DISRIBUION DE DIRAC P.A.M Dic, 9-984 : théoi quntiqu ltivist, éqution d ond, positon, théoi sttistiqu d Fi-Dic, pi Nobl d physiqu 933. I INRODUCION * Soit BR un boul d yon R chgé élctiqunt ou ssivnt noyu toiqu, couchs élctoniqus d un to, solil,... L chg totl Q ou l ss s déduit d l dnsité locl ρ,y,z p : Q ρ,y,zddydz. Si l chg Q st concnté dns un boul d yon tès ptit, on dit qu'll st BR Q ponctull. A un distnc l potntil st : V. Put-on considé cs chgs ponctulls co 4 liits d chgs potés p ds bouls dont l yon tnd vs zéo? Si l dnsité ρ,y,z st null n dhos d l'oigin, ρ st null psqu ptout t son intégl d Rinn st null. Si on considè un suit ρ,y,z d fonctions nulls hos d l boul d yon t dont l'intégl vut Q, ctt suit pou liit l fonction null suf à l'oigin losqu. * On f un intuptu à t. On constt nt ls instnts t un phénoèn iéguli t difficil à déci puis à pti d l'instnt un count i qu nous di supposons d'intnsité. on n connît ps dt di ou si t > t dt [ i ]. dt di nt t is on si t < dt t Il st fcil d pss à l liit pou di i : lii u échlon unité, is pou qund l liit d dt
di dvit êt intégé nt t t l'intégl dvit vloi! Ainsi l poblè d l déivtion d dt l'échlon unité t clui d l pésnttion d'un "ipulsion idél" d suppot ponctul t d'intégl non null sont liés., y, z * L dnsité ρ,y,z n'st ps ccssibl à l su t on obsv sulnt ρ ddydz. Cl suggè d étudi ctins "quntités" f vi l intégl f ϕ d d lu poduit vc ds "fonctions tsts" ϕ qui pttnt d ls su. C ésultt conduit à l notion d distibutions d ss, d chgs,... Vs 895, Hvisid vit intoduit un clcul syboliqu qui pttit d touv ds ésultts confos u péincs. En 95, Dic pésnté d fçon intuitiv ls ègls d nint ds ipulsions idéls, puis Vn d Pol pis ss tvu vs 93. C n'st qu'pès l gu 39-45 qu Gulfnd t Schwtz ont déggé ls élénts ssntils d l théoi ds distibutions. II DEFINIIONS E PROPRIEES ELEMENAIRES II DEFINIION COMME LIMIE DE FONCIONS Soit l pot cnté : On d. si illus / / / L ipulsion d Dic st l liit d qund : li
si t d si L foc cé p un coup d tu su un objt st un pl d un ipulsion d Dic. L dué d ppliction d l foc st tès bèv, son intnsité st tès gnd is l pcussion du fini.
* popiétés d filtg : Si ϕ st continu n dé : ϕd ϕ ϕ ϕ d c c ϕd li ϕc ϕ ϕd li ϕd li ϕd. D pès l th d l oynn: D où. II DEFINIION COMME FONCIONNELLE LINEAIRE Soit D l nsbl ds fonctions ϕ élls indéfinint déivbls t nulls n dhos d un intvll boné spc ds fonctions tsts. Epl d fonctions tsts : ϕ t t t < t. L ppliction qui à tout fonction ϕ d D fit cospond s vlu n s ppll distibution ou ss d Dic n. ϕd ϕ. Du distibutions f t g sont égls si : ϕ D, f ϕd g ϕ d.
U' ϕd U ϕ Conséqunc : [ ] U ϕ' d ϕ dϕ ϕ ϕ d d où U' L déivé d l fonction d Hvisid ou fonction échlon st l distibution d Dic. III PROPRIEES Soit α un fonction continu u voising d. * ultipliction p un fonction α ϕd α ϕ α ϕ d d où α α pls : ± b b b,, sin, cos,. * hoothéti y λ ϕd y ϕ dy ϕ ϕ d λ y λ λ λ λ λ λ D où. L distibution d Dic st pi. * déivés d - définition : ' ϕd [ ϕ ] ϕ'd ϕ', p écunc : ϕd ϕ d ϕ
- conséqunc: α ' α ' α' dé : [ ϕ ]' α ϕ' α' ϕ ' α ϕd α α ϕ α 'd ' ϕ d α ' ϕd α' ϕ d. pls : 5 ' 3 4' 3 6 3, ', sin ', cos ' '. * distibution d Dic d un fonction déivbl n ynt qu ds zéos sipls Soit g un fonction déivbl n possédnt qu ds zéos sipls,,..,..g, g, los : [ g ] g' g > b g < b dé : Supposons g coissnt su [, b] sp. décoissnt u voising d. Alos
si < si < si < b si < b du g du g d du g dg d dg g' d [ ] sp U g [ g ] g' dns ls du cs d où su [, b] : [ ] [ ] [ ] du[ ] sp. g' [ g ] [ ] du d g' g' Epls : b, [ - - b ] [ b ] b g--b, g - - b, g -b, g b b-.. g' [ ] En pnnt b - :, - [ ] * g -6 3, g' [ 3 ], g'3, [ 3 ] 3. d 6
IV EXEMPLES DE FONCIONS AYAN POUR LIMIE sin j * li j li j sin j ϕd ϕ i * d ± ϕd. j/ / j/ j sinj j j j i d ij i ij sin j j j j * li j li j j j ϕd li j y y ϕ dy j y ϕ dy 4 443 4 ϕ ϕd. V RANSFORMEES DE FOURIER DE X E DE SES DERIVEES [ ] i. F i
Dé F [ ] i d d i i d d où F[ ] t F[ ]. d i i d * tnsfoé d Foui invs L foul d écipocité d Foui st vlbl pou. F i i i i d i [ ] d d d d. VI DISRIBUION PEIGNE DE DIRAC W W pou péiod. En dévloppnt n séi d Foui copl : n inω W c n. -
du u du u du c u in u in / / n ω ω ω u -in Wu d où ω n in. W Epl : Soit t W f.. th...... f f d Wf d / / / /
VII DISRIBUION DE DIRAC A ROIS DIMENSIONS * définition z z y y ddydz. d d 3 3 ϕ ϕ vc * popiétés : α α ± d 3 i 3 * distibution d Dic n coodonnés sphéiqus. d dd d dd sin d 3 ϕ θ ϕ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ P idntifiction :. sin z z y y ϕ ϕ θ θ θ Si un dinsion D los un dinsion D.