Choc élastique et éféentiel du cente de masse Pa Pascal Rebetez Septembe 0
RÉSUMÉ Nous considéons dans cet aticle le choc élastique de deux disques et étudions les conditions que doivent satisfaie les vitesses et positions initiales des disques dans le éféentiel du laboatoie, pou que le choc soit fontal dans le éféentiel du cente de masse des deux disques. À l'aide des méthodes géométiques employées pou détemine ces conditions, nous chechons la vitesse et la position du cente de masse elativement au éféentiel du laboatoie. Finalement, nous nous intéessons à la position et à l'oientation du epèe de la ligne d'impact elativement au epèe des tajectoies initiales, ces deux epèes étant liés au éféentiel du laboatoie. CONTENU. Intoduction. 3. Relation ente les angles d'impact dans R cm et dans R lab. 4 3. Condition su les vecteus positions dans R lab pou qu'un choc soit fontal dans R cm 8 4. Vitesse de R cm elativement à R lab 5. Position du cente de masse dans R lab 3 6. Position et oientation elatives du epèe des tajectoies initiales et du epèe de la ligne d'impact.. 5 7. Conclusion.. 9 8. Annexe : calcul de la position du cente de masse pa intégation de sa vitesse 0 Choc élastique et éféentiel du cente de masse P. Rebetez
. Intoduction Dans le cas d'un choc élastique en deux dimensions ente deux disques glissant sans fottement su un plan hoizontal, on peut connaîte les vitesses des disques apès le choc (les vitesses finales) si l'on connaît leu vitesse avant le choc (les vitesses initiales). L'expession des vitesses finales en fonction des vitesses initiales s'obtient en appliquant à ce choc les tois pincipes de consevation (de l'énegie mécanique, de la quantité de mouvement et du moment cinétique). Cette étude est menée en détail dans l'aticle Choc élastique en dimensions. En dynamique des systèmes matéiels en généal et dans la situation paticulièe du choc décit ci-dessus, il existe un éféentiel dans lequel la dynamique s'expime de manièe emaquablement simple, celui dans lequel la quantité de mouvement totale du système est nulle. Ce éféentiel est appelé éféentiel du cente de masse (R cm ). Considéons un éféentiel, appelé éféentiel du laboatoie (R lab ), dans lequel le choc (élastique) des deux disques est latéal. En généal, ce choc est aussi latéal dans le éféentiel du cente de masse (c.f. fig. ). v * v * m v v * m v v v * v m m Fig. : À gauche : choc élastique latéal dans le éféentiel du laboatoie (R lab ). À doite : en généal, le choc est aussi latéal dans le éféentiel du cente de masse (R cm ). Su la figue ci-dessus, deux difféences distinguent les schémas de gauche et de doite ; su celui de doite, avant comme apès le choc, les vitesses des disques sont paallèles et de sens opposés. De plus, bien que déviée pa le choc, la vitesse de chaque disque gade la même nome. Ces deux popiétés sont toujous vaies dans le éféentiel du cente de masse, elles sont démontées dans l'aticle Choc élastique en dimensions. Dans ce tavail, que nous menons dans le cade théoique de la elativité galiléenne, nous chechons les conditions que doivent satisfaie les vitesses initiales des disques dans le éféentiel du laboatoie, pou que le choc soit fontal dans le éféentiel du cente de masse (c.f. fig. ). m m v * v v v * Fig. : Choc fontal dans le éféentiel du cente de masse (R cm ).
Un choc fontal est paticulièement simple puisqu'il est unidiectionnel (pa définition). Note tavail consiste donc à echeche les conditions sous lesquelles un choc (élastique) latéal pend la fome la plus simple possible c'est-à-die de quantité de mouvement totale nulle d'une pat et unidiectionnel d'aute pat. Nous checheons ensuite la vitesse (notée v cm ) du éféentiel du cente de masse elativement au éféentiel du laboatoie. En effet, la vitesse d'un éféentiel elativement à un aute caactéise entièement le pemie pa appot au deuxième. Finalement, nous checheons la position et l'oientation elatives du epèe des tajectoies initiales et du epèe de la ligne d'impact, ces deux epèes étant liés au même éféentiel. Ce denie epèe est celui dans lequel la desciption d'un choc est la plus simple (c.f. l'aticle Choc élastique en dimensions), alos que le pemie est celui pa appot auquel on est natuellement tenté d'étudie un choc, d'où l'intéêt de connaîte la position et l'oientation elatives de ces deux epèes. Pou les difféentes aisons évoquées ci-dessus, c'est la quête de la desciption la plus simple possible d'un choc qui motive note tavail. De même, l'appoche employée pou cette étude, ésolument géométique, se distingue pa sa simplicité puisque nous obtiendons nos ésultats à pati de quelques considéations géométiques élémentaies.. Relation ente les angles d'impact dans R cm et dans R lab Rappelons qu'on appelle ligne d'impact, la doite passant pa les centes des deux disques à l'instant du choc et point d'impact, leu point de contact. Le epèe de la ligne d'impact est celui ayant pou oigine le point d'impact et pou axes, la ligne d'impact et sa pependiculaie, (c.f. l'aticle Choc élastique en dimensions). Dans celui-ci, un choc est fontal si les diections des vecteus vitesse initiale (mesuées pa les angles d'impacts " et ", qui sont les paamètes d'impact du choc) sont paallèles à la ligne d'impact (l'axe y du epèe). C'est le cas si les angles d'impact ont pou valeu " = ±# et " = ±# (c.f. fig. 3). Choc élastique et éféentiel du cente de masse P. Rebetez 4
y v * " * x v " O v " v * " * Avant le choc Au moment du choc Apès le choc Fig. 3 : C'est dans le epèe de la ligne d'impact que la desciption d'un choc est la plus simple. Dans celuici, un choc est fontal si les diections des vecteus vitesse initiale sont paallèles à la ligne d'impact (l'axe y du epèe), c'est le cas si les angles d'impact ont pou valeu " = ± # et " = ± #. Considéons un éféentiel dans lequel la quantité de mouvement totale des deux disques est nulle avant le choc (elle l'est aussi apès le choc, pa consevation de la quantité de mouvement). Il s'agit du éféentiel du cente de masse R cm dans lequel le choc a l'allue epésentée su la doite de la fig.. Repésentons uniquement la phase initiale de ce choc dans R cm et faisons figue les angles d'impact " et ". Puisque la quantité de mouvement totale est nulle, nous avons p = " p, d'où " = " + # (c.f. fig. 4). Choc élastique et éféentiel du cente de masse P. Rebetez 5
y v " v O m " x m Fig. 4 : Phase initiale du choc dans R cm. Considéons maintenant un éféentiel (d'inetie) quelconque appelé éféentiel du laboatoie (R lab ) dont l'oigime O' se déplace à la vitesse u pa appot à R cm. Sans pete de généalité, oientons les axes de R lab paallèlement à ceux de R cm (c.f. fig. 5). y " R cm " R y R lab " R # O " u x " O x Fig. 5 : R lab se déplace à la vitesse u pa appot à R cm. À pati des vitesses initiales des disques dans R cm, on peut connaîte les vitesses dans R lab à l'aide de la fomule de composition des vitesses de la elativité galiléenne : v = u + v " () où v est la vitesse d'une paticule dans un éféentiel R, v " la vitesse de cette même paticule dans un éféentiel R' se déplaçant à la vitesse u pa appot à R. Cette fomule coespondant à une simple addition vectoielle, nous pouvons aisément epésente pa une figue cette composition de vitesse où nous utiliseons désomais la notation suivante : R cm R et R lab R', où les lettes non pimées sont associées au éféentiel du cente de masse R et les lettes pimées, au éféentiel du laboatoie R' (c.f. fig. 6). Choc élastique et éféentiel du cente de masse P. Rebetez 6
y " v u u " v O v v x Fig. 6 : Repésentation géométique de la composition des vitesses des disques pou passe de R à R'. Seul le epèe O, x, y O, x ", y " ( ) lié à R est ici epésenté. Le epèe ( " ) lié à R' à la même oientation que le epèe ( O, x, y) (c.f. fig. 5). Afin d'étudie la elation ente les angles d'impact dans R (" et " ) et les angles d'impact dans R' (# " et #" ), disposons d'une aute manièe les vecteus de la fig. 6 (c.f. fig. 7). y " v u " v " v " v O v v v " # v " x Fig. 7 : Aute disposition des vecteus vitesses dans R et R' pou faie appaaîte la elation ente les angles d'impact dans R et ceux dans R'. Choc élastique et éféentiel du cente de masse P. Rebetez 7
Rappelons que les angles d'impact sont pa définition les oientations des vecteus vitesse pa appot à l'axe x du epèe ( O,x, y) de la ligne d'impact (c.f. fig. 4). On voit su la fig. 7 que l'oientation du vecteu v est la même que celle du vecteu v " # v " (ou, ce qui est équivalent, que l'oientation du vecteu v est la même que celle du vecteu v " # v " ). Ceci détemine la condition echechée : pou que le choc soit fontal dans R (le éféentiel du cente de masse), la diection des vecteus v et v doit ête paallèle à l'axe y (la diection de la ligne d'impact) dans R, c'est à die que la diection du vecteu v " # v " soit paallèle à l'axe y' dans R' (le éféentiel du laboatoie) (c.f. fig. 8). x " " v " v O " v " # v " y " Fig. 8 : Pou que le choc soit fontal dans R, la diection du vecteu v " # v " doit ête paallèle à l'axe y' (la diection de la ligne d'impact) dans R'. 3. Condition su les vecteus positions dans R lab pou qu'un choc soit fontal dans R cm Maintenant que l'on a touvé la condition que doivent satisfaie les vecteus vitesse des disques dans le éféentiel du laboatoie (R') pou que leu choc soit fontal dans le éféentiel du cente de masse (R), chechons les implications de cette condition su les vecteus positions (dans R') des disques avant le choc. Remaquons d'abod que la diection de la ligne d'impact (l'axe y') est la même que celle du vecteu difféence des vecteus position des disques à l'instant du choc ( " C # ) (c.f. fig. 9) ; ce vecteu difféence s'expime pa : c " # c " $ % C " () Choc élastique et éféentiel du cente de masse P. Rebetez 8
y' x' " " # " $ % " " O' " C # Fig. 9 : La diection de la ligne d'impact (l'axe y') est la même que celle du vecteu difféence des vecteus position des disques à l'instant du choc ( " # C ). Les disques sont en mouvement ectiligne unifome avant le choc, l'hoaie de leu vecteu position est donc donné pa : $ " = 0 " + v "#t % & " = 0 " + v " #t (3) Le vecteu difféence a donc pou hoaie : Ce que l'on note : " # " = 0 " # 0 " + ( v " # v ")$t " # = " 0 # + " v #"t (4) Ainsi, à l'instant du choc : " C # = " 0 # + " v #"t C (5) où "t C # t C $ t 0 est l'intevalle de temps ente l'instant t 0 où la difféence des vecteus position est " 0 # et l'instant t C du choc où la difféence des vecteus positions est " C #, dont la nome est égale à la distance sépaant les centes des disque à l'instant du choc : où R et R sont les ayons espectifs des disques (c.f. fig. 9). " C # = R + R (6) Choc élastique et éféentiel du cente de masse P. Rebetez 9
La condition su les vecteus vitesse obtenue au paagaphe met donc en elation les diections des vecteus difféence " v # et " C #. En effet, cette condition stipule que la diection de " v # doit ête la même que celle de la ligne d'impact, laquelle a la même diection que " C # (c.f. fig. 9). " v # et " C # doivent donc avoi la même diection. L'équation (5) monte que ceci est éalisé si " 0 # a la même diection que " v #. En effet, le ème teme du membe de doite de l'équation (5), " v #"t C, est un vecteu ayant pou tout instant t 0 < t C, la même diection et le même sens que " v # puisque "t C est un scalaie positif. Pou que le vecteu " 0 # + " v #"t C ait la même diection que le vecteu " v #, il faut donc que " 0 # ait la même diection que " v # (c.f. fig. 0 et fig. ). " 0 # " v #"t " 0 # " v #"t " 0 # " v #"t 3 " # " # " 3 # Fig. 0 : Si les vecteus " # et " v # ont la même diection à un instant donné avant le choc, cela estea le cas à tout aute instant avant le choc et à l'instant du choc. " 0 # " v #"t " # " 0 # " v #"t " # " 0 # " v #"t 3 " 3 # " 0 # " # " # " 3 # Fig. : Si les vecteus " # et " v # n'ont pas la même diection à un instant donné avant le choc, cela estea le cas à tout aute instant avant le choc et à l'instant du choc. Le quatième schéma indique pa une ligne pointillée la diection du vecteu " v # et le vecteu " # à difféents instants. Nous avons ainsi obtenu la éponse complète à la question initiale : pou que le choc soit fontal dans le éféentiel du cente de masse, les vecteus " 0 # et " v # doivent ête de même diection (et de sens opposé) dans le éféentiel du laboatoie, où " 0 # $ 0 # % 0 # est la difféence des vecteus position des disques à un instant quelconque avant le choc et " v # $ v # % v # est la difféence des vecteus vitesse des disques avant le choc (c.f. fig. et fig. 3). Choc élastique et éféentiel du cente de masse P. Rebetez 0
" 0 # v " v " v " v " " v # " 0 # Fig. : Situation où les vecteus " 0 # et " v # ont la même diection dans le éféentiel du laboatoie. Dans ce cas, la doite pointillée passant pa l'extémité des vecteus vitesse v " et v " est paallèle au vecteu " 0 #. Le choc sea alos fontal dans le éféentiel du cente de masse. " 0 # v " v " v " " v # " 0 # v " Fig. 3 : Situation où les vecteus " 0 # et " v # n'ont pas la même diection dans le éféentiel du laboatoie. Dans ce cas, la doite pointillée passant pa l'extémité des vecteus vitesse v " et v " n'est pas paallèle au vecteu " 0 #. Le choc sea alos latéal dans le éféentiel du cente de masse. Remaquons que, d'apès la tansfomation de Galilée, les vecteus " 0 # $ 0 # % 0 # et " v # $ v # % v #, ne sont autes que la position et la vitesse du disque elativement au éféentiel du disque. Ainsi, la condition obtenue su les vitesses des disques dans le éféentiel du laboatoie pou que le choc soit fontal dans le éféentiel du cente de masse, s'expime de la manièe suivante dans le éféentiel de l'un des disques : le vecteu vitesse et le vecteu position de l'aute disque doivent ête de même diection (et de sens opposé). En effet, dans ce éféentiel (celui du disque pa exemple), on a " 0 # = 0 # et " v # = v # ca les vecteus position et vitesse du disque sont nuls dans son pope éféentiel (c.f. fig. 4). Choc élastique et éféentiel du cente de masse P. Rebetez
v " 0 " Fig. 4 : Pou que le choc soit fontal dans le éféentiel du cente de masse, le vecteu vitesse et le vecteu position de l'un des disques dans le éféentiel de l'aute disque, doivent ête de même diection (et de sens opposé). Autement dit, dans le éféentiel de l'un des disques, la paamète d'impact doit ête nul. Cette condition est tout à fait intuitive. 4. Vitesse de R cm elativement à R lab Su la fig. 7, nous voyons d'une pat que la vitesse u de R lab R' elativement à R cm R obéit à la elation vectoielle : u = v " v # (7) et d'aute pat que : v " v = v # " v # (8) De plus, la quantité de mouvement totale étant nulle dans R cm, on a : En substituant (9) dans (8), on obtient : p + p = 0 " p = # p " m v = #m v " v = # m v m (9) m v = " v # m + m " v # En substituant (0) dans (7), on obtient finalement: ( ) (0) m u = " m v # m + m " v # m + m = " p # m + m + p # ( ) $ " P # M () où P " # p " + p " est la quantité de mouvement totale dans R' et M " m + m est la masse totale du système. La vitesse v " cm de R cm R elativement à R lab R' est opposée à u, ce qui d'apès l'équation () donne : v " cm = # u = P " M () Choc élastique et éféentiel du cente de masse P. Rebetez
La vitesse du éféentiel du cente de masse du système elativement au éféentiel du laboatoie est égale à la quantité de mouvement totale du système dans le éféentiel du laboatoie, divisée pa la masse totale du système. Ceci est un ésultat généal et impotant de la dynamique des systèmes matéiels. 5. Position du cente de masse dans R lab De la vitesse du éféentiel du cente de masse du système elativement au éféentiel du laboatoie, obtenue en (), on peut déduie la position de l'oigine du epèe lié au éféentiel du cente de masse (que nous appelleons simplement cente de masse) du système elativement au éféentiel du laboatoie. En effet, en expimant () à l'aide des vitesses des disques, on a : v " cm = que l'on écit, pou allége l'expession : où µ " m ( m + m ) et µ " m ( m + m ). m v " m + m + m v " m + m (3) v " cm = µ v " + µ v " (4) Comme la vitesse est pa définition la déivée pa appot au temps de la position, (4) peut s'écie : d d d " dt cm = µ " dt + µ " dt = d ( µ dt " + µ " ) (5) En multipliant pa dt les membes de gauche et de doite de l'équation (5) puis en les intégant, on obtient : cm " = µ " + µ " (6) L'intégation de (5) fait appaaîte des temes dépendant des constantes d'intégation, qui s'annulent en choisissant coectement le epèe pa appot auquel s'expiment les vecteus positon. Ce point est développé dans l'annexe. Comme µ + µ =, on peut écie (6) sous la fome : cm " = µ " + # µ = µ " # " ( ) " ( ) + " = " + µ " # " ( ) (7) En emaquant que µ <, la elation vectoielle (7) se epésente aisément pa une figue (c.f. fig. 5). Choc élastique et éféentiel du cente de masse P. Rebetez 3
" # " ( ) µ " # " " cm " " Fig. 5 : Repésentation géométique de la elation vectoielle (7). Le cente de masse, epéé pa le vecteu position cm ", est toujous situé su le segment joignant les deux masses. Cette figue monte d'une pat que le cente de masse est toujous situé su le segment joignant les deux masses. On voit d'aute pat que la distance ente le cente de masse et chacune des masses obéit aux elations suivantes : cm " # " = µ " # " $ cm " # " " # m = µ = (8) " m + m En notant d " cm # $ # la distance ente le cente de masse et la masse, D " # $ # la distance ente les deux masses et M " m + m la masse totale, (8) s'écit : d D = m M (9) De manièe analogue, on obtient : d D = m M (0) En combinant (9) et (0), on obtient finalement : d d = m m () Le appot des distances au cente de masse est invesement popotionnel au appot des masses. Choc élastique et éféentiel du cente de masse P. Rebetez 4
6. Position et oientation elatives du epèe des tajectoies initiales et du epèe de la ligne d'impact Dans ce qui pécède, nous avons choisi pou epèe celui de la ligne d'impact, dans le éféentiel du laboatoie autant que dans le éféentiel de cente de masse (c.f. ). Nous chechons ici la position et l'oientation elatives du epèe des tajectoies initiales et du epèe de la ligne d'impact, ceci dans le éféentiel du laboatoie où en généal le choc est latéal, comme l'illuste la figue. On appelle epèe des tajectoies initiales, celui dont l'un des axes est confondu avec la tajectoie initiale de l'un des disques et qui a pou oigine un point quelconque de cette tajectoie, pa exemple le point d'intesection des deux tajectoies initiales (c.f. fig. 6). y y x x O O Fig. 6 : Le epèe de la ligne d'impact liés au éféentiel du laboatoie. ( O, x, y ) et le epèe des tajectoies initiales O, x, y ( ), tous deux Bien que dans ce paagaphe, ces epèes soient tous deux liés au éféentiel du laboatoie, nous omettons pa commodité les pimes su les gandeus (c.f. convention d'écitue du pou distingue les éféentiels R lab et R cm ). Cependant, pou distingue ces deux epèes, celui de la ligne d'impact est noté ( O, x, y ) et celui des tajectoies initiales, ( O, x, y) (c.f. fig. 6). Relativement au epèe des tajectoies initiales, le epèe de la ligne d'impact est entièement caactéisé pa la position de son oigine (le point d'impact O ) et l'oientation de (l'un de) ses axes (la ligne d'impact y ). Oientation du epèe de la ligne d'impact Rappelons que la diection de la ligne d'impact (l'axe y ) est la même que celle du vecteu difféence des vecteus position des disques à l'instant du choc ( " C ) (c.f. 3). Ainsi, cheche l'oientation du epèe de la ligne d'impact evient à cheche l'oientation du vecteu " C, notée " C. L'angle " C obéit à la elation : Choc élastique et éféentiel du cente de masse P. Rebetez 5
$ " C = actan #y ' C & ) () % #x C ( où "x C et "y C sont les coodonnées catésiennes du vecteu " C qui d'apès (5) vaut : L'expession de (3) en coodonnées catésiennes donne : " C = " 0 + " v "t C (3) #"x C & # % ( = "x + "v "t & * 0 x C % ( ) "x = "x + "v "t C 0 x C + $ "y C ' $ "y 0 + "v y "t C ',"y C = "y 0 + "v y "t C (4) En substituant (4) dans (), on obtient : $ " C = actan #y + #v #t ' 0 y C & ) (5) % #x 0 + #v x #t C ( et l'on voit que pou des vecteus " 0 et " v donnés (les conditions initiales du choc) l'angle " C est entièement déteminé pa l'intevalle de temps "t C # t C $ t 0 (c.f. 3). L'équation (6) nous pemet de touve "t C. En effet : " C = R + R # R (6) On calcul le membe de gauche de cette équation en utilisant l'expession du poduit scalaie en coodonnées polaie. où " est l'angle ente les vecteus a et b. De (7) il découle : a " b = a b cos# (7) ( a ) = a " a = a a " = a (8) En appliquant le ésultat (8) à (6) et en substituant (3), on obtient : R = " C ( ) = (" 0 + " v "t C ) (9) = " C En développant le membe de doite de (9), en appliquant à nouveau (8) puis en éaangeant lest temes, on obtient : " v ("t C ) + " 0 " v cos#"t C + " 0 $ R = 0 (30) où " est l'angle ente les vecteus " 0 et " v. C'est une équation du ème degé en "t C, dont les deux solutions sont : Choc élastique et éféentiel du cente de masse P. Rebetez 6
( ) "t C = # " 0 cos$ ± R # " 0 sin$ " v (3) La coespondance physique de ces deux solutions mathématiques est la suivante : le choc est pa définition la situation où les disques sont en contact, c'est-à-die où la distance qui les sépae est nulle. Cette situation existe en effet pou deux positions difféentes des disques su leu tajectoie (c.f. fig. 7). e contact ème contact Fig. 7 : Les disques ne pouvant se tavese, seul le pemie contact est possible. En supposant que su cette figue, les disques se déplacent de la gauche ves la doite et qu'ils ne peuvent passe au taves l'un de l'aute, le deuxième contact ente les disques n'est pas possible puisqu'apès le pemie contact, les tajectoies des disques sont modifiées (c.f. fig. ). Ainsi, seul le pemie contact est possible ; c'est la solution physique, celle coespondant à la valeu la plus faible de "t C, avec le signe négatif devant la acine : ( ) "t C = # " 0 cos$ # R # " 0 sin$ " v (3) Pou expime de manièe cohéente l'angle " C, expimons encoe "x 0, "y 0, "v x et "v y en coodonnées polaies : "x 0 = " 0 cos# 0 "y 0 = " 0 sin# 0 "v x = " v cos$ "v y = " v sin$ où " 0 et " sont les oientations des vecteus " 0 espectivement " v. Ainsi : (33) " = # $ % 0 (34) Choc élastique et éféentiel du cente de masse P. Rebetez 7
On obtient l'expession finale de l'angle " C en substituant (34), (33) et (3) dans (5), ce qui donne : ' ) " C = actan) ) ( # 0 sin$ 0 % ' ) # 0 cos & % $ 0 ( # 0 cos$ 0 % ' ) # 0 cos & % $ ( 0 ( ) + R % # ( ) + R % # ( 0 sin (& % $ 0 )) * *, sin&, +, ( 0 sin (& % $ 0 )) *, cos&, + + (35) où n'appaaissent que les conditions initiales du choc, à savoi les nomes et oientations des vecteus " 0 et " v (et les ayons des disques R " R + R ). On emaque cependant que la nome du vecteu " v n'appaaît pas dans (35) mais uniquement son oientation ". Position de l'oigine du epèe de la ligne d'impact L'oigine du epèe de la ligne d'impact étant pa définition le point de contact des disques à l'instant du choc (c.f. ), le vecteu position de cette oigine obéit à la elation (c.f. fig. 8) : O C = C + R (36) où C est la position du cente du disque à l'instant du choc et R, un vecteu ayant la même oientation que celle du vecteu " C et dont la nome est égale au ayon R du disque. y x " C R O C C O Fig. 8 : Relation vectoielle à laquelle obéit le vecteu position de l'oigine du epèe de la ligne d'impact. D'apès (3) : C On peut expime R à l'aide du vecteu " C : = 0 + v "t C (37) Choc élastique et éféentiel du cente de masse P. Rebetez 8
puisque " " C C R = " C " R (38) C est un vecteu de nome ayant l'oientation du vecteu " C. D'apès (5) et (6), (38) peut s'écie : R = " 0 + " v "t C ( ) En substituant (39) et (37) dans (36), on obtient : O C ( ) = 0 + v "t C + " 0 + " v "t C R R + R (39) R R + R (40) R En notant " # et en explicitant les vecteus difféences R + R " 0 et " v dans (40), on obtient finalement, apès éaangement des temes : O C = " # ( ) 0 + # 0 + (( " #) v + # v )$t C (4) où "t C est donné en (3). Ainsi, l'expession (4) donne le vecteu position de l'oigine du epèe de la ligne d'impact elativement au epèe des tajectoies initiales, en fonction des conditions initiales du choc à savoi les positions initiales des deux disques 0 et 0 ainsi que leu vitesse initiale v et v. Appaaissent encoe dans (4), pa le biais de "t C, les nomes et l'oientation elative des vecteus difféence " 0 et " v (c.f. (3)), lesquelles sont entièement déteminées pa les conditions initiales du choc. Ainsi, est une combinaison linéaie des vecteus positions et vitesses initiales des disques. O C 7. Conclusion Dans ce tavail, tous les ésultats ont été déduits de figues faisant appaaîte des elations géométiques. La figue 7 en est la piee angulaie puisqu'elle contient les infomations dont découlent les ésultats pincipaux obtenus, à savoi les conditions echechées su les positions et vitesses initiales des disques dans le éféentiel du laboatoie ( et 3), la vitesse du éféentiel du cente de masse elativement au éféentiel du laboatoie ( 4) et la position du cente de masse elativement aux positions des masses, dans le éféentiel du laboatoie ( 5). Notons que la simplicité de la figue 7 ésulte de la fomule de composition des vitesses de la elativité galiléenne, cette denièe découlant de la tansfomation de Galilée. Cette étude illuste à plusieus epises l'impotance de distingue les notions de epèe et de éféentiel. En effet, nous considéons autant des epèes liés à des éféentiels difféents (celui du cente de masse et celui du laboatoie), que des epèes difféents (celui de la ligne d'impact et celui des tajectoies initiales) liés au même éféentiel (celui du laboatoie). Choc élastique et éféentiel du cente de masse P. Rebetez 9
Les calculs qui nous ont pemis d'obteni la condition que doivent satisfaie les vecteus positions des disques dans le éféentiel du laboatoie pou que le choc soit fontal dans le éféentiel du cente de masse, nous ont aussi donné la condition que doivent satisfaie ces vecteus dans le éféentiel de l'un des disques pou que le choc soit fontal dans le éféentiel du cente de masse. Dans le éféentiel de l'un des disques, cette condition est emaquablement simple et intuitive. 8. Annexe : calcul de la position du cente de masse pa intégation de sa vitesse En multipliant pa dt les membes de gauche et de doite de l'équation (5) puis en les intégant, on obtient : # d cm " = µ # d " + µ # d " $ cm " % cm " 0 = µ " % 0 " % 0 " cm " % µ " + µ " ( ) = " ( ) + µ ( " ) $ ( 0 + µ 0 " ) cm 0 % µ " (A) Le membe de doite de la denièe équation ci-dessus est un vecteu position dépendant des valeus initiales des vecteus ", " et cm ", à savoi les constantes d'intégations 0 ", 0 " et cm " 0. On a toujous la possibilité de choisi un epèe (lié au éféentiel du laboatoie) de sote que ce vecteu cm " 0 # µ 0 " + µ 0 " D'où : ( ) soit nul. Ainsi, (A) donne : cm " # µ " + µ " ( ) = 0 (A) cm " = µ " + µ " (A3) Choc élastique et éféentiel du cente de masse P. Rebetez 0