Fiche d exercices N 1 : Géométrie dans l espace

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1 Fiche d exercices N 1 : Géométrie dans l espace M. HARCHY T S 2 -Lycée Agora-2015/ Droites et plans de l espace Exercice 1 Soient ABCD un tétraèdre et M un point du segment [AC] distinct de A et de C. Les énoncés suivants sont-ils vrais ou faux? Le point A appartient à l intersection des plans (BMC) et (CMD). Les droites (BM) et (CD) sont parallèles. Les droites (BM) et (CD) sont sécantes. Les plans (MAB) et (BCD) se coupent suivant la droite (BC). Le plan (ABC) contient une droite parallèle à (DM). Exercice 2 Soit SABCD une pyramide de sommet S et de base le quadrilatère (quelconque) ABCD. Le point I est un point du segment [SC] distinct de S et de C. Le plan P est le plan contenant les points A, B, C et D. La droite est une droite de ce plan. Le plan Q est le plan contenant I et la droite. Le but de cet exercice est de construire la trace de l intersection du plan Q et de la pyramide SABCD. 1. Quelle est l intersection des plans P et Q? 2. Dans cette question on va construire l intersection des plans Q et (SBC). (a) Quelle est la nature de cette intersection? (aucune justification n est attendue dans cette question) (b) Déterminer un point appartenant à cette intersection. (c) Finir la construction de l intersection des plans Q et (SBC). 3. En adaptant le raisonnement précédent aux différentes faces de la pyramide, construire la trace de l intersection du plan Q et de la pyramide SABCD. Exercice 3 Soit ABCD un tétraèdre. Le point J est un point de [AC] distinct de A et C, le point K est un point de [AD] distinct de A et D tel que les droites (CD) et (JK) sont parallèles. Enfin le point I est un point de [AB] distinct de A et de B tel que les plans (IJK) et (BCD) ne soient pas parallèles. 1. Construire la droite d intersection des plans (IJK) et (BCD). 2. Montrer que les droites et (JK) sont parallèles.

2 2 Géométrie vectorielle 2.1 Vecteurs et plans Exercice On considère un cube ABCDEFGH. Soient M et L les points tels que AM = 1 AD et EL = 1 EF. 1. Montrer que ML = 1 DB + DH. 2. En déduire la position de la droite (ML) par rapport au plan (DBH). Exercice 5 On considère une pyramide SABCD à base carrée ABCD. Soit O le centre de ABCD, J le milieu de [SO]. Soit K le point tel que SK = 1 3 SD. 1. Justifier que S, B, D, O, J et K sont coplanaires. 2. (a) Démontrer que BK = SB SD. (b) Justifier que SO = 1 2 ( SB + SD ) et en déduire que BJ = 3 SB + 1 SD. (c) Montrer que les points B, K et J sont alignés. 3. Positions relatives de plans. (a) Etudier la position relative du plan (BJC) avec le plan (ABC) et avec le plan (SCD). (b) Etudier la position relative des plans (BJC) et (SAD). (c) Construire la section de la pyramide SABCD par le plan (BJC). Justifier. Exercice 6 : vecteurs colinéaires Soit ABCD un tétraèdre, et soient I, J et K les milieux respectifs de [AB], [AD] et [CD]. 1. Donner un vecteur colinéaire au vecteur IJ. 2. Les vecteurs IJ, BD et AC sont-ils coplanaires? 3. Montrer que les vecteurs IJ, BC et CD sont coplanaires.. Montrer la relation AD + BC = 2IK. Que peut-on en déduire? Exercice 7 Soit ABCD un tétraèdre, et I le milieu de [AB]. 1. Faire une figure et construire le point G tel que AG = 3 2 AC BD. 2. (a) Montrer que AC + BD = IC + ID. (b) En déduire IG en fonction des vecteurs IC et ID. Que peut-on en déduire sur les points I, G, D et C? Exercice 8 (c) Construire l intersection de (DG) et (ABC). Soit ABCD un tétraèdre et soient P, Q, R et S les points définis par AP = 5 2 AB, BQ = 3 BC, CR = 5 3 CD et DS = 9 DA. 1. Exprimer PQ, PR et PS en fonction de AB, AC et AD. 2. Montrer que P, Q, R et S sont coplanaires. 3. Dans le cadre du paragraphe suivant, reprendre la question 1 avec en utilisant les coordonnées.

3 2.2 Repérage dans l espace Exercice 9 Soit (d) la droite passant par le point A ( ; 2 ; 1) et de vecteur directeur u 1. Déterminer une représentation paramétrique de d. 2. Déterminer les coordonnées du point B de d qui a pour abscisse Déterminer les coordonnées du point C de d qui a pour cote 7.. Le point D ( 1 ; 0 ; ) appartient-il à la droite d? Exercice 10 On considère la droite (d) de représentation paramétrique 1. Donner un point et un vecteur directeur de la droite d. x = 1 + t y = t z = 2 + 2t 2. Soient les points E (2 ; 3 ; 5), F (0 ; 1 ; 1) et H (1 ; 8 ; 8). Exercice 11 (a) Montrer que d et (EF) sont strictement parallèles. (b) Montrer que d et (EH) sont sécantes et préciser leur point d intersection K. On considère les points A (0 ; 3 ; 2) et B (1 ; 2 ; 3) ainsi que les vecteurs u (1 ; 1 ; 1) et v ( 1 ; 2 ; 1). 1. Déterminer une représentation paramétrique des droites d passant par A et dirigée par u ainsi que d passant par B et dirigée par v. 2. Le point M (6 ; 8 ; 2) appartient-il à d? à d? 3. Les droites d et d sont-elles sécantes? Exercice 12 QCM. Choisir la bonne réponse. 1. Dans un repère de l espace, les droites d et d de représentations paramétriques respectives x = 1 t y = 1 + t z = 2 3t, t R, et x = 2 + t y = 2 t z = + 2t, t R, sont : a. strictement parallèles b. confondues c. sécantes d. non coplanaires 2. Dans un repère de l espace, la droite passant par A (1 ; 2 ; ) et B ( 3 ; ; 1) et la droite d de représentation paramétrique x = 11 t y = 8 + 2t, t R, sont : z = t a. strictement parallèles b. confondues c. sécantes d. non coplanaires 3 Produit scalaire 3.1 Extension du produit scalaire à l espace Exercice 13 On considère un cube ABCDEFGH d arête a. Soient I, J, K, L et O les milieux respectifs de [BF], [FG], [CD], [BC] et [AG]. 1. Calculer en fonction de a les produits scalaires : (a) AB DH ; FB DH ; HF DC. (b) AI AB ; AI AE ; AI AF. (c) DK BL ; EB DG ; EC BD ; EC BG. (d) AJ AB ; DJ DC ; HA HB ; BI BH. (e) KC KB ; BJ BL ; FG EG ; DK DI.

4 2. En décomposant le vecteur BJ, calculer BK BJ. En déduire une valeur approchée à 0,1 près de KBJ. 3. Exprimer en fonction de a les longueurs OF et OG. En déduire OF OG. Exercice 1 1. Dans un repère orthonormé, soient A (1 ; 1 ; 0), B ( 1 ; 2 ; 1) et C (3 ; 1 ; 1). (a) Calculer AB AC. (b) Calculer AB et AC. En déduire une valeur approchée à 0,1 près de l angle BAC. 2. Dans un repère orthonormé, soient A (1 ; 0 ; 2), B (3 ; 3 ; 3) et C (0 ; 2 ; 10). Montrer que les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires. Exercice 15 Soit ABCD un tétraèdre régulier d arête a et soit J le milieu de [AB]. 1. Calculer BA BC et AB BD. 2. Montrer que (AB) et (CD) sont orthogonales. Exercice Soient A, B, C et D quatre points. Montrer que AB 2 BC 2 + CD 2 DA 2 = 2 AC DB. 2. Soit ABCD un tétraèdre tel que BAC soit isocèle en B et DAC isocèle en D. (a) Déduire de la question précédente que (AC) et (BD) sont orthogonales. (b) Retrouver ce résultat sans calcul de produit scalaire. 3.2 Equation cartésienne d un plan Dans cette partie, tous les repères sont orthonormés Exercice 17 L ensemble des points M (x ; y ; z) tels que x + y + 2z = 0 est un plan P. 1. Donner les coordonnées d un vecteur normal n de P. 2. Déterminer les points A, B et C, intersections respectives de P avec les axes (Ox), (Oy) et (Oz). 3. Les points D (1 ; 6 ; 3) et E ( 2 ; 5 ; ) appartiennent-ils à P?. Déterminer la cote du point de P d abscisse 3 et d ordonnée 1. Exercice Déterminer une équation du plan P passant par A ( ; 1 ; 7) et de vecteur normal n( 2 ; 1 ; 3). 2. Déterminer les points d intersection de P avec les axes du repère. 3. Déterminer une équation cartésienne du plan P parallèle à P passant par B ( 2 ; 3 ; 5).. Déterminer une équation cartésienne du plan P parallèle à P passant par O. Exercice 19 Soient les points A (0 ; 2 ; 3), B ( 1 ; 3 ; ) et C (2 ; 5 ; 2). 1. Justifier que A, B et C définissent un plan. 2. Déterminer un vecteur normal n au plan (ABC). 3. Déterminer une équation du plan (ABC).. Mêmes questions avec les points A (2 ; 0 ; 1), B (1 ; 2 ; 1) et C ( 3 ; 1 ; 2). Exercice 20 : plan médiateur 1. Cas général : soient A et B deux points distincts de l espace et I le milieu de [AB]. (a) Montrer que pour tout point M de l espace, MA 2 = MB 2 si et seulement si IM AB = 0. (b) En déduire que l ensemble des points de l espace équidistants de A et B est un plan dont on déterminera un point et un vecteur normal. Ce plan est appelé le plan médiateur de [AB]. 2. Soient A (0 ; 3 ; 1) et B ( ; 5 ; 3). Déterminer une équation cartésienne du plan médiateur de [AB]. 3. Soient C (2 ; 1 ; 1) et D (0 ; ; 1). Déterminer une équation cartésienne du plan médiateur de [CD]. Exercice 21 Soient P et P deux plans d équations cartésiennes respectives 2x + 3y + z = 0 et x + 2y z = 0. Montrer que P et P sont orthogonaux.

5 Exercice Soient deux points A (1 ; 2 ; 1) et B (0 ; 1 ; 3), et P le plan d équation cartésienne x + y + z 1 = 0. Déterminer le point d intersection de la droite (AB) et du plan P. 2. Soit P le plan d équation cartésienne 2x + y z + 1 = 0. Etudier la position relative de P avec la droite d de représentation paramétrique puis avec la droite d passant par les points C (1 ; 2 ; 3) et D (0 ; 1 ; ). Exercice 23 x = 1 + t y = 2 3t z = 1 t 1. Soient P et Q deux plans d équations cartésiennes respectives x 3y + 2z = 5 et 2x + y + 7z = 1. Montrer que P et Q sont sécants et déterminer une représentation paramétrique de leur droite d intersection. 2. Même exercice avec P d équation 2x + y + 2z + 1 = 0 et Q d équation x 2y + 6z = 0. Exercice 2 On appelle P le plan d équation 2x y + 5 = 0 et P le plan d équation 3x + y z = 0. x = α 1. Montrer que P et P sont sécants en une droite d dont une représentation paramétrique est y = 2α + 5 z = 5α + 5 réel. 2. L affirmation suivante : «d est strictement parallèle au plan Q d équation 5x + 5y z = 0» est-elle vraie? Justifier.,, où α est un nombre Exercice 25 Exercice - Nouvelle-Calédonie points (Candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité) L espace est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; ı ; j ; k). On considère les points A( 2 ; 0 ; 1), B(1 ; 2 ; 1) et C( 2 ; 2 ; 2). 1. (a) Calculer le produit scalaire AB AC puis les longueurs AB et AC. (b) En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l angle BAC. (c) En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés. 2. Vérifier qu une équation cartésienne du plan (ABC) est : 2x y + 2z + 2 = Soient P 1, et P 2 les plans d équations respectives x + y 3z + 3 = 0 et x 2y + 6z = 0. Montrer que les plans P 1 et P 2 sont sécants selon une droite D dont un système d équations paramétriques est : x = 2 y = 1 + 3t z = t, t R.. Démontrer que la droite D et le plan (ABC) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d intersection. 5. Soit S la sphère de centre Ω(1 ; 3 ; 1) et de rayon r = 3. Exercice 26 (a) Donner une équation cartésienne de la sphère S. Dans les deux questions suivantes, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. (b) Étudier l intersection de la sphère S et de la droite D. (c) Démontrer que le plan (ABC) est tangent à la sphère S. Exercice - Réunion 2005 points (Commun à tous les candidats) On appelle hauteur d un tétraèdre toute droite contenant l un des sommets de ce tétraèdre et perpendiculaire au plan de la face opposée à ce sommet. Un tétraèdre est orthocentrique si ses quatre hauteurs sont concourantes. Partie A On considère un tétraèdre ABCD et on note H le projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD). Démontrer que, si les hauteurs du tétraèdre ABCD issues des points A et B sont concourantes, alors la droite (BH) est une hauteur du triangle BCD.

6 Partie B Dans l espace muni d un repère orthonormal ( O ; i, j, k ) on donne les points A(3 ; 2 ; 1), B( 6 ; 1 ; 1), C( ; 3 ; 3) et D( 1 ; 5 ; 1). 1. (a) Vérifier qu une équation cartésienne du plan (BCD) est : 2x 3y + z 13 = 0. (b) Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD). (c) Calculer le produit scalaire BH CD. (d) Le tétraèdre ABCD est-il orthocentrique? 2. On définit les points I(1 ; 0 ; 0), J(0 ; 1 ; 0), K(0 ; 0 ; 1). Le tétraèdre OIJK est-il orthocentrique? Exercice 27 Exercice 1 - Amérique du Nord 2013 On se place dans l espace muni d un repère orthonormé. On considère les points A(0 ; ; 1), B (1 ; 3 ; 0), C(2 ; 1 ; 2) et D (7 ; 1 ; ). 5 points (Commun à tous les candidats) 1. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. 2. Soit la droite passant par le point D et de vecteur directeur u(2 ; 1 ; 3). (a) Démontrer que la droite est orthogonale au plan (ABC). (b) En déduire une équation cartésienne du plan (ABC). (c) Déterminer une représentation paramétrique de la droite. (d) Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite et du plan (ABC). 3. Soit P 1 le plan d équation x + y + z = 0 et P 2 le plan d équation x + y + 2 = 0. (a) Démontrer que les plans P 1 et P 2 sont sécants. (b) Vérifier que la droite d, intersection des plans P 1 et P 2, a pour représentation paramétrique x = t 2 y = t, t R. z = 3t + 2 Exercice 28 (c) La droite d et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles? Exercice 3 (Pondichéry 2013) points (Commun à tous les candidats) Pour chacune des questions, quatre propositions de réponse sont données dont une seule est exacte. Pour chacune des questions indiquer, sans justification, la bonne réponse sur la copie. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l absence de réponse ne rapporte ni n enlève aucun point. Il en est de même dans le cas où plusieurs réponses sont données pour une même question. L espace est rapporté à un repère orthonormal. t et t désignent des paramètres réels. Le plan (P) a pour équation x 2y + 3z + 5 = 0. x = 2 + t + 2t Le plan (S) a pour représentation paramétrique y = t 2t z = 1 t + 3t x = 2 + t La droite (D) a pour représentation paramétrique y = t z = 1 t On donne les points de l espace M( 1 ; 2 ; 3) et N(1 ; 2 ; 9). 1. Une représentation paramétrique du plan (P) est : x = t x = t + 2t a. y = 1 2t b. y = 1 t + t z = 1 + 3t z = 1 t 2. (a) La droite (D) et le plan (P) sont sécants au point A( 8 ; 3 ; 2). (b) La droite (D) et le plan (P) sont perpendiculaires. (c) La droite (D) est une droite du plan (P). (d) La droite (D) et le plan (P) sont strictement parallèles. 3. (a) La droite (MN) et la droite (D) sont orthogonales. (b) La droite (MN) et la droite (D) sont parallèles. (c) La droite (MN) et la droite (D) sont sécantes. (d) La droite (MN) et la droite (D) sont confondues.. (a) Les plans (P) et (S) sont parallèles. (b) La droite ( ) de représentation paramétrique x = t y = 2 t z = 3 t (c) Le point M appartient à l intersection des plans (P) et (S). (d) Les plans (P) et (S) sont perpendiculaires. c. x = t + t y = 1 t 2t d. z = 1 t 3t est la droite d intersection des plans (P) et (S). x = 1 + 2t + t y = 1 2t + 2t z = 1 t

7 Exercice 29 Exercice 2 - Centres étrangers 2013 points (Commun à tous les candidats) Les quatre questions sont indépendantes. Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte. Dans l espace muni d un repère orthonormé, on considère les points A (12 ; 0 ; 0), B (0 ; 15 ; 0), C (0 ; 0 ; 20), D (2 ; 7 ; 6), E (7 ; 3 ; 3) ; le plan P d équation cartésienne : 2x + y 2z 5 = 0 Affirmation 1 Une équation cartésienne du plan parallèle à P et passant par le point A est : 2x + y + 2z 2 = 0 x = 9 3t Affirmation 2 Une représentation paramétrique de la droite (AC) est : y = 0, t R. z = 5 + 5t Affirmation 3 La droite (DE) et le plan P ont au moins un point commun. Affirmation La droite (DE) est orthogonale au plan (ABC). Exercice 30 Exercice (Liban 2013) points (Commun à tous les candidats) Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n est demandée. Pour chacune des questions, une seule des propositions est correcte. Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n ôte pas de point. On notera sur la copie le numéro de la question, suivi de la lettre correspondant à la proposition choisie. L espace est rapporté à un repère orthonormé ( O ; i, j, k ). Les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives A(1 ; 1 ; 2), B(3 ; 3 ; 8), C( 3 ; 5 ; ) et D(1 ; 2 ; 3). On note D la droite ayant pour représentation paramétrique x = t + 1 y = 2t 1 z = 3t + 2,t R et D la droite ayant pour représentation paramétrique On note P le plan d équation x + y z + 2 = 0. Question 1 : Proposition a. Les droites D et D sont parallèles. Proposition b. Les droites D et D sont coplanaires. Proposition c. Le point C appartient à la droite D. Proposition d. Les droites D et D sont orthogonales. x = k + 1 y = k + 3 z = k + Question 2 : Proposition a. Le plan P contient la droite D et est parallèle à la droite D. Proposition b. Le plan P contient la droite D et est parallèle à la droite D. Proposition c. Le plan P contient la droite D et est orthogonal à la droite D. Proposition d. Le plan P contient les droites D et D. Question 3 : Proposition a. Les points A, D et C sont alignés. Proposition b. Le triangle ABC est rectangle en A. Proposition c. Le triangle ABC est équilatéral. Proposition d. Le point D est le milieu du segment [AB].,k R. Question : On note P le plan contenant la droite D et le point A. Un vecteur normal à ce plan est : Proposition a. n( 1 ; 5 ; ) Proposition b. n(3 ; 1 ; 2) Proposition c. n(1 ; 2 ; 3) Proposition d. n(1 ; 1 ; 1)