Août 2018 (1 heure et 45 minutes)

Transcription

1 Août 8 ( heure et 45 minutes) a) Définir : - matrice inversible - matrice orthogonale ( pt) b) Soit A une matrice inversible de IR, n IN Démontrer que son inverse à gauche et son inverse à droite sont égales (5 pt) c) Soient A et B Î IR, n Î IN Remplacer dans chacune des phrases suivantes par «est toujours» ou «est parfois» ou «n est jamais» si A est orthogonale, alors A est toujours inversible si A est smétrique, alors A est parfois inversible si AB est inversible, alors A est toujours inversible si AB est non inversible, alors A est parfois inversible Justifier soigneusement deux de ces affirmations au choix (Pour une réponse «est toujours» ou «n est jamais», justifier de manière théorique ; pour une réponse «est parfois», donner un exemple de chaque cas) (5 pts) a) Définir : sstème de Cramer b) Si AX = B est un sstème de Cramer, que peut-on dire de ses éventuelles solutions? Ne pas démontrer xz c) Soit le sstème linéaire x 7 z 5x 7z ) Résoudre ce sstème ) Peut-on déduire de la réponse de ) si c est un sstème de Cramer? Justifier ( pts) a) Soient n Î IN et nx EIR,E nx IR Définir: - vecteurs linéairement indépendants de - VCT(E) (le vectoriel engendré par E) ( pt) b) Démontrer que si E est un ensemble de vecteurs linéairement indépendants, tout vecteur de VCT(E) s'obtient d'une et une seule manière comme combinaison linéaire des vecteurs de E (5 pt) c) Soient les vecteurs u, v et w de IR x, avec IR ) Pour quelle(s) valeur(s) réelle(s) de, les vecteurs u, v et w sont-ils linéairement dépendants? ) Pour une des valeurs (au choix) obtenues au ), déterminer une base du vectoriel engendré par E = u, v, w ainsi que sa dimension Justifier soigneusement (5 pts) 4 a) Définir : - polnôme caractéristique d une matrice M de IR - matrice diagonalisable dans IR b) Soit M = 5 Déterminer toutes les valeurs propres de M Pour chacune de ces valeurs propres, déterminer les vecteurs propres associés ( pts)

2 5 Donner (réponse finale uniquement) a) dans, une solution (au choix) de z i +i le module de la solution donnée b) la solution générale de la RLACC (récurrence linéaire à coefficients constants) Y t Yt t t t Yt C( ) C IR 8 c) dans 4x IR muni du produit scalaire et de la norme standards, ( pt) - deux vecteurs orthogonaux sans composante nulle et - un vecteur normé sans composante nulle / / / /

3 Réponse question a) Soit A IR A est inversible s il existe B,C IR telles que : AB = CA = I n B est alors inverse à droite et C, inverse à gauche de A Soit A Î IR A est orthogonale ssi AA' = I n Réponse question b) nn Soit A IR inversible nn Soit B IR, son inverse à droite AB In nn Soit C IR, son inverse à gauche CA In Considérons le produit CAB D une part : CAB (CA)B (associativité du produit matriciel) I nb (car C inverse à gauche de A) B (propriété de la matrice unité (neutre pour le produit matriciel)) D autre part : CAB C(AB) (associativité du produit matriciel) CI n (car B inverse à droite de A) C (propriété de la matrice unité (neutre pour le produit matriciel)) Et donc, B C Réponse question c) On a A et B Î IR, n Î IN si A est orthogonale, alors A est toujours inversible si A est smétrique, alors A est parfois inversible si AB est inversible, alors A est toujours inversible si AB est non inversible, alors A est parfois inversible Justifications : () si A est orthogonale, alors A est toujours inversible En effet, A est orthogonale ssi AA' = I n, donc A est inversible à droite Or, une matrice inversible à droite est inversible () si A est smétrique, alors A est parfois inversible En effet, la matrice A = est smétrique et non inversible (son déterminant vaut ), tandis que la matrice A = est smétrique et inversible (son déterminant vaut -, donc est non nul)

4 Réponse question a) Un sstème de Cramer est un sstème linéaire AX = B tel que A est une matrice (carrée) inversible Réponse question b) Si AX = B est un sstème de Cramer, il possède une et une seule solution donnée par X = A B Réponse question c) xz On a x 7 z 5x 7z ) La matrice augmentée du sstème est 7 Réduisons-la : L L L 5 7 L L 5L L L L L L L Cette matrice est sous forme échelonnée ligne réduite De là, () le sstème est compatible (la réduite de sa matrice augmentée n a pas de pivot en dernière colonne) () x et sont des inconnues principales, z est une inconnue secondaire Le sstème a une infinité de solutions données par x 9z S (x,,z) IR : z IR 58z ) Le sstème n est pas un sstème de Cramer puisqu il a une infinité de solutions alors que, comme indiqué au b) ci-dessus, un sstème de Cramer a une solution unique Réponse question a) Des vecteurs de IR nx sont linéairement indépendants ssi la seule combinaison linéaire de ces vecteurs donnant le vecteur nul est celle dont tous les coefficients sont nuls Soit E, un sous-ensemble de IR nx, n Î IN VCT(E), le vectoriel engendré par E, est l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires des éléments de E

5 Réponse question b) Soit E est un ensemble de vecteurs linéairement indépendants d un vectoriel réel V Alors, tout vecteur du vectoriel engendré par E s'obtient d'une et une seule manière comme combinaison linéaire des vecteurs de E Preuve : Soit E = w,w,,wm, un ensemble de vecteurs linéairement indépendants de V Soit w VCT(E) On a w = a wa w a mwm avec ai IR i Supposons, par l absurde, que w = b wb w b mwm On a aw bw aw ( bw ) car V,+ est un groupe commutatif m m m m i i i i i i i i i i i i En utilisant les propriétés du signe, on a m (a iw i b iw i) et, par les propriétés de la multiplication i scalaire, on a m i (a b )w (a b )w (a b )w (a b )w i i i m m m Or, les vecteurs w,w,,wm sont linéairement indépendants, donc, nécessairement, (a b ) (a b ) (am b m) a b,a b,,am bm ce qui démontre que w s écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs de E Réponse question c) On a les vecteurs u, v et w de IR x, avec IR ) Ces vecteurs sont linéairement dépendants ssi la matrice M = est de rang <, donc ssi dét(m) = On a dét(m) = (Sarrus) 4 = = ( ) De là, les vecteurs u, v et w sont linéairement dépendants ssi dét(m) = ssi ou ) Prenons On a E = u, v, w =,, Pour déterminer une base de VCT(E), on place les composantes des vecteurs de E horizontalement dans une matrice P = que l on réduit :

6 L L L L L L LLL L L /( ) Cette matrice est sous forme échelonnée réduite et, par conséquent, une base de VCT(E) est, par exemple,, De là, puisqu une telle base contient deux vecteurs, la dimension de VCT(E) est Réponse question 4 a) Soit une matrice carrée MIR, n IN : Son polnôme caractéristique est un polnôme de degré n en la variable égal à dét M I n M est diagonalisable dans IR ssi il existe une matrice inversible C de IR telle que C - MC est diagonale Réponse question 4 b) On a M = 5 Recherche des valeurs propres de M Les valeurs propres de M sont les solutions de dét(m I ) dét ( )( ) ou M possède deux valeurs propres 4 et Recherche des vecteurs propres associés à la valeur propre Les vecteurs propres associés à la valeur propre 4 4 sont les vecteurs x x IR tels que 5 5 x x 4 x 4 x x M (M I) 5x x IR 5 5 x

7 x x L ensemble des solutions du sstème est IR : 5x x IR ou encore dont une base est 5 Recherche des vecteurs propres associés à la valeur propre Les vecteurs propres associés à la valeur propre sont les vecteurs x x : x IR 5 x IR tels que x x x x x M (M I) x IR x x x L ensemble des solutions du sstème est IR : x IR ou encore dont une base est : IR