Calcul vectoriel Lycée Oued Eddahab 2017/2018 CALCUL VECTORIEL. la même direction. la même norme
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- Sophie Thomas
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1 CALCUL VECTORIEL I) EGALITE DE DEUX VECTEURS- SOMME DES VECTEURS 1- Egalité de deux vecteurs 1-1 Activités: Activité1: Compléter les égalités suivantes: AB = ; CF = ; BF = Activité2: Soient A, B, C et D quatre points du plan Construire les point M et N tels que: BM = AC et AN = DA 1-2 Définition On dit que deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction le même sens la même norme A B C D AB = CD 1-3 Remarques AB et CD ont la même direction et le même sens Ils n'ont pas la même norme AB CD AB et CD ont la même direction Ils n'ont pas la même norme et n'ont pas le même sens AB CD AB et CD ont la même norme Ils n'ont pas la même direction AB CD 1.4 Vecteur nul Pour tout point M dans le plan, le couple (M, M) définie le vecteur MM qui s'appelle le vecteur nul qu'on note Propriétés Propriété1: Pour tous vecteurs u et pour tout point A du plan il existe un seul point M tel que u = AM Propriété2: Soient A, B, C et D quatre points du plan AB = CD si et seulement si les deux segments [AD] et [BC] ont le même milieu I Si A, B, C et D ne sont pas alignés le quadrilatère ABDC est un parallélogramme A.KARMIM 1
2 Propriété3: Soient A, B, C et D quatre points du plan AB = CD si et seulement si AC = BD (alternance des moyens) AB = CD si et seulement si DB = CA (alternance des extrêmes) 2 Somme de deux vecteurs 2.1 Activités Activité1: Soit ABCD un parallélogramme de centre O a) Construire le M tel que OM = AB + AD b) Construire le I tel que DI = OD BC c) Prouver que CM = AO Activité2: Soient A, B, C, D et E Cinque points du plan Simplifier BE + DF + EF + AB + ED + FA 2.2 Somme de deux vecteurs Relation de Chasles Soient u et v deux vecteurs; tels que u = AB et v = BC ; le couple (A, C)definie un vecteur unique w = AC qui s'appelle la somme des deux vecteurs u et v, et on écrit w = u + v u B v B C A w A w C Remarques: On a AB + BC = AC cette relation s'appelle relation de Chasles Le vecteur w ne dépend pas du choix des bipoints qui définissent les vecteurs u et v ; (AC = A C = w ) Résultat: Soient O, M, N et R quatre points du plan OM + ON = OR si et seulement si OMNR un parallélogramme M R Propriétés: O N Soient u, v et w trois vecteurs on a: u + v = v + u (u + v) + w = u + (v + w ) 0 + u = u + 0 A.KARMIM 2
3 3 Opposé d'un vecteur différence de deux vecteurs 3.1 Opposé d'un vecteur Soit le vecteur u = AB ; le bipoint (B, A) définie le vecteur BA qui s'appelle l'opposé du vecteur u et qu'on note u Remarque: Pour tout vecteur u on a u + ( u ) = ( u ) + u = 0 Pour tous points A et B du plan on a AB + BA = AA = Différence de deux vecteurs Soient u et v deux vecteurs la somme de u et de l'opposé de v s'appelle la différence des deux vecteurs u et v et on écrit: u + ( v) = u v Application: Soit ABC un triangle construire le point D tel que CD = AB CA Propriété: Pour tous points A, B et C on a BC = AC AB 4 Milieu d'un segment 4.1 Définition Propriété et définition: Soit le segment [AB]; il existe un seul point I qui vérifie AI + BI = 0 Le point I s'appelle le milieu du segment [AB] Remarque: I milieu de [AB] si et seulement si AI = IB A I B 4.2 Exercice: Soient ABC un triangle et E et F tels que AF = AB + AC et AE = CB a) Construire la figure b) Prouver que le point B est milieu du segment [EF] II) PRODUIT D'UN VECTEUR ET D'UN REEL 1 Activités Activité1: Soit ABC un triangle tel que AB = 6 et M un point tel que AM = 2 La parallèle à la droite (BC) et qui passe par M coupe [AC] en N a) Exprimer MN en fonction de BC b) Exprimer MN en fonction de BC A.KARMIM 3
4 Activité2: Soit ABC un triangle, on pose AB = u et AC = v a) Construire les vecteurs 2u et 3v b) Construire le vecteur 2u 3v 2 Définition et propriété 2.1 Définition Soit u un vecteur et k un réel Si k 0 le produit du vecteur u et du réel k est le vecteur ku défini par: ku a la même direction que le vecteur u Le même sens que u si k > 0 Le sens e ku est Le sens opposé de u si k > 0 Si k = 0, on pose 0u = 0 u v u v v = ku et k > 0 v = ku et k < Propriétés Pour tous vecteurs u et v et pour tous réels α et β on a α(u + v) = αu + αv (α + β)u = αu + βu 1u = u (α β)u = α(βu ) αu = 0 si et seulement si α = 0 ou u = Exercices Exercice1: simplifier l'expression w = 4(2u v) + 5u 1 4 v Exercice2: Soient ABC un triangle. D, M et N des points tels que: DM = 2DA ; BD = 2 BC et 4BN + 3MB = 0 3 Construire la figure Montrer que MB = 4 AB + 2 AC et que NB = AB + 1 AC Déterminer le réel k tel que AC = kan A.KARMIM 4
5 III) LA COLINIARITE 1- Colinéarité de deux vecteurs 1.1 Colinéarité de deux vecteurs On dit que deux vecteurs u et v sont colinéaires si l'un est égale au produit de l'autre fois un réel Autrement dit: s'il existe un réel k tel que v = ku Vecteurs colinéaires Vecteurs non colinéaires Remarque: deux vecteurs colinéaires non nuls ont la même direction le 0 est colinéaire avec tout vecteur u ( 0 = 0u ) Propriété et définition : Soient A, B et C trois points du plan tels que A B Les vecteurs AB et AC sont colinéaires si et seulement il existe un réel α tel que AC = α AB et le réel α s'appelle l'abscisse du point C dans le repère (A, B) Exemples: AC = 3AB BC = 2AB Exercice: Soit ABC un triangle : M milieu de [AB] et N milieu de [MC], K un point du plan tel que: CK = 1 CB 3 Construire les points M, N et K Montrer que: AK = 1 AB + 2 AC et AN = 1 AB + 1 AC Prouver que les vecteurs AN et AK sont colinéaires Propriété: Le point I est le milieu du segment [AB] si et seulement AI = 1 AB Allignement de 3 points Soient A, B et C trois points du plan tels que A B, on dit que les points A, B et C sont alignés s'il existe un réel α tel que AC = α AB Exercice: Soit ABCD un parallélogramme, M, et N deux points du plan tels que: BM = 6 BC et DN = 5 DC 5 6 A.KARMIM 5
6 Construire la figure et Prouver que les points A, M et N sont alignés. 2 Parallélisme de deux droites Soient A, B, C et D quatre points du plan tel que A B et C D Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si les vecteurs AB et CD sont colinéaires Exercice: soient ABC un triangle et I et Jdeux points tels que AI = 1 3 a) Exprimer IC et BJ en fonction de AB et AC b) En déduire que les droites (BJ) et (IC) sont parallèles AB et AJ = 3 AC A.KARMIM 6
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