Cours de gestion financière (M1)

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1 Cours de gestion financière (M1) Séance du 3 octobre 2014 Beta, SML, droite caractéristique S&P500 vs high beta stocks 1

2 Plan de la séance du 3 octobre 2014 (3) Beta, Security Market Line (SML), droite caractéristique Espérance de rentabilité et risque (introduction) Beta d un titre, droite caractéristique d un titre Estimation des Betas : approches de Bloomberg, Blume et Vasicek Beta ex-ante Beta d un portefeuille de titres Risque systématique (ou de marché) et risque spécifique (ou idiosyncratique), décomposition du risque total Le modèle d évaluation des actifs financiers (MEDAF) De la capital market line à la security market line (SML) Démonstration intuitive du MEDAF : diversification du risque idiosyncratique Beta d un titre, d un portefeuille, aspects mathématiques Estimation des écart-types des rentabilités 2

3 Décomposition d un risque d un titre Dans le graphique ci-dessous, on compare les résultats d un investissement de 1 $ dans l action McDonald s et dans le portefeuille S&P 500 Dividendes réinvestis 1 $ investi en 1980 dans l action McDo vaut 150 $ en 2012 Si l on investit dans le portefeuille diversifié S&P 500, on n obtient que 30 $ Comment expliquer cet écart de rentabilité? «chance», «risque»? 3

4 4 Décomposition d un risque d un titre Évolution comparée des rentabilités cumulées de Pier Import et de MacDo Il semble que le cours de Pier Import soit plus volatile que celui de MacDo Est ce que la rentabilité du premier titre est significativement plus élevée? Traders sur le marché des options de Chicago CBOE

5 Décomposition d un risque d un titre Variabilité des rentabilités d Apple supérieure à celle de Clorox Qu en déduire à propos des rentabilités attendues? Rentabilités quotidiennes des actions Apple et Clorox de mai 2012 à mai

6 6 Droite caractéristique d un titre, représente la rentabilité du titre i à la date t Il peut aussi s agir de la rentabilité d un portefeuille de titres, représente la rentabilité d un indice boursier à la date t, représentant l évolution du marché boursier Typiquement CAC40, indice S&P 500 aux États-Unis Pondération par la capitalisation boursière Décomposition du risque du titre i en risque lié au marché, et un terme résiduel,,,, constantes, :beta du titre i Ceci signifie que si le marché augmente de 1%, le titre i augmente en moyenne de

7 Droite caractéristique d un titre,,, :beta du titre i déterminé à partir des rentabilités passées On parle aussi de beta ex-post,,, et sont les rentabilités moyenne du titre i et du marché sur la période d estimation, ici de longueur Propriétés complémentaires, 0le terme résiduel a une moyenne nulle,, 0pas de corrélation entre résidu et rentabilité du portefeuille de marché équation d une droite dite caractéristique 7

8 8 Droite caractéristique d un titre Navellier Fundamental A (NFMAX, fonds géré par Navellier) contre Russell 3000 Index Données hebdomadaires Mai 2005 Juillet 2009 Russell 3000 Indice large 98% de la capitalisation boursière US

9 Droite caractéristique d un titre Quelles données pour déterminer la droite caractéristique? De nombreux points à préciser concernant les rentabilités utilisées Prise en compte des dividendes (réinvestis) Opérations sur titres (OST) : division, distribution d actions gratuites, augmentation de capital avec droits préférentiels de souscription Périodicité : quotidienne, hebdomadaire, mensuelle Composition des rentabilités : moyenne arithmétique, géométrique Périmètre : choix des marchés sur lesquels les actions sont cotées, retraits de la côte, différence entre les dates de clôture des différents marchés Pondérations : par la valeur boursière, par la valeur boursière flottante Période d observation : date de début, date de fin, prise en compte des données manquantes (la non cotation 9

10 10 Droite caractéristique d un titre, méthode des moindres carrés Droite caractéristique du titre i :,, À chaque point est associé une date t En abscisse, la rentabilité du portefeuille de marché à cette date t :, En ordonnée, la rentabilité du titre i à cette date t :, Pente de la droite caractéristique Ordonnée de la droite caractéristique à l origine

11 Droite caractéristique d un titre, méthode des moindres carrés Droite caractéristique du titre i :,, À chaque point est associé une date t En abscisse, la rentabilité du portefeuille de marché à cette date t :, En ordonnée, la rentabilité du titre i à cette date t :, La droite caractéristique du titre est obtenu par un ajustement linéaire au nuage de points selon la méthode des moindres carrés R R it, it, i i Mt, Ordonnée de la droite caractéristique à l origine Distance verticale entre un point et la droite caractéristique Pente de la droite caractéristique 11

12 Droite caractéristique d un titre, méthode des moindres carrés Droite caractéristique du titre i :,, La droite caractéristique du titre est obtenu par un ajustement linéaire au nuage de points selon la méthode des moindres carrés : et minimisent la somme des carrés des écarts, :,, Pente de la droite caractéristique R R it, it, i i Mt, Ordonnée de la droite caractéristique à l origine Distance verticale entre un point et la droite caractéristique 12

13 13 Droite caractéristique d un titre et beta / la pratique Beta de l action Disney (source Bloomberg) Indice S&P 500 retenu pour approcher le portefeuille de marché Rentabilités mensuelles sur une période de 5 ans «raw beta» correspond au Beta historique «adjusted beta» = 2/3 raw beta + 1/3 x 1

14 Estimation des betas / retour à la moyenne Raw beta / beta brut : déterminé comme indiqué précédemment Bloomberg s appuie sur les travaux de Blume et de Vasicke Blume part de la constatation d un retour à la moyenne des betas estimés sur des périodes consécutives Blume, M. E. (1975). Betas and their regression tendencies. The Journal of Finance, 30(3), Blume, M. E. (1979). Betas and their regression tendencies: some further evidence. Journal of Finance,

15 Estimation des betas / retour à la moyenne Le tableau ci-dessous considère des betas estimés sur une période de 7 ans ( ) et regroupés en 4 groupes Le groupe 1 est constitué des actions avec le Beta le plus faible et ainsi de suite La dernière colonne représente les betas pour ces titres sur la période de 7 ans qui suit On constate un retour à la moyenne (sauf pour la catégorie 3) 15

16 Estimation des betas / biais de sélection Une partie de l effet observé est due au biais de sélection Illusion statistique, plus spécifiquement ici de biais de classement Prenons une série de grandeurs tirées de manière aléatoire, par exemple des tirages de dés L observation d une valeur extrême, disons 6, est (nécessairement) suivie d une valeur plus proche de la moyenne Si l on raisonne en termes de causalité, on dira que les fils des hommes grands ne sont pas aussi grands (relativement à la moyenne de leur génération) que leur père Ce qui parait d une logique «évidente» En sens inverse, une valeur moyenne, disons 3 ou 4, va être suivie d une valeur extrême 1,2 ou 5,6 avec une probabilité de 2/3 et on n a ainsi qu une probabilité de 1/3 de rester dans la moyenne On ne va bien sûr pas en déduire que les hommes moyens engendrent souvent des géants ou des nains Le sophisme est d autant plus apparent que la numérotation des faces du dé est arbitraire 16

17 Estimation des betas / biais de sélection Pour aller plus loin, voir Kahneman, p Concept de retour à la moyenne attribué à Francis Galton Regression to the mean Galton Selon les observations de Galton, si les parents mesurent 6 cm de plus que la moyenne, les enfants ne mesurent plus que 2/3 x 6 cm de plus que la moyenne Galton, F. (1886). "Regression towards mediocrity in hereditary stature". The Journal of the Anthropological Institute of Great Britain and Ireland 15: D où l origine du terme regression Galton, inventeur des concepts d écart-type et ayant retrouvé celui de corrélation (une invention française) Indispensable pour corriger du biais de sélection précédent L artéfact précédent survient dès que le coefficient de corrélation est inférieur à 1 Pour en revenir aux betas estimés, ils ne sont déterminés qu avec un bruit statistique et donc imparfaitement corrélés 17

18 Estimation des betas / biais de sélection Revenons maintenant aux betas ajustés et à l étude de Blume Le beta moyen étant de 1, la formule du beta ajustée: 2/3 beta estimé sur la période précédente + 1/3 x 1 On pourrait penser qu il y a un problème statistique de même nature dans le phénomène de retour à la moyenne des Betas Blume avait heureusement conscience de ce phénomène Il s agit en fait de ce qu on appelle un problème d erreur sur la variable explicative Qui tend à biaiser le coefficient reliant le beta d une période au beta de la période précédente Selon Blume, le phénomène subsiste même après les correctifs adaptés Il n y a bien sûr aucune raison pour que le coefficient 2/3 ne dépende pas de la période d estimation et du titre considéré 18

19 Estimation des betas / approche de Vasicek O. Vasicek «Adjusted Beta» (Vasicek) Vasicek, O. A. (1973). A NOTE ON USING CROSS SECTIONAL INFORMATION IN BAYESIAN ESTIMATION OF SECURITY BETAS. The Journal of Finance, 28(5), L idée est différente de celle de Blume Vasicek propose une approche bayésienne, selon laquelle, en l absence d information, on suppose que le beta est égal à un L estimateur du beta à partir de données historiques va être une moyenne pondérée du beta estimé et du beta déterminé a priori Poids dépendant du degré de précision des beta estimé et a priori Comme dans le cas de Blume, on ne voit pas pourquoi, on en resterait à des poids de 2/3 et 1/3 dans tous les cas de figure

20 Beta (ex-ante) d un titre, d un portefeuille On s intéresse maintenant aux rentabilités à venir et, Beta (ex-ante) du titre i Si augmente de %, augmente en moyenne de % Cov, covariance entre et variance de la rentabilité du portefeuille de marché : espérance de rentabilité du titre i et sont des variables aléatoires : on ne connaît pas les rentabilités à venir risque spécifique ou risque idiosyncratique du titre i De moyenne nulle Non corrélé avec 20

21 La théorie du marché du capital Risque de marché et risque idiosyncratique Décomposition du risque associé à la rentabilité du titre i D où : R E R E i i i M M i VarR Var i Ei i RM EM i VariRM i On a utilisé Var Var si a est constant. Var irm i VariRM2Cov irm, i Vari Var i i M i risque total risque de marché risque spécifique i 2 VarR M i Cov RM, i 0 i j i j risque spécifique ou idiosyncratique dû à des événements propres au titre 21,Cov, 0?

22 Beta d un actif sans risque, du portefeuille de marché, d un portefeuille de deux titres Actif sans risque Portefeuille de marché,, Beta d un portefeuille de titres,,, P X1 1 X 2 Beta d un portefeuille : moyenne pondérée des betas des titres le constituant. Coefficients de pondération : fraction de la richesse investie dans chaque titre 22

23 23 Modèle d évaluation des actifs financiers (MEDAF) Relation entre l espérance de rentabilité d un titre i et son Beta MEDAF : modèle d évaluation des actifs financiers : espérance de rentabilité (ou «rentabilité attendue») du titre i taux d intérêt sans risque D un placement dont l écart-type du taux de rentabilité = 0 : espérance de rentabilité du portefeuille de marché : prime de risque (positive) Le MEDAF établit une relation affine entre les betas des titres et leur espérance de rentabilité

24 Modèle d évaluation des actifs financiers (MEDAF) E R E R i f i M f Équation fondamentale du MEDAF MEDAF : Modèle d Évaluation Des Actifs Financiers Concerne tous les titres i Seul le risque de marché est rémunéré Relie espérance de rentabilité, beta du titre, taux sans risque et espérance de rentabilité du portefeuille de marché Ei Rf i EM Rf prime de risque E R i f i M risque de marché E M R M prix de marché du risque f 24

25 25 Modèle d évaluation des actifs financiers (MEDAF) E R E R i f i M f MEDAF : Modèle d Évaluation Des Actifs Financiers CAPM : Capital Asset Pricing Model Ei Rf i EM Rf taux sans risque du titre i prime de risque Prime de risque :écart entre la rentabilité du portefeuille de marché et le taux sans risque Dans l équation, est le seul terme qui dépend du titre i.

26 26 Modèle d évaluation des actifs financiers (MEDAF) Rappel : décomposition du risque d un titre Seul le risque de marché est rémunéré Var i i M i risque total risque de marché risque spécifique E R i f i M risque de marché Implications pour la stratégie des entreprises Le MEDAF donne la rentabilité attendue par les investisseurs Le risque spécifique non pris en compte par les investisseurs Conglomérats, assurance de la part des entreprises, de la gestion des risques par les banques? E M R M prix de marché du risque f Pente de la CML

27 27 Modèle d évaluation des actifs financiers (MEDAF) /Security Market Line (SML) On se place dans un plan où le beta des portefeuilles est porté en abscisse Pour la CML, c est l écart-type des rentabilités L espérance des rentabilités en ordonnées Espérance de rentabilité Security Market Line E R E R i f i M f Pente de la SML = Actif sans risque Portefeuille de marché Beta des portefeuilles de titres

28 28 Modèle d évaluation des actifs financiers (MEDAF) Relation entre l espérance de rentabilité d un titre i et son niveau de risque MEDAF : modèle d évaluation des actifs financiers Précise le risque à prendre en compte Uniquement le risque de marché Relation affine entre espérance de rentabilité et beta Le Médaf va servir de critère pour l évaluation : De la performance d un titre De la performance d un portefeuille de titres De la performance de projets d investissement

29 Le modèle d évaluation des actifs financiers On va d abord donner l intuition du résultat fondamental, En cherchant au préalable à indiquer pourquoi le risque spécifique n est pas rémunéré Il «disparaît» dans les portefeuilles détenus par les investisseurs Une démonstration rigoureuse est donnée en annexe Elle fait intervenir des raisonnements financiers et des résultats sur les dérivées des fonctions La démonstration ne présente pas de difficulté particulière mais est trop longue pour être présentée en amphi. Elle est recommandée pour ceux qui veulent poursuivre des études en finance Elle ne fera pas l objet de question au partiel 29

30 30 La théorie du marché du capital : de la CML à la SML (Security Market Line) La démonstration intuitive part de la décomposition des rentabilités Où est associé au risque de marché et est le risque spécifique Une première approche consiste à supposer que le risque spécifique est «diversifiable» Si les ne sont pas corrélés entre eux, si leur variance est constante et si les différents titres sont équipondérés, la variance du risque spécifique du portefeuille tend vers 0 Quand le nombre de titres tend vers l infini Ce risque pouvant être éliminé par les investisseurs, il n est demandé aucune prime de rentabilité pour ce risque

31 La théorie du marché du capital : de la CML à la SML (Security Market Line) Démonstration intuitive (suite) L espérance de rentabilité du portefeuille Est donc identique à celle du portefeuille Ce second portefeuille est colinéaire au portefeuille de marché Comme tous les portefeuilles situés sur la CML et combinant portefeuille de marché et actif sans risque Voir transparent suivant On sait que pour un portefeuille sur la CML : 31

32 La théorie du marché du capital : de la CML à la SML (Security Market Line) Démonstration intuitive (suite) Comme, Ce qui donne la relation annoncée On notera que seul le beta du titre, et pas la volatilité de la rentabilité détermine l espérance de rentabilité Le raisonnement précédent a deux faiblesses Il suppose que les risques spécifiques sont peu corrélés entre eux Prenons l exemple de Peugeot et de Renault : ce n est pas le cas Même en l absence de corrélation, les risques spécifiques ne disparaissent que pour des portefeuilles comportant une infinité d actifs 32

33 La théorie du marché du capital : de la CML à la SML (Security Market Line) Démonstration intuitive (suite) Le raisonnement précédent a deux faiblesses Même en l absence de corrélation, les risques spécifiques ne disparaissent que pour des portefeuilles comportant une infinité d actifs Or le MEDAF vaut même pour un petit nombre d actifs On peut améliorer le raisonnement intuitif en revenant à l équilibre des marchés financiers À l équilibre les investisseurs ne demandent que de l actif sans risque et du portefeuille de marché La demande de risque spécifique est nulle Par ailleurs, l offre agrégée de risques spécifiques est nulle 33

34 La théorie du marché du capital : de la CML à la SML (Security Market Line) On peut améliorer le raisonnement intuitif en revenant à l équilibre des marchés financiers Par ailleurs, l offre agrégé de risques spécifiques est nulle En effet (aux constantes près),, D où Comme, et L offre de risque spécifique est également nulle On peut donc «oublier» la présence de ce risque On remarque que l équation montre que le risque spécifique est plus que «diversifié» au niveau agrégé, il n existe tout simplement pas. 34

35 La théorie du marché du capital : de la CML à la SML (Security Market Line) Rappel : portefeuilles sur la CML La CML représentée à droite est dans un plan (écart type, espérance) E P Idée de la démonstration rigoureuse : La courbe bleue représente les portefeuilles combinant le titre i et le portefeuille de marché E M E i M Frontière efficiente des actifs risqués Portefeuilles combinant i et M Les courbes bleues et rouges sont tangentes en M Voir transparents complémentaires en annexe R f i M Titre i P 35

36 La théorie du marché du capital : de la CML à la SML (Security Market Line) Rentabilité d un portefeuille de titres Linéarité de l espérance MEDAF appliqué aux titres 1et 2: D où :, E R E R E R E R 1 f 1 M f 2 f 2 M f E X R E R X R E R P f M f f M f E R X X E R P f M f Ceci est cohérent avec Voir transparents sur la décomposition du risque 36

37 Capital Market Line et Security Market Line Les portefeuilles sur la CML sont constitués d actif sans risque et de portefeuille de marché en quantité positive. R XR 1 X R, 1 X 0 P F M Remarques : Le risque spécifique au portefeuille R P est nul : Beta du portefeuille : 2 2 =VarR Var 1 X R 1 X 1 X Lien entre espérance et écart-type des rentabilités pour les portefeuilles sur la CML EM R F EP RF P M E R 1 X E R R E R P P M M P M P F M F F P M F On retrouve directement la relation entre espérance et beta (SML) 2 37

38 Security Market Line (SML) À l équilibre, tous les titres et tous les portefeuilles de titres devraient être situés sur la SML Les betas sont représentés sur l axe des abscisses Espérance de rentabilité Security Market Line Actif sans risque Portefeuille de marché Beta des portefeuilles de titres i

39 CML et SML : Récapitulatif et notations Pour les portefeuilles situés sur la CML uniquement C est-à-dire ceux qui combinent actif sans risque et portefeuille de marché Poly d exercices Pour tous les titres et tous les portefeuilles Comme, est le risque de marché ( ) Poly d exercices 39

40 40 La théorie du marché du capital mesures de performance Michael Jensen Alpha de Jensen E R E R J i i f i M f À l équilibre, tous les alpha devraient être nuls Si, titre i sous évalué. Devrait être acheté Alpha de Jensen positif Alpha de Jensen négatif L alpha de Jensen est une mesure de la distance à la SML

41 41 La théorie du marché du capital mesures de performance Indice de Treynor maximal pour les portefeuilles efficients E A R A f Jack L. Treynor E B E A E B B R f

42 On rappelle que la rentabilité d un portefeuille constitué d actif sans risque et de portefeuille de marché dans les proportions et est égale à 42 Beta d un titre, d un portefeuille, aspects mathématiques Rappel des notations i : titre de rentabilité ou dans l ouvrage de référence M : portefeuille de marché de rentabilité (ou ) : espérances de rentabilité du titre i et du portefeuille de marché Variances et covariances 2 2 Var Ri i, Var RM M,Cov Ri, R M imi M CiM Notation du livre

43 43 Beta d un titre, d un portefeuille, aspects mathématiques Les portefeuilles efficients sont composés du placement sans risque et de portefeuille de marché : : constante (quantité non aléatoire), notée : constante noté Considérons un titre de rentabilité Il est naturel de s intéresser à l écart entre la rentabilité de ce titre et les portefeuilles sur la frontière d efficience Si le titre est sur la frontière efficiente, cet écart est nul Le titre est sur ou en-dessous de la frontière efficiente Comment mesurer cette «distance»?

44 44 Beta d un titre, d un portefeuille, aspects mathématiques Comment mesurer la «distance» entre et On considère l écart entre les valeurs prises par les rentabilités Pour différentes dates ou différentes valeurs possibles des rentabilités Comme on s intéresse à la distance, il est logique de considérer la valeur absolue La distance entre 2 et 3 est 1 et pas -1 Pour des raisons de simplicité mathématique, on choisit souvent des écarts quadratiques est dérivable en 0, ce qui n est pas le cas de On va ensuite pondérer ces écarts Par les probabilités d occurrence des écarts Approche prospective / utilisation de l espérance / régression linéaire Par le nombre de dates où on observe un écart donné Approche historique / écart quadratique moyen / moindre carrés ordinaires

45 Beta d un titre, d un portefeuille, aspects mathématiques Régression linéaire : modalités et résultats Utilisation du critère rentabilité du titre i, rentabilité du portefeuille de marché Quantité toujours positive ou nulle Nulle si On va chercher de manière à réduire au maximum l écart entre et, On trouve :, Beta du titre par rapport au portefeuille On notera 45

46 46 Beta d un titre, d un portefeuille, aspects mathématiques, Ajustement de par une fonction affine de Conditions du premier ordre les dérivées du critère par rapport à et sont nulles Dérivée par rapport à : Ce qui donne

47 Beta d un titre, d un portefeuille, aspects mathématiques Combinons les résultats précédents : Permet d écrire Il reste donc à minimiser en b : On obtient un polynôme de degré 2 en b i i M M i i M M E R E b E R E R E b E R E Cov 47

48 Beta d un titre, d un portefeuille, aspects mathématiques Valeur du coefficient de régression minimise Le minimum s obtient en dérivant par rapport à Cov, ou avec les notations du livre coefficient de régression de par rapport à En finance, on parle de Beta du titre i et on le note, La référence au portefeuille de marché est implicite 48

49 Beta d un titre, d un portefeuille, aspects mathématiques Avec :, «erreur», «résidu» En finance, risque spécifique ou risque idiosyncratique. L espérance du risque spécifique est nulle : Démonstration : Partons de la première équation. égalité des variables aléatoires implique égalité des espérances linéarité de l espérance : D où la nullité de l espérance du risque spécifique 49

50 Beta d un titre, d un portefeuille, aspects mathématiques Le coefficient de corrélation linéaire entre le risque idiosyncratique et la rentabilité du portefeuille de marché est égal à 0. En d autres termes, le risque spécifique est non corrélé avec et d espérance nulle C est un «bruit» Vérifions cette propriété à titre d exercice D après la définition du coefficient de corrélation Il suffit de montrer que:, Ou, en revenant à la définition du risque spécifique, que : Cov Ri irm Ei iem, R M 0 constante 50

51 Beta d un titre, d un portefeuille, aspects mathématiques Cov Ri irm Ei iem, R M 0? constante Cov Cov Cov bilinéarité de la covariance covariance entre une variable aléatoire et une constante est nulle Cov Cov car : i R i RM Ri RM 2 Cov R, R Cov, Cov, M M M 51

52 52 Beta d un titre, d un portefeuille, aspects mathématiques La régression linéaire fait intervenir des espérances mathématiques Au niveau de la fonction objectif min 2 ab, E R i a br M Au niveau des résultats Cov R i, RM E RiRM E Ri E RM b i M E RM ERM a i E Ri ie RM Comment déterminer des espérances mathématiques?

53 53 Beta d un titre, d un portefeuille, aspects mathématiques Calcul des espérances de rentabilité de titres? Rentabilité entre t et t+1 du titre i,,,,,, variable aléatoire Notations du livre :,, On cherche à évaluer Mais aussi, Il faut calculer pour déterminer Utilisation d observations passées des rentabilités

54 54 Beta d un titre, d un portefeuille, aspects mathématiques Rentabilités courante et passées du titre i,,,, Rentabilité passées indice S&P500, rentabilités moyenne ou glissante Calculée entre la date courante et la date Intervalle de temps de longueur Pour simplifier les notations, il n est fait référence dans ni à la date courante, ni au nombre d observations De même, on peut calculer la rentabilité moyenne du portefeuille de marché

55 Beta d un titre, d un portefeuille, aspects mathématiques 1 1 T i i, tn i, t1 T n0 R R E R La moyenne des rentabilités passées est une bonne approximation de l espérance de la rentabilité sur la période à venir Quand la moyenne des rentabilités historiques est prise sur une «longue période» Plus précisément quand Formellement, Logiciel R Une des variantes de la loi des grands nombres Nombreuses hypothèses, pas forcément vérifiées! 55

56 Beta d un titre, d un portefeuille, aspects mathématiques 1 1 T i i, tn i, t1 T n0 R R E R Sous certaines hypothèses sur les rentabilités Approximation de l espérance par la moyenne historique,,,, ont la même loi de probabilité Les lois de probabilité ne changent pas au cours du temps Rentabilités future, courante et passées non corrélées Coefficients de corrélation entre rentabilités égaux à 0 Il s agit des rentabilités du titre i à différentes périodes Hypothèses facilement compréhensibles Cov Rit, 1 n, Rit, 1m 0, n, m 0,, T 1, n m Quelques points de statistique sont laissés de côté 56

57 57 Beta d un titre, d un portefeuille, aspects mathématiques Revenons au problème de la régression linéaire min 2, E i R i i i ir M Approximation de l espérance par la moyenne : min 1 T T 1 2 ab, it, n Mt, n n0 Estimation d un modèle linéaire par la méthode des moindres carrés Les critères de l espérance et de la moyenne historique étant proches Les valeurs obtenues pour et seront proches Pour des grandes valeurs de R abr

58 Beta d un titre, d un portefeuille, aspects mathématiques Deux approches complémentaires Droite caractéristique, moindres carrés Ex-post, rentabilités historiques ou réalisées, rétrospectif (tourné vers le passé) Données disponibles : calculs faciles, moyennes historiques Régression linéaire Ex-ante, prospectif (tourné vers le futur) Ce qu il faut pour la prise de décision Données non disponibles, espérance mathématique Approche statistique «classique» universitaire Stationnarité : le futur reproduit le passé On peut alors utiliser les données passées pour estimer les données ex-ante Statistique inférentielle 58

59 Validation empirique du MEDAF Dans notre approche, les rentabilités des investissements sont aléatoires Leurs lois de probabilités ne changent pas au cours du temps I, at any rate, am convinced that He does not throw dice. Albert Einstein, 1926 A. Einstein (1921) Einstein, stop telling God what to do! Niels Bohr Niels Bohr 59

60 Estimation des écart-types des rentabilités Bloomberg fournit d autres informations sur les titres notamment des mesures de l écart-type des taux de rentabilité Approches historiques, basées sur des moyennes glissantes Comme pour les espérances de rentabilité Approches prospectives Utilisant les prix des options financières qui dépendent de la volatilité future telle que perçue par les opérateurs de marché On donnera également un aperçu d autres méthodes couramment utilisées pour évaluer ces écart-types Bourses : calcul de dépôts de garantie ou marges initiales Banques : mise à l échelle des données pour l évaluation des risques de marché (Value at Risk) On donne alors plus de poids aux observations récentes 60

61 61 Estimation des écart-types des rentabilités Volatilité de l action Disney Périodicité hebdomadaire Volatilités glissantes Plusieurs longueurs de fenêtres 10, 30, 50, 100 semaines Plus grande stabilité temporelle avec des longues fenêtres Ici, écart type des rentabilités de l ordre de 28% À droite, volatilités déterminés à partir des marchés d options Source Bloomberg

62 62 Estimation des écart-types des rentabilités Volatilité ou écart-type de la rentabilité d un titre rentabilité aléatoire espérance de rentabilité écart-type (ou volatilité) de la rentabilité Utilisation de données historiques pour déterminer Comme pour la détermination des Beta Ou de l espérance de rentabilité (rappel) rentabilité observée à la date moyenne empirique (ou historique) des volatilités

63 Estimation des écart-types des rentabilités On peut définir une volatilité historique Avec les mêmes hypothèses que précédemment Plusieurs périodicités peuvent être envisagées pour Quotidienne, hebdomadaire, mensuelle, Fenêtres glissantes, Moyennes pondérées (Lissage exponentiel, filtrage) EWMA : Exponential Weighted Moving Average Couramment utilisé pour la prévision de la volatilité (JP Morgan) : facteur d amortissement (decay factor) Estimation ponctuelle : 63

64 Estimation des écart-types des rentabilités L approche EWMA a pour effet de donner plus de poids aux observations récentes Elle va de pair avec l idée que les volatilités fluctuent au cours de temps La volatilité n est plus alors un paramètre (constant) L approche EWMA va avoir pour objet de déterminer la volatilité aujourd hui Dans ce cas comme quand on utilise des périodes d estimation glissantes pour les betas, on ne pense pas que les «paramètres» du modèle restent constants au cours du temps Le futur ne reproduit pas nécessairement le passé qui est «mouvant» 64