1 ère partie : Activités numériques (12 points) Exercice 1 :(6 points) On fera apparaître les calculs d une façon détaillée.

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1 ,5 ère partie : Activités numériques ( points) Exercice :(6 points) On fera apparaître les calculs d une façon détaillée. On donne l expression E=(x-5)² - (x-5)(4x-) ) Pour calculer la valeur exacte de E lorsque x=, Marc a choisi de développer E. a) E = x x x ( 5) ( 5)(4 ) E = x x + x x + x x ( 5 5 ) ( 4 ( ) ( )) E x x x x x = ( ) E x x x x x = = E x 4x 0x x E x x = b) Calculer la valeur exacte de E lorsque x = si x = E = x + x + 0 E = + + ( ) 0 E = E = E = + 0,5 ) a) Léa a trouvé mentalement une solution de l équation E=0. A votre avis laquelle? E x x x = ( 5) ( 5)(4 ) donc si x = 5 5 est donc une solution de l équation E=0. ( x 5) = 0 et ( x 5) = 0 b) Pour trouver l autre solution, Léa choisit de factoriser E. Montrer que E = (x-5) (-x-) c) Donner alors la seconde solution de l équation E=0 Pour trouver la seconde solution, il faut résoudre l équation ( x 5)( x ) = 0 ( x 5)( x ) = 0 Si un produit est nul alors l ' un de ses facteurs est nul. Et réciproquement. x 5= 0 ou x = 0 x = 5 ou x = x = 5 ou x = E = x x x ( 5) ( 5)(4 ) E = ( x 5) ( x 5) ( x 5)(4x ) E = ( x 5)( x 5 (4x )) E = ( x 5)( x 5 4x + ) E = ( x 5)( x ) Les solutions de cette équation sont donc 5 (que l on retrouve) et.

2 ) Lorsque x =, calculer E Utilisons la forme factorisée: Exercice (4 points) si x = alors E = ( 5)( ) 5 E = ( )( ) E = ( ) ( 4) ( 4) E = 5 E = 0 (0 ) Quelle est l'expression qui est égale à 0 si on choisit la valeur x = 4? x(x+) (x + )(x -) (x + )² x ² - 54 x² - 6 est égal à : (x-4)² (x-4)(x+4) (x-8)² (x+4)² 4 Quelle est la valeur exacte de 80+ 0? 00, Une solution de l équation : x - 5x + = 0 est ) (0 ) = = = = 0 = 0 = ( 6) ,5 0,5 ) si x = 4 alors (4 + )(4 ) = 5 = 0. ) x 6 = x 4 = ( x 4)( x + 4). 4) = = = = ) ( )² 5 + = = + 6 = + = + = 0 Donc / est solution de l équation Exercice ( points) On a = ( )( ) on reconnait a b = a b a + b = 06 = 80 ( )( )

3 ème partie : Activités géométriques ( points) Exercice : (7points) - Faire un dessin en vraie grandeur. (d) E G K H,5 O F I J,5 - Montrer que le triangle EFG est rectangle en G. EFG est un triangle inscrit dans le cercle de diamètre [EF] Propriété : Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre un de ses côtés Alors ce triangle est rectangle. Et ce côté est l hypoténuse. Conclusion : EFG est un triangle rectangle en G. Autre propriété : Si on joint un point d un cercle aux extrémités d un diamètre, on obtient un triangle rectangle.

4 - Démontrer que EG = 8. EFG est un triangle rectangle en G. Donc d après le théorème de Pythagore, on a C'est-à-dire 0 = EG = EG = EG 64= EG EG = 8 car EG > 0 Conclusion : EG=8cm. EF = EG + GF 4-Calculer IJ.,5 Les droites (GI) et (EJ) sont sécantes en F Les droites (IJ) et (EG) sont parallèles Donc, d après le théorème de Thales, on a D où FJ,5 IJ = = On utilise la propriété du «produit en croix» : 6 IJ =,5 8 6IJ = FJ FI IJ = = FE FG EG IJ = = 6 Conclusion : IJ=cm. 5-H est le point du segment [FG] tel que : FH = 5,4 et K le point du segment [EF] tel que : FK = 9. Les droites (EG) et (HK) sont-elles parallèles?,5 On a Et FH 5, 4 6 0,9 = = = 0,9 FG 6 6 FK 9 0,9 FE = 0 = FH FK = FG FE Les points F, H et G sont alignés dans le même ordre que F, K et E. Donc d après la réciproque du théorème de Thales, les droites (HK) et (EG) sont parallèles.

5 ,5 Exercice : (5 points) Les points C, H et B sont alignés. BH = 4cm, HC = cm HA = cm et AC = 75 cm ) Montrer que le triangle AHC est rectangle. On a HC = ( ) = 9 = 7 AC HA = 75 = 75 = ( ) = 4 = 48 Donc HC + HA = 75 HAC est un triangle tel que HC + HA = AC Donc d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle HAC est rectangle en H. ) Calculer la mesure de l angle HBA. Dans le triangle HAB rectangle en H, HB = 4 et HA= Ce sont les côtés adjacents et opposés de l angle HBA, on utilise donc la tangente de cet angle : HA 4 tan HBA = = = = = HB Donc HBA= 60.,5 ) Calculer l aire A du triangle ABC, valeur exacte puis valeur approchée arrondie au cm². BC AH A = car ( AH ) est la hauteur relative au cot é[ BC] ( BH + HC) AH A= car les point s B, H et C sont alignés (4 + ) A= A= 4 + A= 4 + A= 4 + A= A= A= A= A cm 4 ) Calculer le périmètre P du triangle AHC On écrira P sous la forme a. P = AH + HC + CA P = P = P = P = ( ) P = P = cm

6 ème partie : Problème ( points) On dispose d un séjour rectangulaire ABCD dans lequel on veut réaliser un petit cagibi triangulaire CDH. Pour cela, on veut installer une cloison [DH]. Elle a été dessinée en pointillés. Dans l exercice, on considère que la cloison a une épaisseur nulle. On note x la longueur HC exprimée en m. A m D B H x m C 4 m Les deux parties sont indépendantes On considère ici que x = m. ) Quelle est la longueur de la cloison? Partie I ( points) HCD est un triangle rectangle en C Donc d après le théorème de Pythagore, on a HD = HC + CD D où HD HD HD = + 4 = = 5 HD = 5 car HD est unelongueur Conclusion : HD=5cm ) Calculer la valeur (à près) de l angle HDC. HCD est un triangle rectangle en C. DC et HC représentent respectivement le côté adjacent et le côté opposé à l angle. HC On utilise donc la tangente de cet angle : tan HDC = = CD 4 D où 7 Conclusion : 7

7 Partie II ( 0 points) On considère ici que HC = x m ) Expliquer pourquoi x varie entre 0 et m x représente la longueur HC donc x 0 m 0,5 Le point H appartient à [BC] et BC = m donc x m ) a) Exprimer, en justifiant, la surface au sol du cagibi en fonction de x, sous la forme f (x) =. Le cagibi est représenté par le triangle HDC rectangle en C, sa surface est donc l aire de ce triangle : HC CD, on la note f ( x ), d où f ( x) = ( x 4) f ( x) = 4x f ( x) = x b) Exprimer, en justifiant, la surface au sol du séjour en fonction de x, sous la forme g (x) =. Cette surface est la surface du quadrilatère ADHB. On peut donc la calculer en faisant la différence de la surface ABCD et de la surface HDC. Or ABCD est un rectangle et HDC est un triangle rectangle en C. HC CD C est donc AB AD D où 4 x g( x) = 4 g( x) = 48 x ) a) Pour x =,5 m, calculer l aire de chacune des pièces. On cherche donc l image de, 5 par les fonctions f et g. On a f (,5) =,5 = 7 g(,5) = 48,5 = 48 7= 4 L aire du cagibi est donc 7m et celle du séjour est 4m. b) Quelle sera la longueur HC si le séjour a une aire de 0 m²? On cherche donc l antécédent de 0 par la fonction g. On cherche donc x tel que 48 x = 0 x = 0 48 x = 8 8 x = x = 9 Si le séjour a une aire de 0m alors HC mesure 9m. c) Quelle sera la longueur HC si le séjour est trois fois plus grand que le cagibi? On résout l équation g(x)= f(x) 48 - x= x 6 = 48 = x + 6x 48 - = 6 8x = 48 x= 48 /8 Si HC= 6 m alors le cagibi fera m² et le séjour 6 m² x = 6

8 4) On a tracé dans un repère les représentations graphiques des fonctions f et g pour x compris entre 0 et m. Faire des pointillés pour expliquer la lecture graphique a) On appelle (C f ) la courbe représentant f et (Cg) celle représentant g. Mettre le nom sur chaque droite.,5 b) Lire graphiquement l aire du séjour pour x =,5 m L aire du séjour vaut environ 4 m² pour x =,5m (voir ) c) Lire graphiquement l aire du cagibi pour x =,5 m L aire du cagibi vaut environ 5 m² pour x =,5m ( voir ) d) Lire graphiquement pour quelle valeur de x les deux aires sont-elles égales? Donner alors l aire des deux pièces Les deux aires sont égales pour x = m ; l aire vaut alors 4 m² (voir ) Retrouver ces résultats par le calcul Aire (m²) 50 B C (Cg) 4 0 A (Cf) 5 O 0,5,5 6, HC (m) 5) On veut que le séjour ait une surface minimale de 5 m². a) Lire sur le graphique la valeur maximale de x pour que cette condition soit respectée. La valeur maximale de x pour que la surface du séjour fasse au moins 5 m² est de 6,5m. (voir - - -) b) Ecrire une inéquation qui traduise que la surface du séjour doit être supérieure ou égale à 5 m². La surface du séjour doit être supérieure ou égale à 5m se traduit par 48 x 5 c) Résoudre cette inéquation. 48 x 5 x 5 48 x x x 6,5 On retrouve le résultat précédent : la surface du séjour sera au minimum de5 m² lorsque HC est inférieure ou égale à 6,5 m.