Calcul matriciel : exercices

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1 Calcul matriciel : exercices D 7/8 Exercice Compléter les égalités suivantes : 0 a b Résoudre les équations suivantes : 0 0 a x + y b x + y Exercice Compléter les égalités suivantes :

2 Exercice 0 On considère les matrices A, B 4 et C 0 4 a Calculer D A + B b Calculer E AC c Comparer les matrices DC et E + BC d Quelle conjecture peut-on émettre? On considère les matrices A et B 4 0 et C a Calculer D AB b Calculer E BC c Comparer les matrices DC et AE d Quelle conjecture peut-on émettre? Exercice 4 Soient A et B deux matrices de M R Les énoncés suivants sont-ils corrects? Justifier t A + B t A + t B t AB t A t B t AB t B t A Exercice On considère les matrices A 0 et B a Résoudre l équation AX B d inconnue X M, R b A-t-on X B A? 7

3 a On considère les matrices A 4 Calculer AB et B 6 b Soient n un entier strictement positif et A, B et C trois matrices de M n R Que pensez-vous du raisonnement suivant? On a les équivalences : AB AC AB AC 0 AB C 0 A 0 ou B C 0 A 0 ou B C Finalement, on a l égalité AB AC lorsque A est la matrice nulle ou lorsque les matrices B et C sont égales et uniquement dans ces deux cas Exercice 6 Une certaine espèce de scarabée ne vit au maximum que trois ans Une année a 0 donnée, on considère une famille de ces scarabées, composée de trois groupes d âges : x 0 sont dans leur première année, y 0 sont dans leur deuxième année et z 0 sont dans leur troisième année On suppose que les effectifs des trois groupes d âges des scarabées l année a 0 + s obtiennent à partir de ceux de l année a 0 de la façon suivante : ˆ une moitié des scarabées meurt dans sa première année ˆ les scarabées qui en sont à leur deuxième année donnent chacun naissance à un scarabée et les deux tiers de ces scarabées meurent durant leur deuxième année après avoir donné naissance ˆ les scarabées qui en sont à leur troisième année donnent naissance à scarabées avant de mourir On note x le nombre de scarabées de cette famille qui sont dans leur première année, y le nombre de scarabées qui sont dans leur deuxième année et z le nombre de scarabées qui sont dans leur troisième année, l année qui suit celle considérée au départ Exprimer x, y et z en fonction de x 0, y 0 et z 0 On introduit les matrices U 0 Vérifier l égalité U AU 0 x 0 y 0 z 0, U x y z et A Plus généralement, on suppose que le processus d évolution évoqué entre l année a 0 et a 0 + est valable pour deux années consécutives quelconques On note, pour tout n de N, x n le nombre de scarabées de la famille considérée qui sont dans leur première année, y n le nombre de scarabées qui sont dans leur deuxième année, z n le nombre de scarabées qui sont dans leur troisième année, n années après celle considérée initialement c est à dire l année a 0 + n et on pose U n x n y n z n a Soit n un élément de N Déterminer une relation entre U n+, U n et A b En déduire, pour tout n de N, une relation entre U n, U 0 et A

4 c Dans cette question, on suppose que l on a U A l aide d une calculatrice, conjecturer le comportement asymptotique ie en temps infiniment long des effectifs de la famille de scarabées considérée On considère la matrice A 0 Exercice 7 Expliciter, pour tout n de N, A n Indication : on pourra commencer par calculer A, A et A 4 On considère les matrices A et B a Expliciter, pour tout n de N, A n b Expliciter, pour tout n de N, B n 0 On considère la matrice A Expliciter, pour tout n de N 0, A n 4 On considère la matrice A Expliciter, pour tout n de N, A n Soit A une matrice de M R Soient a et b deux réels On suppose que l on peut écrire a 0 A P Q où P et Q sont deux matrices de M 0 b R telles que QP I Que peut-on dire, pour tout n de N, de A n? On considère la matrice A Exercice 8 Le but de cet exercice est d expliciter, pour tout n de N, A n Déterminer la matrice J telle que A I + J Expliciter, pour tout n de N, J n a Exprimer A en fonction de I et J, puis A en fonction de I et J et enfin A 4 en fonction de I et J b Déterminer, pour tout n de N, une expression de A n, en fonction de I et J c Conclure d Retrouver le résultat de la question b à l aide de la formule du binôme de Newton 4

5 Exercice 9 On considère les suites a n n N, b n n N et c n n N définies par a 0, b 0 et c 0 et : n N, a n+ a n + b n b n+ b n + c n c n+ c n Le but de cet exercice est de déterminer, pour tout n de N, une expression explicite de a n, b n et c n On introduit, pour tout n de N, la matrice U n, définie par U n a n b n c n a Déterminer une matrice A de M R telle que, pour tout n de N, U n+ AU n b Déterminer, pour tout n de N, une expression de U n en fonction de n, A et U 0 a Soit n un élément de N Peut-on donner, directement, une expression explicite de A n? expliquer b Déterminer deux matrices D et J de M R telles que D soit diagonale et A D + J c Expliciter les puissances de J d En déduire, pour tout n de N, une expression explicite de A n Indication : on pourra commencer par s intéresser à D + J, D + J, Conclure Exercice 0 Soit n un entier strictement positif Soit A une matrice inversible de M n R d inverse B a Justifier que la matrice A est inversible et expliciter son inverse b Justifier que la matrice A est inversible et expliciter son inverse c Comment se réécrivent les résultats précédents en n utilisant que la notation A et pas la notation B? a Justifier que la matrice B est inversible et expliciter son inverse b Comment se réécrit le résultat précédent en n utilisant que la notation A et pas la notation B? Soit C une matrice inversible de M n R d inverse D a Justifier que la matrice AC est inversible et expliciter son inverse b Comment se réécrit le résultat précédent en n utilisant que les notations A et C et pas les notations B et D? Exercice a b Soient a, b, c et d quatre réels Soit A c d Le cours indique que la matrice A est inversible si et seulement si ad bc 0 et que, dans ce cas, on a : A d b ad bc c a Discuter de la validité de la démonstration suivante de ce théorème :

6 d b Posons B ad bc c a On a : AB Donc la matrice A est inversible, d inverse la matrice a b d b c d ad bc c a a b d b ad bc c d c a ad bc ab + ab ad bc cd cd bc + ad 0 0 ad bc d b c a Résoudre le système suivant : On pose A S et B Exercice 7x +y +4z x +y +7z 0 x +y +z Résoudre l équation AX B d inconnue X Que constate-on? x y z M, R Exercice On considère les matrices A 0 et B a b où a, b et c sont trois réels 0 0 c a Résoudre l équation AX B d inconnue X x y z M, R b A l aide de la question précédente, déterminer une matrice C telle que l on ait l équivalence : AX B X CB On admet que la matrice A est inversible Montrer l équivalence : Quelle conjecture peut-on émettre? AX B X A B 6

7 On considère la matrice A 4 Exercice 4 Déterminer l inverse de la matrice A à l aide d une résolution de système et à l aide de la méthode du pivot de Gauss Remarque : si possible, effectuer les deux calculs côte à côte ou l un juste au dessous de l autre Que constate-on? Exercice a Montrer que la matrice A est inversible et déterminer son inverse b Montrer que la matrice A 0 est inversible et déterminer son inverse c Montrer que la matrice A est inversible et déterminer son inverse 0 a d Soit a un réel Déterminer les réels a pour lesquels la matrice A a est inversible a On considère la matrice A a Calculer A Exercice 6 b La matrice A est-elle inversible? Si oui, expliciter son inverse On considère la matrice A 0 a Calculer A b En déduire que la matrice A n est pas inversible On considère la matrice A 0 i Calculer A A A ii La matrice A est-elle inversible? Si oui, expliciter son inverse 0 4 On considère la matrice A 0 0 i Calculer A A ii En déduire que A est inversible et expliciter son inverse 7

8 On considère la matrice A i Montrer qu il existe deux réels α et β tels que A + αa + βi 4 0 M4R ii En déduire que A est inversible et expliciter son inverse 6 On considère la matrice A 0 0 Que pensez-vous du raisonnement suivant? On a : A + 4A A 0 d où AA + 4A 0 d où d où A + 4A I A + 4I A I Donc la matrice A est inversible et son inverse est donné par : A