Vol. 10 hive pintemps 2015 6 Autefois, on passait des adiogaphies. Maintenant, on va aussi passe un examen pa scanne : la technique s appelle la tomodensitométie axiale. Dans les deux cas, ce sont des ayons X qui tavesent le cops du patient. Quelle est la difféence ente les deux? Et pouquoi le scanne a-t-il évolutionné l imageie médicale? Chistiane Rousseau Univesité de Montéal DossieLumièe Les ayons X font patie de la gande famille des ayonnements électomagnétiques, au même tite que la lumièe ou les ondes adio. Ils sont constitués, comme la lumièe, de photons. Ce qui les en distingue c est leu tès coute longueu d onde, laquelle vaie ente 0,01 et 10 nanomètes pou les ayons X, alos que les longueus d onde de la lumièe visible vaient ente 390 nanomètes pou le violet, et 780 nanomètes pou le ouge, et que les longueus d onde des ondes adio sont beaucoup plus longues. La découvete des ayons X pa Wilhelm Rüntgen lui valut le pix Nobel de physique en 1901. Il tie quate gandes conclusions, dont deux sont essentielles en imageie médicale : - Les ayons X sont absobés pa la matièe selon la masse atomique des atomes. - Les ayons X impessionnent une plaque photogaphique. Constuie une image médicale Les ayons X Wilhelm Rüntgen 1845-1923 Losque les ayons X tavesent le cops humain, ils pedent de leu intensité. Pou une adiogaphie classique, les ayons X sotant du cops du patient impessionnent une plaque photogaphique : le ton de gis de la photo dépend de l énegie du ayon qui est absobée pa le cops. Voici maintenant un scanne. La égion du cops à inspecte est enfilée dans l anneau. L appaeil poduit des images de coupes tansvesales du patient. Comment? Visiblement il n y a pas de plaque photogaphique paallèle à la coupe Considéons une coupe tansvesale dans un plan : les ayons X ont tavesé le cops dans toutes les diections de ce plan. Une patie de l énegie de chaque ayon a été absobée los de sa tavesée du cops. C est cette pete d énegie que mesue l appaeil : il obtient toute une séie de nombes : un nombe pou chaque ayon. Roy Scott/Ikon Images/Cobis
Constuie une image médicale Chistiane Rousseau Univesité de Montéal A 1 B 1 C 1 Regadons l exemple A 1. On voit une tache plus dense et un ayon. De l énegie a été absobée losque ce ayon a tavesé la fome associée à cette tache. Dans l exemple B 1, la densité est unifome et deux fois moins gande que dans la tache de l exemple pécédent. La même quantité d énegie a été absobée le long de ce même ayon. C est aussi la même quantité d énegie qui a été absobée le long du ayon dans l exemple C 1 à gauche! Et même en ajoutant des ayons passant pa le cente comme en C 2, on ne éussiait pas à distingue ces tois exemples: les mesues enegistées seaient identiques Mais pemettons maintenant dans nos tois exemples des ayons hoizontaux ne passant pas pa le cente. Maintenant, on voit que la densité n est pas distibuée de la même façon dans les tois exemples. En effet, on voit qu aucune énegie n est absobée pou les ayons extêmes du pemie et du toisième exemple (soit A 2 et C 3 ). Aussi, dans C 3, moins d énegie est absobée le long des ayons passant pa le cente que pou cetains ayons décentés, comme le ayon bleu. Mais ces ayons ne pemettent pas de distingue l exemple de la densité unifome, soit B 2, de note nouvel exemple D 1 ici à doite. Pa conte des ayons veticaux du côté doit les distingueaient. Vous pouiez continue à étudie d autes exemples plus compliqués et vous convaince que : Plus on utilise de ayons, plus on obtient d infomation su la densité intene. C est le mathématicien autichien, Johann Radon qui a monté en 1917 que, si on utilise tous les ayons possibles, alos il n y a pas de pete d infomation et on peut econstuie la distibution de la densité en chaque point. À l époque il ne s intéessait pas à l imageie médicale et taitait un poblème puement mathématique, soit celui de econstuie une fonction à l aide de l ensemble des pojections su toutes les doites du plan. A 2 B 2 C 3 D 1 Vol. 10 hive pintemps 2015 7 C 2 Johann Radon (1887-1956)
DossieLumièe Vol. 10 hive pintemps 2015 8 Son tavail est un exemple du fait qu on ne sait pas d avance, en généal, quels poblèmes mathématiques théoiques pemettont une pecée technologique impotante. Bien sû, si l on voulait considée tous les ayons possibles, il y en auait un nombe infini. On se contente donc en patique de egade un nombe fini de ayons, tous situés dans un même plan et fomant un éseau assez dense, comme su la figue ci-conte. Pou chacun de ces ayons, on mesue l énegie absobée losque le ayon tavese le cops. Les données ecueillies pa le scanne Considéons un ayon D paamété pa s. En chaque point epésenté pa s la quantité d énegie I absobée est popotionnelle au coefficient d atténuation A(s), I = A(s) I(s) s. Faisons tende s ves 0. On obtient une équation difféentielle à vaiables sépaables : di = Asds (). Is () Appelons I e l intensité du ayon à son entée dans le cops, et I s son intensité à la sotie. Intégons des deux côtés On obtient Is I e di = Is () D Asds (). lni + ln I = Asds (). s e D Le défi est de econstuie une image à pati de tous ces nombes Mais une image de quoi? L énegie absobée en un point du cops est popotionnelle à l intensité du ayon et au coefficient d atténuation en ce point (voi l encadé «Les données ecueillies pa le scanne» ci-conte). Ce qu on catogaphie est ce coefficient d atténuation. Su nos dessins, un ton de gis plus élevé coespondait à une densité plus gande. Dans les images médicales obtenues pa scanne, c est le contaie : plus le coefficient d atténuation est élevé, plus le ton de gis associé est pâle. Le coefficient d atténuation augmente avec la densité des tissus. On peut l augmente atificiellement dans cetains oganes en faisant absobe au patient des liquides adioactifs : on amélioe alos la qualité de l image obtenue. Les mathématiques du pocessus de écupéation du coefficient d atténuation sont avancées. Nous les décivons bièvement dans l encadé «De la tansfomée de Radon à la tansfomée de Fouie». Pa conte, la modélisation elle-même est plus accessible, et nous penons le temps de la décie en détails. Mette l infomation sous fome de fonction. Nous allons egade le cas d une image coespondant à une coupe dans le plan. Nous voulons écupée, à pati des données founies pa le scanne, le coefficient d atténuation en chaque point : ceci est une fonction, f (x, y), inconnue. Quelle infomation nous donne le scanne? Il nous donne, pou chaque doite D du plan, la quantité d énegie absobée pa le cops los du passage d un ayon X le long de cette doite. À chaque doite D nous associons donc un nombe. Nous econnaissons le concept de fonction... On voit donc que si on connaît I e et que l on mesue I s, alos l appaeil peut calcule Asds (). D
Constuie une image médicale Chistiane Rousseau Univesité de Montéal Pa conte le domaine de la fonction est insolite C est l ensemble des doites du plan. En fait, pas toutes les doites, seulement celles, qui coupent le disque de l image, mais il suffit de die que la fonction vaut 0 pou les autes doites. On sait manipule des fonctions de plusieus vaiables. On va donc décide de code l ensemble des doites d un plan pa des vaiables. Regadons la doite ouge su la figue. v θ A-t-on avancé? On cheche une fonction inconnue, la fonction d atténuation, f (x, y). On connaît la fonction F (, q), où F (, q) epésente la «somme» de f (x, y) le long du ayon paamété pa et q. Pou mieux compende la stuctue de toutes ces vaiables et infomations, on va pousse un peu plus loin l abstaction. Ce qu on a constuit, c est une fonction R. f F = R(f ), dont le domaine et l image sont des ensembles de fonctions! Cette fonction R pote un nom : c est la tansfomée de Radon, du nom de Johann Radon qui l a intoduite en 1917. La tansfomée de Radon Vol. 10 hive pintemps 2015 Elle est uniquement déteminée pa le vecteu bleu, v, joignant l oigine à sa pojection su la doite. Donc, on a une bijection ente l ensemble des doites et l ensemble des vecteus issus de l oigine! Et on sait comment paaméte de tels vecteus : il suffit d utilise les coodonnées de l extémité du vecteu. Dans le contexte de la tomodensitométie axiale, on choisit d utilise les coodonnées polaies et q pou paaméte le vecteu v. Ce que l appaeil mesue, ce sont les valeus d une fonction F (, q). Appelons D, q la doite paamétée pa (, q). La doite passe pa le point ( cos q, sin q) et un vecteu diecteu est donné pa ( sin q,cos q). La doite est donc l ensemble des points {( cos θ ssin θ, sinθ+ scos θ), s R}. v θ 9 Le scanneu mesue la tansfomée de Radon, soit D, θ F (, θ= ) fxyds (, ) c est-à-die f (cos θ ssin θ, sinθ+ scos θ) ds.
DossieLumièe Vol. 10 hive pintemps 2015 10 e v Supposons que la fonction R soit invesible, et appelons R 1 son invese. Pou écupée f de F, il suffit de calcule R 1 (F). Effectivement, un invese de la tansfomée de Radon existea. Essayons une idée. On doit écupée le coefficient d atténuation, f (x, y) au point (x, y). Ce point a contibué aux valeus de F (, q) pou toutes les doites paamétées pa et q et passant pa le point (x, y). Quelles sont ces doites? Regadons la figue. Si une doite passant pa (x, y) est paamétée pa le vecteu v, alos le poduit scalaie du vecteu (x, y) avec le vecteu unitaie e = (cos q,sin q ) dans la diection du vecteu v vaut pécisément! (Voi Section poblèmes). Donc, l ensemble de ces doites coespond à l ensemble des solutions (, q) de x cos q + y sin q=. θ (x, y) On connaît maintenant toutes les valeus de F(, q) auxquelles f(x, y) a contibué. On pouait essaye de faie la moyenne de ces valeus pou écupée f (x, y). L idée n est pas mauvaise mais un peu top naïve. Revenons su deux de nos exemples et intéessons-nous A 1 à f (0, 0). Toutes les doites passant pa (0, 0) ont pou vecteu associé un vecteu v de longueu = 0. Dans le pemie, A 1, on a un disque unifome de ayon 1/2. Donc, tout ayon qui passe pa l oigine a C tavesé une zone 1 dense su un segment de longueu 1. On a donc F (0, q) =1. Dans l illustation C 1, la fome de l image est un anneau de ayon intéieu 1/4 et de ayon extéieu 3/4. Ici encoe, tout ayon qui passe pa l oigine a tavesé une zone dense su un segment de longueu 1. On a donc encoe F (0, q) =1. On voit donc qu on ne peut espée écupée f (0, 0) à pati de la seule connaissance des F (0, q) =1.
Constuie une image médicale Chistiane Rousseau Univesité de Montéal Pouquoi? On n a pas assez mélangé les difféents f (x, y) losqu on a calculé F (, q) Il va falloi les mélange encoe plus pou obteni une fonction G(X, Y), définie su le plan, dont la valeu en (X, Y) est une moyenne pondéée de tous les f(x, y). La pondéation dépend de (X, Y) (voi encadé «De la tansfomée de Radon à la tansfomée de Fouie»). La tansfomation f F = R(f ) G = F(f ), sea invesible. Elle est connue des mathématiciens : c est la tansfomée de Fouie en 2 vaiables. En appliquant F 1 à la fonction G, on écupéea la fonction de dépat f, et on poua génée note image. Cette patie devient top technique, et nous ne enteons pas dans les détails. Même si une fomule existe pou invese la tansfomée de Radon, il este des défis mathématiques. En voici deux. Le scanne utilise seulement un échantillon fini de doites : quel est le meilleu choix, compte tenu des containtes technologiques de fonctionnement de l appaeil? Du point de vue mathématique, comment faie pou que cetaines petites eeus d appoximation ne poduisent pas de gosses eeus los de la econstuction mathématique de l image? On décide souvent d applique un filte avant de econstuie l image pou obteni une image plus nette et plus fidèle (voi fin de l encadé «De la tansfomée de Radon à la tansfomée de Fouie»). De la tansfomée de Radon à la tansfomée de Fouie Au coefficient d atténuation, f, qui est une fonction de (x, y), on a fait coesponde sa tansfomée de Radon, F, qui est une fonction de (, q). On fait coesponde à F deux fonctions G 1 et G 2 définies pa G( ρθ=, ) F(, θ)sinρd 1 et G ( ρθ=, ) F(, θ)cos ρd. 2 Pou une diection q donnée, on peut avoi des oscillations en. Ces fonctions viennent mesue l amplitude de l oscillation de péiode 2π/. Elles nous disent en effet que F (, q) contient une composante 1 ( G1( ρθ, )sin ρ+ G2( ρθ, )cos ρ). 2π La «somme» de toutes ces composantes pou toutes les valeus de (donnée pa une intégale) nous donne F (, q). Les eeus d appoximation dans les composantes pou gand conduisent souvent à beaucoup de flou dans l image. On peut choisi d applique un filte qui annule ces composantes pou obteni une image plus nette, pa exemple en posant G 1 (, q) = 0 et G 2 (, q) = 0 losque dépasse un cetain seuil. Vol. 10 hive pintemps 2015 11