NOMBRES COMPLEXES Cous
I. DEFINITIONS D UN NOMBRE COMPLEXE. Fome algébique. Repésetatio gaphique. Fome polaie 4. Fome tigoométique 5. Relatios fodametales ete les difféetes défiitios 6. Exemples II. PROPRIETES ELEMENTAIRES - DEFINITIONS. Nombe complexe ul. Egalité de deux ombes complexes. Nombes complexes opposés 4. Nombes complexes cougués 5. Popiétés impotates III. OPERATIONS SUR LES. Somme et difféece de deux ombes complexes. Multiplicatio de deux ombes complexes. Quotiet de deux ombes complexes 4. Coclusios gééales IV. FORMULES D'EULER - FORMULE DE MOIVRE. Fomules d Eule. Gééalisatio aux ombes complexes de module quelcoque. Liéaisatio d'u polôme tigoométique 4. Fomule de Moive 5. Fomule du biôme tiagle de Pascal V. RACINE ième D'UN NOMBRE COMPLEXE. Sous fome polaie. Sous fome algébique VI. EQUATION DU SECOND DEGRE À COEFFICIENTS COMPLEXES VII. APPLICATION A L'ELECTRICITE. Les lois de l électicité. Impédaces. Costuctio de Fesel 4. Utilisatio des ombes complexes
I. DEFINITIONS D UN NOMBRE COMPLEXE. Fome algébique Soiet x et deux ombes éels, et soit u ombe appelé "imagiaie" tel que -. O appelle fome algébique (ou catésiee d'u ombe complexe (x, l'expessio x +. ( x, x est la patie éelle de, otée x Re(, R (x, C est la patie imagiaie de, otée Im(. L'esemble des ombes complexes se ote C. Cas paticulies : x + si 0, alos x est u ombe éel: R si x 0, alos est u ombe imagiaie pu: I L'esemble des ombes imagiaies pus se ote I. Si x + C Si x 0, 0, x R I. Repésetatio gaphique Soit le pla, appoté à u epèe othoomé { O, u, v}, o a alos la figue suivate. A tout ombe complexe x +, o associe le poit M(x,. La coespodace ete et M est biective c'est à die qu'à tout ombe complexe x +, o peut faie coespode u poit du pla, de coodoées x et et que écipoquemet, tout poit M du pla défiit pa ses coodoées x et u ombe complexe x +. M (x, v O u θ x Fig. Le poit M s'appelle l'image du ombe complexe. Le vecteu OM s'appelle le vecteu image du ombe complexe. Le ombe complexe s'appelle l'affixe du poit M (ou du vecteu OM. Le pla, cosidéé comme l'esemble des poits M(x, est appelé pla complexe, ou pla de Cauch. L'axe Ox qui coespod aux poits tels que 0, x, est l'axe des éels; l'axe O qui coespod aux poits tels que x 0, est l'axe des imagiaies pus.
. Fome polaie O appelle module du ombe complexe le module du vecteu image OM associé à. O appelle agumet du ombe complexe l'agle polaie du vecteu image OM associé à (à kπ pès. OM; 0 θ Ag( ( Ox, OM + kπ O ote alos le ombe complexe sous la fome polaie : [,θ] 4. Fome tigoométique Soit u ombe complexe de fome polaie [,θ]. Soit M so image das le pla complexe (Fig.. siθ M (x, Les composates x et du vecteu image OM s'expimet comme suit : x cos θ si θ v O u Fig. θ x cosθ d'où la fome tigoométique du ombe complexe : x + ( cos θ + si θ 5. Relatios fodametales ete les difféetes défiitios O vea pa la suite que l'o pose habituellemet : cos θ + si θ e. Aisi, la fome polaie [, θ] du ombe complexe est souvet otée : e E coclusio, les quate fomes suivates sot équivaletes pou désige u ombe complexe : x + [,θ] ( cos θ + si θ e Ivesemet, si u ombe complexe est cou sous sa fome catésiee x +, o peut calcule so module et so agumet. Le module se calcule facilemet pa : OM x + et so agumet, θ est calculé, modulo π pa cos θ x et si θ ou pa tg θ, e teat compte des siges de x x cos θ et si θ. 4
6. Exemples a e π cos π + si π cos π + 0 π c e π π π cos + si, π π e e cos π + si π cos π ( e ( Aisi, suivat la paité de : e π si pai ( p e π si impai ( p + + + π π cos + si e 4 4 f ( 4 π π cos si e 4 4 g ( 4 + h ( b e π cosπ + si π π d e π π π cos + si, π π π π π + cos si, e + π II. PROPRIETES ELEMENTAIRES - DEFINITIONS. Nombe complexe ul Le ombe complexe ul, oté simplemet 0, est le ombe complexe dot l'image est l'oigie du pla complexe c'est à die le poit O(0, 0. Cette défiitio coduit aux égalités suivates: Sous fome catésiee: x + 0 x 0 0 Sous fome polaie: [, θ] 0 0 θ quelcoque. Egalité de deux ombes complexes Deux ombes complexes et ' sot dits égaux si leus images espectives M et M' das le pla complexe sot cofodues. Cette idetité etaîe l'égalité des composates (x, et (x', ' des vecteus images OM et OM ' coespodats. Soit : x x' x + ' x' + ' ' 5
Deux ombes complexes égaux ot des paties éelles égales ET des paties imagiaies égales. Sous fome polaie l'égalité des deux ombes complexes et ' se taduit pa : [, θ] ' [ ', θ' ] ' θ θ ' + kπ Les modules sot égaux et les agumets sot égaux à kπ pès (modulo π.. Nombes complexes opposés Deux ombes complexes et ' sot dits opposés si leus vecteus images espectifs OM et OM ' das le pla complexe sot opposés (Fig.. Cette idetité etaîe ete les composates (x, et (x', ' de ces vecteus images les elatios : x + ' ( x' + ' x' x ' Deux ombes complexes opposés ot des paties éelles opposées ET des paties imagiaies opposées. Sous fome polaie : [, θ] ' [ ', θ' ] ' θ' θ + π + kπ Les modules sot égaux et les agumets diffèet de π (modulo π. π+θ M ( x -x v O u θ x M ( - Fig. 4. Nombes complexes cougués Deux ombes complexes et ' sot dits cougués si leus vecteus images espectifs OM et OM ' das le pla complexe sot smétiques pa appot à l'axe des éels Ox (Fig. 4. Cette idetité etaîe ete les composates (x, et (x', ' de ces vecteus images les elatios suivates : x + x x' ' x' + ' x + x ' 6
M ( v O u θ θ x x - M ( Fig. 4 Deux ombes complexes cougués ot des paties éelles égales ET des paties imagiaies opposées. Sous fome polaie leu écitue doe : ' [, θ] [ ', θ' ] [, θ] [, θ] ' θ θ ' + kπ Le cougué d'u ombe complexe s'obtiet e chageat le sige de sa patie imagiaie, ce qui eviet à chage e -. Sous fome polaie, o chage simplemet θ e -θ. 5. Popiétés impotates a Soit u ombe complexe et soit ' so cougué. Alos, est le cougué de '. ( b Soit x + u ombe complexe et soit x so complexe cougué. Alos les paties éelles et complexes sot telles que : x ( + ( c Si u ombe complexe est égal à so complexe cougué, sa patie imagiaie est ulle : le ombe est éel. 0 R Pou expime qu'u ombe complexe est éel, o écia qu'il est égal à so complexe cougué. 7
III. OPERATIONS SUR LES. Somme et difféece de deux ombes complexes a Somme de deux ombes complexes Soiet deux ombes complexes x + et ' x ' + ', dot les images sot espectivemet les poits M(x, et M ' (x ', '. Cosidéos l'additio vectoielle des deux vecteus images OM et OM '. Soit OS le vecteu égal à la somme des vecteus OM et OM ' (Fig. 5 : OS OM + OM' + S (+ M ( M ( v O u x x x + x Fig. 5 Les coodoées du poit S das le pla sot : S (X,Y Le poit S est l'image d'u ombe complexe Z X + Y. X x + x' Y + ' Pa défiitio le ombe complexe Z est la somme des ombes complexes et '. O écia : x + Z + ' ; ' x' + ' X x + x' Z X + Y Y + ' La patie éelle de la somme est la somme des paties éelles. La patie imagiaie de la somme est la somme des paties imagiaies. L'additio s'effectue simplemet sous fome catésiee, selo les ègles habituelles de l'additio algébique : Z + ' (x + + (x ' +' (x + x ' + ( + ' X + Y b Popiétés de la somme de deux ombes complexes Ce sot celles de l'additio vectoielle : Commutativité : + ' ' + Associativité : + (' +" ( + ' + " 8
Existece d'u élémet eute : + 0 0 + Existece d'u élémet opposé : + ( 0 E oute, das le tiagle OMS, avec OM ' MS o a les iégalités suivates : OM MS OS OM + MS OM OM ' OS OM + OM ' D'où les iégalités ete les modules: ' + ' + ' c Difféece de deux ombes complexes Soiet deux ombes complexes et '. Effectue la difféece - eviet à aoute l opposé de à. Les vecteus images OM et OM ' ot pou difféece le vecteu : M' M OM OM' M ' M (Fig. 6 a pou affixe -', appelée "mesue complexe". M ( Ag(- M ( v O u x x Fig. 6 d Popiété impotate Le cougué de la somme de deux ombes complexes est la somme des cougués: + ' + ' Le cougué de la difféece de deux ombes complexes est la difféece des cougués: ' '. Multiplicatio de deux ombes complexes a Utilisatio de la fome algébique La multiplicatio de deux ombes complexes expimés sous fome algébique s'effectue selo les ègles habituelles de la multiplicatio des ombes éels, avec la covetio : 9
Soiet x x + + alos ( x + ( x + x (x x x + x + x + ( x E posat Z X + Y, o obtiet pa idetificatio : + + x X xx Y x + x b Popiétés de la loi de multiplicatio: Commutativité : Associativité : ( ( Existece d'u élémet eute (le ombe éel :. Distibutivité pa appot à l'additio : ( + + L'esemble des popiétés de l'additio et de la multiplicatio pemet de coclue que l'esemble des ombes complexes possède ue stuctue de cops, appelé cops des complexes, C. c Poduit d'u ombe complexe pa so cougué: (x + (x x x + Le caé du module d'u ombe complexe s'obtiet e multipliat ce ombe complexe pa so complexe cougué : Le poduit d'u ombe complexe pa so complexe cougué est u ombe éel. d Utilisatio de la fome polaie [, θ] [, θ ] e ( θ + θ e e e θ e [, θ ][, θ ] [ θ + θ ], D'où: [,θ ] [,θ ] [,θ + θ ] E ésumé : Ag( Ag( Ag( + Ag( Le module du poduit de deux ombes complexes est égal au poduit de leus modules. L'agumet du poduit de deux ombes complexes est égal à la somme de leus agumets (modulo π. [ π] 0
e Gééalisatio du poduit de deux ombes complexes...... e e...e... e (θ +θ +...+θ [,θ ] [,θ ]... [,θ ] [...,θ + θ +...θ ]......... Ag( Ag(... Ag( Si les ombes complexes sot égaux : e [,θ] + Ag( Ag( Ag( + + Ag( [ π] [ π] Coséquece: L'égalité (... 0 impose (... 0 que c'est à die que l'u des modules i i soit ul, doc que l'u des ombes complexes soit ul. Das C, u poduit de ombes complexes est ul si et seulemet si l'u au mois des facteus est ul, comme das R. f Cougué du poduit de deux ombes complexes Le ésultat s'obtiet facilemet e tavaillat su les fomes polaies. Soiet deux ombes complexes e et e. Alos e e e Soit fialemet : e e ( θ +θ e e ( θ +θ e. Quotiet de deux ombes complexes A pati de la multiplicatio, o défiit aisémet le quotiet de deux ombes complexes et : Si Z alos Z. D'apès la loi de multiplicatio: D'où : Z Z Ag(Z Ag Z Ag( Z Z Ag( Ag(Z Ag( [ π] Ag(Z + Ag( Le module du quotiet de deux ombes complexes est égal au quotiet de leus modules. L'agumet du quotiet de deux ombes complexes est égal à la difféece de leus agumets (modulo π. [ π]
4. Coclusios gééales E ésumé, losqu o vouda effectue ue additio ou ue difféece de deux ombes complexes, il sea péféable de les expime sous fome algébique (ou tigoométique. E evache, quad il s agia d effectue ue multiplicatio ou u quotiet de deux ombes complexes, il sea plus facile d utilise leu fome polaie. IV. FORMULES D'EULER - FORMULE DE MOIVRE. Fomules d Eule e Soit u ombe complexe de module égal à : e cos θ + si θ cos θ si θ E expimat la somme et la difféece : + e e + e e cos θ si θ O e déduit les FORMULES D'EULER : e cos θ + e et e si θ e. Gééalisatio aux ombes complexes de module quelcoque Pou u ombe complexe quelcoque, dot le module est difféet de l'uité, le cosius et sius de l'agumet s'obtieet comme suit : e e cos θ + si θ cos θ si θ alos : + cos θ et si θ. Liéaisatio d'u polôme tigoométique a Défiitio d u polôme tigoométique U polôme tigoométique est u polôme dot chaque teme est u poduit de foctios sius et cosius d agles quelcoques. Exemple : si θ cos θ, cos θ si θ b Défiitio de la liéaisatio Cheche à liéaise eviet à emplace les poduits des foctios sius et cosius pa des sommes (podéées pa des coefficiets éels ou complexes de foctios sius et cosius dot les agles ot, eux aussi, été modifiés.
c Exemple Soit à liéaise l'expessio siθcosθ : e si θcosθ 4 e θ e 5θ 5θ ( e e + e e 5θ e 5θ ( si 5θ si θ θ e + e e e θ Applicatio: o poua cheche à etouve les elatios tigoométiques suivates : ( cos( a + b θ + cos θ cos θ ( cos θ + cosθ 4 cos( a β θ ( cos θ ( si θ si θ si θ si( a + β 4 si( a β cos si si θcos θ si θ cosa cos b si a si b cosa cos b + si a si b si a cos b + cos a si b si a cos b cosa si b 4. Fomule de Moive Soit u ombe complexe de module uité e. L'élévatio à la puissace doe : ( e ( cos θ + si θ O : e cos θ + si θ D'où la FORMULE DE MOIVRE: ( cos θ + si θ cos θ + si θ Cette elatio este valable losque l'exposat est égatif. Applicatio: Expime cosθ et siθ e foctio des puissaces de cosθ et siθ. ( cos θ + si θ cos θ + si θ Pa idetificatio, o aboutit à : cos θ + cos θ si θ cos θ si θ si θ ( ( cos θ cos θ si θ 444 4444 + cos θ si θ si θ 444 4444 cos θ si θ cosθ cos θ cos θsi si θ cos θsi θ si θ θ
Pafois, ue simple tasfomatio pemet de etouve des ésultats obteus pécédemmet : cosθ cos 4cos θ cosθ( cos θ ( si θ si θ θ cosθ 4si si θ si θ + si θ θ 5. Fomule du biôme tiagle de Pascal La fomule du biôme pemet de calcule les coefficiets du développemet de ( cos θ + si θ pou u ode quelcoque. ( a + b ( ( ( a + a b + a b + a. ( (...( p + p p +... + a b +...p ( +... + a b + ab + b ( (...( p + Le coefficiet d'ode p, epésete le ombe de combiaisos...p possibles de obets pis p à p.! O le désige pa : C p p!( p! avec:!...( ( (! sigifie factoielle et pa covetio: 0!. b + Exemple:!! *! ** 6 4! ***4 4 5! ***4*5 0 La FORMULE DU BINOME s'écit : ( a + b p Les coefficiets p p 0 C p a p se calculet aisémet à pati du TRIANGLE DE PASCAL das C lequel chaque coefficiet est la somme des deux coefficiets de la lige pécédete situés espectivemet das la même coloe et das la coloe pécédete. b p (a+ b (a+ b (a+ b (a + b 4 4 6 4 (a+ b 5 5 0 0 5 (a+ b 6 6 5 0 5 6 Exemple : (a + b 5 a 5 + 5a 4 b + 0a b +0a b + 5ab 4 + b 5 4
Applicatio : Pou expime cos 5θ et si 5θ e foctio des puissaces successives de cos θ et si θ, il suffit, d'apès la fomule de Moive, de développe (cos θ + si θ 5 pa la fomule du biôme et d'idetifie les paties éelles ete-elles et les paties imagiaies ete-elles. Remaque : Le développemet de ( a b fait itevei les mêmes coefficiets avec ue alteace des siges + et au iveau des coefficiets e commeçat pa +. E fait, il aua u sige pou chaque puissace impaie de b. Exemple : 5 5 4 ( a b a 5a b + 0a b 0a b + 5ab b 4 5 V. RACINE ième D'UN NOMBRE COMPLEXE Soit à ésoude : Z 0 Losqu o ésout das C cette équatio, o doit touve alos solutios : Z, Z,, Z.. Sous fome polaie O pose : L'icoue : Z Re et le secod membe : 0 0 e 0 L'égalité ete les deux ombes complexes doe : Z R e 0 e 0 R soit 0 θ θ 0 + kπ Fialemet les valeus de Z sot : Z [ R, θ ] k k R 0 θ0 θk / 0 kπ +, k 0,,,, - Itepétatio gaphique : Les acies sot toutes su u cecle de ao R et elles sot décalées de π les ues pa appot aux autes à pati de θ 0. Exemple : Z 0 M( 0 k θ0 0 Z o e k Z e k Z o o e θ0 π + θ0 4π + M ( θ 0 /+π/ O 0 M R ( θ 0 θ 0 / x θ 0 /+4π/ M ( Fig. 7 5
Exemple : Cas paticulie : θ Z 0 0 Z R e e 0 R θ θ 0 0 + kπ R 0 θ0 θ + kπ O a deux acies : Pou k 0 et Pou k Z e o θ0 Les deux acies sot opposées Z o o Z e e θ0 +π θ0 e π Applicatio : Z (Fig. 8 0 0 e 0 0 θ 0 π O e déduit R 0, avec k 0 ou. π θ + kπ 4 ce qui coduit aux deux acies : k 0 : k : Z Z e e π 4 4 π +π e π 4 +. Sous fome algébique E gééal, les calculs sot iexticables, sauf pou les acies caées. Si o pose 0 a 0 + b 0 Z x + o est ameé à ésoude ( x + a 0 + b 0 La méthode cosiste à développe le teme de gauche et à idetifie les paties éelles d'ue pat et les paties imagiaies d'aute pat, puis à ésoude le sstème aisi obteu e x et. Repeos l'exemple pécédet Z : (x + x + x x 0 ( Soit: x ( La pemièe égalité coduit à x ± et la secode à x. 6
Cepedat le cas x coduit pou la secode égalité à ue impossibilité x (x et sot des ombes éels. Seul le cas x coviet, la secode égalité doat x soit x ±. Fialemet o etouve les deux solutios (Fig. 8 : x + ; ; Z x ; + ; Z + M ( Z -+ R π/4 - -π/4 x - M ( Z - 0 - Fig. 8 VI. EQUATION DU SECOND DEGRE À COEFFICIENTS CONSTANTS Ce paagaphe est la gééalisatio de la ésolutio d ue équatio du secod degé au cas où la vaiable aisi que les coefficiets sot complexes. Soit à ésoude l'équatio a + b + c 0 das laquelle les coefficiets a, b, c et la vaiable peuvet ête des ombes complexes. b c O peut écie cette équatio sous fome caoique : a + + 0 a a Le teme ete cochets peut se mette sous la fome : + b a c + + a + 0 b a b a b 4a b 4ac 4a + c a Soiet +δ et -δ les acies de b 4ac, c'est à die les ombes complexes tels que δ. Les solutios de l'équatio du secod degé sot : b + δ et a b δ a 7
O véifie que la somme et le poduit des acies sot doés pa : S P + c a b a Remaques impotates : a Si a, b, c sot des, alos les acies et NE SONT PAS NECESSAIREMENT COMPLEXES CONJUGUEES b Si a, b, c, sot des NOMBRES REELS, alos les acies et SONT REELLES (si est positif ou ul OU COMPLEXES CONJUGUEES (si est égatif. Exemple : + ( ( + 0 Les solutios sot: ( + 4( + + 9 6+ 8 + 4 [ + + ] [ + ] O est doc ameé à touve la acie du discimiat c'est à die à ésoude δ Les solutios ot été calculées pécédemmet: δ ± ( Fialemet les acies de l'équatio du secod degé sot : + O emaque que, les coefficiets état complexes, les deux acies e sot pas complexes couguées. VII. APPLICATION A L'ELECTRICITE (voi aussi le chapite du cous d électotechique. Soit u cicuit R, L, C pacouu pa u couat i(t (Fig. 9. i(t R L C v R (t v L (t v C (t v(t Fig. 9 8
. Les lois de l électicité Les lois de l'électicité fouisset les tesios suivates aux boes des difféets composats : - aux boes de la ésistace R : v R (t Ri(t - aux boes de l'iductace L : - aux boes du codesateu C : (t v L (t v C di(t L dt i(t d t C La tesio aux boes du cicuit est : v(t v R (t + v L (t + v C (t Supposos que le couat i(t soit siusoïdal, de la fome i(t I M cos(ωt. Alos : v (t RI cos( ωt v v R L C M (t LωI (t I Cω M M si( ωt si( ωt Ce qui doe : v(t RI M cos(ωt Lω Cω I M si (ωt. Impédaces R, Lω et /Cω sot les modules des impédaces des tois composats de ce cicuit. E faisat appaaîte l impédace totale équivalete, Zeq, de la mise e séie de ces tois composats, o a alos : Zeq R + Lω, Cω ag( Zeq Lω ϕ Ac ta Cω R v(t I M R + Lω Cω R R + Lω Cω cos( ωt R Lω Cω + Lω Cω si( ωt Lω R Il est possible de pose cosϕ et si ϕ Cω. R + Lω R + Lω Cω Cω O aboutit à v(t IM Zeq cos( ωt + ϕ 9
. Costuctio de Fesel Si l o ped le vecteu epésetat le couat comme éféece des phases, o aboutit alos à la costuctio de Fesel pésetée figue 0 pou la somme vectoielle des tois tesios (ca mise e séie des composats. V ϕ VR V C V L I LωI M Cω 0 I M ϕ Fig. 0 Lω Cω RI M I M 4. Utilisatio des ombes complexes O peut cosidée que : i(t comme la patie éelle d'u ombe complexe : i(t IM cos( ωt Re(IMe ( ωt+ϕ de même pou la tesio aux boes du cicuit : v(t V cos( ωt + ϕ Re( e ωt M V M ωt ( ωt+ϕ ωt ϕ ωt O pose I( t e et V( t V e V e e Ve I M M M O a choisi le couat comme oigie des phases (comme e électotechique. Le ombe complexe V est appelé l'amplitude complexe de la tesio. So module et sa phase sot l'amplitude et la phase de la tesio éelle. L'itéêt de cette otatio est de mette l'expessio complexe de la tesio V (t sous la fome d'u poduit d'u teme qui e déped que du temps (e ωt pa u aute teme qui 'e déped pas (V V M e ϕ. Les difféetes tesios complexes sot alos: V R (t RIe ωt (e phase avec le couat V L (t LωIe ωt LωIe (ωt+ π (e avace de phase de + π pa appot au couat V C (t Cω Ie ωt π (ωt Ie (e etad de phase de π Cω La tesio aux boes du cicuit est doée pa: V (t V e ωt RIe ωt + LωIe ωt + ωt Ie Cω Aisi le temps s'élimie des calculs: V R + Lω + I Cω pa appot au couat 0
La elatio pécédete pemet de défii l'impédace complexe, Z: Z V I R + Lω Cω dot le module est le appot de l'amplitude de la tesio aux boes du cicuit à celle du couat qui le pacout : Z V I V M R + Lω I M Cω et dot la phase, qui est le déphasage ete la tesio aux boes du cicuit et le couat, est calculée comme suit : ta ϕ Lω Cω R