TS Physique D Aristote à aujourd hui Exercice résolu

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1 P a g e 1 TS Physique Eercice résolu Enoncé -34 avant JC : Aristote déclare qu une masse d or, de plomb ou de tout autre corps pesant tombe d autant plus vite qu elle est plus grosse et, en particulier, qu une boule de fer aura parcouru une distance 100 fois plus grande qu une boule de fer de masse 100 fois inférieure : Galilée lâchant des boules de fer du haut de la tour de Pise (sa ville natale) déclare : «Aristote prétend qu une boule de fer de 100 livres 1 est déjà descendue d une hauteur de 100 coudées quand une boule de fer de 1 livre a parcouru seulement une coudée. J affirme que les deu boules arrivent ensemble et que l écart est de deu largeurs de doigts seulement» : un an après la mort de Galilée, son élève Evangelista Toricelli étudie la chute dans le vide d une plume et d une pomme : dans une enceinte où l air a été etrait, plume et pomme ont des mouvements de chute en tous points identiques. 007 : Sami et Zeina, deu élèves de TS, sont en grande discussion. Sami : «Je vais te demander une chose simple en physique : tu prends une boule de pétanque et une balle de tennis, tu les lâches en même temps, laquelle arrive la première?». Zeina : «La boule de pétanque». Sami : «Et bien non : elles arrivent ensemble, et c est un problème fondamental que l on a mis 000 ans pour comprendre». Dans tous les cas étudiés dans l eercice : - on travaille dans un référentiel terrestre supposé galiléen, - la valeur g du vecteur champ de pesanteur vaut 10 m.s -, - à la date t 0 = 0 s, le centre d inertie G du système étudié est à l origine d un repère (O,i ) d ae O orienté selon g et la valeur v 0 de sa vitesse est nulle, - on néglige l action de la poussée d Archimède dans l air. A. Première partie : «Les travau de Galilée» 1. a) A l aide d une étude analytique complète, montrer que le temps t de chute libre d une boule de centre d inertie G lâchée d une hauteur h est indépendant de sa masse m (il n est pas demandé d application numérique). b) Pour une durée de chute donnée, quelle est la relation mathématique évoquée par Aristote entre la masse et la hauteur de chute? Pourquoi Galilée a-t-il raison contre Aristote? c) Pour une hauteur h = 50 m (hauteur de la tour de Pise), calculer le temps t de chute et la vitesse v du centre d inertie de la boule quand elle arrive au sol.. Galilée trouve cependant un écart de deu doigts lors de la chute des deu boules. a) A quelle force, dont on donnera la direction et le sens, cet écart est-il dû? Cela est-il confirmé par l epérience de Toricelli? b) En supposant cette force f constante, montrer littéralement que le vecteur accélération a G du centre d inertie G de la boule dépend alors de la masse m de cette dernière. 1 : 1 livre = 478 g. : 1 coudée = 50 cm.

2 P a g e B. Deuième partie : «Un modèle pour la force de frottement» La valeur de la force de frottement est donnée par f = 1.ρ.C.S.v avec : - masse volumique de l air : ρ = 1,3 kg.m -3 - coefficient de trainée d une sphère : C = 0,50 (sans dimension) - section équatoriale de la bille sphérique : S (en m ) - valeur de la vitesse du centre d inertie de la bille : v (en m.s -1 ) section équatoriale 1. Montrer, par une analyse dimensionnelle, que l epression de f est homogène.. a) La valeur de la force de frottement est-elle constante au cours de la chute? b) Comment peut-on comprendre qualitativement l eistence d une vitesse limite v lim? 3. a) En utilisant la seconde loi de Newton, établir l epression littérale de l équation différentielle de la chute d une boule de centre d inertie G, de masse m et de section équatoriale S. b) En déduire l epression littérale de la vitesse limite v lim. C. Troisième partie : «Simulation numérique des mouvements» On a réalisé une simulation des mouvements de chute de trois boules B 1, B et B 3, dont les caractéristiques sont les suivantes : Boule B 1 B B 3 Forme Pleine (100 livres) Pleine (1 livre) Creuse (1 livre) S (m ) 4, , , m (kg) 47,8 0,478 0,478 Les graphes obtenus (en annee) sont représentatifs des fonctions t (t) (graphe 1) et t v(t) (graphe ) avec t en s, en m et v en m.s Sans justifier, déterminer graphiquement (et approimativement) les temps de chute t 1, t et t 3 des trois boules du haut de la tour de Pise.. a) Sans justifier, déterminer graphiquement (et approimativement) les vitesses v 1, v et v 3 des centres d inertie des trois boules quand elles arrivent au sol. b) Pour la boule B 3, vérifier par le calcul la valeur trouvée graphiquement. 3. Conclure sur l influence des actions de l air lors de la chute des trois boules du haut de la tour de Pise. D. Quatrième partie : «Zeina et Sami» Suite à leur discussion, nos deu compères réalisent l epérience suivante : une boule de pétanque de masse 700 g et d un diamètre de 7,5 cm, et une balle de tennis ayant à peu près le même diamètre mais une masse de 58 g, ont été lâchées simultanément et sans vitesse initiale du sommet d une tour de 50 m de hauteur. Ils ont constaté que : - la vitesse de la boule de pétanque est supérieure à celle de la balle de tennis et ce, dès la première seconde de chute et la comparaison des positions des deu objets met également en évidence un écart important, - lorsque la boule de pétanque touche le sol, la balle de tennis se trouve encore à un peu plus de 10 m du sol. 1. Sami s est-il trompé ou a-t-il omis de préciser certaines choses (ne pas justifier) : OUI NON?. Si OUI, reformuler les propos de Sami afin qu ils soient en accord avec l epérience précédente.

3 P a g e 3 Annee Graphe 1 (m) B B B t (s) Graphe v (m/s) B1 30 B B3 t (s)

4 P a g e 4 Corrigé A. Première partie : «Les travau de Galilée» 1. a) A l aide d une étude analytique complète, montrer que le temps t de chute libre d une boule de centre d inertie G lâchée d une hauteur h est indépendant de sa masse m (il n est pas demandé d application numérique). - Système : boule de masse m et de centre d inertie G. - Référentiel : terrestre, supposé galiléen. - Repère : (O, i ) - Conditions initiales : à t 0 = 0, la bille est lâchée du point O sans vitesse. - Bilan des forces etérieures : force de pesanteur (poids) P = mg - Application de la deuième loi de Newton : Σ Fet = P = mag dvg avec ag = : vecteur accélération du centre d inertie de la bille. On a donc : mg = mag => ag = g. En eprimant chaque vecteur en fonction de sa coordonnée cartésienne et du vecteur unitaire i, on obtient : a.i = g.i. Or a G dv G g = et = g => dv = g : c est l équation différentielle du mouvement. D après cette équation différentielle, v est une fonction de primitive de g, nombre constant (champ de pesanteur uniforme). On a donc : v = g.t + k (k : Cte à déterminer). Or, à t 0 = 0, v = v = 0 => k = 0 et v 0 = g.t Les coordonnées cartésiennes du vecteur vitesse étant les dérivées des coordonnées cartésiennes du vecteur position, on a : v = d et est une primitive de v. On a donc : = 1 g.t + k (k : cte à déterminer). Or, à t = 0, = 0 = 0 => k = 0 et = 1 g.t (équation horaire du mouvement). Si la boule est lâchée du haut de la tour de Pise, on a donc : h = 1 g.t => t = La durée de la chute est donc indépendante de la masse de la boule. b) Pour une durée de chute donnée, quelle est la relation mathématique évoquée par Aristote entre la masse et la hauteur de chute? Pourquoi Galilée a-t-il raison contre Aristote? Aristote affirme que la distance parcourue est proportionnelle à la masse de la boule. Galilée a raison puisqu il prétend, à contrario d Aristote, que des boules de masses différentes arriveront en même temps. c) Pour une hauteur h = 50 m (hauteur de la tour de Pise), calculer le temps t de chute et la vitesse v du centre d inertie de la boule quand elle arrive au sol. t = = 3, s et v = 10 3, = 3 m.s -1. a) A quelle force, dont vous donnerez la direction et le sens, cet écart est-il dû? Cela est-il confirmé par l epérience de Toricelli? Il s agit de la force représentative des frottements entre la boule et l air. Cette force est verticale et dirigée vers le haut. h g

5 P a g e 5 b) En supposant cette force f constante, montrer littéralement que le vecteur accélération a G du centre d inertie G de la boule dépend alors de la masse m de cette dernière. L application de la deuième loi de Newton donne : P + f = Le vecteur accélération a G dépend de la masse m. m. a G => a G = g + f m B. Deuième partie : «Un modèle pour la force de frottement» 1. Montrer, par une analyse dimensionnelle, que l epression de f est homogène. [f] = [ρ].[c].[s].[v] [ρ] = M.L -3 ; [C] = 1 ; [S] = L ; [v] = L.T -1 ; [f] = M.L.T - Donc : [ρ].[c].[s].[v] = M.L -3.L.L.T - = M.L.T - = [f] L epression de f est homogène. a) La valeur de la force de frottement est-elle constante au cours de la chute? Non car elle dépend de v qui augmente au cours de la chute : donc f augmente au cours de la chute. b) Comment peut-on comprendre qualitativement l eistence d une vitesse limite v lim? Dans les premiers instants de la chute on a P > f. Mais f augmente et il va arriver un moment où f = P. A partir de cette date, le système est pseudo isolé et son centre d inertie est alors animé d un mouvement rectiligne uniforme. 3. a) En utilisant la seconde loi de Newton, établir l epression littérale de l équation différentielle de la chute d une boule de centre d inertie G, de masse m et de section équatoriale S. Système, référentiel, repère et conditions initiales à ceu définis dans la question A.1.a. Bilan des forces etérieures : - force de pesanteur (poids) P = mg - force de frottement : f = - 1.ρ.C.S.v. v Deuième loi de Newton : P + f = m.ag Projection dans le repère (O, i ) : P + f = m.ag soit P + f = m. a G avec : P = P = m.g ; f = - f = - 1.ρ.C.S.v.v dv ; Or ag = et v = v => m.g - 1 dv.ρ.c.s.v = m. => dv = g - 1 ρ.c.s.v. m b) En déduire l epression littérale de la vitesse limite v lim. Quand la vitesse limite est atteinte : dv = 0 => 1 ρ.c.s.v. lim m = g => v lim.g.m = => v lim = ρ.c.s..m.g ρ.c.s C. Troisième partie : «Simulation numérique des mouvements» 1. Déterminer graphiquement (et approimativement) les temps de chute t 1, t et t 3 des trois boules du haut de la tour de Pise. Sur le graphe n 1, on cherche pour chaque courbe l abscisse du point d ordonnée = h = 50 m. On trouve t 1 légèrement inférieur à 3, s, t égal à 3, s et t 3 égal à environ 4 s.. a) Déterminer graphiquement (et approimativement) les vitesses v 1, v et v 3 des centres d inertie des trois boules quand elles arrivent au sol. Sur le graphe n, on cherche sur les courbes des boules B 1 et B l ordonnée du point d abscisse 3, s. On trouve des valeurs respectivement légèrement inférieures à 3 m.s -1 et à 31 m.s -1 pour v 1 et v et environ égale à 19 m.s -1 pour v 3.

6 P a g e 6 b) Pour la boule B 3, vérifier par le calcul la valeur trouvée graphiquement. 0, La boule B 3 a atteint sa vitesse limite donc : v 3 = 1,3 0,5 4,00 10 = 19 m.s Conclure sur l influence des actions de l air lors de la chute des trois boules du haut de la tour de Pise. Les boules B 1 et B arrivent au sol quasiment en même temps et les résultats de la simulation numérique correspondent à ceu de la chute libre. On en déduit que, dans les conditions de l epérience il est possible de négliger les actions de l air sur ces deu boules. Par contre, le centre d inertie de la boule B 3 atteint sa vitesse limite avant d arriver au sol. Les actions de l air sur cette boule ne sont donc pas négligeables D. Quatrième partie : «Zeina et Sami» 1. Sami s est-il trompé ou a-t-il omis de préciser certaines choses (ne pas justifier) : OUI. Si OUI, reformuler les propos de Sami afin qu ils soient en accord avec l epérience précédente. «Tu prends une boule de pétanque et une balle de tennis et tu les lâches dans des conditions telles qu il est possible de négliger les actions de l air : laquelle arrive la première? Aucune des deu : elles arrivent ensemble».