FORCES CENTRALES CONSERVATIVES I Au cous d'un voyage inteplanétaie, un vaisseau spatial de masse m = 1 t est tansféé depuis la Tee jusqu'à la planète Mas. Ce tansfet s'effectue suivant une obite elliptique (ellipse d'hohmann) tangente aux deux obites coplanaies, patiquement ciculaies, de la Tee et de Mas, de ayons espectifs R1 = 1,5.10 8 km et R2 = 2,3.10 8 km, et dont le Soleil est un foye. On négligea l'attaction execée pa les planètes su le vaisseau et on ne considéea que l'attaction solaie. Tajectoie de Mas Ellipse de tansfet On donne le masse du Soleil M = 2.10 30 kg; constante de gavitation univeselle G = 6,67.10-11 Soleil S.I. Détemine en fonction de R1, R2, G et M, puis calcule numéiquement : 1) l'excenticité e et le paamète p de l'obite de tansfet d'hohmann, Tajectoie et la constante des aies C = pgm de cette obite ; de la Tee 2) la duée T de ce voyage inteplanétaie Tee-Mas ; 3) l'augmentation de vitesse qu'il faut communique au vaisseau a) los du lancement depuis la tee ; b) los de son aivée su la planète mas ; 4) la position elative angulaie que doit avoi la planète Mas pa appot à la Tee à l'instant où le vaisseau quitte la tee. Réponse : e = R 2 R 1 R 2 + R 1 ; p = 2R 1 R 2 R 1 + R 2 ; C = 2GM R 1 R 2 R 1 + R 2 ; T = Δ vt = GM 2R 2 R 1 1 R 1 + R ; Δ vm = - 2 GM R 2 1 2R 1 R 1 + R ; 45. 2 π R 1 + R 2 GM 2 3/2 ; II Satellite Hippacos Le satellite Hippacos lancé le 8 août 1987 était constitué pincipalement d'un télescope de 30 cm de diamète. Celui-ci a pemis d'établi un catalogue des positions, distances et éclats de plus de 118 000 étoiles avec une pécision jamais atteinte. Ce satellite devait ête placé su une obite géostationnaie à une altitude H = 36 000 km. Un poblème de mise à feu du moteu d'apogée a laissé Hippacos su son obite de tansfet, son altitude vaiant ente h et H. Apès utilisation des moteus de positionnement, l'altitude minimale a été potée à h = 500 km. Une pogammation du satellite a pemis de s'affanchi des poblèmes liés à cette obite. Au cous d'une évolution, il passe dans la ceintue de Van Hallen. On supposea que cette ceintue est compise ente deux sphèes de ayon 1 = 8 400 km et 2 = 28 000 km et de cente celui de la Tee. La ceintue de Van Hallen est constituée de paticules chagées piégées dans le champ magnétique teeste. Ces paticules aveuglent les détecteus d'hippacos inteompant les mesues des positions des étoiles. Il est cependant utilisable à 65%. On assimile la Tee à une sphèe de cente O, de ayon R = 6 400 km et de masse M et le satellite à un point matéiel (S, m). On suppose le éféentiel géocentique Rgc galiléen. La péiode de otation de la Tee dans ce éféentiel appelée jou sidéal vaut T = 86 164 s. On note G la constante de gavitation, sa valeu numéique n'est pas utile dans ce poblème. A Moment cinétique 1) Monte que le moment cinétique L en O du satellite est une constante du mouvement. 2) On utilise les coodonnées cylindiques (O,u,u θ,u z ) avec u z tel que L = L u z. Monte que le mouvement est plan et expime 2 dθ en fonction de L et m. dt Quelle est le nom de cette gandeu? B Vecteu excenticité 2016 2017 1/15
L 1) Monte que e = u θ - V est une constante du mouvement (V étant la vitesse du satellite). GmM 2) On choisit l'oigine de l'angle polaie pou avoi θ = ( e, u θ ). p Monte que l'équation de la tajectoie peut se mette sous la fome : (θ) = où e est la nome de e. 1 e cosθ En déduie la tajectoie du satellite. C Tajectoie d'hippacos 1) Expime et calcule e et p en fonction de h, H et R. 2) Expime et calcule le demi-gand axe a de la tajectoie. D Péiode d'hippacos 1) Enonce sans démonstation la toisième loi de Képle. 2) Expime la péiode Th de évolution d'hippacos en fonction de T, R, H et h. Calcule Th en heue. E Ceintue de Van Hallen 1) Détemine les valeus numéiques des angles θ 1, θ 2 d'entée et de sotie de la ceintue de Van Hallen du satellite. On donnea les valeus compises ente 0 et 180. 2) Repésente su un schéma clai la tajectoie du satellite et l'aie A balayée pa OS los d'un passage dans la ceintue de Van Hallen. Pou la question suivante, on penda une valeu appochée de A = 200.10 6 km 2. 3) Détemine le appot ρ = t o /T h en fonction de A et Ae (aie de l'ellipse) où to est la duée totale d'inactivité d'hippacos su une péiode. Commente. πp 2 On donne l'aie de l'ellipse : Ae = 1 e 2 ( ) 3/2. Réponse : e = ( )( R + H) H h 2R + H + h ; p = 2 R + h 2R + H + h ; a = R + H + h ; Th = T 2 R + H + h 2 R + H 3/2 ; ρ = 2 A A e. III Inteaction nucléaie ente poton et neuton Dans la théoie de Yukawa su les foces nucléaies, l inteaction attactive ente un neuton et un poton est caactéisée pa l énegie potentielle suivante, fonction de la distance qui sépae les deux paticules : E p,ef Ep() = K e / a a étant une distance caactéistique et K une constante négative d inteaction. 1) Donne l expession de la foce coespondante. 2) Donne l expession de l énegie potentielle effective E p,ef en fonction de la masse µ du système et de son moment cinétique L dans le éféentiel du cente de masse. Le gaphe E p,ef () a l allue epésentée su la figue ci-conte. Discute les difféents mouvements possibles suivant la valeu de l énegie E = E c + E p. Quelle est l équation qui elie les constantes L, a, µ, K à la valeu m pou laquelle la déivée de p,ef /d est nulle? 3) Calcule le moment cinétique L et l énegie E dans le cas d un mouvement ciculaie de ayon o. E 1 0 o 1 Réponse :! F = K 2 L = 1+ e / a! e ; E p,ef = 1 L 2 a 2 µ + E 2 p ; K 1+ m e m / a + L2 = 0 ; a µ m µk o 1+ o e o / a ; E = K 1 o e o / a. a 2 o a E o 2016 2017 2/15
PCSI 2 IV Foces centales en 1/ 2 Patie A : Résultats généaux On s intéesse dans ce poblème aux mouvements de satellites ou de météoites en inteaction gavitationnelle avec la Tee. L étude se fea dans le éféentiel géocentique considéé comme galiléen, la Tee étant une sphèe homogène de cente T, de ayon RT, et de masse totale M T. Un objet quasi ponctuel P, de masse m évolue à une distance du cente de la Tee et à une altitude h (h + RT = ). On note G la constante de gavitation univeselle. On note doite TP oienté de T ves P. u le vecteu unitaie de la Dans tout le poblème, on utilisea les valeus numéiques suivantes : * Rayon teeste : RT = 6400 km. 2 * Intensité de la pesanteu à la sufacede la Tee : g o = 9,81m.s. * Dans tout cette patie l objet étudié ne sea soumis qu à la seule foce de gavitation execée pa la Tee. 1) Expime la foce gavitationnelle F à laquelle P est soumis, en fonction de m, M T, G et, puis en fonction de m, RT, h et de g o. 2) Etabli que F est une foce consevative et donne l expession de E l énegie potentielle dont déive cette foce en p fonction de G, M T, m et. On choisia la constante de manièe à ce que l énegie potentielle du satellite soit nulle s il est infiniment éloigné de la Tee. pa v la nome de la vitesse de P. Expime 3) On désigne l énegie mécanique E de P. 4) Quelle est, en fonction de la distance, la vitesse minimale v min () qui pemettait à cet objet d échappe à l attaction teeste. 5) Evalue littéalement puis numéiquement v lib = v min (RT ) (vitesse de libéation à la suface teeste) et v min (2RT ). 6) Monte que le mouvement de l objet est plan et qu il s effectue suivant la loi des aies. Patie B : Etude d un satellite 1) Obite géostationnaie a) Le satellite a un mouvement ciculaie de ayon à l altitude h. α) Détemine sa vitesse v en fonction de h, RT et g o. β) En déduie sa péiode T en fonction de h, RT et g o, et son énegie mécanique totale en fonction de m, h, RT et g o. γ) On veut que le satellite soit géostationnaie, c est à die qu il soit immobile pa appot à un obsevateu lié à la Tee. h Détemine numéiquement son altitude, ainsi que sa vitesse obitale v g. Pécise quel est alos le plan de la tajectoie. g b) Zones de visibilité : α) Détemine la latitude maximale d où un satellite géostationnaie est visible à la suface de la Tee. β) En fait, à cause des petubations appotées pa l atmosphèe teeste, un satellite n est utilisable pou le epéage que s il latitude est au moins 5 au dessus de l hoizon. Détemine la nouvelle maximale de visibilité. γ) Pou le epéage, on utilise en fait des satellites d obite quasi-ciculaie de péiode T o égale à 12 heues. Détemine leu altitude ho. 2) Lancement d un satellite On ne tienda pas compte de l effet de l atmosphèe teeste. Le satellite est lancé depuis la suface de la Teeavec une vitesse initiale v i = 4 km.s 1, et un angle de ti α (angle de la vitesse initiale avec l hoizontale locale au point de ti cf figue (2)) de telle manièe que l apogée de la tajectoie soit à une altitude ha = 300 km. On désignea alos pa A sa distance au cente de la Tee. a) Détemine l expession de l énegie mécanique du satellite. En déduie sa vitesse v A à l apogée, ainsi que l angle de ti α. b) Détemine le paamète p et l excenticité e de l ellipse. 2016 2017 3/15
PCSI 2 c) A l apogée, on communique au satellite, de façon quasi-instantanée, une vitesse supplémentaie tangente à la tajectoie pou effectue une mise su obite ciculaie de ayon A à la vitesse v1. Détemine v1 et la vitesse supplémentaie Δv1 à communique. Patie C : Mouvements de météoites 1) Dans cette patie on étudie des météoites au voisinage de la Tee. Une météoite de masse m s appoche de la Tee. Au point I tel que I = 9RT, sa vitesse a pou nome v I et la diection de v I est potée pa une doite à la distance d de T. a) Expime l énegie mécanique de la météoite en fonction uniquement de m, v I et v lib (vitesse de libéation définie en A 5). b) Expime la nome LT (P) du moment cinétique de la météoite pa appot T à en fonction de m, d et v. I c) Su la figue (3) sont dessinées plusieus tajectoies où (1) et (5) sont des segments de doite,(2) est une ellipse, (3) et (7) sont des acs de et (6) des acs d hypeboles. paabole, (4) Indique pami ces tajectoies celles qui sont à exclue et pécise pouquoi. Classe celles qui à pioi sont possibles en fonction de leu énegie mécanique. d) Quelle est la fome de la tajectoie coespondant à I = 9RT et v I = v lib? Pouvezvous pécise la valeu de la nome de sa vitesse au bout d un temps tès gand? les coodonnées polaies,θ dans le plan du mouvement. Une météoite P est obsevée tès loin de la Tee avec une 2) On utilise vitesse de nome v. Au point I à la distance I = o de la Tee la nome de sa vitesse est v I = v o 3 GM T où v o =. o La météoite passe pa le point J à la distance J = o de la Tee avec une vitesse 2 de nome v J et intecepte l axe polaie au point K à la distance K = 1 de la Tee. o L équation de la tajectoie de la météoite est : (θ ) =. 1+ 2cos θ a) Détemine les angles polaies en I et J (attention aux signes!). b) Expime 1 en fonction de o. c) Déduie de l équation de la tajectoie, la natue de la conique et son excenticité. d) Expime l énegie mécanique Eo de la météoite au point I en fonction de m et v o. Commente le ésultat obtenu. e) Expime en fonction de Eo les tavaux W IJ et W JK effectués pa la foce de gavitation ente les points I et J et ente les pointsj et K. f) Expime v J et v K en fonction de v o. Véifie que l on obtient v K = v o (1+ 2). de v K? Justifie. g) Quelle est la diection v et le paamète d impact b (distance de T à la doite qui h) Détemine pote la vitesse à l inifini). Réponse : v lib = 2g o RT ; hg 36000km; v g 3, 08km.s 1 ; λ = 81,3 puis 76,3 ; ho 20300km ; 1 1 1 2 1 2 v A = v i 2 + 2g o RT 2 ; α = 32,5 ; p = 1159 km ; e = 0,827 ; v1 = 7,74 km.s-1 ; E = m v I v lib ; 2 9 RT + ha RT o 8 π π ; e= 2 ; v lib ; θ I = ; θ J = ; 1 = LT (P) = mdv I ; seuls (2) (3) (4) possibles ; (4) hypebole ; v = 3 2 4 1+ 2 2016 2017 4/15
E o = 1 2 mvo2 ; W IJ = 2E o ; W JK = 2( 2 1)E o ; v J = 5v o ; v = v o ; b = o. V Dans l espace Données : Masse de la Tee : M T = 5,97.10 24 kg Rayon de la Tee : R T = 6,38.10 6 m Masse du Soleil : M S = 333.10 3.M T Constante de gavitation univeselle : G = 6,67.10-11 S.I. Jou sidéal : T sid = 86 164 s 1) Lancement d un satellite On étudie le lancement d un satellite atificiel à pati d un point O de la suface teeste. a) Etabli l expession de la vitesse du point O dans le éféentiel géocentique R g (assimilé ici à un éféentiel galiléen) en fonction de la vitesse angulaie de otation de la Tee autou de l axe de ses pôles Ω, du ayon teeste R T et de la latitude du lieu λ. b) En déduie les conditions les plus favoables pou le lancement du satellite. Pami les tois champs de tis suivants, lequel choisi de péféence? Baïkonou au Kazakhstan λ = 46 ; Cap Canaveal aux USA λ = 28,5 ; Kouou en Guyanne fançaise λ = 5,23. 2) Champ de gavitation On considèe que la Tee de masse M T et de ayon R T a une épatition de masse à symétie sphéique et une masse volumique ρ. a) Enonce la loi de la gavitation univeselle. b) Monte qu en un point situé à une distance du cente de la Tee ( > R T ), le champ de gavitation peut se mette sous la! fome : G = GM T! 2 e. Défini le vecteu e!. 3) Lancement d un satellite atificiel a) Etabli l expession de l énegie potentielle de gavitation du système {Tee-satellite} en fonction de l altitude z du satellite pa appot au sol. On pend pou éféence une énegie potentielle nulle à l infini. En déduie l expession de l énegie mécanique du satellite su sa base de lancement dans le éféentiel géocentique. b) On appelle ici vitesse de libéation v l, la vitesse veticale minimale qu il faut communique initialement au satellite pa appot au sol, pou qu il puisse se libée de l attaction teeste. Donne l expession de v l. Calcule sa valeu numéique dans le cas où le satellite est lancé de la base de Kouou. 4) Satellite atificiel en obite On considèe un satellite atificiel de masse m en mouvement ciculaie autou de la Tee. a) Monte que le mouvement du satellite est unifome. Etabli l expession de la vitesse du satellite en fonction de son altitude ainsi que la toisième loi de Képle liant la péiode de otation T du satellite au ayon de sa tajectoie. b) Calcule le ayon de l obite d un satellite géostationnaie et défini son plan de évolution. c) Quelle énegie cinétique minimale faut-il communique au satellite pou qu il échappe à l attaction teeste s il est initialement en obite ciculaie autou de la Tee à l altitude z? A.N. : z = 36 000 km ; m = 6 t. d) Soit un satellite d énegie initiale E mo. Son obite est elativement basse et il subit donc les fottements des hautes couches de l atmosphèe. Il s ensuit que l énegie mécanique du satellite vaie selon la loi : E m = E mo ( 1 + b t ), b étant un cœfficient constant positif. On suppose que la tajectoie este appoximativement ciculaie. Pécise le signe de E mo. Etabli l expession du ayon et de la vitesse v du satellite en fonction du temps. Compae les évolutions de et de v ainsi que celles des énegies potentielle et cinétique. Que devient l énegie pedue? 5) Sonde solaie On cheche à positionne une sonde spatiale de masse m en un point P de manièe à ce que, abandonnée en ce point, la sonde este immobile pa apot au système {Tee-Soleil}. Les positions coespondant à cette situation sont appelées «points de Lagange». Soient : P 1 et P 2 les positions de Lagange pou lesquelles le point P est aligné avec le cente T de la Tee et avec le cente S du Soleil ; T et P se touvant du même côté du Soleil ; x la distance ente la sonde et la Tee ; d la distance Tee-Soleil ; k = M S /M T. La masse de la sonde est négligée pa appot aux masses de la Tee et du Soleil. On tienda compte de la otation de la Tee autou du Soleil. a) Détemine les valeus des distances SP coespondant à ces positions. Faie un schéma. On considèe que x/d << 1. b) Quel est l intéêt de place un satellite en l un de ces points? Donne un exemple de ces satellites paticulies. 2016 2017 5/15
Réponse : v(o) = R T Ω cos λ ; E p = GmM T R T + z ; E m = 1 2 mr 2 T Ω 2 cos 2 λ GmM T ; v l = 2GM T v 2 (O) ; v = R T R T E c = 2,82.10 10 J ; (t) = GmM T 2E mo (1+ bt) ; v(t) = 2E mo(1+ bt) Gm d ; x 1 x 2 ( 3k) 1 3. GM T R T + z ; VI Mouvement dans un champ newtonien - Théoème du viiel Le théoème du viiel affime en paticulie que si un point matéiel M(x, y, z) possède une énegie potentielle E p (x, y, z) véifiant la popiété E p (λx, λy, λz) = λ k.e p (x, y, z) pou tout λ éel, alos il existe la elation k<e p > = 2<E c > ente les valeus moyennes tempoelles au cous du mouvement de M à condition que la tajectoie soit bonée ; E c désigne l énegie cinétique de M et <f> la valeu moyenne de f(t) au cous du temps. Nous ne considéeons que des mouvements péiodiques donc les moyennes seont calculées su une péiode. Dans tout le poblème, l étude est faite dans un éféentiel galiléen (R) auquel est associé un epèe othonomé (O, x, y, z). On considèe un satellite de masse m se touvant à une distance du cente O de la Tee. On note G la constante de gavitation, M t la masse de la Tee et la distance ente O et le satellite. 1) a) Comment s écit la foce subie pa le satellite? b) Détemine l énegie potentielle E p du satellite (avec la convention E p = 0 à l infini). c) Comment s expime ici le théoème du viiel? Quelle popiété de l énegie etouve-t-on pou un état lié? d) Dans le cas où la tajectoie du satellite est ciculaie de ayon o, détemine sa vitesse v C. Pou la suite, le satellite est lancé à une distance o, avec une vitesse othoadiale (othogonale au ayon vecteu) de module v o = α GM t o avec 1 < α < 2. 2) a) Monte que le mouvement est plan. Celui-ci est epéé en coodonnées polaies (,θ) dans son plan ; monte que la quantité 2 dθ est constante. Détemine la valeu de cette constante que l on notea C. dt b) Monte que la tajectoie est bonée. p C' c) Monte que l équation polaie de la tajectoie peut s écie = avec p = où C' est une constante que l on 1+ e cosθ GM t déteminea. On donne la deuxième fomule de Binet :! γ = C 2 1 2 + 2 1 θ 2 e!. En oute, il est appelé que dans le cas d une tajectoie elliptique l énegie mécanique vaut E = GM t m avec a le demi-gand 2a axe. d) Détemine le paamète p de la tajectoie du satellite en fonction de o. e) Détemine l excenticité de la tajectoie en fonction de α seulement. f) Calcule les ayons au péigée et à l apogée. Repésente la tajectoie en pécisant le point dépat, l axe polaie, les foyes. 3) a) Expime l énegie cinétique du satellite en fonction de G, m, M t, p, e et θ. b) Expime de même l énegie potentielle E p en fonction de G, m, M t, p, e et θ. c) Déduie du théoème du viiel que < cosθ >= e. Ce ésultat vous supend-t-il? Que pensez-vous de < sinθ >? 4) Pou mieux cene le ésultat pécédent on cheche à évalue les duées de passage du satellite Δt 1 pou un angle θ passant de π 2 à π 2 et Δt 2 pou un angle θ passant de π 2 à 3π 2. a) On appelle la toisième loi de Keple T 2 a = 4π 2 3 ; expime la péiode T en fonction de p, C et e. GM t b) Expime la duée Δt que met le satellite pou passe d un angle polaie θ 1 à θ 2 ; on donnea le ésultat en fonction de la péiode et d une intégale sans dimension. 2016 2017 6/15
Si e = 0,5, le calcul numéique donne le ésultat suivant : Ce ésultat est-il en accod avec celui obtenu au 3) c)? Réponse :! F = GmM t 2 OM OM ; E p = GmM t A = α 2 o ; 2 α 2 P = o ; E c = GmM t 2 p Δt = T 2π ( 1 e2) 3 2 θ 2 dθ. θ ( 1+ e cosθ) 2 1 π / 2 dθ. 1+ e cosθ π / 2 ( ) 2 = 1,89 ; < E >< 0 ; v C = GM t o ; C = α GM t o ; C'= C 2 ; p = α 2 o ; e = α 2 1 ; ( 1+ e 2 + 2e cosθ) ; E p = GmM t p ( 1+ e cosθ) ; < sinθ >= 0 ; T = 2πp 2 ( ) 3 2 ; C 1 e 2 VII La comète 13P/Olbes L astonome allemand HEINRICH W. M. OLBERS (1758 1840) découvit les astéoïdes Pallas et Vesta en 1802 et en 1807 ; en 1831, il éalisa la pemièe obsevation de la comète qui pote son nom (13P/Olbes). Les caactéistiques obitales de cette comète ont été déteminées initialement pa C. F. GAUSS et F. BESSEL. Elle a été obsevée pou la denièe fois los de son passage au péihélie (distance minimale au Soleil) le 10 janvie 1956. Cetaines popiétés de cette comète sont examinées dans ce sujet. Patie A. Mouvements cométaies On étudie dans cette patie le mouvement d un cops ponctuel M de masse m, soumis à l action d un cente attacteu fixe à l oigine O des coodonnées d un éféentiel galiléen R. On posea = OM. L action de ce cente attacteu est décite pa une foce unique F! = m.gadu(), où U est une fonction supposée connue. On note aussi v! la vitesse de M dans R, L! O = mom v!, L = L! O > 0 et C = L /m. 1 Monte que le mouvement de M est plan. On choisia d appele (Oxy) ce plan, oienté pa la convention L! O = L e! z ; l étude du mouvement de M dans (Oxy) s effectuea en coodonnées polaies (,ϕ). 2 On note E = mε l énegie mécanique de M. Expime ε en fonction de, C, et U(). Le point M est en fait le cente d une comète sphéique et homogène se déplaçant dans le champ de gavitation du Soleil (de masse M S ). Pou tout le este de la patie A, on adopte l expession U() = K / où K est une constante, et l on se place dans le éféentiel supposé galiléen dans lequel le Soleil est fixe, homogène et sphéique. De plus, on néglige l influence des tous les autes cops du système solaie. 3 Expime K en fonction de la constante de la gavitation univeselle G et de la masse du Soleil M S. 4 A quelle condition su ε le mouvement de M véifie-t-il min max < avec min max? Les constantes min et max sont espectivement appelées péihélie et aphélie de la tajectoie. On suppose désomais que la condition de la question 4 est véifiée. L oigine des instants (t = 0) et des angles polaies (ϕ = 0) sea choisie de sote que (t = 0) = min, ϕ (t = 0) = 0. 5 Expime ε et C en fonction de K, min et max puis en fonction de K, a = max + min et p = max min. 2 a 6 Quelle est, sans démonstation, la natue de la tajectoie de M? Indique en justifiant vote éponse, la signification physique des paamètes a, p et e = max min? Repésente la tajectoie de M en pécisant les points et dimensions emaquables. max + min 7 On étudie la patie de la tajectoie pou laquelle 0 < ϕ < π. Quel est alos le signe de? Expime en fonction de ε, K, C et. Monte que la duée τ de pacous de min à (ϕ) le long de cette tajectoie s écit τ = a K (ϕ ) min a 2 e 2 ( a) 2 d ( ). L angle ξ est appelé anomalie excentique. Expime la duée τ du 8 On effectue le changement de vaiable = a 1 e cosξ tajet du mobile M depuis l instant initial jusqu à sa position actuelle epéée pa ξ, en fonction de ξ, e, a et K puis de ξ, e et de la péiode T du mouvement de M. Quel est le nom de la elation qui lie T, K et a? On considèe que la tajectoie de la Tee autou du Soleil est ciculaie, de ayon a 0 = 1 UA (unité astonomique) et de péiode T 0 =1 année = 365,25 jous. Les caactéistiques obitales, assez stables, de la comète 13P/Olbes sont les suivantes : excenticité e = 0,930 ; distance au Soleil au péihélie min =1,18UA. On admetta que les elations t (ξ ) et (ξ ) se généalisent à tout point de la tajectoie de cette comète. 9 A quelle date la comète evienda-t-elle pou la pochaine fois au péihélie? A quelle date la comète se touvea-t-elle la 2016 2017 7/15
pochaine fois à la distance = 26,06 UA du Soleil? Patie B. La queue de la comète En 1811, OLBERS poposa pou la pemièe fois une théoie quantitative pou explique la fomation de la queue des comètes, en imaginant que les paticules qui la composent sont soumises à une foce épulsive d oigine électique vaiant comme le caé de l invese de la distance au Soleil. On connaît aujoud hui le mécanisme de fomation de la queue de la comète, en paticulie si elle est fomée de poussièes solides. Les poussièes sont entaînées pa un flux de paticules (le vent solaie) émises pa le Soleil et se déplaçant à une vitesse de l ode de 400 km.s -1. On étudie pou simplifie (cf. ci-dessus) une comète se déplaçant en ligne doite à la vitesse de 30 km.s -1 ; la doite en taits pleins désigne la tajectoie de la comète, et les taits pointillés la diection du vent solaie. 10 En justifiant vote éponse, indique si le Soleil est disposé du côté S 1 ou du côté S 2 su la figue ci-dessus. 11 En justifiant tout autant la éponse et su cette même figue, la comète se déplace-t-elle dans le sens C 1 C 2 C 3 ou dans le sens C 3 C 2 C 1? Calcule l angle φ ente la diection Soleil comète et la diection moyenne de la queue de la comète. Réponse : ε = U + 1 2 2 + C 2 K 2 ; K = GM S ; ε < 0 ; ε = = K max + min 2a ; C = 2K min max = Kp ; = min + max τ = a 3 ( ) = T ( 2π ξ esinξ ) ; 2025 ; 2041 ; S 1 ; C 1 C 2 C ; φ 4,3. 3 K ξ esinξ 2 ε + K C 2 > 0 2 ; VIII Satellisation. 2016 2017 8/15
Données : Masse de la Tee : M T = 5,97.10 24 kg Rayon de la Tee : R T = 6,37.10 6 m Jou sidéal : T sid = 86164 s (péiode de otation teeste). Constante de gavitation univeselle : G = 6,67.10-11 S.I. 1) Champ de gavitation. On considèe que la Tee de masse M T et de ayon R T a une épatition de masse à symétie sphéique centée en O. a) Enonce la loi de la gavitation univeselle décivant l inteaction de la Tee avec un objet de masse m et de position M situé à une distance de son cente. b) Le champ de gavitation, mesué à la suface de la Tee, a pou module g o = 9,81 m.s -2. Relie g o aux caactéistiques de la Tee (masse, ayon). Véifie numéiquement cette elation. 2) Lancement d un satellite On étudie le lancement d un satellite atificiel à pati d un point B de la suface teeste (base de lancement). a) Quel est le type de mouvement suivi pa le point B dans le éféentiel géocentique avant le déclenchement du ti de la fusée? Etabli l expession de la nome de la vitesse du point B dans le éféentiel géocentique R g (assimilé ici à un éféentiel galiléen) en fonction de la vitesse angulaie de otation de la Tee autou de l axe de ses pôles Ω, du ayon teeste R T et de la latitude du lieu λ. Evalue cette vitesse su l équateu. On appelle que la latitude λ coespond à l angle existant ente le plan équatoial et la doite (OB) passant pa le cente O de la Tee et le point B considéé. b) En déduie les conditions les plus favoables pou le lancement du satellite. Pami les tois champs de tis suivants, lequel choisi de péféence? Baïkonou au Kazakhstan λ = 46 ; Cap Canaveal aux USA λ = 28,5 ; Kouou en Guyane fançaise λ = 5,23. 3) Satellite atificiel en obite ciculaie On considèe un satellite atificiel de masse m = 4,0.10 3 kg en mouvement ciculaie autou de la Tee. a) Monte que le mouvement du satellite est unifome. Etabli l expession de la vitesse du satellite en fonction du ayon obital. b) Démonte la toisième loi de Keple liant la péiode de otation T du satellite au ayon de sa tajectoie. c) Défini ce qu est un satellite géostationnaie, en pécisant en paticulie les conditions imposées à son plan obital. Calcule le ayon de l obite d un satellite géostationnaie. 4) Mise su obite d un satellite. La mise en obite teeste d un satellite de masse m = 4,0.10 3 kg est éalisée en quate étapes : phase de lancement : un lanceu place le satellite su obite ciculaie basse ; phase de populsion : l action d un second étage de populsion, de bève duée, amène le satellite en phase balistique. phase balistique : le satellite s éloigne de la Tee su une ellipse dont l un des foyes est situé au cente de la Tee, jusqu à atteinde l apogée ; phase de satellisation : le satellite modifie sa vitesse gâce à l action d un populseu pou ête placé finalement su son obite ciculaie définitive. a) Expime l énegie mécanique du satellite en fonction de constante univeselle de gavitation G, de la masse teeste M T, de la distance ente le satellite et le cente de la Tee, de la masse m du satellite et du module de sa vitesse v. b) Monte que l énegie mécanique s écit dans le cas d une tajectoie ciculaie de ayon sous la fome : E m = GM T m 2 Evalue numéiquement l énegie coespondant à une obite basse de ayon = 8,00.10 3 km et celle coespondant à une obite haute de ayon = 40,0.10 3 km. c) Monte que les tajectoies décites pa le satellite sont nécessaiement planes. On suppose pou la suite que les tajectoies des difféentes phases sont coplanaies. La suite de l étude est conduite en coodonnée polaies (, θ), la base cylindo-polaie étant notée! u, u! θ,! ( ). 2016 2017 9/15 u z
d) Explicite la nome du moment cinétique L o du satellite en fonction de et θ. e) Justifie que l énegie mécanique se conseve duant la phase balistique. Monte que l énegie mécanique se met alos sous la fome : E m = 1 2 m 2 + L 2 0 2m 2 GM T m f) On définit l énegie potentielle effective comme le teme : E peff () = E m 1 2 m 2 E peff () On donne ci-conte une allue du gaphe E peff (). Repende ce gaphe et indique les niveaux d énegie mécanique E m1 et E m2 coespondant espectivement au cas d une tajectoie ciculaie et d une tajectoie elliptique. Justifie la éponse. g) Pou atteinde de tès hautes altitudes, le satellite est tansféé d une obite ciculaie basse ( b = 8,00.10 3 km) à d une obite ciculaie haute ( h = 40,0.10 3 km) 0 en passant los de la phase balistique pa une obite de tansfet elliptique. Schématise ces obites, sachant que le péigée P de l obite de tansfet est situé su l obite basse et que l apogée A de l obite de tansfet se touve su l obite haute. Le changement d obite s effectue pa de butales vaiations de vitesse du satellite à l aide des moteus de populsion. On cheche à évalue l énegie nécessaie à ces opéations. h) On considèe le mouvement su l obite de tansfet. Monte à l aide de la consevation de l énegie mécanique que les valeus b et h sont solution d une équation du second degé de la fome : ² + α. + β = 0. Expime α et β en fonction de G, M T, m, L o et E m. i) En emaquant que la somme des valeus b et h est égal au gand axe de l ellipse, noté 2a, monte que l énegie mécanique su l obite de tansfet épond à l expession : E m = GM T m 2a j) On founit ci-apès un gaphe pésentant l énegie potentielle effective en fonction du ayon pou les tois obites. Releve les valeus d énegie mécanique coespondant à ces tois obites à pati de ce gaphe, en justifiant la éponse. k) La vaiation d énegie mécanique nécessaie pou passe de l obite basse à l obite de tansfet est obtenue pa la combustion d un mélange cabuant-combuant (popegol) dont le pouvoi caloifique est d envion 50 MJ.kg -1. Détemine la masse m p de popegol nécessaie. Commente. 5) Chute d un satellite su obite basse. Le fottement dans les hautes couches de l atmosphèe d un satellite situé su obite basse l amène inéluctablement à etombe su 2016 2017 10/15
Tee. La foce de fottement est modélisée comme linéaie :. Le fottement est supposé néanmoins suffisamment faible pou que la tajectoie du satellite este quasiment ciculaie. On obtient alos en quelque sote une tajectoie ciculaie «à ayon (t) lentement vaiable». Dans ce cade, l expession de l énegie mécanique este de la fome : E m = GM T m 2(t) et l étude du mouvement conduit à mainteni fomellement la elation expimant le caé de la vitesse: v 2 (t) = GM T (t) a) En exploitant le théoème de l énegie mécanique, monte que le ayon (t) épond à l équation : d dt + 1 τ (t) = 0 où τ est une constante que l on expimea en fonction de k et m. Monte que τ est bien homogène à un temps. b) En déduie l expession (t). On supposea que le satellite est à l instant t = 0 su une obite quasi-ciculaie de ayon o. Tace l allue de (t). c) Pou une obite initiale située à l altitude de 800 km, on constate que le satellite descend de δ = 2,5 m pa jou. Popose une valeu numéique pou k et détemine l intensité de la foce de fottement s exeçant alos su le satellite à cette altitude. En patique, les satellites peuvent ête équipés de moteu pemettant de eleve égulièement leu obite.! Réponse : F = GM T m! e 2 ; g 0 = GM T 2 R T L 0 = m 2 θ ; α = GM T m et β = L 2 0 E m k = 8,1.10-9 USI ; f = 0,45 N. ; v = 2πR T T sid cos λ ; v = GM T ; 3 T 2 = GM T 4π 2 ; = GM T T 2 sid 4π 2 1/ 3 = 4,14.10 7 m ; 2mE m ; E mb = - 100 GJ ; E mt = - 36 GJ ; E mh = - 20 GJ ; m p = 1280 kg ; τ = m 2k ; (t) = 0e t /τ ; IX Rosetta et Philae. Rosetta est une mission de l'agence spatiale euopéenne (ESA) qui a pou but d'étudie la comète Tchouioumov-Guéassimenko (67P/TG) et su son compotement à l appoche du Soleil. La sonde a été lancée le 2 Mas 2004 pa une fusée Aiane 5. Apès un voyage de pès de 10 ans pendant lequel elle aua pacouu pès de 6,5 milliads de km, Rosetta a atteint la comète en août 2014. La sonde est constituée d'un satellite pincipal et d'un atteisseu (Philae). La sonde spatiale a été placée en obite autou de la comète puis, apès une pemièe phase d obsevation d envion 18 mois, Rosetta a envoyé le 12 Novembe 2014 un petit atteisseu, Philae, se pose su sa suface pou analyse la composition de son sol et sa stuctue. L'objet de cette épeuve est d'abode quelques questions elatives à la mission Rosetta. On désigne dans l'énoncé pa v le module du vecteu. Les données numéiques utiles sont founies à la fin du poblème. On notea G la constante univeselle de gavitation. V-1 A popos de la sonde Rosetta 1) Questions péliminaies a) Donne l'expession de la foce de gavitation que le Soleil, de masse M S exece su un objet de masse m situé à une distance de son cente ( > R S où R S est le ayon du Soleil). Pécise les notations employées et tace un schéma. b) Monte que cette foce est consevative et donne l'expession de l énegie potentielle associée. 2016 2017 11/15
c) Monte que le mouvement d'un aste en obite autou du Soleil est plan. d) On suppose que le mouvement de la Tee autou du Soleil est ciculaie. Monte que le mouvement est unifome et etouve l'expession (et la valeu) de la vitesse de la Tee. 2) Budget énegétique pou tansfet obital Une façon simple d'envoye un engin spatial d'une obite ciculaie à une aute (coplanaie) est de lui faie pacoui une obite tempoaie de tansfet elliptique. Cette tajectoie est tangente aux obites de dépat et d aivée. Elle est appelée obite de tansfet de Hohmann. Deux impulsions sont nécessaies pou effectue ce tansfet. Une pemièe impulsion engende une vaiation de vitesse Δv 1 (voi figue 1) ce qui pemet le passage de l'obite ciculaie de dépat ves l obite elliptique de tansfet. Une seconde impulsion, associée à une vaiation de vitesse Δv 2, pemet le passage de l obite de tansfet ves l obite d'aivée. On indique que l énegie mécanique d'un objet de masse m en obite elliptique autou d'un cops de masse M est donné pa : où a est le demi gand axe de l'ellipse. a) Monte que l'expession du paamète Δv 1 pemettant de passe d'une obite ciculaie de ayon R 1 à une obite elliptique de demi gand axe a = (R 1 +R 2 )/2 est :. Le lanceu Aiane 5G+ utilisé pou la mission place dans un pemie temps Rosetta su une obite héliocentique de même ayon que celle de la Tee. La comète 67P/TG possède une tajectoie elliptique autou du Soleil dont le demi gand axe est de 3,5 ua. On supposea que la Tee possède une obite quasi ciculaie. On souhaite évalue la valeu de Δv pemettant de ejoinde la comète. b) Le péihélie de la comète, c'est à die le point de la tajectoie le plus poche du soleil est de l'ode de 1 ua. On envisage une injection diecte dans l'obite de la comète depuis l'obite ciculaie de la Tee. Détemine la valeu Δv nécessaie à cette manœuve. Cette gandeu (appelée aussi budget Δv) pemet de détemine la masse de cabuant nécessaie aux difféentes manœuves. En patique, losque plusieus manœuves sont nécessaies, chacune associée à une valeu Δv i, le budget Δv coespond alos à la somme de ces denièes. On penda pou la suite du poblème une valeu de Δv pou ejoinde la comète 67P/TG de 9,2 km.s -1. 3) Lien ente budget Δv et cabuant La populsion de Rosetta est assuée pa 24 petits moteus-fusées à egols liquides. Les moteus pemettent d'effectue les coections obitales au cous du long péiple de la sonde afin de place celle-ci en obite autou de la comète. Nous chechons à estime la masse d'egols nécessaie à la éalisation de la mission. 2016 2017 12/15
a) L éjection de gaz pa les tuyèes des populseus pemet de modifie la vitesse de la sonde. On considèe un mouvement ectiligne de la sonde. L'équation du mouvement, que l'on ne demande pas de etouve, s'écit alos où m est la masse de la sonde à l'instant t, v la vitesse de la sonde et v e la vitesse d'éjection des gaz. En considéant que la vitesse d'éjection est constante, monte que où Δm est la masse de cabuant utilisée pou poduie une vaiation de vitesse Δv. Cette elation est appelée équation de Tsiolkovski. Elle elie l'accoissement de vitesse au cous d'une phase de populsion d'un objet (sonde, fusée...) doté d'un moteu à éaction au appot de sa masse initiale à sa masse finale. b) La quantité de cabuant nécessaie à une mission est souvent quantifiée pa le paamète défini comme :. Détemine la elation ente et Δv. c) À pati des ésultats obtenus pécédemment, on a tacé (voi la figue 2 ci-conte) l évolution de la valeu du coefficient en fonction de Δv, pou une valeu fixée de la vitesse d éjection v e = 3,5 km.s -1 Indique de façon agumentée, en vous aidant des données founies, si une tajectoie de Rosetta associée à une injection diecte su l'obite de la comète 67P/TG est envisageable. V-2 Atteissage du module Philae Dans cette patie, la comète est modélisée pa une boule homogène de masse m com et de masse volumique µ com. La distance ente un point M et le cente O de la comète est notée = OM. figue 2 a) Détemine le ayon com de la boule équivalente à la comète. Le champ gavitationnel dû à la comète, s écit (pou > com ) où est le vecteu unitaie adial centifuge. b) Peut-on considée le champ gavitationnel de la comète unifome los de la chute du module Philae suite à son lagage? Appoche numéique de l équation du mouvement On étudie la chute libe de l atteisseu Philae, dans un éféentiel dont l oigine est le cente O de la comète et qui toune avec Rosetta, de sote que le vecteu pointe constamment ves l atteisseu (accéléation ). On admet que ce éféentiel peut ête considéé comme galiléen. c) Etabli l équation du mouvement de l atteisseu Philae, une fois sépaé de Rosetta, en pojection su l axe adial. Cette équation peut ête ésolue numéiquement. L évolution tempoelle de la distance est epésentée su la figue 1, à pati de la distance initiale (t = 0) = lag, pou difféentes vitesses veticales initiales. 2016 2017 13/15
d) Détemine la duée τ 0 de la chute de Philae s il est abandonné pa Rosetta avec une vitesse veticale nulle. e) La duée éelle de chute est. En déduie la vitesse veticale initiale communiquée à l atteisseu. Difféentes tajectoies de phase sont epésentées su la figue 2, en fonction de la vitesse veticale initiale. f) Détemine, pa lectue gaphique, la vitesse veticale atteinte pa Philae au moment du contact avec la comète. Appoche énegétique 2016 2017 14/15
L objectif est de etouve la vitesse atteinte pa l atteisseu au moment du contact avec la comète. g) Donne sans démonstation l expession de l énegie potentielle gavitationnelle E pcom d un point matéiel de masse m situé à la distance > com du cente de la comète, en fonction de G, m, m com et (on fixe ). h) Los de la chute de Philae, pécise comment évolue l énegie mécanique de l atteisseu. i) En déduie, littéalement puis numéiquement, la vitesse atteinte pa l atteisseu los du contact avec la comète. Données numéiques : Gandeus physiques : Masse du Soleil : M S = 2,0.10 30 kg Masse de la Tee : M T = 6,0.10 24 kg Rayon moyen de l'obite de la Tee autou du Soleil : 1 unité astonomique (ua) = 150.10 6 km Rayon de la Tee : R T = 6,4.10 3 km Constante de gavitation univeselle : G = 6,67.10-11 m 3.kg 1.s 2 Données techniques elatives à Rosetta : Masse à vide de Rosetta : 1 300 kg Chage utile du lanceu Aiane 5G+ : 6 950 kg Masse de l atteisseu Philae : m ph = 98 kg Distance de lagage pa appot au cente : lag = 22,5 km Caactéistiques de la comète Tchouioumov-Guéassimenko : Masse de la comète : m com = 1,0.10 13 kg Masse volumique de la comète : µ com = 400 kg.m -3 Péiode de otation pope de la comète : T com = 12,4 h Distance du Soleil au moment du endez-vous avec Rosetta : 3,3 ua Diamète du noyau : 4 km Albédo du noyau (faction du ayonnement solaie incident éfléchie pa le noyau) : 4% Réponse : v = GM S = 30km.s 1 ; = e Δv / v e 1 ; com = 1,8km ; + Gm com 2 = 0 ; τ = 145000 s ; v 0 = -0,75 m.s -1 ; v = - 1,1 m.s -1. 2016 2017 15/15