Thème 1 : Second degré

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1 Lycée Louise Michel 0/0/018 1S MATHÉMATIQUES Corrigé du DS commun n Thème 1 : Second degré Question Choisir un nombre : Prendre le double du carré de ce nombre : Ajouter 5 fois le nombre de départ au résultat précédent : + 5. Retrancher 1 : Écrire le résultat final : On développe le résultat donné : ( 1, 5)( + ) ( )( + ) On retrouve bien le résultat précédent. Ainsi, le résultat obtenu est bien qui peut s écrire ( 1, 5)( + ).. On résout l inéquation ( 1, 5)( + ) > 0. 1,5 + 1, Evidemment On obtient également ce résultat en utilisant la règle du signe d un trinôme du second degré. Les racines étant 1, 5 et. ( 1,5)( + ) Pour obtenir un nombre strictement positif, il suffit de prendre soit un nombre strictement plus petit que soit strictement plus grand que 1,5. Re évidemment Le résultat est une fonction polynôme du second degré. Les racines sont et 1,5. Le polynôme est du signe de a partout sauf entre les racines. Ainsi, puisque a est positif le résultat est strictement positif pour des valeurs qui situent "en dehors" des racines.

2 Question. L aire du triangle ABC est donnée par : BC AH avec H le pied de la hauteur issue de A. La longueur AH est donnée par l ordonnée du point A qui est le sommet de la parabole. On a A b a 1 0, 5. ( 1) Ainsi, y A 0, 5 + 0, , 5. Donc AH 6, 5. La longueur BC est donnée par C B. V et B sont les solutions de l équation Les solutions sont 1 B et C. On a donc BC ( ) 5. L aire du triangle ABC est donc 6, , 65. Thème : Vecteurs et droites du plan Question. 1. Une équation cartésienne de droite est de la forme a + by + c 0. Un vecteur directeur a pour coordonnées ( ; 1). Ainsi, b et a 1 soit b et a 1. On en déduit que d a une équation cartésienne de la forme y + c 0. Comme le point A est sur d, on en déduit que 1 + c 0 soit c A u 1 Ainsi, d : y On trace la droite avec le vecteur directeur et le point A. Question. 1. pour montrer que les points B, C et R sont alignés, on montre que les vecteurs RB et RC sont colinéaires. RB AC AR RB ( AR + RC) AR RB AR + RC AR RB RC RB RC Les vecteurs RB et RC sont colinéaires, donc les points B, C et R sont alignés.. On a : Pensez-y! Pour montrer que les vecteurs u et v (non nuls) sont colinéaires, on montre qu il eiste un réel k tels v k u. Pour montrer que des points sont alignés pensez à la colinarité! MA + MB MI + IA + MI + IB MI + IA + IB Car I est le milieu de [AB]. }{{} MI 0

3 Question Calcul de MN : MN ( N M ) + (y N y M ) ( ( 1)) + (5 ) ( ) + 1 Le milieu I de [MN] a pour coordonnées : I M + N, ( ) et y I y M + y N + 5 Le milieu du segment [MN] a pour coordonnées ( ;, 5). ( ) ( ) ( ). Le vecteur N M ( 1) MN a pour coordonnées. y N y M 5 ( ) ( ) ( ) Le vecteur MP a pour coordonnées. P M y P y M On teste la colinéarité des vecteurs MN et MP : 9 ( 1) 1 ( ) 1 ( 8) 0 Les vecteurs MN et MP sont colinéaires, donc les points M, N et P sont alignés. 8 1 Question 6. Le point M a pour coordonnées ( ; ). La distance OM est donnée par : OM Thème : Fonctions de référence + ( ) + Les abscisses des points M de façon que OM 6 sont les solutions de l équation : + + On résout l équation pour 0 : 1,5 1,0 0,5 + 6 On élève au carré Les deu solutions sont : 1 et / [0 ; + [. 0 6 A 0,5 1,0 1,5,0,5 Il eiste donc un point M de la courbe C f tel que OM 6. C est le point de C f d abscisse. Ses coordonnées sont donc ( ; ).

4 Question 7. 1,5 y 1. Factorisation de. 1,0 y 0,5 ( 1) Forme factorisée. ( 1)( + 1) Autre forme factorisée.. Etude de la position relative. La position relative des deu courbes se déduit du signe de la différence : f() g() ( 1)( + 1) 1,0 0,5 0,5 1,0 1,5 0,5 1, f() g() Position relative C f est en-dessous dec g C f est au-dessus dec g C f est en-dessous dec g C f est au-dessus dec g Question 8. 1 a. { } 7 S 1. 7 b. S {0 ; 1}. c. > 5 S ] ; 5[ ]5 ; + [. d. ( )( ) 0 S { ; }. Attention! n est pas solution de cette dernière équation. L ensemble de définition de cette équation est [0 ; + [ et / [0 ; + [.

5 Question 9. Thème : Probabilités - Variables aléatoires 1. 0 % de 800 0, T T Total B B Total S peut prendre les valeurs 0 (pas de tri et pas de produits bio), 0 (produits bio et pas de tri), 50 (tri et pas de produits bio), 70 (tri et produits bio). p(s 0) ménages qui ne consomment pas de produits bio et qui ne pratiquent pas de tri sélectif nombre total de ménages 0 0, p(s 0) ménages qui consomment des produits bio et qui ne pratiquent pas de tri sélectif nombre total de ménages 60 0, p(s 50) ménages qui ne consomment pas de produits bio et qui pratiquent le tri sélectif nombre total de ménages 500 0, 1000 p(s 70) ménages qui consomment des produits bio et qui pratiquentle tri sélectif nombre total de ménages On obtient le tableau de loi de probabilité suivant : s i , p(s s i ) 0, 7, 0, 0 0, 0, 8 Question Tableau complété : i n 1 n n 10 n p(x i ) 0,5 0, 0,1 0,1. Calcul de l espérance de X : E(X) 0, 5 ( n) + 0, (1 n) + 0, 1( n) + 0, 1(10 n) 0, 5n + 0, 0, n + 0, 0, 1n + 1 0, 1n 1, 6 n Ce nombre (1, 6 n) est le gain moyen d un joueur pour une partie.. Le jeu est favorable au joueur lorsque 1, 6 n > 0 soit n < 1, 6. Le jeu est favorable au joueur si la mise de départ est inférieure à 1,60e.

6 Question 11. Thème 5 : Dérivation 1. L équation f() 0 a pour solutions :. L équation f () 0 a pour solution : 0 et. A savoir Les solutions de l équation f() 0 sont les abscisses des points d intersection entre C f et l ae des abscisses (ce sont les antécédents de 0). Et les solutions de l équation f () 0 sont les abscisses des points de C f en lesquels la tangente est horizontale (coefficient directeur nul).. a. f (a) est le coefficient directeur de la tangente au point de la courbe d abscisse a. b. f (0) est le coefficient directeur de la tangente au point d abscisse 0. Ouf! elle est tracée et en plus elle est horizontale! Son coefficient directeur est nul. Ainsi, f (0) 0. f () est le coefficient directeur de la tangente au point d abscisse. Ouf! elle est encore tracée.c est d. En utilisant les deu points "marqués" sur la droite (et en partant de celui le plus à gauche), on se décale de une unité vers la droite et on monte de,5 unités pour retrouver le deuième point de la droite. Ainsi, f () "Déplacement vertical" "Déplacement horizontal", 5, 5. 1 f (8) est le coefficient directeur de la tangente au point d abscisse 8. Ouf! elle est encore tracée. Quelle chance! En utilisant les deu points "marqués" sur la droite (et en partant de celui le plus à gauche), on se décale de,5 unités vers la droite et on descend de 0,5 unité pour retrouver le deuième point de la droite. Ainsi, f (8) "Déplacement vertical" "Déplacement horizontal" 0, 5, 5 1 0,. 5 c. La droite d 1 est horizontale. Son équation réduite est y, 5. La droite d a une équation réduite de la forme y 0, + p. La point A(8 ; 1, 5) est sur la droite donc ses coordonnées vérifient son équation. Ainsi : 1, 5 0, 8+p soit p, 1. D où : d : y 0, +, 1. 8 T Question 1. Une tangente au point d abscisse a a pour équation y f (a)( a) + f(a) 1. f (0) et graphiquement f(0). On en déduit que T 0 a pour équation y 1( 0)+ soit y +.. f () 1 8 et graphiquement f() 8. On en déduit que T a pour équation y 8( )+8 soit y T

7 Question 1. Le tableau de variations de f avec le signe de sa dérivée est : 1 1, f() 1 f () Seule la courbe représente une fonction qui admet ce tableau de signes. On en déduit que la courbe est la représentation graphique de la fonction f. Question f est une somme de fonctions dérivables sur ]0 ; + [, elle est donc dérivable sur ]0 ; + [. Pour tout réel de ]0 ; + [, f () a deu racines : 1 et 1. Le trinome est du signe de a 1 sauf entre ses racines. On obtient le tableau de variations suivant : f () 0 + f(). Comme le minimum de f sur ]0 ; + [ est, on en déduit que pour tout réel strictement positif, + 1. Question 15. f est un quotient de deu fonctions dérivables sur ]1 ; + [ dont le dénominateur ne s annule pas sur ]1 ; + [, donc f est dérivable sur ]1 ; + [. On reconnaît la forme u v, avec u() + et v() 1. On a u () + 1 et v () 1. f () v() u() u () v {}}{{}}{{}}{ () {}}{ ( + 1) ( 1) ( + ) 1 ( 1) }{{} (v()) ( + 1) ( + ) ( 1) 1 + ( 1) + 1 ( 1)

8 Thème 6 : Angles et trigonométrie Question Simplification de A. A ( π ) cos(π ) + sin( ) + cos( ) + cos }{{}}{{}}{{} }{{} cos sin cos sin cos sin + cos + sin 0. Résolution de l équation. Conseil Faites des petits schémas pour retrouver ces formules. cos 0 cos On isole le carré. cos ou cos Comme est positif, il y a deu valeurs possibles pour cos. cos ou cos On simplifie. L équation cos a pour solutions dans [0 ; π[ : π 11π et 6 6. Re conseil L équation cos a pour solutions dans [0 ; π[ : 5π 6 et 7π Là encore, faites des petits schémas 6. pour retrouver ces valeurs. L équation cos 0 a donc solutions dans [0 ; π[ : π 6, 11π 6, 5π 6 et 7π 6. Question π 7 8π π 8π π π π 7 π 7 [π]. π [ π ; π[, donc la mesure principale de 9π est π ( IA ; ID) π (les diagonales d un carré sont perpendiculaires). ( IB ; ID) π (les vecteurs IB et ID sont colinéaires de sens contraires). ( CD ; BI) ( BA ; BI) π (car CD BA et le triangle ABI est rectangle isocèle). ( AD ; CI) ( BC ; CI) ( CB ; CI) π + ( CB ; CI) π π π

9 Question 18. Thème 7 : Produit scalaire 1. Une équation cartésienne de D 1 est donnée par : a + by + c 0. n est un vecteur normal donc a 1 et b. Ainsi, D 1 : y + c 0. Le point A est sur la droite donc ses coordonnées vérifient l équation de D 1 : + c 0 soit c 5. Ainsi, D 1 : y ( ). La droite D a pour vecteur normal n 8. Les vecteurs n et n sont orthogonau car : ( ) 0. Ainsi les droites D 1 et D sont perpendiculaires. Conseil Si les deu vecteurs normau sont orthogonau alors les droites sont perpendiculaires. Faites un petit dessin pour voir la situation. Question Le vecteur ( ) AB ( a pour ) coordonnées ( ) : B A 0 y B y A 5 1 Le vecteur AC a pour coordonnées : ( ) ( C A y C y A 1 1 ) ( 6 Ainsi, AB AC ( ) ( 6) + ( ) 16. ). On a AB AC AB AC cos BAC. AB ( ) + et AC ( 6) + ( ) 0. Petit rappel ( ) Si u, alors u + y. y Ainsi, AB AC 0 cos BAC 16 5 cos BAC. Conseil Utilisez la calculatrice pour simplifier 0. C est bien plus rapide :-) Comme AB AC 16 et AB AC 16 5 cos BAC, on en déduit : cos BAC En utilisant une calculatrice, on trouve : BAC cos 1 ( 1 5 ) 6.

10 Question L équation + y + y 0 s écrit ( 1) + (y + 1) 5. On reconnaît l équation du cercle C de centre Ω(1 ; 1) et de rayon 5.. Les coordonnées des points d intersection du cercle avec l ae des ordonnées sont les solutions du système : { 0 + y + y 0 En remplaçant par 0 dans la deuième équation, on obtient : y + y 0 qui a pour solution 1 et (merci la calculatrice!). Ainsi, le cercle coupe deu fois l ae des ordonnées. Les points d intersection ont pour coordonnées (0 ; 1) et (0 ; ).