BCPST 851. Cours de MATHÉMATIQUES. Jean-Baptiste Bianquis.

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1 BCPST 851 Cours de MATHÉMATIQUES Jean-Baptiste Bianquis

2 LISTE DES CHAPITRES 1 Logique et calcul algébrique 3 2 Nombres complexes et trigonométrie 32 3 Suites réelles 46 4 Fonctions d une variable réelle 69 5 Polynômes 90 6 Matrices Espaces probabilisés Dérivation Développements limités Espaces vectoriels Applications linéaires Variables aléatoires Couples de variables aléatoires Intégration Équations différentielles linéaires Courbes et surfaces Géométrie 279 Table des matières 294 Lycée du Parc 851 2

3 CHAPITRE 1 LOGIQUE ET CALCUL ALGÉBRIQUE Alphabet grec alpha α A bêta β B gamma γ Γ delta δ epsilon ε E zêta ζ Z êta η H thêta θ Θ iota ι I kappa κ K lambda λ Λ mu µ M nu ν N xi ξ Ξ omicron o O pi π Π rhô ρ P sigma σ Σ tau τ T upsilon υ Y phi ϕ Φ chi χ X psi ψ Ψ omega ω Ω Ensembles de nombres classiques Définition 1.1 On note N l ensemble des entiers naturels : N = {0; 1; 2; 3...} On note Z l ensemble des entiers relatifs : Z = { 2; 1; 0; 1; 2; 3...} On note Q l ensemble des rationnels. Les rationnels sont les nombres pouvant s écrire comme quotient de deux entiers relatifs, autrement dit les nombres de la forme p q avec p et q dans Z (q 0). Q = { } p, p Z et q Z q On note R l ensemble des réels. On appelle irrationnels les réels qui ne sont pas rationnels (comme π, 2... ). On note C l ensemble des nombres complexes. Définition 1.2 Rappel de quelques notations usuelles : R + = [0, + [ R = ], 0] R = R \ {0} N = N \ {0} Z = Z \ {0} C = C \ {0} R + =]0; + [ R =] ; 0[ p, q = {p, p + 1, p + 2,..., q} (avec p et q dans Z, p q). On a les mêmes variantes que pour les intervalles de R. Lycée du Parc 851 3

4 Chapitre 1 Logique et calcul algébrique Une propriété des nombres rationnels qui nous sera utile de temps à autre est que chaque rationnel peut-être mis de manière unique sous forme irréductible p q avec p Z, q N et p et q premiers entre eux (c est-à-dire sans diviseur commun à part 1). La forme irréductible de 4 6 est , celle de 18 est 3. 1 Logique 1.1 Propositions et quantificateurs Une proposition mathématique est une «phrase» exprimée dans le langage mathématique. Une définition correcte nous entraînerait beaucoup trop loin, nous travaillerons donc à partir d exemples. 1. «2 + 2 = 4» 2. «2 + 2 = 5» 3. «2 + (0, 1) = 5» 4. «x 2 x» 5. «pour tout réel x, x 2 x» 6. «il existe un réel x tel que x 2 x» Les deux premières propositions ne posent pas de problème particulier : elles ont un sens clair et une valeur de vérité : la première est vraie, la deuxième fausse. La troisième proposition est différente : elle n a pas de sens car elle mélange de manière incorrecte des objets de différents types on ne peut pas ajouter 2 à (0, 1). C est évident ici, ça l est peut-être moins dans l exemple suivant : «la dérivée de x 2 est 2x» (qui n a pourtant pas plus de sens)... Pour éviter d écrire ce genre d absurdité, il est absolument crucial de toujours avoir en tête le type d objet que l on manipule (s agit-il d un réel? d une fonction? d un ensemble?...). La quatrième proposition est plus délicate à analyser. En tant que telle elle n a pas de sens car on ne sait pas quel type d objet est désigné par x (imaginez par exemple que x soit un point du plan). Supposons donc que x désigne un nombre réel. Dans ce cas, la proposition est syntaxiquement correcte, mais elle n a pas vraiment de sens car elle n est ni vraie ni fausse (comme on peut le voir en remplaçant successivement x par 1 2 puis par 2). Les variables apparaissant dans une formule sans y être quantifiées (on parle de variable libre) devront donc systématiquement avoir été préalablement définies. Dans la cinquième proposition, ce problème est résolu. En utilisant l expression «pour tout réel x», on a transformé x en variable liée ou muette : la valeur de vérité de la proposition ne peut plus dépendre de la valeur de x. Plus précisément, cette proposition ne fait plus référence à un nombre réel x supposé précédemment défini : on peut la remplacer par «pour tout réel y, y 2 y» sans rien changer à son sens. z que cette proposition est bien évidemment fausse, mais c est presque un détail... La sixième proposition est similaire à la cinquième, la principale différence étant qu elle est vraie. Il faut remarquer que l expression «il existe un réel x» signifie plus précisément «il existe au moins un réel x» ; ici, on a en fait une infinité de réels x tels que x 2 x, ce qui ne pose aucun problème. Définition 1.3 Par souci de concision, on introduit des notations symboliques appelées quantificateurs. Le quantificateur universel signifie (et se lit) «pour tout». «x R, x 2 x» est fausse (c est la proposition 5 vue plus haut). «x [1; + [, x 2 x» est vraie. Le quantificateur existentiel signifie (et se lit) «il existe». «x R, x 2 = 1» est fausse. «x C, x 2 = 1» est vraie (on peut prendre x = i ou x = i). On note de plus! pour «il existe un unique». «!x R, x 2 = 1» est fausse (car aucun x R ne convient). «!x R, x 2 = 1» est fausse (car plusieurs x R conviennent). «!x R +, x 2 = 1» est vraie (car exactement un x R + convient). Lycée du Parc 851 4

5 Chapitre 1 Logique et calcul algébrique s On a très souvent plusieurs quantificateurs à la suite. Cela ne pose pas de problème quand ils sont du même type : la proposition a R, b R, (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 a exactement le même sens que b R, a R, (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 et s abrège d ailleurs souvent a, b R, (a b) 2 = a 2 2ab + b 2. Quand on a une alternance de quantificateurs existentiels et universels, en revanche, l ordre est crucial (cf exercice 1.1). Il faut toujours préciser à quel ensemble chacune des variables appartient. Par exemple, x, x 2 0 n a aucun sens. La virgule après un quantificateur existentiel se lit «tel que» (on peut à la limite omettre la virgule, mais le «tel que» implicite est toujours là). Ainsi, x R +, y R, y 2 = x se lit «pour tout x appartenant à R +, il existe un y appartenant à R tel que y 2 soit égal à x». Il est parfois plus clair d écrire le «tel que» explicitement ou d utiliser l abréviation «tq». Exercice 1.1 Exercice a. Quelle est la différence entre «x R, y R, x 2 y» et «y R, x R, x 2 y»? b. De manière plus générale, considérons un ensemble E et une propriété P(x, y) dépendant de deux éléments x et y de E. Existe-t-il un lien logique entre les deux propriétés «y E, x E, P(x, y)» et «x E, y E, P(x, y)»? 2. La conclusion du 1.b n est plus valable si l on remplace le quantificateur par!. Trouver un contre-exemple. On se donne deux réels a et b. Pour chacune des propriétés suivantes, trouver une propriété équivalente n utilisant aucun quantificateur. 1. x R, ax 0 2. x R, x 2 a 3. x R, x 2 + ax + b = 0 4. x R, ax + b = 0 5.!x R, ax + b = Connecteurs logiques Définition 1.4 Un connecteur logique permet de former une nouvelle proposition à partir d une ou plusieurs propositions. Ceux utilisés en pratique sont : la négation de A notée «non A» ou «A» ; la conjonction de A et B notée «A et B» ou parfois «A B» ; la disjonction de A et B notée «A ou B» ou parfois «A B» ; l implication de A à B notée «A B» ; l équivalence entre A et B notée «A B» ; La signification de ces connecteurs est donnée par les tables de vérité suivantes : A B A A B A B A B A B V V F V V V V V F F F V F F F V V F V V F F F V F F V V Lycée du Parc 851 5

6 Chapitre 1 Logique et calcul algébrique s Le «non» est prioritaire sur les autres connecteurs (ce qui permet d éviter l accumulation de parenthèses). Ainsi, «non A ou B» signifie «(non A) ou B» et pas «non (A ou B)» On voit que «A ou B» est toujours vrai, sauf dans le cas où A et B sont tous les deux faux. La proposition «0 = 1 ou = 4», par exemple, est vraie. On dit que le «ou» mathématique est inclusif, ce qui n est pas systématiquement le cas dans le langage courant. Il faut faire très attention à bien distinguer A B de «A, donc B». La proposition «0 > 1 17 = 24» est vraie, tout comme «0 > ». En effet, A B signifie «si A est vrai, alors B aussi» et ne dit donc rien du cas où A est faux. En revanche, «A donc B» signifie «je sais que A est vrai, j en déduis que B aussi». Pour éviter les confusions, une règle simple à retenir : le symbole ne sera presque jamais utilisé en dehors de définitions données dans le cours. On a le même type de problème pour l équivalence : quand on écrit A B, on dit seulement que A et B sont soit tous les deux vrais, soit tous les deux faux. Le symbole ne sera utilisé que pour résoudre certains types d équations très simples (et pour énoncer de manière succincte des définitions et théorèmes). Il ne faut pas confondre une implication A B et sa réciproque B A. Ainsi, l implication «ABC équilatéral AB = AC» est vraie, mais sa réciproque «AB = AC ABC équilatéral» est fausse (puisque rien n oblige AB à être égal à BC). Dire que «A B» et «B A» sont tous les deux vrais, c est précisément dire que «A B» est vrai. Exercice 1.3 On peut en fait définir le «et» à partir du «ou» et du «non». En effet, dire que «A et B» est vrai, c est dire que A et B sont tous les deux vrais, autrement dit que «non A» et «non B» sont tous les deux faux, c est-à-dire que «(non A) ou (non B)» est faux. Finalement, «A et B» est synonyme de «non((non A) ou (non B))». Définir de même (c est plus simple) : 1. à partir de «non» et de «ou» ; 2. à partir de «et» et de ; 3. à partir de «non», de «et» et de «ou» (sans utiliser les questions précédentes). Proposition 1.5 Soit E un ensemble et P(x) une propriété dépendant d un élément x de E. La proposition «non ( x E, P(x))» est équivalente à «x E, non P(x)». La proposition «non ( x E, P(x))» est équivalente à «x E, non P(x)». s On dit souvent que la négation échange les quantificateurs existentiels et universels. Cette propriété est évidente, dès lors qu on a bien compris que le «contraire» (c est-à-dire la négation) de «tous les chats sont domestiques» n est pas «aucun chat n est domestique» mais bien «il y a au moins un chat qui n est pas domestique». Quand il y a plusieurs quantificateurs, on applique plusieurs fois de suite la règle : en partant par exemple de «non ( x R, y R, y 2 = x )», on obtient «x R, non ( y R, y 2 = x )» puis «x R, y R, non ( y 2 = x )», c est-à-dire «x R, y R, y 2 x». Exercice 1.4 On considère un entier naturel n. 1. Traduire «formellement» (c est-à-dire à l aide de quantificateurs et éventuellement de connecteurs logiques) la proposition «n est pair». 2. En déduire une traduction formelle de «n est impair». Pouvez-vous trouver une formulation plus simple (en tout cas plus «pratique») de «n est impair»? Lycée du Parc 851 6

7 Chapitre 1 Logique et calcul algébrique Exercice 1.5 On considère une suite réelle (u n ) n N. Traduire «formellement» les propositions suivantes. 1. La suite u est croissante. 2. La suite u n est pas croissante. 3. La suite u n est pas monotone (i.e. elle n est ni croissante ni décroissante). 1.3 Règles logiques et raisonnement Les formules logiques ci-dessous sont toujours vérifiées 1 (que les propositions A, B, C... soient vraies ou pas). Il faut les voir surtout comme des formalisations d un certain nombre de types de raisonnement valides. Proposition 1.6 Distributivité (A ou (B et C)) ((A ou B) et (A ou C)) (A et (B ou C)) ((A et B) ou (A et C)) Lois de De Morgan (non (A ou B)) (non A et non B) (non (A et B)) (non A ou non B) Contraposée (A B) (non B non A) Disjonction des cas ((A ou B) et (A C) et (B C)) C ((A C) et (non A C)) C Raisonnement par l absurde (non A Faux) A 1.3.a Méthodes de démonstration On considère un ensemble E et une proposition P(x) dépendant d un élément x de E. Démonstration de «x E, P(x)», directement : Soit x E (on se donne un élément quelconque de E). On démontre que P(x) est vraie. On en déduit x E, P(x). Exemple : x R, x 2 4x Démonstration de «x E, P(x)», directement : On exhibe un x particulier vérifiant P(x). On conclue. Exemple : x R, e x 4x 2 = 1 Démonstration de «x E, P(x)», par l absurde : On suppose x E, non P(x). On en déduit une absurdité. On conclue. Exemple : exercice 1.9 Démonstration de «!x E, P(x)» : x E, P(x) (existence) La propriété à démontrer est équivalente à : x, y E, ( P(x) et P(y) ) x = y (unicité) Il faut donc démontrer chacune de ces deux propriétés, ce qui peut se faire de plusieurs manières. Exemples : exercice 1.6. Démonstration de «A B», directement : On suppose A. On en déduit B. 1. on dit que ce sont des tautologies Lycée du Parc 851 7

8 Chapitre 1 Logique et calcul algébrique On conclue. Exemple : x R, (x 3) (x 2 3x 0). Démonstration de «A B», par contraposée : On suppose non B. On en déduit non A. On a donc non B non A, et par contraposée on conclue A B. Exemple : n N, n 2 impair n impair. Démonstration de «A B», par double implication : On montre séparément «A B» et «B A». : on peut parfois raisonner par équivalence, mais c est rare. Le réflexe doit être de décomposer en deux implications. Exemple : n N, (n pair) (n 2 pair). Exercice Montrer que!x R, x = x Pour quelle(s) valeur(s) de x R (s il y en a) a-t-on x 2 3 = x 1? 3. Pour quelle(s) valeur(s) de x R (s il y en a) a-t-on x = x 1? De manière générale, il faut retenir qu une stratégie possible, et souvent fructueuse, pour déterminer les x E vérifiant une certaine propriété P(x) est de : prendre un x dans E dont on suppose qu il vérifie P(x) ; en déduire les valeurs possibles de x (sans chercher à avoir des équivalences) ; parmi les valeurs possibles trouvées pour x, déterminer celle ou celles qui conviennent effectivement. Tenter de procéder par équivalence tout au long de la démonstration est généralement une mauvaise idée. Exercice 1.7 Montrer que 2 est irrationnel. On procédera par l absurde en supposant que 2 = p q avec p, q N et p q irréductible. Exercice 1.8 Démonstration par disjonction des cas Montrer que n N, n 2 + n est pair. Exercice 1.9 Montrer qu il existe deux nombres irrationnels positifs x et y tels que x y soit rationnel, c est-à-dire que x, y R + \ Q, x y Q. On pourra s intéresser à 2 2 et utiliser l exercice b Démonstration par récurrence On considère n 0 N et P(n) une propriété dépendant de n N. Théorème 1.7 Récurrence Si l on a : P(n 0 ) (Initialisation) n n 0, P(n) P(n + 1) (Hérédité) alors n n 0, P(n). Lycée du Parc 851 8

9 Chapitre 1 Logique et calcul algébrique Théorème 1.8 Récurrence double Si l on a : P(n 0 ) et P(n 0 + 1) (Initialisation) n n 0, ( P(n) et P(n + 1 ) P(n + 2) (Hérédité) alors n n 0, P(n). On peut aussi, mais c est extrêmement rare en pratique, faire une récurrence triple : on initialise pour n 0, n et n et l on prouve que ( P(n) et P(n + 1) et P(n + 2) ) implique P(n + 3). Théorème 1.9 Récurrence forte Si l on a : P(n 0 ) (Initialisation) n n 0, (P(n 0 ) et P(n 0 + 1) et... et P(n)) P(n + 1) (Hérédité) alors n n 0, P(n). Exercice 1.10 Déterminer les n N tels que 3 n n!. Exercice 1.11 Soit (u n ) n 0 la suite définie par u 0 = 2, u 1 = 3 et n N, u n+2 = u n+1 u n. Montrer que u est bien définie. Exercice 1.12 Soit (u n ) n 0 la suite définie par u 0 = 2 et n N, u n+1 = u 0 u1... u n. Montrer que u est bien définie. Lycée du Parc 851 9

10 Chapitre 1 Logique et calcul algébrique 2 Sommes et produits finis 2.1 Symboles Σ et Π 2.1.a Introduction Définition 1.10 Soient n 0 et n dans Z, avec n 0 n et a n0, a n0 +1,..., a n dans C. On note n a i = a n0 + a n a n i=n 0 n a i = a n0 a n0 +1 a n i=n 0 Exemple 1.13 Pour n N, on a n! = n n i et n = n 2. i=1 i=1 s Dans n a i, i est une variable liée ou muette. Ainsi, cette somme ne dépend pas de i. i=n 0 Dans la somme n n a i, il y a n n termes. En particulier, a i est une somme de n + 1 termes. i=n 0 i=0 Par convention, si n < n 0, on pose n n a i = 0 (une somme de zéro terme est nulle) et a i = 1 (un produit i=n 0 i=n 0 de zéro facteur vaut 1). On peut aussi définir des sommes (ou des produits) implicitement : si I est un ensemble fini, a i désigne la i I somme des a i pour i I. Si l ensemble I est vide, la somme est nulle. Proposition 1.11 Soient n 0 et n dans Z avec n 0 n, λ C et a n0, a n0 +1,..., a n ainsi que b n0, b n0 +1,..., b n dans C. n n n a i + b i = a i + b i i=n 0 i=n 0 i=n 0 n n λa i = λ a i i=n 0 i=n 0 n m n a i = a i + a i pour m Z, n 0 m n. i=n 0 i=n 0 i=m+1 Proposition 1.12 Soient n 0 et n dans Z avec n 0 n, λ C et a n0, a n0 +1,..., a n ainsi que b n0, b n0 +1,..., b n dans C. n n n a i b i = a i b i i=n 0 i=n 0 i=n 0 n n i=n 0 λa i = λ n n0+1 i=n 0 a i Lycée du Parc

11 Chapitre 1 Logique et calcul algébrique n m a i = i=n 0 i=n 0 a i n a i pour m Z, n 0 m n. i=m+1 Exercice 1.14 Calculer les produits suivants. 1. n 2k 2. k=1 2n k=1 k 3. n k 2 k=1 Il est très fréquent de rencontrer des sommes que l on ne sait pas «calculer» mais que l on a besoin de minorer ou de majorer. La méthode la plus simple (et donc la première à essayer) est d utiliser la propriété (évidente) suivante : Proposition 1.13 Soient a 1,..., a n et b 1,..., b n des réels. Si i 1, n, a i b i, alors n a i n b i. i=1 i=1 En particulier, s il existe une constante réelle M telle que i 1, n, a i M, alors on a n i=1 a i ni=1 M = nm. Exercice 1.15 Montrer que pour n N, on a 1 2 2n k=n 1 k n. 2.1.b Changement d indice On peut dans une somme changer d indice de sommation tant que le nouvel indice prend exactement les mêmes valeurs que l ancien (et de même dans un produit). Le plus souvent, il faut pour cela ajuster les bornes de la somme. Exemple 1.16 Il y a deux types de changement d indice simples. Décalage : on pose k = k + p avec p Z. Ainsi, si l on veut simplifier l écriture de n k=1 et quand k = n, on a k = n 1. On obtient donc n 1 k 1 on peut poser k = k 1. Quand k = 1, on a k = 0 1 k 1 = n 1 k=1 k =0 1 k = n 1 1 k. k=0 Décalage inversé : on pose k = p k avec p Z. Pour simplifier n n + 1 k, on pose k = n + 1 k. k varie alors entre n + 1 n = 1 et k=2 n = n 1, donc n k=2 n 1 n + 1 k = Il peut parfois être utile de séparer les termes d indices pairs de ceux d indices impairs : Exercice 1.17 Montrer que On pourra utiliser la proposition k=1 k. n ( ) 1 + ( 1) k 2 k = 8 ( 4 n 2 1 ). 3 k=1 On peut aussi regrouper des termes pour simplifier le calcul (sommation par paquets) : Exercice 1.18 Lycée du Parc

12 Chapitre 1 Logique et calcul algébrique Calculer 100 ( 1) k k. k=0 Proposition 1.14 Sommes télescopiques Soient n 0 et n dans Z avec n 0 n, et a n0, a n0 +1,..., a n+1 dans C. On a n i=n 0 (a i+1 a i ) = a n+1 a n0 Exemple 1.19 Montrer que n N, n k=1 1 k(k+1) = 1 1 n+1. On a une propriété similaire pour les produits. Proposition 1.15 Soient n 0 et n dans Z avec n 0 n, et a n0, a n0 +1,..., a n+1 dans C. Si a i 0 pour tout i de n 0 ; n, on a n a i+1 = a n+1 a i=n i a n0 0 Exercice 1.20 Soit n N. Calculer n k=1 ( k ). 2.2 Sommes usuelles Théorème 1.16 Sommes de Newton Soit n N. On a : n k = k=1 n(n + 1) 2 n k 2 n(n + 1)(2n + 1) = 6 n ( ) 2 n(n + 1) k 3 = 2 k=1 k=1 Proposition 1.17 Somme des termes d une suite arithmétique Lycée du Parc

13 Chapitre 1 Logique et calcul algébrique Soient u une suite arithmétique définie au moins à partir de n 0 N et n n 0. On a : n u k = (n n 0 + 1) u + u n0 n 2 k=n 0 On retiendra que la somme de termes consécutifs d une suite arithmétique est donnée par «le nombre de termes fois la moyenne des termes extrêmes». Proposition 1.18 Somme des termes d une suite géométrique Soient q C, q 1 et n 0 n dans N. On a : n q k 1 qn n0+1 n0 = q 1 q k=n 0 s Il faut absolument connaître cette formule par cœur. n L hypothèse q 1 est indispensable. On a bien sûr 1 k = n 1 = n n k=n 0 k=n 0 Exercice 1.21 Montrer que pour n N, on a Exercice 1.22 Soit n N. Calculer n n 2 k et 2 2k. k=0 k=0 n k= ( n+1 1 k 2 3) Sommes doubles Définition 1.19 Soient E et F deux ensembles. On note E F l ensemble des couples (ou 2-uplets) dont la première composante est dans E et la deuxième dans F. E F est appelé produit cartésien de E et de F. E F = {(x, y), x E et y F} s Par analogie avec la multiplication, on note E 2 pour E E. Attention, E F F E (sauf si E = F). Attention à ne pas confondre couple et ensemble à deux éléments. On a {0; 1} = {1; 0} mais (0; 1) (1; 0). Un couple est une paire ordonnée, un ensemble à deux éléments est une paire non ordonnée. Cette notion sera généralisé dans la partie 3. Exemple 1.23 En posant A = { ; } et B = { π, 2, 0 }, on a A B = { (, π), (, 2), (, 0), (, π), (, 2), (, 0) }. Lycée du Parc

14 Chapitre 1 Logique et calcul algébrique Théorème 1.20 Fubini Soient I et J deux ensembles finis et a i, j, pour (i, j) I J, des complexes. On a : En particulier, Exemple 1.24 n i=1 j=1 p a i, j = p n a i, j j=1 i=1 a i, j = a i, j = a i, j (i, j) I J = i I a i, j 1 i n 1 j p. j J Pour calculer des sommes doubles, on utilise principalement deux techniques ( : rendre explicite la somme double : par exemple, a i, j = n n a i, j ). 1 i< j n i=1 j=i+1 ( ) ( ) n n factoriser dans la somme interne : par exemple, ix j = n n i x j =.... Il est parfois i=1 j=1 i=1 j=1 nécessaire de commencer par intervertir les symboles (i.e. par appliquer le théorème de Fubini). Exercice Pour n N, calculer 2. Pour n N, calculer 1 i j n 1 i j n i j. i j. j J i I 2.4 Coefficients binomiaux Définition 1.21 Soient n et k dans Z. On définit le coefficient binomial ( n k) (lire «k parmi n») par : ( ) n = k n! k!(n k)! si 0 k n 0 sinon s Si 0 < k n, on a ( ) n k = n(n 1)...(n k+1) k!. Vous trouverez peut-être parfois la notation Cn, p qui est passée de mode. Attention, Cn p = ( n p). Exemple 1.26 On a ( 8 5 n N, ( n 2 ) = 8! 3! 5! = = 8 7 = 56. ) = n(n 1) 2 et ( ) n 3 = n(n 1)(n 2) 6. Théorème 1.22 Soient ( k, ) n ( N. On ) a (: ) n n n = ( k ) ( k + 1 ) k + 1 n n = k n k triangle de Pascal symétrie Lycée du Parc

15 Chapitre 1 Logique et calcul algébrique ( ) n = n ( ) n 1 (pour k 0) k k k 1 Les deux premières formules sont très faciles à retrouver à partir du triangle de Pascal. Théorème 1.23 Formule du binôme de Newton Soient x, y C et n N. (x + y) n = n k=0 ( ) n x k y n k k On peut vérifier aisément que la formule est bien symétrique en x et y en faisant le changement d indice k = n k et en utilisant la deuxième identité du théorème Exercice 1.27 Pour n N, calculer : 1. n ( n k) k=0 2. n k=0 k ( ) n k 3. n ( 1) k( ) n k=0 k Lycée du Parc

16 Chapitre 1 Logique et calcul algébrique 3 Ensembles 3.1 Introduction Les ensembles peuvent être considérés comme les objets de base des mathématiques. Intuitivement, il faut comprendre qu un ensemble est caractérisé uniquement par ses éléments. La relation fondamentale est donc la relation d appartenance : x A signifie «x appartient à A» ou «x est un élément de A». Cette relation est primitive dans le sens qu il est impossible de la définir à partir de notions plus simples. Exemple On a 1 {0, 1, 3}, 2 {0, 1, 3} et {1} {0, 1, 3}. 2. L ensemble vide, noté, est l unique ensemble n ayant aucun élément. Définition 1.24 Soient A et B deux ensembles. On dit que A est inclus dans B, et l on note A B, si tout élément de A est aussi un élément de B. Autrement dit : A B x A, x B On dit que A est égal à B (et l on note A = B) si A et B ont exactement les mêmes éléments. Autrement dit : A = B ( x A, x B) et ( x B, x A) s Si A est inclus dans B, on dit aussi que A est une partie de B. Intuitivement, une inclusion ensembliste correspond à une implication. Montrer que A B, c est montrer que «pour tout x», x A x B. De même, une égalité ensembliste correspond à une équivalence. Montrer que A = B, c est montrer que «pour tout x», x A x B. De même qu on montre habituellement une équivalence en montrant successivement une implication et sa réciproque, la méthode classique pour montrer une égalité d ensemble et de procéder par double inclusion (montrer A B puis B A). Exemple 1.29 On a N Z Q R C. Pour tout ensemble A, on a A A et A. On a {0, 1} {0, 1, 3} mais {0, 2} {0, 1, 3}. Dans un ensemble, les répétitions et l ordre sont ignorés. Ainsi, {0, 1, 3} = {3, 1, 0} = {0, 0, 1, 3}. Pour définir un ensemble, il n est pas toujours possible de donner la «liste» de tous ses éléments (par exemple si l ensemble est infini). On peut aussi utiliser : la compréhension : à partir d un ensemble E et d une proposition P(x), on forme l ensemble {x E, P(x)} (ensemble des x E tels que P(x)) ; Exemple : {x R, x 2 2} =], 2] [ 2, + [ la substitution : par exemple en définissant A = {(x, x + 1), x R}. Dans ce cas, on aura ( 4, 3) A, (π, π + 1) A mais (2, 0) A. 3.2 Ensemble des parties d un ensemble Définition 1.25 Soit E un ensemble. On dit qu un ensemble A est une partie de E si A E. On note P(E) l ensemble des parties de E. Lycée du Parc

17 Chapitre 1 Logique et calcul algébrique s P(E) est un ensemble d ensembles. Pour tout ensemble A, on a A P(E) A E. Comme E (quel que soit l ensemble E), l ensemble vide est toujours un élément de P(E). De même, on a toujours E E, donc E P(E). Exemple 1.30 Si A = {0, π}, alors P(A) = {, {0}, {π}, {0, π}}. Attention, π et {π} sont deux objets différents : le premier est un nombre réel, le deuxième un ensemble à un élément (singleton). Dans notre exemple, on a {π} P(A) mais π P(A). 3.3 Opérations sur les ensembles Définition 1.26 A, B et I désignent des ensembles. La réunion de A et B est notée A B. Par exemple, {0, 1} {0, 4, 5} = {0, 1, 4, 5} L intersection de A et B est notée A B. «pour tout x», x A B x A ou x B «pour tout x», x A B x A et x B Par exemple, {0, 1} {0, 4, 5} = {0} Le complémentaire de A dans B est noté B \ A (on lit souvent «B privé de A»). B \ A = {x B, x A} Par exemple, on a {0, 1, 2} \ {1, 4} = {0, 2}. Lorsque tous les ensembles considérés sont des parties d un même ensemble E, et qu il n y a pas d ambiguïté possible, on note souvent A au lieu de E \ A. Si l on dispose d un ensemble A i pour chaque i I, on peut prendre l union des A i pour i I : «pour tout x», x A i i I, x A i De même pour l intersection des A i pour i I : «pour tout x», x A i i I, x A i On a défini plus haut le produit cartésien A B de deux ensembles. i I i I A B = {(x, y), x A et y B} Si A 1,..., A n sont des ensembles, on définit de même On notera A n pour } {{ } A A. n fois A 1 A 2 A n = {(x 1,..., x n ), i 1, n, x i A i } Lycée du Parc

18 Chapitre 1 Logique et calcul algébrique Exemple 1.31 On a ]n, n + 1[= R \ Z et [n, + [=. n Z n N Proposition 1.27 Soient E un ensemble et A, B, C P(E). On a : A B = A B et A B = A B A = A A B A et A A B A B = B A et A B = B A A (B C) = (A B) C et A (B C) = (A B) C De Morgan double négation associativité Exercice 1.32 Soient E un ensemble et A, B, C P(E). 1. Montrer que A \ (B C) = (A \ B) (A \ C). 2. Montrer que A (B C) = (A B) (A C). 3. On suppose que B A. Montrer que A (B C) = B (A C) 4 Applications 4.1 Introduction Définition 1.28 Une application est définie par la donnée de : un ensemble A appelé ensemble de départ ; un ensemble B appelé ensemble d arrivée ; pour chaque élément x de A, un unique élément f (x) de B. On note alors f : A B s Dire que deux applications f : A B et g : C D sont égales, c est dire que : A = C (elles ont même ensemble de départ) ; B = D (elles ont même ensemble d arrivée) ; x A, f (x) = g(x) (on pourrait remplacer A par C ici puisqu ils sont égaux). Si f : A B et g : A B, on a donc f = g x A, f (x) = g(x) f g x A, f (x) g(x) On définira souvent une application en donnant explicitement une expression permettant de passer d un élément de l ensemble de départ à son image dans l ensemble d arrivé. Ainsi, f : [0, 1] R x 1 x 2 désigne l application de [0, 1] dans R qui à tout x [0, 1] associe 1 x 2. Dans cette écriture, la variable x est muette. Pour vérifier qu un application f : E F x f (x) est bien définie, il faut vérifier que f (x) a un sens pour tout x de E et que f (x) F pour tout x de E. Exercice 1.33 Montrer que f : [2, 4] [ 5, 0[ x x+3 1 x est bien définie. Lycée du Parc

19 Chapitre 1 Logique et calcul algébrique Définition 1.29 Si f, g : E R, on définit f g par f g x E, f (x) g(x) ; f + g par f + g : E R x f (x) + g(x) ; f g par f g : E R x f (x) g(x). On n utilise jamais la notation f < g, car son sens est a priori ambigu. Pourquoi? Définition 1.30 Soient f : E F et g : F G. La composée de f par g est l application g f : E G x g( f (x)). Attention, la composition n est pas commutative. Même si g f et f g existent toutes les deux (c est-à-dire si E = G), elles n ont aucune raison d être égales. Exercice 1.34 Dans chacun des cas suivants, déterminer si g f et f g existent, et, le cas échéant, déterminer si elles sont égales. f : R R x 1 x et g : R R x 1 x 2 f : R + R x x et g : R R + x x 2 f : R R x x 2 et g : R R x x + 1 Définition 1.31 Si E est un ensemble, on appelle identité de E l application Id E : E E x x. Id R est donc la fonction dont la courbe représentative est la première bissectrice (i.e. la droite d équation y = x). Proposition 1.32 Soit f : E F. On a Id F f = f Id E = f Proposition 1.33 Soient f : E F, g : F G, et h : G H. On a h (g f ) = (h g) f. On dit que la composition est associative et l on écrira donc simplement h g f. Définition 1.34 Soit f : e F et A E. On appelle restriction de f à A l application f A : A F x f (x). Lycée du Parc

20 Chapitre 1 Logique et calcul algébrique Exemple 1.35 Soit f : R R x x et g = Id R. On a f R+ = g R+. Dans ce cas, on dit parfois que f et g coïncident sur R Image directe et réciproque Définition 1.35 Soit f : E F. Si A est une partie de E, l image directe de A par f est l ensemble f (A) = {y F, x A, y = f (x)} = { f (x), x A}. Si B est une partie de F, l image réciproque de B par f est l ensemble f 1 (B) = {x E, f (x) B}. Si f : E F et si y F, f 1 ({y}) est l ensemble des antécédents de y par f (qui peut être vide). Exercice 1.36 Soit f : R R x x 2. Déterminer f ([ 2; 3[) et f 1 (] 1; 4]). Exercice 1.37 Soient f : E F, A et A des parties de E, B et B des parties de F. 1. Montrer que f 1 (B B ) = f 1 (B) f 1 (B ). 2. a. Montrer que f (A A ) f (A) f (A ). b. Montrer que l autre inclusion n est pas forcément vérifiée (on pourra prendre f : R R x x 2 et chercher A et A tels que A A = et f (A) f (A ) ). 4.3 Injections et surjections Définition 1.36 Soit f : E F. f est dite injective si x, y E, f (x) = f (y) x = y. s f est injective ssi x, x E, x x f (x) f (x ). f est injective ssi tout élément de F a au plus un antécédent par f. f est injective ssi, pour tout y F, l équation y = f (x) d inconnue x E a au plus une solution. Exemple 1.38 L application f : N N n n 2 n est pas injective, car f (4) = f (5) = 2. L application g : N { 1, 1} N n ( ( 1) n, n 2 ) est injective. Proposition 1.37 Si A R, toute application strictement monotone de A dans R est injective. Exercice 1.39 Soit f : R R x x 3 + 2x 2 + x + 1, g : R R x x 2 et ϕ : R R 2 x ( f (x), g(x)). 1. f et g sont-elles injectives? 2. Trouver un α R tel que f + αg soit strictement croissante. Lycée du Parc

21 Chapitre 1 Logique et calcul algébrique 3. En déduire que ϕ est injective. Définition 1.38 Soit f : E F. f est dite surjective si y F x E, y = f (x). s f est surjective ssi f (E) = F. f est surjective ssi tout élément de F a au moins un antécédent par f. f est surjective ssi, pour tout y F, l équation y = f (x) d inconnue x E a au moins une solution. Exemple 1.40 L application : R R x x n est pas surjective car 2 n a aucun antécédent par cette application. 4.4 Bijections Définition 1.39 Soit f : E F. f est dite bijective si y F!x E, y = f (x). s f est bijective ssi elle est injective et surjective. f est bijective ssi tout élément de F a exactement un antécédent par f. f est bijective ssi, pour tout y F, l équation y = f (x) d inconnue x E a exactement une solution. Exercice 1.41 Soient f : R R + x x 2, g : R + R x x 2 et h : R + R + x x 2. Pour chacune de ces fonctions, déterminer si elle est injective, si elle est surjective et si elle est bijective. Définition 1.40 Soit f : E F bijective, on appelle application réciproque de f l application f 1 : F E y l unique antécédent de y par f Attention à ne pas confondre avec l image réciproque. Si f : E F et si y F, f 1 ({y}) existe toujours (c est l ensemble, éventuellement vide, des antécédents de y par f ). En revanche, f 1 (y) n a aucun sens si f n est pas bijective. Proposition 1.41 Soit f : E F bijective. On a f f 1 = Id F et f 1 f = Id E. Proposition 1.42 Soient f : E F et g : F E. Si g f = Id E et f g = Id F, alors : f et g sont bijectives. g = f 1 et f = g 1 Lycée du Parc

22 Chapitre 1 Logique et calcul algébrique Attention, il faut absolument les deux égalités. Exemple 1.42 Aucune des deux applications f : R R 2 x (x, x) et g : R 2 R (x, y) x n est bijective, et pourtant g f = Id R. Exemple 1.43 Exercice 1.44 Les applications R + R + x x 2 et R + R + x x sont réciproques l une de l autre. De même pour les applications R R + x e x et R + R x ln x. Soit f : ], 3] [1; + [ x x 2 6x Montrer que f est bien définie, qu elle est bijective, et déterminer son application réciproque. Proposition 1.43 Soient f : E F et g : F G. Si f et g sont injectives, alors g f est injective. Si f et g sont surjectives, alors g f est surjective. Si f et g sont bijectives, alors g f est bijective. Les implications réciproques sont fausses, comme le montre l exemple Se reporter à l exercice 1.61 pour voir ce qu il est possible d affirmer. Proposition 1.44 Soient E, F et G trois ensembles. Id E est bijective et Id 1 E = Id E. Si f : E F est bijective, alors f 1 aussi et ( f 1) 1 = f. Si f : E F et g : F G sont bijectives, alors (g f ) 1 = f 1 g Fonctions indicatrices Définition 1.45 Soient E un ensemble et A une partie de E. La fonction indicatrice de A est l application 1 A : E R 1 si x A x 0 si x A On a donc 1 1 A ({1}) = A et 1 1 A ({0}) = E \ A. Proposition 1.46 Soient E un ensemble, A et B deux parties de E. On a 1 A = 1 B A = B Lycée du Parc

23 Chapitre 1 Logique et calcul algébrique Exemple 1.45 Soient f : R R x x 2 f (x) si x 3, g : R R x 2x + 1 et ϕ : R R x g(x) si x > 3. On a ϕ = 1 ] ;3] f + 1 ]3;+ [ g. Exercice 1.46 Soient E un ensemble, A et B deux parties de E. Exprimer 1 A, 1 A B et 1 A B en fonction de 1 A et de 1 B. Lycée du Parc

24 Chapitre 1 Logique et calcul algébrique Travaux dirigés Logique Exercice 1.47 On considère une fonction f définie sur R. Exprimer à l aide de quantificateurs les propositions suivantes. 1. f est croissante sur R. Exercice f est strictement décroissante sur R. 3. f admet sur R un maximum égal à 2 qui est atteint en f n est pas strictement décroissante sur R. 5. L image d un entier pair par f est un entier impair. On considère une fonction f définie sur R et les propositions suivantes : x, y R, x y f (x) f (y) (1) x, y R, x y f (x) < f (y) (2) x, y R, x < y f (x) f (y) (3) x, y R, x < y f (x) < f (y) (4) x, y R, f (x) f (y) x y (5) 1. Lesquelles de ces propositions sont-elles nécessairement vraies si f est supposée croissante? On fournira suivant les cas une démonstration ou un contre-exemple. 2. Même question si f est supposée strictement croissante. Exercice 1.49 Épiménide 1. Un Crétois dit : «Tous les crétois sont des menteurs». Cette affirmation est-elle paradoxale? 2. Un apatride dit : «Cette phrase est fausse». Cette affirmation est-elle paradoxale? Suites et récurrence Exercice 1.50 Surcharge de l hypothèse de récurrence 1. On considère la suite (u n ) n N définie par u 0 = 2 et n N, u n+1 = u 2 n + u n 1. Montrer que la suite u est bien définie. 2. On considère la suite (v n ) n N définie par u 0 = 1 2 et n N, v n+1 = v n v 2 n. Montrer que la suite v est à termes positifs (i.e. que n N, v n 0). Exercice 1.51 On va montrer par récurrence sur n que dans un pot contenant n crayons, si l un des crayons est vert, alors tous les crayons sont verts. Initialisation : la propriété est vraie pour n = 1. Hérédité : supposons la propriété vraie au rang n et montrons la au rang n + 1. On se donne un pot contenant n + 1 crayons et on suppose que l un d entre eux est vert. Alignons les crayons en mettant le vert en première position. En appliquant l hypothèse de récurrence aux n premiers crayons, on en déduit qu ils sont tous verts. En particulier, le n-ème crayon est vert et l on peut donc également appliquer l hypothèse de récurrence aux crayons numérotés 2 à n + 1, et en déduire qu ils sont tous verts. Finalement, les n + 1 crayons sont verts, ce qui prouve l hérédité. Lycée du Parc

25 Chapitre 1 Logique et calcul algébrique Qu en pensez-vous? Sommes et produits Exercice 1.52 Calculer les sommes et produits suivants (lorsqu ils ont un sens). 1. a. 2. a. 3. a. n k= 2 k=0 π b. n 3 k( ) n k 1 i n 1 j n b. i + j b. n (k k!) c. k=0 n ( n k) k=2 1 i n 1 j n c. i j c. n ln ( ) 1 1 k 2 k=2 n k 2( ) n k pq k=0 1 p<q n Exercice 1.53 Soit n N Trouver des réels a, b et c tels que pour tout x > 0, on ait : x(x+1)(x+2) = a x + b x+1 + c x En déduire la valeur de n Exercice 1.54 k=1 1 k(k+1)(k+2). 1. Montrer que n N, n! n k! (n + 1)!. k=0 2. Montrer que n 2, n! n k! n! ( 1 + n) 2. k=0 Équations et inéquations Exercice 1.55 Résoudre les équations suivantes, d inconnue x R. 1. ln(x 2 ) 2 ln x = 0 2. x2 3x 1 + x = 0 Exercice e x/2 (1 e x ) = 3e x 4. x + 4 x + 2 = 1 Discuter suivant les valeurs de m R le nombre de solutions de l équation e 2x 2(m + 1)e x + 1 = 0, d inconnue x R. Exercice 1.57 Résoudre les inéquations suivantes, d inconnue x R. 1. x + 1 2x + 5 < 0 2. x 4 3x Lycée du Parc

26 Chapitre 1 Logique et calcul algébrique Ensembles et applications Exercice 1.58 Soit f : R 2 R (x, y) xy. 1. f est-elle injective? surjective? bijective? 2. Déterminer f (R + R ) et f 1 ({0}). Exercice 1.59 Pour chacune des applications suivantes, déterminer si elle est injective, surjective, bijective, et, le cas échéant, déterminer son application réciproque. 1. f : R 2 R 2 (x, y) (y, x) Exercice g : R 2 R 2 (x, y) (2x + y, 5x + 2y) 3. h : R 2 R 2 (x, y) (x + y, xy) 1. On considère l application f : R R x 1 x2 1+x 2. f est-elle injective? surjective? 2. On considère l application g : R + ] 1, 1] x 1 x2 1+x 2. Montrer que g est bijective, et déterminer sa bijection réciproque. Exercice 1.61 Soient f : E F et g : F G. Montrer que : 1. g f injective f injective ; 2. g f surjective g surjective ; 3. g f bijective f injective et g surjective. Lycée du Parc

27 Chapitre 1 Logique et calcul algébrique Exercice 1.62 Études On se donne un réel a > 0 et on définit la suite (u n ) n N par : u 0 = a et n N, u n+1 = u n + 3 3u n + 1. On définit également les suites (v n ) n N et (w n ) n N par : v n+1 = v n + 3w n v 0 = a et w 0 = 1 et n N, w n+1 = 3v n + w n Exercice Montrer que pour tout n N, u n est bien défini et u n > Montrer que pour tout n N, on a v n > 0 et w n > Montrer que pour tout n N, u n = v n w n. 4. On pose pour tout n N, t n = v n + w n et z n = v n w n. Montrer que les suites (t n ) n N et (z n ) n N sont géométriques, et en donner la raison. 5. Exprimer, pour tout n N, u n en fonction de n. Suite récurrente double On considère la suite u définie par u 0 = 1, u 1 = 2 et n N, u n+2 = u n u n Montrer par une récurrence double que la suite u est bien définie et à termes strictement positifs. 2. Pour tout n N, on pose v n = ln u n. a. Pour n N, donner une relation liant v n+2, v n+1 et v n. b. En déduire par une récurrence double que c. Exprimer u n en fonction de n. n N, v n = 2 ln 2 3 ( ( 1 1 ) n ) 2 Exercice 1.64 Pour tous n, p N, on définit S n,p = n k=1 k p Sommes de Newton Le but de l exercice est de trouver une méthode permettant de calculer S n,p et l on n utilisera donc pas les résultats du cours sur les sommes de Newton (sauf pour vérifier les résultats obtenus). 1. En effectuant le changement d indice k = n + 1 k, retrouver la valeur de S n,1 pour n N. 2. On veut calculer S n,2 grâce à la formule trouvée pour S n,1. a. À l aide d un changement d indice, exprimer n (k + 1) 3 en fonction de S n,3. b. En développant (k + 1) 3, exprimer n (k + 1) 3 en fonction de S n,3, S n,2 et S n,1. c. Conclure. k=1 3. En utilisant la même méthode, montrer que k=1 n, p N, S n,p = 1 p + 1 (n + 1)p+1 1 p 1 ( p + 1 i i=0 ) S n,i Lycée du Parc

28 Chapitre 1 Logique et calcul algébrique 4. En déduire S n,3. Exercice 1.65 On considère l application 1. f est-elle injective? f : R 2 R 2 (x, y) (x 2 + y 2, x 2 y 2 ) 2. On pose A = {(a, b) R 2, a b }. Montrer que f (R 2 ) A. 3. On considère l application g : R R + A (x, y) (x 2 + y 2, x 2 y 2 ) Montrer que g est bijective et déterminer sa bijection réciproque. Lycée du Parc

29 Chapitre 1 Logique et calcul algébrique Exercices supplémentaires Exercice 1.66 On définit (u n ) n N par u 0 = 4 et n N, u n+1 = u n + n Pour n N, exprimer u n en fonction de n (il n est pas nécessaire de factoriser le résultat). Exercice 1.67 Soient A, B, C trois ensembles. Montrer que A B A C A B A C B C Exercice 1.68 Soit n N. Montrer que 2n k=1 ( 1) k+1 k = n k=1 1 n + k Exercice 1.69 Soit n N. Montrer que n n (n + k) = 2 n (2k 1) k=1 k=1 Exercice 1.70 Soient E un ensemble et f : E E telle que f f f = f. Montrer que f est surjective si et seulement si elle est bijective. Exercice 1.71 On considère la fonction f est-elle injective? surjective? bijective? Exercice 1.72 f : N Z n n 2 si n est pair n+1 2 si n impair On définit (u n ) n N par u 0 = a R et n N, u n+1 = u n Montrer que n N, u n 0. Exercice Montrer que n N, 0 u n Soit n 0 tel que 0 u n0 1. Montrer que n n 0, u n+2 = u n. 1. On définit (u n ) n N par u 0 = 10 et n N, u n+1 = u n + n. Déterminer l expression de u n pour n N. Lycée du Parc

30 Chapitre 1 Logique et calcul algébrique Exercice On définit u par u 1 = a R et n N, u n+1 = 1 n Soit f : E F. 1. Montrer que f injective ssi A, A P(E), f (A) = f (A ) A = A. Exercice Montrer que f bijective ssi B, B P(F), f 1 (B) = f 1 (B ) B = B. Soient f : E F, A E et B F. 1. Montrer que A f 1 ( f (A)) et que f ( f 1 (B)) B. 2. Montrer que les inclusions inverses ne sont pas nécessairement vérifiées. 3. Montrer que ( A P(E), f 1 ( f (A)) A ) f injective. 4. Montrer que ( B P(F), B f ( f 1 (B)) ) f injective. n u k. Déterminer l expression de u n pour n N. k=1 Exercice 1.76 Pour tout entier naturel n, on pose S n = (n 1) n Démontrer que l on a S n = 1 n(n 1)(n + 1) 3 Exercice 1.77 Résoudre dans N l équation 2 n (n + 2) 2, d inconnue n. Exercice 1.78 Soit x > 1, x 0. Démontrer par récurrence sur n que n 2, (1 + x) n > 1 + nx. Exercice 1.79 Soient E un ensemble non vide, et A et B des parties de E. Donner des conditions nécessaires et suffisantes pour que les applications suivantes soient injectives, puis surjectives : f A : P (E) P (E) X A X ; g A : P (E) P (E) X A X ; ϕ A,B : P (E) (P (E)) 2 X (A X, B X) ; ψ A,B : P (E) (P (E)) 2 X (A X, B X). Exercice Soient f : E F et g 1, g 2 : F G. On suppose g 1 f = g 2 f. a. On suppose f surjective. Montrer que g 1 = g 2. b. Donner un contre-exemple dans le cas où f n est pas surjective. 2. Soient f 1, f 2 : E F et g : F G. On suppose g f 1 = g f 2. a. On suppose g injective. Montrer que f 1 = f 2. Lycée du Parc

31 Chapitre 1 Logique et calcul algébrique b. Donner un contre-exemple dans le cas où g n est pas injective. Lycée du Parc

32 CHAPITRE 2 NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE 1 Rappels de trigonométrie tanα sinα π 2 M(α) π α cosα 0 3π 2 Figure 2.1 Sinus, cosinus, tangente Définition 2.1 La tangente d un nombre réel x, notée tan x, est définie pour tous les réels x sauf ceux de la forme π 2 + kπ, k Z par tan x = sin x cos x La cotangente d un nombre réel x, notée cotan(x), est définie pour tous les réels x sauf ceux de la forme kπ, k Z par cotan(x) = cos x sin x On a évidemment cotan(x) = 1 tan x pour tous les réels x sauf ceux de la forme k π 2, k Z. Lycée du Parc

33 Chapitre 2 Nombres complexes et trigonométrie sin x M π+ x sin x M x x cos x cos x x cos x sin x M M sin x Sinus et cosinus de x Sinus et cosinus deπ+ x M cos x sin x π x x M cos x cos x sin x x M x sin x M cos x Sinus et cosinus deπ x Sinus et cosinus deπ/2 x Figure 2.2 Angles associés 2 Forme algébrique d un nombre complexe Théorème 2.2 Tout nombre complexe z s écrit de manière unique z = a + ib avec a, b R. s On parle de la forme algébrique de z. Attention, il n y a unicité que si l on force a et b à être réels : par exemple, 3 + i(1 + i) = 1 + i(1 i) = 2 + i. Proposition 2.3 Tout nombre complexe z 0 a un unique inverse, noté 1 z, tel que z 1 z = 1. Soient z, z C. On a zz = 0 (z = 0 ou z = 0). Exercice Mettre sous forme algébrique (2 3i) Mettre sous forme algébrique 1 2+i. 3. Soient z C, z = a + ib avec a, b R. Exprimer 1 z en fonction de a et b. 4. Calculer i 19. Lycée du Parc

34 Chapitre 2 Nombres complexes et trigonométrie Définition 2.4 Soit z = a + ib un nombre complexe sous forme algébrique (on a donc a, b R). On appelle : partie réelle de z le nombre réel R(z) = a ; partie imaginaire de z le nombre réel I(z) = b ; conjugué de z le nombre complexe z = a ib ; module de z le nombre réel positif ou nul z = a 2 + b 2. s Un complexe z est réel ssi sa partie imaginaire est nulle. Un complexe z est réel ssi z = z : c est très souvent cette caractérisation qui est la plus utile. Un nombre complexe est dit imaginaire pur si sa partie réelle est nulle. On note parfois ir l ensemble des imaginaires purs : ir = {z C, R(z) = 0}. Proposition 2.5 Conjugaison Soient z, z 1,..., z n dans C et p Z. z z n = z z n z 1 z n = z 1 z n En particulier, z p = (z) p. z = z ( ) 1 Si z 0, = 1 z z Proposition 2.6 Module Soient z, z 1,..., z n dans C et p Z. z 1 z n = z 1 z n En particulier, z p = z p. Si z 0, alors 1 z = 1 z. z = 0 z = 0 z.z = z 2 n z i n z i inégalité triangulaire i=1 i=1 En particulier, z 1 + z 2 z 1 + z 2. Exemple 2.2 Une autre inégalité qu il est bon d avoir en tête et de savoir démontrer : z 1 z 2 z 1 + z 2. Proposition 2.7 Parties réelle et imaginaire Soient z, z 1,..., z n C. R(z) = 1 2 (z + z) I(z) = 1 2i (z z) R(z z n ) = R(z 1 ) + + R(z n ) I(z z n ) = I(z 1 ) + + I(z n ) R(z) z I(z) z Lycée du Parc

35 Chapitre 2 Nombres complexes et trigonométrie Si λ est réel, R(λz) = λr(z). Si λ est réel, I(λz) = λi(z). Attention, la partie réelle d un produit (ou d un quotient) n est pas égale au produit (ou au quotient) des parties réelles. De même pour la partie imaginaire. 3 Exponentielle complexe 3.1 Forme trigonométrique Définition 2.8 Soit z = a + ib, avec a et b dans R, un nombre complexe. On définit l exponentielle de z par exp(z) = exp(a + ib) = e a (cos b + i sin b) s Cette définition étend la fonction exponentielle aux nombres complexes ; on notera souvent e z pour exp(z). Pour tout z C, on a exp(z) 0. On remarque que 1 = e 0, i = e i π 2, 1 = e iπ et i = e i π 2. Proposition 2.9 Soient z, z C et n Z. On a e z+z = e z e z (e z ) n = e nz en particulier, 1 e = e z z e z = e z Exercice 2.3 Calculer (1 + i) Ces propriétés étendent celles de l exponentielle réelle. Attention cependant à la deuxième : si l on oublie que n doit être entier, on écrit facilement des absurdités du type i = e i π 2 = e 2iπ 1 4 = ( e 2iπ) 1 4 = = 1... Proposition 2.10 Soit θ R. On a e iθ = cos θ + i sin θ (cos θ + i sin θ) n = cos(nθ) + i sin(nθ) cos θ = eiθ +e iθ sin θ = eiθ e iθ 2i Moivre 2 Euler Euler Ces formules permettent de transformer une expression du type sin n x (ou cos n x) en une somme de termes de la forme n ( ak sin(kx) + b k cos(kx) ) : on dit qu on linéarise, ce qui est très utile par exemple pour calculer des k=0 primitives. L opération inverse n a pas de nom, mais sert également parfois. Lycée du Parc

36 Chapitre 2 Nombres complexes et trigonométrie Exercice 2.4 Pour x R, exprimer : 1. cos(3x) et sin(3x) en fonction de cos x et sin x ; 2. sin 3 x en fonction de sin(3x) et de sin x. Exercice 2.5 Pour n N et x R, calculer n n cos(kx) et sin(kx). k=0 k=0 Théorème 2.11 Forme trigonométrique d un complexe Tout nombre complexe z peut s écrire sous la forme ρe iθ avec ρ 0 et θ R. Si θ, θ R et si ρ > 0 et ρ > 0, alors ρ = ρ ρe iθ = ρ e iθ et θ = θ + 2kπ, avec k Z s On note usuellement θ θ [2π] ou θ θ mod 2π pour k Z, θ = θ + 2kπ. De même, θ = θ mod π signifie k Z, θ = θ + kπ. La condition ρ R + assure l unicité de ρ, qui est égal à z. Définition 2.12 Si z = ρe iθ, avec ρ 0, on dit que θ est un argument de z. On note alors arg(z) θ[2π] ou arg(z) θ mod 2π. s 0 n a pas d argument. Parmi tous les arguments d un complexe z 0, un et un seul appartient à l intervalle ] π, π]. Cet argument est dit argument principal de z. Proposition 2.13 Argument Soient z, z C et n Z. arg(zz ) arg(z) + arg(z ) mod 2π arg(z n ) n arg(z) mod 2π arg ( 1 z ) arg(z) mod 2π arg ( z z ) arg(z) arg(z ) mod 2π Ces propriétés sont une simple traduction de celles déjà vues pour l exponentielle complexe. 3.2 Plan complexe Le plan muni d un repère orthonormé (O, u, v ) s identifie de manière naturelle à l ensemble C : à un point M(x, y) on fait correspondre le complexe z = x + iy appelé affixe de M, et réciproquement. Cette identification peut aussi se faire avec la forme trigonométrique de z en travaillant en coordonnées polaires : à un complexe Lycée du Parc

37 Chapitre 2 Nombres complexes et trigonométrie non nul z = ρe iθ correspond le point du plan de coordonnées polaires (ρ, θ) (et donc de coordonnées cartésiennes (ρ cos θ, ρ sin θ)). Il est bon d avoir en tête une représentation géométrique d un certain nombre de définitions et propriétés sur les complexes. Dans ce qui suit, on a, comme souvent, effacé la distinction entre complexe z et point d affixe z. R correspond à l axe des abscisses. L ensemble ir des imaginaires purs correspond à l axe des ordonnées. La partie réelle d un complexe z est son projeté orthogonal sur l axe des abscisses. La partie imaginaire d un complexe z n est pas son projeté orthogonal sur l axe des ordonnées. z z est la distance entre z et z. En particulier, z est la distance entre z et l origine. Si a C et r R +, l ensemble {z C, z a = r} est le cercle de rayon r et de centre a. Soient z et z deux complexes non nuls. arg(z ) arg(z)[2π] ssi z [Oz). Soient z et z deux complexes non nuls. arg(z ) arg(z)[π] ssi z (Oz). z est le symétrique de z par rapport à l origine. z est le symétrique de z par rapport à l axe des abscisses. Si r R +, la transformation z rz est une homothétie de rapport r et de centre O. Si θ R, la transformation z ze iθ est une rotation d angle θ et de centre O. Exercice On considère deux complexes non nuls z 1 = ρ 1 e iθ 1 et z 2 = ρ 2 e iθ 2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur θ 1 et θ 2 pour que z 1 + z 2 = z 1 + z 2. Comment cette condition s interprète-t-elle géométriquement? 2. Même question en passant cette fois par la forme algébrique de z 1 et z 2. Un complexe peut aussi être vu naturellement comme un vecteur du plan. z correspondra au vecteur OM, où M est le point d affixe z. Réciproquement, à un vecteur AB de coordonnées (x, y), on fera correspondre le complexe z AB = x + iy dit affixe vectorielle de AB. Dans les propriétés suivantes, on a noté za l affixe d un point A. z AB = z B z A AB = z AB = AB = zb z A ( ) AB, z CD = arg CD (pour A B et C D) z AB z AB est colinéaire à CD ssi AB R (pour A B et C D). z CD z AB est orthogonal à CD ssi AB est imaginaire pur (pour A B et C D). z CD 3.3 Complexes de module 1 Définition 2.14 On note U l ensemble des nombres complexes de module 1. U = {z C, z = 1}. Proposition 2.15 U = {e iθ, θ R} = {cos θ + i sin θ, θ R} = {a + ib tels que a, b R et a 2 + b 2 = 1} Lycée du Parc

38 Chapitre 2 Nombres complexes et trigonométrie s La représentation naturelle d un complexe de module 1 (à utiliser dans 99% des cas) est e iθ, θ R. Dans le plan complexe, U correspond au cercle unité (aussi appelé cercle trigonométrique). Exercice 2.7 Soit z C. Montrer que z = 1 z = 1 z. Théorème 2.16 Racines de l unité Pour tout n N, l équation z n = 1 a exactement n solutions dans C, appelées racines n-èmes de l unité. On a {z C, z n = 1} = { } e 2ikπ n, k 1, n s Les racines deuxièmes de l unité sont 1 et 1, les racines quatrièmes 1, 1, i et i. Les racines troisièmes de l unité sont e 2iπ 3, e 2iπ 3 et 1. On note souvent j pour e 2iπ 3 et ces racines s écrivent alors j, j 2 et 1(= j 3 ). 3.4 Formules de trigonométrie Proposition 2.17 Pour tous a, b R, on a : cos 2 a + sin 2 a = 1 cos(a + b) = cos a cos b sin a sin b sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a cos(2a) = cos 2 a sin 2 a = 1 2 sin 2 = 2 cos 2 a 1 sin(2a) = 2 sin a cos a cos a + cos b = 2 cos ( ) ( ) a+b 2 cos a b 2 sin a + sin b = 2 sin ( ) ( ) a+b 2 cos a b tan 2 1 a =, quand ces expressions ont un sens. cos 2 a tan a + tan b tan(a + b) =, quand ces expressions ont un sens. 1 tan a tan b Il faut savoir que ces formules existent et, au choix, être capable de les retrouver rapidement ou les connaître par cœur. Lycée du Parc

39 Chapitre 2 Nombres complexes et trigonométrie 4 Complexes et équations 4.1 Équations du second degré à coefficients réels Soient a, b, c R avec a 0. On considère l équation (E) d inconnue z C : (E) : az 2 + bz + c = 0 On pose = b 2 4ac ( est donc un réel que l on appelle discriminant de (E)). Théorème 2.18 Si > 0, l équation (E) admet deux solutions réelles distinctes b 2a et b + 2a Si = 0, l équation (E) admet une unique solution réelle (dite double) Si < 0, l équation (E) admet deux racines complexes non réelles distinctes b 2a b i 2a et b + i 2a Si < 0, les deux solutions complexes de (E) sont conjuguées. Proposition 2.19 Somme et produit des racines d un trinôme Soient z 1 et z 2 les deux solutions (éventuellement confondues) de (E). On a z 1 + z 2 = b a et z 1 z 2 = c a 4.2 Équations du type z n = a Si a est un complexe non nul, l équation z n = a possède exactement n racines distinctes dans C. Une méthode possible pour les déterminer est exposée dans l exemple suivant. Exemple 2.8 Résolvons dans C l équation (E) : z 4 = 2 + 2i 3, d inconnue z. On commence par mettre le membre de droite sous forme trigonométrique. On a 2+2i 3 = = 4, on cherche donc θ R tel que cos θ +i sin θ = 1 2 +i 3 2. D après les valeurs remarquables de sin et cos, on peut prendre θ = 2π 3, on a donc 2 + 2i 3 = 4e 2iπ 3. On cherche z sous forme trigonométrique z = ρe iα. Comme les solutions sont clairement non nulles, on a (E) ( ρe iα) 4 2iπ = 4e 3 ρ 4 = 4 (1) 4α 2π 3 [2π] (2) Comme ρ est forcément un réel positif, la seule solution de (1) est ρ = 4 4 = 2. Lycée du Parc

40 Chapitre 2 Nombres complexes et trigonométrie L équation (2) s écrit k Z, 4α = 2iπ 3 + 2kπ, ce qui équivaut à k Z, α = π 6 + k π 2. Cette équation a quatre solutions dans [0, 2π[ qui sont π 6, 2π 3, 7π 6 et 5π 3. Les autres solutions dans R sont toutes égales à l une de ces solutions modulo 2π et ne donnent donc pas de nouvelles solutions pour (E). Finalement, l ensemble des solutions de (E) est donc { 2e iπ 6, 2e 2iπ 3, 2e 7iπ 6, } 2e 5iπ 3. Si, pour une raison quelconque, on peut facilement déterminer une solution particulière z 0 de l équation (E) : z n = a, on peut facilement trouver les autres en résolvant l équation (qui est alors équivalente à (E)) ( ) z n z 0 = 1. Nous verrons un exemple en travaux dirigés (exercice 2.15). Lycée du Parc

41 Chapitre 2 Nombres complexes et trigonométrie Travaux dirigés Exercice Soit θ un réel. Résoudre les équations d inconnue réelle x suivantes : cos(x) = cos(θ), sin(x) = sin(θ) et tan(x) = tan(θ). 2. Soit n N. Résoudre dans ]0, π[ l équation cos(nx) = Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes : 2 cos(2x + π 3 ) = 3; sin(x) 1 2 ; cos(2x) 0; tan(x) 1; tan(x + π 4 ) > 1; 2 cos 2 (x) + 3 cos x + 1 = 0; sin 2 x + 3 cos x 1 < 0; cos(2x) 3 sin(2x) = 1; sin 2 (2x + π 6 ) = cos2 (x + π 3 ). Exercice 2.10 Mettre les nombres complexes suivants sous forme algébrique : z 1 = (5 3i) 3 z 2 = 4 3i 4 + 3i z 3 = 1 (4 i)(3 + 2i) z 4 = (3 + i)(2 3i) 5 + 2i Exercice 2.11 Soit θ [0, 2π[. Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants : z 1 = 1 + e iθ z 2 = 1 e iθ z 3 = 1 eiθ 1 + e iθ z 4 = (1 + i) 3 z 5 = 1 4i 1 + 5i z 6 = 1 + 4i 1 5i z 7 = (1 + i)2. 1 i Exercice 2.12 Montrer que : Interpréter géométriquement le résultat. Exercice 2.13 Exercice 2.14 (z, z ) C 2, z + z 2 + z z 2 = 2( z 2 + z 2 ). 1. Linéariser les expressions suivantes : cos 6 x; cos 2 x sin 4 x; sin 5 x; cos 3 (2x) sin 3 x; cos(2x) cos 3 x. 2. Soit α un réel. a. Calculer cos(5α) et sin(5α) en fonction de cos(α) et sin(α). b. En déduire la valeur de cos π 10. Calculer pour tout entier naturel n et pour tous réels a et b les sommes suivantes. n ( ) n 1. k sin(ka) k k=0 Identité du parallélogramme Lycée du Parc

42 Chapitre 2 Nombres complexes et trigonométrie 2. n ( ) n ( 1) k cos(ka + b) k k=0 Exercice 2.15 Déterminer les nombres complexes z tels que : Exercice z 2 3z + 4 = 0 2. z 4 + z 2 6 = 0 3. z 2 = z 4. z z + z + z = 4 5. z 4 i = 0 6. z 3 = (2 + i) 3 7. z = z 6 + 5i 8. z + i = 2 9. z(2 z + 1) = z+4i 5z 3 R 11. R ( z 1 z+1) = 0 Soit n N. On pose u = exp ( 2iπ n Exercice 2.17 ). Montrer que z C, n ( ) z + u k n = n(z n + 1) k=1 Soient a, b et c trois nombres complexes de module 1 tels que a + b + c = 1. Le but est de montrer que l un au moins des trois nombres vaut Montrer que 1 a + 1 b + 1 c = 1. Exercice En déduire que ab + bc + ac = abc. 3. Montrer que (1 a)(1 b)(1 c) = 0 et conclure. On note E = {z C, I(z) > 0} et F = {z C, z < 1}. 1. Montrer que : z C, z E z i z+i F. 2. On définit alors l application : f : E F z z i z + i a. Montrer que tout nombre complexe Z de F admet un antécédent par f dans E. b. En déduire que f est bijective et déterminer f On pose E 1 = {z E; R(z) = 0} et E 2 = {z E; z = 1} et on munit le plan d un repère orthonormé direct. a. Déterminer l ensemble f (E 1 ) et le représenter graphiquement. b. Déterminer l ensemble f (E 2 ) et le représenter graphiquement. Lycée du Parc

43 Chapitre 2 Nombres complexes et trigonométrie Exercice 2.19 Études On note j = e 2iπ 3, et l on considère un entier n 1 ainsi que les sommes Exercice 2.20 A = n k=0 1. Calculer A, B et C. ( ) n k 2. Calculer j 3 et 1 + j + j 2. B = n k=0 ( ) n j k C = k n k=0 ( ) n j 2k S = k 0 3k n 3. Déterminer pour k N la valeur de 1 + j k + ( j 2 ) k. On distinguera suivant que k est de la forme 3m, 3m + 1 ou 3m + 2 avec m N. ( 4. En déduire que A + B + C = 3S, puis que S = n + 2( 1) n cos ( )) 4nπ 3 (on pourra remarquer que j 2 = j). ( ) n 3k Inversion dans le plan complexe On rappelle que C désigne l ensemble des complexes non nuls et U l ensemble des complexes de module 1. On considère l application ϕ : C C z 1 z 1. Montrer que ϕ est une bijection et déterminer sa bijection réciproque. 2. Déterminer f (U). 3. On considère le cercle C de rayon 1 2 et de centre le (point d affixe) 1 2, ainsi que la droite d équation z + z = 2. a. Représenter graphiquement et C. b. Montrer que, pour tout z C, z C 2z z z z = 0 (on dit que C a pour équation 2z z z z = 0). c. Montrer que ϕ( ) C. Peut-on avoir l égalité? d. On note C = C \ {0} (C est donc le cercle C privé de l origine). Montrer que tout z C a un antécédent dans. On pensera à utiliser la bijection réciproque de ϕ. e. En déduire que ϕ( ) = C et ϕ(c ) =. Lycée du Parc

44 Chapitre 2 Nombres complexes et trigonométrie Exercices supplémentaires Exercice 2.21 Soient a, b, c R. On suppose que cos a + cos b + cos c = sin a + sin b + sin c = 0. Montrer que cos 2a + cos 2b + cos 2c = sin 2a + sin 2b + sin 2c = 0 Exercice 2.22 Soient u, v, z C tels que z = u + iv. z = 0 Montrer que z 2 = u 2 + v 2 ou u, v R Exercice 2.23 Exercice Montrer que x ]0, π[ n N, n 1 k=0 2. En déduire les solutions dans ]0, π[ de Résoudre dans C l équation R ( z 1 z+1) = 0. Exercice 2.25 sin((2k + 1)x) = sin2 (nx) sin x. sin x + sin 3x sin 4x + sin 5x + sin 7x = 0 On souhaite résoudre dans C l équation 2z 2 (1 + 5i)z 2(1 i) = Déterminer δ C tel que δ 2 = 2(4 + 3i). Exercice En déduire les solutions de l équation. Résoudre dans C : 1. z 5 = 1 + i 2. z 6 2z = 0 Exercice 2.27 Montrer que : n 2, 2 cos π 2 2 n = } {{ } n 1 symboles. Exercice 2.28 Soit z un complexe de module 1. Montrer que ( 1 + z 1 ) ou ( 1 + z 2 1 ). Lycée du Parc

45 Chapitre 2 Nombres complexes et trigonométrie Exercice 2.29 Soit z C. Montrer que z 2 1 < 8 z 2 < 5 Exercice 2.30 Soit θ R et z C. On suppose que z + 1 z = 2 cos θ. Montrer que n N, z n + 1 = 2 cos nθ zn Exercice 2.31 Exercice Montrer que pour a, b ] π 2, π 2 [, on a tan a tan b = 2. En déduire pour n N et x ] π 2n, π 2n[ la valeur de n k=0 Résoudre l équation z 2 = 2 z + 3, d inconnue z C. sin(a b) cos a cos b 1 cos(kx) cos((k + 1)x) Lycée du Parc

46 CHAPITRE 3 SUITES RÉELLES 1 Compléments sur les réels 1.1 Rappels 1.1.a Définition 3.1 Valeur absolue Soient x et y deux réels. On note x max(x, y) = y si x y sinon x et min(x, y) = y si x y sinon On étend de manière naturelle cette définition à un ensemble fini de réels : min(x 1,..., x n ) désigne le plus petit des réels x i pour 1 i n et max(x 1,..., x n ) le plus grand de ces réels. Définition 3.2 La fonction valeur absolue est définie par : R R x max(x, x) s x si x 0 De manière équivalente, x = x sinon La fonction valeur absolue est à valeurs dans R +, on pourra donc considérer que son ensemble d arrivée est R + quand c est plus pratique. x y correspond à la distance entre les deux réels x et y et donc x à la distance entre x et 0. Théorème 3.3 Soient x, y, a R. On a x 0 x = 0 ssi x = 0 x a ssi a x a ssi (x a et x a) x < a ssi a < x < a ssi (x < a et x < a) xy = x y Si x 0, 1 = 1 x x. Lycée du Parc

47 Chapitre 3 Suites réelles x + y x + y x + y x y inégalité triangulaire s Un corollaire souvent utile : si ε > 0, x x 0 ε x 0 ε x x 0 + ε. L inégalité triangulaire s étend aux sommes finies : x x n x x n ou, sans pointillés, n x i n x i. k=1 1.1.b Définition 3.4 k=1 Partie entière Pour x R, la partie entière de x est définie par x = max{n Z, n x} Proposition 3.5 Pour tout x R et tout n Z, on a x = n n x < n + 1 x 1 < x x 1.1.c Définition 3.6 Voisinages On appelle droite réelle achevée et l on note R l ensemble R = R {, + } Définition 3.7 Soit a R. Un voisinage de a dans R est une partie de R qui contient un intervalle de la forme ]a ε, a + ε[ avec ε > 0. Un voisinage de + est une partie de R qui contient un intervalle de la forme ]A, + [ avec A R. Un voisinage de est une partie de R qui contient un intervalle de la forme ], A[ avec A R. s Intuitivement, un voisinage de a R est un ensemble qui contient tous les réels suffisamment proches de a. En pratique, on peut se limiter aux voisinages de la forme ]a ε, a + ε[ quand a R, ]A, + [ quand a = + et ], A[ quand a =. Définition 3.8 Soit a R. Une propriété P(x) est dite vraie pour x au voisinage de a s il existe un voisinage I de a tel que P(x) soit vraie pour tout x de I. Exemple 3.1 Pour x au voisinage de +, on a x En effet, I = [500, + [ est un voisinage de + et, pour tout x de I, on a x Pour x > 0 au voisinage de 0, on a x 2 < x. En effet, pour 0 < x < 1 2, on a 0 < x2 < 1 2 x < x. Lycée du Parc

48 Chapitre 3 Suites réelles 1.2 Bornes inférieures et supérieures Définition 3.9 Soit E une partie de R. On dit que : m R est un minorant de E si x E, m x ; M R est un majorant de E si x E, x M. Une partie de R est dite minorée si elle admet un minorant, majorée si elle admet un majorant, bornée si elle est minorée et majorée. Si E est majorée par M, alors elle est aussi majorée par M + 12 (par exemple). Un majorant n est donc pas unique (de même pour un minorant). Exemple {x R, x 2 [2, 4]} est majoré par 2 et minoré par 2. Il est donc borné. Il est bien sûr aussi majoré par ]7, + [ est minoré par 7 (et par tous les réels inférieurs ou égaux à 7), mais n est pas majoré et donc pas borné. 3. { x R, x x 1 2} n est ni minoré, ni majoré. Exercice 3.3 Soit A une partie de R. Donner une version complètement quantifiée des propositions suivantes. 1. A est majorée. 2. A est bornée. Définition 3.10 Soit E une partie de R. On dit que : m est le plus petit élément (ou minimum) de E si : m E m minore E M est le plus grand élément (ou maximum) de E si : M E M majore E s On a donc m = min E (m E et x E, m x). De même, M = max E (M E et x E, x M). S ils existent, le minimum et le maximum d un ensemble sont uniques. Une partie de R peut être minorée sans avoir de minimum (ou majorée sans avoir de maximum). Voir l exercice 3.4. Exercice 3.4 Déterminer, s ils existent, le minimum et le maximum de { n, n N }. Une propriété qui ne concerne pas les nombres réels, mais qui n en est pas moins importante : Proposition 3.11 Principe du minimum pour les entiers Toute partie non vide et minorée de Z admet un plus petit élément. Toute partie non vide et majorée de Z admet un plus grand élément. Lycée du Parc

49 Chapitre 3 Suites réelles s Cette propriété est intimement liée au principe de récurrence. Si l on sait (ou que l on suppose) qu une certaine propriété P est vérifiée par au moins un entier naturel, on peut donc parler du plus petit entier naturel n tel que P(n) soit vraie. Exercice 3.5 Unicité de la décomposition en base 2 Soient (a 0,..., a n ) et (b 0,..., b n ) dans {0, 1} n+1. n Montrer que si a i 2 i = n b i 2 i, alors i 0, n, a i = b i. i=0 i=0 Définition 3.12 Soit E une partie de R. On dit que m est la borne inférieure de E si m est le plus grand minorant de E. On note alors m = inf E. On dit que M est la borne supérieure de E si M est le plus petit majorant de E. On note alors M = sup E. Si elles existent, les bornes inférieures et supérieures d une partie sont uniques. Exemple 3.6 La borne inférieure de ]1, 2] est 1, la borne supérieure 2. Notez que cet ensemble a une borne inférieure mais pas de minimum. Théorème 3.13 Propriété de la borne supérieure Toute partie non vide et minorée de R admet une (unique) borne inférieure. Toute partie non vide et majorée de R admet une (unique) borne supérieure. Cette propriété signifie que R est «sans trou» (on dit que R est complet). Les nombres réels ont été introduits précisément parce que les rationnels n ont pas cette propriété. Sa démonstration repose sur la manière dont l ensemble R a été construit et dépasse donc très largement le cadre du programme. Proposition 3.14 Soit A R. A admet un minimum ssi A est minorée et inf A A. On a alors min A = inf A. A admet un maximum ssi A est majorée et sup A A. On a alors max A = sup A. Exercice 3.7 Dans chacun des cas suivants, déterminer, s ils existent, inf A, sup A, min A et max A. 1. A = {2 n, n Z}. 2. A = { x sin x, x R}. 3. A = {x x, x R}. Lycée du Parc

50 Chapitre 3 Suites réelles 2 Propriétés élémentaires des suites 2.1 Suite réelle Définition 3.15 Soit n 0 N. On appelle suite réelle (définie à partir du rang n 0 ) une application On note usuellement u n pour u(n) et (u n ) n n0 pour u. u : n 0, + R n u(n) qui est (essentiellement) l en- s u n0 est appelé terme initial de u. u n est appelé terme de rang n ou terme d indice n de u. On prendra garde à ne pas confondre u n (qui est un nombre réel) et (u n ) n n0 semble infini (u n0, u n0 +1, u n0 +2,... ). Une suite peut être définie de plusieurs manières. Par la donnée de son terme général : par exemple, en posant pour n 2 u n = 1 ln n, on définit une suite (u n) n 2. Par récurrence, en donnant la valeur d un ou plusieurs termes initiaux et un moyen de calculer u n+1 à partir de u 0,..., u n (et éventuellement de n). Récurrence simple : u n+1 ne dépend que de u n (et éventuellement de n). Exemple : u 0 = 2 et n N, u n+1 = 3u n + n. Récurrence double : pour calculer un nouveau terme, on a besoin des deux termes précédents. Exemple : u 0 = 1, u 1 = 3 et n N, u n+2 = u n + 2u n+1. On peut aussi avoir besoin de tous les termes u 0 jusqu à u n pour calculer u n+1. Exemple : u 0 = 3 et n N, u n+1 = n u k. k=0 Implicitement : en montrant que pour tout entier n, il existe un unique x n vérifiant une certaine propriété, on définit une suite (x n ) n N. Exemple : pour tout n N, l équation (E n ) : e x nx = 2 a une unique solution x n dans R +. On définit ainsi la suite (x n ) n 0. On peut parfois (mais pas toujours!) déterminer le terme général d une suite définie implicitement ou par récurrence. Exercice 3.8 Déterminer le terme général de la suite définie par u 0 = 3 et n N, u n+1 = n u k. k=0 Définition 3.16 Une suite (u n ) n n0 est dite à termes positifs (resp. à termes négatifs) si n n 0, u n 0 (resp. u n 0). s On définit de même une suite à terme strictement positifs ou strictement négatifs. De même, une suite à termes dans [0, 1] est une suite telle que n n 0, u n [0, 1]. Définition 3.17 On dit qu une suite (u n ) a la propriété P à partir du rang N si la suite (u n ) n N a la propriété P. On dit qu une suite (u n ) a la propriété P à partir d un certain rang s il existe un rang N tel que (u n ) ait la propriété P à partir du rang N. Lycée du Parc

51 Chapitre 3 Suites réelles Exemple 3.9 La suite (u n ) n N définie par n N, u n = n 7 est à termes positifs à partir du rang 7 (et donc à partir d un certain rang). 2.2 Variations d une suite Définition 3.18 Une suite (u n ) n n0 est dite croissante si n n 0, u n+1 u n ; strictement croissante si n n 0, u n+1 > u n ; décroissante si n n 0, u n+1 u n ; strictement décroissante si n n 0, u n+1 < u n ; monotone si elle est croissante ou décroissante ; strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante. s Attention, la «plupart» des suites ne sont bien sûr ni croissantes ni décroissantes (i.e. non monotones). Une suite (u n ) n N est dite croissante à partir d un certain rang si N N, n N, u n+1 u n. Définition 3.19 Une suite (u n ) n n0 est dite : périodique de période k (où k N ) si n n 0, u n+k = u n ; périodique si elle est périodique de période k pour un certain k N ; stationnaire si elle est constante à partir d un certain rang. Proposition 3.20 Soient u et v deux suites. Si u et v sont croissantes, alors u + v est croissante. Si u et v sont décroissantes, alors u + v est décroissante. u est croissante ssi u est décroissante. Proposition 3.21 Soit (u n ) n n0 une suite à termes strictement positifs. u u est croissante ssi n n 0, n+1 u n 1. u est strictement croissante ssi n n 0, u u est décroissante ssi n n 0, n+1 u n 1 u est strictement décroissante ssi n n 0, u n+1 u n > 1 u n+1 u n < Suites bornées Définition 3.22 Une suite (u n ) n n0 est dite : minorée par m si n n 0, u n m ; minorée s il existe m R telle qu elle soit minorée par m ; majorée par M si n n 0, u n M ; Lycée du Parc

52 Chapitre 3 Suites réelles majorée s il existe M R telle qu elle soit majorée par M ; bornée si elle est minorée et majorée. s Attention, la constante M doit bien sûr être indépendante de n. Par exemple, le fait qu une suite u vérifie n N, u n n 2 ne garantit absolument pas qu elle est majorée. Le caractère minoré, majoré ou borné d une suite u est une propriété dite asymptotique, c est-à-dire qu il n est pas modifié si l on change un nombre fini de termes de u. Proposition 3.23 Soit (u n ) n 0 une suite réelle. (u n ) n 0 est bornée ssi ( u n ) n 0 est majorée. Autrement dit, une suite u est bornée ssi M R, n n 0, u n M. 3 Suites usuelles 3.1 Suites arithmétiques Définition 3.24 Soit r R. Une suite (u n ) n n0 est dite arithmétique de raison r si n n 0, u n+1 = u n + r. Proposition 3.25 Soit (u n ) n n0 une suite réelle et r R. (u n ) n n0 est arithmétique de raison r ssi n n 0, u n = u n0 + (n n 0 )r. 3.2 Suites géométriques Définition 3.26 Soit q R. Une suite (u n ) n n0 est dite géométrique de raison q si n n 0, u n+1 = qu n. Proposition 3.27 Soit (u n ) n n0 une suite réelle et q R. (u n ) n n0 est géométrique de raison q ssi n n 0, u n = u n0 q n n Suites arithmético-géométriques Définition 3.28 Une suite (u n ) n n0 est dite arithmético-géométrique s il existe deux réels a et b tels que n n 0, u n+1 = au n + b. Lycée du Parc

53 Chapitre 3 Suites réelles Proposition 3.29 Soient a, b R avec a 1 et (u n ) n n0 une suite telle que n n 0, u n+1 = au n + b. On a ( n n 0, u n = a n n 0 u n0 b ) + b 1 a 1 a. Cette propriété n est pas à retenir. Il faut connaître la méthode permettant de la retrouver dans un cas particulier. Exercice 3.10 u 0 = 3 Déterminer le terme général de la suite définie par n N, u n+1 = 4u n Suites récurrentes linéaires doubles Proposition 3.30 Soient a et b deux réels et u telle que n N, u n+2 = au n+1 + bu n. On définit le polynôme caractéristique de u par P = X 2 ax b. Si P a deux racines réelles distinctes x 1 et x 2, alors il existe deux réels λ et µ tels que n N, u n = λx n 1 + µxn 2 Si P a une racine réelle double x, alors il existe deux réels λ et µ tels que n N, u n = x n (λ + µn) Si P a deux racines complexes non réelles z 1 = ρe iθ et z 2 = ρe iθ, alors il existe deux réels λ et µ tels que n N, u n = ρ n (λ cos(nθ) + µ sin(nθ)) s Les constantes λ et µ sont généralement déterminées grâce aux premiers termes de la suite. Dans le cas où les racines sont complexes non réelles, on peut aussi mettre u n sous la forme r n cos(nθ + ϕ). Exercice 3.11 Exercice 3.12 La suite de Fibonacci est définie par u 0 = 0, u 1 = 1 et n N, u n+2 = u n+1 + u n. Déterminer l expression de u n en fonction de n N. Soit u la suite définie par u 0 = 0, u 1 = 1 et n N, u n+2 = u n+1 u n. Déterminer le terme général de u. Lycée du Parc

54 Chapitre 3 Suites réelles 4 Comportement asymptotique 4.1 Définitions et propriétés élémentaires Définition 3.31 Soit u une suite réelle. On dit que u tend vers l R, et l on note u l (ou u n l) si n + u tend vers +, et l on note u + (ou u n u tend vers, et l on note u (ou u n ε > 0 N N n N, u n l < ε + ) si n + A R N N n N, u n A ) si n + A R N N n N, u n A On peut unifier ces définitions en utilisant les voisinages : pour l R, u l signifie que tout voisinage de l contient tous les termes de u à partir d un certain rang. Exemple 3.13 Soit u définie par n N, u n = n + 3. On a u +. Définition 3.32 Soit u une suite. On dit que u 0 si u 0 et si u est à termes strictement négatifs (à partir d un certain rang). On dit que u 0 + si u 0 et si u est à termes strictement positifs (à partir d un certain rang). Théorème 3.33 Unicité de la limite Soit u une suite réelle. Si u l R et u l R, alors l = l. Autrement dit, si une suite a une limite, alors cette limite est unique. On pourra donc utiliser la notation lim u n = l au lieu de u n l. n + n + Définition 3.34 Une suite est dite : convergente si elle tend vers l R ; divergente sinon. s Une suite est donc divergente dans les trois cas suivants : si elle tend vers + ; si elle tend vers ; si elle n a pas de limite. Lycée du Parc

55 Chapitre 3 Suites réelles Donner le comportement asymptotique d une suite u, c est dire si u converge (et dans ce cas, vers quelle limite), si u tend vers +, si u tend vers ou si u n a pas de limite. Proposition 3.35 Soit u une suite réelle et l R. On a l équivalence suivante : u n l u n l 0 n + n + En particulier, u 0 ssi u 0. Proposition 3.36 Soient u et v deux suites réelles. Si u et v coïncident à partir d un certain rang, alors u et v ont le même comportement asymptotique. s u et v coïncident à partir d un certain rang signifie N N n N, u n = v n. u et v ont le même comportement asymptotique signifie que si u tend vers l R, alors v tend vers le même l et que si u n a pas de limite, alors v non plus. Autrement dit, on ne modifie pas le comportement asymptotique d une suite en changeant la valeur d un nombre fini de termes. Proposition 3.37 Soient n 0 N, ϕ : n 0, + N strictement croissante et u une suite réelle. Si u l R, alors u ϕ(n) l. n + Il faut surtout retenir les cas particuliers suivants : si u n u 2n+1 l,... n + Exercice 3.14 Montrer que la suite u, définie par n N, u n = cos ( nπ 2 n + l, alors u n+1 ), n a pas de limite. La réciproque est en général fausse, mais on a la propriété (très utile) suivante : Proposition 3.38 Soit u une suite réelle. Si u 2n n + l et u 2n+1 n + l, alors u n l. n + n + l, u n 1 n + l, u 2n l, n + Exercice 3.15 Soit u définie par n N, u n = (1 + ( 1) n )n + (1 ( 1) n )2 n. Montrer que u +. Proposition 3.39 Soit u une suite qui converge vers l R. À partir d un certain rang, les termes de u sont non nuls et du signe de l. Lycée du Parc

56 Chapitre 3 Suites réelles 4.2 Opérations sur les limites On étend (partiellement) à R les opérations algébriques usuelles en posant : + x = si x R { } + + x = + si x R {+ } x = + si x R { } x = si x R + {+ } + x = si x R { } + x = + si x R + {+ } x + = x = 0 si x R On remarquera les cas manquants qui correspondent aux formes indéterminées : + (+ ), 0 et. On pose aussi < x < + pour tout x R. Proposition 3.40 Soit u une suite et λ R. Si u l R, alors λu λl. Proposition 3.41 Soient u et v deux suites, u l R et v l R. Si l + l est défini, alors u + v l + l. Si l l est défini, alors u v l l. s On en déduit que si u et v sont convergentes, alors u + v et uv aussi. Si l l est défini, alors u v l l comme on peut le voir en remarquant que u v = u + ( 1) v. Exercice 3.16 Montrer que la somme d une suite convergente et d une suite divergente est divergente. Proposition 3.42 Soit D R, f : D R et u une suite à termes dans D. Si u n a R et si f (x) l, alors f (u n ) l. n + x a n + s Nous n avons pas encore (re)vu les limites de fonctions, mais les limites de référence de terminale sont quand même supposées connues... En particulier, comme n +, si f (x) l R, alors f (n) l. n + x + n + En utilisant la fonction inverse, on obtient la limite de 1 u (si u est à termes non nuls) et donc d un quotient. 4.3 Propriétés liées à l ordre Proposition 3.43 Passage à la limite Soient u et v deux suites et n 0 un entier. Si u l R v l R n n 0, u n v n alors l l. Lycée du Parc

57 Chapitre 3 Suites réelles s Cette propriété est très souvent utilisé avec l une des deux suites constante : par exemple, si n N, u n 2 et si u l, alors l 2. Attention, même si l on a n N, u n < v n, on ne peut pas en déduire l < l. Attention (bis), il faut déjà avoir prouvé l existence des deux limites l et l. Théorème 3.44 Limite par comparaison Soient n 0 un entier et u et v deux suites telles que n n 0, u n v n. Si u +, alors v +. Si v, alors u Théorème 3.45 Limite par encadrement Soient n 0 un entier et u, v et w trois suites telles que n n 0, u n v n w n. Si u l et w l, alors v l. s Ce théorème est couramment appelé «théorème des gendarmes». Soit... Le théorème n a d intérêt que lorsque l R (sinon on peut conclure par comparaison). Exemple 3.17 Exercice 3.18 Soit u une suite bornée et v telle que v 0. On a uv 0. Pour n N, on pose u n = n k=1 1. Montrer que u n 2 n 1 (on encadrera u n ). +k n + Proposition 3.46 Toute suite convergente est bornée. La réciproque est fausse, comme le montre l exemple de (( 1) n ) n N. Théorème 3.47 Limite monotone Soit u une suite monotone à partir d un certain rang. u a une limite l R. Si u est croissante (à partir d un certain rang) : si u est majorée, alors u est convergente (i.e. l R) ; si u n est pas majorée, alors u +. Si u est décroissante (à partir d un certain rang) : si u est minorée, alors u est convergente (i.e. l R) ; si u n est pas minorée, alors u. Lycée du Parc

58 Chapitre 3 Suites réelles s C est le théorème le plus important du chapitre. Si (u n ) n N est croissante et majorée, alors sa limite est l = sup{u n, n N}. En particulier, on a dans ce cas n N, u n l. Si (u n ) n N est décroissante et minorée, alors sa limite est l = inf{u n, n N}. En particulier, on a dans ce cas n N, u n l. Exercice 3.19 Soit u la suite définie par la donnée de u 0 R et par n N, u n+1 = u n + e u n. Montrer que u +. Exercice 3.20 Exercice Montrer que x R +, sin x x. 2. En déduire le comportement asymptotique de la suite définie par la donnée de u 0 [0, π] et n N, u n+1 = sin u n. Soit u la suite définie par son premier terme u 0 R et n N, u n+1 = u 2 n. Déterminer le comportement asymptotique de u (on discutera suivant les valeurs de u 0 ). 4.4 Suites adjacentes Définition 3.48 Deux suites u et v sont dites adjacentes si : l une est croissante ; l autre est décroissante ; u v 0. Proposition 3.49 Si u et v sont deux suites adjacentes, alors u et v convergent et ont la même limite. Exercice 3.22 Pour n 1, on pose u n = n En fait, u tend vers e. k=0 1 k! et v n = u n + 1 n!. Montrer que u tend vers une limite finie. 4.5 Limites de référence La plupart des limites connues en terminale sont rappelées ici. Il manque cependant, certaines limites de fonctions usuelles (qui peuvent servir pour des suites du type u n = f (u n )) : elles sont malgré cela supposées connues. Proposition 3.50 Soit q R. Si q < 1, alors q n 0. n + Si q > 1, alors q n +. n + Si q 1, alors (q n ) n N n a pas de limite. Lycée du Parc

59 Chapitre 3 Suites réelles Proposition 3.51 Pour tous α R et β > 0, Pour tous α R et a > 1, nα a n Pour tout α R, nα n! Pour tout a R, an n! 0 n + 0 n + (ln n)α n β 0 n + 0 n + Exercice 3.23 Étudier les limites des expressions suivantes quand n n+2 + n 2 8 n 2. 2 ln n n 3. 2 n n! 5 Comparaison de suites 5.1 Suite négligeable devant une autre Définition 3.52 Soient u et v deux suites. On dit que u est négligeable devant v s il existe un entier naturel n 0 et une suite (ε n ) n n0 tels que n n 0, u n = ε n v n et ε n n + 0 On note alors u = o(v) ou u n = o n + (v n ). s Attention, la notation u = o(v) peut prêter à confusion : ce n est pas une égalité (contrairement aux apparences). Si l on a u = o(v) et w = o(v), cela ne signifie pas du tout u = w. Cela signifie seulement que u et w sont toutes deux «beaucoup plus petites» que v. On lira donc «u est un petit-o de v» ou «u est négligeable devant v» et pas «u égale petit-o de v». Comme une suite est toujours étudiée au voisinage de +, on peut noter u n = o n (v n ) s il n y a pas d ambiguïté. Comme pour les limites, la négligeabilité est une propriété asymptotique : elle ne dépend que du comportement de u n et v n pour des valeurs de n suffisamment grandes. Exemple 3.24 On a n 1, n 2 = 1 n n3 et 1 n 0, donc n 2 = o n + (n 3 ). n + Proposition 3.53 Soient u et v deux suites. S il existe un rang n 0 à partir duquel v ne s annule plus, alors u = o(v) si et seulement si u v 0 C est cette caractérisation qui sert le plus souvent en pratique. Lycée du Parc

60 Chapitre 3 Suites réelles Proposition 3.54 Soient u, u, v, v, w des suites réelles. Si u = o(v) et si v = o(w), alors u = o(w). Si u = o(v) et si u = o(v), alors u + u = o(v). Si u = o(v), on a uw = o(vw). Si u = o(v) et si u = o(v ), alors uu = o(vv ). Si u = o(v) et si λ R, alors λu = o(v) et u = o(λv). transitivité On peut reformuler les limites de référence en termes de «petit-o» : Proposition 3.55 Si a, b R avec b > 0, on a (ln n) a = o n ( n b ). Si b < c, on a n b = o n (n c ). Si α > 1 et b R, on a n b = o n (α n ). Si 1 < α < β, on a α n = o n (β n ). Si α R, on a α n = o n (n!). Exercice 3.25 Classer les suites suivantes par ordre de négligeabilité : n 1,1 ; n(ln n) 3 ; 2 (n2 ) ; 2 4n ; e 2n 5.2 Suites équivalentes Définition 3.56 Soient u et v deux suites. On dit que u est équivalente à v s il existe n 0 N et une suite ε tels que : On note alors u v ou u n v n. n + ε n 0 n + n n 0, u n = (1 + ε n )v n Il est équivalent de demander l existence d une suite α telle que α 1 et n n 0, u n = α n v n. Proposition 3.57 Soient u et v deux suites. On suppose que v est à termes non nuls (à partir d un certain rang). On a alors : u v si et seulement si u v 1 C est cette caractérisation des suites équivalentes qui sert le plus souvent en pratique. Exercice 3.26 Montrer que e n n + en. Lycée du Parc

61 Chapitre 3 Suites réelles Proposition 3.58 Soient u, v, w trois suites. u v ssi v u u u Si u v et v w, alors u w symétrie réflexivité transitivité Proposition 3.59 Soient u et v deux suites. Si u v et que u l R, alors v l. Si u l, que v l, et que l R, alors u v. Cette propriété sert assez rarement mais illustre la remarque suivante. Pour des suites admettant une limite finie non nulle, la notion d équivalent n apporte rien (on pourrait se contenter de dire que leurs limites sont égales). En revanche, pour des suites qui tendent vers 0 ou ±, la notion d équivalent est plus fine que celle de limite : on rajoute une information sur la vitesse à laquelle la suite se rapproche de sa limite. Exemple 3.27 On a 1 n De même, n 2 n + 0 et 1 n 2 n + 0, mais 1 n + et 2 n n + n + 1 n 2. +, mais n 2 n + n + 2n. Proposition 3.60 Soient u, u, v, v quatre suites. Si u u et u = o(v), alors u = o(v). Si u v et u v, alors uu vv. Si u v et que k N, on a u k v k. Si u v et que u n 0 à partir d un certain rang, alors 1 u 1 v. Si u v, si α R et si u n > 0 à partir d un certain rang, alors u α v α. s Une opération n est pas représentée ici : la somme. Il y a une très bonne raison à cela : on ne peut pas sommer des équivalents! On ne peut pas non plus composer des équivalents : par exemple, si u n que e u n n + ev n. Exemple 3.28 v n, il n y a aucune raison pour n + Soient u et v définies par n N, u n = n et v n = n 2. On a u v, et pourtant 1 + u 1 + v. Exercice 3.29 Déterminer un équivalent simple quand n + de n k. On peut parfois déterminer un équivalent d une somme grâce à la propriété suivante : Proposition 3.61 Soient u et v deux suites. Si v = o(u), alors u + v u. k=1 Lycée du Parc

62 Chapitre 3 Suites réelles Exemple 3.30 Soit P un polynôme non nul de degré p. On a P(n) a pn p. n + Proposition 3.62 Équivalents usuels Soit u une suite telle que u n 0. On a : n + ln(1 + u n ) sin(u n ) u n e u n 1 u n n + n + u 1 n 1 cos(u n ) n + n + 2 u2 n Exercice 3.31 Déterminer la limite quand n + de n ln ( n 2 n Exercice 3.32 Soit u une suite telle que u 0. Déterminer un équivalent de tan(u n ) quand n +. ). Lycée du Parc

63 Chapitre 3 Suites réelles Travaux dirigés Suites usuelles Exercice 3.33 Soit (u n ) n N la suite définie par : u 0 = 2 et n N, u n+1 = 3u n + 4n Trouver a R tel que (u n + an) n N soit arithmético-géométrique. Exercice Déterminer, pour tout n N, la valeur de u n en fonction de n. u n 3 2u n. On considère la suite définie par u 0 = 2 et n N, u n+1 = 1. Montrer que u n est bien défini et strictement négatif pour tout n N. 2. On pose, pour tout n N, v n = u n u n 1. a. Montrer que la suite (v n ) n N est bien définie. b. Pour n N, donner une expression simple de v n+1 en fonction de v n. c. En déduire l expression de u n en fonction de n. d. Déterminer la limite de u n quand n +. Limites et comparaisons Exercice 3.35 Soient (u n ) n 0 et (v n ) n 0 définies par n N, u n = n 1 et v 3 k=0 k n = n k=0 1. Montrer que (u n ) n 0 converge et déterminer sa limite. Exercice Montrer que, pour tout n N, v n+1 = u n+v n 3 ; 3. En déduire que (v n ) n 0 est convergente et déterminer sa limite. Soient (u n ) n N et (v n ) n N définies par u 0 et v 0 tels que 0 < u 0 v 0 et k 3 k. n N, u n+1 = u n v n et v n+1 = u n + v n 2 1. Montrer que u et v sont bien définies et à termes positifs. 2. Montrer que n N, u n v n. 3. Étudier la monotonie des suites u et v, et en déduire leur convergence. 4. Montrer que les limites de u et v sont égales. : si a, b R +, on appelle a+b 2 leur moyenne arithmétique et ab leur moyenne géométrique. L inégalité arithmético-géométrique ab a+b 2 est à retenir (ainsi que sa démonstration). Exercice 3.37 On considère la suite u définie par u 0 R + et n N, u n+1 = u u n. 1. Montrer que pour tout n N, u n est bien défini et u n > Montrer que u n n + +. Lycée du Parc

64 Chapitre 3 Suites réelles Exercice 3.38 Soient u et v deux suites telles que u 0 v 0 et n N, u n+1 = 2u n + v n 3 1. Montrer que ces deux suites sont adjacentes. et v n+1 = u n + 2v n 3 2. Étudier la suite (u n + v n ) n N et en déduire la limite de u et de v. Suites u n+1 = f(u n ) Exercice 3.39 Étudier la convergence de la suite (u n ) définie par la donnée de u 0 R et n N, u n+1 = 1+u2 n 2. Exercice 3.40 Soient f : R + R x ln(1 + x) et a > 0. On définit une suite u par u 0 = a et n N, u n+1 = f (u n ). 1. Montrer que u est bien définie. Exercice Étudier le sens de variation de u (on pourra s intéresser à g : x f (x) x). 3. Montrer que u est convergente et déterminer sa limite. Soient f : R + R x x x et u la suite définie par la donnée de u 0 1 et n N, u n+1 = f (u n ). 1. Montrer que la suite (u n ) n N est bien définie et que n N, u n Montrer que la suite (u n ) n N est croissante. 3. Déterminer les solutions de l équation x 3 x = 0, et en déduire que (u n ) n N ne converge pas. Exercice 3.42 On considère f : R + R + x x (u n ) n N définie par u 0 > 0 et n N, u n+1 = f (u n ) 1. Tracer l allure de la courbe de f et représenter graphiquement les premiers termes de la suite (u n ) (on pourra choisir u 0 = 4 pour cette représentation graphique). 2. Montrer que n 2, u n [1, 3]. 3. a. Justifier que f f est bien définie, et qu elle est croissante. b. Déterminer les points fixes éventuels de f f (i.e. les x R + tels que f ( f (x)) = x). 4. Montrer que les deux suites (u 2n ) n N et (u 2n+1 ) n N sont monotones, et en déduire qu elles convergent. 5. En déduire que (u n ) n N converge vers une limite que l on précisera. Relations de comparaison et calculs de limites Exercice Déterminer la limite éventuelle de la suite définie par n N, u n = ln ( 2n(n+1)! (n+2)! 2. Montrer que ln (n n ) est négligeable devant (n n) 3 2 quand n Comparer u n = e 1+ 1 n+1 e et v n = ln(n + e) ln n quand n +. ). Lycée du Parc

65 Chapitre 3 Suites réelles Exercice 3.44 Montrer que n Exercice 3.45 k=0 k! n + n!. Soit (u n ) n N définie par u 0 = 1 et n N, u n+1 = n + 1 u n. 1. Montrer que n N, u n existe et u n > 0, puis que u n n En déduire que u n n + n. Exercice 3.46 Soit (u n ) n N définie par son premier terme u 1 R et par la relation n N, u n+1 = e u n n. 1. Montrer que u n 0. Exercice En déduire un équivalent simple de (u n ). 1. Montrer que pour tout n N, l équation x + ln x = n admet une unique solution dans R +. On notera u n cette solution. 2. Étudier la limite de u n quand n Montrer que u n n, puis que u n n ln n. Lycée du Parc

66 Chapitre 3 Suites réelles Exercice 3.48 Études Soit (u n ) n 0 définie par u 0 > 0, u 1 > 0 et n 0, u n+2 = u n+1 + u n. 1. Montrer que (u n ) n 0 est bien définie et que n 0, u n > 0. Exercice On suppose que n 0, u n 1. a. Montrer que (u n ) n 1 est croissante. b. Montrer que (u n ) n 0 est convergente. c. Calculer sa limite, et montrer que c est absurde. 3. En déduire qu il existe n 0 tel que n n 0, u n On pose, pour tout n 0, v n = u n 2. Montrer que n n 0, v n (v n+1 + v n ). 5. On définit (w n ) n n0 par w n0 = v n0, w n0 +1 = v n0 +1 et n n 0, w n+2 = 1 3 (w n+1 + w n ). Montrer que n n 0, v n w n. 6. En déduire que u n n 2. Pour n N, on pose S n = n 1 k. k=1 1. a. Montrer que x R 1 +, x+1 ln ( ) x 1 x. On passera par deux études de fonctions. b. En déduire que k N, 1 k+1 ln(k + 1) ln k 1 k. c. Pour n 2, en déduire les encadrement S n 1 ln n S n 1, puis ln n S n 1 + ln n. d. Déterminer la limite et un équivalent simple de S n quand n On définit la suite (v n ) n 1 par n N, v n = S n ln n. a. Montrer que v est décroissante. b. En déduire que v tend vers une limite γ R. Cette limite γ porte le nom de constante d Euler. On a γ 0, Lycée du Parc

67 Chapitre 3 Suites réelles Exercice 3.50 Exercices supplémentaires Déterminer, s ils existent, le minimum, le maximum, la borne inférieure et la borne supérieure de l ensemble { A = ( 1) n + 1 } n n N Exercice 3.51 Pour n 2, on définit u n = n k=2 1. Montrer que v est géométrique. ( π ) cos 2 k 2. En déduire le terme général de u et sa limite. et ( π ) v n = u n sin 2 n Exercice 3.52 Étudier le comportement asymptotique de la suite définie par : u 0 = 0 n N, u n+1 = u n+1 Exercice 3.53 n Soient (u n ) n 1 une suite réelle et n N, v n = 1 n u k. k=1 Montrer que si u est monotone, alors v est monotone, de même monotonie que u. Exercice 3.54 Soit (u n ) n N une suite réelle. On suppose que u est bornée et que la suite (u n+1 u n ) n N est monotone. Montrer que u converge. Exercice 3.55 On considère les suites définies par Exercice Montrer que u converge. 2. Montrer que v converge. 3. En déduire la limite de u. On considère la suite définie par 1. Montrer que u 1. n N, u n = u n +2 (2n!) 4 n (n!) 2 et v n = (n + 1)u 2 n u 0 = a R n N, u n+1 = cos ( u n 2. Déterminer un équivalent simple de u n 1 quand n +. n ) Lycée du Parc

68 Chapitre 3 Suites réelles Exercice 3.57 Exercice Montrer que pour tout n N, on a 2. En déduire la limite et un équivalent simple de n Soit a R + et u définie par Exercice Montrer que u 1. n + 1 n 1 2 n n n 1 k=1 1 k. u 0 = a n N, u n+1 = u n 2. Déterminer un équivalent simple de u n 1 quand n +. Déterminer un équivalent simple de n k=1 1 quand n +. n 2 +k Exercice 3.60 On considère la suite définie par u 0 = 0 n N, u n+1 = n 2 + u n Exercice Montrer que u Déterminer un équivalent simple de u n quand n +. Déterminer le comportement asymptotique de la suite définie par u 1 = a > 0 n N, u n+1 = Exercice 3.62 u n n+u n On considère les suites définies par v 0 > u 0 > 0 n N, u n+1 = u2 n u n +v n et v n+1 = v2 n u n +v n Déterminer le comportement asymptotique de u et de v. On pourra considérer la suite (v n u n ) n N. Lycée du Parc

69 CHAPITRE 4 FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE On appelle fonction numérique une application définie sur une partie D de R, à valeurs dans R. 1 Bornes d une fonction Définition 4.1 Soient D R et f : D R. f est dite majorée si M R x D, f (x) M ; minorée si m R x D, m f (x) ; bornée si m, M R x D, m f (x) M. s Attention, m et M doivent être des constantes (c est-à-dire qu ils ne peuvent pas dépendre de x). f est bornée ssi f est majorée. Si A D, on dira que f est majorée sur A pour dire que f A est majorée (i.e. que M R x A, f (x) M). De manière plus générale, on dira «f vérifie une propriété P sur A» pour «f A vérifie la propriété P». Définition 4.2 Soient D R et f : D R. Si f est majorée, on appelle borne supérieure de f (sur D), et l on note sup D f, la borne supérieure de l ensemble { f (x), x D}. Si f est minorée, on appelle borne inférieure de f (sur D), et l on note inf f, la borne inférieure de l ensemble { f (x), x D}. Ces bornes existent d après la propriété de la borne supérieure. Définition 4.3 Soient D R et f : D R. Si { f (x), x D} admet un maximum M, on dit que M est le maximum de f (sur D) et l on note M = max D f. Si { f (x), x D} admet un minimum m, on dit que m est le minimum de f (sur D) et l on note m = min D f. D Lycée du Parc

70 Chapitre 4 Fonctions d une variable réelle Exemple 4.1 Soit f : R R x (x 1) 2. f n est pas majorée, donc n a pas de borne supérieure. On a inf f = 0, et comme cette borne inférieure est atteinte (en 1), on a en fait min f = 0. R On peut aussi s intéresser aux bornes sur [0, 3[. On a inf f = min [0,3] [0,3[ contre pas de maximum sur cet intervalle (elle n atteint pas sa borne supérieure). R f = 0 et sup f = 4. f n a par [0,3[ 2 Limites d une fonction 2.1 Définitions Définition 4.4 Soient D R, f : D R et x 0 et l deux réels. On dit que : f tend vers l en x 0 si f tend vers + en x 0 si f tend vers en x 0 si ε > 0 α > 0 x D, x x 0 α f (x) l ε A R α > 0 x D, x x 0 α f (x) A A R α > 0 x D, x x 0 α f (x) A f tend vers l en + si f tend vers + en + si ε > 0 B R x D, x B f (x) l ε A R B R x D, x B f (x) A f tend vers en + si A R B R x D, x B f (x) A f tend vers l en si f tend vers + en si ε > 0 B R x D, x B f (x) l ε A R B R x D, x B f (x) A f tend vers en si A R B R x D, x B f (x) A On note f x0 l, f +,... suivant les cas. s Oui, vous êtes censés connaître ces définitions... La propriété suivante permet cependant de les unifier. On peut utiliser des variantes de ces notations avec variables muettes : par exemple, f (x) + est x x0 synonyme de f (w) + et de f +. w x0 x0 Lycée du Parc

71 Chapitre 4 Fonctions d une variable réelle Contrairement aux suites, on ne peut bien sûr pas omettre le point en lequel on étudie la limite : f 3 n a aucun sens puisque l on ne sait pas s il s agit d une limite en +, en 0, en 2,... Proposition 4.5 Soient D R, f : D R et x 0, l R. f x0 l ssi pour tout voisinage U de l, il existe un voisinage V de x 0 tel que f (D V) U. Proposition 4.6 Caractère local de la limite Soient D R, f : D R, x 0, l R et V un voisinage de x 0. On a f x0 l ssi f D V x0 l. Définition 4.7 Soit D R et x 0 R. On dit que x 0 est adhérent à D si tout voisinage de x 0 rencontre D (i.e. est d intersection non-vide avec D). s Si x 0 D, alors x 0 est adhérent à D. Si D est de la forme ]a, x 0 [ ou ]x 0, b[ (ou contient un intervalle de cette forme), alors x 0 est adhérent à D. C est une notion théorique importante mais nous n en ferons qu un usage très limité : elle nous permet de caractériser les points en lesquels il est pertinent d étudier les limites d une fonction. Si par exemple une fonction est définie sur D =]1, + [, on peut vouloir étudier sa limite éventuelle en 1, en 7 ou en + (qui sont tous adhérents à D) mais pas en 0 ou (qui ne sont pas adhérents à D). Théorème 4.8 Unicité de la limite Soient D R, f : D R et x 0, l, l R. On suppose que x 0 est adhérent à D. Si f x0 l et f x0 l, alors l = l. On peut alors parler de la limite de f en x 0, que l on notera lim x0 f ou lim x x0 f (x). Définition 4.9 Soient D R, f : D R, x 0 R et l R. On dit que f tend vers l en x 0 à gauche si f D ],x0 [ x0 l On note alors f l ou f l ou lim f = l. x x0 0 x < 0 On dit que f tend vers l en x 0 à droite si f D ]x0,+ [ x0 l On note alors f x + 0 l ou f x0 > l ou lim x + 0 f = l. Lycée du Parc

72 Chapitre 4 Fonctions d une variable réelle On dit que f tend vers l en x 0 par valeurs distinctes si f D\{x0 } x0 l On note alors f x 0 l ou f x0 l ou lim x 0 f = l. On peut aussi donner des définitions directes (sans passer par la restriction de f ). Par exemple, f x 0 3 ssi ε > 0 α > 0 x D, x 0 α x < x 0 f (x) 3 ε. Proposition 4.10 Soient D R, f : D R, x 0 R et l R. Si f l, alors f l, f l et f l. x0 x 0 x + 0 x 0 ( f l et f l ) f l. x 0 x + 0 x 0 Si x 0 D et f l, alors l = f (x 0 ). x0 Si x 0 D et f x 0 f (x 0 ), alors f x0 f (x 0 ). s Attention aux réciproques fausses. En particulier, on peut très bien avoir f x 0 l et f x + 0 l sans pour autant que f ne tende vers l en x 0 (cf exemple 4.2). Les contraposées de ces propositions sont souvent utiles. En particulier, si f admet des limites différentes à gauche et à droite en x 0, alors f ne peut pas avoir de limite en x 0. Exemple si x 2 Soient f : R R x x et g : R R x 1 si x = 2 1. Soit x 0 Z. Que peut-on dire de lim f, lim f, lim f, lim f (existence et, le cas échéant, valeur)? x 0 x + 0 x x0 0 Que dire si x 0 R \ Z? 2. g a-t-elle une limite en 2 à gauche? à droite? par valeur distinctes? tout court? 2.2 Opérations sur les limites Proposition 4.11 Soient D R, f, g : D R, λ R et l, l R. Si f x0 l et g x0 l, alors : λ f x0 λl ; si l + l est défini, alors f + g x0 l + l ; si ll est défini, alors f g x0 ll. Proposition 4.12 Soient A, D R, f : D R, g : A D et x 0, x 1, l R. Si g x0 x 1 et f x1 l, alors f g x0 l. Lycée du Parc

73 Chapitre 4 Fonctions d une variable réelle s On peut ainsi obtenir la limite d un quotient (en composant avec la fonction inverse). On utilise souvent cette propriété sans expliciter la fonction f (en faisant un «changement de variable»). Se référer entre autres aux exercices 4.3 et 4.7. Ce théorème peut aussi être utilisé avec les limites à gauche, à droite ou par valeurs distinctes. Exercice 4.3 Étudier les limites à gauche et à droite en 1 de x 1 x 2 4x+3 et x x2 3x+2 x 2 4x Propriétés liées à l ordre Théorème 4.13 Passage à la limite Soient D R, f, g : D R et x 0, l, l R. On suppose que x 0 est adhérent à D. Si f g, f x0 l et g x0 l, alors l l. s Attention, pour utiliser cette propriété, il faut déjà savoir que f et g ont une limite en x 0. On prend souvent l une des deux fonctions égale à une constante. On rappelle que f g signifie x D, f (x) g(x). Exercice 4.4 Soit f : R R x 1. Déterminer sup f. 1+x 2 R Théorème 4.14 Limite par comparaison Soient D R, f, g : D R et x 0 R. Si f g et g x0, alors f x0. Si f g et f x0 +, alors g x0 + Théorème 4.15 Limite par encadrement (dit «des gendarmes») Soient D R, f, g, h : D R, x 0 R et l R. Si f g h, f x0 l et h x0 l, alors g x0 l. s Un corollaire immédiat et utile : si f x0 l, que ϕ x0 0 et que f g ϕ, alors g x0 l. Étant donné le caractère local de la limite (propriété 4.6), ces trois théorèmes restent valables si l on a seulement f g au voisinage de x 0. Exercice Étudier les limites quand x + de x et de x 2 + x cos x. 2. Étudier les limites quand x 0 de x cos ( ) 1 x et de x 1 x. Lycée du Parc

74 Chapitre 4 Fonctions d une variable réelle Théorème 4.16 Limite monotone Soient a, b R et f :]a, b[ R. Si f est monotone, alors f admet des limites (finies ou infinies) en a et en b. Si f est croissante : si f est minorée, alors lim f = inf f R, sinon lim f = ; a ]a,b[ a si f est majorée, alors lim f = sup f R, sinon lim f = +. b ]a,b[ b On a alors x ]a, b[, lim f f (x) lim f (et les inégalités sont strictes si f est strictement croissante). a b Si f est décroissante : si f est minorée, alors lim f = inf f R, sinon lim f = ; b ]a,b[ b si f est majorée, alors lim f = sup f R, sinon lim f = +. a ]a,b[ a On a alors x ]a, b[, lim f f (x) lim f (et les inégalités sont strictes si f est strictement décrois- b a sante). s On en déduit que si f est monotone sur ]a, b[ elle admet des limites à gauche et à droite en tout point de ]a, b[. Contrairement à son homologue pour les suites, ce théorème est rarement utilisé directement (car on dispose de mieux pour les fonctions continues). 2.4 Lien avec les limites de suites Théorème 4.17 Caractérisation séquentielle de la limite Soient D R, f : D R et x 0, l R. On a f l ssi pour toute suite u telle que u x 0, f (u n ) l. x0 n + La condition suffisante ne nous servira que rarement (voire jamais). La condition nécessaire est utilisée de deux manières : pour déterminer des limites de suites définies par leur terme général (ce que nous avons déjà fait dans le chapitre sur les suites) et pour montrer qu une fonction n a pas de limite. Exercice 4.6 Soient f : R R x sin x et g : R + R x sin ( 1 x). Montrer que f n a pas de limite en + et que g n a pas de limite en Limites de référence Les limites de référence de terminale pour les fonction usuelles (carré, inverse, ln, exp,...) sont admises et supposées connues. Proposition 4.18 Si α R et β > 0, on a Si α R et a > 1, on a xα a x (ln x)α x β 0. x + 0. x + Si α > 0 et β R, on a x α ln x β x Lycée du Parc

75 Chapitre 4 Fonctions d une variable réelle Exercice 4.7 Étudier les limites suivantes. x 1. e x quand x x 4 x ln x quand x x x quand x 0 à droite. 3 Comparaison de fonctions 3.1 Fonction négligeable devant une autre 3.1.a Définition 4.19 Définitions et notations Soient D R, f, g : D R et x 0 R. On dit que f est négligeable devant g en x 0 s il existe un voisinage V de x 0 et une fonction ε : V R telle que x D V, f (x) = ε(x)g(x) et ε(x) x x0 0 On note alors f = o x0 (g), ou de manière équivalente f (x) = o x x0 (g) s Dire qu une fonction est négligeable devant une autre n a aucun sens si l on ne précise pas au voisinage de quel point on se place (cf exemple 4.8). Comme pour les limites, on peut parler de négligeabilité en x 0 à gauche ou à droite. Proposition 4.20 Soient D R, f, g : D R et x 0 R. Si g ne s annule pas au voisinage de x 0 alors Si g s annule uniquement en x 0, alors. f = o x0 (g) f g x 0 0 f = o x0 (g) f g x 0 0 et f (x 0 ) = 0 s Ce cas particulier est de loin le plus important. En pratique, pour montrer que f = o x0 (g), on montre que le quotient f (x) g(x) tend vers 0 quand x tend vers x 0. Dans le deuxième point, la condition f (x 0 ) = 0 n est pas nécessaire dès lors que f et g sont continues en x 0. En particulier, f = o x0 (1) si et seulement si f 0. x0 Exemple 4.8 Soit f : R R x x 2 et g : R R x x 3. On a g = o 0 ( f ), mais f = o + (g). 3.1.b Comparaisons usuelles On peut reformuler une grande partie des limites remarquables en termes de négligeabilité. Lycée du Parc

76 Chapitre 4 Fonctions d une variable réelle Proposition 4.21 Si α R et β > 0, on a (ln x) α = o x + (x β ). Si α et β sont deux réels tels que α < β, on a x α = o x + (x β ). Si α R et b > 1, on a x α = o x + (b x ). Proposition 4.22 Si α et β sont deux réels tels que α < β, on a x β = o x 0 (x α ) Si α R et β > 0, on a ln x α = o x 0 ( 1 x β ). 3.1.c Proposition 4.23 Opérations sur les fonctions négligeables Soient f, g, h, f 1, g 1, f 2, g 2 des fonctions numériques et x 0 R. Si f = o x0 (g) et si g = o x0 (h), alors f = o x0 (h) (transitivité). Si f 1 = o x0 (g) et si f 2 = o x0 (g), alors f 1 + f 2 = o x0 (g). Si f = o x0 (g) et si λ R, alors λ f = o x0 (g). Si f = o x0 (g), on a f h = o x0 (gh). Si f 1 = o x0 (g 1 ) et si f 2 = o x0 (g 2 ), alors f 1 f 2 = o x0 (g 1 g 2 ). Ces propriétés ont déjà été vues dans le cas des suites. Proposition 4.24 Soient D, D R, f, g : D R et u : D D. Soient x 0 et x 1 dans R. Si u(x) x 1 et si f (X) = o X x1 (g(x)), alors f (u(x)) = o x x0 (g(u(x))). x x0 s C est une nouvelle variation sur le thème de la composition de limites. On peut reformuler la propriété de manière plus concise sans variables muettes : si f = o x1 (g) et si u x 1, alors f u = o x0 (g u). x0 En pratique, comme pour les limites, on utilise souvent cette propriété en «changeant de variable» plutôt qu en posant explicitement une fonction u. Exemple 4.9 On souhaite comparer ln ( ) 1 (x 1) et (x 1) pour x au voisinage de 1 à droite. On remarque qu alors ln ( ) 1 (x 1) = 2 ln(x 1) = 2 ln(x) et (x 1) = 1 en posant X = x 1. Or, quand x 1, X 0 et l on sait que ln(x) = o X 0 ( 1 X 1 2 ) X 1 2 car 1 2 > 0. On en déduit que ln ( 1 (x 1) 2 ) = ox 1 ( (x 1) 1 2 ). On note très souvent f = g + o x0 (h) pour f g = o x0 (h). Il faut faire très attention quand on manipule ce genre d «égalités» (qui n en sont pas) et ne pas hésiter à revenir aux définitions dans le doute. Exercice Montrer que (2x + 1) 2 + x ln x = 4x 2 + o x + (x 2 ). 2. Montrer que ( 1 x + ln x) (x + 2x 2 ) = 1 + o x 0 ( x). Lycée du Parc

77 Chapitre 4 Fonctions d une variable réelle 3.2 Fonctions équivalentes 3.2.a Définition 4.25 Définitions et propriétés Soient D R, x 0 R et f, g : D R. On dit que f est équivalente à g au voisinage de x 0 s il existe un voisinage V de x 0 et une fonction ε : V R telle que x D V, f (x) = (1 + ε(x))g(x) et ε(x) x x0 0 On note alors f x0 g, ou de manière équivalente f (x) g(x) x x0 On peut, de manière équivalente, remplacer dans la définition 1 + ε(x) par α(x) avec α(x) x x0 1. Proposition 4.26 Soient f et g deux fonctions numériques et x 0 R. f g si et seulement si g f (réflexivité) x0 x0 «f équivaut à g en x 0» est donc synonyme de «g équivaut à f en x 0» ; on dira plus simplement que f et g sont équivalentes en x 0. Proposition 4.27 Soient f et g deux fonctions numériques et x 0 R. Si g ne s annule pas au voisinage de x 0, alors f x0 g si et seulement si f g x 0 1. Si g s annule uniquement en x 0, alors f x0 g si et seulement si f g x 0 1 et f (x 0 ) = 0. Ce cas particulier est de loin le plus important : comme pour les petit-o, c est souvent l étude du quotient qui permet de montrer un équivalent. Proposition 4.28 Soient f et g deux fonctions numériques et x 0, l R. Si f x0 l R et si f x0 g, alors g x0 l Si f x0 l R, alors f x0 g si et seulement si g x0 l. s En particulier, f x0 l R si et seulement si f x0 l. La notion d équivalent généralise donc en quelque sorte celle de limite. Dans le cas des limites finies non nulle, elle n apporte rien de nouveau, mais pour des fonctions tendant vers une limite nulle ou infinie, elle apporte des informations supplémentaires sur la «vitesse» à laquelle la fonction se rapproche de sa limite. Lycée du Parc

78 Chapitre 4 Fonctions d une variable réelle Proposition 4.29 f x0 g si et seulement si f g = o x0 (g) 3.2.b Proposition 4.30 Opérations sur les équivalents Soient f, f 1, f 2, g, g 1, g 2, h des fonctions numériques et x 0 R. Si f x0 g et si g x0 h, alors f x0 h Si f 1 x0 g 1 et si f 2 x0 g 2, alors f 1 f 2 x0 g 1 g 2 Si f x0 g et si n N, alors f n x0 g n Si f x0 g et si f ne s annule pas au voisinage de x 0, alors 1 f x0 1 g. Si f x0 g, si α R et si f et g sont strictement positives au voisinage de x 0, alors f α x0 g α. Si f = o x0 (g), alors g x0 f + g. Proposition 4.31 Soient D, D R, f, g : D R, u : D D et x 0, x 1 R. Si u(x) x 1 et si f (X) g(x), alors f (u(x)) g(u(x)). x x0 X x1 x x0 s Ces règles font des équivalents un outil puissant pour calculer des limites. Cependant, il faut absolument retenir deux choses : on ne peut pas additionner des équivalents, et on ne peut pas composer des équivalents. Quand on a besoin de ce type d opération, on est obligé de revenir à la définition (et rien ne garantit que cela marche). On retiendra que dans une somme de fonctions, si l une est telle que chacune des autres est négligeable devant elle, alors la somme tout entière lui est équivalente. En particulier, en et +, un polynôme est équivalent à son terme de plus haut degré. Exemple 4.11 Exercice On a x x + x + ln x et x + 1 x + à x + ln x x(= ln x). x, et pourtant x x + 1(= 1) n est pas équivalent quand x + 2. On a x x + x + 1 et pourtant ex n est pas équivalent quand x + à e x+1. Montrer que si f x0 + et si f x0 g, alors ln f x0 ln g. Exemple 4.13 On souhaite calculer la limite en + de (x 1)3 9x 2 +x+2. En commençant par chercher des équivalents x 2 (2x 2 +x ln x) simples des différents facteurs, on réduit très significativement la complexité du calcul. Exercice 4.14 Donner des équivalents simples des expressions suivantes : Lycée du Parc

79 Chapitre 4 Fonctions d une variable réelle 1. x 2 + ln x x e x quand x + 2. x x quand x + 3. x + 1 x quand x x 3 ln x quand x 0, x > 0 5. x 2 + x ln x + x quand x 0, x > 0 6. x quand x c Équivalents usuels On a reformulé un certain nombre de limites usuelles avec des petit-o ; les autres peuvent s énoncer en terme d équivalents. Proposition 4.32 ln(1 + x) x x 0 e x 1 x x 0 Si α 0, (1 + x) α 1 αx x 0 sin x x x cos x x 0 2 x2 De manière plus générale, on a f (x) f (x 0 ) x x0 f (x 0 )(x x 0 ) si f est dérivable en x 0 avec f (x 0 ) 0. Cette propriété est aisée à montrer à partir des définitions, et sera revue lors du chapitre sur la dérivation. Exemple 4.15 Donner un équivalent simple de : 1. ln(x + 1) ln x quand x + ; 2. ln(cos x) quand x e sin(1/x) 1 quand x +. 4 Continuité 4.1 Continuité en un point Définition 4.33 Soient D R, f : D R et x 0 D. f est dite continue en x 0 si f x0 f (x 0 ). s Pour qu une fonction soit continue en un point, il faut déjà qu elle y soit définie. Si x 0 D et f l R, alors on a nécessairement f (x 0 ) = l et f continue en x 0. Attention, c est faux si x0 x 0 D, si l R ou si l on a seulement f l. x 0 La continuité est une propriété locale : on peut remplacer f par f V, où V est un voisinage de x 0. Définition 4.34 Soient D R, f : D R et x 0 D. f est dite continue à gauche en x 0 si f x 0 f (x 0 ). f est dite continue à droite en x 0 si f x + 0 f (x 0 ). Lycée du Parc

80 Chapitre 4 Fonctions d une variable réelle f est continue à gauche en x 0 D ssi f ],x0 ] est continue en x 0. Proposition 4.35 Soient D R, f : D R et x 0 D. f est continue en x 0 ssi elle est continue à gauche et à droite en x 0. Exemple 4.16 Soit f : R R x x. f est continue en tout point de R \ Z. En un point de Z, elle est continue à droite mais pas à gauche. Proposition 4.36 Soient D R, f, g : D R, D R tel que f (D) D, ϕ : D R, x 0 D et λ R. Si f et g sont continues en x 0, alors λ f + g aussi. Si f et g sont continues en x 0, alors f g aussi. Si f est continue en x 0 et ϕ est continue en f (x 0 ), alors ϕ f est continue en x 0. SI f est continue en x 0 et si f (x 0 ) 0, alors 1 f est continue en x 0. Le dernier point est un cas particulier de l avant-dernier, en prenant pour ϕ la fonction inverse qui est continue en tout point de R. Définition 4.37 Soient D R, f : D R et x 0 D, adhérent à D. On dit que f est prolongeable par continuité en x 0 si f admet une limite finie en x 0. Dans ce cas, l application f : D {x 0 } R f (x) si x D x lim f si x = x 0 x0 est continue en x 0 et est appelée prolongement par continuité de f en x 0. Exercice 4.17 Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables par continuité en 0? 1. f 1 : R R x sin x 2. f 2 : R R x 3. f 3 : R R x x cos x 1 x 2 1 cos x x 4. f 4 : R R x xe 1 x 5. f 5 : R R x xe 1 x Attention, si une fonction est définie en x 0, elle ne saurait y être prolongeable par continuité. Par exemple, x ln x si x > 0 aucune des deux fonctions f : R + R x 0 si x = 0 et g : R x ln x si x > 0 + R x 3 si x = 0 n est prolongeable par continuité en 0, puisqu elles sont déjà définies en 0. En l occurrence, f est continue en 0 alors que g ne l est pas. Lycée du Parc

81 Chapitre 4 Fonctions d une variable réelle 4.2 Fonctions continues Définition 4.38 Soit D R. Une fonction f : D R est dite continue si elle est continue en chaque point de D. On note C(D) l ensemble des fonctions continues de D dans R : C(D) = { f : D R, f continue} Si D, D R, on notera parfois C(D, D ) = { f : D D, f continue }. Proposition 4.39 Soient D R, f, g : D R, λ R, D R tel que f (D) D et ϕ : D R. Si f, g et ϕ sont continues, alors λ f + g est continue ; f g est continue (sur D) ; si g ne s annule pas, f g est continue ; ϕ f est continue. Proposition 4.40 Les fonctions élémentaires (polynômes, sin, cos, tan, ln, exp,, n ) sont continues. Il en est de même des fonctions obtenues par somme, produit et composition de fonctions élémentaires. Définition 4.41 Soient D R et f : D R. Si I est un intervalle inclus dans D, on dira que f est continue sur I si f I est continue. Proposition 4.42 Soient D R, f : D R et [a, b] D. f est continue sur [a, b] ssi f est continue en tout point de ]a, b[ ; f est continue à droite en a ; f est continue à gauche en b. f peut donc être continue sur [a, b] sans être continue en tout point de [a, b]. Exemple 4.18 La fonction partie entière est continue sur [ 0, 1 2] (et également sur [0, 1[), alors qu elle n est pas continue en 0. En revanche, elle n est pas continue sur [0, 1]. Exercice 4.19 ax si x 2 Soit a R et f : R R x x 2 ax si x > 2 Montrer que f est continue sur ], 2] et sur ]2, + [ et déterminer a pour que f soit continue sur R. Lycée du Parc

82 Chapitre 4 Fonctions d une variable réelle 4.3 Théorèmes fondamentaux Théorème 4.43 Théorème des valeurs intermédiaires Soient a, b R, a < b et f : [a, b] R continue. Si f (a) f (b) (respectivement si f (b) f (a)), alors pour tout y de [ f (a), f (b)] (resp. de [ f (b), f (a)]), il existe x dans [a, b] tel que f (x) = y. Deux formulations alternatives de ce théorème (toujours sous les hypothèses a < b, f : [a, b] R continue) : si f (a) f (b) (resp. f (b) f (a)), alors [ f (a), f (b)] f ([a, b]) (resp. [ f (b), f (a)] f ([a, b])). tout élément de [ f (a), f (b)] (resp. [ f (b), f (a)]) a au moins un antécédent par f dans [a, b]. Proposition 4.44 Soient I un intervalle de R et f C(I). f (I) est un intervalle. Autrement dit, l image d un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Exercice 4.20 Soit f : R R telle que f admette des limites l et l en et + avec ll < 0. Montrer que f s annule sur R. Exercice 4.21 Montrer que l équation x = cos x admet au moins une solution dans R. Théorème 4.45 Soient a, b R, a < b et I un intervalle d extrémités a et b. Soit f : I R continue. Si f est strictement croissante : si I = [a, b], f (I) = [ f (a), f (b)] ; si I = [a, b[, f (I) = [ f (a), lim b f [ ; si I =]a, b], f (I) =] lim a f, f (b)] ; si I =]a, b[, f (I) =] lim a f, lim b f [ ; Si f est strictement décroissante : si I = [a, b], f (I) = [ f (b), f (a)] ; si I = [a, b[, f (I) =] lim b f, f (a)] ; si I =]a, b], f (I) = [ f (b), lim a f [ ; si I =]a, b[, f (I) =] lim b f, lim a f [ ; s Tout cela est assez naturel si l on pense au tableau de variations de f. Par convention, dans un tableau de variations, une flèche ascendante signifie que f est continue et strictement croissante sur l intervalle correspondant (je vous laisse deviner ce à quoi correspond une flèche descendante). Proposition 4.46 Soient a, b R, a < b et f : [a, b] R continue. Si f (a) f (b) 0, alors f s annule sur [a, b]. Lycée du Parc

83 Chapitre 4 Fonctions d une variable réelle s Autrement dit, si une fonction continue a changé de signe entre a et b, alors elle a pris la valeur 0 au moins une fois entre a et b. Si f (a) f (b) < 0, alors f s annule sur ]a, b[ (nécessairement, puisqu elle ne s annule ni en a ni en b). Il faut retenir que la traduction «algébrique» de «x et y sont de signe contraire» est «xy 0». Exercice 4.22 Soit f : [0, 1] [0, 1] continue. Montrer que f a un point fixe. Théorème 4.47 Soient a, b R et f : [a, b] R continue. f est bornée et atteint ses bornes. s Un intervalle de la forme [a, b] (fermé et borné) est appelé segment. On retiendra qu une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes. On a alors f ([a, b]) = Exercice 4.23 [ min f, max f [a,b] [a,b] ]. Soit f : [0, 1] R + continue. 1. Montrer que f et 1 f sont bornées. 2. Donner un contre-exemple si f : ]0, 1[ R + (i.e. trouver dans ce cas f telle que ni f ni 1 f ne soit bornée). Théorème 4.48 Théorème de la bijection monotone Soient I un intervalle et f : I R. Si f est continue et strictement monotone, alors : f réalise une bijection de I sur f (I) sa bijection réciproque f 1 est continue, strictement monotone, de même monotonie que f. s «f réalise une bijection de I sur f (I)» signifie que l application f : I f (I) x f (x) est bijective. Sauf si f (I) se trouve être égal à R, f n a par contre aucune raison d être bijective. En pratique, on n utilisera pas de notation du type f mais l on prendra garde à préciser f bijective de tel intervalle sur tel autre intervalle. Le seul point réellement nouveau de ce théorème est la continuité de f 1, qui n a rien d évident. Il est aisé de déterminer f (I) en utilisant le théorème 4.45 ( f (I) est un intervalle de même nature que I, ses bornes sont les limites de f aux bornes de I). On peut résumer toutes les informations données par le théorème en dressant le tableau de variation de f 1 (avec limites aux bornes). Exercice 4.24 Soit f : R R x x 4 x. Montrer que f réalise une bijection de R sur un intervalle I que l on précisera et déterminer la limite ainsi qu un équivalent de f 1 en +. Lycée du Parc

84 Chapitre 4 Fonctions d une variable réelle Exercice 4.25 Étudier les limites suivantes. Travaux dirigés 1. x x 1 x quand x xe 1 x x quand x ( ) x+2 2x x quand x +. sin(3x) 1 2 cos x quand x π 3. Exercice 4.26 Déterminer des équivalents simples en 0 et en + des fonctions définies par : Exercice f : R + R x x+1 x 2 +2x 2. g : R + R x x + x 3. h : R + R x x ln x Déterminer les limites suivantes à l aide d équivalents. ( 1. lim x x2 + x + 1 ) x + ( 2. lim x + x2 + x + 1 ) x tan (x x cos x) 3. lim x 0 sin ( x + cos x ( 1 )) 4. lim ( tan 2x + tan x + π x π 4 sin 2 π 4 x) 4 4 x x 5. lim x x x x 6. lim x + ( x2 + 3x + 1 x 2 + x ) 4. u : R + R x ln x + (ln x) 2 5. v : R R x e x + sin x 6. w : R + R x x + 1 x 7. lim x π 3 tan x tan ( x π cos x 8. lim (cos x) 1 x 2 x 0 ln ( sin 2 x ) 9. lim x π ( 2 π 2 x) 2 ( ( πx )) x lim sin x + 2x + 1 ) Exercice 4.28 Étudier le domaine de définition et la continuité des fonctions suivantes : Exercice f : x x + x x 2. g : x x + x x. Soient f, g : R R + et x 0 R. On suppose que f x0 g et que f x0 l R. Exercice Montrer que l R + {+ }. 2. Montrer que si l R + \ {1}, alors ln( f ) x0 ln(g). 3. Montrer que si l = 0 ou l = +, alors ln( f ) x0 ln(g). 4. Que dire si l = 1? Soit f : [0, 1] R continue telle que f (0) = f (1). Montrer que x [ 0, 1 2], f ( x + 1 2) = f (x). Lycée du Parc

85 Chapitre 4 Fonctions d une variable réelle Exercice 4.31 Soit f : R + R x x e x Dresser le tableau de variation de f et tracer l allure de la courbe de f dans un repère orthonormé. 2. a. Montrer que f réalise une bijection de R + sur un intervalle I que l on précisera. b. Dresser le tableau de variation de f a. Montrer que, pour tout entier n 2, l équation f (x) = n admet une unique solution dans R +. On notera cette solution x n. b. Construire les valeurs de x 2, x 3 et x 4 sur le graphique du 1. c. Déterminer la limite de la suite (x n ) n 2. d. Montrer que e x n n. n + e. En déduire x n ln n. n + Exercice 4.32 Pour tout n N, on pose : f n : R R x x n + x 1 Exercice Pour n N, Étudier f n sur [0, 1]. 2. En déduire que pour tout n N, il existe un unique x n [0, 1] tel que f n (x n ) = Montrer que (x n ) n N est croissante. 4. En déduire que (x n ) n N converge et calculer sa limite. Soit f : R R telle que x R, f (2x) = f (x). 1. Montrer que si f est continue en 0, alors f est constante sur R. Exercice Montrer que ce n est pas nécessairement vrai si f n est pas supposée continue en 0. Soit f : R R continue telle que x R, f (x + 1) = f (x) Montrer que toute fonction continue et périodique sur R est bornée. 2. En déduire la limite quand x + de f (x) x. On pourra s intéresser à g : x f (x) x. Lycée du Parc

86 Chapitre 4 Fonctions d une variable réelle Exercice 4.35 On considère l équation Études x 2 x ln x = 2 (E) Résolution approchée d une équation d inconnue x R + que l on souhaite résoudre numériquement (c est-à-dire de manière approchée). Partie 1 On considère la fonction 1. Montrer que f est continue sur R Déterminer un équivalent simple de f en +. f : R + R x 2 x ln x 2 si x > 0 x 2 si x = 0 3. Dresser le tableau de variation de f en précisant la limite en Justifier que f réalise une bijection de R + sur un intervalle que l on précisera. 5. En déduire que (E) a une unique solution α et justifier que α [ 3 2, 2]. On donne ln 2 0,69 et ln 3 1,10. Partie 2 On considère la fonction g : R + R x 2 x + ln x. 1. Montrer que α est l unique solution de l équation g(x) = x (d inconnue x R +). 2. Dresser le tableau de variation de g en précisant les limites aux bornes. 3. On pose I = [ 3 2, 2]. a. Montrer que I est stable par g (i.e. que si x I, alors g(x) I). b. Montrer que x I, g (x) 2 9. On admettra que l on peut en déduire : x, y I, g(x) g(y) 2 x y. 9 Partie 3 On définit la suite (u n ) n N par u 0 = 3 2 n N, u n+1 = g(u n ) 1. Montrer que u est bien définie et que n N, u n I. 2. Écrire une fonction Scilab prenant en entrée un entier n et renvoyant la valeur de u n. 3. Montrer que n N, u n+1 α 2 9 u n α. 4. En déduire à l aide d une récurrence que n N, u n α ( 2 n. 9) 5. Montrer alors que u converge vers α. 6. Soit ε > 0. À partir de quelle valeur de n peut-on garantir que u n α ε? 7. En déduire une fonction Scilab prenant en entrée un réel e > 0 et renvoyant une valeur approchée de α à e près. À l aide de cette fonction (ou d une méthode similaire utilisant votre calculatrice), donner une valeur approchée de α à 10 6 près. Lycée du Parc

87 Chapitre 4 Fonctions d une variable réelle Exercice 4.36 On appelle F l ensemble des fonctions continues f de R dans R satisfaisant Un exemple d équation fonctionnelle x, y R, f (x + y) f (x y) = [ f (x) f (y) ] 2 (R 1 ) et G l ensemble des fonctions continues g de R dans R satisfaisant x, y R, g(x + y) + g(x y) = 2 [ g(x) + g(y) ] (R 2 ) Partie 1 1. On considère ϕ : R R x exp ( x 2). Montrer que ϕ F. 2. On considère ψ : R R x x 2. Montrer que ψ G. Partie 2 Soit f un élément de F. 1. a. En utilisant (R 1 ) avec des valeurs bien choisies de x et de y, montrer que f (0) { 1; 0; 1}. b. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes : (1) f (0) = 0 ; (2) f est l application nulle. 2. a. Justifier que x R, f (2x) f (0) = f (x) 4. ( ( a )) b. Soit a R. En considérant la suite f 2 n 3. En considérant le cas x = 0 dans (R 1 ), déterminer la parité de f. n 0, montrer que si f (a) = 0, alors f (0) = Montrer que si f n est pas l application nulle, alors on a soit f (R) R +, soit f (R) R. Partie 3 Soit g un élément de G. 1. Montrer que g(0) = Montrer que g est paire. 3. Soit x R. a. Montrer que pour n N, on a g(nx) = n 2 g(x). b. En déduire pour n N une expression de g ( x n) en fonction de n et de g(x). c. Montrer alors que p Z q N, g ( p q x) = p2 q 2 g(x). d. On admet que tout réel est limite d une suite de rationnels. Soient alors α R et (α n ) n N une suite de rationnels convergeant vers α. Déduire des questions précédentes une relation entre g(αx) et g(x). 4. Montrer finalement qu il existe une constante réelle λ telle que α R, g(α) = λα Déterminer l ensemble G. Partie 4 1. Montrer que si g G, alors exp g F. 2. Montrer que si f F et que f n est pas la fonction nulle, alors il existe g G telle que x R, f (x) = e g(x). 3. En déduire l ensemble F. Lycée du Parc

88 Chapitre 4 Fonctions d une variable réelle Exercice 4.37 Exercices supplémentaires Pour n N, on définit f n : R + R x 1 + n k=1 xk. 1. Montrer que pour tout n N, il existe un unique x n [0, 1] vérifiant f n (x n ) = 0. On définit ainsi une suite (x n ) n 1. Exercice Étudier le comportement asymptotique de (x n ). On commencera par s intéresser au sens de variation de (x n ). Soient a, b R et f : R R x x + ax + b. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur a et b pour que f soit bijective. Exercice 4.39 Soit f : R R x x + x x. Montrer que f est bien définie, continue, bijective et déterminer f 1. Exercice 4.40 Soient f, g C 0 (R) telles que : f = g ; f ne s annule pas. Montrer que f = g ou f = g. Si cela vous semble évident, c est que vous n avez pas compris l enjeu. Dans ce cas, essayez de trouver un contre-exemple si l on enlève l une ou l autre des hypothèses. Exercice 4.41 Soient f, g : [0, 1] R, continues, telles que f (0) = g(1) = 0 f (1) = g(0) = 1 x ]0, 1[, f (x) > 0 et g(x) > 0 Montrer que λ R +, x 0 [0, 1], f (x 0 ) = λg(x 0 ). Exercice 4.42 Soit I un segment non réduit à un point de R et f, g C 0 (I) telles que x I, f (g) > g(x). 1. Montrer que m > 0, x I, f (x) g(x) + m. Exercice Montrer que cela n est pas nécessairement vrai si l on ne suppose plus que I est un segment. On donnera un contre-exemple dans le cas où I = R et un autre pour I = ]0, 1[. Soit f : R R continue et décroissante. Montrer que f admet (au moins) un point fixe sur R. Exercice 4.44 Soient a, b R avec a < b et f :]a, b[ R x 1 1. Montrer que f est bijective. x a + 1 x b. Lycée du Parc

89 Chapitre 4 Fonctions d une variable réelle Exercice Déterminer f 1 dans le cas a = 1 et b = 1. Un randonneur parcourt vingt kilomètres en quatre heures. Montrer que l on peut trouver une période d une heure durant laquelle il a parcouru exactement cinq kilomètres. Exercice 4.46 Soit f : [0, 1] [0, 1] continue. 1. Montrer que n N, a n [0, 1], f (a n ) = a n n. Exercice Montrer que si f est décroissante, alors n N,!a n [0, 1], f (a n ) = a n n. On considère Montrer que f est bijective et déterminer f 1. f : R R x ex +1 e x 1 Lycée du Parc

90 CHAPITRE 5 POLYNÔMES K. Dans tout ce chapitre, K désignera R ou C. On utilisera parfois le terme scalaire pour désigner un élément de 1 Algèbre des polynômes à coefficients dans K 1.1 Définitions Définition 5.1 Pour n N, on note X n : K K x x n. On appelle monômes de degré n les application de la forme λx n : K K x λx n avec λ K. s On a donc X = X 1 = Id K (i.e. X : K K x x). X 0 est l application constante égale à 1 : X 0 : K K x 1. Par abus de notation, on écrira simplement X 0 = 1 et 4 pour 4X 0 (par exemple). Définition 5.2 Une application P : K K est appelée polynôme à coefficients dans K s il existe n N et a 0, a 1,..., a n K tels que n n P = a i X i i.e. x K, P(x) = a i x i On note K[X] l ensemble des polynômes à coefficients dans K. i=0 Il est clair qu une même fonction peut avoir plusieurs écritures différentes de ce type : il suffit de rajouter des coefficients nuls à la fin. Ainsi, X 3 + 2X 1 = 0.X X 4 + X 3 + 2X 1 (dans le premier cas, on a n = 3, a 0 = 1, a 1 = 2, a 2 = 0 et a 3 = 1 alors que dans le deuxième cas on a n = 5, a 0 = 1, a 1 = 2, a 2 = 0, a 3 = 1, a 4 = 0 et a 5 = 0). Nous allons voir que c est en fait la seule manière d obtenir deux écritures différentes de cette forme pour une même fonction. Exercice 5.1 Montrer que les applications suivantes sont des polynômes et préciser leurs coefficients. 1. f : R R x ( x 2 ) 3 2. g : C C x (x + 2) 2 + ix 4 3i(x ix 2 ) 3. h : R R x (2x + 1) cos 2 x + ((x + 1) sin x) 2 x 2 sin 2 x i=0 Lycée du Parc

91 Chapitre 5 Polynˆomes Proposition 5.3 Soit P K[X], P = n a i X i. On a : i=0 P = 0 i 0, n, a i = 0 Proposition 5.4 Soient P = n a i X i et Q = m b i X i dans K[X] et λ K. i=0 i=0 Quitte à échanger le rôle de P et Q, on peut supposer n m et poser b i = 0 pour m < i n. On a alors : P + Q = Q + P = n (a i + b i )X i λp = n λa i X i i=0 On note P Q = P + ( 1) Q = n (a i b i )X i. Proposition 5.5 i=0 i=0 Si P, Q, R K[X] et λ K, on a : P + (Q + R) = (P + Q) + R = P + Q + R λ(p + Q) = λp + λq P P = 0 Théorème 5.6 Soient P = n a i X i et Q = m b i X i dans K[X]. Si i=0 i=0 a n 0 et b m 0 et x K, P(x) = Q(x) (i.e. P = Q), alors n = m et i 0, n, a i = b i. À condition d imposer que le coefficient de plus haut degré soit non nul, on pourra donc parler de l écriture (unique) d un polynôme comme somme de monômes. Définition 5.7 Soit P K[X], P 0. P s écrit de manière unique P = n i=0 a i X i avec a n 0. Le degré de P est deg(p) = n. Le coefficient dominant de P est a n. Le terme dominant de P est a n X n. P est dit unitaire si son coefficient dominant vaut 1. Le coefficient constant de P est a 0. Par convention, le degré du polynôme nul est. Lycée du Parc

92 Chapitre 5 Polynˆomes Si P = n Définition 5.8 i=0 a i X i avec P 0, alors deg(p) = max{i N, a i 0}. Pour n N, on note K n [X] = {P K[X], deg(p) n}. 1.2 Opérations sur les polynômes Proposition 5.9 Produit et substitution Soit P, Q K[X], P = n a i X i et Q = m b i X i. i=0 i=0 i=0 P Q = Q P = n+m c i X i où, pour 0 i m + n, on a c i = a l b k = i a k b i k = i a i k b k. P Q = P(Q) = n a i Q i i=0 La notation P(Q) pour P Q est très usitée mais elle peut être ambiguë. Ainsi P(X 2 ) signifie n a i (X 2 ) i, mais P(X 2 + 1) peut signifier soit P (X 2 + 1) = n a i (X 2 + 1) i soit P (X 2 + 1) = X 2 P + P = n a i X 2+i + n a i X i, suivant le contexte. Exercice 5.2 i=0 k+l=i Soient P = X 3 X + 3 et Q = X 2 1. Calculer PQ, P(Q) et Q(P). k=0 k=0 i=0 i=0 i=0 Définition 5.10 Soit P K[X]. P est dit pair si P( X) = P(X). P est dit impair si P( X) = P(X). Cette définition correspond à la notion usuelle de parité d une fonction dans le cas particulier des polynômes. Exercice 5.3 On considère un polynôme P K[X]. Montrer qu il existe un unique couple (A, B) K[X] 2 tel que P = A + B avec A pair et B impair. Proposition 5.11 Un polynôme P est n pair ssi il s écrit a i X 2i ; i=0 n impair ssi il s écrit a i X 2i+1. i=0 Lycée du Parc

93 Chapitre 5 Polynˆomes Proposition 5.12 Soient P, Q K[X]. On pose par convention n + ( ) = + n = si n N. Soit n N { }. Si deg P n et deg Q n, alors deg(p + Q) n. Si deg P < deg Q, alors deg(p + Q) = deg Q. deg(pq) = deg(p) + deg(q) deg(p Q) = deg(p) deg(q) si P 0 et Q 0. Exercice 5.4 Trouver P, Q K[X] tels que deg(p + Q) < deg(p) et deg(p + Q) < deg(q). Exercice 5.5 Soit P K[X]. Déterminer deg(p(x + 1)) et deg(p(x + 1) P(X)). Proposition 5.13 Soient P, Q K[X] tels que P 0 et Q 0. On a PQ 0 Le coefficient dominant de PQ est le produit des coefficients dominants de P et de Q. Le terme dominant de PQ est le produit des termes dominants de P et de Q. 2 Dérivée d un polynôme Définition 5.14 Soit P K[X], P = n a i X i. i=0 Le polynôme dérivé de P est P = n ia i X i 1. On définit par récurrence P (k) pour k N : P (0) = P P (k+1) = ( P (k)) i=1 s La dérivée du polynôme nul est égale au polynôme nul. Cette définition est compatible avec celle de la dérivée d une fonction d une variable réelle. Proposition 5.15 Soient P, Q K[X], λ K et k N. (P + Q) = P + Q et (P + Q) (k) = P (k) + Q (k). (λp) = λp et (λp) (k) = λp (k). (P Q) = Q (P Q) (P Q) = P Q + P Q (P Q) (k) = k ( k i) P (i) Q (k i) = k ( k ) i P (k i) Q (i) Formule de Leibniz i=0 i=0 Lycée du Parc

94 Chapitre 5 Polynˆomes Proposition 5.16 Soit P K[X] et k N. P (k) = deg(p) Cette somme étant nulle si k > deg(p), on a deg(p (k) ) = deg(p) k deg(p (k) ) = i=k i! (i k)! a ix i k si k deg(p) si k > deg(p) En particulier, on a : deg(p ) = deg(p) 1 si P 0. P (k) = 0 si k > deg(p). Exercice 5.6 Montrer que exp : R R n est pas une fonction polynôme. Théorème 5.17 Formule de Taylor pour les polynômes Soit P K[X], P = n a k X k et b K. On a k=0 En particulier, avec b = 0, on obtient et donc par identification P = n k=0 P = P (k) (b) (X b) k k! n k=0 P (k) (0) X k k! k 0, n, a k = P(k) (0) k! Exercice 5.7 Appliquer la formule de Taylor en 1 au polynôme X 3 2X 2 + 3X 4. 3 Factorisation 3.1 Racines d un polynôme Définition 5.18 Soient P, Q K[X] avec Q 0. On dit que Q divise P s il existe R K[X] tel que P = QR. Dans ce cas, on peut également dire que P est un multiple de Q. Lycée du Parc

95 Chapitre 5 Polynˆomes Exemple 5.8 On a X 2 1 = (X 1)(X + 1), donc X 1 et X + 1 divisent tous deux X 2 1. Il est clair que X ne divise pas X 2 1. Proposition 5.19 Soient P, Q K[X] avec P 0 et Q 0. Si Q divise P, alors deg(q) deg(p). Définition 5.20 Soit P K[X] et α K. On dit que α est une racine de P si P(α) = 0. Proposition 5.21 Soient P, Q K[X] et n N. On a P n Q n = (P Q) n 1 P k Q n 1 k = (P Q) n 1 P n 1 k Q k. k=0 En particulier, si a, b C : a n b n = (a b) n 1 a k b n 1 k. k=0 k=0 Théorème 5.22 Soit P K[X] et α K. α est une racine de P ssi X α divise P. Autrement dit, α est une racine de P ssi P s écrit (X α)q avec Q K[X] (ou si P = 0). Proposition 5.23 Soient P K[X] non nul et α 1,..., α n K deux à deux distincts. On a P(α 1 ) = = P(α n ) = 0 ssi P = (X α 1 )... (X α n )Q avec Q K[X]. Proposition 5.24 Soit n N Un polynôme non nul de degré n a au plus n racines distinctes. Si P K n [X] et si P a au moins n + 1 racines, alors P = 0. Si P K[X] a une infinité de racines, alors P = 0. Si un polynôme de degré n a n racines distinctes, alors ce sont ses seules racines. Exercice Montrer que sin : R R n est pas une application polynôme. 2. Soient P, Q R[X] tels que n N, P(n) = Q(n). Montrer que P = Q. Lycée du Parc

96 Chapitre 5 Polynˆomes 3.2 Ordre de multiplicité d une racine Définition 5.25 Soit P K[X] non nul et α K une racine de P. Si (X α) n divise P, alors n deg(p) d après la propriété On appelle ordre (de multiplicité) de α comme racine de P le plus grand entier n tel que (X α) n divise P. s On a utilisé ici le principe du maximum pour les entiers : toute partie de N non vide et majorée admet un plus grand élément (appelé également maximum). Ici, {n N, (X α) n divise P} est non-vide (α étant une racine de P, (X α) 1 divise P) et majoré (par deg(p)). Il admet donc un plus grand élément, qu on appelle ordre de multiplicité de α comme racine de P. Une racine d ordre 1 est dite racine simple, une racine d ordre 2 racine double. Proposition 5.26 Soient P K[X], P 0, α K et n N. α est racine d ordre n de P Q K[X], P = (X α) n Q et Q(α) 0. Exemple 5.10 Montrer que 1 est racine double de X 4 7X 3 +17X 2 17X +6 et déterminer les autres racines éventuelles de ce polynôme, ainsi que leur ordre de multiplicité. Proposition 5.27 Soit P K[X] non nul et α 1,..., α n des racines distinctes de P d ordre respectif p 1,..., p n. P s écrit alors P = (X α 1 ) p 1 (X α n ) p n Q où Q est un polynôme n admettant aucun des α i comme racine. 3.3 Racines et dérivée Théorème 5.28 Soit P K[X], α K et r N. α est racine d ordre r de P ssi P(α) = P (1) (α) = = P (r 1) (α) = 0 et P (r) (α) 0. En particulier, α est racine simple de P ssi α est racine de P mais pas de P. Exercice 5.11 Soit P = X 4 X 3 + X 2 3X + 2. En utilisant le théorème précédent, montrer que 1 est racine d ordre 2 de P. 3.4 Factorisation sur C Théorème 5.29 D Alembert-Gauss Tout polynôme non constant à coefficients dans C admet au moins une racine dans C. Lycée du Parc

97 Chapitre 5 Polynˆomes s En anglais, ce théorème s appelle «fundamental theorem of algebra», ce qui traduit bien son importance. En particulier, tout polynôme non constant à coefficients dans R admet au moins une racine dans C. L exemple de X 2 +1 montre qu il n y a en revanche pas forcément de racine réelle. Intuitivement, l ensemble des nombres complexes est construit précisément de manière à ce que ce théorème soit vrai. Théorème 5.30 Factorisation dans C[x] Soient P C[X] tel que deg(p) 1 (i.e. P non constant), c son coefficient dominant, α 1,..., α n ses racines, d ordre respectif r 1,..., r n. On a : n P = c (X α i ) r i i=1 s Un polynôme de C[X] de degré n a donc exactement n racines comptées avec leur ordre de multiplicité. Autrement dit, avec les notations du théorèmes, deg(p) = r r n. On parle de forme factorisée d un polynôme. On peut donc écrire tout polynôme (à coefficients réels ou complexes) comme un produit de polynômes de C[X] de degré 1. Exercice 5.12 Exercice 5.13 Factoriser dans C[X] X 4 1, X 4 4 et X Soit n N. 1. Déterminer les racines de X n En déduire la forme factorisée de X n En déduire la forme factorisée de 1 + X + + X n Factorisation sur R Proposition 5.31 Soit P R[X], P 0 et α C. α est racine de P d ordre r ssi ᾱ est racine de P d ordre r. Théorème 5.32 Factorisation dans R[X] Soient P R[X] tel que deg(p) 1 (i.e. P non constant), c son coefficient dominant, α 1,..., α p ses (éventuelles) racines réelles et r 1,..., r p leur ordre respectif, β 1, β 1,..., β q, β q ses (éventuelles) racines complexes non réelles et s 1,..., s q leur ordre respectif. On a p q P = c (X α i ) r i (X 2 2R(β j )X + ) β 2 s j j i=1 j=1 Lycée du Parc

98 Chapitre 5 Polynˆomes Tout polynôme à coefficients réels se factorise donc en un produit de polynômes à coefficients réels de degré au plus 2. Exercice 5.14 Factoriser dans R[X] X 4 1, X 4 4 et X Exercice 5.15 Montrer à l aide du théorème 5.32 (i.e. sans argument analytique) que tout polynôme à coefficients réels de degré impair a au moins une racine réelle. Lycée du Parc

99 Chapitre 5 Polynˆomes Travaux dirigés Exercice 5.16 Soit n N. ( n 1. Montrer à l aide du binôme de Newton que Exercice En déduire que n k=0 ( n ) 2 ( k = 2n ) n. k=0 ( n ) 2 k X k) = 2n k=0 ( 2n ) k X k. Soit (P n ) n N la suite de polynômes définie par P 0 = 1 et n N, P n+1 = P 3 n + X. 1. Pour n N, déterminer le coefficient constant de P n. Exercice Pour n N, déterminer le coefficient dominant et le degré de P n. Soit n N. Montrer que 1 est racine de nx n+2 (n + 2)X n+1 + (n + 2)X n et déterminer son ordre de multiplicité. Exercice 5.19 Soit n N. Montrer que (X 3)(X 2) divise (X 3) 2n + (X 2) n 1. Exercice 5.20 Exercice Factoriser 1 + X + X 2 + X 3 + X 4 dans C[X] puis dans R[X]. 2. En déduire la valeur de cos ( ) ( ) 2π 5 et sin 2π 5. Résoudre dans C[X] les équations suivantes. 1. P = P + X Exercice (X 2 + 1)P = 2P 3. P(X 2 ) = P(X) 2 4. P(X) = P(X + 1) On considère l équation (E) : P = P P, d inconnue P C[X]. 1. Soit P C[X] un polynôme non nul. On suppose que P est solution de (E). a. Déterminer deg(p). b. Déterminer le coefficient dominant de P. c. Justifier l existence d une racine α de P et montrer que P(α) = 0, puis que P (α) = 0. d. Donner alors la factorisation de P. 2. Déterminer l ensemble des solutions de (E). Lycée du Parc

100 Chapitre 5 Polynˆomes Exercice 5.23 On considère un réel a [0, π] et le polynôme P = X 6 2X 3 cos a Résoudre l équation P(z) = 0, d inconnue z C, et en déduire la factorisation de P sur C. 2. En déduire une factorisation de P sur R en trois facteurs de degré Déterminer, suivant les valeurs de a, s il est possible de factoriser davantage P sur R. Exercice 5.24 On souhaite déterminer les polynômes P C[X] tels que P(X)P(X + 2) + P(X 2 ) = 0 1. Soit P C[X] de degré supérieur ou égal à 1. On suppose que P vérifie (E). a. Justifier l existence d une racine α de P. b. Montrer que α 2 et (α 2) 2 sont également racines de P. c. i. Montrer que pour n N, α 2n est racine de P. ii. En déduire, par l absurde, que α {0, 1}. iii. Montrer que pour z C, on a ( z = 1 et z 2 = 1) z = 1. iv. En déduire que α = Déterminer les solutions de (E). (E). Exercice 5.25 On veut déterminer les polynômes de P de C [X] solutions de P ( X 2) = P (X) P (X + 1) (E). 1. Quels sont les polynômes constants qui conviennent? 2. On suppose maintenant que P est solution de (E), que deg P 1 et que a est une racine de P. a. Montrer que a {0, 1}. b. Montrer que (a 1) 2 est racine de P. c. En déduire que a { } 0, 1, e iπ 3, e iπ 3. d. En déduire que P est de la forme P = λx p (X 1) q, avec p, q N et λ C. 3. Conclure. Lycée du Parc

101 Chapitre 5 Polynˆomes Études Exercice 5.26 Le but de cet exercice est de démontrer l identité suivante : Une somme infinie classique = π Soit n 1, P = n a i X i un polynôme de C[X] de degré n et α 1,..., α n ses racines, comptées avec k=0 multiplicité (c est-à-dire que si par exemple α 1 est racine triple, on aura α 1 = α 2 = α 3 ). Montrer que n α i = a n 1 a n. k=1 2. Pour n 1, on définit le polynôme P n = n ( 1) k( 2n+1 2k+1) X n k. k=0 a. Montrer que a R, on a sin((2n + 1)a) = n ( 1) k( 2n+1 2k+1) cos 2(n k) (a) sin 2k+1 (a). k=0 b. En déduire que si a 0 [ ] ( ) π 1 sin((2n + 1)a) 2, on a Pn =. tan 2 (a) sin 2n+1 (a) 1 c. En déduire que les racines de P n sont les tan ( ) pour 1 k n. 2 kπ 2n+1 d. i. Justifier que x ] 0, π 2 [, sin x < x < tan x. ii. En déduire que x ] 0, π 2 [, 1 tan 2 x < 1 x 2 < tan 2 x. 3. On considère la suite S définie par n 1, S n = n montrer que S converge vers π2 6. k=1 1 k 2. À l aide des questions 1, 2c et 2(d)ii, Exercice 5.27 On définit une suite (T n ) n N de polynômes à coefficients dans R par : Polynômes de Tchebychev 1. a. Calculer T 2 et T 3. T 0 = 1 T 1 = 2X et n N, T n+2 = 2XT n+1 T n b. Calculer, pour tout n N, le degré de T n ainsi que son coefficient dominant. On procédera par récurrence. 2. a. Montrer par récurrence que n N, T n ( X) = ( 1) n T n (X). b. En déduire la parité de T n en fonction de n N. 3. a. Montrer par récurrence que n N, θ R, sin((n + 1)θ) = (sin θ)t n (cos θ). b. En déduire, pour n N, les racines de T n ainsi que leur ordre de multiplicité. c. En déduire que n N, T n = 2 n n ( X cos kπ n+1). d. À l aide d une récurrence, calculer T n (1) pour n N. e. Déduire des deux questions précédentes que n N, k=1 n n + 1 sin kπ 2(n+1) = 2 n. k=1 Lycée du Parc

102 Chapitre 5 Polynˆomes Exercice 5.28 Exercices supplémentaires Factoriser sur C[X] le polynôme P = 1 + X 3 + X 6 + X 9. Exercice 5.29 Résoudre dans C[X] l équation P(2X) = P (X)P (X). Exercice 5.30 Résoudre dans C[X] l équation P(X 2 ) = (X 2 + 1)P(X). Exercice 5.31 Résoudre dans C[X] l équation P = (P ) 2. Exercice 5.32 Soit n 2. Montrer que les racines de X n X 1 sont simples. Exercice 5.33 Soit a C et P = X 5 ax X 6i. 1. Déterminer a tel que P ait une racine triple. Exercice Factoriser P (avec la valeur de a trouvée à la question précédente). Résoudre dans C[X] l équation P(X 2 ) = P(X 1)P(X). Exercice 5.35 Soit n N. Montrer que X 2 + X divise (X + 1) 2n+1 X 2n+1 1. Exercice 5.36 Soient n N et P = n k=0 X k k!. Montrer que P n a pas de racine multiple. Lycée du Parc

103 CHAPITRE 6 MATRICES Dans tout le chapitre, K désignera R ou C. 1 Matrices à éléments dans K 1.1 Algèbre des matrices Définition 6.1 Soient n, p N. On appelle matrice de taille (n, p) à coefficients dans K un tableau d éléments de K à n lignes et p colonnes. Si A est une matrice (n, p) et que l on note (a i, j ) 1 i n ses coefficients, on a : 1 j p A = (a i, j ) 1 i n 1 j p a 1,1 a 1,p =.. a n,1 a n,p a i, j (avec 1 i n et 1 j p) est appelé le coefficient (ou élément) en i-ème ligne et j-ème colonne de A. C est un élément de K. Deux matrices sont égales si elles ont même taille et mêmes coefficients. On note M n,p (K) l ensemble des matrices à coefficients dans K de taille (n, p). On note 0 Mn,p (K) la matrice de taille (n, p) dont tous les coefficients sont nuls. Les matrices de taille (n, 1) sont appelées matrices colonnes. Les matrices de taille (1, p) sont appelées matrices lignes. Définition 6.2 Soient A = (a i, j ) 1 i n et B = (b i, j ) 1 i n 1 j p 1 j p A + B = (a i, j + b i, j ) 1 i n 1 j p λa = (λa i, j ) 1 i n 1 j p deux matrices de M n,p (K) et λ K. On définit s L addition de matrices se fait donc coefficient par coefficient. Pour additionner deux matrices, il faut qu elles soient de même taille (même nombre de colonnes et même nombre de lignes). On notera A pour ( 1)A et A B pour A + ( B). Lycée du Parc

104 Chapitre 6 Matrices Proposition 6.3 Soient n, p N, A, B M n,p (K) et λ, µ K. λ(a + B) = λa + λb λa + µa = (λ + µ)a A + B = B + A (l addition est commutative) (A + B) + C = (A + B) + C (l addition est associative) Définition 6.4 Soient n, p, q N, A M n,p (K) et B M p,q (K). On définit AB = (c i,l ) 1 i n avec c i, j = p a i,k b k, j. AB est une matrice (n, q). 1 j q k=1 j b 1,1 b 1, j b 1,q k b k,1 b k, j b k,q b p,1 b p, j b p,q a 1,1 a 1,k a 1,p c 1,1 c 1, j c 1,q i a i,1 a i,k a i,p c i,1 c i, j c i,q a n,1 a n,k a n,p c n,1 c n, j c n,q s Le produit de deux matrices est donc défini si et seulement si le nombre de colonnes de la première matrice est égal au nombre de lignes de la deuxième. Le produit AB peut donc être défini sans que BA le soit. Même si AB et BA sont tous les deux définis, il n y a aucune raison qu ils soient égaux : la multiplication matricielle n est pas commutative. On peut très bien avoir AB = 0 avec A 0 et B 0. Exercice 6.1 Effectuer les produits suivants : ( ) ( ) ; ( ) ; 3 ( ) ( ) ; ( ) Exemple 6.2 ( ) ( ) Soient A = et B =. AB et BA sont bien définis, mais AB BA ( ) ( ) Soient A = et B =. On a AB = 0 alors que A et B sont non nulles Lycée du Parc

105 Chapitre 6 Matrices Proposition 6.5 Soient n, p, q, r N. Soient A M n,p (K), B M p,q (K) et C M p,q (K). A(B + C) = AB + AC Soient A M n,p (K), B M n,p (K) et C M p,q (K). (A + B)C = AC + BC Soient A M n,p (K), B M p,q (K) et C M q,r (K). A(BC) = (AB)C Proposition 6.6 Sous réserve que les multiplications soient bien définies, on a : C x 1 1 C n. = x 1C x n C n ; x n ( ) x 1 x n A C 1 L 1. L n A = L 1. = ( ) x 1 L x n L n ; L n C n = AC 1 AC n ; L 1 A. L n A. On en déduit que : si A a une ligne nulle, alors AB a une ligne nulle ; si B a une colonne nulle, alors AB a une colonne nulle. Définition 6.7 Soient n, p N et (i, j) 1, n 1, p. On note E i, j (n, p) (ou simplement E i, j s il n y a pas d ambiguïté) la matrice de M n,p (K) dont tous les coefficients sont nuls sauf celui d indice (i, j) qui vaut 1. Ces matrices E i, j sont appelées matrices élémentaires. Exemple 6.3 E 1,2 (2, 3) = ( ) 0 1 0, E ,2 (3, 2) = Proposition 6.8 Soit A = (a i, j ) M n,p (K). On a A = 1 i n 1 j p a i, j E i, j. Lycée du Parc

106 Chapitre 6 Matrices Exemple 6.4 ( ) 1 3 = Exercice 6.5 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 = E 0 1 1,1 3E 1,2 + 2E 2,1 Soient n, p, q N. Calculer suivant les valeurs de i, j, k et l le produit E i, j (n, p) E k,l (p, q). 1.2 Transposition Définition 6.9 Soient n, p N et A = (a i, j ) M n,p (K). On appelle transposée de A, et l on note t A, la matrice (b i, j ) 1 i p M p,n (K) vérifiant : 1 j n (i, j) 1, p 1, n, b i, j = a j,i Les lignes de t A sont les colonnes de A et inversement. Exemple 6.6 La transposée de ( ) ( ) est Proposition 6.10 Soient n, p, q N, λ K, A, B M n,p (K) et C M p,q (K). On a t ( t A) = A t (λa) = λ t A t (A + B) = t A + t B t (AC) = t C t A Plus généralement, si les produits sont bien définis, on a t (A 1 A k ) = t A k t A Matrices carrées Définition 6.11 Pour n N, on note M n (K) l ensemble des matrices à n lignes et n colonnes à coefficients dans K, dites matrices carrées de taille n. Autrement dit, M n (K) est simplement une abréviation pour M n,n (K). Définition 6.12 Soit n N. On appelle matrice identité (de taille n), et l on note I n, la matrice de M n (K) dont les coefficients a i, j vérifient : 0 si i j a i, j = 1 si i = j Lycée du Parc

107 Chapitre 6 Matrices Autrement dit, la matrice identité est constituée de 1 sur la diagonale (principale) et de 0 ailleurs. Proposition 6.13 Soient n, p N et A M n,p (K). On a I n A = AI p = A Définition 6.14 Soient n N et A M n (K). On définit par récurrence A p pour p N par : A 0 = I n Pour p N, A p+1 = A A p = A p A Proposition 6.15 Soient n N, A M n (K) et p, q N. A p+q = A p A q (A p ) q = A pq t (A k ) = ( t A) k. Proposition 6.16 Soient n N, A, B M n (K) et p N. On suppose que A et B commutent, i.e. que AB = BA. On a alors (AB) p = A p B p (A + B) p = p k=0 ( p ) k A k B p k (formule du binôme) Exercice 6.7 ( ) ( ) Soient J = et A = Calculer J n pour n N. 2. En déduire A n pour n N. 1.4 Inverse d une matrice carrée Définition 6.17 Soient n N et A M n (K). On dit que A est inversible s il existe B M n (K) telle que AB = BA = I n. Dans ce cas, B est unique, appelée inverse de A et notée A 1. On note GL n (K) l ensemble des matrices inversibles de M n (K). La propriété 6.6 montre que si une matrice a une ligne ou une colonne nulle, alors elle n est pas inversible. Lycée du Parc

108 Chapitre 6 Matrices Proposition 6.18 Soient n N et A, B M n (K). Si P GL n (K), alors PA = PB A = B AP = BP A = B s Pour éviter les «simplifications» abusives, il faut toujours penser en termes de multiplication : par exemple, pour passer de PA = PB à A = B, on multiplie à gauche par P 1, ce qui n est possible que si P est inversible. Cette propriété peut être utilisée pour montrer qu une matrice n est pas inversible (voir exemple 6.8). Exemple 6.8 ( ) ( ) ( ) Soient A =, B = et C = ( ) 3 3 On a AC = BC = et A B, donc C n est pas inversible. 0 0 Proposition 6.19 Soient n N, A, B GL n (K), λ K et p N. I n est inversible, et In 1 = I n. λa est inversible, et (λa) 1 = 1 λ A 1. A 1 est inversible et (A 1 ) 1 = A. AB est inversible et (AB) 1 = B 1 A 1. A p est inversible et (A p ) 1 = (A 1 ) p. t A est inversible et ( t A) 1 = t (A 1 ). Les contraposées peuvent être utiles : par exemple, si A p n est pas inversible, alors A non plus. Exercice 6.9 On considère le polynôme P = X 3 2X 2 + 5X 1 et une matrice A M n (K) telle que P(A) = 0 (i.e. A 3 2A 2 + 5A I n = 0 M n(k) ). Montrer que A est inversible et déterminer un polynôme Q tel que A 1 = Q(A). Proposition 6.20 Soient a, b, ( c, d ) K. a b La matrice est inversible ssi ad bc 0. c d Dans ce cas, on a ( ) 1 ( ) a b 1 d b = c d ad bc c a 1.5 Matrices semblables Définition 6.21 Soient n N et A, B M n (K). A est dite semblable à B si P GL n (K), A = P 1 BP. Lycée du Parc

109 Chapitre 6 Matrices Proposition 6.22 Soient n N et A, B, C M n (K). A est semblable à A. Si A est semblable à B, alors B est semblable à A. On pourra donc plus simplement écrire que A et B sont semblables. Si A est semblable à B et B semblable à C, alors A est semblable à C. Si A est semblable à I n, alors A = I n. Les trois premiers points peuvent se reformuler (dans l ordre) en disant que la relation de similitude est réflexive, symétrique et transitive. Exercice 6.10 Soit P K[X] et A, B M n (K). Montrer que si A et B sont semblables, alors P(A) et P(B) le sont aussi. 2 Pivot de Gauss 2.1 Opérations élémentaires n désigne un entier strictement positif et i et j des éléments de 1, n. Définition 6.23 Si i j, on pose S n,i, j = I n E i,i E j, j + E i, j + E j,i (échange). Si α K, on pose D n,i (α) = I n + (α 1)E i,i (dilatation). Si β K et i j, on pose T n,i, j (β) = I n + βe i, j (transvection). Ces matrices sont appelées matrices d opérations élémentaires. Proposition 6.24 Si i j, S n,i, j est inversible et S 1 n,i, j = S n, j,i = S n,i, j. Si α K, D n,i (α) est inversible et ( D n,i (α) ) 1 = D n,i ( 1 α). Si i j, T n,i, j (β) est inversible et ( T n,i, j (β) ) 1 = Tn,i, j ( β). Soit A M n,p (K). S n,i, j A s obtient en échangeant les i-ème et j-ème lignes de A (opération que l on notera L i L j ). AS p,i, j s obtient en échangeant les i-ème et j-ème colonnes de A (opération que l on notera C i C j ). D n,i (α)a s obtient en multipliant la i-ème ligne de A par α (ce que l on notera L i αl i ). AD p,i (α) s obtient en multipliant la i-ème colonne de A par α (ce que l on notera C i αc i ). T n,i, j (β)a s obtient en effectuant sur A l opération L i L i + βl j. AT p,i, j (β) s obtient en effectuant sur A l opération C j C j + βc i. On ne mentionnera presque jamais les matrices d opérations élémentaires de manière explicite. Il faut cependant comprendre qu effectuer une opération élémentaire sur les lignes (respectivement sur les colonnes) d une matrice, c est la multiplier à gauche (respectivement à droite) par la matrice d opération élémentaire qui correspond. Quand on enchaîne plusieurs opérations, on multiplie successivement par plusieurs matrices d opérations élémentaires ou, ce qui revient au même, on multiplie une fois par le produit de ces matrices. Lycée du Parc

110 Chapitre 6 Matrices Comme les matrices d opérations élémentaires sont toutes inversibles et que le produit de matrices inversibles est inversible, effectuer une série d opérations élémentaires sur les lignes de A revient donc à multiplier A à gauche par une certaine matrice inversible P. Si les opérations se font sur les colonnes, alors la multiplication sera à droite. On s autorisera une opération supplémentaire pour simplifier les calculs : L i αl i + βl j, où i j et α 0 (ainsi que l opération analogue sur les colonnes). On vérifie sans peine que cette opération se décompose en L i αl i puis L i L i + βl j. 2.2 Matrices échelonnées Définition 6.25 Une matrice de M n,p (K) est dite échelonnée si ses lignes commencent par un nombre strictement croissant de zéros (avec éventuellement plusieurs lignes nulles à la fin). On appelle alors pivots les premiers coefficients non nuls des lignes de A. Exemple n est pas échelonnée est échelonnée et a trois pivots est échelonnée et a deux pivots Proposition 6.26 Soit A M n,p (K). Il existe P GL n (K) telle que PA soit échelonnée. La méthode qui permet d échelonner A (par une suite d opérations élémentaires) s appelle méthode du pivot de Gauss. C est un algorithme extrêmement important. On procède colonne par colonne, en commençant par la première. Si elle est nulle, il n y a rien à faire, on passe à la colonne suivante. Sinon, on s assure que le coefficient en haut de la colonne est non nul (éventuellement en échangeant la première ligne avec une autre ligne). On annule ensuite tous les autres coefficients de la colonnes grâce à des opérations élémentaires. Quand on a terminé de traiter la dernière colonne, la matrice est échelonnée. Exemple L 1 L 2 Lycée du Parc

111 Chapitre 6 Matrices L 3 L 3 3L 1 L 4 L 4 2L L 3 3L L L 4 3L 4 + 5L L 4 2L 4 + 5L Inversion d une matrice carrée Proposition 6.27 Soient A M n (K) et P GL n (K). AP inversible PA inversible A inversible. Attention, ces équivalences ne sont valables que si l on sait déjà que P est inversible. On remarque que si l on a une matrice carrée échelonnée dont les coefficients diagonaux sont non nuls, il est possible de la transformer en I n à l aide d opérations élémentaires. On en déduit : Proposition 6.28 Soit A M n (K) échelonnée. A est inversible ssi ses coefficients diagonaux sont non nuls. s Attention, c est bien sûr faux si A n est pas supposée échelonnée. Il revient au même de dire qu une matrice carrée échelonnée est inversible ssi elle n a pas de ligne nulle. Par conséquent, on peut déterminer si une matrice est inversible en l échelonnant grâce au pivot de Gauss et en regardant si ses coefficients diagonaux sont non nuls. Considérons une matrice A GL n (K). On peut transformer A en I n à l aide d opérations élémentaires sur les lignes. Soit P la matrice (inversible) associée à cette suite d opérations élémentaires, on a donc PA = I n. En multipliant par A 1 à droite, on obtient P = A 1. Déterminer A 1 revient donc à déterminer P. Or P = PI n, et en interprétant le membre de droite en termes d opérations élémentaires, on voit que P est la matrice obtenue en appliquant à I n la même suite d opérations élémentaires qui transforme A en I n. Exemple Considérons A = Lycée du Parc

112 Chapitre 6 Matrices L 2 L 2 L 1 L 3 L 3 + L 1 L 3 3L 3 + 5L 2 L 2 L 2 + L 3 L 1 L 1 L 3 On peut déjà affirmer que A est inversible L L L 1 L 1 2L Donc A 1 = Proposition 6.29 Soient A, B M n (K). Si AB est inversible, alors A et B sont inversibles. Si AB = I n, alors A et B sont inversibles, BA = I n et A = B 1. Attention à bien vérifier (et préciser) que A et B sont carrées quand on utilise cette propriété. Sans cette condition, c est faux : ( ) 0 1 ( ) = Exercice ( ) = Déterminer si les matrices suivantes sont inversibles et, le cas échéant, calculer leur inverse : A = B = C = Lycée du Parc

113 Chapitre 6 Matrices 3 Matrices particulières Dans toute cette partie, n désigne un entier strictement positif. 3.1 Matrices diagonales Définition 6.30 Une matrice A = (a i, j ) M n (K) est dite diagonale si i, j 1, n, i j a i, j = 0 s Autrement dit, une matrice est diagonale si tous ses coefficients, sauf éventuellement ceux situés sur la diagonale principale, son nuls. On notera Diag(λ 1,..., λ n ) la matrice diagonale telle que a 1,1 = λ 1,..., a n,n = λ n : λ 1 (0) Diag(λ 1,..., λ n ) =.... Proposition 6.31 (0) λ n Soient λ 1,..., λ n, µ 1,..., µ n K. Diag(λ 1,..., λ n ) Diag(µ 1,..., µ n ) = Diag(λ 1 µ 1,..., λ n µ n ) Si P K[X], P(Diag(λ 1,..., λ n )) = Diag(P(λ 1 ),..., P(λ n )). En particulier, si k N, Diag(λ 1,..., λ n ) k = Diag(λ k 1,..., λk n). Proposition 6.32 Soient λ 1,..., λ n K et A = Diag(λ 1,..., λ n ) une matrice diagonale. A est inversible ssi k 1, n, λ k 0. Dans ce cas, on a A 1 = Diag ( 1 λ 1,..., 1 λ n ). 3.2 Matrices triangulaires Définition 6.33 Soit A = (a i, j ) M n (K). A est dite : triangulaire supérieure si i, j 1, n, i > j a i, j = 0 a 1, a 1,n.... A =. (0)... triangulaire inférieure si i, j 1, n, i < j a i, j = 0 a 1,1 a n,n.... (0) A =.... a n, a n,n Lycée du Parc

114 Chapitre 6 Matrices Proposition 6.34 Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure. Le produit de deux matrices triangulaires inférieures est une matrice triangulaire inférieure. Dans les deux cas, les coefficients diagonaux du produit sont égaux au produit des coefficients diagonaux. Proposition 6.35 Une matrice triangulaire A est inversible ssi ses coefficients diagonaux sont non nuls. Dans ce cas, son inverse est triangulaire supérieure si A est triangulaire supérieure, triangulaire inférieure si A est triangulaire inférieure. De plus, les coefficients diagonaux de l inverse sont les inverses des coefficients diagonaux de A. 3.3 Matrices symétriques Définition 6.36 Une matrice A M n (K) est dite symétrique si t A = A. antisymétrique si t A = A. On note S n (K) l ensemble des matrices symétriques de M n (K) et A n (K) l ensemble des matrices antisymétriques de M n (K). s A est symétrique ssi i, j 1, n, a i, j = a j,i. A est antisymétrique ssi i, j 1, n, a i, j = a j,i. A est symétrique si elle est «symétrique par rapport à sa diagonale». Les coefficients diagonaux d une matrice antisymétrique sont nécessairement nuls. Exemple 6.15 Les matrices diagonales sont symétriques est symétrique, antisymétrique Exercice 6.16 Montrer que M M n (K)!(S, A) S n (K) A n (K), M = S + A. Exercice 6.17 Soient A, B S n (K). Montrer que AB est symétrique ssi A et B commutent. 4 Systèmes linéaires 4.1 Forme matricielle d un système linéaire Soit (S ) un système linéaires à n équations et p inconnues x 1,..., x p dans K : a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,p x p = b 1 (S )..... a n,1 x 1 + a n,2 x a n,p x p = b n Lycée du Parc

115 Chapitre 6 Matrices On peut associer à ce système les matrices A = (a i, j ) M n,p (K), X =. et B =.. Le système (S ) est alors équivalent à l équation matricielle AX = B d inconnue X M p,1 (K). Définition 6.37 Soit (S ) : AX = B un système linéaire. On appelle système homogène associé à (S ), et l on note (S H ), le système (S H ) : AX = 0 Mn,1 (K). (S ) est dit homogène si (S ) = (S H ) (i.e. si B = 0). x 1 x p b 1 b n Proposition 6.38 Soient (S ) un système linéaire, (S H ) le système homogène associé et X 0 M p,1 (K) une solution de (S ). Pour tout X M p,1 (K), X est solution de (S ) ssi X X 0 est solution de (S H ). 4.2 Méthode de résolution Si P GL n (K), on a AX = B PAX = PB On peut donc utiliser des opérations élémentaires sur les lignes (simultanément sur A et sur B) pour résoudre un système. Pour faciliter cela, on travaillera sur la matrice (A B) obtenue en concaténant A et B. On échelonne A via des opérations sur les lignes. On obtient (A B ) avec A échelonnée. Le système a des solutions ssi les lignes nulles de A sont les lignes nulles de (A B ). Dans ce cas, on appelle inconnues principales les inconnues qui correspondent à un pivot de A, inconnues secondaires les autres. On continue à opérer sur les lignes de A de manière à rendre les pivots égaux à 1 et à mettre des 0 au dessus des pivots. S il n y a pas d inconnues secondaires, le système a une unique solution que l on peut lire directement. Sinon, on donne l ensemble des solutions en exprimant les inconnues secondaires en fonction des inconnues principales. Exemple 6.18 On considère le système suivant, d inconnues x, y, z K : On met sous forme matricielle et on échelonne : L 2 2L 2 3L L 3 2L 3 L L3 L 3 L x + 3y + z = 5 3x y + 2z = 2 x 4y + z = 1 La dernière ligne s interprète 0x + 0y + 0z = 8, ce qui est impossible : le système n a pas de solution. Lycée du Parc

116 Chapitre 6 Matrices Exemple 6.19 On considère le système suivant, d inconnues x, y, z, t K : x +2y +z +t +u = 3 ; x +3y +3z +4u = 1 ; x 2y z +t +3u = 1 ; 2x +4y +2z +2t +2u = L 2 L 2 L 1 L 3 L 3 + L 1 L 4 L 4 2L 1 L L 3 Le système a des solutions (la seule ligne nulle de A correspond bien à un 0 dans B). On a 3 inconnues principales x, y, t et 2 inconnues secondaires z, u : on passe à l étape suivante L 1 L 1 2L L 1 L 1 3L L 2 L 2 + L On exprime alors les inconnues principales en fonction des inconnues secondaires : x = 5 + 3z + 11u y = 2 2z 5u t = 2 2u À chaque choix de valeurs pour les inconnues secondaires u et z correspondent donc d uniques valeurs de x, y et t telles que (x, y, z, t, u) soit solution du système. On peut alors donner l ensemble des solutions sous forme paramétrique : { (5 + 3z + 11u, 2 2z 5u, z, 2 2u, u), (z, u) K 2 } 4.3 Systèmes de Cramer Définition 6.39 Un système linéaire (S ) : AX = B est dit de Cramer s il admet une unique solution. Lycée du Parc

117 Chapitre 6 Matrices Proposition 6.40 Soit (S ) : AX = B un système linéaire. (S ) est de Cramer ssi A est inversible. Dans ce cas, l unique solution est donnée par X = A 1 B. (S ) est de Cramer ssi le système homogène (S H ) associé est de Cramer. Lycée du Parc

118 Chapitre 6 Matrices Travaux dirigés Exercice 6.20 ( ) cos θ sin θ Pour θ R, on pose R θ =. sin θ cos θ 1. Montrer que pour tous θ, θ R, R θ R θ = R θ+θ. Exercice En déduire la valeur de Une matrice de M n (R) est dite stochastique si ses coefficients sont positifs ou nuls et que la somme de chacune de ses lignes vaut 1. Montrer que le produit de deux matrices stochastiques est stochastique. Exercice 6.22 ( ) 1 1 Soit A = Déterminer A n pour n N. 2. Soient x 0, y 0 R. On définit deux suites (x n ) n N et (y n ) n N par x n+1 = x n y n n N y n+1 = x n + y n Pour n N, on pose X n = ( ) xn. y n a. Pour n N, exprimer X n+1 en fonction de A et de X n. b. En déduire les expressions de x n et y n en fonction de x 0, y 0 et de n N. Exercice Soient A = 0 0 0, B = et C = Calculer AB et BA. 2. Calculer A 2 et en déduire la valeur de A n pour n N. 3. Calculer B 2 et en déduire la valeur de B n pour n N. 4. Déduire de ce qui précède la valeur de C n pour n N. Exercice On considère un réel a et les matrices J = 0 0 1, B = ai 3 et A = J + B Calculer B n et J n pour n N. 2. En déduire la valeur de A n pour n N. Lycée du Parc

119 Chapitre 6 Matrices Exercice On considère les matrices A = et B = Calculer B n pour n N. Exercice En déduire que pour n N, A n = 2 n I 3 + 5n 2 n 3 B. Déterminer si c est possible l inverse des matrices suivantes Exercice Soit A = Exercice 6.28 a. Calculer A 3 4A 2 + A + 6I b. En déduire que A est inversible et exprimer son inverse en fonction de A. 2. Généralisation : Soit A M n (K) et P = d c k X k K[X] tel que P(A) = 0 (on dit que P est un polynôme annulateur de A). Montrer que si c 0 0, alors A est inversible. Soit A = (a i, j ) M n (K). On appelle trace de A, et l on note Tr A le scalaire k=0 Tr A = Autrement dit, la trace d une matrice carrée est la somme de ses coefficients diagonaux. 1. Montrer que pour tous A, B M n (K) et λ K, Tr(A + λb) = Tr(A) + λ Tr(B). Exercice 6.29 n k=1 a k,k 2. Montrer que pour tous A, B M n (K), on a Tr(AB) = Tr(BA). 3. En déduire que deux matrices semblables ont la même trace. Soit (u n ) n N la suite définie par u 0 = 0, u 1 = 1, u 2 = 2 et n N, u n+3 = 6u n+2 11u n+1 + 6u n On pose A = et P = Montrer que P est inversible et calculer P 1 AP. 2. En déduire la valeur de A n pour n N. 3. Calculer u n pour n N. Lycée du Parc

120 Chapitre 6 Matrices Exercice 6.30 On cherche à déterminer les matrices A M n (K) telles que B M n (K), AB = BA. 1. Soit A M n (K). Calculer AE k,l et E k,l A pour l, k 1, n. 2. Conclure. Exercice 6.31 Résoudre les systèmes linéaires suivants : x y + z = 5 2x + y z = 1 x y + z = 2 4x + y + z = 3 2x + y z = 1 3x + 3y z = 2 2x + 4y = x + y + z = 1 x y z = 2 4x y z = 5 x + y + z t = 1 x y z + t = 2 x y z t = 3 2x + y iz = 1 ix y + z = 2 4x + y + z = 3 Exercice 6.32 Discuter suivant les valeurs des paramètres réels λ et m les solutions dans R des systèmes suivants. 1. x y + z = λx x + y + z = λy x + y + z = λz 2. x my + m 2 z = 2m mx m 2 y + mz = 2m mx + y m 2 z = 1 m Exercice 6.33 m 1 1 On considère la matrice A = 1 m 1, où m R. 1 1 m Déterminer les valeurs de m pour lesquelles A est inversible, et calculer dans ce cas son inverse. Lycée du Parc

121 Chapitre 6 Matrices Études Exercice a b 1. On se donne une matrice A A 3 (R) que l on écrit sous la forme A = a 0 c. b c 0 On pose α = a 2 + b 2 + c 2. Exercice 6.35 a. Montrer que A 3 = αa. b. En déduire que A n est pas inversible. c. Montrer que n N, A 2n+1 = ( α) n A. d. En déduire que, s il existe un entier n N tel que A n = 0 Mn (R), alors A = 0 Mn (R). 2. On se donne maintenant S S n (R), où n N. a. Montrer que si S 2 = 0 Mn (R), alors S = 0 Mn (R). On pourra s intéresser aux coefficients diagonaux de S 2. b. Montrer que, pour tout entier k N, on a S 2k = 0 Mn (R) S = 0 Mn (R). c. En déduire que, s il existe p N tel que S p = 0 Mn (R), alors S = 0 Mn (R). Soit n N, n 2. On s intéresse aux matrices de M n (R) dont le carré vaut 0 n. On note F n = { } M M n (R) ; M 2 = 0 n et M 0 n. 1. a. Déterminer si ( ) ( ) et sont dans F2. b. La somme de deux éléments de F 2 est-elle nécessairement dans F 2? c. Le produit de deux éléments de F 2 est-il nécessairement dans F 2? d. La transposée d un élément de F 2 est-elle nécessairement dans F 2? 2. Quelques résultats généraux a. Montrer que tout élément de F n est non inversible. b. Soient C, D F n. Montrer que (C + D) F n (CD + DC = 0 n et C + D 0 n ). c. Soit A F n. On pose B = A + I n. i. Exprimer B 2 comme combinaison linéaire de B et I n. En déduire que B est inversible et déterminer son inverse. ii. Soit k N. Exprimer B k comme combinaison linéaire de A et I n. iii. Soit p N. Exprimer p B k comme combinaison linéaire de A et I n. k=0 ( ) d. Soit A = i. A-t-on A F 3? ii. Déterminer (A + I 3 ) Étude du cas n = 2 a. Déterminer F 2. On posera M = ( ) a b c d, on distinguera les cas b = 0 et b 0 et l on exprimera M en fonction d un ou deux paramètres selon les cas. b. Soit A = ( ). Déterminer l ensemble des B F2 telles que A + B F 2. Lycée du Parc

122 Chapitre 6 Matrices Exercice 6.36 a b b Soient a, b K et M = b a b. b b a Calculer M n pour n N. Exercice 6.37 Pour n N, on pose A n = Déterminer A n n. Exercices supplémentaires ( ) 1 1 n 1. n 1 Exercice Soit J = Montrer qu il existe trois suites u, v, w telles que, pour tout n N, on ait u n v n u n J n = v n w n v n u n v n u n Exercice 6.39 On précisera les relations de récurrence que vérifient ces suites. 2. Trouver une relation entre u n et u n+2 pour n N. 3. En déduire les termes généraux de (u n ), (v n ) et (w n ). Soit n N et A = (a i, j ) la matrice de M n (R) telle que pour i, j 1, n, on ait a i, j = i j. Déterminer A 2 puis A p et (I n + A) p pour p N. Exercice 6.40 Soient n N et A, B M n (K). Montrer que si A + B = AB, alors I n A est inversible. Exercice b 0 2 Soient b R et M = 0 b b Exercice Donner une condition nécessaire et suffisante sur b pour que M soit inversible. 2. Calculer M n pour n N. Soit A M n (R) telle que A t AA = I n. Montrer que A S n (R). Lycée du Parc

123 Chapitre 6 Matrices Exercice 6.43 Pour n N, on considère la matrice A = (i + j) 1 i, j n de M n (R). Déterminer, suivant la valeur de n, si A est inversible. Exercice 6.44 Soient n N et A, B M n (R). On suppose que A, B et A B sont inversibles. Montrer que A 1 B 1 est inversible et déterminer son inverse. Lycée du Parc

124 CHAPITRE 7 ESPACES PROBABILISÉS Dans tout le chapitre, n désignera sauf mention contraire un entier naturel. 1 Dénombrement 1.1 Cardinaux Définition 7.1 Soient E et F deux ensembles. On dit que E est en bijection avec F s il existe une bijection de E dans F. E est en bijection avec F ssi F est en bijection avec E (en utilisant la bijection réciproque). On pourra donc simplement dire que E et F sont en bijection. Définition 7.2 Soit E un ensemble. On dit que E est fini s il existe un entier naturel n tel que E soit en bijection avec 1, n. Dans ce cas, n est unique et appelé cardinal de E. On le note Card E. Il faut surtout retenir que le cardinal d un ensemble fini est son nombre d éléments. Proposition 7.3 Soient E et F deux ensemble finis. Toute partie de E est finie. Card E = 0 ssi E =. Card E = Card F ssi E est en bijection avec F. Proposition 7.4 Soient n N et A 1, A 2,..., A n des ensembles finis deux-à-deux disjoints. On a Card (A 1 A n ) = Card A Card A n Lycée du Parc

125 Chapitre 7 Espaces probabilisés Proposition 7.5 Lemme des bergers Soient n, k N et A 1,..., A n des ensembles finis deux-à-deux disjoints de même cardinal k. Card(A 1 A k ) = n k Sous les hypothèses du théorème (pas de mouton à cinq pattes, pas de patte partagée par plusieurs moutons), un berger peut donc déterminer le nombre de moutons en comptant le nombre de pattes (ou inversement, bien entendu). Proposition 7.6 Soient n N et E, F deux ensembles finis. Card(E F) = Card E Card F. Card(E n ) = Card(E) n s Le premier point découle du lemme du berger : en effet, E F = x E({x} F) donc E F est la réunion disjointe de Card E ensembles dont chacun est de cardinal Card F. Le deuxième point découle directement du premier. Plus généralement, si A 1,..., A n sont des ensembles finis, on a Card(A 1 A n ) = Card A 1... Card A n. Exercice 7.1 Soit E un ensemble de cardinal n N. 1. Déterminer le nombre de couples d éléments distincts de E. 2. Pour p N, déterminer le nombre de p-uplets d éléments distincts de E. Proposition 7.7 Soient E un ensemble fini et A, B E. Card A = Card E Card A Card(A \ B) = Card A Card(A B) Card(A B) = Card A + Card B Card(A B) s Si A E, alors Card A Card E avec égalité ssi A = E. Card(A B) Card A + Card B avec égalité ssi A et B sont disjoints. Théorème 7.8 Formule du crible Soient n N et A 1,..., A n des ensembles finis. n n k Card A i = ( 1)k+1 Card A im i=1 1 i 1 < <i k n k=1 m=1 Lycée du Parc

126 Chapitre 7 Espaces probabilisés s Pour n = 2, on retrouve la formule Card(A 1 A 2 ) = Card A 1 + Card A 2 Card(A 1 A 2 ). Pour n = 3, on obtient Card(A 1 A 2 A 3 ) = Card A 1 + Card A 2 + Card A 3 Card(A 1 A 2 ) Card(A 1 A 3 ) Card(A 2 A 3 ) + Card(A 1 A 2 A 3 ). Il est possible de retrouver rapidement la formule générale si l on en comprend le principe. Si vous n êtes pas sûr de pouvoir le faire, il faut l apprendre... Exercice 7.2 Sur un échantillon de chats noirs, jugé représentatif de la population féline, on a dénombré 423 mâles, 655 chats à poils ras et 259 mâles à poils ras. Il y a 312 chats courageux, 148 mâles courageux, 114 chats courageux à poils ras et 58 mâles courageux à poils ras. Combien y a-t-il de femelles froussardes à poils longs? 1.2 Liens avec les applications Théorème 7.9 Soie E, F deux ensembles finis et f : E F. On a Card E = Card ( f 1 ({y}) ). y F Attention, f 1 ({y}) désigne l ensemble des antécédents de y par f (ensemble qui peut contenir zéro, un ou plusieurs éléments). f n étant pas supposée bijective, l application réciproque f 1 n existe a priori pas. Proposition 7.10 Lemme du berger, bis Soient E et F deux ensembles finis et f : E F. Si chaque élément de F admet exactement k antécédents par f, alors Card E = k Card F. Exemple 7.3 Soit E un ensemble à n éléments et p 0, n. On souhaite déterminer le nombre de parties de E à p éléments. On commence par dénombrer les p-uplets d éléments distincts de E (cf exercice 7.1), puis l on considère l application qui va de l ensemble des p-uplets d éléments distincts de E dans l ensemble des parties de E à p éléments qui à un p-uplet (x 1,..., x p ) associe la partie {x 1,..., x p }. Chaque partie {x 1,..., x p } a exactement p! antécédents par cette application, on en déduit le nombre de parties de E à p éléments grâce au lemme des bergers. Proposition 7.11 Soient E, F deux ensembles finis et f : E F. Si f est injective, alors Card E Card F. Si f est surjective, alors Card E Card F. Si Card E = Card F, alors f est bijective ssi elle est injective ssi elle est surjective. Lycée du Parc

127 Chapitre 7 Espaces probabilisés Par contraposée du premier point, on obtient le principe des tiroirs : si Card E > Card F, alors il n y a pas d application injective de E dans F. Si l on range des chaussettes dans des tiroirs et qu il y a plus de chaussettes que de tiroirs, alors il y a forcément au moins un tiroir qui contient au moins deux chaussettes. Exercice 7.4 Soient n N et x 1,..., x n+1 dans [0, 1]. Montrer qu il existe deux éléments i et j distincts de 1, n tels que x i x j 1 n. Exercice 7.5 Montrer que dans un groupe de n personnes, on peut toujours en trouver 2 qui connaissent le même nombre de personnes (en supposant que si A connaît B, alors B connaît A). On pourra commencer par supposer qu il n y a pas d individu «isolé» (ne connaissant personne d autre). 1.3 Dénombrement usuels Définition 7.12 Soient E un ensemble et p N. Une p-liste d éléments de E est un p-uplet d éléments de E. Un arrangement de p éléments de E est un p-uplet d éléments distincts (deux-à-deux) de E. Une combinaison de p éléments de E est une partie de E de cardinal p. Proposition 7.13 Soient E un ensemble fini de cardinal n, p N et k 0, n. Le nombre de p-listes d éléments de E est n p. Le nombre d arrangement de k éléments de E est A k n = n(n 1)... (n (k 1)) = n! (n k)!. Le nombre de combinaisons de k éléments de E est ( n k). Si k < 0 ou k > n, il n y a bien sûr pas d arrangement ni de combinaison de k éléments de E. Ces différents types d objets correspondent à différents types de tirages. Considérons par exemple une urne contenant n boules deux-à-deux distinctes (numérotées de 1 à n par exemple) dans laquelle on effectue un tirage de p boules. Si le tirage est fait avec remise et que l on tient compte de l ordre, un tirage correspond à une p-liste (d éléments de 1, n ). Si le tirage est fait sans remise et en tenant compte de l ordre, un tirage correspond à un arrangement de p éléments de 1, n. Si le tirage est fait sans remise, sans tenir compte de l ordre (typiquement un tirage simultané de p boules), un tirage correspond à une combinaison de p éléments de 1, n. Exemple 7.6 Exercice 7.7 Choisir une main de 5 cartes dans un jeu de 32 cartes, c est effectuer un tirage simultané (i.e. sans remise et sans tenir compte de l ordre) de 5 cartes parmi 32. Il y a donc ( 32 5 ) = mains différentes. On considère des mains de 5 cartes tirées parmi un jeu de 52 cartes. Combien y a-t-il de mains avec : 1. un carré d as? 2. un carré? Lycée du Parc

128 Chapitre 7 Espaces probabilisés 3. un full? 4. un brelan (et pas de carré)? 5. une double paire (et ni full ni carré)? 6. exactement deux as et deux cœurs? On peut associer naturellement (et bijectivement) les p-listes d éléments de E avec les applications de 1, p dans E et les arrangements de p éléments de E avec les applications injectives de 1, p dans E. On en déduit les théorèmes suivants. Théorème 7.14 Soient E et F deux ensemble finis. On note F E l ensemble des applications de E dans F. On a alors Card ( F E) = (Card F) Card E. En particulier, si E et F sont finis, l ensemble des applications de E dans F est fini. Exemple 7.8 On considère un ensemble E de cardinal n et l on souhaite dénombrer l ensemble P(E) de ses parties. On peut remarquer que P(E) = n P k, où P k est l ensemble des parties de E à k éléments. Cette k=0 réunion étant disjointe, on a Card P(E) = n Card P k = n ) = (1 + 1) n = 2 n. k=0 On peut aussi remarquer qu on a une bijection entre l ensemble des parties de E et l ensemble des applications de E dans {0, 1} (en associant à une partie sa fonction indicatrice). On a donc Card P(E) = Card ( {0, 1} E) = (Card{0, 1}) Card E = 2 n. k=0 ( n k Proposition 7.15 Soient E et F deux ensembles finis. Si Card E Card F, le nombre d injections de E dans F est A Card E Card F. Si Card E > Card F, il n y a aucune injection de E dans F (et l on pose d ailleurs usuellement An p p > n). = 0 si Proposition 7.16 Soit E un ensemble fini de cardinal n N. Le nombre de bijections de E dans E est n!. s Une bijection d un ensemble E dans lui-même est couramment appelée permutation de E. Dans le cas particulier où E = 1, n, une permutation σ : E E est habituellement notée (σ(1),..., σ(n)). Exemple 7.9 L ensemble des permutations de 1, 3 est {(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)}, où (2, 1, 3) désigne l application σ : 1, 3 1, 3 telle que σ(1) = 2, σ(2) = 1 et σ(3) = 3. Exercice 7.10 Combien y a-t-il de manières de mélanger un jeu de 32 cartes? Lycée du Parc

129 Chapitre 7 Espaces probabilisés 2 Espaces probabilisés Une expérience aléatoire est une expérience dont les résultats possibles sont connus a priori mais dépendent du hasard. Ces résultats possibles sont appelés issues, et l ensemble de toutes les issues est appelé univers, et noté Ω. On se limitera cette année au cas où Ω est fini. Un événement est une propriété que l issue de l expérience peut ou non avoir. On identifie un événement avec l ensembles des issues qui le réalisent : un événement sera donc une partie de Ω. Dans le cas qui nous intéresse cette année (Ω fini), l ensemble des événements sera exactement l ensemble P(Ω) des parties de Ω. Dans toute cette partie, Ω désignera un ensemble fini. 2.1 Univers et événements Définition 7.17 Ω est l événement certain. est l événement impossible. {ω}, où ω Ω est un événement élémentaire. Si A est un événement, A est l événement contraire de A. Deux événements A et B tels que A B = sont dits incompatibles. Exercice 7.11 Soient A 1,..., A n des événements d un univers Ω. Exprimer en fonction de A 1,..., A n les événements suivants. 1. Tous les A i sont réalisés. 2. L un au moins des A i est réalisé. 3. Aucun des A i n est réalisé. 4. L un au moins des A i n est pas réalisé. Définition 7.18 Soient n N et A 1,..., A n des événements. On dit que la famille (A 1,..., A n ) forme un système complet d événements (ou sce) si : n A i = Ω i=1 Les A i sont deux-à-deux incompatibles : i, j 1, n, i j A i A j =. s Pour tout événement A, le couple (A, A) est un sce. Si Ω = {ω 1,..., ω n }, alors ({ω 1 },..., {ω n }) est un sce. 2.2 Loi de probabilité Définition 7.19 On appelle probabilité (ou loi de probabilité) sur Ω toute application P : P(Ω) R + telle que : P(Ω) = 1 ; si A et B sont incompatibles, alors P(A B) = P(A) + P(B). s Étant donné une expérience aléatoire, le choix d une probabilité sur les événements est une modélisation de l expérience aléatoire. En cela, ce n est pas une activité purement mathématique. Lycée du Parc

130 Chapitre 7 Espaces probabilisés On appelle espace probabilisé fini un triplet (Ω, P(Ω), P), où Ω est un ensemble fini, P(Ω) l ensemble de ses parties et P une probabilité sur Ω. Proposition 7.20 Soit P une probabilité sur Ω. P( ) = 0 A Ω, P(A) = 1 P(A) A Ω, 0 P(A) 1 A, N Ω, A B P(A) P(B) A, B Ω, P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) On a donc P(A B) P(A) + P(B) avec égalité ssi A et B sont incompatibles. Exercice 7.12 On considère un espace probabilisé (Ω, P(Ω), P) et deux événements A et B tels que P(A) = 1 2 et P(B) = Donner un encadrement de P(A B) et de P(A B). 2. A et B peuvent-ils être incompatibles? 3. Déterminer quand P(A B) = 1 4. Proposition 7.21 Soient (Ω, P(Ω), P) un espace probabilisé, n N et A 1,..., A n des événements deux-à-deux incompatibles. P(A 1 A n ) = n P(A i ) i=1 Théorème 7.22 Soient n N, Ω = {ω 1,..., ω n } et p 1,..., p n R. Si i 1, n, p i 0 n p i = 1 i=1 alors il existe une unique probabilité P sur Ω telle que P(ω i ) = p i pour tout i de 1, n. La réciproque est vraie et découle directement des propriétés qui précèdent. Exercice 7.13 On lance un dé truqué tel que, pour k 1, 6, la probabilité d obtenir k soit proportionnelle à k. Quelle est la probabilité d obtenir un nombre pair? Proposition 7.23 Soient (A 1,..., A n ) un système complet d événements et P une probabilité sur Ω. P(A 1 A n ) = 1 B Ω, P(B) = n P(A i B) i=1 Lycée du Parc

131 Chapitre 7 Espaces probabilisés Théorème 7.24 Formule du crible Soient n N, A 1,..., A n des événements et P une probabilité sur Ω. n P(A 1 A n ) = ( 1)k+1 k=1 1 i 1 < <i k n k P A im m=1 2.3 Équiprobabilité Définition 7.25 Soit P une probabilité sur Ω. On dit qu il y a équiprobabilité, ou que P est uniforme, si ω Ω, P({ω}) = 1 Card Ω Proposition 7.26 Soit P une probabilité sur Ω. On suppose que P est uniforme. On a alors, pour tout événement A, P(A) = Card A Card Ω s nombre de cas favorables Usuellement, on retient que, en situation d équiprobabilité, P(A) = nombre de cas possibles. En situation d équiprobabilité, déterminer la probabilité d un événement A revient donc à dénombrer A et Ω. En pratique, on choisira souvent Ω de manière à avoir l équiprobabilité (cf exemple 7.14). Exemple 7.14 On lance simultanément deux dés identiques et équilibrés et l on fait la somme des résultats obtenus. On souhaite déterminer la probabilité d obtenir 10. A priori, on pourrait être tenté de poser Ω = 2, 12. L événement «obtenir 10» est alors l événement élémentaire {10}, mais comme on n est pas en situation d équiprobabilité, on ne peut pas directement déterminer sa probabilité. Il est plus judicieux de «faire comme si» on effectuait deux tirages successifs et de poser Ω = 1, 6 2. Cette fois, l expérience est correctement modélisée par la probabilité uniforme sur Ω. On a Card Ω = 36, et en notant A l événement «obtenir 10», on a A = {(6, 4), (5, 5), (4, 6)}, d où P(A) = Card A Card Ω = 3 36 = Lycée du Parc

132 Chapitre 7 Espaces probabilisés 3 Probabilités conditionnelles Dans toute cette partie, Ω désignera un ensemble fini et P une probabilité sur Ω. 3.1 Conditionnement 3.1.a Définition 7.27 Probabilité de A sachant B Soient A, B Ω tels que P(B) 0. On définit la probabilité de A sachant B par P(A B) = P B (A) = Les notations P B (A) et P(A B) sont interchangeables. Si P(B) 0, on a donc P(A B) = P(B) P(A B). Théorème 7.28 P(A B) P(B) Soit B un événement tel que P(B) 0. L application P B : P(Ω) R A P B (A) est une probabilité sur Ω. Cela signifie que P B a les propriétés d une loi de probabilité. Par exemple, on a P B (A) + P B (A) = b Théorème 7.29 Probabilités composées Probabilités composées Soient n N et A 1,..., A n des événements tels que P(A 1 A n ) 0. On a k 1, n, P(A 1 A k ) 0 ; P(A 1 A n ) = P(A 1 ) P(A 2 A 1 ) P(A 3 A 1 A 2 ) P(A n A 1... A n 1 ). Exercice 7.15 Une urne contient 3 boules vertes, quatre boules rouges, cinq boules bleues et six boules noires. On tire successivement trois boules sans remise. Quelle est la probabilité d obtenir successivement des boules de couleur verte, rouge et bleue? 3.1.c Théorème 7.30 Probabilités totales Probabilités totales Soient n N et (A 1,..., A n ) un système complet d événements tel que P(A i ) 0 pour tout i de 1, n. B Ω, P(B) = n P(B A i ) = i=1 n P(A i ) P(B A i ) i=1 Lycée du Parc

133 Chapitre 7 Espaces probabilisés En particulier, si P(A) {0, 1}, pour tout B Ω, P(B) = P(A)P(B A) + P(A)P(B A). Exercice 7.16 Une urne contient 10 dés. 4 de ces dés sont normaux, les autres sont équilibrés mais ont deux faces marquées 6 et aucune face marquée 1. On prend un dé au hasard dans l urne et on le lance. Quelle est la probabilité d obtenir 6? 3.1.d Proposition 7.31 Formule de Bayes Formule de Bayes Soient A, B Ω tels que P(A)P(B) 0. P(B A) = P(A B)P(B) P(A) Proposition 7.32 Formule de Bayes, bis Soient (A 1,..., A n ) un système complet d événements tel que i 1, n, P(A i ) 0 et B un événement tel que P(B) 0. On a i 1, n, P(A i B) = P(B A i)p(a i ) n P(B A j )P(A j ) En particulier, si P(A) 0 et P(A) 1, alors j=1 P(B A)P(A) P(A B) = P(B A)P(A) + P(B A)P(A) Exercice 7.17 Exercice 7.18 Une urne contient 10 dés. 4 de ces dés sont normaux, les autres sont équilibrés mais ont deux faces marquées 6 et aucune face marquée 1. On prend un dé au hasard dans l urne et on le lance. On obtient 6. Quelle est la probabilité que le dé soit truqué? Une maladie affecte une personne sur mille. On dispose d un test de dépistage qui a les caractéristiques suivantes : si la personne est malade, le test a une fiabilité de 99% ; si la personne est saine, le test a une fiabilité de 99,5%. On choisit un individu au hasard dans la population et le test a un résultat positif. Quelle est la probabilité que l individu soit effectivement porteur de la maladie? 3.2 Indépendance Définition 7.33 Deux événements A et B sont dits indépendants si P(A B) = P(A)P(B). Lycée du Parc

134 Chapitre 7 Espaces probabilisés Le fait que deux événements soient indépendants dépend du choix de la probabilité P (et donc de la modélisation que l on fait de l expérience aléatoire). Exercice 7.19 On dispose d une urne contenant deux pièces. On choisit au hasard l une des pièces et on la lance deux fois de suite. On considère les événements suivants : A : «on obtient face au premier lancer» ; B : «on obtient face au deuxième lancer». Les événements A et B sont-ils indépendants : 1. si les deux pièces sont équilibrées? 2. si l une des pièces est équilibrée et l autre truquée (avec une probabilité 1/3 d obtenir face)? Proposition 7.34 Soient A et B deux événements tels que P(B) 0. A et B sont indépendants ssi P(A B) = P(A). Proposition 7.35 Soient A et B deux événements. Si A et B sont indépendants, alors A et B sont indépendants ; A et B sont indépendants. Définition 7.36 Soient n N et A 1,..., A n des événements. A 1,..., A n sont dits mutuellement indépendants si, I 1, n, P A i = P(A i ). i I i I s Deux événements sont mutuellement indépendants ssi ils sont indépendants. Si des événements A 1,..., A n sont mutuellement indépendants, alors ils sont deux-à-deux indépendants. Attention, des événements A 1,..., A n peuvent être deux-à-deux indépendants sans être mutuellement indépendants (cf exercice 7.20). Exercice 7.20 On lance deux fois de suite un dé à six faces équilibré. On considère les événements suivants : A : «le premier chiffre obtenu est pair» ; B : «le deuxième chiffre obtenu est pair» ; C : «la somme des deux chiffres obtenus est paire». Montrer que A, B et C sont deux-à-deux indépendants, mais pas mutuellement indépendants. Lycée du Parc

135 Chapitre 7 Espaces probabilisés Définition 7.37 Soient Ω 1,..., Ω n des ensembles finis et P 1,..., P n des probabilités sur Ω 1,..., Ω n respectivement. Il existe une unique probabilité sur Ω 1 Ω n, appelée probabilité produit telle que (A 1,..., A n ) P(Ω 1 ) P(Ω n ), P(A 1 A n ) = n P(A i ) i=1 Cette probabilité produit est adaptée au cas où les n expériences aléatoires sont mutuellement indépendantes, ce qui en règle générale ne peut pas se prouver (c est du domaine de la modélisation). Si par exemple on joue n fois de suite à pile ou face, on supposera que les lancers sont indépendants (la pièces n a pas de mémoire...) et l on modélisera l expérience par l espace {P, F} n muni de la probabilité produit. Lycée du Parc

136 Chapitre 7 Espaces probabilisés Travaux dirigés Dénombrement Exercice 7.21 Combien y a-t-il d anagrammes du mot «chat»? Du mot «abracadabra»? Exercice 7.22 On monte un escalier en grimpant à chaque pas soit une soit deux marches. On note p n le nombre de façons d enchaîner les pas de une et deux marches pour monter un escalier de n marches. 1. Déterminer, pour n N, une relation entre p n, p n+1 et p n+2. Exercice En déduire l expression de p n en fonction de n. On veut répartir en trinômes les 45 élèves d une classe. De combien de manières différentes cette répartition peut-elle se faire? Exercice 7.24 On considère un entier naturel n et n points distincts du plan. On relie ces points deux-à-deux par des arêtes soit rouges soit bleues. 1. De combien de manières peut-on colorier les arêtes? Exercice On considère un groupe de n personnes. Montrer que si n 6, il est toujours possible de trouver 3 personnes parmi les n telles que soit les 3 personnes se connaissent toutes, soit aucune des trois ne connaît aucune des 2 autres. 3. Le résultat de la question précédente reste-t-il valable pour n = 5? Combien y a-t-il de n-uplets (x 1,..., x n ) 1, n n tels que max k 1,n x k = n? Exercice 7.26 Soit n N. Combien y a-t-il de triplets (x 1, x 2, x 3 ) d entiers naturels tels que x 1 + x 2 + x 3 = n? Exercice 7.27 Soit Ω l ensemble des entiers naturels formés de 4 chiffres pris dans {1, 2, 3, 4, 5}. On considère les parties de Ω : A des nombres formés de 4 chiffres distincts ; B des nombres qui ont exactement un chiffre doublé ; C des nombres qui ont exactement deux chiffres doublés ; D des nombres qui ont exactement un chiffre triplé ; E des nombres formés de 4 fois le même chiffre. 1. Dénombrer les ensembles Ω, A, B, C, D et E. 2. Calculer la somme des éléments de Ω. Lycée du Parc

137 Chapitre 7 Espaces probabilisés Probabilités Exercice 7.28 On considère une classe de n élèves. Pour chaque élève, on suppose que chaque jour de l année a la même probabilité d être le jour de son anniversaire et l on considère que l année comporte 365 jours. 1. a. Calculer la probabilité qu au moins deux élèves de la classe aient leur anniversaire le même jour. Exercice 7.29 b. À partir de quelle valeur de n cette probabilité devient-elle supérieure à 0,5? à 0,8? 2. Déterminer la probabilité qu au moins un élève soit né le même jour que le professeur. n femmes et n hommes s assoient autour d une table. Quelle est la probabilité qu on ait une alternance parfaite homme-femme? Exercice 7.30 On considère un groupe de n personnes. Tout le monde dépose ses clés dans une urne, puis chacun récupère un trousseau au hasard. 1. Quelle est la probabilité que tout le monde ait la bonne clé? Exercice Quelle est la probabilité que personne n ait la bonne clé? On utilisera la formule du crible. On considère une urne contenant n jetons numérotés de 1 à n (n 2). On tire successivement tous ces jetons, sans remise, et l on note (x 1,..., x n ) la liste des résultats obtenus. Pour i 1, n, on dit que l instant i est un instant record si le i-ème jeton tiré est plus grand que tous ceux tirés précédemment (en particulier, l instant 1 est forcément un instant record). 1. Pour 1 i n, calculer la probabilité que l instant i soit record. 2. Calculer la probabilité qu il y ait au cours des n tirages a. exactement 1 instant record ; b. n instants records ; c. exactement 2 instants records. Probabilités conditionnelles Exercice 7.32 Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules noires. On tire successivement trois boules sans remise. Quelle est la probabilité d obtenir la suite «rouge, noir, rouge»? Exercice 7.33 Exercice L un de mes voisins a deux enfants, dont (au moins) une fille. Quelle est la probabilité qu il ait un fils? 2. Mon autre voisin a aussi deux enfants, dont la plus âgée est une fille. Quelle est la probabilité qu il ait un fils? On dispose de deux dés A et B. Le dé A a 4 faces blanches et deux faces noires, le dé B 2 faces blanches et 4 faces noires. On lance une pièce truquée qui tombe sur «face» avec une probabilité 1 4. Si l on obtient «face», on joue uniquement avec le dé A. Si l on obtient «pile», on joue uniquement avec le dé B. Lycée du Parc

138 Chapitre 7 Espaces probabilisés Exercice Quelle est la probabilité d obtenir «blanc» au premier lancer? 2. Les résultats des lancers successifs sont-ils a priori indépendants? 3. Quelle est la probabilité d obtenir «blanc» au troisième lancer? 4. On a obtenu «blanc» aux deux premiers lancers. Quelle est la probabilité d obtenir «blanc» au troisième lancer? 5. On a obtenu «blanc» aux n premiers lancers (n 1). Déterminer la probabilité p n d avoir obtenu «face» au lancer de pièce. On dispose de deux pièces : la pièce A est équilibrée, la pièce B donne face avec une probabilité 3 4. On commence par choisir l une des deux pièces au hasard, puis, après chaque lancer, si l on obtient face, on conserve la pièce pour le lancer suivant ; si l on obtient pile, on change de pièce. On effectue ainsi une suite de lancers. Exercice Pour n N, on note p n la probabilité de jouer avec la pièce A au n-ième lancer. Montrer que (p n ) est arithmético-géométrique, et en déduire la valeur de p n pour n N. 2. Déterminer pour n N la probabilité d obtenir face au n-ième lancer, puis la limite de cette probabilité quand n +. On considère une urne blanche contenant une proportion a de boules blanches et une urne noire contenant une proportion b de boules noires (a, b ]0, 1[). Ces deux urnes ne contiennent que des boules noires et des boules blanches. On effectue une suite de tirages avec remise dans ces urnes en commençant par l urne blanche et en tirant ensuite dans l urne de la couleur de la boule que l on vient de tirer. 1. Calculer la probabilité p n de tirer une boule blanche au n-ième tirage. 2. Déterminer la limite de p n quand n +. Lycée du Parc

139 Chapitre 7 Espaces probabilisés Exercice 7.37 Études Combinaisons avec répétitions Un enfant dispose de n euros et souhaite les dépenser pour acheter des bonbons choisis parmi p types différents mais de même prix ; un euro pièce. L objet de cet exercice est de déterminer le nombre d(n, p) de façons de dépenser l intégralité de ces n euros. Attention, rien n oblige l enfant à acheter au moins un bonbon de chaque type. 1. Déterminer d(n, 1) et d(n, 2). 2. On suppose dans cette question que p = 3. On note n 3 le nombre de bonbons du troisième type achetés. a. Quelles sont les valeurs possibles de n 3? b. L entier n 3 étant fixé, combien y a-t-il de manières différentes de dépenser l argent restant pour acheter des bonbons des deux autres types? c. En déduire la valeur de d(n, 3). 3. a. En discutant le nombre de bonbons du p + 1-ème type achetés, montrer que d(n, p + 1) = n d(n k, p) k=0 b. Montrer par récurrence sur n que s N, n ( ) ( ) s + k n + s + 1 = s s + 1 k=0 Exercice 7.38 c. En déduire que d(n, p) = ( ) n+p 1 n. d. Retrouver directement ce résultat en codant un achat par un mot formé de n fois la lettre o et p 1 fois la lettre. 4. On suppose désormais que l enfant ne dépense pas forcément tout son argent (il achète néanmoins au moins un bonbon). Combien d achats différents peut-il effectuer? Marche aléatoire Une puce se déplace sur un carré ABCD. Elle se trouve sur le sommet A à l instant 0, et à chaque étape elle saute vers l un des deux sommets adjacents avec une probabilité 1 3 pour chaque sommet, ou reste sur son sommet actuel avec probabilité 1 3. Ainsi, si à un instant donné la puce se trouve sur le sommet D, elle se trouvera à l instant suivant sur l un des sommets A, C ou D avec probabilité 1 3 pour chacun des sommets. Pour n N, on note A n l événement «la puce se trouve sur le sommet A à l instant n (i.e. après n sauts)» et a n la probabilité de cet événement. On définit de même les événements B n, C n et D n et les probabilités b n, c n et d n. 1. Donner les relations de récurrence reliant, pour n N, les probabilités a n+1, b n+1, c n+1 et d n+1 à a n, b n, c n et d n. 2. On définit les matrices M = B = 3M I 4 J = K = a. Réécrire les relations trouvées à la question précédente sous forme d une équation matricielle. Lycée du Parc

140 Chapitre 7 Espaces probabilisés b. Montrer que, pour n 1, on a Exercice 7.39 c. En déduire que pour n 1, on a M n = 1 3 n I B n = 2 n 2 J + ( 1) n 2 n 2 K. (1 13 n ) J (( ) n 1 3 d. En déduire les expressions de a n, b n, c n et d n en fonction de n. ( ) n ) 1 K. 3 e. Déterminer les limites de ces expressions quand n tend vers +. Comment interpréter ce résultat? En étudiant le stationnement à Lyon, on a constaté que : un véhicule sur dix est en stationnement irrégulier ; parmi ces infractions aux règles de stationnement, les trois quarts sont dues à des contrevenants volontaires ; les véhicules en stationnement régulier, ainsi que ceux en infraction involontaire, ont une chance sur quarante d être contrôlés ; les véhicules des contrevenants volontaires, garés stratégiquement, n ont eux qu une chance sur soixante d être contrôlés. On notera I l événement «le véhicule est stationné irrégulièrement» ; V l événement «le véhicule est stationné irrégulièrement de manière volontaire» ; C l événement «le véhicule est contrôlé» Justifier que la probabilité qu un véhicule en stationnement irrégulier soit contrôlé vaut 160, i.e. que P I (C) = Quelle est la probabilité qu un véhicule en stationnement soit contrôlé? 3. Cécile a reçu une contravention pour stationnement irrégulier. Quelle est la probabilité qu elle ait volontairement commis une infraction N 4. Nicolas est un contrevenant volontaire compulsif : il se gare tous les jours sans payer le stationnement, sauf s il a été verbalisé la veille. Pour n N, on note N n l événement «Nicolas est un contrevenant volontaire le jour n» et l on suppose que Nicolas fraude le jour 0. On pose p n = P(N n ). a. Pour n N, exprimer p n+1 en fonction de p n. b. En déduire l expression de p n en fonction de n puis la limite de p n quand n +. Lycée du Parc

141 Chapitre 7 Espaces probabilisés Dénombrement Exercice 7.40 Exercices supplémentaires On considère deux points A et B situés sur une grille régulière sur laquelle A a pour coordonnées (0, 0) et B (n, p), où n et p sont dans N.. On appelle chemin monotone de A à B un chemin reliant A à B suivant la grille et tel que le déplacement à chaque «pas» se fasse soit vers la droite, soit vers le haut. Le schéma suivant montre deux chemins monotones possibles de A à B (avec n = 4 et p = 3). Exercice 7.41 Exercice Dénombrer les chemins monotones de A à B. 2. On considère un point C(l, k) avec 0 l n et 0 k p. Déterminer le nombre de chemins monotones reliant A à B en passant par C. 3. On se place à présent dans le cas n = p. En considérant les points C k (k, n k) pour k 0, n et en dénombrant de deux manières les chemins monotones de A à B, retrouver la formule de Van der Monde : n k=0 ( ) 2 n = k ( ) 2n n 1. De combien de manières peut-on payer 2ne en n utilisant que des pièces de 1e ou 2e? 2. De combien de manières peut-on payer 1e en n utilisant que des pièces de 1, 2 ou 5 centimes? On considère un carré de taille n. 1. Combien y a-t-il de carrés inscrits dans ce carré de taille n? Par exemple, pour n = 2, on a 4 carrés de taille 1 et 1 carré de taille 2, donc 5 carrés au total. Pour n = 3, on a au total 14 carrés... Exercice 7.43 Exercice Combien y a-t-il de rectangles inscrits dans le carré? 1. Combien y a-t-il d entiers d exactement 10 chiffres? 2. Combien y a-t-il d entiers d exactement 10 chiffres ne contenant pas de 8? 3. Combien y-a-t-il d entiers d au plus 10 chiffres ne contenant pas de 0? Soient E un ensemble de cardinal n et A une partie de E de cardinal p. 1. Dénombrer les parties B de E telles que A B. 2. Dénombrer les parties B de E telles que A B =. Lycée du Parc

142 Chapitre 7 Espaces probabilisés Exercice Dénombrer les parties B de E telles que Card(A B) = 1. De combien de manières peut-on paver un rectangle de taille 2 n avec des dominos de taille 2 1? Exercice 7.46 On a représenté ici les 3 pavages possibles pour n = 3. Un groupe de n personnes souhaite aller voir un film pour lequel deux séances sont proposées. 1. De combien de manières différentes peuvent-ils se répartir entre les deux séances si chacun va à exactement l une des deux séances? 2. Même question s il on considère que certains peuvent souhaiter aller aux deux séances (chacun va à au moins l une des deux séances). Probabilités Exercice 7.47 On considère un groupe de 2n personnes constitué de n hommes et n femmes. On tire successivement et sans remise 2 personnes au hasard parmi les membres du groupes, jusqu à avoir choisi tous les individus. Quelle est la probabilité que tous les couples ainsi tirés soient constitués d un homme et d une femme? Exercice touristes arrivent dans une ville contenant 3 hôtels, dans lesquels ils se répartissent de manière aléatoire. 1. Quelle est la probabilité qu ils soient tous dans le même hôtel? Exercice Quelle est la probabilité que l un (au moins) des hôtels soit vide? 3. Quelle est la probabilité qu exactement l un des hôtels soit vide? Deux enfants, prénommés Alice et Bob, se trouvent de part et d autre d une rivière et jouent à se passer une balle. À chaque fois qu Alice a la balle, elle tente de la passer à Bob et y parvient avec une probabilité de ; avec une probabilité de 10, la balle tombe dans la rivière. Il en est de même pour Bob, sauf que sa probabilité de succès n est que de 4 5. La rivière étant infestée de piranhas et animée d un courant violent, il est malheureusement impossible de récupérer une balle qui y serait tombée. Alice commence avec la balle. Au bout de n étapes, quelle est la probabilité que la balle soit dans les mains de Bob? Exercice 7.50 On dispose de deux urnes, la première contenant 1 boule noire et 4 boules blanches et la deuxième 2 boules noires et 3 boules blanches. On choisit au hasard l une des deux urnes puis l on effectue des tirages avec remise dans cette urne (qui est choisie une fois pour toutes). Lycée du Parc

143 Chapitre 7 Espaces probabilisés Exercice Quelle est la probabilité que la première boule tirée soit blanche? 2. Les événements «tirer une boule blanche en premier» et «tirer une boule blanche en deuxième» sont-ils indépendants? 3. Quelle est la probabilité d obtenir une boule blanche au deuxième tirage? 4. On obtient une boule blanche au n-ème tirage. Quelle est la probabilité d obtenir une boule blanche au n + 1-ème tirage? 5. On n a obtenu que des boules blanches lors des n premiers tirages. Quelle est la probabilité que la n + 1-ème soit également blanche? Quelle est la limite de cette probabilité quand n tend vers +? On dispose de m dés à 6 faces équilibrés. On les lance une première fois, on met de côté ceux qui ont amené 6 et l on relance les autres. On laisse de nouveau de côté ceux pour lesquels on obtient 6 et l on relance les autres, et ainsi de suite jusqu à obtenir m On fixe un dé et l on note A n l événement «le dé est lancé au plus n fois». Calculer P(A n ). Exercice Déterminer la probabilité de l événement B n : «on obtient les m 6 en au plus n lancers». 3. Déterminer la probabilité de l événement C n : «on obtient les m 6 en exactement n lancers». Un candidat joue à un jeu télévisé dont la règle est quelque peu contre-intuitive : il a face à lui 3 portes ; derrière l une de ces portes se trouve une voiture, derrière les deux autres un Kleenex ; il commence par désigner l une des 3 portes ; le présentateur ouvre alors l une des deux autres portes, derrière laquelle se trouve un Kleenex (ce qui est toujours possible) ; le candidat a donc à présent deux portes devant lui, celle qu il a déjà désignée et une autre ; le candidat choisit alors l une de ces deux portes, que le présentateur ouvre, et gagne ce qui se trouve derrière cette porte. Le candidat a donc essentiellement deux stratégies : soit il choisit la même porte les deux fois, soit il change de porte. Ces deux stratégies se valent-elles, ou l une est-elle meilleure que l autre? On fera l hypothèse que le candidat préfère gagner une voiture qu un Kleenex. Lycée du Parc

144 CHAPITRE 8 DÉRIVATION Dans tout ce chapitre, sauf mention contraire, D, E, F désigneront des parties de R et I, J des intervalles de R. On supposera donné, quand nécessaire, un repère du plan et l on notera C f la courbe d une fonction f dans ce repère. 1 Dérivée d une fonction 1.1 Dérivabilité 1.1.a Définition 8.1 Nombre dérivé en un point Soient f : I R et a, b deux éléments distincts de I. On appelle corde de f entre a et b la droite passant par les points A(a, f (a)) et B(b, f (b)) de C f. f (b) f (a) On appelle taux d accroissement de f entre a et b le réel b a, égal au coefficient directeur de la corde de C f entre a et b. B 5 4 f (b) f (a)= A b a=1.5 Taux d accroissement entre 0.5 et 2 : f (2) f (0.5) = = Figure 8.1 Corde et taux d accroissement. Lycée du Parc

145 Chapitre 8 Dérivation Définition 8.2 Nombre dérivée en un point Soient f : D R et a D. f est dite dérivable en a si f (x) f (a) x a l R, autrement dit si son taux d accroissement entre a et x x a admet une limite finie quand x tend vers a. Dans ce cas, cette limite est appelée nombre dérivé de f en a et l on note f (a) = lim x a f (x) f (a) x a s Une fonction peut donc être définie en a sans être dérivable en a pour deux raisons : soit parce que le taux d accroissement n a pas de limite, soit parce qu il a une limite infinie. En effectuant le changement de variable x = a + h, le taux d accroissement entre a et x s écrit f (x) f (a) f (x+h) f (x) l on peut donc remplacer l étude de x a quand x a par celle de h quand h 0. Définition 8.3 Soit f : D R. f est dite dérivable si elle est dérivable en a pour tout a D. Dans ce cas, on appelle fonction dérivée de f, et l on note f, la fonction f : D R x f (x). f (x+h) f (x) h et Théorème 8.4 Soient f : D R et a D. Si f est dérivable en a, alors f est continue en a. La réciproque est fausse, comme le montre l exemple 8.1. Exemple 8.1 Soit f : R + R x x, et soit a R +. Si a > 0 on a, pour tout x R + \ {a}, f (x) f (a) x a = x a x a = ( x a)( x+ a) (x a)( x+ a) = x a (x a)( x+ a) = 1 x+ a Exercice 8.2 Or x + a 2 a 0 car a 0, et donc x a a 0 et f (a) = 1 2 pour a 0. a Si a = 0 on étudie de même, pour x > 0, f (x) f (0) x 0 = f (x) f (a) x a x x 1 x a 2 R. Ainsi, f est dérivable en tout a = 1 x. Mais la limite de ce quotient quand x tend vers 0 est +, et x x n est donc pas dérivable en 0. Finalement, la fonction racine, qui est continue sur R + (et donc en particulier en 0), est dérivable en tout point de R + mais pas en 0. Soit f : R R x x 2. Montrer que f est dérivable et déterminer l expression de f (x) pour x R (à partir de la définition, bien sûr). Lycée du Parc

146 Chapitre 8 Dérivation Définition 8.5 Dérivée à gauche, à droite Soient f : D R et a D. f (x) f (a) Si Si x a f (x) f (a) x a x a + l R, on dit que f est dérivable à droite en a, et l on note f d f (x) f (a) (a) = lim x a + x a. l R, on dit que f est dérivable à gauche en a, et l on note f x a g(a) = lim x a f (x) f (a) x a. Proposition 8.6 Soient f : D R et a D. f est dérivable en a ssi elle admet des dérivées à gauche et à droite en a et que ces dérivées sont égales. On peut définir la dérivabilité à gauche et à droite en a de manière plus concise : f est dérivable à gauche (respectivement à droite) en a ssi f D ],a] (resp. f D [a,+ [ ) est dérivable en a. Exercice 8.3 Soit f : R R x x. Montrer que f est dérivable à gauche et à droite en 0 mais qu elle n est pas dérivable en 0. Proposition 8.7 Soient f : D R et a R. Si f est dérivable en a et si f (a) 0, alors f (x) f (a) x a f (a)(x a) s En admettant les résultats sur les dérivées des fonctions usuelles, cette propriété permet de retrouver les équivalents usuels. On peut effectuer le changement de variable x = a + h, on obtient alors f (x + h) f (x) h f (x). h 0 Attention à l hypothèse f (a) 0. Sinon, on obtient par exemple cos x cos 0 cos (0)(x 0), c est-à-dire x 0 cos x 1 0, ce qui est clairement faux. x 0 Exemple 8.4 La fonction sin est dérivable en 0 et sin (0) = cos 0 = 1. On en déduit sin x sin 0 x 0 1 (x 0), c est-à-dire sin x x 0 x. = 1. On en déduit ln x ln 1 1 (x 1), c est- x 1 La fonction ln est dérivable en 1 et ln (1) = 1 1 à-dire ln x ln(1 + h) h 0 h. x 1. En effectuant le changement de variable x = 1 + h, cet équivalent devient x 1 Proposition 8.8 Soient f : D R et a D. f est dérivable en a ssi il existe c R tel que Dans ce cas, on a f (a) = c. f (x) = f (a) + c(x a) + o x a (x a) Lycée du Parc

147 Chapitre 8 Dérivation s On dit que f admet un développement limité à l ordre 1 en a. Cette notion sera largement approfondie au chapitre suivant. Une nouvelle fois, on peut effectuer le changement de variable x = a + h pour obtenir, si f est dérivable en a, f (a + h) = f (a) + h f (a) + o h 0 (h). 1.1.b Définition 8.9 Tangente Soient f : D R, a D et A(a, f (a)). Si f est dérivable en a, on appelle tangente en A à C f la droite passant par A et de coefficient directeur f (a). Si f (x) f (a) x a x a ± et f (x) f (a) x a ordonnées et passant par A. Dans les autres cas, C f n admet pas de tangente en A. x a + ±, on appelle tangente en A à C f la droite parallèle à l axe des s On parle aussi de tangente à C f au point d abscisse a ou même simplement de tangente en a. Dans le deuxième cas, les limites à gauche et à droite peuvent être différentes, tant qu elles sont toutes les deux infinies. Parmi toutes les droites passant par A, la tangente est celle qui «colle le mieux» à C f autour de A (si une telle droite existe). Géométriquement, la tangente correspond à la position limite, si elle existe, de la corde reliant A(a; f (a)) et M(x; f (x)) quand x tend vers a. M M 3 M 2 Tangente a en A 3 A M a x 4 x x 2 x 1 Figure 8.2 Position limite des cordes. Proposition 8.10 Soient f : D R et a D. f est dérivable en a ssi elle admet une tangente non verticale T a au point d abscisse a et, dans ce cas, on a : T a : y = f (a)(x a) + f (a) Lycée du Parc

148 Chapitre 8 Dérivation C f A A a f (a)>0 f (a)<0 a Figure 8.3 Tangentes obliques B B C f a b A A Figure 8.4 Tangentes horizontales, f (a) = f (b) = 0 a A a Figure 8.5 Tangentes verticales, f n est pas dérivable en a. C f A a Les dérivées à gauche et à droite en a existent et sont différentes. La fonction n est pas dérivable en a et il n y a pas de tangente en A. Figure 8.6 Point anguleux. Lycée du Parc

149 Chapitre 8 Dérivation Définition 8.11 Soit f : I R dérivable. f est dite convexe si, pour tout a I, C f est au-dessus de sa tangente en a, i.e. si : a I x I, f (x) f (a)(x a) + f (a) f est dite concave si, pour tout a I, C f est en-dessous de sa tangente en a, i.e. si : a I x I, f (x) f (a)(x a) + f (a) Proposition 8.12 Soit f : I R dérivable. f est convexe ssi f est croissante. f est concave ssi f est décroissante. f est concave ssi f est convexe Figure 8.7 Fonction convexe (à gauche), fonction concave (à droite). Exercice 8.5 Montrer que ln est concave, et en déduire que x R +, ln x x c Fonctions à valeurs vectorielles Définition 8.13 Dérivée d une fonction à valeurs dans R n Soient n N, f 1,..., f n : D R, a D et f : D R n x ( f 1 (x), f 2 (x),..., f n (x)). La fonction f est dite dérivable en a ssi toutes les fonctions f 1,..., f n le sont. Dans ce cas, on pose f (a) = ( f 1 (a),..., f n(a)). Exercice 8.6 On considère un point du plan repéré par ses coordonnées cartésiennes. x(t) = cos(θ 0 )v 0 t L équation horaire de son mouvement est donnée pour t 0 par y(t) = sin(θ 0 )v 0 t 1 2 gt2 où θ 0, v 0 et g sont trois constantes réelles. Déterminer les vecteurs vitesse et accélération du point. Lycée du Parc

150 Chapitre 8 Dérivation Définition 8.14 Dérivée d une fonction à valeurs complexes Soient f : D C et a D. La fonction f est dite dérivable en a si les deux fonctions f 1 : D R x R( f (x)) et f 2 : D R x I( f (x)) le sont. Dans ce cas, on pose f (a) = f 1 (a) + i f 2 (a). Proposition 8.15 Soit z 0 C. La fonction f : R C x e z 0x est dérivable et x R, f (x) = z 0 e z 0x. Exemple 8.7 Soit f : R C θ e iθ. f est dérivable et x R, f (x) = ie ix = e i(x+ π 2 ) = f ( x + π 2 ). 1.2 Dérivabilité sur un intervalle Définition 8.16 Soient f : D R et I D (on rappelle que I désigne un intervalle). f est dite dérivable sur I si f D I est dérivable. Proposition 8.17 Soient f : D R et I un intervalle de bornes a et b, a < b tel que I D. Si I =]a, b[, f est dérivable sur I ssi elle est dérivable en tout x de I. Si I =]a, b], f est dérivable sur I ssi elle est dérivable en tout x de ]a, b[ et dérivable à gauche en b. Si I = [a, b[, f est dérivable sur I ssi elle est dérivable en tout x de ]a, b[ et dérivable à droite en a. Si I = [a, b], f est dérivable sur I ssi elle est dérivable en tout x de ]a, b[, dérivable à droite en a et dérivable à gauche en b. s On retiendra surtout qu il faut se méfier des bornes fermées des intervalles. On peut toujours revenir à la définition par le taux d accroissement au lieu de considérer les dérivées à gauche ou à droite (et c est parfois plus simple à comprendre). Exercice 8.8 e x si x 1 Soient a, b R et f : R R x ax 2 + b si x > 1 Pour quelles valeurs de a et b la fonction f est-elle dérivable sur R? On admet ici les résultats sur la dérivabilité des fonctions usuelles. Lycée du Parc

151 Chapitre 8 Dérivation 1.3 Dérivées des fonctions usuelles 1.4 Calcul de dérivée Proposition 8.18 f f s x c, c R x 0 x x n, n Z x nx n 1 pour x 0 si n < 0 exp exp ln x 1 x pour x > 0 sin cos cos sin 1 tan = 1 + tan 2 pour x π cos 2 2 [π] x x x 1 2 non dérivable en 0 x 1 si x < 0 x x x non dérivable en 0 1 si x > 0 x x a, a R x ax a 1 pour x > 0 Soient f, g : D R, E R tel que f (D) E, ϕ : E R, a D et λ, µ R. Si f et g sont dérivables en a, alors λ f + µg est dérivable en a et (λ f + µg) (a) = λ f (a) + µg (a) Si f et g sont dérivables en a, alors f g est dérivable en a et ( f g) (a) = f (a)g(a) + f (a)g (a) Si f est dérivable en a et ϕ dérivable en f (a), alors ϕ f est dérivable en a et (ϕ f ) (a) = f (a) ϕ ( f (a)) Le premier point traduit le fait que la dérivée est linéaire. Proposition 8.19 Si f, g : D R sont dérivables, alors λ f + µg est dérivable et (λ f + µg) = λ f + µg Si f, g : D R sont dérivables, alors f g est dérivables et ( f g) = f g + f g Si f : D E et ϕ : E R sont dérivables, alors ϕ f est dérivable et (ϕ f ) = f (ϕ f ) En prenant pour ϕ la fonction inverse, on obtient la formule permettant de dériver 1 f : Lycée du Parc

152 Chapitre 8 Dérivation Proposition 8.20 Si f est dérivable sur I et ne s annule pas sur I, alors 1 f est dérivable sur I et ( ) 1 = f f f 2 En combinant cette formule avec celle donnant la dérivée d un produit, on obtient la dérivée d un quotient : Proposition 8.21 Soient f, g : D R. Si f et g sont dérivables sur I D et que g ne s annule pas sur I, alors f g sur I et ( ) f = f g f g g g 2 est dérivable Exemple 8.9 On considère la fonction f : [ 1, 1] R x (x 1) 1 x 2 et l on souhaite étudier sa dérivabilité. x 1 x 2 est dérivable sur ] 1, 1[ à valeurs dans R + et X X est dérivable sur R +, donc (composée) x 1 x 2 est dérivable sur ] 1, 1[. x x 1 est dérivable sur R et donc sur ] 1, 1[ et x (x 1) 1 x 2 est donc dérivable sur ] 1, 1[ (produit). Pour x ] 1, 1[, on a f (x) = 1 x (x 1)( 2x) 2 = (1 x)(2x+1). 1 x 2 1 x 2 Les théorèmes généraux ne disent rien sur la dérivabilité de f en 1 et en 1 : il faut revenir à l étude du taux d accroissement a. On trouve alors que f n est pas dérivable en 1 (le taux d accroissement a une limite infinie) mais qu elle est dérivable en 1 (et que f (1) = 0). a. ou utiliser le théorème 8.35 sur la limite de la dérivée Figure 8.8 Courbe y = (x 1) 1 x 2 Lycée du Parc

153 Chapitre 8 Dérivation Exercice 8.10 Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes et étudier leur dérivabilité. On demande ici des justifications précises. 1. f 1 : x e sin x 2. f 2 : x x 3 3. f 3 : x ln(1 + x 2 ) On peut souvent alléger la rédaction en utilisant la propriété suivante : Proposition 8.22 Toute fonction obtenue comme somme, produit et composée de fonctions dérivables est dérivable. s Attention, on ne peut plus utiliser cette propriété dès qu il y a des racines ou des valeurs absolues dans l expression de f. En effet, les fonctions racine carrée et valeur absolue ne sont pas dérivables (puisqu elles sont définies en 0 sans y être dérivables). D un point de vue plus «comptable», si l on vous pose une question du type «justifier que la fonction f est dérivable», on attend en règle générale une réponse détaillée. 2 Dérivées successives 2.1 Dérivée d ordre n d une fonction Définition 8.23 Dérivées successives d une fonction Soit f : D R. On définit par récurrence les dérivées successives de f par : f (0) = f Pour n N, si f (n) est dérivable, alors f (n+1) = ( f (n)). On a donc, si ces dérivées existent, f (1) = f et f (2) = ( f ) (que l on note usuellement f ). Définition 8.24 Fonctions D n, fonctions C n Soient D R. On définit D 0 (D) = { f : D R}. C 0 (D) = C(D) = { f : D R, f est continue} Pour n N, D n+1 (D) = { f D n (D), f (n) est dérivable sur D}. Pour n N, C n (D) = { f D n (R), f (n) C(D)} C (D) = C n (D) n N s C 0 (D), usuellement noté C(D), est l ensemble des fonctions continues sur D. D 1 (D), usuellement noté D(D), est l ensemble des fonctions dérivables sur D. Une fonction appartenant à D n (D) est dite de classe D n sur D (ou n fois dérivable sur D). Une fonction appartenant à C n (D) (respectivement à C ) est dite de classe C n (resp. de classe C ) sur D. Une fonction est de classe C n ssi elle est n fois dérivable et que sa dérivée n-ième est continue. Une fonction est de classe C ssi sa dérivée n-ième existe pour tout n N. Lycée du Parc

154 Chapitre 8 Dérivation Proposition 8.25 On a les inclusions suivantes : D 0 (D) C 0 (D) D 1 (D) C 1 (D) D n (D) C n (D) C (D) Exercice 8.11 Soit f : R R x 1 x. Montrer que f est C et déterminer l expression de f (n) pour n N. Proposition 8.26 Les fonctions polynômes, la fonction inverse, les fonctions exp, ln, sin, cos et tan sont C sur leur domaine de définition respectif. La fonction racine carrée est C sur R +. Théorème 8.27 Soient D, E R, λ R et n N. Si f D n (D), alors λ f D n (D) et (λ f ) (n) = λ f (n). Si f, g D n (D), alors f + g D n (R) et ( f + g) (n) = f (n) + g (n). Si f, g D n (D), alors f g D n (R) et ( f g) (n) = n k=0 ( ) n f (k) g (n k) k Si f D n (D) et que ϕ D n (E) avec f (D) E, alors ϕ f D n (D). On a les mêmes propriétés en remplaçant D n (D) par C n (D) ou par C (D). Formule de Leibniz Exercice Montrer que f : R R x sin ( x 2 + e x) est C sur R. 2. Montrer que g : R R x x 2 e x est C sur R et déterminer l expression de g (n) pour n N. 3 Théorèmes fondamentaux 3.1 Dérivée et sens de variation Théorème 8.28 Soit f : I R dérivable (I est un intervalle). f est croissante sur I ssi f 0 sur I. f est décroissante sur I ssi f 0 sur I. f est constante sur I ssi f = 0 sur I. Si f est strictement positive sur I sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s annule, alors f est strictement croissante sur I. Si f est strictement négative sur I sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s annule, alors f est strictement décroissante sur I. Lycée du Parc

155 Chapitre 8 Dérivation s Attention à n utiliser cette propriété que sur un intervalle. Si l on prend f : R R x 1 x, on a f dérivable et x R, f (x) < 0, et pourtant f n est pas décroissante sur R. En revanche f est bien décroissante sur chacun des intervalles ], 0[ et ]0, + [. Les deux derniers points ne sont pas des équivalences. On a en fait la condition nécessaire et suffisante suivante (hors-programme) : f est strictement croissante ssi f 0 et f n est identiquement nulle sur aucun intervalle non réduit à un point. Définition 8.29 Soient f : D R et a D. On dit que f admet un maximum local en a s il existe un voisinage V de a tel que x D V f (x) f (a) f admet un minimum local en a s il existe un voisinage V de a tel que x D V f (x) f (a) f admet un extremum local en a si elle y admet un minimum local ou un maximum local. s Autrement dit, f admet un maximum local en a si l on a f (x) f (a) pour x suffisamment proche de a. Un maximum global est forcément un maximum local, mais la réciproque est fausse La fonction f : R R x x 3 4x 2 + 3x + 2 représentée ci-contre admet trois extrema locaux : deux minima locaux en x 1 = et en x 2 = 3 ; un maximum local en x 3 = Le minimum local en x 1 est également un minimum global ; f n admet pas de maximum global. 1 x 1 x Figure 8.9 Extrema d une fonction Proposition 8.30 Soient a, b R, f : ]a, b[ R dérivable et x 0 ]a, b[. Si f admet un extremum local en x 0, alors f (x 0 ) = 0. Si f s annule en changeant de signe en x 0, alors f admet un extremum local en x 0. s Le changement de signe de f est obligatoire. La fonction x x 3, définie sur R, a une dérivée nulle en 0 et elle n y a pourtant pas d extremum local (elle est strictement croissante sur R...). Attention également à n appliquer ce théorème que sur un intervalle ouvert. La fonction f : R + R x 2x + 3 a un minimum global (et donc local) en 0, et pourtant f (0) = 2. Lycée du Parc

156 Chapitre 8 Dérivation Exercice 8.13 Soit k R et f : R R x (1 k)x 2 + (1 + k)x Déterminer les valeurs de k pour lesquelles f admet un extremum local en f peut-elle avoir un extremum global en 0? 3.2 Accroissements finis Théorème 8.31 Théorème de Rolle Soient a, b R, a < b et f : [a, b] R. Si f est continue sur [a, b] f est dérivable sur ]a, b[ f (a) = f (b) alors c ]a, b[, f (c) = 0. s Il faut toujours citer précisément les hypothèses de ce théorème quand on l utilise. c n a bien sûr aucune raison d être unique. f (a)= f (b) a c 1 c 2 b Figure 8.10 Illustration du théorème de Rolle. Exercice 8.14 Soit P un polynôme de degré n 1 qui a n racines réelles simples. Montrer que toutes les racines de P sont simples. Théorème 8.32 Égalité des accroissements finis Soient a, b R, a < b et f : [a, b] R. Si f est continue sur [a, b] f est dérivable sur ]a, b[ alors c ]a, b[, f (b) f (a) b a = f (c) Lycée du Parc

157 Chapitre 8 Dérivation Géométriquement, l égalité des accroissements finis affirme qu il existe (au moins) une tangente à C f en un point de ]a, b[ qui soit parallèle à la corde entre a et b. Exercice 8.15 Soit f dérivable sur R telle que f + 0. Montrer que f (x) f( x) x 0. x + On a deux corollaires immédiats mais extrêmement utiles de ce théorème : Théorème 8.33 Inégalité des accroissements finis Soient a, b, m, M R, a < b et f : [a, b] R. On suppose que f est continue sur [a, b], dérivable sur ]a; b[. Si x ]a, b[, f (x) m, alors f (b) f (a) m(b a). Si x ]a, b[, f (x) M, alors f (b) f (a) M(b a). Intuitivement, ce n est pas franchement surprenant : si vous avez roulé de 14 heures (a) à 16 h 30 (b) et que votre compteur ( f (x)) n a jamais dépassé les 100 km/h (M), alors vous avez parcouru au plus 100(16-14,5)=250 kilomètres ( f (b) f (a) M(b a)). Théorème 8.34 Inégalité des accroissements finis, bis Soient I un intervalle de R, f : I R dérivable et M R. Si f M, alors x, y I, f (y) f (x) M y x Exercice 8.16 Exercice 8.17 Montrer que x > 0, 1 x+1 ln(x + 1) ln x 1 x. Soient f : R + R + x 2 + x et a R Montrer que x 0, f (x) x En déduire que la suite définie par u 0 = a et n N, u n+1 = f (u n ) converge vers une limite que l on déterminera. 3.3 Prolongements Théorème 8.35 Limite de la dérivée Soient I un intervalle non réduit à un point, f : I R et a I. On suppose que f est continue sur I et dérivable en tout point de I \ {a}. Si f (x) x a l R, alors f est dérivable en a et f (a) = l. Si f (x) x a ±, alors f n est pas dérivable en a et C f a une tangente verticale en a. Lycée du Parc

158 Chapitre 8 Dérivation s L intérêt de ce théorème est d éviter l étude du taux d accroissement (cf exemple 8.18). En particulier, si f est continue sur I, de classe C 1 sur I \ a et que f (x) l R, alors f est de classe C1 sur I. Attention, f peut être dérivable sans que sa dérivée soit continue (i.e. D 1 mais pas C 1 ) et f (a) peut donc exister alors que f (x) n a pas de limite quand x a, x a (cf exercice 8.19). Exemple 8.18 Soit f : [0, 1] R x x x x 2. x x et x x x 2 sont dérivables sur [0, 1] (fonctions polynômes), x x est dérivable sur ]0, + [, donc f est dérivable en tout point x de [0, 1] tel que x x 2 > 0, i.e. en tout x de ]0, 1[, et on a alors f (x) = x x 2 + x 1 2x 2 x x = 2x 2x2 + x 2x = x(1 x) x(3 4x) 2 x 1 x } {{ } car x>0 et 1 x>0 = x a x(3 4x) 2 1 x. En 0 On a x(3 4x) 0 et 2 1 x 2, donc f (x) 0. Par conséquent, f est dérivable en 0 x 0 x 0 x 0 et f (0) = 0. De plus, f est C 1 sur [0; 1[. En 1 On a x(3 4x) 1 < 0 et 2 1 x 0 +, donc f (x). f n est donc pas dérivable x 1 x 1 x 1 en 1, elle admet un tangente verticale au point d abscisse 1. Exercice 8.19 x 2 sin ( ) 1 x si x 0 Soit f : R R x 0 si x = 0 Montrer que f est dérivable mais que f n est pas continue en 0 (donc en particulier que f D 1 (R) mais f C 1 (R)). 3.4 Dérivée de la réciproque 3.4.a Théorème 8.36 Dérivabilité de f 1 Soit f : I R continue et strictement monotone. f réalise une bijection de I dans f (I) et sa bijection réciproque f 1 est continue, de même monotonie que f. Pour y 0 f (I), si f est dérivable en f 1 (y 0 ) et que f ( f 1 (y 0 )) 0, alors f 1 est dérivable en y 0 et ( f 1 ) (y 0 ) = 1 f ( f 1 (y 0 )) s Le premier point est une reformulation du théorème de la bijection monotone. Dans le deuxième point, la condition donnée est suffisante, mais pas nécessaire. Si C f admet une tangente verticale en f 1 (y 0 ), alors f 1 est dérivable en y 0 et ( f 1 ) (y 0 ) = 0. On se référera à la figure La forme de ( f 1) (y) peut facilement être retrouvée en écrivant que y f (I), f ( f 1 (y)) = y et en dérivant. Ce n est par contre pas une preuve du théorème puisqu on ne démontre pas que f 1 est dérivable. Lycée du Parc

159 Chapitre 8 Dérivation T a y= x y= f (x) T b T c T c T b y= f 1 (x) T a Figure 8.11 Dérivée de la réciproque On rappelle que les courbes de f et de f 1 sont symétriques par rapport à la droite d équation y = x ; il en est donc de même de leurs tangentes. Sur le graphique, on observe ainsi que la tangente T a au point d abscisse 9 2 de C f 1 est symétrique de celle T a au point d abscisse 0 de C f (car f (0) = 9 2 ). De même, T b, tangente verticale à C f, correspond à une tangente horizontale T b à C f 1, et T c à T c. Théorème 8.37 Soit f : I R dérivable. Si x I, f (x) > 0 (respectivement f (x) < 0), alors f réalise une bijection strictement croissante (resp. décroissante) de I vers f (I) et sa dérivée réciproque est dérivable, de dérivée : ( f 1 ) = 1 f f 1 Si on suppose de plus que f est de classe C n (respectivement de classe C ), alors f 1 est de classe C n (resp. de classe C ). 3.4.b Définition 8.38 Application aux fonctions trigonométriques réciproques La fonction sin : est continue sur [ π 2, π 2 ] ; est strictement croissante sur [ π 2, π 2 ] ; vérifie sin ( π 2 ) = 1 et sin ( π 2 ) = 1. Elle réalise donc une bijection de [ π 2, π 2 ] sur [ 1, 1]. Sa bijection réciproque, notée arcsin, est continue et strictement croissante de [ 1, 1] sur [ π 2, π 2 ]. Lycée du Parc

160 Chapitre 8 Dérivation Si x [ 1, 1], il y a une infinité de réels dont le sinus vaut x. Parmi tout ces réels, un seul appartient à [ π 2, π 2 ] : c est arcsin(x), par définition. Proposition 8.39 x [ 1, 1], sin(arcsin(x)) = x. θ [ π 2, π 2 ], arcsin(sin(θ)) = θ. arcsin est impaire. x [ 1, 1], cos(arcsin(x)) = 1 x 2. Si l on veut calculer arcsin(sin θ) avec θ R, il faut d abord se ramener dans [ π 2, π 2 ]. Exercice Calculer arcsin( 1), arcsin(0), arcsin(1), arcsin 2. Calculer arcsin(sin( 5π)) et arcsin ( sin ( )) 23π 5. ( ) 3 2, arcsin ( 1 2 ) et arcsin ( 1 2). Théorème 8.40 arcsin est dérivable sur ] 1, 1[ et x ] 1, 1[, arcsin (x) = 1 1 x 2 arcsin n est pas dérivable en 1 et en 1, sa courbe y admet des tangentes verticales. π + 2 y=arcsin x y= x + 1 y=sin x π π π 2 Figure 8.12 Courbe de arcsin Lycée du Parc

161 Chapitre 8 Dérivation Définition 8.41 La fonction cos : est continue sur [0, π] ; est strictement décroissante sur [0, π] ; vérifie cos 0 = 1 et cos π = 1. Elle réalise donc une bijection de [0, π] sur [ 1, 1]. Sa bijection réciproque, notée arccos, est continue et strictement décroissante de [ 1, 1] sur [0, π]. Si x [ 1, 1], il y a une infinité de réels dont le cosinus vaut x. Parmi tous ces réels, un seul appartient à [0, π] : c est par définition arccos x. Proposition 8.42 x [ 1, 1], cos(arccos(x)) = x. θ [0, π], arccos(cos θ) = θ. x [ 1, 1], sin(arccos(x)) = 1 x 2. Exercice 8.21 ( ) 1. Calculer arccos( 1), arccos(0), arccos(1), arccos 3 2, arccos ( ) ( 1 2 et arccos 1 2). 2. Calculer arccos(cos( 5π)), arccos ( cos ( )) ( ( )) 13π 5 et arccos sin π 7. π y= x y=arccos x π π 2 + π + 1 y=cos x Figure 8.13 Courbe de arccos Lycée du Parc

162 Chapitre 8 Dérivation Théorème 8.43 arccos est dérivable sur ] 1, 1[ et x ] 1, 1[, arccos (x) = 1 1 x 2 arccos n est pas dérivable en 1 et en 1, sa courbe y admet des tangentes verticales. Exercice 8.22 Montrer que x [ 1, 1], arcsin x + arccos x = π 2. Définition 8.44 La fonction tan : est continue sur ] π 2, π 2 [ ; est strictement croissante sur ] π 2, [ π 2 ; vérifie tan x et tan x +. x π + 2 x π 2 Elle réalise donc une bijection de ] π 2, [ π 2 sur R. Sa bijection réciproque, notée arctan, est continue et strictement croissante de R sur ] π 2, [ π 2. De plus, on a arctan x π π x 2 et arctan x x + 2. Si x R, il y a une infinité de réels dont la tangente vaut x. Parmi tous ces réels, un seul appartient à ] π 2, π 2 [ : c est par définition arctan x. Proposition 8.45 x R, tan(arctan x) = x. θ ] π 2, [ π 2, arctan(tan θ) = θ. arctan est impaire. x R, cos(arctan x) = 1 et sin(arctan x) = x. 1+x 2 1+x 2 Exercice 8.23 Calculer arctan ( tan 19π 5 ). Théorème 8.46 La fonction arctan est dérivable sur R et x R, arctan (x) = x 2 Lycée du Parc

163 Chapitre 8 Dérivation π + 2 y=arctan x + π 2 π π 2 y=tan x Figure 8.14 Courbe de arctan 4 Formules de Taylor Théorème 8.47 Égalité de Taylor-Lagrange Soient I un intervalle non réduit à un point, f de classe C n+1 sur I et a, b I, a b. Il existe alors c ]a, b[ (ou ]b, a[ si b < a) tel que : f (b) = n (b a) k f (k) (a) + k! k=0 (b a)n+1 (n + 1)! f (n+1) (c) s En prenant n = 0, on retrouve l égalité des accroissements finis. En posant b = a + h, la formule dit alors qu il existe c entre a et a + h tel que : Exercice 8.24 f (a + h) = n k=0 h k k! f (k) (a) + hn+1 (n + 1)! f (n+1) (c) Lycée du Parc

164 Chapitre 8 Dérivation Pour x 0, on considère la suite (u n (x)) n 1 définie par u n (x) = n Montrer que x ]0, 1], u n (x) n + ln(1 + x). k=1 ( 1) k 1 k x k. Théorème 8.48 Inégalité de Taylor-Lagrange Soient a, b R tels que a < b, f de classe C n+1 sur [a, b] et m, M R. Si x [a, b], f (n+1) (x) m, alors f (b) Si x [a, b], f (n+1) (x) M, alors f (b) n (b a) k k=0 k! n (b a) k Si x [a, b], f (n+1) (x) M, alors n f (b) (b a) k f (k) (a) k! k=0 k=0 k! f (k) (b a)n+1 (a) m (n + 1)! f (k) (b a)n+1 (a) M (n + 1)! M b a n+1 (n + 1)! s Si l on a b < a, ces inégalités restent valables en remplaçant [a, b] par [b, a]. Ces inégalités sont des corollaires immédiats de l égalité de Taylor-Lagrange. Cela tombe bien, car, comme elles ne figurent pas au programme, il est souvent demandé de les re-démontrer à partir de l égalité de Taylor-Lagrange (qui, elle, est au programme). Comme f est de classe C n+1 sur [a, b], f (n+1) est continue sur le segment [a, b] et donc bornée. Ainsi, il est toujours possible de trouver des réels m et M satisfaisant les hypothèses. Exemple 8.25 Soit x R. Montrer que n k=0 x k k! n + e x. Lycée du Parc

165 Chapitre 8 Dérivation Travaux dirigés Exercice 8.26 Soient I un intervalle centré en 0 et f : I R dérivable. 1. On suppose que f est paire. Que peut-on dire sur f? Exercice Même question si l on suppose f impaire. x f (a) a f (x) Soient a R et f dérivable en a. Montrer que lim x a x a existe, et déterminer sa valeur. Exercice 8.28 x 1+ x. Soit f : R R x 1. Montrer que f est bijective de R sur un intervalle J à déterminer. Exercice Déterminer l expression de f 1 (y) en fonction de y J. 3. Montrer que f est dérivable en 0 et étudier la position de la courbe de f par rapport à sa tangente en 0. Soient I un intervalle de R non réduit à un point, f : I R dérivable et a, b I, a < b. On suppose que f est croissante sur I (i.e. que f est «convexe»). 1. Montrer que tout x de ]a, b[,. Interpréter graphiquement ce résultat. Exercice 8.30 f (x) f (a) x a f (b) f (a) b a 2. En déduire que, pour tout t [0, 1], f (ta+(1 t)b)) t f (a)+(1 t) f (b). Interpréter graphiquement ce résultat. On considère la fonction f définie sur R par e 1 x si x < 0 x 0 si x 0 Exercice Montrer que f est dérivable sur R. 2. Étudier l existence de f (0). 3. On souhaite montrer que f est de classe C sur R. a. Montrer que f est de classe C sur R et sur R +. b. Montrer que n N, x < 0, f (n) (x) = P n(x) e 1 x 2n x, où P n est une fonction polynôme. c. Conclure. Soit f : R + R continue sur R et dérivable sur R +. On suppose que f (0) = 0 et que f est croissante sur R + (i.e. f est convexe sur R +). 1. Montrer que x > 0, f (x). Exercice 8.32 f (x) x 2. En déduire que g : R + R x f (x) x est croissante. Comment ce résultat peut-il s interpréter graphiquement? Lycée du Parc

166 Chapitre 8 Dérivation Soient n 1 et f D n 1 (R) tel que f s annule au moins n fois. Montrer que f (n 1) s annule au moins une fois. Exercice 8.33 On considère une fonction f : [0, 1] R dérivable telle que f (0) = f (0) = f (1) = 0. Montrer qu il existe c ]0, 1[ tel que la tangente en c à C f passe par l origine. On pourra considérer l application g : x f (x) x. Exercice 8.34 On considère une fonction f D 2 (R) telle que f 1 et f 1. Montrer que f 2. Exercice 8.35 Soit f C 1 ([0, 1]) telle que f (0) = 0. On suppose qu il existe a [0, 1] tel que f (a) f (a) < 0. Montrer qu il existe b ]0, 1[ tel que f (b) = 0. Exercice 8.36 Montrer que x R, arctan(x) + arctan ( 1 x) = 2 si x > 0 π 2 si x < 0. π Exercice 8.37 On considère la fonction f : x arctan Exercice 8.38 ( 1 x 2 x 1. Déterminer le domaine maximal de définition de f, et montrer que f est continue. ). 2. Étudier la dérivabilité de f et déterminer l expression de f (x) pour les réels x en lesquels f est dérivable. 3. Déterminer une expression plus simple de f (x) en fonction de x. Soit f : R R x ex e x Montrer que f est de classe C sur R, bijective, et que f 1 est de classe C sur R. 2. Déterminer, pour x R, une relation entre f (x) 2 et f (x) En déduire l expression de ( f 1) (x) en fonction de x R. 4. Déterminer l expression de f 1 (x) en fonction de x R et retrouver ainsi le résultat de la question précédente. Exercice 8.39 Déterminer la limite quand n + de n k=1 ( ) k sin n 2 Lycée du Parc

167 Chapitre 8 Dérivation Exercice 8.40 Études On considère la fonction f : R R x 1 1+x 2 1. Montrer que f est de classe C sur R. 2. On définit la suite de polynômes (P n ) n N par : P 0 = 1 n N, P n+1 = (X 2 + 1)P n 2(n + 1)XP n Pour n N, déterminer le degré de P n et montrer que son coefficient dominant est ( 1) n (n + 1)!. 3. Montrer que pour n N, on a : x R, f (n) (x) = P n (x) ( x2 + 1 ) n+1 4. En dérivant 2 fois la relation (x 2 + 1) f (x) = 1, obtenir une relation entre P n, P n+1 et P n Soient a R et g continue sur [a, + [ et dérivable sur ]a, + [ vérifiant g(x) g(a). x + Soit également h la fonction définie sur [0, 1] par : h(u) = g ( a + 1 u 1) si u ]0, 1] h(0) = g(a) a. Montrer que h est continue sur [0, 1] et dérivable sur ]0, 1[. b. Pour x a, exprimer g(x) à l aide de h. c. Montrer qu il existe d ]0, 1[ tel que h (d) = 0. d. En déduire qu il existe c ]a, + [ tel que g (c) = 0. On montrerait de même, et l on admettra dans la suie, que si g est une fonction continue sur ], a] et dérivable sur ], a[ vérifiant g(x) x g(a), alors il existe c ], a[ tel que g (c) = a. Soit n N. Déterminer les limites de f (n) (x) quand x + et quand x. b. Montrer par récurrence, en utilisant la question 5, que f (n) s annule au moins n fois sur R. c. Montrer qu en fait f (n) s annule exactement n fois sur R. 7. a. Soit g une fonction paire dérivable. Déterminer la parité de g. b. En déduire la parité de f (n) pour n N. c. Que peut-on dire sur la disposition des racines des polynômes P n? Lycée du Parc

168 Chapitre 8 Dérivation Exercice 8.41 Soient a < b et f : [a, b] R une fonction continue. On rappelle que : un point fixe de f est une solution de l équation f (x) = x ; un intervalle I est dit stable par f si f (I) I, c est-à-dire si x I, f (x) I. Partie 1 On suppose dans cette partie que [a, b] est stable par f. 1. Montrer que f admet au moins un point fixe sur [a, b]. On pourra considérer g : x f (x) x. 2. On suppose dans cette question que f est dérivable sur [a, b] et qu il existe M 1 [0, 1[ tel que x [a, b], f (x) M 1 On considère un réel x 0 [a, b] et l on définit une suite u par u 0 = x 0 et n N, u n+1 = f (u n ). a. Montrer que f admet un unique point fixe α. On pourra procéder par l absurde. b. Montrer que la suite u est bien définie et que c. En déduire que u converge vers α. n N, u n α M n 1 x 0 α Partie 2 On suppose dans cette partie que f est C 2 sur [a, b] et qu il existe un α ]a, b[ tel que f (α) = α et f (α) = Montrer qu il existe M 2 R + tel que x [a, b], f (x) M On souhaite montrer qu il existe un intervalle I [a, b] non réduit à un point stable par f. a. Montrer que si M 2 = 0, on peut prendre I = [a, b]. b. On suppose désormais M 2 > 0 et l on pose J = [ α 1 M 2, α + 1 M 2 ] [a, b]. i. Montrer que x J, f (x) 1. ii. En déduire que I = J [α m, α + m], où m = min(α a, b α), convient. 3. a. Montrer que x I, f (x) α M 2 2 x α 2. b. On considère un réel x 0 I et la suite u définie par u 0 = x 0 et n N, u n+1 = f (u n ). Montrer que u est bien définie et que n N, u n α ( ) M 2 n x0 α 2n. Partie 3 On considère la fonction f : [1, 2] R x Dresser le tableau de variation de f. ( x + 2 x) et la suite u définie par u 0 = 1 et n N, u n+1 = f (u n ) 2. À l aide des résultats de la partie 1, montrer que u est bien définie et tend vers Á l aide des résultats de la partie 2, montrer n N, u n 2 ( 1 2) 2 n. 4. On souhaite obtenir une valeur approchée de 2 avec 100 chiffres significatifs. Déterminer la valeur minimale de n pour laquelle on peut affirmer que u n convient. On donne 3,3 et l on rappelle que les puissances de 2 se calculent facilement. ln 10 ln 2 Lycée du Parc

169 Chapitre 8 Dérivation Exercice 8.42 Exercices supplémentaires Pour n N, on définit f n : R + R x x n ln x. Déterminer f (n+1) n (x) pour n N et x R +. Exercice 8.43 Soient a, b R et f : R + R x si x [0, 1] x ax 2 + bx + 1 si x > 1 Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur a et b pour que f soit dérivable sur R +. Exercice 8.44 Soit f : R R de classe D 2 vérifiant Montrer que f est constante. Exercice 8.45 x, y R, f (x) f (y) = (x y) f ( x + y 2 Soit f une fonction dérivable sur R telle que x R, f (x) 1. Déterminer le nombre de solutions de l équation f (x) = 2x, d inconnue x R. ). Exercice 8.46 Soit f : R R vérifiant Montrer que f est constante. x, y R, f (x) f (y) x y 2. Exercice 8.47 Soient a, b R, a < b et f C 2 ([a, b]). 1. Montrer qu il existe c 1, c 2 [a, b] tels que Exercice 8.48 f (a) + f (b) 2 2. En déduire qu il existe c [a, b] tel que ( ) a + b = f + 2 f (a) + f (b) 2 (b a)2 16 ( ) a + b = f + 2 Soit f : [0, 1] R de classe C 2 telle que t [0, 1], f (t) 0 f (0 = f (1) = 0 ( f (c 1 ) + f (c 2 ) ). (b a)2 8 f (c). Lycée du Parc

170 Chapitre 8 Dérivation Montrer que t [0, 1], f (t) 0. Exercice 8.49 Soit f C 1 (R) bornée et atteignant ses bornes. Montrer que x R, f (x + 1) = f (x) + f (x) Exercice 8.50 Soit P R n [X] tel que x R, P(x) 0. On pose Q = P + P + + P (n). Montrer que x R, Q(x) 0. Exercice 8.51 Pour n N, on définit f n : R + R x x n 1 e 1 x. Calculer f (n) n (x) pour n N et x R +. Exercice 8.52 Montrer que pour u > 0 et v R, on a uv u ln u + e v 1. Exercice 8.53 Soit f D 2 (R). On suppose qu il existe α > 0 tel que x R, f (x) α. 1. Montrer que f réalise une bijection de R sur R. On notera g = f Montrer que g est dérivable et donner sa dérivée. 3. On pose h : R R x xg(x) f (g(x)). Montrer que h est deux fois dérivable et que h = g. Lycée du Parc

171 CHAPITRE 9 DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Dans ce chapitre, I désignera systématiquement un intervalle de R non réduit à un point. 1 Développement limité d une fonction au voisinage d un point Définition 9.1 Soient f : I R et x 0 I. On dit que f admet un développement limité à l ordre n en x 0 (ou DL n (x 0 )) si a 0, a 1,..., a n R, f (x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + + a n (x x 0 ) n + o x x0 ((x x 0 ) n ), ou, de manière équivalente, si P R n [X], f (x) = P(x x 0 ) + o x x0 ((x x 0 ) n ). s Dans le cas x 0 = 0, on obtient f (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n + o x 0 (x n ) = P(x) + o x 0 (x n ). On peut toujours se ramener à ce cas (et on le fera presque systématiquement) en posant h = x x 0. On obtient alors : f (x 0 + h) = a 0 + a 1 h + + a n h n + o h 0 (h n ) = P(h) + o h 0 (h n ). f a un DL 0 en x 0 ssi a 0 R, f (x) = a 0 + o x x0 (1), c est-à-dire ssi f a une limite finie en x 0. Autrement dit, f a un DL 0 en x 0 ssi elle est continue en x 0. f a un DL 1 en x 0 ssi a 0, a 1 R, f (x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + o x x0 (x x 0 ). Comme vu au chapitre précédent, cette condition est équivalent à la dérivabilité de f en x 0. Attention, on ne peut pas continuer ainsi : f peut avoir un DL 2 en x 0 sans être deux fois dérivable en x 0. Proposition 9.2 Soient f : I R, x 0 I et n N. Si f admet un DL n en x 0, alors f admet un DL p en x 0 pour tout p n (p N). Théorème 9.3 Soient f : I R, x 0 I et n N. Si f admet un DL n en x 0, alors ce DL n est unique. Autrement dit, s il existe P, Q R n [X] tels que f (x) = P(x x 0 ) + o x x0 ((x x 0 ) n ) et f (x) = Q(x x 0 ) + o x x0 ((x x 0 ) n ), alors P = Q. Lycée du Parc

172 Chapitre 9 Développements limités s On parlera donc du développement limité à l ordre n de f en x 0 (s il existe, bien sûr). Le polynôme P est alors appelé partie régulière du DL n (x 0 ) de f. Si a m est le premier coefficient non nul de P, i.e. si f (x 0 +h) = a m h m + +a n h n +o h 0 (h n ), on a f (x+h) h 0 a m h m et a m h m est appelée partie principale du développement limité. Notons que, au voisinage de x 0, f est du même signe que la partie principale de son DL. Proposition 9.4 Soient a > 0, f : ] a, a[ R et n N. On suppose que f admet un DL n (0) : f (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n + o x 0 (x n ) = P(x) + o x 0 (x n ). Si f est paire, alors tous les coefficients d indice impair de P sont nuls. Si f est impaire, alors tous les coefficients d indice pair de P sont nuls. 2 Calcul de développements limités 2.1 Intégration d un développement limité Théorème 9.5 Soient f, F : I R et x 0 I. On suppose que F est une primitive de f, c est-à-dire que F est dérivable de dérivée F = f. Si f a un DL n en x 0 donné par : alors F a un DL n+1 en x 0 donné par : f (x 0 + h) = a 0 + a 1 h + + a n h n + o h 0 (h n ), F(x 0 + h) = F(x 0 ) + a 0 h + a 1 2 h2 + + a n n + 1 hn+1 + o h 0 ( h n+1 ). Attention, cela ne marche pas dans l autre sens : f peut être dérivable et avoir un DL n+1 en x 0 sans que f n ait de DL n en x Formule de Taylor-Young Théorème 9.6 Formule de Taylor-Young Soient n N, f : I R et x 0 I. Si f est de classe C n sur I, alors elle admet un DL n en x 0 : f (x) = n k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + o x x0 ((x x 0 ) n ). k! Si f est de classe C sur I, elle admet donc un développement limité à tout ordre en x 0. Lycée du Parc

173 Chapitre 9 Développements limités 2.3 Développements limités usuels Théorème 9.7 Pour tout n N et α R, on a : e x = 1 + x + x2 2! + + xn n! + o x 0 (x n ) ln(1 + x) = x x2 2 + x3 3 + ( 1)n+1 n (1 + x) α = 1 + αx + α(α 1) x ! x = 1 x + x2 + ( 1) n x n + o x 0 (x n ) x n + o x 0 (x n ) sin x = x x3 3! + + ( 1)n (2n + 1)! x2n+1 + o x 0 ( x 2n+2 ) cos x = 1 x2 2! + + ( 1)n (2n)! x2n + o x 0 ( x 2n+1 ). α(α 1)... (α n + 1) x n + o x 0 (x n ) n! 2.4 Méthodes de calcul L énoncé des résultats formels étant extrêmement lourd, on procédera ici en donnant sous forme algorithmique les méthodes et règles à appliquer. Pour commencer, deux principes fondamentaux : On se ramène systématiquement en 0 pour simplifier les calculs (et les notations). Dans tout ce qui suit, il faudra comprendre o(x n ) comme o x 0 (x n ). Il faut identifier le terme limitant, c est-à-dire l ordre maximal que l on peut espérer obtenir. L exemple d une somme de développements limités permet de comprendre assez facilement cette idée. 2.4.a Somme de développements limités Les développements limités en 0 de deux fonctions permettent d obtenir un développement limité en 0 de leur somme. L ordre obtenu est le plus petit des ordres de départ. Exemple 9.1 Si f (x) = 2 + x 3x 2 + o(x 2 ) et g(x) = 2x 2 + 4x 3 + o(x 3 ), le terme limitant est o(x 2 ) : f (x) + g(x) = 2 + x 3x 2 + o(x 2 ) + 2x 2 + 4x 3 + o(x 3 ) = 2 + x x } {{ } 2 + o(x 2 ) termes "trop petis" On retiendra que si les deux DL de départ sont à l ordre n, le DL de la somme est aussi à l ordre n. 2.4.b Produit de développements limités On peut également obtenir le DL d un produit. L ordre est (au moins) égal au plus petit des ordres de départ. Exemples Si f (x) = x 3x 2 + o(x 2 ) et g(x) = 2x 2 + 4x 3 + o(x 3 ), on obtient : f (x)g(x) = ( x 3x 2 + o(x 2 ) ) ( 2x 2 + 4x 3 + o(x 3 ) ) = 2x 3 + 4x 4 + o(x 4 ) 6x 4 12x 5 + o(x 5 ) + o(x 4 ) + o(x 5 ) + o(x 5 ) = 2x 3 2x 4 + o(x 4 ) En pratique, on cherche d abord le terme limitant et on évite de calculer les termes inutiles (i.e. ceux qui seront de toute façon «absorbés» par le terme limitant). si f (x) = 1 + 3x 2 + o(x 2 ) et g(x) = 3 + x + o(x), on obtient : f (x)g(x) = ( 1 + 3x 2 + x 3 + o(x 3 ) ) ( 3 + x x 2 + o(x 2 ) ) = 3 + x x 2 + o(x 2 ) + 9x = 3 + x + 8x 2 + o(x 2 ) Lycée du Parc

174 Chapitre 9 Développements limités On retiendra que si les deux DL de départ sont à l ordre n, le DL obtenu pour le produit est au moins à l ordre n. Exercice 9.2 Donner un DL 4 en 0 de x sin(x)e x. 2.4.c Composition de développements limités Si l on dispose d un DL de f et de g en 0, et si f a pour limite 0 en 0, on peut calculer un DL de g f en 0. Par exemple, supposons que, quand x 0, on ait f (x) = 2x 2 + 3x 3 + o ( x 3) et g(x) = 1 + 2x + x 2 + o ( x 2) Pour obtenir un développement limité de g f en 0, on peut poser X = 2x 2 + 3x 3 + o ( x 3) et, comme X 0 quand x 0, écrire que g( f (x)) = g(x) = 1 + 2X + X 2 + o ( X 2). On exprime les termes en X en fonction de x : X = 2x 2 + 3x 3 + o ( x 3) X 2 = ( 2x 2 + 3x 3 + o ( x 3)) ( 2x 2 + 3x 3 + o ( x 3)) = 4x x 5 + o ( x 5) o(x 2 ) = o ( x 4) puisque X x 2. On obtient alors g( f (x)) = ( 2x 2 + 3x 3 + o ( x 3)) + ( 4x x 5 + o ( x 5)) 2 + o ( x 4 ) = 1 + 4x 2 + 6x 3 + o ( x 3). On aurait pu remarquer dès le début que X contenait un terme limitant en o ( x 3) et effectuer tous les calculs à cet ordre, ce qui aurait simplifié les choses. Exercice 9.3 Donner un DL 4 en 0 de x cos x. Exercice 9.4 Donner un DL 5 en 0 de x tan x. 3 Application aux études de courbes Les développements limités sont un outil puissant pour l étude locale de courbes, autant au voisinage d un réel qu en + ou (on parle alors de développement asymptotique). 3.1 Position relative d une courbe et de sa tangente Supposons que pour une certaine fonction f, on dispose d un DL 2 (x 0 ) : f (x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a p (x x 0 ) p + o ((x x 0 ) p ) avec p 2 On sait alors que f est dérivable en x 0 et que sa tangente en x 0 a pour équation y = a 0 + a 1 (x x 0 ). Étudier la position relative de C f et de sa tangente revient alors à étudier le signe de f (x) (a 0 + a 1 (x x 0 )) au voisinage de x 0. Ce signe est celui de a p (x x 0 ) p. 3.2 Recherche d asymptotes pour des courbes du type y = f (x) La recherche d asymptotes verticales ou horizontales ne pose pas de problème. Pour chercher une éventuelle asymptote oblique (disons en + ), on peut utiliser l une des techniques suivantes : on étudie la limite de f (x) x quand x +. Si cette limite n existe pas ou n est pas finie, alors on ne peut pas avoir d asymptote oblique. Si l on trouve un réel a, on étudie alors la limite de f (x) ax. Si cette limite existe et vaut b R, alors y = ax + b est asymptote à la courbe de f en + (si la limite n existe pas ou n est pas finie, il n y a pas d asymptote mais seulement une direction asymptotique). on cherche un développement asymptotique de f (x) quand x + : Lycée du Parc

175 Chapitre 9 Développements limités si l on n a besoin que de l asymptote, un développement du type f (x) = ax + b + o x + (1) suffit ; si l on veut également la position relative de C f et de son asymptote au voisinage de +, il faut aller plus loin avec par exemple un développement du type f (x) = ax + b + c x + o ) x +. Exemple 9.5 Étudier les branches infinies de f : R R x 2x 2 3x + 3. On déterminera en particulier la position relative de C f et de ses éventuelles asymptotes. Exemple 9.6 Étudier les branche infinies de f : ]1, + [ R x (x 2 1) ln ( x+1 x 1). ( 1 x Lycée du Parc

176 Chapitre 9 Développements limités Exercice 9.7 Travaux dirigés Calculer les développements limités suivants et interpréter le résultat. 1. DL 5 (0) de x e x2 sin(x) ; Exercice DL 4 (0) de x ex 3. DL 2 (0) de x 4. DL 3 (0) de x ; 1+x 2 1+x 1 x x ; sin(x) x cos(x) 1+x ; 5. DL 2 (0) de x ln ( 1+x 1 x) ; 6. DL 3 (2) de x 1 x ; 7. DL 2 (1) de x e x ; 8. DL 3 (π/4) de x cos(x) 2 2 π 4x ; 9. DL 2 (1) de x ln ( 1 + x ) ; Déterminer un DL 4 (0) de arctan et de arcsin. Exercice 9.9 On considère la fonction f :] π, 0[ ]0, π[ R x 1 sin(x) 1 x. Montrer que f est prolongeable par continuité en 0 et que que ce prolongement est dérivable en 0. Exercice 9.10 On considère la fonction f :] 1, + [ R x arctan (ln(1 + x)). 1. Justifier que f est de classe C. Exercice Donner un développement limité à l ordre 3 de f en Montrer que f réalise une bijection de ] 1, + [ sur un intervalle J à déterminer. 4. Montrer que f 1 admet un développement limité à l ordre 3 en 0, puis déterminer ce DL. 1. Montrer que pour tout n N, il existe un unique x n ] nπ π 2, nπ + π 2 [ tel que xn = tan x n. 2. Montrer que x n n + nπ. 3. Justifier que x n nπ = π 2 arctan ( 1 x n ), et en déduire que xn = nπ + π 2 1 nπ + o n + 4. Déterminer un développement asymptotique à l ordre 2 en 1 n de x n. ( 1 n ). Lycée du Parc

177 CHAPITRE 10 ESPACES VECTORIELS Dans tout ce chapitre, K désignera R ou C. 1 Espaces vectoriels 1.1 Définition Définition 10.1 On appelle K-espace vectoriel un ensemble E muni d une addition + : E E E (x, y) x + y ; d une multiplication externe : K E E (λ, x) λ x ; ainsi que d un élément 0 E E appelé vecteur nul tels que : x, y E, x + y = y + x (l addition est commutative), x, y, z E, x + (y + z) = (x + y) + z (l addition est associative), x E, x + 0 E = 0 E + x = x (0 E est l élément neutre pour l addition), x E, 0 x = 0 E, x E, 1 x = x, λ K, λ 0 E = 0 E, λ K x, y E, λ (x + y) = λ x + λ y, λ, µ K x E, (λ + µ) x = λ x + µ x, λ, µ K x E, λ (µẋ) = (λµ) x. s Cette définition n est pas à connaître par cœur. On appellera scalaires les éléments de K et vecteurs les éléments de E. Il est crucial de ne pas confondre ces deux types d objet. Attention, on peut multiplier un vecteur par un scalaire, mais multiplier entre eux deux vecteurs n a a priori aucun sens. Proposition 10.2 Soit E un K-espace vectoriel, x un vecteur de E et λ un scalaire. On a λ x = 0 E (x = 0 E ou λ = 0). Lycée du Parc

178 Chapitre 10 Espaces vectoriels 1.2 Exemples 1.2.a Proposition 10.3 K n L espace K n, où n N, doté des opérations suivantes : addition : (x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n ) = (x 1 + y 1,..., x n + y n ) multiplication externe : λ(x 1,..., x n ) = (λx 1,..., λx n ) est un K-espace vectoriel. Le vecteur nul de K n est 0 K n = (0,..., 0) (n zéros). s K n est à la fois l exemple le plus simple et le plus important d espace vectoriel. Il faut commencer par bien comprendre les cas n = 2 et n = 3, et ne pas hésiter à y revenir quand on est confronté à des exemples plus compliqués. Exemple 10.1 L espace R 2 est souvent appelé plan usuel. Un vecteur de R 2 correspond à un vecteur du plan et l addition et la multiplication externe sur R 2 correspondent à l addition de vecteurs et la multiplication d un vecteur par un réel. 1.2.b Proposition 10.4 Autres exemples K[X], doté des opérations usuelles, est un K-espace vectoriel. Pour tout ensemble X, l ensemble A(X, K) des applications de X dans K est un K-espace vectoriel. Pour tous n, p N, M n,p (K) est un K-espace vectoriel. 2 Sous-espace vectoriel 2.1 Définitions Définition 10.5 Soient E un K-espace vectoriel, n N et x 1,..., x n, y E. On dit que y est combinaison linéaire de x 1,..., x n si λ 1,..., λ n K, y = λ 1 x λ n x n s Un n-uplet (x 1,..., x n ) d éléments de E est usuellement appelé famille de n vecteurs. Certains (ou tous) les λ i peuvent être nuls. Ainsi, 0 E est combinaison linéaire de n importe quelle famille (non vide) de vecteurs de E, en prenant tous les λ i égaux à 0. Exemple 10.2 Soit F la famille ((1, 2, 1), (3, 0, 4)) de vecteurs de R 3. ( 1, 4, 6) est combinaison linéaire de vecteurs de F, mais pas (0, 1, 0). Soit F la famille (3, 1 + 2X, X + X 3 ) de vecteurs de R[X] (notons que c est aussi une famille de vecteurs de C[X]). 1 X est combinaison linéaire de vecteurs de F, mais pas 1 X 2. Lycée du Parc

179 Chapitre 10 Espaces vectoriels Définition 10.6 Soient E un K-espace vectoriel et F une partie de E. On dit que F est un sous espace vectoriel de E si F ; x, y F, x + y F (F est stable par addition) ; λ K x F, λ x F (F est stable par multiplication externe). {O E } et E sont des s.e.v de E. Proposition 10.7 Soient E un K-espace vectoriel et F E. Les propositions suivantes sont équivalentes : F est un sous-espace vectoriel de E. F est non vide et stable par combinaison linéaire, c est-à-dire x, y F λ, µ K, λx + µy F. 0 E F et x, y F λ K, λx + y F. En pratique, on utilisera la troisième formulation quand on voudra montrer que F est un s.e.v de E. Proposition 10.8 Si E est un K-espace vectoriel et que F est un sous-espace vectoriel de E, alors F est un K-espace vectoriel. Exercice 10.3 Dans chacun des cas suivants, déterminer si F est un sous-espace vectoriel de E. 1. E = R 2, F = {(x, y) R 2, x + 2y = 0}. 2. E = R 2, F = {(x, y) R 2, x + 2y = 1}. 3. E = C 3, F = {(t, (1 2i)t, 0), t C}. 4. E = C 2, F = {(x, y) C 2, x 2 + y 2 = 0}. s En pratique, on ne montrera jamais directement qu un certain ensemble est un espace vectoriel : on montrera systématiquement que c est un sous-espace vectoriel d un espace vectoriel déjà connu (comme K n, K[X],...). Par conséquent, on n utilisera jamais la définition d un espace vectoriel donnée en début de chapitre (qu il est parfaitement illusoire d espérer retenir). En revanche, il est indispensable de savoir prouver qu un certain ensemble est un sous-espace vectoriel d un espace vectoriel connu. Exemple 10.4 Pour tout n N, K n [X] est un espace vectoriel. {P R[x], P(0) = P(1) = 0} est un espace vectoriel. Théorème 10.9 Soit E un K-espace vectoriel et F 1,..., F n des sous-espaces vectoriels de E (n 1). F 1 F n est un sous-espace vectoriel de E. Attention, la réunion de sous-espaces vectoriels n est généralement pas (presque jamais en fait) un sous-espace vectoriel. Lycée du Parc

180 Chapitre 10 Espaces vectoriels Proposition Soient n N{ et λ 1,..., λ n K. n L ensemble (x 1,..., x n ) K n, k=1 } λ i x i = 0 est un sous-espace vectoriel de K n. Autrement dit, l ensemble des solutions d une équation linéaire homogène (sans second membre) à n inconnues à coefficients dans K est un sous-espace vectoriel de K n. Proposition L ensemble des solutions d un système linéaire homogène à n inconnues à coefficients dans K est un sousespace vectoriel de K n. Exemple 10.5 Soit F = {(x, y, z, t) C 4, 2x + y = z it et x 3t = 2y + iz}. F est un sous-espace vectoriel de C Sous-espace engendré par une famille de vecteurs Définition Soient n N et F = (u 1,..., u n ) une famille de vecteurs d un K-espace vectoriel E. On appelle sous-espace vectoriel engendré par F, et l on note Vect(u 1,..., u n ), l ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs de F. Vect(u 1,..., u n ) = {λ 1 u λ n u n, λ 1,..., λ n K} s Les λ i peuvent être nuls, ce qui signifie entre autres que 0 E et chacun des u i appartiennent à Vect(u 1,..., u n ). L «ordre» des u i n a pas d importance : par exemple, on a forcément Vect(u 1, u 3, u 2 ) = Vect(u 1, u 2, u 3 ). Exemple 10.6 Soit E = R[X]. On a Vect(1, X, X 2 ) = R 2 [X]. Proposition Soient E un K-espace vectoriel, n N et F = (u 1,..., u n ) une famille de vecteurs de E. Vect(u 1,..., u n ) est un sous-espace vectoriel de E. Si F est un sous-espace vectoriel de E et si i 1, n, u i F, alors Vect(u 1,..., u n ) F. Si x E, Vect(u 1,..., u n ) Vect(x, u 1,..., u n ). Si x Vect(u 1,..., u n ), alors Vect(u 1,..., u n ) = Vect(x, u 1,..., u n ). Si F F, alors Vect F Vect F. Le deuxième point signifie que Vect(u 1,..., u n ) est le plus petit (au sens de l inclusion) sous-espace vectoriel contenant tous les u i. Exercice 10.7 Déterminer : 1. Vect((1, 0, 0), (0, 2, 0)) (E = R 3 ). 2. Vect((1, 0, 1), (2, 3, 0)) (E = C 3 ). Lycée du Parc

181 Chapitre 10 Espaces vectoriels 3. Vect (( ) ( )) , (E = M (R)). 4. Vect((1, 2), (1, 0)), (E = R 2 ). Proposition Soient n N, E un K-espace vectoriel et F = (u 1,..., u n ) une famille de E. Posons F = Vect(u 1,..., u n ). Si on modifie l ordre des vecteurs u i ; on ajoute à la famille F un ou plusieurs vecteurs de F ; on remplace l un des vecteurs u i par λu i, avec λ un scalaire non nul, le sous-espace vectoriel engendré par la nouvelle famille F reste inchangé. 3 Dimension d un espace vectoriel 3.1 Familles libres, familles génératrices Définition Soient n N, E un K-espace vectoriel et F = (u 1,..., u n ) une famille de E. On dit que F est une famille génératrice de E si Vect(u 1,..., u n ) = E. Autrement dit, F est génératrice ssi tout vecteur de E peut s écrire comme combinaison linéaire de vecteurs de F : n F génératrice x E λ 1,..., λ n K, x = λ i u i s On dit également que F engendre E. On peut dans la définition remplacer E par un sous-espace vectoriel F de E. On dira alors que F engendre le sous-espace vectoriel F, ou éventuellement que c est une famille génératrice de F. Si F est génératrice et si F F, alors F est génératrice. Proposition Soient F = (u 1,..., u n ) et F = (v 1,..., v p ) deux familles d un sous-espace vectoriel F de E. On suppose que F est génératrice de F ; i 1, n, u i Vect(v 1,..., v n ) (tout vecteur de F est combinaison linéaire de vecteurs de F ). Alors F est génératrice de F. i=1 Exercice 10.8 Montrer que (1, 1 + X, 1 + X + 3X 2 ) est une famille génératrice de R 2 [X]. Définition Soient n N, E un K-espace vectoriel et F = (u 1,..., u n ) une famille de vecteurs de E. La famille F est dite libre ssi λ 1,..., λ n K, n λ k u k = 0 E λ 1 = = λ n = 0 k=1 Lycée du Parc

182 Chapitre 10 Espaces vectoriels s On dit aussi que les vecteurs u 1,..., u n sont linéairement indépendants. Une famille qui n est pas libre est dite liée. Autrement dit, une famille F est libre si la seule façon d obtenir 0 E comme combinaison linéaire de vecteurs de F est de prendre tous les coefficients égaux à 0. Proposition Soient E un K-espace vectoriel et F une famille de vecteurs de E. Si F est libre et F est incluse dans F, alors F est libre. Si F contient 0 E, alors F est liée. Si F = (u) (famille d un seul vecteur), alors F est libre ssi u 0 E. Si F = (u, v) (famille de deux vecteurs), alors F est liée ssi u et v sont colinéaires : (u, v) liée u et v colinéaires λ K, u = λv ou v = λu Si l un des vecteurs de F est combinaison linéaire des autres, alors F est liée. Si F = (u 1,..., u n ) est libre et v E, alors F = (u 1,..., u n, v) est libre ssi v Vect(u 1,..., u n ). La contraposée du premier point est souvent utile : si F contient une famille liée, alors F est liée. Proposition Une famille F = (u 1,..., u n ) d un K-espace vectoriel E est libre ssi tout vecteur de Vect(u 1,..., u n ) s exprime de manière unique comme combinaison linéaire de vecteurs de F. Exercice 10.9 Dans chacun des cas suivants, déterminer si la famille F est libre ou liée. 1. E = R 2, F = ((1, 2), (3, 3)). 2. E = R[X], F = (1 + X, 1 + 2X). 3. E = R[X], F = (1 + X, 1 + 2X, 2). 3.2 Base d un espace vectoriel Définition Soient E un K-espace vectoriel et F une famille de E. On dit que F est une base de E ssi F est libre et génératrice de E. On définit de même la notion de base d un sous-espace vectoriel en remplaçant E par un sous-espace vectoriel F dans la définition précédente. Proposition Soient E un K-espace vectoriel, n N et B = (u 1,..., u n ) une base de E. Tout vecteur de E s exprime de manière unique comme combinaison linéaire de vecteurs de B : u E,!(λ 1,..., λ n ) K n, u = n λ i u i i=1 Les scalaires λ 1,..., λ n sont alors appelés coordonnées du vecteur u dans la base B. Lycée du Parc

183 Chapitre 10 Espaces vectoriels s De même, si B est une base d un sous-espace vectoriel F de E, alors tout vecteur de F s exprime de manière unique comme combinaison linéaire de vecteurs de B. Cette propriété est en fait une équivalence : si tout vecteur de E s exprime de manière unique comme combinaison linéaire de vecteurs de B, alors B est une base de E. Si B = (u 1,..., u n ) est une base de E, alors les coordonnées du vecteur u i dans cette base sont (0,..., 0, 1, 0,..., 0) (avec le 1 en i-ème position). Les coordonnées du vecteur nul dans une base sont toujours nulles. Les exemples suivants sont considérés comme faisant partie du cours : Exemple ( (1, 0,..., 0), (0, 1, 0,..., 0),..., (0,..., 0, 1) ) est une base de K n dite base canonique de K n. (1, X, X 2,..., X n ) est une base de K n [X]. (E i, j ) (i, j) 1,n 1,p est une base de M n,p (K) (on rappelle que E i, j est la matrice constituée d un 1 en i-ème ligne et j-ème colonne et de zéros partout ailleurs). Exercice Montrer que F = (1 + X, 1 2X, 1 + X 2 ) est une base de C 2 [X]. 2. Déterminer les coordonnées des vecteurs suivants dans la base F : a. u = 2i 4iX b. v = X 2 3. Déterminer le vecteur qui a pour coordonnées (1, i, i) dans la base F. Exercice Soit E = R 3 2x y 3z = 0 et F l ensemble des x de E solutions du système 3x 2y 4z = 0 1. Justifier que F est un sous-espace vectoriel de E. 2. Déterminer une base de F Dimension Proposition Soit E un K-espace vectoriel. Si G est une famille génératrice de E et que L est une famille libre de E, alors Card L Card G. Théorème Base incomplète Soit E un K-espace vectoriel. Si L est une famille libre et que G est génératrice de E, alors il existe une base B de E telle que L B L G s Autrement dit, si l on dispose d une famille génératrice G, on peut compléter une famille libre avec des vecteurs de G pour en faire une base. On peut aussi adopter le point de vue inverse et dire que l on extrait une base de la famille génératrice G. Lycée du Parc

184 Chapitre 10 Espaces vectoriels Définition Un espace vectoriel est dit de dimension finie s il admet une famille génératrice finie. Théorème Soit E un espace vectoriel de dimension finie, E {0 E }. E admet une base. Toutes les bases de E ont même cardinal. Ce cardinal est noté dim(e) et appelé dimension de E. Par convention, on pose dim({0 E }) = 0. Proposition Quels que soient n, p N, les espaces K n, K n [X] et M n,p (K) sont des K-espaces vectoriels de dimension finie et : dim(k n ) = n ; dim(k n [X]) = n + 1 ; dim(m n,p (K)) = np. Exercice Montrer que, pour n N, S n (K) et A n (K) sont des sous-espaces vectoriels de M n (K). 2. Donner une base de S 2 (K) et A 2 (K) et en déduire leur dimension. 3. Quelle est la dimension de S n (K) A n (K)? Proposition Soient E un K-espace vectoriel et F et G deux sous-espaces vectoriels de E de dimension finie. Si F G, alors dim(f) dim(g). Si F G et dim(f) = dim(g), alors F = G. En particulier, si E est de dimension finie et que F est un sous-espace vectoriel de E de même dimension que E, alors E = F. Définition Soit E un K-espace vectoriel. Un sous-espace vectoriel de E de dimension 1 est appelé droite vectorielle. Un sous-espace vectoriel de E de dimension 2 est appelé plan vectoriel. Ces termes correspondent à une intuition géométrique qu il faut essayer de garder en tête. Proposition Soient E un K-espace vectoriel, F un sous-espace vectoriel de E de dimension n (n N ) et F une famille de vecteurs de F. Si F est libre, alors Card F n. Lycée du Parc

185 Chapitre 10 Espaces vectoriels Si F est génératrice de F, alors Card F n. Si Card F = n, alors F est une base de F ssi elle génère F ssi elle est libre. Exercice On considère la famille F = (X 1, X 2, (X 1)(X 2)) de R[X]. 1. Montrer que F est une famille libre (on pourra s intéresser aux évaluations en 1 et en 2). 2. En déduire que F est une base de R 2 [X]. Est-ce une base de R 3 [X]? de R 1 [X]? 3.4 Rang d une famille Définition Soient E un K-espace vectoriel, p N et F = (u 1,..., u p ) une famille de E. Le rang de la famille F (noté rg F ) est la dimension de Vect(u 1,..., u p ) : rg F = dim Vect(u 1,..., u p ) Proposition Soient E un K-espace vectoriel, F un sous-espace vectoriel de dimension n N et F = (u 1,..., u p ) une famille de vecteurs de F. rg F dim F. rg F = dim F ssi F génère F. rg F Card F. rg F = Card F ssi F est libre. En particulier, si E est de dimension n et si F = (u 1,..., u p ) E p, alors : rg(u 1,..., u p ) p rg(u 1,..., u p ) n rg(u 1,..., u p ) = p (u 1,..., u p ) libre. rg(u 1,..., u p ) = n (u 1,..., u p ) génératrice de E. Proposition Soit E un K-espace vectoriel de dimension n N et (u 1,..., u n ) E n. (u 1,..., u n ) est une base de E ssi rg(u 1,..., u n ) = n. Lycée du Parc

186 Chapitre 10 Espaces vectoriels Travaux dirigés Exercice Dans chacun des cas suivants, déterminer si F est un sous-espace vectoriel de E. 1. E = R 2, F = Z E = R 2, F = {(1 + x, 1 y), (x, y) R 2 }. ( ) a ia 3. E = M 2 (C), F l ensemble des matrices de la forme, où a, b C. b a + b Exercice Soit E un K-espace vectoriel et F, G deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que F G s.e.v de E (F G ou G F) Exercice Un sous-espace vectoriel de K n peut être défini de plusieurs manières : par un système d équations cartésiennes : A = { (x, y, z, t) R 4, x + y z t = 0 et y + z t = 0 } ; par un paramétrage : B = { (a b + 3c, c, a b, 0), (a, b, c) R 3} ; par la donnée d une famille génératrice : C = Vect ( (1, 2, 1, 0), (0, 1, 3, 1) ). Écrire les ensembles A, B et C sous chacune de ces formes. Exercice On se place dans l espace vectoriel E = A(R, R). 1. Pour chacun des ensembles suivants, déterminer s il s agit d un sous-espace vectoriel de E. Exercice a. C (R) b. L ensemble F des applications croissantes de R dans R. c. L ensemble G des bijections de R dans R. 2. a. Justifier que D 2 (R) est un s.e.v de E. b. On considère l équation différentielle y 2y + y = 0, d inconnue y D 2 (R). Montrer que l ensemble des solutions de cette équation est un s.e.v. de D 2 (R). Dans R 3, on considère les vecteurs u 1 = ( 1, 1, 1), u 2 = (1, 2, 4), u 3 = (3, 1, a) et e 4 = (2, 3, b). Déterminer a et b dans R tels que Vect(u 1, u 2 ) = Vect(u 3, u 4 ). Exercice On se place dans E = R 3 et l on considère u = (1, 3, 1), v = (2, 1, 2) et w = (m, m + 1, 3m + 2) (où m R). Donner une condition nécessaire et suffisante sur m pour que w Vect(u, v). Exercice On se place dans le R-espace vectoriel E = C 0 ([0, π]). Soit n N. Montrer que la famille (x sin x, x sin 2x,..., x sin nx) est libre. Exercice Lycée du Parc

187 Chapitre 10 Espaces vectoriels Déterminer si F est libre, si elle est génératrice et si c est une base de E. 1. E = R 4, F = ((0, 0, 1, 0), (0, 1, 1, 2), (2, 0, 0, 2)). Exercice Exercice E = R 3, F = ((1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)). 3. E = R 3, F = ((1, 2, 3), ( 1, 2, 5), ( 1, 10, 21)). 4. E = R 2, F = ((1, 2), (2, 1), ( 1, 4)). 1. Pour chacune des familles suivantes, montrer qu elle est libre et la compléter en une base de E. a. E = R 3, F = ((1, 1, 0), (1, 0, 1)). b. E = R 3 [X], F = (1, 1 + X, 2 + X X 2 ). c. E = C 4, F = ((1, 0, i, 0), (0, i, 0, 0)). 2. Pour chacune des familles suivantes, montrer qu elle est génératrice et en extraire une base de E. a. E = R 2, F = ((1, 0), (0, 1), (1, 1)). b. E = R 2, F = ((2, 3), ( 4, 6), (1, 2)). c. E = R 2 [X], F = (1 + X, 2 + X, X 2, 2 3X + 2X 2 ). On se place dans E = R 3 et l on considère u = (1, 2, 3), v = (4, 5, 6) et w = (m 2, 2m, m) (où m R). 1. (u, v) est-elle libre? génératrice? Exercice Donner un condition nécessaire et suffisante sur m pour que (u, v, w) soit une base de E. Soient E un K-espace vectoriel et (e 1,..., e n ) une base de E. On considère la famille F = ( f i ) 1 i n définie par f i = i e k. Exercice Pour j 1, n, exprimer e j comme combinaison linéaire des éléments de F. 2. Montrer que F est une base de E. On se place dans l espace vectoriel E = R 4 et l on définit F = Vect(( 1, 2, 1, 0), ( 1, 2, 0, 1)) et G = { (x, y, z, t) R 4, y = 2z + t }. 1. Justifier que F et G sont des sous-espaces vectoriels de R 4. Exercice Déterminer la dimension de F et un système d équations cartésiennes de F. 3. Déterminer une base de G et sa dimension. 4. On pose H = F G. Déterminer une base de H et sa dimension. Soit F l ensemble des suites réelles (u n ) n N telles que n N, u n+3 = 5u n+2 6u n. 1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel d un R-espace vectoriel E que l on précisera. 2. Justifier qu une suite de F est entièrement déterminée par la donnée de ses trois premiers termes. k=1 3. En déduire une base B de F ainsi que sa dimension. 4. Soit u une suite géométrique non nulle de raison r 0. Montrer que u F ssi r est racine de X 3 5X En déduire une autre base B de F puis une formule donnant la forme du terme général des suites de F. Lycée du Parc

188 Chapitre 10 Espaces vectoriels Exercice On se place dans E = R 2 [X] et l on considère x 1, x 2, x 3 trois réels distincts. 1. On considère l ensemble F = {P R 2 [X], P(x 2 ) = P(x 3 ) = 0}. Montrer que F est un s.e.v de E et en donner la dimension ainsi qu une base. 2. Déterminer un polynôme P 1 R 2 [X] tel que P 1 (x 1 ) = 1 et P 1 (x 2 ) = P 1 (x 3 ) = Déterminer de même des polynômes P 2 et P 3 de R 2 [X] tels que P 2 (x 2 ) = P 3 (x 3 ) = 1 et P 2 (x 1 ) = P 2 (x 3 ) = P 3 (x 1 ) = P 3 (x 2 ) = Montrer que (P 1, P 2, P 3 ) est une base de R 2 [X]. 5. Soient y 1, y 2, y 3 trois réels. Montrer qu il existe un unique P R 2 [X] tel que i 1, 3, P(x i ) = y i. 6. Application : déterminer l unique polynôme P R 2 [X] tel que P(1) = 2, P(2) = 3 et P(3) = 5. Lycée du Parc

189 CHAPITRE 11 APPLICATIONS LINÉAIRES 1 Applications linéaires 1.1 Définitions et propriétés Définition a Ensemble L(E, F) Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Une application f : E F est dite linéaire si u, v E, f (u + v) = f (u) + f (v) ; u E λ K, f (λu) = λ f (u). On note L(E, F) l ensemble des applications linéaires de E dans F. s Si E = F, on note L(E) pour L(E, F). Une application linéaire de E dans E est appelée endomorphisme de E. Si l on veut montrer qu une application f : E F est linéaire, on peut vérifier simultanément les deux points de la définition en montrant que u, v E λ K, f (λu + v) = λ f (u) + f (v). Exemple 11.1 Soit E un K-espace vectoriel. L application Id E : E E u u (identité de E) est un endomorphisme de E : Id E L(E) = L(E, E). Soient E et F deux K-espaces vectoriels. L application 0 L(E,F) : E F u 0 F (application nulle de E dans F) est linéaire : 0 L(E,F) L(E, F). De manière plus générale, si E est un K-espace vectoriel et si λ K, l application λ.id E : E E u λ.u est une application linéaire, dite homothétie vectorielle (de rapport λ). Soit f : R 2 R 3 (x, y) (2x y, x + y, 2y). f L(R 2, R 3 ). Proposition 11.2 Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f L(E, F). On a f (0 E ) = 0 F. Soient k N, λ 1,..., λ k K et u 1,..., u k E. On a k f λ i u i = i=1 k λ i f (u i ) i=1 Lycée du Parc

190 Chapitre 11 Applications linéaires En particulier, si f L(E, F), on a f ( u) = f (u) pour tout u E. Exercice 11.2 Exercice 11.3 Montrer que les applications linéaires de R dans R sont exactement les homothéties vectorielles. Dans chacun des cas suivants, déterminer si f L(E, F). 1. E = F = R 2, f : R 2 R 2 (x, y) (x + 1, y + 1). 2. E = F = R 2, f : R 2 R 2 (x, y) (x + y, xy). 3. E = F = K[X], f : K[X] K[X] P(X) P(X + 1). 4. E = F = M n (K), f : M n (K) M n (K) M t M. Proposition 11.3 Soient E et F deux K-espaces vectoriels, f, g L(E, F) et λ K. On note λ. f l application λ. f : E F u λ. f (u). Cette application est linéaire : λ. f L(E, F). On note f + g l application f + g : E F u f (x) + g(x). Cette application est linéaire : f + g L(E, F). L ensemble L(E, F), doté de ces opérations, est un K-espace vectoriel. Son vecteur nul est 0 L(E,F), l application qui à tout vecteur u de E associe 0 F. Proposition 11.4 Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels. Si f L(E, F) et g L(F, G), alors g f L(E, G). Proposition 11.5 Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Une application linéaire bijective de E dans F est appelée isomorphisme de E vers F. Une application linéaire bijective de E dans E est appelée automorphisme de E. Si f L(E, F) est un isomorphisme, alors f 1 L(F, E) (et f 1 est donc également un isomorphisme). En combinant avec les règles usuelles sur les bijections, on remarque que si f L(E, F) et g L(F, G) sont des isomorphismes, alors g f est un isomorphisme de E vers G, de réciproque f 1 g 1. Exercice 11.4 Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f L(E, F) un isomorphisme. Montrer que si λ K, l application λ. f est un isomorphisme dont on précisera la réciproque. Définition 11.6 Soient E un K-espace vectoriel et f L(E). On définit récursivement les puissances de f par : f 0 = Id E ; n N, f n+1 = f f n. Lycée du Parc

191 Chapitre 11 Applications linéaires Proposition 11.7 Soient E un K-espace vectoriel, f, g L(E) et p, q N. f p+q = f p f q. ( f p ) q = f pq. Si g f = f g, alors (g f ) p = g p f p. Si g f = f g, alors ( f + g) p = p ) f k g p k k=0 ( p k 1.1.b Définition 11.8 Image d une application linéaire Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f L(E, F). On définit l image de f par : Im f = { f (x), x E} s On a Im f = f (E) = { f (x), x E} = {y F, x E y = f (x)}. Im f est une partie de l ensemble d arrivée de f (i.e. si f L(E, F), Im f F). Exercice 11.5 Soit f : R[X] R[X] P 2P 2P(5). 1. Montrer que f est linéaire. 2. Montrer que P R[X], P Im f P(5) = En déduire que Im f = {QP, P R[X]} pour un certain Q à déterminer. Proposition 11.9 Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f L(E, F). Im f est un sous-espace vectoriel de F. f est surjective ssi Im f = F. 1.1.c Définition Noyau d une application linéaire Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f L(E, F). Le noyau de f, noté Ker f est défini par : Ker f = {x E, f (x) = 0 F } s Autrement dit, Ker f = f 1 ({0 E }). Attention, il ne s agit pas de l image de 0 F par f 1 (qui n a aucune raison d exister puisque f n est a priori pas bijective) mais de la partie image réciproque de {0 F }. Attention aux confusions : Ker f est une partie de E, Im f une partie de F. Proposition Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f L(E, F). Ker f est un sous-espace vectoriel de E. f est injective ssi Ker f = {0 E }. Lycée du Parc

192 Chapitre 11 Applications linéaires s Le premier point permet parfois de prouver facilement qu un certain ensemble est un s.e.v. à condition de remarquer qu il s agit du noyau d une application linéaire bien choisie. Le deuxième point est extrêmement important : pour prouver qu une application linéaire est injective, on vérifiera systématiquement que son noyau est réduit à 0 E. Comme toute application linéaire envoie 0 E sur 0 F, il suffit de prouver que x E, f (x) = 0 F x = 0 E. Exercice 11.6 Soit f : R 3 R 2 (x, y, z) (x + y + z, 2x y z). Montrer que f est linéaire et déterminer Ker f. Proposition Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f L(E, F). f est injective ssi l image de toute famille libre de E par f est une famille libre de F. Proposition Soient E, F, G trois K-espaces vectoriels, f L(E, F) et g L(F, G). On a : Im(g f ) Im g et Ker f Ker(g f ) s On en déduit en particulier que si f L(E), alors Im f 2 Im f et Ker f Ker f 2. Puisque Im(g f ) est un s.e.v. de H et que Ker(g f ) est un s.e.v. de E, les inclusions permettent d affirmer que Im(g f ) est un s.e.v. de Im f et que Ker f est un s.e.v. de Ker(g f ). Exercice 11.7 Soient F, G, H trois K-espaces vectoriels, f L(E, F) et g L(F, G). Montrer que Ker(g f ) = Ker f ssi Ker g Im f = {0 F }. 1.1.d Proposition Image directe et réciproque d un sous-espace vectoriel Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f L(E, F). Si G est un sous-espace vectoriel de E, alors f (G) = { f (x), x G} est un sous-espace vectoriel de F. Si H est un s.e.v. de F, alors f 1 (H) = {x E, f (x) H} est un sous-espace vectoriel de E. Plus précisément, f (G) est un sous-espace vectoriel de Im f et f 1 (H) est un sous-espace vectoriel de E qui contient Ker f. 1.2 Dimension finie 1.2.a Proposition Image d une base Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f L(E, F). On suppose que E est de dimension finie et l on considère une famille génératrice (u 1,..., u n ) de E. ( f (u 1 ),..., f (u n )) est une famille génératrice de Im f. f est surjective ssi ( f (u 1,..., f (u n )) est une famille génératrice de F. Lycée du Parc

193 Chapitre 11 Applications linéaires Proposition Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f L(E, F). Soit (e 1,..., e n ) une base de E. f est injective ssi ( f (e 1 ),..., f (e n )) est libre. f est surjective ssi ( f (e 1 ),..., f (e n )) est génératrice (de F). f est bijective ssi ( f (e 1 ),..., f (e n )) est une base de F. On en déduit le corollaire utile suivant : f L(E, F) est un isomorphisme ssi il existe une base de E dont l image par f est une base de F ssi toute base de E a pour image par f une base de F. Proposition Soient E et F deux K-espaces vectoriels. On suppose que E est de dimension finie n N et l on se donne une base (e 1,..., e n ) de E. Pour toute famille ( f 1,..., f n ) de F, il existe une unique application linéaire ϕ L(E, F) telle que i 1, n, ϕ(e i ) = f i Autrement dit, une application linéaire est totalement définie par son action sur une base : si f et g sont deux applications linéaires qui agissent de la même manière sur une base B = (e 1,..., e n ) (i.e. si f (e i ) = g(e i ) pour 1 i n), alors f = g. 1.2.b Définition Théorème du rang Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f L(E, F). Si E est de dimension finie, alors Im f est de dimension finie. On définit alors le rang de f : rg f = dim(im f ) Proposition Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f L(E, F). On suppose que E est de dimension finie n N et l on se donne une base B = (e 1,..., e n ) de E. Le rang de f est égal au rang de la famille ( f (e 1 ),..., f (e n )). Cela reste vrai si l on suppose simplement que (e 1,..., e n ) est génératrice. Théorème Théorème du rang Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie et f L(E, F). On a dim E = rg f + dim(ker f ) Exercice 11.8 Soit f : R 3 R 3 (x, y, z) (x 2y, x, 5y). Montrer que f est linéaire, déterminer Ker f, en déduire le rang de f puis une base de Im f. Lycée du Parc

194 Chapitre 11 Applications linéaires Proposition Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie et f L(E, F). On a : rg f dim E, avec égalité ssi f est injective ; rg f dim F, avec égalité ssi f est surjective. Proposition Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie et f L(E, F). Si f est injective, alors dim E dim F. Si f est surjective, alors dim E dim F. Si f est bijective, alors dim E = dim F. Si dim E = dim F, alors f est injective ssi elle est surjective ssi elle est bijective. s On pourra avec profit remarquer la similarité entre ensembles finis cardinal applications d une part et espaces vectoriels de dimension finie dimension applications linéaires d autre part. Les contraposées des trois premiers points sont souvent utiles : par exemple, si f L(R 3, R 2 ), alors f ne peut pas être injective. Proposition Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie. Si f L(E, F) ; dim E = dim F ; g f = Id E. alors f et g sont des isomorphismes, réciproques l un de l autre (i.e. f 1 = g et g 1 = f ). Attention, c est faux si l on a pas l égalité des dimensions (ou si F et G ne sont pas de dimension finie). Exercice Montrer que f : R 2 R 2 (x, y) (2x + y, x + y) est un isomorphisme de R On considère l application f : R 2 R 3 (x, y) (x, y, 0). a. Montrer que f est linéaire. b. f est-elle bijective? c. Déterminer une application g telle que g f = Id R c Définition Formes linéaires Soit E un K-espace vectoriel. Une application linéaire f L(E, K) est appelée forme linéaire sur E. Exemple Si E est de dimension n N et que B = (e 1,..., e n ) est une base de E, chacune des applications f i : E K u = n λ i e i λ i, dites applications coordonnées dans la base B est une forme linéaire j=1 Lycée du Parc

195 Chapitre 11 Applications linéaires non nulle. On a Ker f i = Vect(e 1,..., e i 1, e i+1,..., e n ). Si a K, l application f : K[X] K P P(a) est une forme linéaire non nulle. On a Ker f = {(X a)p, P K[X]}. Proposition Soit E un K-espace linéaire et f L(E, K) une forme linéaire sur E. Le rang de f est 0 ou 1. rg f = 1 ssi f est non nulle (i.e. u E, f (u) 0). rg f = 1 ssi f est surjective. Si f est non nulle et que E est de dimension finie n, alors dim Ker f = n 1. Si E est de dimension n N, on appelle hyperplan de E un sous-espace vectoriel de E de dimension n 1. 2 Applications linéaires et matrices Dans cette partie, on identifiera souvent K n et l ensemble M n,1 (K) des matrices colonnes (à n lignes) à coefficients dans K. Par exemple, la base canonique ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) de K 3 correspond à la base canonique , 1, 0 de M 3,1(K) Matrice d une famille de vecteurs Définition Soient E un K-espace vectoriel de dimension n N et B = (e 1,..., e n ) une base de E. On considère un entier p et une famille F = (u 1,..., u p ) de vecteurs de E. Chacun des vecteurs u j (1 j p) se décompose de manière unique sur la base B : j 1, p!(λ 1, j,..., λ n, j ) K n, u j = n λ i, j e i i=1 La matrice de la famille (u 1,..., u p ) dans la base B est la matrice de M n,p (K) dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs de F dans la base B. On la note Mat F ou Mat (u 1,..., u p ). B B En particulier, si x E et B = (e 1,..., e n ) est une base de E, alors Mat x est la matrice colonne (ou vecteur colonne) des coordonnées de x dans la base B. Par exemple, si B = (e 1, e 2, e 3 ) et x = 2e 1 + e 2, alors Mat B Exercice On se place dans R 3 et l on considère la famille F = On note B la base canonique de R Déterminer Mat F. B (( ) ) ( )) 2. Soit B =,,. 0 1 ( a. Justifier que B est une base de R 3. b. Déterminer Mat B puis Mat F. B B (( 21 ( ) x = ) ( )) 1, 0. 4 B Lycée du Parc

196 Chapitre 11 Applications linéaires 2.2 Matrice d une application linéaire Définition Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie, dim E = p N et dim F = n N. On considère des bases B = (e 1,..., e p ) de E et B = ( f 1,..., f n ) de F ainsi qu une application linéaire ϕ L(E, F). On appelle matrice de ϕ dans les bases B et B, et l on note Mat ϕ, la matrice de la famille (ϕ(e 1),..., ϕ(e p )) B B dans la base ( f 1,..., f n ). On a donc Mat ϕ M n,p(k). B B s Autrement dit, la i-ème colonne de la matrice d une application linéaire ϕ correspond aux coordonnées de ϕ(e i ) (image par ϕ du i-ème vecteur de la base de départ) dans la base d arrivée. Il y a autant de colonnes que de vecteurs dans la base de départ et autant de lignes que de vecteurs dans la base d arrivée. Si dim E = dim F (en particulier si E = F), la matrice de ϕ est carrée. Si la base d arrivée et la base de départ sont les mêmes (ce qui n est possible que si E = F), on notera parfois Mat ϕ au lieu de Mat ϕ. B B B Exemple Soit B = (e 1, e 2, e 3 ) et B = (e 1, e 2 ) les bases canoniques de R3 et R 2 respectivement. On considère l application linéaire f L(R 3, R 2 ) telle que f (e 1 ) = (8, 3), f (e 2 ) = ( 1, 1) et f (e 3 ) = e 1. La matrice de f dans les bases B et B est ( ). L exemple suivant est à connaître parfaitement : Exemple Si E est de dimension n N et B est une base de E, alors Mat B Id E = I n. Exercice Soit f : R 3 R 3 (x, y, z) (x z, x 2y + 3z, y + z). On vérifie facilement que cette application est linéaire, et l on note (e 1, e 2, e 3 ) la base canonique de R Donner Mat B f. 2. Montrer que B = (e 1, f (e 1 ), f 2 (e 1 )) est une base de R Donner Mat f, Mat f et Mat f. B B B B B Proposition Soient E, F, G des K-espaces vectoriels de dimension finie et B, B, B des bases de E, F et G respectivement. On considère f, f 1, f 2 L(E, F) et g( L(F, ) G). Si λ K, alors Mat (λ f ) = λ Mat f. B B ( B B) ( ) Si x E, alors Mat f (x) = Mat f Mat x. B ( ) B ( B ) B Mat ( f 1 + f 2 ) = Mat f 1 + Mat f 2. B B ( B B ) ( B B ) Mat (g f ) = Mat g Mat f. B B B B B B f est un isomorphisme ssi Mat f est inversible. B B ( Dans ce cas, on a Mat ) ( ) 1 f 1 = Mat f. B B B B Lycée du Parc

197 Chapitre 11 Applications linéaires f 1 = f 2 ssi Mat B B f 1 = Mat B B f 2. Exercice Soient Q 0 = 4X 2 2X 1, Q 1 = 2X 2 1 et Q 2 = 1 2 (3X2 X 1). On pose Ψ : R 2 [X] R 2 [X] P Q 0 P(0) + Q 1 P (0) + Q 2 P (0). 1. Montrer que Ψ est linéaire. 2. Déterminer la matrice de Ψ dans la base canonique de R 2 [X]. 3. Montrer que Ψ 2 = Ψ. Définition Soient n, p N et A M n,p (K). On appelle application linéaire canoniquement associé à A l unique application linéaire de K p dans K n dont la matrice dans les bases canoniques de K p et K n est A. s Le cas le plus fréquent est celui où n = p. On parle alors de l endomorphisme de K n canoniquement associé à la matrice carrée A. Par abus de notation, on écrit parfois Ker A et Im A pour désigner le noyau et l image de l application linéaire canoniquement associé à une matrice A. En identifiant K n et M n,1 (K) (ce qui revient à noter les vecteurs de K n en colonnes), l application linéaire canoniquement associée à A est f A : M p,1 (K) M n,1 (K) X AX. Exemple ( ) Soit A =. L application linéaire canoniquement associée à A est l unique f L(K , K 2 ) telle que f (1, 0, 0) = (1, 3), f (0, 1, 0) = ( 2, 1) et f (0, 0, 1) = (0, 4). Si l on veut calculer f (3, 1, 2), on peut effectuer le produit matriciel ( ) ( ) = ( ) et en conclure que f (3, 1, 2) = (1, 2). Définition Soit E un K-espace vectoriel et P = d c k X k K[X]. k=0 Si f L(E), on définit P( f ) (le polynôme P appliqué à l endomorphisme f ) par : Si n N et A M n (K), on définit P(A) par : P( f ) = P(A) = d c k f k k=0 d c k A k La notation est transparente, mais il faut faire attention à deux choses si f L(E), les puissances de f correspondent à des compositions et f 0 est égal à Id E (et pas à 1!) ; si A M n (K), A 0 = I n (et pas 1). Exemple Si P = X 2 X + 2 et f L(E), alors P( f ) = f 2 f + 2Id E = f f f + 2Id E. k=0 Lycée du Parc

198 Chapitre 11 Applications linéaires Proposition Soient E( un K-espace ) vectoriel de dimension finie n N, B une base de E, f L(E) et P K[X]. On a P Mat f = Mat (P( f )). B B 2.3 Rang d une matrice Définition Soient n, p N et A M n,p (K). Le rang de la matrice A, noté rg A, est le rang de la famille formée par ses vecteurs colonnes. Autrement dit, si A = (C 1 C 2... C p ), alors rg A = rg(c 1,..., C p ) les C i étant considérés comme des vecteurs de K n. Proposition Soit E un K-espace vectoriel de dimension n N et B une base de E. Si (u 1,..., u p ) est une famille de vecteurs de E, alors rg(u 1,..., u p ) = rg ( ) Mat (u 1,..., u p ). B Proposition Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions finies non nulles, B une base de E et B une base de F et f L(E, F). ( ) On a rg f = rg Mat f. B B En particulier, le rang d une matrice est égal au rang de l application linéaire qui lui est canoniquement associée. Proposition Soient n, p N, A M n,p (K). 1. rg A p 2. rg A n 3. A est inversible ssi n = p = rg A. 4. Si B M n (K) est inversible, alors rg BA = rg A. 5. Si B M p (K) est inversible, alors rg AB = rg A. On ne change donc pas le rang d une matrice en effectuant des opérations élémentaires sur ses lignes (ou ses colonnes). Proposition Le rang d une matrice échelonnée est égal à son nombre de pivots (et donc à son nombre de lignes non nulles). Lycée du Parc

199 Chapitre 11 Applications linéaires s En pratique, on peut donc calculer le rang d une matrice en l échelonnant grâce au pivot de Gauss puis en comptant le nombre de lignes non nulles de la matrice obtenue. On peut ainsi ramener le plus souvent la détermination du rang d une famille ou d une application linéaire à du calcul matriciel. Proposition Soit A M n,p (K). On a rg (t A ) = rg A. 2.4 Systèmes Définition On appelle rang d un système linéaire le rang de la matrice associée au système. Proposition Soit (S ) un système linéaire homogène et A la matrice associée à ce système. Résoudre (S ) revient à résoudre l équation AX = 0 : l ensemble des solutions de (S ) est donc le noyau de l application linéaire canoniquement associée à A. Si l on note f A l application linéaire canoniquement associée à A, la dimension de l ensemble des solutions est donc égal à la dimension du noyau de A. Cette dimension est également égale au nombre d inconnues secondaires dans le système échelonnée. Le rang de A (et de f A ) est lui égal au nombre d inconnues principales. Proposition On s intéresse à un système AX = B, où A M n,p (K) et B M n,1 (K). On identifie K n et M n,1 (K) et l on note f A l application linéaire canoniquement associée à A. On a donc f A : X AX. Si B Im f A (ce qui est toujours le cas si f A est surjective), le système est compatible et l on a : une unique solution si f A est injective. une infinité de solutions, dépendant d un nombre de paramètres égal à la dimension de Ker f A, si f A n est pas injective. Si B Im f A, le système est incompatible (aucune solution). Lycée du Parc

200 Chapitre 11 Applications linéaires Exercice Travaux dirigés Pour chacune des applications suivantes, montrer qu elle est linéaire puis déterminer son noyau et son image (on donnera une base du noyau et une base de l image). Préciser si elle est injective, surjective, bijective. 1. f : R 3 R 3 (x, y, z) (x 2y, x, 5y) 2. f : R 3 R 3 (x, y, z) (2x + 3y z, 2x 3y + z, 4x + 6y 2z) 3. f : R 3 R 2 (x, y, z) (2x y, x + y) 4. D : K n [X] K n [X] P P 5. D : K[X] K[X] P P Exercice On définit l application f : R 2 R 2 (x, y) ( 12 ) x + 3y, 12 x + 2y 1. Montrer que f L(R 2 ). 2. Déterminer deux vecteurs non nuls v 1 et v 2 de R 2 tels que : f (v 1 ) = 1 2 v 1 et f (v 2 ) = v 2. Exercice Montrer que (v 1, v 2 ) est une base de R En déduire une base de Im f, puis le noyau de f. 5. Calculer, pour tout n N, f n (v 1 ) et f n (v 2 ). 6. On note (e 1, e 2 ) la base canonique de R 2. a. Exprimer e 1 puis e 2 en fonction de v 1 et v 2. b. En déduire, pour tout n N, f n (e 1 ) et f n (e 2 ) en fonction de e 1 et e 2, puis f n (u), pour tout u R Soit (x n ) n N et (y n ) n N les deux suites définies par x 0 = y 0 = 1 et : n N, x n+1 = 1 2 x n + 3y n et y n+1 = 1 2 x n + 2y n. a. On pose, pour tout n N, u n = (x n, y n ). Montrer que, pour tout n N, u n = f n (u 0 ). b. En déduire, pour tout n N, l expression de u n puis celles de x n et y n en fonction de n. On considère un K-espace vectoriel E de dimension finie n et un endomorphisme f de E. 1. Montrer que p N, Ker f p Ker f p+1 et Im f p+1 Im f p. On dit que la suite des noyaux itérés est croissante (au sens de l inclusion). Exercice Montrer qu il existe un entier p 0 N tel que Ker f p 0 = Ker f p Montrer que si q p 0, alors Ker f q = Ker f p 0 et Im f q = Im f p 0. Une suite comme celle des Ker f p qui est constante à partir d un certain rang est dite stationnaire. 4. Déterminer Ker f p 0 Im f p 0. Lycée du Parc

201 Chapitre 11 Applications linéaires Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n 1. Un endomorphisme f de E est dit nilpotent s il existe r N tel que f r = 0 L(E). Soit f un endomorphisme nilpotent de E. 1. Montrer que f n est pas une bijection. Exercice On note r 0 le plus petit entier tel que f r 0 = 0 L(E). a. Montrer qu il existe x 0 E tel que f r 0 1 (x 0 ) 0 E. b. Montrer que ( x 0, f (x 0 ),..., f r 0 1 (x 0 ) ) est une famille libre. c. En déduire que r 0 n. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n 1 et u L(E). On suppose qu il existe un vecteur x 0 E tel que ( u(x 0 ), u 2 (x 0 ),..., u n (x 0 ) ) soit une base de E. 1. Montrer que u est un automorphisme. Exercice En déduire que ( x 0, u(x 0 ),..., u n 1 (x 0 ) ) est une base de E. 3. Montrer alors qu il existe a 0, a 1,..., a n 1 tels que n 1 u n = a k u k Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n N et B = (e 1,..., e n ) une base de E. Pour i 1, n, on pose f i = i e k et l on note F = ( f 1,..., f n ). Exercice k=1 1. Montrer que F est une base de E. 2. Déterminer Mat B F et Mat B. F 1. Soit f l endomorphisme de R 3 de matrice dans la base canonique A = k=0 On pose u 1 = (1, 0, 0), u 2 = (1, 1, 1) et u 3 = (0, 1, 2). Montrer que B = (u 1, u 2, u 3 ) est une base de R 3 et donner la matrice de f dans cette base. 2. Soit g l endomorphisme de R 3 de matrice dans la base canonique B = On pose u 1 = (1, 0, 1), u 2 = ( 1, 2, 1) et u 3 = (8, 2, 7). Montrer que B = (u 1, u 2, u 3 ) est une base de R 3 et donner la matrice de g dans cette base. Exercice Soit f l endomorphisme de R 3 de matrice dans la base canonique M = Montrer que f est un isomorphisme et donner la matrice dans la base canonique de f 1. Lycée du Parc

202 Chapitre 11 Applications linéaires Exercice Montrer que l ensemble D des vecteurs u R 3 tels que f (u) = u est un s.e.v. de R 3 et en donner une base. 3. Montrer que l ensemble P des vecteurs u R 3 tels que f (u) = u est un s.e.v. de R 3 et en donner une équation cartésienne puis une base. 4. On pose C = {(x, y, z) R 3 ; y + z = 0}. Montrer que f (C) = C. Soient n N et f : R n [X] R n [X] P(X) P(X + 1). 1. Montrer que f est un automorphisme. 2. Déterminer la matrice de f dans la base canonique de R n [X]. 3. En déduire sans calcul l inverse de A = Lycée du Parc

203 Chapitre 11 Applications linéaires Études Exercice Partie 1 Généralités Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, B une base de E et f L(E). On note A la matrice de f dans la base B. Pour λ K, on définit E λ = {u E, f (u) = λu} Si E λ {0 E }, on dit que λ est une valeur propre de f, on appelle E λ le sous-espace propre associé à λ et les éléments de E λ les vecteurs propres de f associés à la valeur λ. Soit λ K. 1. Montrer que E λ est un sous-espace vectoriel de E. 2. Montrer que E λ = Ker( f λid E ). 3. Montrer que λ est valeur propre de f si et seulement si A λi n n est pas inversible. 4. Soient λ et µ deux valeurs propres distinctes de f et u et v deux vecteurs propres non nuls associés respectivement à λ et µ. Montrer que la famille (u, v) est libre et que E λ E µ = {0 E }. 5. a. Soit P K[X] tel que P( f ) = 0 L(E). Montrer que si λ est valeur propre, alors P(λ) = 0. b. Un endomorphisme f est dit nilpotent s il existe r N tel que f r = 0 L(E). Montrer que si f est nilpotent, alors sa seule valeur propre possible est 0. Partie 2 Détermination des valeurs propres Dans la suite du problème, on se place dans E = R 3, dont on note B = (e 1, e 2, e 3 ) la base canonique et l on considère l endomorphisme f de R 3 canoniquement associée à la matrice A = Déterminer le rang de f, une base de Im f et la dimension de Ker f. 2. f est-elle injective? surjective? bijective? 3. En effectuant un pivot de Gauss sur la matrice A λi 3, montrer qu elle a même rang que 4 λ(λ 1) 0 0 (λ 1)(λ 2) λ + 1 En déduire les valeurs propres de f ainsi que les dimensions des sous-espaces propres correspondants. 4. Donner une base de E 1, de E 2 et de E 1. Partie 3 Diagonalisation On définit les vecteurs e 1 = (1, 2, 1), e 2 = (0, 1, 0) et e 3 = (1, 2, 0). On note B la famille (e 1, e 2, e 3 ). 1. Montrer que B est une base de R Déterminer la matrice D = Mat B f. 3. a. Déterminer la matrice P = Mat B B Id E. Attention, les bases de départ et d arrivée ne sont pas les mêmes : P n est pas égal à I 3. Lycée du Parc

204 Chapitre 11 Applications linéaires Exercice b. Justifier sans calcul que P est inversible et que D = P 1 AP. ( 1) n 0 0 c. En déduire que pour n N, on a A n = P P n Soient n N et a 1,..., a n des réels distincts. On considère l application On note (e 1,..., e n ) la base canonique de R n. 1. Montrer que ψ est linéaire. 2. Calculer ψ(x i ) pour 0 i n 1. ψ : R n 1 [X] R n P (P(a 1 ),..., P(a n )) 3. Déterminer Ker ψ (on pourra s intéresser au nombre de racines d un polynôme de Ker ψ). 4. En déduire que ψ est un isomorphisme. On note ψ 1 sa réciproque. 5. Soient y 1,..., y n R. Montrer qu il existe un unique polynôme P de R n 1 [X] tel que i 1, n, P(a i ) = y i. 6. Pour i 1, n, on pose P i = ψ 1 (e i ). a. Justifier que (P 1,..., P n ) est une base de R n 1 [X]. b. Pour i 0, n 1, déterminer les coordonnées de X i dans la base (P 1,..., P n ). On pourra utiliser la question 2. c. Déterminer P i pour 1 i n. Lycée du Parc

205 Chapitre 11 Applications linéaires Exercice Exercices supplémentaires Soit E un K-espace vectoriel et f L(E). On suppose que f 2 3 f + 2Id E = 0 L(E). 1. Montrer que f est un isomorphisme et exprimer f 1 en fonction de f et Id E. 2. Montrer qu il existe deux suites (α n ) et (β n ) telles que 3. Exprimer f n en fonction de f, Id E et n N. n N, f n = α n f + β n Id E Exercice Soit E un K-espace vectoriel de dimension n N et f L(E) tel que Montrer que x E, r N, f r (x) = 0 E q N, x E, f q (x) = 0 E Question supplémentaire (difficile) : trouver un contre-exemple si E n est plus supposé de dimension finie. On pourra prendre E = R[X]. Exercice Soit f L(R 4 ) telle que f f = 0 L(R 4 ). Montrer que rg f 2. Exercice Soient M M n (R) et Exercice Montrer que ϕ M est linéaire. ϕ M : M n (R) M n (R) A AM 2. Montrer que ϕ M est un isomorphisme ssi M est inversible. 3. On prend n = 2 et M = ( ). Déterminer la matrice de ϕm dans la base canonique de M 2 (R). Soit n 1, on considère l application 1. Montrer que est linéaire. : R n [X] R n [X] P P 2. Déterminer Ker puis Im (on en donnera une base). 3. Déterminer une base B de R n [X] telle que Mat B = ( ) Lycée du Parc

206 Chapitre 11 Applications linéaires Exercice Soit ϕ L(R 2 ) tel que ϕ 2 = Id R 2. Montrer qu il existe une base B de R 2 telle que Exercice Mat B ϕ = ( ) Dans chacun des cas suivants, déterminer le noyau et l image de l endomorphisme de R 3 canoniquement associé à la matrice donnée A = B = C = Exercice a 1 1 a 1 Soient a R et f a l endomorphisme canoniquement associé à. Déterminer le noyau et 1 a 1 1 a l image de f a. Exercice Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels de dimension finie, f L(E, F) et g L(F, G). 1. En appliquant le théorème du rang à la restriction g Im f de g à Im f, montrer que dim(ker g f ) dim(ker f ) + dim(ker g). 2. En déduire que rg f + rg g dim F rg g f min(rg f, rg g) Lycée du Parc

207 CHAPITRE 12 VARIABLES ALÉATOIRES On rappelle qu un espace probabilisé fini est un couple (Ω, P) où Ω est un ensemble fini et P une probabilité sur Ω, c est-à-dire une application de P(Ω) dans [0, 1] vérifiant : P(Ω) = 1 ; si A, B P(Ω) et A B =, alors P(A B) = P(A) + P(B). Dans tout le chapitre, (Ω, P) désignera un espace probabilisé fini. 1 Variable aléatoire sur un univers fini 1.1 Définitions et notations Définition 12.1 On appelle variable aléatoire réelle sur Ω une application X : Ω R ω X(ω) s Définir une variable aléatoire, c est donc (en théorie) associer à chaque issue ω d une expérience aléatoire modélisée par un espace probabilisé (Ω, P) un nombre réel X(ω). Si D est une partie de R, l ensemble X 1 (D) = {ω Ω, X(ω) D} est une partie de Ω, c est-à-dire un événement. On le note [X D], ou (X D). On dispose de notations spécifiques pour les cas particuliers les plus fréquents : si a R, X 1 ({a}) est noté [X = a] ; si a, b R, X 1 (]a, b]) est noté [a < X b] (avec des notations analogues pour les autres types d intervalles bornés) ; si a R, X 1 (], a]) est noté [X a] (avec des notations analogues pour les autres types d intervalles non bornés). L ensemble des valeurs possibles pour X est X(Ω) = {X(ω), ω Ω}. Comme Ω est fini, X(Ω) l est également. Attention : X est une fonction de Ω vers R, donc «X 1» est la proposition «ω Ω, X(ω) 1» qui peut être vraie ou fausse suivant la variable aléatoire X considérée. En revanche, [X 1] est un événement (et ne peut donc être vrai ou faux) : c est l ensemble {ω Ω, X(ω) 1}. On a X 1 ([X 1] = Ω). On s intéressera à l exemple suivant tout au long du chapitre : Exemple 12.1 On lance deux dés à 4 faces et l on s intéresse à la somme des résultats obtenus. L univers Ω est donc 1, 4 2, et l on suppose donnée une probabilité P sur Ω (qui sera uniforme si les dés sont équilibrés). Lycée du Parc

208 Chapitre 12 Variables aléatoires La variable aléatoire correspondant à la somme des deux dés est : Exemple 12.2 X : Ω = 1, 4 2 R (x, y) x + y On a X(Ω) = 2, 8. On a [X = 2] = {(1, 1)}, [X = 3] = {(1, 2), (2, 1)}, [X = 4] =. Si A est un événement (i.e. une partie de Ω), alors 1 A, la fonction indicatrice de A est une variable aléatoire sur (Ω, P). On rappelle que 1 A est définie ainsi : 1 A : Ω R 1 si ω A ω 0 si ω A Théorème 12.2 Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P). La famille d événements ([X = x]) x X(Ω) forme un système complet d événements, et l on a donc P([X = x]) = 1 x X(Ω) On utilisera extrêmement souvent la formule des probabilités totales avec le système complet d événements ([X = k]) k X(Ω) : A Ω, P(A) = P([X = k])p [X=k] (A) Exemple 12.3 x X(Ω) Si l on reprend l exemple suivant en supposant que les dés sont équilibrés et que l on note X 1 le résultat du premier dé, on a P([X 4]) = P([X 1 = k])p [X1 =k]([x 4]). k X 1 (Ω) On a clairement X 1 (Ω) = 1, 4 et P([X 1 = k]) = 1 4 pour tout k 1, 4. De plus, P [X 1 =1]([X 4]) = 1 2, P [X1 =2]([X 4]) = 3 4 et P [X 1 =3]([X 4]) = P [X1 =4]([X 4]) = 1, d où P([X 4]) = = Ce type de technique sera largement développé (et appliqué à des exemples moins triviaux) dans le chapitre suivant. 1.2 Loi d une variable aléatoire Définition 12.3 Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P). On appelle loi de X l application P X : R R x P([X = x]) Lycée du Parc

209 Chapitre 12 Variables aléatoires X(Ω) étant fini, on peut le noter {x 1,..., x n }. Si x X(Ω), on a P([X = x]) = 0. Par conséquent la donnée de P([X = x i ]) pour i variant de 1 à n suffit pour déterminer la loi de X. En notant p i = P([X = x i ]) pour i 1, n, on a i 1, n, p i [0, 1] n p i = 1 i=1 La loi de X se résume à la liste des couples (x i, p i ) que l on présentera souvent sous la forme d un tableau. ([X = x i ]) 1 i n forme un système complet d événements. Dans la grande majorité des cas, la loi de X est la seule chose qui nous intéresse : Ω ne sera pas spécifié et X ne sera connu qu au travers de sa loi. Exemple 12.4 On reprend l exemple 1. Ici, Ω = 1, 4 2 est connu explicitement. On va supposer ici que les dés sont équilibrés, et donc prendre pour P la probabilité uniforme sur 1, 4 2. On souhaite déterminer la loi de X. 1. On détermine X(Ω), qui vaut ici 2, Pour chacun des x X(Ω), on détermine P([X = x]) : x P([X = x]) Loi de X 3. On peut représenter graphiquement cette loi par un diagramme en bâtons. Attention, deux variables aléatoires qui suivent la même loi n ont aucune raison d être égales : Exemple 12.5 On lance une pièce équilibrée : on pose Ω = {P, F} et l on considère la probabilité uniforme sur Ω. On peut définir deux variables aléatoires X et Y comme suit : X vaut 1 si l on obtient Face, 0 sinon ; Y vaut 1 si l on obtient Pile, 0 sinon. X et Y suivent la même loi (on a P([X = 1]) = P([Y = 1]) = 1 2 et P([X = 0]) = P([Y = 0]) = 1 2 ), et pourtant X n est pas égale à Y (on a en fait Y = 1 X) Fonction de répartition Définition 12.4 Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P). On appelle fonction de répartition de X l application F X : R R x P([X x]) Proposition 12.5 Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P(Ω)). On note X(Ω) = {x 1,..., x n } avec x 1 < < x n et l on pose p i = P([X = x i ]) pour i dans 1, n. La fonction de répartition de X est en escalier (ou constante par morceaux) : si x < x 1, F X (x) = 0 ; si x 1 x < x 2, F X (x) = p 1 ; Lycée du Parc

210 Chapitre 12 Variables aléatoires si x 2 x < x 3, F X (x) = p 1 + p 2 ;... si x i x < x i+1, F X (x) = p p i ;... si x x n, F X (x) = 1. s F X est une fonction croissante et vérifie x R, 0 F X (x) 1. On a F X (x) 0 et F X (x) 1. En réalité, F X est même constante égale à 0 au voisinage de, x x + constante égale à 1 au voisinage de +. Comme vu dans la propriété, la loi de X détermine entièrement F X. On peut procéder en sens inverse : la donnée de F X est suffisante pour retrouver la loi de X (cf exercice 12.6). Exercice 12.6 Une variable aléatoire X sur un espace probabilisé (Ω, P(Ω)) a la fonction de répartition suivante : Déterminer la loi de X. Exercice 12.7 F X : R R 0 si x < si x [ 2, 0[ 1 x 2 si x [0, 7[ 3 4 si x [7, 8[ 1 si x 8 En reprenant la variable aléatoire X de l exemple 1, déterminer F X et la représenter graphiquement. 1.4 Transformation de variable aléatoire Proposition 12.6 Soient X une variable aléatoire sur (Ω, P(Ω)) et g : R R. g X est une variable aléatoire sur (Ω, P(Ω)), que l on note usuellement g(x). Sa loi est donnée par : y R, P([g(X) = y]) = P([X = x]) x X(Ω) g(x)=y g n a en fait pas besoin d être définie sur R : elle doit être définie au moins sur X(Ω). Exemple 12.8 Si g : x x 2, alors, pour tout y R, on a : si y < 0 [g(x) = y] = [X 2 = y] = [X = 0] si y = 0 [x = y] [x = y] si y > 0 et l union étant disjointe dans le dernier cas, Lycée du Parc

211 Chapitre 12 Variables aléatoires 0 si y < 0 P([g(X) = y]) = P([X 2 = y]) = P([X = 0]) si y = 0 P([X = y]) + P([X = y]) si y > 0 Si g : x ax + b avec a R et b R, alors, pour tout y R, on a : ([ P([g(X) = y]) = P([aX + b = y]) = P X = y b ]) a Et si a = 0 dans le deuxième cas? 2 Moments 2.1 Espérance Définition 12.7 Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P). On appelle espérance de X, et l on note E(X), le réel : E(X) = xp([x = x]) s x X(Ω) En notant X(Ω) = {x 1,..., x n } et i 1, n, P([X = x i ]) = p i, on a E(X) = n x i p i. L espérance est la moyenne des valeurs prises par X, pondérée par la probabilité que ces valeurs soient prises. Si X(Ω) = {x 1,..., x n } avec x 1 < < x n, alors x 1 E(X) x n. On a aussi E(X) = X(ω)P(ω). ω Ω Si X est une fonction constante égale à un réel a (on parle de variable certaine), alors E(X) = a. En termes d «unités», l espérance de X est homogène à X : si X se mesure en mètres, son espérance aussi. Théorème 12.8 Transfert Soient X une variable aléatoire sur (Ω, P) et g : X(Ω) R. On a E(g(X)) = g(x)p([x = x]) x X(Ω) i=1 Exercice 12.9 On considère le jeu suivant : le joueur paie 20 euros pour faire une partie puis tire au hasard un jeton dans un sac en contenant n, numérotés de 1 à n. Il gagne le carré du numéro qu il a tiré. Comment choisir n pour que le jeu soit équitable? Proposition 12.9 Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) et λ R. Si X 0, alors E(X) 0 E(λX + Y) = λe(x) + E(Y) Si X Y, alors E(X) E(Y) Si X 0 et E(X) = 0, alors X = 0 E(X) E ( X ) positivité. linéarité. croissance. définie. inégalité triangulaire. Lycée du Parc

212 Chapitre 12 Variables aléatoires Définition Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P). Si E(X) = 0, on dit que X est une variable centrée. La variable aléatoire X E(X) est appelée variable centrée associée à X. X E(X) est effectivement une variable centrée : E(X E(X)) = E(X) E(E(X)) = E(X) E(X) = 0 (l avant dernière étape utilise le fait que E(X) est une constante). 2.2 Moment d ordre r Définition Soient X une variable aléatoire sur (Ω, P) et r N. On appelle moment d ordre r le réel m r (X) = E(X r ). On appelle moment centré d ordre r le réel µ r (X) = E ( (X E(X)) r). On a m 1 (X) = E(X) et µ 1 (X) = 0. Proposition Soient X et Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) telles que 0 X Y. On a r N, m r (X) m r (Y) 2.3 Variance et écart-type Définition Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P). On appelle variance de X et l on note V(X) le réel V(X) = E ( (X E(X)) 2) s Autrement dit, la variance de X est son moment centré d ordre 2 : V(X) = µ 2 (X). Une variance est un réel positif ou nul. Si X est en mètres (en kg,...), alors V(X) est en m 2 (en kg 2,...). Mathématiquement, on peut bien sûr calculer E(X) + V(X), par exemple, mais il y a peu de chance que cela ait un sens... Exemple En reprenant le X de l exemple 1, calculer V(X). Théorème Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P). Si a, b R, alors V(aX + b) = a 2 V(X). V(X) = 0 ssi X = E(X) (autrement dit ssi X est certaine). Formule de Huygens : V(X) = E(X 2 ) E(X) 2. Lycée du Parc

213 Chapitre 12 Variables aléatoires s En pratique, si l on veut calculer une variance, on le fait le plus souvent à l aide de la formule de Huygens. Attention, la variance n est pas linéaire : en particulier, la variance d une somme n est pas du tout égale à la somme des variances. En posant X(Ω) = {x 1,..., x n } et i 1, n, p i = P([X = x i ]), la formule de Huygens s écrit : V(X) = n n 2 xi 2 p i x i p i. i=1 i=1 Exercice Soient X une variable aléatoire sur (Ω, P) et n N. On suppose que X suit une loi uniforme sur 1, n, c est-à-dire que X(Ω) = 1, n et que k X(Ω), P(X = k) = 1 n. Déterminer l espérance et la variance de X. Définition Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P). On appelle écart-type de X, et l on note σ(x), le réel σ(x) = V(X). Si σ(x) = 1 (ce qui équivaut à V(X) = 1), on dit que X est une variable réduite. L écart-type de X a même dimension que X, et donc aussi que E(X). Des expressions du type E(X) + 2σ(X) sont d ailleurs très courantes (plutôt en statistiques). Proposition Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P). Si a, b R, σ(ax + b) = a σ(x). σ(x) = 0 ssi X = E(X) ssi X est certaine. Exercice Soit X une variable aléatoire sur une espace probabilisé (Ω, P). On suppose que X(Ω) 0, 20 et que X n est pas une variable certaine. Montrer qu il existe f : R R affine telle que E[ f (X)] = 10 et σ( f (X)) = 4. A-t-on nécessairement f (X)(Ω) [0, 20]? Lycée du Parc

214 Chapitre 12 Variables aléatoires 2.4 Inégalités classiques Théorème Soit A un événement (une partie de Ω). On a E(1 A ) = P(A). Théorème Inégalité de Markov Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P) telle que X 0. On a a > 0, P(X a) E(X) a Exercice Un certain chat ronronne en moyenne quarante minutes par jour. Majorer la probabilité qu il ronronne au moins deux heures un jour donné. Cette inégalité est optimale (c est-à-dire que l on peut trouver une variable aléatoire et un a R pour lesquels on a en fait égalité), mais elle est assez grossière (parce qu elle n utilise que des hypothèses très faibles sur X). Par exemple, en supposant que la taille moyenne d un Français soit d un mètre soixante-dix, elle nous permet seulement d affirmer que la probabilité que la taille d un Français choisi au hasard soit supérieure ou égale à trois mètres quarante est d au plus 1 2. Théorème Inégalité de Bienaymé-Tchebychev Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P). On a ε > 0, P ( X E(X) ε ) V(X) ε 2 s Une probabilité est une grandeur sans dimension et sans unité. Il faut donc qu il en soit de même pour le membre de droite, ce qui est bien le cas puisque ε est homogène à X et V(X) à X 2. Cette inégalité est en règle générale plus précise que celle de Markov, mais l on peut souvent faire mieux si l on a plus d informations sur X (si l on connaît sa loi, en particulier). 3 Lois usuelles 3.1 Loi uniforme Définition Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P). On note X(Ω) = {x 1,..., x n }. On dit que X suit une loi uniforme sur X(Ω) si On note alors X U({x 1,..., x n }). i 1, n, P(X = x i ) = 1 n Lycée du Parc

215 Chapitre 12 Variables aléatoires Exemple Si l on note X le résultat du lancer d un dé équilibré à six faces, alors X U( 1, 6 ). Proposition Soient n N et X une variable aléatoire sur (Ω, P) telle que X U( 1, n ). On a E(X) = n et V(X) = n Attention à ne pas utiliser ce résultat quand X suit une loi uniforme sur un ensemble autre que 1, n (par exemple 0, n 1 ou 0, n ). Il faut dans ce cas recalculer l espérance et la variance (cf exercice 12.15). Exercice Soient a, b Z (a b) et X U( a, b ). Calculer l espérance et la variance de X et représenter graphiquement sa fonction de répartition. 3.2 Loi de Bernoulli Définition Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P) et p ]0, 1[. On dit que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p si X(Ω) = {0, 1} P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 p On note alors X B(p). L issue 1 est appelée «succès«, l issue 0 «échec». Quelques situations typiques modélisées par des variables de Bernoulli : tirer une boule dans une urne contenant une proportion p de boules blanches et 1 p de boules noires en notant X = 1 si la boule tirée est blanche, X = 0 sinon ; tirer à pile ou face avec une pièce truquée faisant «pile» avec probabilité p, en notant X = 1 si l on obtient «pile» et X = 0 sinon. Proposition Soit p ]0, 1[ et X B(p). On a E(x) = p et V(X) = p(1 p). Ces résultats restent valables si p = 0 ou p = 1, mais l on parlera plutôt de variable certaine que de variable de Bernoulli de paramètre 0 ou 1. Exemple Représenter graphiquement la loi et la fonction de répartition d une variable de Bernoulli de paramètre p ]0, 1[. Lycée du Parc

216 Chapitre 12 Variables aléatoires 3.3 Loi binomiale On considère une urne contenant une proportion p de boules blanches et 1 p de boules noires, avec 0 < p < 1. On tire successivement et avec remise n boules et l on note X le nombre de boules blanches obtenues. On a alors X(Ω) = 0, n et, pour tout k 0, n, P(X = k) = ( n k) p k (1 p) n k. Définition Soient X une variable aléatoire sur (Ω, P), n N et p ]0, 1[. On dit que X suit une loi binomiale de paramètres n et p si X(Ω) = 0, n k 0, n, P(X = k) = ( ) n p k (1 p) n k On note alors X B(n, p). La loi de Bernoulli est un cas particulier de la loi binomiale avec n = 1. Plus précisément, X B(p) ssi X B(1, p), ce qui explique la similarité des notations. Proposition Soient n N, p ]0, 1[ et X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p. On a E(X) = np et V(X) = np(1 p) k Exercice On lance un dé équilibré 100 fois. Donnez l espérance et la variance du nombre de 6 obtenus. Exercice On lance fois une pièce équilibrée et l on note X le nombre de fois que l on obtient «pile». Donner un minorant de la probabilité que ce nombre soit strictement compris entre 450 et Loi hypergéométrique On considère une urne contenant a boules blanches et b boules noires. On tire successivement et sans remise n boules, avec n a + b, et l on pose X la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches tirées. On a alors clairement X(Ω) 0, n (attention, ce n est qu une inclusion) et de plus )( b ) k 0, n, P(X = k) = ( a k n k ( a+b ) n On observe que P(X = k) 0 ssi 0 k a et 0 n k b, on en déduit donc que X(Ω) = max(0, n b), min(a, n). En posant N = a + b et p = a N (proportion de boules blanches), on a alors 1 p = b N et k X(Ω), P(X = k) = ( N p k )( N(1 p) n k ( N n) ) Lycée du Parc

217 Chapitre 12 Variables aléatoires Proposition Formule de Vandermonde Soient a, b, n N. On a n k=0 ( )( ) a b k n k ( ) a + b = n Définition Soient X une variable aléatoire sur (Ω, P), N N, n N tel que n N et p ]0, 1[ tel que N p N. On dit que X suit une loi hypergéométrique de paramètres N,n et p si X(Ω) 0, n k X(Ω), P(X = k) = ( N p k )( N(1 p) n k ( N n) ) On note alors X H(N, n, p). s En posant a = N p et b = N a, on retrouve les notations vues plus haut. Si N = 1, on a nécessairement n = 1 et X suit alors une loi de Bernoulli de paramètre p. Une loi hypergéométrique est donc appropriée pour modéliser le nombre de boules blanches obtenues en tirant successivement et sans remise n boules dans une urnes contenant au total N boules dont une proportion p est blanche. Elle convient aussi si le tirage est simultané. Proposition Soit X une variable aléatoire sur (Ω, P) suivant une loi hypergéométrique de paramètres N, n et p. On a E(X) = np et V(X) = np(1 p) N n N 1 s On retrouve donc la même espérance que pour la loi binomiale mais une variance différente. Cependant, si N est grand devant n, le facteur N n N 1 est proche de 1 et la variance n est donc «pas très différente» de celle d une binomiale de paramètres n et p. On peut aller un peu plus loin : si n et p sont fixés et que N tend vers plus l infini (en étant choisi de manière à ce que N p soit entier), alors (N p k )( N(1 p) n k ) ( n ( N n) k) p k (1 p) n k. Autrement dit, la loi hypergéométrique de paramètres N, n et p «tend» vers une loi binomiale de paramètres n et p quand N tend vers plus l infini. Ce n est pas surprenant : si le nombre de boules dans l urne est grand devant le nombre de boules tirées ainsi que devant le nombre de boules de chaque couleur, le fait que le tirage soit sans remise n a que peu d importance. Exemple On tire au hasard 4 personnes parmi un groupe de 100 qui contient 5 gauchers. On souhaite déterminer la probabilité qu au moins l une des 4 personnes choisies soit gauchère. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de gauchers choisis. On a X H ( 100, 4, 20) 1. La probabilité cherchée est ) P(X 1) = 1 P(X = 0) = 1 ( 5 )( ( ) 0,188 Lycée du Parc

218 Chapitre 12 Variables aléatoires En utilisant l approximation binomiale, on obtiendrait : P(X 1) 1 ( ) ( ) ( ) , Que ce passe-t-il si l on essaie d estimer de la même manière la probabilité que l on ait choisi quatre gauchers? Lycée du Parc

219 Chapitre 12 Variables aléatoires Exercice Travaux dirigés On considère 5 jetons numérotés de 1 à On tire simultanément 2 jetons parmi les 5 et on note X la plus petite valeur. Déterminer la loi de X, son espérance, sa variance et représenter graphiquement sa fonction de répartition F X. Exercice On tire successivement et avec remise deux jetons parmi les 5. On note Y la plus petite valeur. Déterminer la loi de Y et son espérance. Problème du chevalier de Méré Deux joueurs jouent à un jeu se déroulant en plusieurs manches. Chacun des joueurs a misé 32 pistoles au début de la partie, et le premier joueur à gagner trois manches remporte le pot de 64 pistoles. Les manches sont indépendantes les unes des autres et chaque joueur a une probabilité 1 2 de gagner chaque manche. Les deux joueurs sont obligés d abandonner la partie alors que le joueur A mène deux manches à une. Comment répartir équitablement l argent du pot entre les deux joueurs? Exercice On lance un dé équilibré et on note X le numéro obtenu. Soient Y = X 2 et Z = (X 2) 2. Donner la loi de Y ainsi que les espérances de Y et Z. Exercice Soient n N et β un nombre réel. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans {0, 1,..., n}. On suppose ( n k) 1. Déterminer β. Exercice Calculer E(X). P(X = k) = β k + 1 si 0 k n. Une urne contient N boules numérotées de 1 à N. On effectue un tirage simultané de n boules (1 n N) et l on note X le plus grand numéro obtenu. 1. Déterminer la loi de X. 2. Montrer par récurrence que N Exercice En déduire l espérance de X. k=n ( k ) ( n = N+1 n+1). Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On effectue une série de tirages avec remise et l on s arrête dès que le dernier numéro obtenu est supérieur ou égal au numéro obtenu lors du tirage précédent. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués. 1. Déterminer X(Ω). 2. Déterminer la probabilité des événements [X 2] et [X 3], en déduire celle de [X = 2]. 3. Calculer la probabilité de [X = k] pour k X(Ω) et en déduire la loi de X. 4. Montrer que E(X) = ( n) n et déterminer sa limite quand n tend vers +. Lycée du Parc

220 Chapitre 12 Variables aléatoires Exercice Soit X une variable aléatoire sur un espace probabilisé (Ω, P) telle que : X(Ω) = {0, 1, 2,..., n} α R; k {0, 1, 2,..., n}, P(X = k) = αk(n k). 1. Déterminer α. 2. On appelle mode de la variable aléatoire X l ensemble des éléments x de X(Ω) tels que la probabilité P(X = x) soit maximale, i.e. tels que : Quel est le mode de X? 3. Calculer l espérance et la variance de X. P(X = x) = max{p(x = y), y X(Ω)}. Lois usuelles Exercice Dans chacune des expériences qui suivent, reconnaître la loi de X, calculer son espérance et sa variance, puis calculer la probabilité demandée. 1. On range au hasard 20 objets dans 3 tiroirs. On note X la variable aléatoire égale au nombre d objets dans le premier tiroir et on s intéresse à P(X = 20) et P(X = 10). Exercice Un enclos contient 12 lamas et 15 dromadaires. On sort un animal au hasard. On note X la variable aléatoire égale au nombre de bosses et on s intéresse à P(X = 1). 3. Un sac contient 26 jetons sur lesquels figurent les lettres de l alphabet. On en tire 5 au hasard que l on aligne afin de former un mot de 5 lettres. On note X la variable aléatoire égale au nombre de voyelles dans ce mot et on s intéresse à P(X = 1). 4. Un enclos contient 15 lamas, 15 dromadaires et 15 chameaux. On sort un animal au hasard. On note X la variable aléatoire égale au nombre de bosses et on s intéresse à P(X = 0). 5. On suppose que 1% des trèfles ont 4 feuilles. On cueille 100 trèfles. On note X la variable aléatoire égale au nombre de trèfles à 4 feuilles cueillis et on s intéresse à P(X > 0). 6. On forme un jury de 6 personnes choisies au hasard dans un groupe composé de 5 hommes et 4 femmes. On note X la variable aléatoire égale au nombre de femmes dans ce jury et on s intéresse à P(X = 3). On dispose d une pièce équilibrée. Combien de lancers doit-on effectuer pour avoir une probabilité d au moins 0,9 d obtenir une proportion de «face» comprise entre 49% et 51%? Exercice Soit p ]0, 1[. Une piste rectiligne est divisée en cases numérotées 0, 1, 2,..., k,.... Une puce se déplace sur cette piste par sauts successifs de la manière suivante : à chaque saut, elle avance d une case avec probabilité p et de deux cases sinon. Au départ, elle se trouve sur la case numéro 0. On note X n la variable aléatoire égale au numéro de la case sur laquelle se trouve la puce après n sauts. 1. Déterminer la loi de la variable X 1, puis son espérance et sa variance. 2. On note Y n la variable aléatoire égale au nombre de fois où la puce a sauté d une case au cours des n premiers sauts. Déterminer la loi de la variable Y n, puis son espérance et sa variance. 3. Exprimer X n en fonction de Y n. En déduire la loi de X n puis son espérance et sa variance. Lycée du Parc

221 Chapitre 12 Variables aléatoires Exercice Soient n N et p ]0, 1[. On dispose d une pièce donnant pile avec la probabilité p. 1. On effectue une série de n lancers de la pièce et on note Y n le nombre de piles obtenus. Déterminer la loi de Y n, son espérance et sa variance. Exercice Agathe effectue une série de n lancers. A chaque lancer, elle gagne un euro si elle obtient pile et elle perd un euro si elle obtient face. On note A n le gain algébrique d Agathe à l issue de la série. a. Déterminer la loi de A n lorsque n = 3 puis lorsque n = 4. b. Déterminer la loi de A n dans le cas général. On commencera par déterminer avec précision l ensemble des valeurs prises par A n. c. Calculer l espérance et la variance de A n. 3. Soit a un réel strictement positif. Béatrice effectue une série de n lancers de la pièce. A l issue de la série, elle gagne a euros si le nombre de piles qu elle a obtenus est pair. Sinon, elle perd a euros. On note B n le gain algébrique de Béatrice. Déterminer la loi de B n puis son espérance et sa variance. On effectue des tirages sans remise dans une urne contenant n boules. 1. Si l on choisit a priori p boules, quelle est la probabilité de toutes les obtenir en faisant k tirages sans remise? Exercice On considère maintenant que l urne contient p boules rouges et n p boules noires. On note T la variable aléatoire égale au nombre de tirages sans remise nécessaires à l obtention des p boules rouges. a. Déterminer T(Ω) et P(T k) pour k T(Ω). b. En déduire la loi de T. c. i. Montrer que si r N et q 0, r, on a r ii. Déterminer l espérance de T. k=q ( k ) ( q = r+1 q+1). On considère une population de 2 n vaches susceptibles, avec la probabilité p, d être porteuses d un virus donné. On dispose d un test détectant, de façon certaine, ce virus dans le lait des vaches. On fixe 0 k n. On sépare les vaches en 2 n k groupes de 2 k vaches. On mélange leur lait, on fait un test sur chacun des mélanges, puis on effectue un test sur chacune des vaches des groupes contaminés. On note Y k le nombre de groupes malades et X k le nombre de tests effectués. 1. Exprimer X k en fonction de Y k, k et n. 2. Déterminer la probabilité qu un groupe donné soit contaminé. 3. Donner la loi de Y k et son espérance. 4. Donner l espérance de X k. 5. On suppose que n = 10 et p = 0,01. Déterminer numériquement la meilleure valeur de k. Lycée du Parc

222 Chapitre 12 Variables aléatoires Exercice Études La société Lehazard met à la disposition de ses clients un nouveau jeu en ligne dont la page d écran affiche une grille à trois lignes et trois colonnes. Après une mise initiale de 2 euros du joueur, une fonction aléatoire place au hasard successivement trois jetons ( ) dans trois cases différentes. La partie est gagnée si les trois jetons sont alignés. Le gagnant empoche 10 fois sa mise, ce qui lui rapporte 18 euros à l issue du jeu. Dans le cas contraire la mise initiale est perdue par le joueur. A B C Première partie : Étude du jeu en ligne. On définit les événements H, V, D, N par : H : «les trois jetons sont alignés horizontalement». V : «les trois jetons sont alignés verticalement». D : «les trois jetons sont alignés en diagonale». N : «les trois jetons ne sont pas alignés». 1. Justifier qu il y a 84 positionnements possibles des trois jetons dans les trois cases. 2. Déterminer les probabilités P(H), P(V), P(D) des événements H, V, D. 3. En déduire que la probabilité de l événement N est égale à : P(N) = , La société peut s attendre à relances (parties) par jour de ce jeu. a. Pour chaque entier naturel i non nul, on note Z i le gain de la société à la i-ème relance. Donner la loi de Z i ainsi que son espérance E(Z i ). b. Quel gain journalier la société peut-elle espérer? Deuxième partie : Cas de joueurs invétérés. 1. Un joueur décide de jouer 100 parties consécutives que l on suppose indépendantes. a. Donner la loi de la variable aléatoire X égale au nombre de parties gagnées. b. Indiquer l espérance et la variance de X. c. Exprimer la perte P du joueur en fonction de X. d. En déduire l espérance et la variance de P. 2. Quel est le nombre minimum n de parties que doit jouer un joueur pour que la probabilité de gagner au moins une partie soit supérieure ou égale à 50 %? (On donne ln ( 19 21) 0, 1 et ln(2) 0, 7) 3. Un autre joueur décide de jouer au plus 100 parties et de s arrêter dès qu une partie est gagnée. On note Y la variable aléatoire égale au nombre de parties jouées pour gagner la première fois. Par convention si au cours des 100 parties le joueur ne gagne pas, la variable aléatoire Y prendra la valeur 101. a. Soient x un réel dans l intervalle [0, 1[, n un entier naturel non nul et S n la fonction définie n par : S n (x) = x k. k=0 i. Calculer la somme S n (x). ii. Dériver l égalité obtenue et montrer que : n k=1 kx k 1 = nxn+1 (n + 1)x n + 1 (1 x) 2 Lycée du Parc

223 Chapitre 12 Variables aléatoires b. Donner la loi de la variable aléatoire Y. c. Indiquer l espérance de Y. d. Pour tout entier naturel k 1, 100, montrer que la probabilité p k que le joueur joue au plus k parties avant de gagner pour la première fois, est donnée par la formule : p k = 1 ( 19 k. 21) Troisième partie : Contrôle de la qualité du jeu. On constate que, parfois, la fonction aléatoire est déréglée. Dans ce cas, elle place le premier jeton dans la base (A, 1), les deux autres étant placés au hasard dans les cases restantes. On note l événement «la fonction aléatoire est déréglée» et on pose P( ) = x avec x ]0, 1[. 1. Calculer les probabilités conditionnelles P (H), P (V), P (D) des événements H, V, D sachant l événement. 2. Utiliser la formule des probabilités totales avec le système complet d événements (, ) pour en déduire que la probabilité que les jetons ne soient pas alignés est égale à : P(N) = x Soit G la variable aléatoire égale au gain réalisé par la société de jeu lors d une partie jouée. Déterminer la valeur maximale de x pour que l espérance de gain soit positive. 4. On joue une partie. On constate que les jetons sont alignés. Quelle est la probabilité, en fonction de x que la fonction aléatoire ait été déréglée? Lycée du Parc

224 Chapitre 12 Variables aléatoires Exercice Exercices supplémentaires Une urne contient b boules blanches et r boules rouges (1 b r). On effectue des tirages successifs sans remise et l on s arrête dès que l urne devient unicolore. On note X le nombre de tirages effectués. Déterminer la loi de X. Exercice On dispose d un paquet de cartes constitué de deux jeux de 32 cartes qui ont été mélangés ensemble. On effectue des tirages sans remise jusqu à obtenir une carte que l on a déjà tirée auparavant. On note X le nombre de tirages effectués, déterminer la loi de X. Exercice On place au hasard n jetons numérotés de 1 à n dans n cases numérotées de la même manière. 1. Combien en moyenne sont placés dans la «bonne» case (i.e. la cases portant le numéro du jeton)? On pourra introduire des variables de Bernoulli X i valant 1 si le i-ème jeton est à la bonne place. Exercice On re-mélange les jetons. En moyenne, combien de jetons ont été correctement placés les deux fois? au moins une fois? Une urne contient 2n boules blanches et 2n boules noires. Le joueur A prélève simultanément 2n boules dans l urne, puis le joueur B prélève simultanément 2n boules. Déterminer la probabilité que le joueur A obtienne strictement plus de boules blanches que le joueur B dans les deux cas suivants : 1. les boules prélevées par le joueur A ne sont pas remises dans l urne avant le tirage du joueur B ; Exercice les boules prélevées par le joueur A sont remises dans l urne avant le tirage du joueur B. Un casino propose un jeu équitable (rêvons un peu) : pour une mise de n euros, un joueur a une chance sur deux de gagner 2 euros (et donc une chance sur deux de perdre sa mise). Un joueur pense tenir une martingale : s il gagne, il empoche le gain et s il perd, il réessaie en doublant sa mise. Il continue de même jusqu à finalement remporter une partie. Malheureusement, il ne dispose pas de fonds illimités : il a tout juste assez pour jouer au maximum n parties en suivant cette stratégie. 1. De combien d argent dispose-t-il? Exercice Déterminer la probabilité qu il gagne de l argent (c est-à-dire que le total de ses gains soit supérieur au total de ses mises). 3. En notant X son gain réel (c est-à-dire son gain moins ses mises), déterminer la loi et l espérance de X. On dispose de 2n + 1 jetons bicolores, chacun ayant une face noire et une face blanche. On lance tous ces jetons et l on observe leurs faces supérieures. L une exactement des couleurs apparaît un nombre impair de fois : on note X ce nombre. 1. Déterminer la loi de X. 2. Montrer que E(X) = 2n Montrer que V(X) = 2n+1 4. Lycée du Parc

225 Chapitre 12 Variables aléatoires Exercice Un élève répond à un QCM de 10 questions (il y a deux choix possibles par question). Pour chaque question, et de manière indépendante, il a une probabilité 4 5 de connaître la bonne réponse. Quand ce n est pas le cas, il répond au hasard. Une bonne réponse rapporte un point, une mauvaise en enlève un. Sachant que les notes totales négatives sont ramenées à zéro, quelle est l espérance de la note de l élève? Exercice On tire avec remise dans une urne contenant 2n boules numérotées de 1 à 2n. Le but du jeu est d obtenir le plus grand numéro possible et l on dispose de deux chances. Cependant, on est obligé de garder le dernier numéro obtenu. Ainsi, si le joueur obtient 5 la première fois, il peut soit garder ce résultat, soit retirer. S il décide de retirer et qu il obtient 3 la deuxième fois, son score final est de 3. Exercice Le joueur A décide de systématiquement garder le premier résultat obtenu. Si l on note X A son score, quelle est la loi et l espérance de X A? 2. Le joueur B cherche à déterminer une stratégie lui permettant de maximiser son score moyen. Il décide de ne garder le premier résultat que s il est supérieur à une certaine constante k 1, 2n choisie à l avance. On note X k le score obtenu avec cette stratégie. a. Déterminer la loi et l espérance de X k. b. Quelle valeur de k faut-il choisir? soient m, n N. On considère une variable aléatoire X telle que X(Ω) = 1, mn et P(X = k) = 1 n 1 m pour tout k 1, mn. 1. Quelle condition doivent vérifier m et n? 2. Pour quelles valeurs de x a-t-on F X (x) = Déterminer E(X) et V(X). Lycée du Parc

226 CHAPITRE 13 COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES Dans tout le chapitre, (Ω, P) désignera un espace probabilisé fini. 1 Couple de variables aléatoires Définition 13.1 On appelle couple de variables aléatoires une application Z : Ω R 2 ω (X(ω), Y(ω)) où X et Y sont des variables aléatoires sur (Ω, P). On note alors Z = (X, Y). On a Z(Ω) = (X, Y)(Ω) = {(X(ω), Y(ω)); ω Ω} et X(Ω) Y(Ω) = {(X(ω), Y(ω )); (ω, ω ) Ω 2 }. On a donc Z(Ω) X(Ω) Y(Ω), sans l égalité en règle générale. Exemple 13.1 On lance deux dés à quatre faces équilibrés, l un vert dont on note A le résultat, l autre rouge dont on note B le résultat. Déterminer X(Ω), Y(Ω) et (X, Y)(Ω) dans chacun des cas suivants : 1. X = A et Y = B ; 2. X = min(a, B) et Y = max(a, B)) ; 3. X = A et Y = A + B. 1.1 Loi d un couple Proposition 13.2 Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires sur (Ω, P). On note X(Ω) = {x 1,..., x n } et Y(Ω) = {y 1,..., y p }. La famille ( [X = x i ] [Y = y j ] ) est un système complet d événements. 1 i n 1 j p En notant p i, j = P ( [X = x i ] [Y = y j ] ), on a donc (i, j) 1, n 1, p, 0 p i, j 1 p i, j = n p p i, j = p n p i, j = 1 1 i n 1 j p i=1 j=1 j=1 i=1 Lycée du Parc

227 Chapitre 13 Couples de variables aléatoires 1.1.a Définition 13.3 Loi conjointe Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires sur (Ω, P). On appelle loi conjointe du couple (X, Y) l application P (X,Y) : X(Ω) Y(Ω) [0, 1] (x, y) P([X = x] [Y = y]) s Avec les notations utilisées plus haut, on a donc P X,Y : (x i, y j ) p i, j. Déterminer la loi (conjointe) d un couple, c est donc déterminer X(Ω), Y(Ω) puis les p i, j. Si l on connaît les p i, j, on en déduit (X, Y)(Ω) : c est l ensemble des (x i, y j ) X(Ω) Y(Ω) tels que p i, j 0. Exercice 13.2 On tire successivement et sans remise deux boules dans une urne contenant au départ 2 boules rouges et 3 boules noires. On note X (respectivement Y) la variable aléatoire qui vaut 1 si la première (respectivement deuxième) boule tirée est rouge, 0 sinon. Déterminer la loi du couple Z = (X, Y). 1.1.b Définition 13.4 Lois marginales Soit Z = (X, Y) un couple de variables aléatoires sur (Ω, P). On appelle première loi marginale de Z la loi de X, deuxième loi marginale de Z la loi de Y. Proposition 13.5 Soit Z = (X, Y) un couple de variables aléatoires sur (Ω, P). En notant X(Ω) = {x 1,..., x n } et Y(Ω) = {y 1,..., y p }, on a i 1, n, P([X = x i ]) = p P ( [X = x i ] [Y = y j ] ) = p j=1 j 1, p, P([Y = y j ]) = n P ( [X = x i ] [Y = y j ] ) = n i=1 p i, j j=1 p i, j i=1 La connaissance de la loi d un couple permet donc de retrouver les lois marginales. En revanche, il n est pas possible de déterminer la loi d un couple s il on ne connaît que les lois marginales : deux couples peuvent avoir des lois différentes alors qu ils ont les mêmes lois marginales. Exercice 13.3 Exercice En reprenant la situation de l exercice 13.2, déterminer les lois marginales de Z. 2. Déterminer de même les lois de X, de Y et de Z = (X, Y ) si le tirage se fait avec remise. On considère α R, n N et un couple Z = (X, Y) de variables aléatoires tel que Z(Ω) N de loi : P([X = i] [Y = j]) = αi j si 1 i j n P([X = i] [Y = j]) = 0 sinon. 1. Déterminer Z(Ω) et α. Lycée du Parc

228 Chapitre 13 Couples de variables aléatoires 2. Retrouver les lois marginales de X et de Y. 1.1.c Définition 13.6 Lois conditionnelles Soit Z = (X, Y) un couple de variables aléatoires sur (Ω, P). Pour y Y(Ω), on appelle loi conditionnelle de X sachant [Y = y] l application qui à x X(Ω) associe P ([X = x] [Y = y]) P ([Y = y]) Avec les notations usuelles, on a alors P [Y=y j ]([X = x i ]) = = P [Y=y] ([X = x]) p i, j P([Y=y i ]). s p On définit de même la loi conditionnelle de Y sachant [X = x i ] et l on a P [X=xi ]([Y = y j ]) = i, j P([X=x i ]). La connaissance de la loi de Y et des lois conditionnelles de X sachant [Y = y j ] pour chacun des y j de Y(Ω) est suffisante pour déterminer la loi conjointe du couple (X, Y) (et donc également la loi de X). Exercice 13.5 En reprenant la situation et les notations de l exercice 13.3, déterminer les lois conditionnelles de Y sachant X = 1 et de Y sachant X = Indépendance de deux variables aléatoires Définition 13.7 Soient X et Y deux variables aléatoires sur (Ω, P). X et Y sont dites indépendantes si, pour tout (x, y) X(Ω) Y(Ω), les événements [X = x] et [Y = y] sont indépendants. On note alors X Y. On a donc X Y (x, y) X(Ω) Y(Ω), P([X = x] [Y = y]) = P([X = x]) P([Y = y]) X et Y sont indépendantes ssi les lois conditionnelles de X sachant [Y = y] pour y Y(Ω) sont toutes égales à la loi de X. Exercice 13.6 On considère une urne contenant n jetons numérotés de 1 à n. On tire successivement deux jetons et l on note X le numéro du premier jeton tiré, Y celui du deuxième. Donner les lois de X et de Y et indiquer si X et Y sont indépendantes dans les deux cas suivants : 1. le tirage se fait avec remise ; 2. le tirage se fait sans remise. Proposition 13.8 Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes, alors pour toutes parties A, B de R, on a P([X A] [Y B]) = P([X A]) P([Y B]) C est en fait une équivalence, mais la réciproque n a pas d intérêt (elle est évidente). Lycée du Parc

229 Chapitre 13 Couples de variables aléatoires Proposition 13.9 Si X et Y sont deux variables de Bernoulli, alors X Y P([X = 1] [Y = 1]) = P([X = 1])P([Y = 1]) C est assez logique : deux variables de Bernoulli sont indépendantes ssi le succès de l une est indépendant du succès de l autre. Exercice 13.7 Soient p un réel, X et Y deux variables de Bernoulli dont la loi jointe est donnée par le tableau suivant : X \ Y p p 1 p 1 2 p 1. Quelles valeurs peut prendre p? 2. Déterminer les lois marginales de X et Y, ainsi que leurs espérances et leurs variances. 3. Pour quelles valeurs de p les variables X et Y sont-elles indépendantes? Proposition Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) et f : R R. Si X Y, alors f (X) f (Y). Proposition Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P). Si X est certaine, alors X et Y sont indépendantes. Exercice 13.8 Soient X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur 3, 1 1, 3. On définit la variable aléatoire Y qui vaut 1 si X > 0, 1 si X < Les variables X et Y sont-elles indépendantes? 2. Les variables X et Y sont-elles indépendantes? 3. Les variables X 2 et Y sont-elles indépendantes? 1.3 Variables du type f (X, Y) Proposition Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) et f : X(Ω) Y(Ω) R. On définit f (X, Y) par f (X, Y) : Ω R ω f (X(ω), Y(ω)) f (X, Y) est une variable aléatoire sur Ω. En la notant Z, sa loi est donnée par : Z(Ω) = {g(x, y) ; (x, y) (X, Y)(Ω)} z Z(Ω), P(Z = z) = P([X = x] [Y = y]) f (x,y)=z Lycée du Parc

230 Chapitre 13 Couples de variables aléatoires Tout le problème est d énumérer correctement les couples (x, y) tels que f (x, y) = z. Les exemples les plus importants sont traités dans la section suivante, mais on peut s entraîner sur l exemple suivant : Exercice 13.9 Soient X et Y deux variables aléatoires sur (Ω, P), on pose Z = XY. Déterminer la loi de Z (on distinguera les cas P([Z = 0]) et P([Z = x]), x R ). Dans les cas les plus simples, le bon sens peut suffire : Exercice Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires dont la loi est donnée par Déterminer la loi de X + Y et celle de XY. 1.3.a Proposition X \ Y /30 6/30 6/30 1/30 1 3/30 8/30 3/ /30 1/ Loi du minimum, du maximum, de la somme Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) à valeurs dans N. En posant Z = X + Y, on a Z(Ω) N et n N, P(X + Y = n) = Si de plus X et Y sont indépendantes, on a en fait n N, P(X + Y = n) = n P([X = k] [Y = n k]). k=0 n P([X = k]) P([Y = n k]). k=0 Exercice Soient X et Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) suivant une loi uniforme sur 1, n. On pose Z = X + Y. 1. On suppose que X Y. Déterminer la loi de Z. 2. Donner un exemple (avec X et Y non indépendantes!) pour lequel Z est une variable certaine. Proposition Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P). En posant Z = max(x, Y) et T = min(x, Y), on a Z(Ω), T(Ω) X(Ω) Y(Ω) et x Z(Ω), P(max(X, Y) = x) = P([X = x] [Y < x]) + P([Y = x] [X x]) x T(Ω), P(min(X, Y) = x) = P([X = x] [Y > x]) + P([Y = x] [X x]) Il est en fait souvent plus judicieux de passer par la fonction de répartition : P([max(X, Y) x]) = P([X x] [Y x]). Lycée du Parc

231 Chapitre 13 Couples de variables aléatoires Exercice Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) indépendantes, à valeurs dans Z. On pose T = min(x, Y) et Z = max(x, Y). Exprimer F T et F Z en fonction de F X et F Y, en déduire une expression simple des lois de T et de Z. Exercice Soient X et Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) suivant une loi uniforme sur 1, n. On pose Z = min(x, Y). 1. On suppose que X Y. Déterminer la loi de Z. 2. Donner un exemple (avec X et Y non indépendantes!) pour lequel Z U( 1, n ). 3. En supposant que n est pair, donner un exemple pour lequel Z U ( 1, n 2 ). 1.3.b Théorème Transfert Théorèmes majeurs Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) et g : X(Ω) Y(Ω) R. On a E(g(X, Y)) = g(x, y)p([x = x] [Y = y]) x X(Ω) y Y(Ω) Exercice On dispose d une urne contenant n jetons numérotés de 1 à n. On tire sans remise deux jetons, et l on note X le plus grand des numéros obtenus. Déterminer E(X). Théorème Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P), p ]0, 1[ et m, n N. Si X B(n, p) et Y B(m, p) X et Y sont indépendantes alors X + Y B(n + m, p) s Attention aux hypothèses : il faut que les deux binomiales aient le même paramètre p et qu elles soient indépendantes. C est intuitivement assez naturel : si l on compte le nombre de succès dans une série de n expériences de Bernoulli indépendantes de paramètre p (c est ce que fait X) et qu on y ajoute le nombre de succès dans une autre série de m expériences de paramètre p, indépendante de la première, cela revient au même que de faire une seule série de m + n expériences. Lycée du Parc

232 Chapitre 13 Couples de variables aléatoires 1.4 Covariance et corrélation 1.4.a Définition Covariance Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P). On appelle covariance de X et Y, et l on note Cov(X, Y), le réel Cov(X, Y) = E ( [X E(X)][Y E(Y)] ) Proposition Soient X, Y, Z des variables aléatoires sur (Ω, P) et a, b, c, d R. Cov(X, X) = V(X) 0 Cov(X, Y) = Cov(Y, X) Cov(aX + by, Z) = a Cov(X, Z) + b Cov(Y, Z) Cov(X, ay + bz) = a Cov(X, Y) + b Cov(X, Z) Cov(aX + b, cy + d) = ac Cov(X, Y) Cov(X, a) = 0 Cov(X, Y) = E(XY) E(X)E(Y) positivité symétrie linéarité à gauche linéarité à droite formule de Huygens s Les quatre premiers points caractérisent une forme bilinéaire symétrique positive. L avant-dernier point signifie que si Y est certaine, alors Cov(X, Y) = 0. Comme pour la variance, on utilisera très souvent la formule de Huygens pour les calculs effectifs de covariance. Exercice Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires dont la loi est donnée par Déterminer la covariance de X et Y. X \ Y /30 6/30 6/30 1/30 1 3/30 8/30 3/ /30 1/ Théorème Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P). On a V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2 Cov(X, Y) 1.4.b Théorème Cas des variables indépendantes Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) indépendantes. On a alors E(XY) = E(X)E(Y) Cov(X, Y) = 0 V(X + Y) = V(X) + V(Y) Lycée du Parc

233 Chapitre 13 Couples de variables aléatoires s Attention, il ne s agit pas d une équivalence : il existe des couples (X, Y) de variables aléatoires dont la covariance est nulle mais qui ne sont pas indépendantes. On peut combiner ce théorème avec la propriété Ainsi, si X et Y sont indépendantes et f : R R, alors E( f (X) f (Y)) = E( f (X))E( f (Y)). Exemple Soient X U( n, n et Y = X 2. On a Cov(X, Y) = 0 et pourtant X et Y ne sont pas indépendantes (Y est même entièrement déterminé par X). Exercice On vous propose de jouer, au choix, à l un des trois jeux suivants. Dans tous les cas, on vous fait tirer dans un sac contenant des jetons numérotés de 1 à n. Les variantes sont les suivantes : A : vous tirez deux fois de suite, sans remise, et vous gagnez le produit des numéros tirés, en euros. B : vous tirez deux fois de suite, avec remise, et vous gagnez le produit des numéros tirés, en euros. C : vous tirez une seule fois et vous gagnez le carré du numéro tiré, en euros. Dans l optique de maximiser vos gains, quelle variante faut-il choisir? Et si on vous propose de choisir entre les mêmes variantes, mais dans lesquelles on a remplacé produit et carré par somme et double? 1.4.c Théorème Inégalité de Cauchy-Schwarz Coefficient de corrélation linéaire Soient X et Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) telles que σ(x)σ(y) 0. On a Cov(X, Y) 2 V(X)V(Y) i.e. Cov(X, Y) σ(x)σ(y) De plus, on a égalité ssi il existe a, b R tels que Y = ax + b. σ(x)σ(y) 0 signifie que ni X ni Y n est certaine. Définition Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) telles que σ(x)σ(y) 0. Le coefficient de corrélation linéaire entre X et Y est le nombre réel, noté ρ(x, Y), défini par ρ(x, Y) = Cov(X, Y) σ(x)σ(y) Proposition Soient X, Y deux variables aléatoires sur (Ω, P) telles que σ(x)σ(y) 0. On a 1 ρ(x, Y) 1. ρ(x, Y) = 1 ssi Y = ax + b avec a > 0 et b R. ρ(x, Y) = 1 ssi Y = ax + b avec a < 0 et b R. Si X et Y sont indépendantes, alors ρ(x, Y) = 0. Si λ, µ R +, alors ρ(λx, µy) = ρ(x, Y). Lycée du Parc

234 Chapitre 13 Couples de variables aléatoires s Un coefficient de corrélation linéaire est une grandeur sans dimension et sans unité (dite aussi grandeur scalaire). Le dernier point signifie qu il est indépendant des unités choisies pour X et Y (ce qui est heureux puisqu il est censé avoir un «sens physique»). Si ρ(x, Y) > 0, on dit que X et Y sont corrélées positivement, si ρ(x, Y) < 0 qu elles sont corrélées négativement, si ρ(x, Y) = 0 qu elles ne sont pas corrélées. Une corrélation positive signifie que Y a «tendance à augmenter» quand X augmente (et, ce qui revient au même, que Y a «tendance à augmenter» quand X augmente). Une corrélation négative signifie que Y a tendance à diminuer quand X augmente, une absence de corrélation qu une augmentation de X n a pas d influence sur la «valeur moyenne» de Y. Un coefficient de corrélation linéaire «proche de 1» en valeur absolue signifie que Y peut être «bien approchée» par une fonction affine de X, croissante si le coefficient est positif, décroissante sinon. C est une question centrale en statistiques (moins en probabilités). Deux variables sont non corrélées (linéairement) ssi leur covariance est nulle. Comme vu plus haut, cela ne signifie pas nécessairement qu elles sont indépendantes (sauf dans le cas très particulier de la propriété qui suit). Proposition Soient X et Y deux variables de Bernoulli su (Ω, P). On a Cov(X, Y) = 0 ρ(x, Y) = 0 X Y La première équivalence est évidente (et n a rien à voir avec le fait que X et Y soient des variables de Bernoulli) ; la deuxième, en revanche, n est vraie que si X et Y sont de Bernoulli. 2 Extension à n variables 2.1 Famille de variables mutuellement indépendantes Définition Soit (X 1,..., X n ) une famille de n variables aléatoires sur (Ω, P). Les variables X 1,..., X n sont dites deux à deux indépendantes si i, j 1, n, i j X i X j mutuellement indépendantes si (x 1,..., x n ) X 1 (Ω) X n (Ω), P([X 1 = x 1 ] [X n = x n ]) = P([X 1 = x 1 ]) P([X n = x n ]) s Les définitions coïncident dans le cas n = 2 : deux variables aléatoires sont indépendantes ssi elles sont mutuellement indépendantes. Si l on parle de n variables aléatoires indépendantes sans précision supplémentaire, il faut comprendre mutuellement indépendantes. Proposition Si (X 1,..., X n ) est une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes, alors c est également le cas pour toute sous-famille de (X 1,..., X n ). Lycée du Parc

235 Chapitre 13 Couples de variables aléatoires En particulier, on en déduit que si X 1,..., X n sont mutuellement indépendantes alors elles sont deux à deux indépendantes. Attention, la réciproque est fausse comme le montre l exercice suivant. Exercice On lance deux fois de suite une pièce équilibrée et l on définit les variables aléatoires X qui vaut 1 si le premier lancer donne «face», 0 sinon ; Y qui vaut 1 si le deuxième lancer donne «face», 0 sinon ; Z qui vaut 1 si les deux lancers donnent le même résultat, 0 sinon. Montrer que X, Y et Z sont deux à deux indépendantes mais pas mutuellement indépendantes. Théorème Lemme des coalitions Soient (X 1,..., X n ) une famille de variables aléatoires sur (Ω, P) ; p 2, n 1 f : R p R et g : R n p R f 1,..., f n : R R. Si les variables X 1,..., X n sont mutuellement indépendantes, alors : les variables aléatoires f (X 1,..., X p ) et g(x p+1,..., X n ) sont indépendantes ; les variables aléatoires f 1 (X 1 ),..., f n (X n ) sont mutuellement indépendantes. Exemple Si X, Y, Z et T sont mutuellement indépendantes, alors : X + Y + Z et T sont indépendantes ; XY et Z + T 2 sont indépendantes ; X, Y 2, T sin(t) et e Z sont (mutuellement) indépendantes. 2.2 Espérance et variance Proposition Soient X 1,..., X n des variables aléatoires sur (Ω, P). On a n V(X X n ) = V(X i ) + 2 Cov(X i, X j ) i=1 1 i< j n Proposition Soient X 1,..., X n des variables aléatoires mutuellement indépendantes sur (Ω, P). On a n V(X X n ) = V(X i ) i=1 n n E X i = E(X i ) i=1 i=1 Lycée du Parc

236 Chapitre 13 Couples de variables aléatoires L espérance étant linéaire, on a bien sûr E(X X n ) = E(X 1 ) + + E(X n ) que les variables X 1,..., X n soient indépendantes ou non. Exercice Dans une urne contenant au départ N boules dont une proportion p est rouge, on tire successivement et sans remise n boules. Pour 1 i n, on note X i la variable aléatoire qui vaut 1 si la i-ème boule tirée est rouge, 0 sinon, et l on pose X = n X i. i=1 1. Justifier que chacune des X i (1 i n) suit une loi usuelle dont on précisera le ou les paramètres. En déduire E(X). 2. Calculer Cov(X i, X j ) pour 1 i < j n et en déduire V(X). 3. Quel résultat de cours a-t-on ainsi retrouvé? 2.3 Loi binomiale et loi de Bernoulli Théorème Soient X 1,..., X n des variables de Bernoulli mutuellement indépendantes de même paramètre p ]0, 1[. On a alors X X n B(n, p) Réciproquement, si X B(n, p), alors X peut s écrire X = X X n avec les (X i ) 1 i n mutuellement indépendantes et qui suivent toutes une loi de Bernoulli de paramètre p. Exercice Retrouver à l aide de ce théorème, sans calcul ou presque, les résultats du chapitre précédent sur l espérance et la variance d une variable suivant une loi binomiale. Lycée du Parc

237 Chapitre 13 Couples de variables aléatoires Exercice Travaux dirigés Soit n N. On dispose de n urnes numérotées de 1 à n. Pour tout k [[1, n]], l urne k contient k boules numérotées de 1 à k. On choisit une urne au hasard et on tire une boule dans cette urne. On note X le numéro de la boule tirée. Déterminer la loi de X. Exercice On considère n personnes qui se répartissent aléatoirement dans p hôtels H 1,..., H p. Pour i 1, p, on note X i le nombre de personnes qui choisissent l hôtel H i. 1. Déterminer la loi de chacune des variables X i. Ces variables sont-elles a priori mutuellement indépendantes? Exercice On suppose dans cette question que p = 3. a. Déterminer la loi de X 1 + X 2 ainsi que sa variance. b. Quel signe peut-on s attendre à trouver pour ρ(x 1, X 2 )? Calculer ce coefficient de corrélation linéaire et confirmer ainsi l intuition. 3. On s intéresse maintenant au nombre Y d hôtels qui reçoivent au moins un client. Pour 1 i p, on pose Y i la variable aléatoire qui vaut 0 si l hôtel H i est vide, 1 sinon. a. Exprimer Y en fonction des (Y i ) 1 i p. b. Déterminer la loi de Y i pour 1 i p. c. En déduire E(Y) en fonction de p et de n. d. On étudie à présent ce qui se passe quand l un, l autre, ou les deux paramètres tendent vers +. i. Déterminer la limite de E(Y) quand p + (n fixé). Pouvait-on prévoir ce résultat? ii. Mêmes questions quand n +, p fixé. iii. On suppose à présent n = p, et l on fait tendre n vers +. Déterminer la limite de E(Y) puis de E(Y) n et interpréter ces résultats. Un chat se fait chaque jour les griffes, soit sur le canapé soit sur les rideaux. Il ne se fait jamais les griffes deux jours de suite sur le canapé ; s il se fait les griffes sur les rideaux un jour donné, alors il choisira le lendemain le canapé avec une probabilité 1/3. Le premier jour, il attaque les rideaux. On définit la variable aléatoire X n égale au nombre de jours où le chat a fait ses griffes sur les rideaux parmi les n premiers jours. Calculer E(X n ). On pourra décomposer X n en une somme de variables de Bernoulli bien choisies. Exercice Une urne, de grande contenance, contient 3 boules vertes et 7 boules bleues. On effectue des tirages avec remise : à chaque tirage on remet la boule et on en rajoute deux de la couleur tirée. Soient S n la variable aléatoire donnant le nombre de boules bleues tirées au cours des n premiers tirages et X n la variable de Bernoulli valant 1 si une boule bleue est tirée au n-ème tirage, et 0 sinon. 1. Déterminer la loi de X 1, son espérance et sa variance. 2. Trouver la loi conditionnelle de X 2 sachant [X 1 = 0], puis la loi conditionnelle de X 2 sachant [X 1 = 1]. En déduire la loi du couple (X 1, X 2 ), puis celle de X 2. Les variables X 1 et X 2 sont-elles indépendantes? 3. Calculer P(X n+1 = 1 S n = k) en fonction de k et n. En déduire P(X n+1 = 1) en fonction de n et E(S n ). Lycée du Parc

238 Chapitre 13 Couples de variables aléatoires 4. Montrer, par récurrence sur n N, que : P(X n = 1) = 7 10 et E(S n ) = 7 10 n. Exercice Une puce se déplace par sauts unitaires indépendants sur un axe gradué. Au temps t = 0 elle est en 0. Elle saute vers la droite avec la probabilité p ]0, 1[ et vers la gauche avec la probabilité 1 p. Soient X i la variable aléatoire valant 1 si elle saute à droite et 1 si elle saute à gauche au i-ème saut, et X la position de la puce après n sauts. 1. Donner la loi de X i, son espérance et sa variance. Exercice Exprimer X en fonction des X i pour 1 i n. En déduire E(X) et V(X). 3. Soit z R. Donner la loi de z X i, et son espérance. En déduire g(z) = E(z X ). 4. Comparer g (1) et E(X). On effectue une série de tirages dans une urne de la manière suivante : au départ, l urne contient une boule blanche et une boule noire ; après chaque tirage, on remet dans l urne la boule que l on vient de tirer ainsi qu une autre boule de la même couleur. On note X n le nombre de boules blanches obtenues lors des n premiers tirages (n N.). Montrer que X n U( 0, n ). Exercice On effectue p tirages avec remise dans une urne contenant n boules numérotées de 1 à n. On note X 1,..., X p les résultats des tirages successifs et Y = max(x 1,..., X p ). 1. Déterminer la fonction de répartition de Y puis sa loi. 2. En déduire que E(Y) = n n 1 ) p. Exercice k=1 ( k n 3. Que peut-on prévoir comme comportement pour E(Y) quand p tend vers + et n est fixé? Vérifier par le calcul. 4. On admet (on y reviendra au chapitre prochain) que En déduire la limite de E(Y) n 1 n 1 ( ) p k 1 x p dx. n n n + 0 k=0 quand n +, p fixé. On considère une suite (X n ) n 1 de variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi de Bernoulli de même paramètre p ]0, 1[. Pour n N, on pose Y n = max(x n, X n+1 ) et S n = n i=1 Y i. 1. Déterminer la loi, l espérance et la variance de Y n pour n N. 2. Déterminer l espérance et la variance de S n pour n N. 3. En déduire à l aide de l inégalité de Bienaymé-Tchebychev que ( S n ε > 0, P n (2p ) p2 ) ε 0 n + Lycée du Parc

239 CHAPITRE 14 INTÉGRATION Sauf précision contraire, I désignera dans tout le chapitre un intervalle quelconque de R. 1 Intégrale d une fonction continue sur un segment 1.1 Primitives d une fonction continue 1.1.a Définition 14.1 Définition et propriétés Soient D R et f, F : D R. On dit que F est une primitive de f sur D si : F D 1 (I) F = f Proposition 14.2 Soient n N, D R, f : D R et F une primitive de f sur D. Si f D n (D), alors F D n+1 (D). Si f C n (D), alors F C n+1 (D). Si f C (D), alors F C (D). En particulier, si f est continue et que F est un primitive de f, alors F est C 1. Théorème 14.3 Toute fonction f continue sur un intervalle I admet des primitives sur I. De plus, si F est une primitive de f sur I et G : I R, alors G est une primitive de f sur I ssi F et G diffèrent d une constante, i.e. ssi k R, F = G + k. s Sur un intervalle I, si l on connaît une primitive F d une fonction continue f, alors on les connaît toutes : ce sont les fonctions de la forme F + k où k est une constante réelle. Attention, le fait que I soit un intervalle est crucial : se référer à l exercice Exercice 14.1 Soit f : R R x 1 x 2. Déterminer deux fonctions F, G : R R dérivables telles que : F = G = f F(1) = G(1) = 1 Lycée du Parc

240 Chapitre 14 Intégration F( 1) = 1 et G( 1) = b Calcul de primitives Les formules permettant de déterminer une primitive d une fonction dont on connaît l expression ne sont rien d autre que les formules de dérivation «à l envers». Malheureusement, il n existe pas de formule donnant dans le cas général une primitive d un produit, d un quotient ou d une composée. On se contentera de la propriété suivante : Proposition 14.4 Soient f, g, F, G : I R et a, b R. Si F est une primitive de f et G une primitive de g sur I, alors af + bg est une primitive de a f + bg sur I. Le tableau doit être lu comme suit : la fonction F est une primitive de la fonction f sur l intervalle I. f F I x x α, α 1 u u α, α 1 x xα+1 α + 1 u α+1 α + 1 R si α N R ou R + si α Z \ { 1} R + si α R \ { 1}. I D u si α N I tel que u se s annule pas si α Z I tel que u > 0 si α R x 1 x x ln x R ou R + u u ln u I tel que u se s annule pas x e x x e x R u e u e u I D u cos sin R sin cos R 1 cos 2 ou 1 + tan 2 tan 1 sin 2 1 tan ] kπ π 2, kπ + π 2 [, k Z ]kπ, (k + 1)π[, k Z x 1 1+x 2 arctan R x 1 1 x 2 arcsin ] 1, 1[ Table 14.1 Primitives usuelles Exercice 14.2 Déterminer une primitive des fonctions suivantes : 1. tan sur ] π 2, π 2 [. 2. f : ] 3 2, + [ R x 1 (2x 3) ln(2x 3) 3. g : R R x a x, où a R \ {1}. Lycée du Parc

241 Chapitre 14 Intégration 1.2 Intégrale d une fonction continue 1.2.a Définition 14.5 Définition Soient a, b R et f : [a, b] R continue. On appelle intégrale de f de a à b le réel défini par : b où F est une primitive quelconque de f sur [a, b]. a f (t) dt = [F] b a = F(b) F(a), s Cette définition est légitime puisque la quantité F(b) F(a) ne dépend pas du choix de la primitive F de f. La variable t est «muette» dans : b a f (t) dt = b a On trouve aussi la notation sans variable muette : b a f. Exemple 14.3 Si t R, on a 3 t dx = [tx] x=3 x=1 = 3t t = 2t 1 3 [ ] t 2 t=3 t dt = = = 4 1 t=1 f (x) dx =.... Proposition 14.6 Soit f C 0 ([a, b]). On a a b b f (t) dt = f (t) dt a Proposition 14.7 Soit f C 1 ([a, b]). On a b a f (t) dt = f (b) f (a) Théorème 14.8 Soient f : I R continue et a I. La fonction est l unique primitive de f qui s annule en a. F est donc de classe C 1 sur I. F : I R x x a f (t) dt Lycée du Parc

242 Chapitre 14 Intégration Exemple 14.4 Exercice 14.5 Si l on admet le théorème 14.3, on peut définir la fonction ln par : ln : R + R x x 1 1 t dt et prouver ensuite (assez facilement) qu elle a toutes les propriétés qu on lui connaît. On considère la fonction f : x x 2 0 e t2 dt. Justifier que f est définie sur R, de classe C et déterminer l expression de sa dérivée. 1.2.b Interprétation graphique Pour commencer, considérons une fonction f : [a, b] R +, continue. Pour u [a, b], on note S(u) le domaine délimité par les droites x = a et x = u, l axe des abscisses et la courbe de f. Formellement : S(u) = {M(x, y), a x u et 0 y f (x)} On note A(u) l aire de S(u), quantité dont on admettra qu elle est définie et vérifie des propriétés élémentaires intuitives. Pour h > 0 tel que u + h b, on a d où en divisant par h > 0, Or, f étant continue en u, on a min h min f A(u + h) A(u) h max f [u,u+h] [u,u+h] [u,u+h] h 0 + A(u + h) A(u) min f max [u,u+h] h f [u,u+h] f (u) et max A(u+h) A(u) f (u), d où par encadrement [u,u+h] h 0 + h f (u). h 0 + (u) = f (u). On montrerait de même que A est dérivable à gauche en u, et A est donc dérivable à droite en u et A d donc finalement que A est dérivable sur [a, b] de dérivée f. Comme de plus A(a) = 0, A est donc la primitive de f qui s annule en a, autrement dit : x [a, b], A(x) = x a f (t) dt Si f n est plus supposée positive, on définit deux fonctions f + et f par : f + : [a, b] R x max( f (x), 0) et f : [a, b] R x max( f (x), 0) Notons S + = {M(x, y), a x b et 0 y f + (x)} et S = {M(x, y), a x b et 0 y f (x)} et A + et A leurs aires respectives. f + et f sont continues et positives sur [a, b], on peut donc leur appliquer ce qui précède et obtenir : A + = b a f + (t) dt et A = b a f (t) dt Or on montre facilement que f = f + f et f = f + + f. On en déduit (en admettant la linéarité de l intégrale) que A + A = b a f (t) dt et A + + A = b a f (t) dt On parle d aire algébrique pour A + A, qui revient à compter positivement les parties du domaine situées au-dessus de l axe des abscisses et négativement celles situées en-dessous. A + + A est parfois appelée aire géométrique : toutes les parties du domaine sont comptées positivement. Lycée du Parc

243 Chapitre 14 Intégration 1.2.c Proposition 14.9 Propriétés Soient f, g : I R continues, a, b, c I et λ R. b c c f (t) dt + f (t) dt = f (t) dt a b a b b b [λ f (t) + g(t)] dt = λ f (t) dt + g(t) dt a Si f 0 et a b, alors a b a b f (t) dt 0 a b Chasles linéarité positivité Si f g et a b, alors f (t) dt g(t) dt croissance a a b Si a b alors b f (t) dt f (t) dt inégalité triangulaire a Attention à ne pas oublier l hypothèse a b pour les trois derniers points. Théorème Caractère défini de l intégrale d une fonction continue Soient f : I R et a, b I. Si a < b f 0 sur [a, b] f est continue b f (t) dt = 0 a alors f = 0 sur [a, b]. a s Attention à l hypothèse sur la continuité de f : nous verrons dans la suite du chapitre des extensions de la notion d intégrale à des fonctions qui ne sont pas continues, mais cette propriété ne sera alors plus valable. La contraposée est souvent utile : si a < b, f 0 sur [a, b], f continue et x [a, b] tel que f (x) 0, alors b a f (t) dt > 0. Exercice 14.6 Exercice 14.7 Exercice Soit f : [a, b] R continue. On suppose que b a [ f (t)] 2 dt = 0. Montrer que f = 0 sur [a, b]. 2. Exhiber une fonction f continue sur [0, 1], non uniformément nulle, telle que Soit f : R R x 1 0 e xt2 dt. Montrer que f est strictement croissante. Soit x > 0. Montrer que 1 x+1 ln(x + 1) ln x 1 x. 1 0 f (t) dt = 0. Lycée du Parc

244 Chapitre 14 Intégration 1.2.d Théorème Sommes de Riemann Soient a, b R, a < b et f : [a, b] R continue. On a b a n 1 f n et b a n k=0 n f k=1 ( a + k b a ) n ( a + k b a ) n b f (t) dt n + a b f (t) dt n + a s Il faut comprendre et retenir l interprétation graphique de ce résultat. n Dans le cas a = 0 et b = 1, on obtient 1 n f ( b k n) f (t) dt. On peut toujours se ramener à ce cas k=1 n + a particulier en posant g : t f (a + t(b a)). Exemple 14.9 Dans le chapitre précédent, nous avons vu que si X 1,..., X p étaient des variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi uniforme sur 1, n et que l on posait Y = max(x 1,..., X p ), on avait En posant g : [0, 1] R x x p, on a donc E(Y) n de Riemann et on en déduit que Exercice E(Y) n n 1 ( ) p k E(Y) = n. n k=1 = 1 n 1 k=1 g ( k n ) n 1 = 1 k=0 1 [ ] x 1 x p p+1 x=1 dx = 1 = 1 1 n + 0 p + 1 x=0 p + 1 = 1 Justifier l existence et déterminer la valeur de lim n + n n k=1 sin ( ) kπ n. g ( k n). On reconnaît une somme p p e Définition Valeur moyenne Soient a, b R, a < b et f : [a, b@ R continue. On appelle valeur moyenne de f sur [a, b] le réel 1 b f (t) dt b a a Proposition Soient a, b R, a < b et f : [a, b@ R continue. Comme f est continue sur le segment [a, b], elle y admet un minimum m et un maximum M. On a m 1 b f (t) dt M b a a Lycée du Parc

245 Chapitre 14 Intégration 2 Méthodes de calcul 2.1 Intégration par partie Proposition Soient f, g : I R et a, b I. On suppose que f est continue et que g est C 1. Si F est une primitive de f, on a alors b a f (t)g(t) dt = [F(t)g(t)] t=b t=a b a F(t)g (t) dt On peut retenir cette propriété sous la forme suivante, équivalente et un peu plus simple : si u et v sont C 1 sur I et que a, b I, alors Exercice b a u v = [uv] b a Calculer les intégrales suivantes (pour x R +) : x 0 x 1 x 0 te t dt ln(t) dt arctan(t) dt b a uv. 2.2 Changement de variable Théorème Soient : I et J deux intervalles non réduits à un point ; f C(I) ; ϕ C(J) telle que ϕ(j) I ; a et b dans I ; α, β J tels que ϕ(α) = a et ϕ(β) = b. On a alors b a f (t) dt = β α f (ϕ(t)) ϕ (t) dt Exercice Calculer les intégrales suivantes : t2 dt (on posera t = 2 sin x) ; Exercice dt (on posera t = ln u) ; 1 + et t 1 + t dt (on posera t = u2 ). Lycée du Parc

246 Chapitre 14 Intégration Calculer les intégrales suivantes : π t sin t 1. dt (on posera u = π t) ; 1 + cos 2 t π/2 π/4 π/ /2 1 dt (on posera u = cos t) ; sin t 1 dt (on posera u = tan t) ; 1 + cos 2 t ( t ) ln t cos dt (on posera u = t 2 t t ). Proposition Soit f : R R continue. Si f est paire, alors Si f est impaire, alors a R, 0 a f (t) dt = a 0 f (t) dt et a a a f (t) dt = 2 f (t) dt 0 Si f est T-périodique, alors a R, 0 a a a f (t) dt = f (t) dt et f (t) dt = 0 0 a a, b R, k Z, a+t a f (t) dt = T 0 f (t) dt et b+kt a+kt f (t) dt = b a f (t) dt 2.3 Fractions rationnelles Une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Une telle fonction est continue (et même C ) sur tout intervalle sur lequel elle est définie. Pour intégrer une fraction rationnelle, on cherche à la décomposer en une somme de fractions rationnelles plus simples dont on connaît des primitives. Intégrale de x 1 (x a), a R et n n N. Le calcul est immédiat : si n = 1, alors x ln x a est une primitive de x 1 x a et si n 2, alors x 1 1 n 1 est une primitive de x 1 (x a) n 1 (x a), et ce, dans les deux cas, sur tout intervalle sur lequel la n fonction est définie. Intégrale de x ax + b, a, b, p, q R. x 2 + px + q On se place sur un intervalle [α, β] sur lequel le dénominateur ne s annule pas, et toutes les égalités écrites doivent être comprises comme étant valables pour tout x [α, β]. ax+b On a x 2 +px+q = a x x 2 +px+q + b 1, il suffit donc de trouver une primitive de chacun de ces deux termes. x 2 +px+q x Intégrale de x x 2 + px + q. ( ) x On a x 2 + px + q = 1 2x + p p 2. Or f est de la forme u x 2 + px + q x } {{ } 2 u + px + q, donc f (x) β α x x 2 + px + q dx = 1 β 2 α 2x + p x 2 + px + q On est donc de nouveau ramené au calcul de p x 2 + px + q dx = 1 [ ln x 2 + px + q ] β 2 p β α 2 α β α 1 x 2 + px + q dx. 1 x 2 + px + q dx Lycée du Parc

247 Chapitre 14 Intégration 1 Intégrale de x x 2 + px + q. Tout dépend des éventuelles racines réelles de X 2 + px + q, et donc du signe de = p 2 4q. Si = 0 On a une racine double p 2 et 1 x 2 +px+q = 1. On achève alors facilement : (x+ p 2 ) 2 β α 1 ( ) x + p 2 dx = 2 [ 1 ] x=β x + p 2 x=α Si > 0 On a deux racines réelles distinctes x 1 et x 2, on peut alors trouver deux réels λ et µ tels que On a alors β α 1 x 2 + px + q = 1 (x x 1 )(x x 2 ) = λ + x x 1 1 β x 2 + px + q dx = α λ x x 1 + µ x x 2 µ x x 2 dx = λ[ln x x 1 ] β α + µ[ln x x 2 ] β α Si < 0 On met le trinôme sous forme canonique : x 2 + px + q = ( ) x + p δ 2 en posant δ = alors 1 x 2 + px + q = 1 ( ) x + p 2 = δ 2 δ 1 2 ( x δ + 2δ) p On pose alors t = x δ + p 2δ, on obtient β α 1 x 2 + px + q dx = 1 β δ 2 α 1 ( x δ + p 2δ ) dx = 1 δ 2 β δ + p 2δ α δ + p 2δ Si p 2 4q > 0, il peut être plus rapide de chercher directement λ et µ tels que x 2 sont les racines du dénominateur. Exercice Calculer les intégrales suivantes : 1 x x 2 4x + 4 dx Exercice x 2 + x + 1 x 2 + 4x + 5 dx x x dx Calculer les intégrales suivantes : 1 x 3 + 2x dx x x dx x + 1 x 2 + 4x + 5 dx 1 t δ dt = 1 δ ax+b x 2 +px+q = 2. On obtient [ arctan(t) ] β δ + p 2δ α δ + p 2δ λ x x 1 + µ x x 2, où x 1 et Lycée du Parc

248 Chapitre 14 Intégration 2.4 Polynômes trigonométriques Intégrale de x sin n x cos m x avec n, m N. Si n ou m est impair, on peut se ramener au calcul de l intégrale d un polynôme en posant u = sin t (si m est impair) ou u = cos t (si n est impair). Si n et m sont pairs, il faut linéariser à l aide des formules d Euler. Intégrale d un fraction rationnelle en sin et cos. Il est systématiquement possible de se ramener au calcul de l intégrale d une fraction rationnelle à l aide d un changement de variable (u = sin t, u = cos t, u = tan t ou u = tan t 2 ). Le changement de variable «qui marche» sera indiqué. Exercice Calculer les intégrales suivantes : π/3 0 π/4 0 sin 3 (x) cos 4 (x) dx sin 4 (x) dx Proposition Soient ω, c, a 1,..., a n, b 1,..., b n des réels et On a alors : f est 2π ω -périodique. 2π c = ω f (t) dt 2π 0 Pour k 1, n, a k = ω π f : R R 2π ω 0 x c + n (a k cos(ωkx) + b k sin(ωkx)) k=1 f (t) cos(ωkt) dt et b k = ω π 2π ω 0 f (t) sin(ωkt) dt. 3 Extensions de la notion d intégrale 3.1 Fonctions en escalier Définition Soient a, b R, a < b. On appelle subdivision de [a; b] un n + 1-uplet (x 0,..., x n ) de réels (n N ) tel que a = x 0 < x 1 < < x n = b Définition Soit f : [a, b] R, a < b. f est dite en escalier s il existe une subdivision (x 0,..., x n ) de [a, b] telle que la fonction f soit constante sur chacun des intervalles ]x k, x k+1 [ (0 k n). La subdivision (x 0,..., x n ) est alors dite adaptée à f. Lycée du Parc

249 Chapitre 14 Intégration Exemple La fonction partie entière est en escalier sur tout intervalle de la forme [a, b]. Si X est une variable aléatoire (finie), alors F X est en escalier sur tout intervalle de la forme [a, b]. Définition Soient a, b R, a < b, f en escalier sur [a, b] et (x 0,..., x n ) une subdivision de [a, b] adaptée à f. Pour k 0, n 1, on note c k la valeur de f sur ]x k, x k+1 [. On définit alors l intégrale de f sur [a, b] par : b a n 1 f (t) dt = c k (x k+1 x k ) k=0 Comme sous-entendu par cette définition, la valeur de l intégrale de f ne dépend pas du choix de la subdivision (tant qu elle est adaptée à f ). Exercice Pour n N, calculer n 0 x dx. 3.2 Fonctions continues par morceaux Définition Soient a, b R, a < b et f : [a, b] R. f est dite continue par morceaux sur [a, b] s il existe une subdivision (x 0,..., x n ) de [a, b] telle que, pour tout k 0, n 1, f ]xk,x k+1 [ soit continue et prolongeable par continuité en x k et x k+1. La subdivision (x 0,..., x n ) est alors dite adaptée à f. Exemple Les fonctions en escalier sont continues par morceaux. La fonction f : [ 1, 1] R x si x [ 1, 0[ x 3 si x = x si x ]0, 1] est continue par morceaux. La fonction n est pas continue par morceaux. g : [ 1, 1] R 1 x si x [ 1, 0[ x 3 si x = x si x ]0, 1] Lycée du Parc

250 Chapitre 14 Intégration Définition Soient a, b R, a < b et f :]a, b[ R continue et prolongeable par continuité en une fonction f en a et b. On définit l intégrale de f sur [a, b] par b a f (t) dt = b a f (t) dt Définition Soient a, b R, a < b, f : [a, b] R continue par morceaux et (x 0,..., x n ) une subdivision de [a, b] adaptée à f. On définit l intégrale de f sur [a, b] par b a n 1 f (t) dt = k=0 xk+1 x k f (t) dt Exercice Calculer 3 0 x x dx. Proposition Soient I un segment, f, g : I R continues par morceaux, a, b, c I et λ R. b c c f (t) dt + f (t) dt = f (t) dt a b a b b b [λ f (t) + g(t)] dt = λ f (t) dt + g(t) dt a a Si f 0 (sauf éventuellement en un nombre fini de points) et a b, alors Si f g (sauf éventuellement en un nombre fini de points) et a b, b b a b a f (t) dt 0 Chasles linéarité positivité alors f (t) dt g(t) dt croissance a a b Si a b alors b f (t) dt f (t) dt inégalité triangulaire a a En revanche, si f est continue par morceaux sur [a, b], positive, d intégrale nulle, rien ne garantit que f soit identiquement nulle. On pourra par exemple considérer f : [0, 2] R 0 si x 1 x 3 si x = 1 Lycée du Parc

251 Chapitre 14 Intégration 3.3 Fonctions à valeurs complexes Définition Soit f : I C et a, b I. Si les fonctions R( f ) et I( f ) sont continues, on définit l intégrale de f de a à b par : b a f (t) dt = b a R( f (t)) dt + i b a I( f (t)) dt Proposition Soient a, b R et z C. On a b a e zt dt = [ ] t=b 1 z ezt t=a Exercice Calculer les intégrales suivantes : π 0 (1 + it) dt e it dt On peut parfois passer par les complexes pour simplifier le calcul de l intégrale d une fonction réelle : Exercice Calculer π 0 e 2x cos x dx. Proposition Soient a, b R, a < b et f : [a, b] R telle que R( f ) et I( f ) soient continues. On a b b f (t) dt f (t) dt a a Lycée du Parc

252 Chapitre 14 Intégration Travaux dirigés Exercice Calculer les intégrales suivantes : π/4 0 π 0 π/ sin 2 (x) cos 2 (x) dx e x cos x dx xe x cos(x) dx x arctan x dx π/3 π/4 2 + x 1 + x dx (x = u2 2) e x 1 + e 2x dx (u = ex ) 3x + 2 x 2 + 3x + 2 dx cos x sin 2 x + 2 tan 2 x dx (u = sin x). Exercice Étudier la fonction f : x + ). 2x x 1 dt (ensemble de définition, parité, variations, limite en t4 + t Exercice On pose D =]0, 1[ ]1, + [ et l on considère la fonction f : D R x x 2 x 1 ln t dt 1. Justifier que f est bien définie, dérivable, et déterminer l expression de f ainsi que les variations de f. x Pour x D, calculer x t ln t dt. 3. En déduire un encadrement de f (x) pour x D (on distinguera les cas x < 1 et x > 1), puis les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. 4. Montrer que f peut être prolongée en une fonction g de classe C 1 sur R +. Exercice Lemme de Lebesgue Soient a, b R, a < b. Montrer que si f est de classe C 1 sur [a, b], on a b b lim f (t) sin(nt) dt = lim f (t) cos(nt) dt = 0 n + a n + a Lycée du Parc

253 Chapitre 14 Intégration Exercice Pour tout n N, on pose : I n = π 2 1. Montrer que, pour tout n N, I n = J n. 0 sin n (x) dx et J n = 2. Trouver une relation de récurrence entre I n et I n+2. π 2 0 cos n (x) dx. Intégrales de Wallis 3. Calculer I 0 et I 1. En déduire, pour tout n N, l expression de I n suivant la parité de n. π 4. Montrer que, pour tout n N, I n+1 I n et que I n I n+1 =. En déduire un équivalent simple 2(n + 1) de I n quand n +.. Exercice Pour n N, on pose I n = Exercice Exercice π 4 0 tan n t dt. 1. Montrer que (I n ) est bien définie, décroissante et positive. 2. Calculer I 0, I 1 et I n + I n 2 pour n En déduire la limite de I n quand n Pour p N, calculer I 2p et I 2p En déduire les limites quand n tend vers + de 1. Déterminer la limite de 2. Déterminer la limite de k=1 n p=0 n n quand n +. (n + k) 2 n ( 1 + k ) 1 n quand n +. n k=1 3. Déterminer un équivalent simple de n k=1 ( 1) p n 2p + 1 et de 1 quand n +. n 2 + k2 p=1 ( 1) p+1. p Soit f : R + R dérivable, strictement croissante telle que f (0) = 0 et lim f = Montrer que x f (x) x R +, f (t) dt + f 1 (t) dt = x f (x) 0 0 (on commencera par justifier que cette égalité a un sens) et interpréter graphiquement ce résultat. 2. En déduire que pour tout a, b R +, on a a avec égalité si et seulement si b = f (a). 0 b f (t) dt + f 1 (t) dt ab 0 Lycée du Parc

254 Chapitre 14 Intégration Exercice On pose G : x 1. Déterminer l ensemble de définition D de G. 2. Montrer que G est de classe C 1 sur D. 3. Calculer G. Que peut-on conclure? x 1 x ln(t) 1 + t 2 dt. Exercice Pour n N, on pose I n = 1 0 [ln(1 + x)] n dx 1. Montrer que, pour tout n N, I n est bien défini et que I n Montrer que I n n Montrer que : 4. En déduire que, pour n N, on a u n n N, I n+1 = 2[ln(2)] n+1 (n + 1)I n. 2(ln 2)n n+1 puis un équivalent de I n quand n +. Lycée du Parc

255 Chapitre 14 Intégration Exercice Études Irrationalité de π Le but de cet exercice est de montrer que π est irrationnel. On procède par l absurde en supposant qu il existe deux entiers p et q dans N tels que π = p q et l on pose, pour tout n N, P n = 1 n! Xn (qx p) n 1. Pour n N, calculer le degré de P n et déterminer ses racines ainsi que leurs ordres de multiplicité. 2. En utilisant la formule de Taylor, montrer que : n N, k 0, 2n, P (k) n (0) Z. 3. Calculer, pour tout n N, P n (π X) en fonction de P n (X). 4. En déduire que, pour tout n N, pour tout k 0, 2n, P (k) n (π) Z. 5. Déterminer le maximum de la fonction f : x [0, π] P n (t). 6. Montrer que : 7. En déduire que π 0 n N, π P n (t) sin(t) dt n A l aide d une intégration par parties, montrer que : 9. Montrer que : Q R[X], n N, π 0 0 P n (t) sin(t) dt 2 ( ) p 2 n. n! 4q Q(t) sin(t) dt = Q(0) + Q(π) π 0 Q (t) sin(t) dt. n N, Q R n [X], π 0 Q(t) sin(t) dt = n ( 1) ( k Q (2k) (0) + Q (2k) (π) ). k=0 10. En déduire que, pour tout n N, π 0 P n (t) sin(t) dt Z. 11. Montrer qu une suite d entiers qui tend vers 0 est nulle à partir d un certain rang. 12. En déduire qu il existe N N tel que π 0 P N (t) sin(t) dt = Etudier le signe de t P N (t) sin(t) sur [0, π] et conclure. Exercice On considère la fonction Partie 1 Étude des variations de F 1. Justifier que F est bien définie. F : R + R x x 1 ln t 1 + t 2 dt 2. Montrer que F est C sur R + et donner l expression de sa dérivée F. 3. Déterminer les variations de F sur R + (on ne demande pas les limites aux bornes). Partie 2 Limites aux bornes 1. Montrer que pour t 1, on a ln t t. Lycée du Parc

256 Chapitre 14 Intégration ) 2. En déduire que x 1, F(x) 2 (1 x En déduire à l aide de la partie 1 que F admet en + une limite C ]0, 2] (on ne demande pas la valeur de C). 4. À l aide d un changement de variable, montrer que ( ) 1 x > 0, F = F(x) x 5. En déduire que F est prolongeable par continuité en 0 (ce prolongement sera encore noté F). 6. Ainsi prolongée, F est-elle dérivable à droite en 0? Partie 3 Calcul approché de C Le réel C défini en partie 2 est appelé constante de Catalan. On va chercher ici à en déterminer une valeur approchée. Pour k N et x > 0, on pose I k (x) = x 1 t k ln(t) dt 1. En utilisant une intégration par parties, montrer que k N x > 0, I k (x) = xk+1 ln x k + 1 xk+1 (k + 1) (k + 1) 2 2. Montrer que 3. En déduire que 4. Pour n N, on pose Montrer que n N x > 0, n ( 1) k x 2k + ( 1) k=0 n+1 x2n x = x 2 n n N, x ]0, 1[, F(x) ( 1) k I 2k (x) I 2n+2(x) u n = n k=0 k=0 n N, C u n ( 1) k (2k + 1) 2. 1 (2n + 3) 2 5. Écrire en Scilab une fonction suite(n) calculant u n. 6. En utilisant cette fonction et la question 4, écrire un programme Scilab demandant à l utilisateur un réel e (que l on pourra supposer strictement positif) et renvoyant une valeur approchée de C à e près. Lycée du Parc

257 Chapitre 14 Intégration Exercice Exercices supplémentaires 2x 1 On considère la fonction f : x x t + sin t dt. 1. Déterminer l ensemble de définition de f. Exercice Étudier la parité de f. 3. Justifier que f est dérivable et déterminer l expression de f. 4. Déterminer la limite de f en +. Déterminer lim n + Exercice n k=1 (2k) 2 n 3 + (2k) 3. Déterminer la limite quand n + de Exercice Déterminer la limite quand n + de Exercice Déterminer lim Exercice n n + k=n+1 1 k. Pour n N, on définit I n = quand n +. Exercice Pour m, n N, calculer I m,n = Exercice On définit la suite u par : 0 u n = u n = n cos k=1 n 1 k=0 ln(1 + x n ) dx et J n = 2π 0 cos(mt) cos(nt) dt. n 2, u n = ( ) k sin n ( ) k. n 1 4n2 k π 2 0 ln(1 + x n ) dx. Déterminer les limites de I n et J n n sin t dt. 1. Étudier la monotonie de u et en déduire qu elle converge. Lycée du Parc

258 Chapitre 14 Intégration 2. Montrer que : 3. En déduire la limite de u. t [ 0, π ], sin t 2t 2 π. Exercice Soient f, g C([a, b]) avec a < b. On définit ϕ : R R λ b a (λ f (t) + g(t))2 dt. 1. Montrer que ϕ est une fonction trinôme positive sur R. 2. En déduire l inégalité de Cauchy-Schwarz : ( b 2 ( b ) ( b ) f g) f 2 g 2 a 3. Montrer qu on a égalité si et seulement si les fonctions f et g sont proportionnelles. a a Exercice Soit la suite d applications ( f n ) n N définies sur [0, π/4] par f 0 : x x et, pour tout n N, f n+1 : x x 0 ( 1 + f 2 n (t) ) dt. 1. Montrer que pour tout n 0, f n est une fonction polynomiale dont on précisera le degré. 2. x étant fixé dans [0, π/4], montrer que la suite ( f n (x)) n N est croissante et majorée par le réel tan(x). Qu en déduire? 3. Montrer que pour tout x [0, π/4], 1 f n(x) 2. Lycée du Parc

259 CHAPITRE 15 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES Dans tout le chapitre, I désignera un intervalle de R non réduit à un point. 1 Équations différentielles linéaires d ordre Généralités Définition 15.1 On appelle équation différentielle linéaire d ordre 1 toute équation de la forme (E) : t I, y (t) + a(t)y(t) = b(t), où les paramètres a et b sont dans C 0 (I) et l inconnue y est cherchée dans D 1 (I). On note S l ensemble des solutions de (E), c est-à-dire l ensemble des ϕ : I R dérivables telles que t I, ϕ (t) + a(t)ϕ(t) = b(t) Si b = 0, l équation est dite homogène (ou sans second membre). Sinon, on appelle équation homogène associée à (E) l équation (E H ) : t I, y (t) + a(t)y(t) = 0. On note S H l ensemble des solutions de cette équation. Soient t 0 I et y 0 R. On appelle problème de Cauchy de (E) relatif à (t 0, y 0 ) le «système» t I, y (t) + a(t)y(t) = b(t) (E (t0,y 0 )) : y(t 0 ) = y 0 Une solution de (E (t0,y 0 )) est donc une fonction ϕ S telle que ϕ(t 0 ) = y 0. L équation (E) peut s écrire plus simplement y + ay = b mais il faut bien garder en tête que a, b et y sont des fonctions. La notation «y + t 2 y = cos(t) sur R» au lieu de «t R, y (t) + t 2 y(t) = cos(t)» est en revanche un abus de notation (qui est quasi systématique). Proposition 15.2 Principe de superposition Soient a, b 1, b 2 C 0 (I) et λ, µ R. On considère les équations : (E 1 ) : y + ay = b 1 et (E 2 ) : y + ay = b 2 sur I Si ϕ 1 est solution de (E 1 ) et ϕ 2 de (E 2 ), alors λϕ 1 + µϕ 2 est solution de (E) : y + ay = λb 1 + µb 2 Lycée du Parc

260 Chapitre 15 Équations différentielles linéaires Exemple 15.1 On considère les équations différentielles (E 1 ) : t R, y (t) y(t) = cos(t)e t et (E 2 ) : t R, y (t) y(t) = t 1. Vérifier que t sin(t)e t est solution de (E 1 ) et que t e t t 1 est solution de (E 2 ). 2. En déduire une solution de (E) : t R, y (t) y(t) = 2 cos(t)e t t. Proposition 15.3 Soit ϕ 0 S. On a S = {ϕ 0 + ϕ H, ϕ H S H } C est le principe fondamental de la résolution d équations différentielles linéaires : pour trouver toutes les solutions de (E), il suffit de connaître les solutions de (E H ) et une solution particulière de (E). Proposition 15.4 Soit (E) : y + ay = b, d ensemble de solutions S. Si a, b C k (I) (respectivement C (I)), alors S C k+1 (I) (resp. C (I)). 1.2 Résolution de l équation homogène Théorème 15.5 On considère l équation différentielle linéaire homogène (E H ) : y + ay = 0 sur I. Si A : I R est une primitive de a, alors S H = {λe A, λ R} Soit (t 0, y 0 ) I R. Le problème de Cauchy y + ay = 0 y(t 0 ) = y 0 sur I admet une unique solution ϕ : I R t y 0 e A 0(t), où A 0 est l unique primitive de a qui s annule en t 0. s S H est un R e.v. de dimension 1. En particulier, une combinaison linéaire de solutions de (E H ) est encore solution de (E H ). La primitive A 0 de a qui s annule en t 0 est donnée par A 0 : I R t Exercice 15.2 Résoudre les équations différentielles suivantes : 1. (E 1 ) : t R, y (t) + 2y(t) = (E 2 ) : t R, y (t) t 2 y(t) = (E 3 ) : t R, ty (t) + y(t) = 0. t t 0 a(x) dx. Lycée du Parc

261 Chapitre 15 Équations différentielles linéaires Proposition 15.6 Soit (E H ) une équation différentielle linéaire homogène d ordre 1 et S H son ensemble de solutions. Soit ϕ S H. S il existe t I tel que ϕ(t) = 0, alors ϕ = 0. Soient ϕ 1, ϕ 2 S H. S il existe t I tel que ϕ 1 (t) = ϕ 2 (t), alors ϕ 1 = ϕ 2. Les contraposées de ces propositions sont très utiles. Soit ϕ S H. S il existe t 0 I tel que ϕ(t 0 ) 0, alors t I, ϕ(t) 0. De plus, comme ϕ est continue, elle est de signe constant sur I. Soient ϕ 1, ϕ 2 S H. S il existe t 0 I tel que ϕ 1 (t 0 ) ϕ 2 (t 0 ), alors t I, ϕ 1 (t) ϕ 2 (t). 1.3 Résolution de l équation avec second membre Comme vu plus haut, résoudre l équation avec second membre revient à résoudre l équation homogène associée et à trouver une solution particulière de l équation avec second membre. Il est parfois possible de «deviner» une solution particulière (quand le second membre est un polynôme par exemple). Dans les autres cas, on utilise la méthode de «variation de la constante». Variation de la constante On considère l équation (E) : t I, y (t) + a(t)y(t) = b(t), où a et b sont dans C 0 (I). Soit ϕ H une solution non uniformément nulle de (E H ). D après 15.6, on a t I, ϕ H (t) 0, et de plus ϕ H C 1 (I). Si ϕ est une solution de (E), on peut donc poser λ = ϕ ϕ H et λ sera de classe C 1 (puisque ϕ et ϕ H le sont). On en déduit que : ϕ S λϕ H S (λϕ H ) + aλϕ H = b λ ϕ H + λϕ H + aλϕ H = b λ ϕ H + λ (ϕ H + aϕ H ) = b } {{ } =0 car ϕ H S H λ ϕ H = b λ = b car ϕ H ne s annule pas ϕ H Si ϕ H S H, alors les solutions de (E H ) sont les λϕ H avec λ une constante réelle. La méthode de variation de la constante revient à chercher les solutions de (E) sous la forme λϕ H avec λ une fonction de classe C 1. Théorème 15.7 Soient a, b C 0 (I) et (E) : y + ay = b. Les solutions de (E) sont exactement les fonctions ϕ : I R qui vérifient ϕ = λϕ H λ = b où ϕ H est une solution de l équation homogène associée à (E). ϕ H Théorème 15.8 Soient (E) une équation différentielle linéaire d ordre 1 et (t 0, y 0 ) I R. Le problème de Cauchy de (E) relatif à (t 0, y 0 ) admet une unique solution. Lycée du Parc

262 Chapitre 15 Équations différentielles linéaires Exemple 15.3 Résoudre les équations différentielles suivantes : 1. (E 1 ) : t R, y (t) + y(t) = t + 2 ; 2. (E 2 ) : t R, y (t) + y(t) = cos(t) et y(0) = 1. 2 Équations différentielles linéaires d ordre Généralités Une équation différentielle linéaire d ordre 2 est une équation du type (E) : y + ay + by = c, où a, b et c sont des fonctions continues sur un intervalle I de R et l inconnue y est une fonction deux fois dérivable sur I à valeurs dans C. Cependant, on ne s intéressera cette année qu aux équations du second ordre à coefficients constants. Définition 15.9 On appelle équation différentielle linéaire d ordre 2 à coefficients constants une équation du type (E) : t I, ay (t) + by (t) + cy(t) = d(t), où a, b et c sont des constantes réelles, a 0, I est un intervalle de R et d est une fonction continue de I dans C. Si d = 0, l équation est dite homogène. Une solution de (E) est une application f de classe C 2 sur I à valeurs dans C et vérifiant t I, a f (t) + b f (t) + c f (t) = d(t) On notera S l ensemble de ces solutions. Une solution de (E H ) (équation homogène associée à (E)) est une application f de classe C 2 sur I à valeurs dans C et vérifiant t I, a f (t) + b f (t) + c f (t) = 0 On notera S H l ensemble de ces solutions. On appelle polynôme caractéristique de (E) le polynôme P = ax 2 + bx + c P est à coefficients réels, et comme a 0, on a deg P = 2. Si t 0 I et y 0, y 0 C, on appelle problème de Cauchy de (E) relatif à (t 0, y 0, y 0 ) le système t I, ay (t) + by (t) + cy(t) = d(t) (E (t0,y 0,y 0 ) : y(t 0 ) = y 0 y (t 0 ) = y 0 Une solution de ce problème est donc une solution f de (E) vérifiant de plus f (t 0 ) = y 0 et f (t 0 ) = y 0. Exemple 15.4 Trois exemples importants issus de la physique : l oscillateur harmonique simple (E 1 ) : t R, y (t) + ω 2 0 y(t) = 0 ; l oscillateur harmonique amorti (E 2 ) : t R, y (t) + 2ζω 0 y (t) + ω 2 0 y(t) = 0 ; l oscillateur harmonique entretenu (E 3 ) : t R, y (t) + 2ζω 0 y (t) + ω 2 0y(t) = f (t) ; Lycée du Parc

263 Chapitre 15 Équations différentielles linéaires Proposition Principe de superposition Soient a, b, c R, d 1, d 2 continues de I dans C, f 1 une solution de (E 1 ) et f 2 une solution de (E 2 ). Si λ, µ C, alors λ f 1 + µ f 2 est solution de (E 1 ) : t I, ay (t) + by (t) + cy(t) = d 1 (t) (E 2 ) : t I, ay (t) + by (t) + cy(t) = d 2 (t), (E) : t I, ay (t) + by (t) + cy(t) = λd 1 (t) + µd 2 (t). Proposition Soient (E) une équation différentielle linéaire d ordre 2 à coefficients constants, (E H ) l équation homogène associée et S et S H leur ensemble de solutions respectifs. Si f 0 S, on a S = { f 0 + f H, f H S H } Proposition Soit (E) : t I, ay (t) + by (t) + cy(t) = d(t). Si d est de classe C k sur I (respectivement C ), alors toute solution de (E) est de classe au moins C k+2 (resp. C ) sur I. Proposition Soit (E) : t I, ay (t) + by (t) + cy(t) = d(t). Si y est solution (à valeurs dans C) de (E), alors R(y) et I(y) sont respectivement solutions de (E R ) : ay (t) + by (t) + cy(t) = R(d(t)) (E I ) : ay (t) + by (t) + cy(t) = I(d(t)) Le plus souvent, les solutions réelles seront les seules qui nous intéressent. Cependant, il est souvent plus facile de «passer par les complexes» avant de ne retenir que les solutions réelles. 2.2 Résolution de l équation homogène à coefficients constants On considère dans cette partie une équation homogène (E H ) : t I, ay (t) + by (t) + cy(t) = 0 et l on note P = ax 2 + bx + c son polynôme caractéristique. Proposition Soit λ C. La fonction f : I C t e λt est solution de (E H ) ssi λ est racine de P. Lycée du Parc

264 Chapitre 15 Équations différentielles linéaires Théorème Solutions de l équation homogène à valeurs dans C Soient λ et µ les racines (complexes) de P. Si λ µ, alors { } f : I C S H = t Ae λt + Be µt, (A, B) C 2 Si λ = µ, alors S H = S H est un C-espace vectoriel de dimension 2. Théorème { f : I C t e λt (A + Bt), (A, B) C2 } Soit (t 0, y 0, y 0 ) I C C. Le problème de Cauchy de (E H ) relatif à (t 0, y 0, y 0 ) admet une unique solution. s Si y 0 = y 0 = 0, alors l unique solution du problème de Cauchy est la solution nulle. Si f 1 et f 2 sont solutions de (E H ) et qu il existe t 0 I tel que f 1 (t 0 ) = f 2 (t 0 ) et f 1 (t 0) = f 2 (t 0), alors f 1 = f 2. Exercice 15.5 Déterminer la solution du problème de Cauchy suivant : y + y + y = 0 y(0) = 0 y (0) = 1 Théorème Solutions de l équation homogène à valeurs dans R Soient λ et µ les racines complexes de P. Si (λ, µ) R 2 : si λ µ, alors les solutions de (E H ) à valeurs dans R sont les f : I R t Ae λt + Be µt avec A, B R. si λ = µ, alors les solutions de (E H ) à valeurs dans R sont les f : I R t e λt (A + Bt) avec A, B R. si λ C \ R, on a λ = ρ + iω, avec ρ R et ω R (et µ = ρ iω). Les solutions de (E H ) à valeurs dans R sont alors les avec A, B R. f : I R t e ρt (A cos(ωt) + B sin(ωt)) Lycée du Parc

265 Chapitre 15 Équations différentielles linéaires En physique, on préfère habituellement mettre les solutions du dernier cas sous la forme t Ae ρt cos(ωt + ϕ) avec A, ϕ R. Dans ce cas, ω représente la pulsation et ϕ le décalage de phase. Exercice 15.6 Déterminer les solutions à valeurs réelles des équations différentielles suivantes (sur R). 1. y + ω 2 0 y = y 4y + y = 0 3. y y y = 0 Proposition Soit (t 0, y 0, y 0 ) I R R. Le problème de Cauchy de (E H ) relatif à (t 0, y 0, y 0 ) admet une unique solution, qui est à valeurs dans R. 2.3 Résolution de l équation à coefficients constants et second membre particulier On s intéresse dans cette section à une équation (E) : t I, ay (t) + by (t) + cy(t) = d(t) où a, b, c R, a 0 et d est continue de I dans C. Nous ne verrons pas de méthode générale pour résoudre cette équation : nous traiterons seulement les cas où d est un polynôme ou une exponentielle. 2.3.a Second membre polynomial On s intéresse dans cette section à une équation où a, b, c R et Q C[X]. Théorème (E) : t I, ay (t) + by (t) + cy(t) = Q(t) Il existe R C[X] tel que deg R deg Q et que R soit solution de (E). On a alors { } f : I R S = t f H (t) + R(t), f H S H Théorème Soit (t 0, y 0, y 0 ) I C C. Le problème de Cauchy de (E) relatif à (t 0, y 0, y 0 ) admet une unique solution. Exercice 15.7 Déterminer les solutions à valeurs réelles de l équation différentielle (E) : t R, y (t) + y (t) + y(t) = t + 2 Lycée du Parc

266 Chapitre 15 Équations différentielles linéaires 2.3.b Second membre exponentiel On s intéresse dans cette section à une équation (E) : t I, ay (t) + by (t) + cy(t) = e mt où a, b, c R, a 0 et m C. On note P son polynôme caractéristique. Théorème Si m n est pas racine de P, alors il existe α C tel que t αe mt soit solution de (E). On a alors { } f : I R S = t f H (t) + αe mt, f H S H Si m est racine simple de P, alors il existe α C tel que t αte mt soit solution de (E). On a alors { } f : I R S = t f H (t) + αte mt, f H S H Si m est racine double de P, alors il existe α C tel que t αt 2 e mt soit solution de (E). On a alors { } f : I R S = t f H (t) + αt 2 e mt, f H S H Théorème Soit (t 0, y 0, y 0 ) I C C. Le problème de Cauchy de (E) relatif à (t 0, y 0, y 0 ) admet une unique solution. Exercice 15.8 Soit ω R +. Déterminer les solutions à valeurs réelles de l équation différentielle (E) : t R, y (t) + ω 2 y(t) = sin(ωt) Lycée du Parc

267 Chapitre 15 Équations différentielles linéaires Exercice 15.9 Travaux dirigés Résoudre les équations différentielles suivantes : 1. (E 1 ) : t R, (t 2 + 1)y (t) + ty(t) = t ; Exercice (E 2 ) : t ]0, π[, sin 3 (t)y (t) = 2 cos(t)y(t) ; 3. (E 3 ) : t ] π 2, π 2 [, y (t) tan(t)y(t) = cos 2 (t). On considère l équation (E) : ty + 2y = 1. Résoudre (E) sur R et sur R +. Exercice t 1+t Montrer que (E) admet une unique solution sur R que l on déterminera. On considère l équation (E) : y = y sur R. 1. On suppose que f est solution de (E) et qu il existe t 0 R tel que f (t 0 ) = 0. Déterminer le signe de f sur ], t 0 ] et sur [t 0, + [ et en déduire f. Exercice Déterminer les solutions f de (E) en fonction de y 0 = f (0). 1. Résoudre l équation (E 1 ) : t R, y (t) + y(t) = 1 1+e. t 2. Résoudre sur ]0, 1[ et ]1, + [ l équation (t ln t)y y = 1+ln t t. Cette équation admet-elle des solutions sur R +? Exercice Résoudre l équation différentielle (E) : t y + (t 1)y = t 2 sur R. Soient a, b, c R + et y une solution à valeurs réelles, définie sur R, de (E) : ay + by + cy = 0. Montrer que y(t) t + 0. Exercice On considère l équation différentielle (non linéaire!) (E) : t R, y (t) = ay(t) ( 1 y(t) ) K Équation logistique où a et K sont des constantes réelles strictement positives. On cherche les solutions de (E) à valeurs dans R + vérifiant la condition initiale y(0) = y On suppose que y est une telle solution et l on pose z = 1 y. Montrer que z est solution d une équation différentielle linéaire d ordre 1 (E ). 2. Résoudre (E ) et en déduire z puis y. 3. Conclure. Exercice Résoudre l équation (E) : x > 0, y (x) = y ( 1 x) en posant z(t) = y(e t ). Lycée du Parc

268 Chapitre 15 Équations différentielles linéaires Exercice On considère le système différentiel suivant : t R, x (t) = 4x(t) 3y(t) t R, y (t) = 2x(t) y(t) Montrer que y est solution d une équation différentielle d ordre 2 que l on déterminera puis résoudre le système. Lycée du Parc

269 CHAPITRE 16 COURBES ET SURFACES 1 Études de courbes 1.1 Courbes paramétrées Définition 16.1 On appelle courbe paramétrée un ensemble de points où I est un intervalle de R et x, y : I R. C = {(x(t), y(t)), t I}, On confondra souvent la fonction I R 2 t (x(t), y(t)) et son graphe (qui est la courbe paramétrée). Lycée du Parc

270 Chapitre 16 Courbes et surfaces Exemple 16.1 Si r 0, la courbe paramétrée définie par x(t) = r cos t t R y(t) = r sin t est un cercle de rayon r centré en l origine. Proposition 16.2 Soit C une courbe paramétrée I R 2 t (x(t), y(t)) et t 0 I. Si x et y sont dérivables en t 0 et que (x (t 0 ), y (t 0 )) 0, alors la courbe C admet une tangente au point (x(t 0 ), y(t 0 )) de vecteur directeur ( ) x (t 0 ) y (t 0 ). s On appelle point critique un point où x et y s annulent toutes les deux. En un tel point, la courbe peut ou non avoir une tangente, mais nous ne nous y intéresserons pas. Attention, une courbe paramétrée peut passer plusieurs fois par le même point et éventuellement avoir plusieurs tangentes différentes en un même point. Si y (t 0 ) 0 et x (t 0 ) = 0, alors la tangente en t 0 est verticale. Si x (t 0 ) 0, alors la tangente en t 0 a pour coefficient directeur y (t 0 ) x (t 0 ). On peut remplacer (x (t), y (t)) par n importe quel vecteur colinéaire si l on s intéresse seulement à la tangente (qui est une droite). Cependant, si l on considère (x (t), y (t)) comme un «vecteur vitesse» alors son sens et sa norme sont importants. Pour tracer une courbe paramétrée, on suivra en règle générale le plan suivant : on cherche à restreindre l intervalle d étude en utilisant des propriétés de périodicité et de symétrie ; on dresse les tableaux de variations de x et de y sur l intervalle d étude, on places les éventuelles tangentes remarquables (verticales ou horizontales) ; on donne l allure de la courbe sur cet intervalle restreint, puis sur l intervalle complet en utilisant les symétries trouvées au début. Exemple 16.2 On considère la courbe paramétrée définie par x(t) = sin(2t) t R, y(t) = 2 cos t x et y étant respectivement π-périodique et 2π-périodique, il est évident que l on peut se restreindre à un intervalle quelconque de longueur 2π. Prenons par exemple I = [ π, π]. On remarque ensuite que t R, x( t) = x(t) et y( t) = y(t) et donc que la partie de la courbe correspondant à [π, 2π] peut se déduire de celle correspondant à [0, π] par une symétrie. On a de plus t R, x(π t) = sin(2π 2t) = sin(2t) = x(t) et y(π t) = 2 cos(π t) = y(t) et l on peut donc obtenir la partie [ 0, π 2 ] par symétrie à partir de la partie [ 0, π 2 ]. On étudie donc la courbe sur J = [ 0, π 2 ]. x et y sont dérivables sur J avec t J, x (t) = 2 cos(2t) et y (t) = 2 sin t, on obtient aisément les Lycée du Parc

271 Chapitre 16 Courbes et surfaces tableaux de variations de x et y sur J : π t 0 4 x (t) + 0 π 2 1 x(t) 0 0 y (t) y(t) 2 0 On a : (x (0), y (0)) = (2, 0) et (x(0), y(0)) = (0, 2), donc une tangente horizontale pour t = 0 au point (0, 2) ; ( x ( π 4 ), y ( π 4 )) = (0, 2) et ( x ( π 4 ), y ( π 4 point (1, 2) ; ( x ( ) ( )) ( ( ) ( π 2, y π 2 = ( 2, 2) et x π 2, y π 2 au point (0, 0). )) = (1, 2), donc une tangente verticale pour t = π 4 au )) = (0, 0), donc une tangente portée par (1, 1) pour t = π 2 Lycée du Parc

272 Chapitre 16 Courbes et surfaces Quand t décrit [ 0, π 2 ], (x(t), y(t)) passe donc de B à C (x croissant et y décroissant) puis de C à D (x et y décroissants) en respectant les tangentes indiquées : La partie pour t décrivant [ π 2, π] s obtient par symétrie par rapport à l origine : On trace une courbe respectant ces contraintes : La partie pour t décrivant [π, 2π] (et donc la courbe complète) s obtient par symétrie par rapport à l axe des ordonnées : 2 Fonctions de plusieurs variables 2.1 Applications partielles Définition 16.3 On appelle fonction numérique de n variables une application f : D R n R (x 1,..., x n ) f (x 1,..., x n ) Lycée du Parc

273 Chapitre 16 Courbes et surfaces En pratique, on ne s intéressera ici qu aux cas n = 2 et n = 3 et l on préférera noter (x, y) ou (x, y, z) au lieu de (x 1, x 2 ) ou (x 1, x 2, x 3 ). Exercice 16.3 Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer la plus grande partie D de R 2 sur laquelle la fonction peut être définie, et représenter graphiquement D. 1. (x, y) 2x + y 2. (x, y) ln(xy) 3. (x, y) ln(x+y) x 2 +y 2 1 Définition 16.4 Soit f : D R n R et U = (u 1,..., u n ) D. On appelle i-ème application partielle de f en U la fonction : f i,u : x f (u 1,..., u i 1, x, u i+1,..., u n ) s Autrement dit, on fixe toutes les composantes sauf la i-ème et l on obtient ainsi une fonction d une variable réelle. Pour n = 2, en écrivant U = (x 0, y 0 ), on a donc deux applications partielles : f 1,U : x f (x, y 0 ) et f 2,U : x f (x 0, x) (qu il est plus clair de noter f 2,U : y f (x 0, y)). Pour n = 3, trois applications partielles (on pose U = (x 0, y 0, z 0 )) : f 1,U : x f (x, y 0, z 0 ), f 2,U : y f (x 0, y, z 0 ) et f 3,U : z f (x 0, y 0, z). Ces applications partielles n ont aucune raison d être définies sur tout R, on déterminera leur ensemble de définition au cas par cas. Techniquement, on a D fi,u = {x R, (u 1,..., x,..., u n ) D}. Exercice 16.4 On considère f : D R 2 R (x, y) 1 x y. 1. Déterminer la plus grande partie D de R 2 pour laquelle cette définition a un sens, et la représenter graphiquement. 2. Dessiner l allure de a. f 1,U avec U = (0, 1) puis U = (0, 2) ; b. f 2,U avec U = (1, 0) puis U = ( 2, 1) ; 2.2 Surfaces représentatives et lignes de niveau On se place ici dans les cas n = 2. Définition 16.5 Soit f : D R 2 R. On appelle surface représentative de f l ensemble G f = {(x, y, z) R 3, (x, y) D et f (x, y) = z} Lycée du Parc

274 Chapitre 16 Courbes et surfaces Si z 0 R, on appelle ligne de niveau z 0 de f l ensemble L z0 = {(x, y) D, f (x, y) = z 0 } s Essentiellement, L z0 est l intersection de G f avec le plan horizontal d équation z = z 0. Si l on intersecte G f avec un plan d équation y = y 0, on obtient la courbe représentative de l application partielle x f (x, y 0 ). Exemple 16.5 Soit f : R 2 R (x, y) x 2 + y 2. La surface représentative de f est un paraboloïde de révolution. Pour z 0 0, la ligne de niveau L z0 de f est un cercle de rayon z 0. Les autres lignes de niveau de f sont vides. Exercice 16.6 On considère f : R 2 R (x, y) xy. Représenter sur un même graphique les lignes de niveau 1, 1 2, 0, 1 2 et 1 de f. 2.3 Dérivées partielles Définition a Cas n = 2 Soient f : D R 2 R et U = (x 0, y 0 ) D. Si f 1,U (respectivement f 2,U ) est dérivable en x 0 (respectivement y 0 ), on pose f x (x 0, y 0 ) = f 1,U (x 0) et f y (x 0, y 0 ) = f 2,U (y 0) Les applications (x, y) f f x (x, y) et (x, y) y (x, y) sont respectivement appelées première et seconde dérivée partielle (d ordre 1) de f. Lycée du Parc

275 Chapitre 16 Courbes et surfaces Exercice 16.7 Pour (x, y) R 2, calculer f f x (x, y) et y (x, y) dans les cas suivants : 1. f : (x, y) x 2 + 2xy + y 2. f : (x, y) e x2 y 2 sin y Proposition 16.7 Soit f : D R 2 R et (x 0, y 0 ) D. Si f x (x 0, y 0 ) et f y (x 0, y 0 ) existent, alors f (x 0 + h, y 0 + k) = f (x 0, y 0 ) + h f x (x 0, y 0 ) + k f y (x 0, y 0 ) + o (h,k) (0,0) ( (h, k) ) où (h, k) = h 2 + k 2 (la norme de (h, k)). Exemple 16.8 On considère la fonction f : R 2 R 2 (x, y) cos 2 x + sin 2 y. Les dérivées partielles d ordre 1 de f existent en tout point de R 2 : (x, y) R 2, f x (x, y) = 2 sin x cos x = sin(2x) et f (x, y) = 2 sin y cos y = sin(2y) y On peut faire une approximation au voisinage de (0, π) : ( π f 3 + h, π ) 6 + k = f ( π 3, π ) + h f 6 x = 1 2 h k ( π 3, π ) + k f 6 y o (h,k) 0( (h, k) ) = (k h) + o (h,k) 0( (h, k) ) On peut ainsi «estimer» (sans aucune garantie de précision) ( π 3, π 6 ) + o (h,k) 0 ( (h, k) ) ( f 1, 1 ) ( π f 2 3 0, 05 ; π ) 6 0, ( 0, , 05) , Définition b Cas n = 3 Soient f : D R 3 R et U = (x 0, y 0, z 0 ) D. Si f 1,U (respectivement f 2,U, f 3,U ) est dérivable en x 0 (respectivement y 0, z 0 ), on pose f x (x 0, y 0, z 0 ) = f 1,U (x 0) f y (x 0, y 0, z 0 ) = f 2,U (y 0) f z (x 0, y 0, z 0 ) = f 3,U (z 0) Les applications (x, y, z) f x partielles (d ordre 1) de f. (x, y, z), (x, y, z) f y f (x, y, z) et (x, y, z) z (x, y, z) sont appelées dérivées Exercice 16.9 Lycée du Parc

276 Chapitre 16 Courbes et surfaces Soit f : R 3 R (x, y, z) x 2 + y 2 + z 2. Déterminer en quels points les dérivées partielles d ordre 1 de f sont définies et donner leur expression. Proposition 16.9 Soit f : D R 3 R et U = (x 0, y 0, z 0 ) D. Si les trois dérivées partielles d ordre 1 de f existent en U = (x 0, y 0, z 0 ), alors f (x 0 + h, y 0 + k, z 0 + l) = f (U) + h f x (U) + k f y (U) + f z (U) + o (h,k,l) (0,0,0)( (h, k, l) ) où (h, k, l) = h 2 + k 2 + l 2 (la norme de (h, k, l)). Lycée du Parc

277 Chapitre 16 Courbes et surfaces Travaux dirigés Exercice Oral Agro-Véto 2008 e 1 x si x < 0 Soit f la fonction définie pour tout x R par f (x) = 0 si x = 0 x 2 ln ( ) x si x > 0 1. La fonction f est-elle de classe C 1 sur R? Si la tangente au graphe de f en O existe, en donner une équation et préciser la position du graphe de f par rapport à cette tangente au voisinage de ce point. 2. a. Montrer que pour tout x > 0, le nombre dérivé f (x) s écrit sous la forme f (x) = 2xa(x) où a est une fonction dont on étudiera le signe. Dresser le tableau de variations de f sur R. b. Étudier les branches infinies de f. c. Donner l allure du graphe de f. Exercice Oral Agro-Véto 2008 Soient (O, Vect i, Vect j) un repère orthonormé de R 2 et Γ la courbe paramétrée de R 2 : Γ : R R 2 x(t) = cos t t y(t) = cos ( ) 3t 1. Déterminer la plus petite période (strictement positive) commune aux fonctions x et y. Donner un exemple d intervalle I de la forme [0, a] sur lequel il suffit d étudier les fonctions x et y pour obtenir toute la courbe. 2. Un logiciel donne la partie du tracé de Γ correspondant à t [ ] 0, 5π 2 : 5 Indiquer en justifiant le tracé de Γ pour tout t I. 3. Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre t I la courbe passe-t-elle par l origine O? Déterminer une équation de la tangente à Γ en O. Lycée du Parc