. 1.4. Analogie avec la conduction électique En électicité, un couant électique I peut naîte d une difféence de potentiel. En effet, à une ddp est associé un champ électostatique diigé ves les potentiels décoissants. Ce champ électique met les chages en mouvement. La loi d Ohm locale (voi conditions d applications dans le cous d électomagnétisme) elie la densité de couant électique au champ électique : j e = "E = #"gadv loi d Ohm loi dans laquelle j est la densité de couant électique, γ la conductivité électique du matéiau et V le potentiel électostatique. On peut desse un tableau de coespondance ente les gandeus themique et électique : Themique Electique T V j Q (M) = "#gad M T j e (M) = "#gad M V λ γ P th = ## j Q ds I = ## j e ds " "
PSI Bizeux Ch. T4 : Phénomènes de diffusion - 39 - De même qu il existe de bons conducteus ou de mauvais conducteus (isolants) électiques, il existe donc de bons conducteus ou de mauvais conducteus themiques : à la conductivité électique γ, on associe la conductivité themique λ. Comme les chages (positives) et le couant électique s écoulent ves les potentiels décoissants, un tansfet themique s effectue ves les égions de tempéatue décoissante (du «chaud» ves le «foid»...) 2. EQUATIONS DE LA DIFFUSION 2.1. Bilans énegétiques dans un conducteu themique unidimensionnel Considéons un conducteu cylindique, de section s constante, d axe x : toutes les gandeus du poblème ne dépendont que du temps (nous ne nous plaçons pas focément en égime pemanent) et de la vaiable d espace x ( on dit que le poblème est unidimensionnel ) : T(x, t) j Q + + x x x + dx Nous allons effectue un bilan énegétique ente les instants t et t+dt su la «tanche» élémentaie de conducteu compise ente les abscisses x et x + dx: - le tansfet themique «entant» dans la tanche de conducteu est : δq = [j Q (x, t)s - j Q (x+dx,t)s] dt - le volume Sdx de conducteu, de capacité themique massique c, de masse volumique ρ, voit son énegie intene vaie de du = ρcsdx dt. - on peut enfin imagine que le conducteu themique est le siège de phénomènes poducteus ou dissipateus d énegie : s il est également conducteu électique et pacouu pa un couant pa exemple, on aua poduction d énegie pa effet Joule au sein du conducteu. Ce teme sea modélisé pa une puissance volumique p algébique : si p est positive la tanche Sdx eçoit de l énegie, si p est négatif elle en dissipe. Pendant dt, l énegie associée à ces phénomènes est donc de = psdx dt. Dans le cas de l effet Joule pa exemple on aua p = j e.e. Remaque : un cas classique d échange avec l extéieu est celui où les paois latéales du conducteu ne sont pas pafaitement caloifugées. Les échanges themiques avec l extéieu se font donc du fait même de la difféence de tempéatue ente un point de la conduite et ce milieu extéieu. Si l on choisit le cas où la tempéatue extéieue est unifome et égale à T e, le tansfet themique pa unité de temps est souvent modélisé pa la loi de Newton et baptisé échange convecto-conductif : "Q = #h( T(x) # T e )ds lat
PSI Bizeux Ch. T4 : Phénomènes de diffusion - 40 - ds lat étant l élément de suface en contact avec l extéieu. h s expime en W.K -1.m -2 et dépend de la natue du conducteu et du fluide qui est à l extéieu. Le bilan énegétique associé à la tanche Sdx s écit : soit : du = δq + de ρcsdx dt = j Q (x, t) S dt - j Q (x + dx,t) Sdt + psdx dt La tempéatue dans le conducteu est de la fome T(x,t), et la vaiation dt envisagée ici est associée à une évolution tempoelle. On a donc : dt = T t dt Enfin j Q (x + dx, t) - j Q (x, t) = j Q x dx. Apès simplification pa S et dx, il este : "j Q "x + #c "T "t = p ou encoe, en notant u v = ρct l énegie intene volumique du conducteu : "j Q "x + "u v "t = p 2.2. Bilans de paticules dans un milieu unidimensionnel On peut détemine le même type d équation en diffusion de paticules, en intoduisant un éventuel teme de céation ou dispaition de paticules sous fome d une densité volumique ν : "j N "x + "n "t = # 2.3. Bilans dans un milieu unidimensionnel et en égime pemanent : épatitions linéaies et ésistance themique. En l absence de facteus de poduction, les équations pécédentes deviennent, en égime pemanent : "j d 2 C = 0 elation, qui, associée aux lois de Fick ou de Fouie, devient : "x dx = 0 ou d2 T 2 dx = 0. 2 Exemple de la diffusion themique : le pofil de tempéatue, en égime pemanent, dans une bae cylindique dont les paois latéales sont pafaitement caloifugées et dont les tempéatues extêmes sont imposées est :
PSI Bizeux Ch. T4 : Phénomènes de diffusion - 41 - T 2 T(x) T 1 T 2 0 L x T 1 T(x) = T 2 " T 1 L x + T 1 L x Le flux themique conductif à taves toute section du cylinde s écit alos : P th = "# dt dx S = # T 1 " T 2 L S Cette puissance est identique à taves toute section othogonale à l axe Ox. Pa analogie avec la loi d Ohm et en se éféant au tableau de coespondance pécédent, on peut donc associe à ce cylinde conducteu themique une ésistance themique : R th = T 1 " T 2 = L P th #S Remaques : la définition de la ésistance themique est généale pou tout type de conducteu themique en égime pemanent. Pa conte, son expession dépend complètement de la géométie de ce conducteu themique. L expession donnée ci-dessus est valable quelque soit la géométie d un conducteu themique si celui-ci peut ête taité de façon unidimensionnelle. Associations de ésistances themiques : on etouve les lois d association des ésistances électiques : - si deux conducteus themiques sont tavesés pa le même flux themique, la ésistance themique de l ensemble est la mise en séie des ésistances de chaque conducteu : R th = R th1 + R th 2 - si deux conducteus sont soumis à la même difféence de tempéatue, la ésistance themique de l ensemble coespond à la mise en paallèle des deux ésistances themiques : R th = R th1 R th 2 R th1 + R th 2. Exemple : ésistance themique d un mu constitué d une épaisseu de bique et de plâte et pecé d une fenête. 2.4. Généalisation à 3 dimensions : équation de la diffusion Nous allons l établi dans le cas de la diffusion themique. Supposons un conducteu themique occupant un volume donné tel qu en M(x,y,z) l énegie intene volumique et le couant themique s écivent : u(x,y,z,t) et j Q ( j Qx (x,y,z,t), j Qy (x,y,z,t), j Qz (x,y,z,t) ) Nous allons applique l équation de consevation de l énegie au petit volume δτ = dx.dy.dz entouant le point M. La vaiation d énegie intene à ce volume est du = u t dt dx.dy.dz. Les flux themiques tavesant les paois de ce volume s obtiennent en sommant les flux tavesant les 6 faces du cube, faces qu on peut associe 2 pa 2.
PSI Bizeux Ch. T4 : Phénomènes de diffusion - 42 - z dz 1 6 2 M(x, y, z ) y j z j j y 3 4 5 dx j x x dy Ainsi, pou les faces 1 et 2, de suface dy.dz, la seule composante de j Q contibuant au poduit scalaie j Q.dS est j Qx. La contibution de ces 2 faces au flux Φ tavesant les paois du cube est : - j Qx (x, y, z, t) dy.dz + j Qx (x + dx, y, z, t) dy.dz = j Qx x dx.dy.dz La contibution de 2 autes paies s obtient de façon identique : faces 3 et 4 : j Qy y dy.dz.dx faces 5 et 6 : j Qz z dz.dx.dy L application de l équation de consevation donne, apès simplification : u t + j Qx x + j qy y + j Qz z = p où p epésente la puissance volumique céée Nous econnaissons dans la somme des tois denies temes l opéateu divegence, expimé en coodonnées catésiennes (voi Annexe mathématique pou la définition, la signification et les expessions analytiques de cet opéateu). "u "t + div ( j Q) = p : équation locale de la diffusion themique De même en diffusion de paticules : "n "t + div ( j N) = # équation de diffusion de paticules Nous avons en électomagnétisme et mécanique des fluides des équations de consevation tout à fait analogues potant su la chage et la masse Remaque : le calcul pécédent constitue en fait une démonstation du théoème de Geen- Ostogadski évoqué en Annexe. En utilisant ce même théoème ( """ div j Q d# = "" j Q.dS ) et en intégant l équation pécédente su un volume V délimité pa une suface femée S on obtient les équations intégales : V ( ) S
PSI Bizeux Ch. T4 : Phénomènes de diffusion - 43 - "" j Q.dS + d $ & dt % S """ V ' u d# ) = P ( j N.d S + "" S d dt ( """ V n d# ) = $ En evenant aux fomes locales, avec u = ρct d une pat, et les lois de Fouie et Fick d aute pat, on obtient les équations de diffusion égissant diectement l évolution de la tempéatue T et de la densité de paticules n : - λ ΔT + ρc T t = p - D Δn + n t = ν où Δ désigne l opéateu Laplacien. La ésolution de ces équations, accompagnées des nécessaies conditions aux limites et conditions initiales, founit une solution unique donnant l évolution en tout point et à tout instant de la gandeu considéée. 2.5. Caactèes généaux de l équation de la chaleu Linéaité : Les équations de la diffusion sont des équations aux déivées patielles linéaies. Ceci autoise le pincipe de supeposition. Compotement pa envesement du temps : On constate que ces équations ne sont pas invaiantes pa le emplacement de t en t : les phénomènes de diffusion sont des phénomènes iévesibles. Cela est lié à l iévesibilité du sens des couants themiques (esp. de paticules) : ils se font spontanément du plus chaud ves le plus foid (esp. du plus dense au moins dense). Temps caactéistique de la diffusion themique : On note D th = λ/ρc appelée diffusivité themique, et s expimant en m 2.s -1. Si δ est une distance caactéistique et τ une duée caactéistique d un phénomène de diffusion, on a alos en ode de gandeu : "T # T et %T # T "t $ &. 2 L équation de la chaleu nous donne, en ode de gandeu : δ 2 D th τ. Ainsi, si on obseve un phénomène su une duée tès supéieue à τ, on poua considée que le égime stationnaie est atteint (on pale de égime quasi-stationnaie).
PSI Bizeux Ch. T4 : Phénomènes de diffusion - 44 - L ode de gandeu de la duée nécessaie pou homogénéise la tempéatue initialement inhomogène dans un solide de diffusivité 10-4 m 2.s -1 et de dimension 1m est donc d envion 10 4 s soit envion 3h. Les phénomènes de diffusion ne sont pas tès efficaces, à gande échelle, pou homogénéise une gandeu. Dans ce cas, c est la convection qui est utilisée : mouvement de l ai pou le chauffage, «touillettes» pou le café, 2.6. Cas généal du égime pemanent Comme nous l avons vu au pemie paagaphe, la définition de j Q intoduit la puissance themique à taves une suface quelconque S. Considéons alos un tube de couant themique et deux sections quelconques S 1 et S 2 de ce tube, délimitant un volume V du tube : S 1 S2 + + En égime pemanent et en l absence de tout phénomène poduisant ou consommant de l énegie dans V, la puissance themique «entant» dans V pa S 1 doit ête égale à la puissance «sotant» de V pa S 2 ( aucune puissance ne tavese la suface latéale pa constuction du tube...) : on auait sinon vaiation de l énegie contenue dans V et patant, de sa tempéatue. Plus concètement, un conducteu themique délimité pa deux sufaces S 1 et S 2 et latéalement caloifugé (c est-à-die entoué d un isolant themique : cylinde de cuive gainé de laine de vee pa exemple) constitue un tel tube de couant : en égime pemanent, la puissance themique tavesant le tube est indépendante de la section choisie pou la calcule. Plus généalement encoe, en égime pemanent, la puissance themique tavesant une suface femée est nulle : le vecteu couant j Q est à flux consevatif. En égime pemanent, la puissance themique tavesant le tube est indépendante de la section choisie pou la calcule. Plus généalement encoe, en égime pemanent, la puissance themique tavesant une suface femée est nulle : globalement il y a autant de puissance qui «ente» que de puissance qui «sot». En égime pemanent : - La puissance themique P th est identique à taves toute section d un tube de couant. - La puissance tavesant une suface femée est nulle
PSI Bizeux Ch. T4 : Phénomènes de diffusion - 45-3. EXEMPLES D APPLICATION 3.1. Répatition de tempéatue dans un conducteu en égime pemanent Nous penons ici l exemple d un conducteu de lageu L suivant l axe x, et infini dans les diections y et z ( en fait de dimensions l 1 et l 2 >> L dans ces diections...). En égime pemanent, nous supposons le poblème unidimensionnel et pemanent, la tempéatue n étant fonction que de la vaiable x : T(x). En oute ce conducteu est également un conducteu électique ( cuive pa exemple ) pacouu dans la diection y pa exemple pa un couant électique unifome : il est donc le siège d effet Joule, avec poduction locale d énegie, de puissance volumique associée p v. Le plan x = 0 du conducteu est en contact avec l atmosphèe supposée à tempéatue constante T 0 : on a donc T(0) = T 0. Le plan x = L est constituée d une paoi isolante themique : le vecteu couant j Q(L) est donc nul, ce qui, d apès la loi de Fouie implique dt dx (L) = 0. Il est impotant de eteni ce type de conditions aux limites pésentes dans bien des poblèmes. T = T 0 y conducteu paoi isolante 0 L x L équation de diffusion s écit : - λ d2 T dx 2 = p v. soit T(x) = - 1 2 p v λ x 2 + Ax + B. Les conditions aux limites founissent : T 0 = B et - p v λ L + A = 0. D où la solution : T(x) = - 1 p v 2 λ x 2 + p v λ Lx +T 0. La tempéatue est maximale en x = L. On peut note que l énegie poduite au sein du conducteu est «évacuée» pa la face x = 0 : si l on considèe en effet un volume de conducteu s appuyant su une suface S ente les abscisses 0 et L, la puissance intene poduite est p v SL et la puissance themique sotant de la suface S en x = 0 : -Sj Q (0) = λs dt dx (0) = p vsl.
PSI Bizeux Ch. T4 : Phénomènes de diffusion - 46-3.2. Égalisation de la tempéatue de deux solides Dans cet exemple, deux solides, pou simplifie identiques de même capacité themique C, sont initialement potés aux tempéatues T 10 et T 20 ( T 10 > T 20 ). Ils sont en oute eliés pa un conducteu themique filifome, de conductivité λ, de capacité themique négligeable devant celle des deux solides. Les échanges themiques sont supposés limités au système des deux solides et du conducteu qui les elie. Nous chechons alos à détemine l évolution de tempéatue des deux solides, soit les tempéatues T 1 (t) et T 2 (t). T T 10 S > 20 1 S 2 j Q Le égime n est pas pemanent, mais le fait de néglige la capacité themique du conducteu eliant les solides implique que la épatition de tempéatue y soit identique à celle du égime pemanent, autement dit que la puissance themique à taves toute section du conducteu soit à chaque instant la même. La conductance themique de ce conducteu étant notée G, les deux tempéatues véifient alos à tout instant : G [ T 1 (t) - T 2 (t) ] = P th En oute un bilan intégal effectué su l énegie des solides 1 et 2 monte que : du 1 = CdT 1 = - P th dt et du 2 = CdT 2 = + P th dt On auait d ailleus pu affime que le système étant themiquement isolé ( et indéfomable ) on devait avoi, en négligeant l énegie intene du fil, U 1 + U 2 = Cste. Ceci donne d ailleus une pemièe elation tès simple ente T 1 et T 2 : T 1 +T 2 = cste = T 10 + T 20 L expession de P th founit : CdT 1 = - G( T 1 - T 2 )dt = CdT 2 ou encoe : dont la ésolution conduit à : C d(t 1 -T 2 ) = -2G (T 1 - T 2 )dt T 1 - T 2 = [ T 10 - T 20 ] exp (- t τ ) avec τ = C 2G La difféence des tempéatues tend donc ves 0 quand le temps tend ves l infini ( en patique quand il est gand devant la constante de temps τ ) : elles tendent donc ves la même limite T 10 + T 20 2, ce que le pemie pincipe auait pu diectement affime. On emaquea l évidente analogie avec le poblème constitué de deux condensateus de même capacité C, soumis à des tensions difféentes U 10 et U 20 et eliés pa une ésistance R...
PSI Bizeux Ch. T4 : Phénomènes de diffusion - 47-3.3. Diffusion themique dans une conduite impafaitement caloifugée Repenons l exemple d une bae cylindique dont les tempéatues extêmes sont imposées, mais que cette fois, nous allons considée comme impafaitement isolée vis-à-vis de l extéieu. S T ext souce à T 1 souce à T 2 0 L x Les échanges themiques qui peuvent se poduie avec l extéieu (de tempéatue T ext ) seont supposés suive la loi de Newton : "Q = #h( T(x) # T ext )ds lat où "Q epésente la puissance themique eçue au niveau de l élément de suface latéale de la bae à l abscisse x (où la tempéatue vaut T(x)). On se popose de détemine la loi de épatition de la tempéatue dans cette bae en égime pemanent. Nous allons détemine l équation difféentielle véifiée pa T(x) en effectuant un bilan themique pou un élément de volume de la bae compis ente les abscisses x et x+dx : du = "csdx #T #t dt = j Q(x,t)Sdt $ j Q (x + dx,t)sdt $ h( T(x,t) $ T ext )ds lat dt avec S = πr 2 et ds lat =2πRdx où R est le ayon de la bae cylindique. En égime pemanent, cette équation s écit : " dj Q(x) dx dx#r 2 dt " h(t(x) " T ext )2#Rdxdt = 0 soit encoe en lui associant la loi de Fouie : d 2 T(x) dx 2 " 2h 2h T(x) = " #R #R T ext Cette équation fait appaaîte une distance caactéistique La ésolution de l équation nous donne la solution : D = "R 2h. " T(x) = T ext + Ach x % $ # D& ' + Bsh " x % $ # D ' & En injectant les conditions aux limites T(0) = T 1 et T(L) = T 2 on obtient finalement : T(x) = T ext + ( T 1 " T )ch # x & ext % $ D ( + ' ( T 2 " T ext ) " T 1 " T ext ( )ch # L & % $ D ( ' # # sh L sh x & % ( & $ D' % ( $ D'
PSI Bizeux Ch. T4 : Phénomènes de diffusion - 48 - Nous obtenons les coubes suivantes pou les valeus numéiques : T 1 = 500K ; T 2 = 350K ; T 0 = 300K ; λ = 389 W.m 1.Κ 1 ; L = 10 cm et R = 1 mm. h = 200 W.m -2.K -1 h = 80 W.m -2.K -1 3.4. Ondes de diffusion themique (hos-pogamme) Nous pations ici d un exemple patique pou dégage une idée plus généale. Supposons que nous voulions connaîte les épecussions dans le sol des fluctuations de tempéatue atmosphéique. Patons alos du modèle simple suivant : l espace est divisé en deux pa un plan infini, à l abscisse x = 0. L atmosphèe occupe tout le demi-espace x < 0 et le sol, supposé homogène, tout le demi-espace x > 0. On bâtit là un poblème unidimensionnel. Les fluctuations de tempéatues dans l atmosphèe sont elles-mêmes modélisées suivant une loi sinusoïdale de la fome : T - T 0 = a cos ωt La tempéatue «oscille» donc ente une tempéatue maximale T 0 + a et une tempéatue minimale T 0 - a, avec une péiode τ : T 0 peut epésente une moyenne jounalièe, et donc τ = 1 jou, ou une moyenne annuelle, et τ = 1 an...
PSI Bizeux Ch. T4 : Phénomènes de diffusion - 49 - Le égime n est pas pemanent et la tempéatue du sol de la fome T(x, t). Nous chechons une solution ( supposée possible) dite à vaiables sépaées, c est-à-die de la fome T(x, t) = A + f(t).g(x). Pou la ésolution du poblème, nous utiliseons les vaiables complexes en écivant : T = T 0 + ae jωt On peut déjà emaque que la continuité de la tempéatue à la suface du sol impose : T(0, t) = A + f(t) g(0) = T 0 + a e jωt t d où A = T 0, g(0) = a et f(t) = e jωt... Une aute condition aux limites est constituée pa la pofondeu «infinie» du sol pou laquelle les fluctuations de tempéatue de l atmosphèe ne doivent plus ête essenties, ce qui impose : g(x) -> 0 quand x -> L équation de diffusion themique s écit alos : - λ ΔT + ρc T t habituelles des gandeus λ, ρ et c...la fome chechée implique : = 0 avec les significations - λ e jωt g (x) + ρc jωe jωt g(x) = 0, σοιτ : g (x) - j ρcω λ g(x) = 0 en emaquant que j = [ 1 + j 2 ]2, il vient : g(x) = g 1 exp( - ρcω 2λ x ).exp (-j ρcω 2λ x ) + g 2exp( + ρcω 2λ x ).exp( +j ρcω 2λ x ) Les conditions aux limites founissent g 1 = a et g 2 = 0. On fait appaaîte une pofondeu 2λ caactéistique δ en posant δ = ρcω. La solution définitive est : T(x, t) = T 0 + a e - x/δ cos( ωt - x δ ) avec δ = La pofondeu caactéistique δ monte que l hypothèse d une pofondeu infinie peut ête emplacée pa celle d une pofondeu finie, gande devant δ, mais suffisamment faible pou que des phénomènes supplémentaies de échauffement n inteviennent pas... Ainsi, en penant pou le sol ρ = 3.10 3 kg.m -3, c = 515 J.kg - 1.K - 1 et λ = 1 W.K - 1.m - 1, on peut établi les ésultats suivants, tès utiles pou les plantations et les implantations de caves à vin : - pou une amplitude de vaiation jounalièe de tempéatue de l atmosphèe de 15 C, autou de la tempéatue moyenne de 2,5 C en hive, on touve δ = 13 cm et il suffit de descende à une pofondeu de 27 cm pou que cette amplitude ne soit plus que de 1 C : le sol n est plus gelé à cette pofondeu... - pou une amplitude de vaiation annuelle de tempéatue de 40 C autou de 10 C, on touve δ = 2,55 m et il faut descende à une pofondeu de 7,5 m pou avoi une tempéatue annuelle invaiable, à 1 pès... 2λ ρcω