CH.9 : ONDS LCTROMAGNTIQUS Plan (Clique su le tite pou accéde au paagaphe) ********************** CH.9 : ONDS LCTROMAGNTIQUS... I. LS POSTULATS D L... I.. LOI D FORC D LORNTZ... I.. LS QUATIONS D MAXWLL... I.3. CONTNU PHYSIQU DS QUATIONS D MAXWLL... I.3.. Maxwell-Gauss (M.G)... I.3.. Maxwell-flux (M. Φ )... I.3.3. Maxwell-Faaday (M.F)... I.3.4. Maxwell-Ampèe (M.A)... 3 I.4. RLATIONS D PASSAG... 3 II. QUATIONS LIS AUX POTNTILS... 3 II.. CHAMPS N FONCTION DS POTNTILS... 3 II.. CHOIX D UN JAUG... 3 II.3. SOLUTION DS POTNTILS RTARDS... 4 III. PROPAGATION DU CHAMP LCTROMAGNTIQU... 4 III.. APPROCH QUALITATIV... 4 III.. QUATION D PROPAGATION DANS L VID... 5 III.3. SOLUTIONS PARTICULIRS D L QUATION D D ALMBRT... 5 III.3.. Onde plane... 5 III.3.. Onde sphéique... 6 IV. OND PLAN PROGRSSIV LCTROMAGNTIQU... 6 IV.. CAS PARTICULIR D UN OND MONOCHROMATIQU... 6 IV... Repésentation complexe d une O.P.P.M... 6 IV... xpession des opéateus en fonction de k et de la pulsation... 7 IV..3. Stuctue de l O.P.P.M électomagnétique... 7 IV.. GNRALISATION A UN O.P.P... 8 IV.3. VITSS D PHAS-VITSS D GROUP... 8 V. ASPCT NRGTIQU D L OND LCTROMAGNTIQU... 9 V.. BILAN NRGTIQU LOCAL... 9 V.. VCTUR D POYNTING... VI. POLARISATION D UN O.P.P.M LCTROMAGNTIQU... VI.. DFINITION... VI.. XMPLS D TATS D POLARISATION... VII. RFLXION D UN O.P.P.M SUR UN PLAN CONDUCTUR... VII.. CARACTRISTIQUS D L OND RFLCHI... VII... Conditions aux limites... VII... xpessions des champs éfléchis et du couant sufacique induit... VII.. APPARITION D UN OND STATIONNAIR... 3 VII... Stuctue de l onde ésultante stationnaie... 3 VII... Aspect énegétique de l onde stationnaie... 3 VIII. RAYONNMNT DIPOLAIR... 4 VIII.. CADR D L TUD... 4 VIII.. DTRMINATION DS CHAMPS... 5 VIII... xpession généale... 5 Page Chistian MAIR duklub S.A.
VIII... xpession à gande distance de l oigine... 6 VIII..3. Appoximation locale pa une onde plane... 6 VIII.3. ASPCT NRGTIQU... 6 VIII.3.. Puissance ayonnée pa un dipôle... 6 VIII.3.. Cas d un mouvement sinusoïdal... 7 ********************** I. LS POSTULATS D L I.. LOI D FORC D LORNTZ Dans un éféentiel (R), on définit une entité physique ( B, ) appelée «champ électomagnétique» telle qu une paticule (chage q, vitesse v R ) qui s y touve placée subisse une foce donnée pa : F = q( + v B) Le but de l électomagnétisme est de détemine ce champ à pati de la distibution de chages ) qui le cée. et de couants ( ρ et j I.. LS QUATIONS D MAXWLL A pati de ésultats antéieus (Gauss, Ampèe, Faaday ) et de considéations pesonnelles, J.C Maxwell (83-879) a postulé les équations suivantes (publications de 855 à 864) : ρ quation de Maxwell-Gauss: div = ds qint/ ε ε " = S quation de Maxwell-flux: divb = " B ds = S ### B dϕ quation de Maxwell-Faaday: ot = dl = $ C dt ### quation de Maxwell-Ampèe: otb = µ ( j + ε ) B dl ( e ) µ i ε $ = + ds C S R I.3. CONTNU PHYSIQU DS QUATIONS D MAXWLL I.3.. Maxwell-Gauss (M.G) Les lignes du champ électique peuvent divege à pati de souces ponctuelles appelées chages électiques (= «monopôles» électiques). Le théoème de Gauss est applicable en égime non pemanent (ceci n a ien d immédiat losqu on démonte le théoème à pati de la loi de Coulomb, cette denièe n étant alos plus valable). I.3.. Maxwell-flux (M. Φ ) Le flux magnétique est CONSRVATIF (ce flux à taves toute suface coupant un même tube de champ est consevé). Les lignes de champ magnétique ne peuvent divege à pati de souces ponctuelles : il n existe pas de monopôles magnétiques. I.3.3. Maxwell-Faaday (M.F) Au même tite que des chages électiques, un champ magnétique vaiable dans le temps donne naissance à un champ électique ; mais la ciculation de ce champ induit est non nulle su un contou femé (phénomène d induction). Page Chistian MAIR duklub S.A.
I.3.4. Maxwell-Ampèe (M.A) Au même tite que des couants de conduction (chages électiques en mouvement), un champ électique non pemanent engende un champ magnétique (fome généalisée du théoème d Ampèe). j = ε Le teme D est appelé «couant de déplacement» (taduction malheueuse de l anglais, ca il n y a pas de déplacement de chages électiques ). La démache de Maxwell fut la suivante : pou teni compte de la consevation de la chage, il intoduisit un teme supplémentaie dans l équation (M.A) initiale, soit : ### ### ρ ( ε div) otb = µ ( j + j ) div( otb) = = divj + divj = + divj = + divj div( j ε D ) = D D D D (gâce à M.G) Les vaiables de temps et d espace étant indépendantes, on pemute les opéateus, d où : ; des considéations de cohéence intene de la théoie électomagnétique (aspect énegétique en paticulie) et des confimations expéimentales ont pemis à Maxwell de = ε eteni la solution la plus simple, soit : D I.4. RLATIONS D PASSAG j On considèe deux milieux () et () dont la suface de sépaation (sa nomale locale n étant oientée de () ves ()) est poteuse d une distibution de chages (σ,en Cm. ) et de couants ( j S, en Am. ) sufaciques ; on a, juste de pat et d aute de la suface de sépaation, les conditions aux limites suivantes : σ = n et : B B = µ js n ε Il y a donc continuité de la composante tangentielle de et de la composante nomale de B II. QUATIONS LIS AUX POTNTILS II.. CHAMPS N FONCTION DS POTNTILS B = ota ### ##### A = gadv t où A est le «potentiel-vecteu» du champ électomagnétique ( B, ) scalaie». et V son «potentiel II.. CHOIX D UN JAUG Nous avons vu (chapite 7) que le potentiel-vecteu A ' = A + ##### gad f (où f est une fonction quelconque) donne le même champ que A f ; il en est de même pou V ' = V (il faut teni t compte du couplage ente et B désomais) vis-à-vis de. Faie le choix d un couple de potentiels s appelle «choisi une JAUG» : nous allons en voi deux exemples apès avoi établi les équations difféentielles satisfaites pa A et V ; donc : Page 3 Chistian MAIR duklub S.A.
ρ ##### A ( diva) ρ ( diva) div = = div( gadv ) = V V + = () ε ε ##### ### ###### ##### ( gadv A/ ) otb = ot( ota) = gad( diva) A = µ j + ε µ = µ j + ε µ A ##### V A εµ + µ j = gad( diva + εµ ) () Les équations () et () sont couplées ; on peut faie les choix suivants : ρ jauge de Coulomb : diva = V + = : c est l équation de Poisson,vue en ε statique, dont on connaît la solution ; mais dans l équation (), A et V estent couplés. A V jauge de Loentz : diva + εµ A εµ + µ j = = (3) et (4) V ρ V εµ + = ε Les équations (3) et (4) sont alos découplées : les solutions sont connues sous le nom de «potentiels etadés». II.3. SOLUTION DS POTNTILS RTARDS On considèe un domaine (D), poteu de chages et de couant électiques ; en posant c ε µ =, les potentiels etadés sont donnés pa : P dτ M ρ( Pt, / c) V( M, t) = dτ 4πε D µ jpt (, / c) AM (, t) = dτ 4π D (D) On constate que les expessions de A et V au point M, à l instant t, dépendent de l état des distibutions de chages et de couants à l instant ANTRIUR t-/c : ceci est compatible avec la Relativité Resteinte qui ejette la possibilité de popagation instantanée de phénomènes physiques (contaiement aux potentiels «coulombiens» ou «newtoniens») ; la gandeu c appaaît ainsi comme une vitesse de popagation du champ électomagnétique mais nous eveons cette notion plus loin. L instant etadé t-/c dépend du point P d intégation, ce qui end les calculs encoe plus délicats : dans le cade du pogamme, nous n auons pas à faie de tels calculs et nous ne epaleons des potentiels etadés qu à popos du «ayonnement dipolaie». III. PROPAGATION DU CHAMP LCTROMAGNTIQU III.. APPROCH QUALITATIV La possibilité de popagation d une onde électomagnétique ésulte du couplage des champs et B dans les équations de Maxwell ; supposons qu en un point appaaisse un champ : ce Page 4 Chistian MAIR duklub S.A.
champ n existant pas aupaavant, il y a donc un «###» obtention d un «otb» qui affecte le point considéé et son voisinage (pa l intemédiaie des déivées spatiales) ; en ces points voisins, un champ magnétique est né, donc un «B ###» généation d un «ot» qui affecte le voisinage etc Ainsi, de poche en poche, la petubation initiale peut se popage sous fome d un champ électomagnétique. III.. QUATION D PROPAGATION DANS L VID Dans le vide, en l absence de chages et de couants, les équations de Maxwell se simplifient et l on peut écie : ### ( εµ ) ### ### ##### ### ot( ot) = gad( div) = = ot( ) = = = εµ B = De même : B εµ = B ( otb) εµ ; d où : On véifiea qu avec la jauge de Loentz, les potentiels V et A satisfont à la même équation ; cette équation aux déivées patielles est du type : f f = ; elle pote le nom de «équation de popagation» ou «équation de v d Alembet», où v est la «céléité» de l onde. Dans le cas du champ électomagnétique, cette céléité v est égale à ε µ. Des expéiences (en électostatique et magnétostatique) avaient pemis de mesue ε et µ ; pa ailleus, on commençait à avoi une bonne pécision su la mesue de la vitesse de la lumièe c (L.Foucault en 85) : l identité ente la céléité des ondes électomagnétiques et c (ainsi que d autes considéations, su la polaisation en paticulie) a pemis à Maxwell d affime le caactèe électomagnétique de la lumièe. On etienda donc : c= % 3. ms. εµ 8 III.3. SOLUTIONS PARTICULIRS D L QUATION D D ALMBRT III.3.. Onde plane Définition : un phénomène physique, auquel on aua associé une ou plusieus gandeus mathématiques (élongation d un point d une code, tempéatue, champ électique ou magnétique ), qui dépend de l espace T du temps, sea appelé onde. Définition : une onde f(x,t) est dite PLAN si, à tout instant, l amplitude de f est constante su tout plan pependiculaie à une diection fixe. Rq : en coodonnées catésiennes, une onde plane ne dépenda que d une vaiable d espace. Sous fome d onde plane, on monte que les solutions les plus généales de l équation de d Alembet sont de la fome : Page 5 Chistian MAIR duklub S.A.
f( x, t) = g( x vt) + h( x+ vt) (Ox étant la diection de popagation) Rq : soit g() l amplitude de l onde g(x,t) en x= et à t= ; quel que soit x, il existe toujous un instant t tel que x-vt= l amplitude de l onde vauda à nouveau g() (en ce point d abscisse x et à l instant t) la dépendance en x± vt taduit une onde se popageant selon Ox sans atténuation d amplitude : g et h sont dites «ondes planes PROGRSSIVS». Rq : g(x,t) est une onde pogessive se popageant à la vitesse v selon les x coissants, h(x,t) se popage quant à elle selon les x décoissants. Rq3 : si la diection de popagation ne coïncide plus avec l un des tois axes du epèe catésien d étude, alos on écia : f(, t) = g( n vt) + h( n+ vt) (où n est un vecteu unitaie de la diection de popagation). Rq4 : à l opposé, on appellea «onde STATIONNAIR» une onde où les vaiables de temps et d espace seont sépaées, c est-à- die telle que : f(, t) = g( ) h( t) ( = OM #### ; O=oigine) (pou des points tels que g ( ) =, l amplitude de l onde stationnaie sea nulle quel que soit t : il n y a plus popagation de cette amplitude). III.3.. Onde sphéique Définition : une onde f est dite «sphéique» si, à un instant t fixé, l amplitude de f est constante su une sphèe quelconque (centée su un point O pis comme oigine) ; on peut donc écie : f(, t) = f(, t) avec: = OM #### Une onde sphéique véifiant l équation de d Alembet sea telle que : f(,) t = g( vt) + h( + vt) Rq : g est une onde sphéique divegente (à pati de O), h une onde convegente (ves O). Rq : contaiement à une onde plane, une onde sphéique se popage en s atténuant (donc en se défomant) ; nous veons que cette atténuation de l amplitude ne taduit pas une absoption du milieu (ici, ce seait le vide ), mais coespond au contaie à la consevation de l énegie. IV. OND PLAN PROGRSSIV LCTROMAGNTIQU IV.. CAS PARTICULIR D UN OND MONOCHROMATIQU IV... Repésentation complexe d une O.P.P.M Considéons un champ électique de type O.P.P.M ou O.P.P.H («onde plane pogessive monochomatique ou hamonique») se popageant selon Ox ; on poua écie : x = xcos( ωt kx+ ϕ x) = y = ycos( ωt kx+ ϕ y) = cos( ωt kx+ ϕ ) z z z n injectant cette expession dans l équation de d Alembet, il vient, selon Ox pa exemple : ω kx + ( ) x = x c k ω c = = «elation de dispesion» Page 6 Chistian MAIR duklub S.A.