Arthur Cayley ( )

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1 Arthur Cayley ( ) Mathématicien britannique, il fait partie des fondateurs de l'école britannique moderne de mathématiques pures. Il est considéré comme l'inventeur des matrices. Dès 1854, il a posé les bases de la théorie des groupes et il établit la notion d espace vectoriel. Son nom est attaché à de nombreuses notions, dont l algèbre des octonions. [email protected] Page 1 sur 23

2 Problème : Calcul d intérêts bancaires Trois personnes placent leur argent le 31 décembre 2014 dans deux banques. Personne n 1 Personne n 2 Personne n 3 Banque n Banque n Par facilité, nous représentons cette situation par la matrice = $ La matrice donne les sommes placées dans chaque banque et par chaque personne. C est une matrice à 2 lignes et 3 colonnes. [email protected] Page 2 sur 23

3 Les conjoints de chacune des personnes précédentes placent également leur argent dans les mêmes banques le 31 décembre. Avec la même notation, la matrice + donne les sommes placées dans chaque banque et par chaque conjoint. + = $ Représenter les sommes placées au 31 décembre 2014 par chaque ménage dans une nouvelle matrice. Dans chacune des banques, le taux d intérêt annuel est de 1%. Représenter la situation au 1 er janvier 2016 dans une nouvelle matrice. [email protected] Page 3 sur 23

4 I. Notion de matrice Soit / et 0 deux nombres entiers naturels non nuls. On appelle matrice un tableau de nombres réels répartis en / lignes et 0 colonnes. Soit une matrice à / lignes et 0 colonnes : : 6 7; : 6 8; 5 A = 4 46 =7 6 =8 6 =: 36 >7 6 >8 6 >: 6 >;? = B6 =: C 7D=D> 7D:D; [email protected] Page 4 sur 23

5 Exemple Soit F = G 1 4 3J = 6 L8 = 6 8L = 6 LL = F est une matrice carrée. [email protected] Page 5 sur 23

6 5 0 0 G Chap 1. Notion de matrices Vocabulaire J est une matrice diagonale 1 G 7J est une matrice colonne 3 O5 2 3P est une matrice ligne G0 1 0J est une matrice unité La transposée de la matrice = $ est Q = G1 4 J 0 1 [email protected] Page 6 sur 23

7 II. Opérations sur les matrices Définition : Soit et + deux matrices à / lignes et 0 colonnes et S un nombre réel. S est la matrice où chaque élément de est multiplié par S. ++ est la matrice où l on ajoute les éléments de avec ceux de + qui sont sur la même ligne et la même colonne. Exemple : Calculer +2+ avec = $ + = $ [email protected] Page 7 sur 23

8 Propriétés. Soit, + et Y trois matrices à / lignes et 0 colonnes, S et S deux nombres réels commutativité : ++ = + + associativité : O++P+Y = +O+ +YP distributive : SO++P = S+S+ OS+S P = S+S SOS P = OSS P [email protected] Page 8 sur 23

9 Définition : Soit à / lignes et 0 colonnes et + à 0 lignes et \ colonnes. Le produit des matrices et + est la matrice + = O] =^P 7D=D> à / lignes et \ colonnes telle que : 7D^D_ ] =^ = 6 =7 `7^ +6 =8 `8^ =; `;^ ; `7^ `7_ 5 A 6 4 =7 6 a`77 b = `;7 `;^ `;_ 36 >7 6 >;? ] 77 ] 7^ ] 7_ 5 A ] 4 =7 ] =^ ] 3] >7 ] >^ ] >_? [email protected] Page 9 sur 23

10 Exemple. = $ + = G1 0 J 9 4 Calculer, lorsque c est possible, +, + et 8. [email protected] Page 10 sur 23

11 Propriétés. Soit, + et Y trois matrices qui rendent possibles les opérations suivantes, associativité : O +P Y = O+ YP distributive : O++P Y = Y ++ Y O+ +YP = + + Y [email protected] Page 11 sur 23

12 ATTENTION La multiplication de matrices n est pas commutative en général : g h h g Exemple. = $ + = $ Calculer + et +. Qu observe-t-on? [email protected] Page 12 sur 23

13 Propriété : Pour toute matrice carrée d ordre / N, o > = o > = où o > est la matrice unité Oou identitép d ordre /. Exemple : Soit = $, calculer o 8 et o 8. [email protected] Page 13 sur 23

14 III. Puissance p q d une matrice carrée Définition : Soit une matrice carrée d ordre / N, 8 = Pour tout 0 N, ; = rssstsssu Exemple : Soit = $ Calculer 8, L puis v. En déduire ; où 0 N. ; fois [email protected] Page 14 sur 23

15 Propriété : Soit w une matrice diagonale d ordre / N : w = Bx =: C 7D=D> où x =: = 0 lorsque y z 7D:D> Pour tout 0 N, w ; est une matrice diagonale où w ; = Bx ; =: C 7D=D> où x =: = 0 lorsque y z 7D:D> Exemple : Soit ] = G0 2 0J, calculer 8 puis L Démonstration dans le cas où { = [email protected] Page 15 sur 23

16 IV. Matrice inverse d une matrice carrée Un artisan chocolatier propose deux types de chocolats : le noir intense et le fruité. La fabrication d une plaque : de noir intense nécessite 30 minutes de travail et 700 g de cacao ; de fruité nécessite 20 minutes de travail et 400 g de cacao. Ce mois-ci, l artisan a consacré 12 heures et 40 minutes de travail et 16,8 kg de cacao à la fabrication de ces deux types de chocolat. [email protected] Page 16 sur 23

17 PARTIE A : avec un système d équations On note ~ le nombre de plaques de noir intense et le nombre de plaques de fruité fabriquées dans le mois par cet artisan. Traduire l énoncé par un système d équation et le résoudre. [email protected] Page 17 sur 23

18 PARTIE B : avec le calcul matriciel Chap 1. Notion de matrices On considère les matrices = ~ $ et + = $. Ecrire le système de la partie A sous la forme = + où la matrice est à préciser. Déterminer une matrice = 6 ` ] x $ telle que = o 8. Cette matrice s appelle la matrice inverse de, on la note 7. Résoudre alors le problème. [email protected] Page 18 sur 23

19 Une entreprise spécialisée dans les énergies renouvelables pour les particuliers propose trois types d installation. L installation : panneaux solaires : 2,5 jours main-d œuvre et 350 kg de matériel chauffe-eau solaire : 1 jour de main-d œuvre et 120 kg de matériel éolienne : 1,5 jour de main-d œuvre et 90 kg de matériel Cette année, cette entreprise a réalisé 156 installations, qui ont nécessité 306 jours de main-d œuvre et kg de matériel. Combien d installation de chaque type, l entreprise a-t-elle effectuées cette année? [email protected] Page 19 sur 23

20 Définition : Soit une matrice carré d ordre / N On dit que est inversible lorsqu il existe une matrice carré d ordre / telle que = = o >. On dit alors que est la matrice inverse de et on la note 7. Propriété : Lorsqu elle existe, la matrice 7 est unique. Démonstration : Exemple : Déterminer, si elle existe, l inverse des matrices : = $ et + = $ [email protected] Page 20 sur 23

21 Exemple : On considère la matrice = G J Calculer En déduire que la matrice est inversible. Précisez son inverse. [email protected] Page 21 sur 23

22 Propriété : Soit = 6 ` $ une matrice carrée d ordre 2, non nulle, ] x est inversible si, et seulement si, le déterminant 6x ]` est non nul. Démonstration : [email protected] Page 22 sur 23

23 Exemple : Chap 1. Notion de matrices Soit le système d équations de deux équations à deux 4~ + = 6 inconnues 5~ 3 = 1ˆ Traduire ce système par l écriture matricielle = +. Résoudre le système. Propriété : Si est une matrice carrée inversible alors le système d équations = + admet une unique solution : = 7 +. [email protected] Page 23 sur 23