Les équations de Saint-Venant

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1 Olivier THUAL, 2 avril 2008

2 Objectifs du cours Sciences de l Eau et Environnement Appréhender plusieurs domaines d application Hydraulique, hydrologie souterraine, hydrodynamique marine,... En maîtriser les conceptes de base Transport turbulent, charge hydraulique, propagation d ondes,... Plan du cours 1 Couches limites turbulentes 2 Hydraulique stationnaire 3 Intumescences et ressauts 4 Ondes de surface 5 Réfraction de la houle 6 Marées et seiches

3 Exemples de conséquences du réchauffement climatique Augmentation des crues Érosion accrue des côtes Manque de ressources en eau... etc.

4 Métiers de l environnement et mécanique des fluides Resources en eau Aménagements hydrauliques Énergies renouvelables Érosion côtière

5 Ondes de surface

6 Ondes de surface en faible profondeur

7 Modélisation des écoulements à surface libre à faible profondeur Exemples d écoulements en eaux peu profondes : Rivières et canaux, mascaret, marées, seiches, tsunamis et... dynamique horizontale des modes verticaux de l océan. Dérivation des équations de Saint-Venant : Développements asymptotiques en faible profondeur et paramétrisation du frottement. Ondes, caractéristiques et chocs : Ondes linéaires ou non linéaire, ondes de détente ou de compression, ressauts hydrauliques.

8 Écoulement d une rivière

9 Rivière en crue

10 Dérivation des équations de Saint-Venant 1D Équations de Navier-Stokes bidimensionnelles u x + w z u t + u u x + w u z w t + u w x + w w z = 0 = 1 p t ρ x + g sin γ + ν t u = 1 p t ρ z g cos γ + ν t w z z lim 0 γ g U h n x

11 Conditions aux limites Conditions aux limites à la surface z = h(x, t) cinématiques : h t + u h x = w dynamiques : σ t n = p atm n avec σ t = p t I + 2 ρ ν t d z z lim 0 γ g U h n x Modélisation au fond z = 0 w = 0 et e x σ t e z = τ

12 Adimensionnalisation des équations Choix d unités x = L 0 x +, z = h 0 z +, t = L 0 U 0 t +, u = U 0 u +, w = U 0 h 0 L 0 w + et p t = ρ g h 0 p + u + u+ + u+ t + u + x + + w + z + = 0 ( w ɛ 2 + w + + u+ t + x + + w + w + z + x + + w + u+ z + = 1 p + Fr 2 x + + tan γ ɛ Fr ɛ Rt + u + ) = 1 p + Fr 2 z + 1 Fr 2 + ɛ Rt + w + avec + = ɛ 2 2 x z +2 ɛ = h 0 L 0, Fr = U 0 g h 0, Rt = h 0 U 0 ν t et tan γ

13 Tableau des approximations

14 Propriétés communes Pour toutes ces approximations : p + z + = 1 avec p+ = p + atm pour z + = h + (x +, t + ). La pression turbulente est hydrostatique Autres conditions aux limites : p t (x, z, t) = p atm ρ g [z h(x, t)] h t + u h x = w et u z = 0 pour z = h w = 0 et ρ ν t u z = τ pour z = 0

15 Intégration sur la verticale Conservation de la masse u x + w z = 0 intégrée en z h 1 (h U) + = 0 avec U(x, t) = x t h(x, t) h(x,t) Conservation de la quantité de mouvement intégrée en z (U h) t z lim 0 γ g z + x U h h 0 n u 2 dz + g h h x = gh sin γ τ ρ x 0 Paramétrisations : h 0 u(x, z, t) dz u 2 dz = α U 2 h avec α = 1 τ = 1 2 C f (h, U) ρ U U

16 Forme finale de l approximation des faibles profondeurs Équations de Saint-Venant (I = sin γ, g = g cos γ) h t + U h x = h U x U t + U U x = g h x + g I C f 2 U U h z lim 0 γ z U h n Manning-Strickler C f (h) = 2 g K 2 s h 1/3 g x ( ) 1/3 ks = Φ MS h

17 Généralisation au cas 2D, forcé et en rotation Équations de Saint-Venant linéaires sur la sphère : U t + f e z U = grad (g η + V ) et η t + div (h f U) = 0 Notations : 0 e φ M a φ e z e λ Vitesse horizontale : U(λ, φ, t) Profondeur de la bathymétrie : h f (λ, φ) Elévation de la surface libre : η(λ, φ, t) Paramètre de Coriolis : f (φ) = 2 Ω sin φ λ Potentiel des marées : V l,n (φ) e i(2π λ l ωn t) V (λ, φ, t) = n l

18 Oscillations et seiches dans un port

19 Tsunamis

20 Usine marémotrice

21 Onde M2 de la marée

22 Points amphidromiques

23 Amphidromie de Kelvin

24 Ondes de Kelvin de bord

25 Dynamique de la thermocline inertie-gravité! Rossby k Rossbygravité Modes verticaux et shallow water equations La décomposition en modes verticaux des champs océaniques (température, salinité, courant) ramène les équations primitives à un nombre fini d équations de Saint-Venant couplées.

26 Ondes de surface linéaires en milieu peu profond Équations de Saint-Venant sans pente ni frottement h t + U h x = h U x et U t + U U x = g h x Équilibres (U n, h n ) quelconques Petites perturbations de l équilibre h = h n + h et U = U n + Ũ Équations de Saint-Venant linéarisées h t + U n h x = h n Ũ x et Ũ t + U n Ũ x = g h x ( h, Ũ) = ( h m, Ũm)e i k 1x+s t avec s = σ i ω CI

27 Comportement non dispersif en milieu peu profond Relation de dispersion et forme des ondes (σ = 0) ω ± = (U n ± c n ) k 1 et hm h n = ±Ũm c n avec c n = g h n Fluvial : F n = Un c n < 1 Torrentiel : F n = Un c n > 1 t U n c n U n + c n Un c t n U n + c n a) 0 h(x, t) x b) 0 h(x, t) x h(x, t) = 1 2 H + [x (U n + c n )t] H [x (U n c n )t] Ũ(x, t) = 1 2 Ũ+[x (U n + c n )t] Ũ [x (U n c n )t]

28 Cas des ondes non linéaires en milieu peu profond Équation de Saint-Venant 1D ± g h + h t + U h x + h U x U t + U U x + g h x = 0 = g I C f 2 U U h [ ( t + U ± ) ] ( g h U ± 2 g h) x = E(h, U) Caractéristiques C 1 : ẋ = λ 1 (x, t) ( ) t + λ 1 J 1 = N(J 1, J 2 ) x λ 1 = U + c et J 1 = U + 2 c Caractéristiques C 2 : ẋ = λ 2 (x, t) ( ) t + λ 2 J 2 = N(J 1, J 2 ) x λ 2 = U c et J 2 = U 2 c

29 Méthode des caractéristiques Caractéristiques C 1 : ẋ = λ 1 (x, t) ( ) d = dt C 1 t + λ 1(x, t) x 2 t Caractéristiques C 2 : ẋ = λ 2 (x, t) ( ) d = dt C 2 t + λ 2(x, t) x 1 x Fonction de Riemann J 1 ( ) dj1 = N(J 1, J 2 ) dt C 1 Fonction de Riemann J 2 ( ) dj2 = N(J 1, J 2 ) dt C 2 Invariants de Riemann si C f = 0 et I = 0 donc N = 0

30 Vidange ou remplissage d un bief Exemples d applications lorsqu il existe des invariants de Riemann 1) Onde de détente : h e (t) décroissante h 0 h e z 0 t f h f t h (t) e 0 U h x 2) Onde de compression : h e (t) croissante h e h f h 0 0 t f t h (t) e z 0 h U x

31 Onde de détente t f C 1 t h h f U C 2 OS U h 0 U h x h 0 0 x Région 0 : écoulement uniforme (h, U) = (h 0, 0) Région OS : onde de détente h(x, t) et U(x, t) variable Région f : écoulement uniforme (h, U) = (h f, U f )

32 Onde de compression t C C 1 2 f OS K CUSP 0 x 0 L t h U h f U h f h 0 0 x Région 0 : écoulement uniforme (h, U) = (h 0, 0) Région OS : onde de compression h(x, t) et U(x, t) variables Région CUSP : intérieur de la fronce Région f : écoulement uniforme (h, U) = (h f, U f )

33 Mascaret

34 Rupture de barrage

35 Ressaut hydraulique en canal

36 Rollwaves en canal incliné

37 Dérivation des relations de sauts Modèle de Saint-Venant sous forme intégrale = x2 d h dx + [hu] x 2 x dt 1 = 0 x 1 d x2 h U dx + [hu ] x2 dt g h 2 x 1 Bilans locaux t (hu) + x + Relations de sauts x 1 = x2 x 1 E(h, U) h dx t h + (h U) = 0 x ( h U 2 ) g x h2 = E(h, U) h [[h(u w)]] = 0 [h U(U w) + 12 g h 2 ] = 0

38 Ressauts à énergie positive! Relations de saut pour un ressaut hydraulique mobile h G (U G w) = h D (U D w) h G U G (U G w) g h 2 G = h D U D (U D w) g h 2 D z w h D h h G UD U G x c h G, h D et U D = 0 sont connus ( ) U G = w 1 h D hg ( ) w = ± g h G hg +h D h D 2 h G, h D et w = 0 sont connus ( ) U G = ± g h D hg +h D hg 2 ( ) U D = ± g h G hg +h D h D 2 x

39 Traduction du second principe à travers l énergie Bilan global de l énergie d x2 ( 1 dt 2 h U2 + 1 ) 2 g h 2 x 1 Bilan local t ( 1 2 h U g h 2 ) + x [ 1 dx + 2 g h 2 U x2 x 1 ] x2 x 1 = [E(h, U) h U D] dx ( ) 1 2 h U3 + g h 2 U = E(h, U) h U D Inégalité de saut [( 1 2 h U2 + 1 ) 2 g h 2 (U w) + 1 ] 2 g h 2 U = D 0 < 0 si h G (U G w) = h D (U D w) > 0

40 Transition torrentiel / fluvial Applications de l inégalité de saut pour l énergie Fr n > 1 (torrentiel) Fr n < 1 (fluvial) h G, h D et U D = 0 sont connus ( ) U G = w 1 h D hg ( ) w = g h G hg +h D h D 2 h G, h D et w = 0 sont connus ( ) U G = + g h D hg +h D hg 2 ( ) U D = + g h G hg +h D h D 2 z w h G h D z h G h D U D U G x c x U G x c x w < 0 U G > 0 et U D > 0

41 Modélisation de la rupture d un barrage

42 La rupture d un barrage en superproduction

43 Cours de l X : Sciences de l Eau et Environnement http ://thual.perso.enseeiht.fr/xsee Appréhender plusieurs domaines d application : Hydraulique, hydrologie souterraine, hydrodynamique marine,... En maîtriser les conceptes de base : Transport turbulent, charge hydraulique, propagation d ondes,... Plan du cours 1 Couches limites turbulentes 2 Hydraulique stationnaire 3 Intumescences et ressauts 4 Ondes de surface 5 Réfraction de la houle 6 Marées et seiches