Mathématiques. Enseignement Clément BOULONNE. Les Maths en Stage. Licence Creative Commons BY: $

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1 Enseignement [chapter] Mathématiques [chapter] Clément BOULONNE Les Maths en Stage Licence Creative Commons BY: $ \ C

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3 les maths en stage clément BOULONNE

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5 S O M M A I R E I Stage au collège Albert Debeyre (Loos, novembre 2010) 9 1 Quadrilatères particuliers (5ème) L activité TICE Annexes de l activité Problème ouvert : Plus court et plus long chemin (5ème) 23 3 Théorème de Pythagore (en 4ème) Exercices supplémentaires Correction des exercices supplémentaires II Stage au lycée Beaupré (Haubourdin, 2011) 31 4 Équations d un cercle (1 re S) Détermination de l équation cartésienne du cercle Etude de l équation x 2 + y 2 + ax + by + c = Exercices Correction Inéquations (2 nde ) Exercices Correction Étude des variations de suites (1 re S) Exercices Correction Liens-Inéquations Exercices Correction Problèmes ouverts pour les 2 nde Problèmes ouverts Solutions des problèmes ouverts Problèmes ouverts pour les Premières S Problèmes ouverts Solutions des problèmes ouverts pour les Premières S

6 III Stage au collège Voltaire (Wattignies, 2012) - Activités en 5 e 69 10Parallélogramme Introduction du parallélogramme À la découverte des propriétés du parallélogramme (TICE) Démontrer qu un quadrilatère est un parallélogramme Nombres relatifs (addition et soustraction) Additionner deux nombres relatifs Soustraire deux nombres relatifs Séance d approfondissement Quadrilatères particuliers Parallélogrammes particuliers I (TICE) Parallélogrammes particuliers II (TICE) Le losange Introduction du carré Le carré Statistiques Activités TICE : Statistiques Tutorial OpenOffice.org Calc Tableaux et graphiques II (TICE) Aires Aires Séances de soutien mai mai Évaluations DM n o 12 de Mathématiques Correction - DM n o 12 de Mathématiques DS n o 9 de Mathématiques Correction - DS n o 9 de Mathématiques Évaluation du professeur en 5 e IV Stage au collège Voltaire (Wattignies, 2012) - Activités en 3 e Fonctions linéaires Propriétés des fonctions linéaires Probabilités Introduction des probabilités Feuille d exercices : Des probabilités au brevet Arbres Fonctions affines Introduction des fonctions affines Image et antécédent d une fonction affine Représentation graphique d une fonction affiine I

7 19.4 Représentation graphique d une fonction affine II Proportionnalité des accroissements PGCD Division euclidienne, diviseurs À la découverte du PGCD Évaluations DM n o 13 de Mathématiques Brevet blanc février Énoncé Brevet blanc février Correction Brevet blanc avril Énoncé Brevet blanc avril Correction Annales du brevet 1997 : Énoncé Annales du brevet 1997 : Correction Évaluation du professeur en 3 e

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9 I Stage au collège Albert Debeyre (Loos, novembre 2010)

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11 D E S C R I P T I F D U S T A G E Mon premier stage de ma première année de Master Enseignement des Mathématiques s est déroulé au collège Albert Debeyre à Loos (59) sous la direction de Mme C. DESMETS. J ai dû prendre en charge une classe de cinquième pendant deux heures, une première activité s est passé en salle pupitre et avait pour thème «Les quadrilatères particuliers» et la seconde était un problème ouvert sur les graphes (recherche de plus court et plus long chemin) que les élèves ont apprécié et ont «dévoré» l activité en moins de 20 minutes. Je devais aussi rédiger des exercices supplémentaires pour une des deux classes de quatrième sur le théorème de Pythagore suite à un DS du même thème. Cette feuille a été distribuée pendant la correction du DS ; pour les élèves qui ont eu plus de 16 et ceux-ci devaient travailler en autonomie. A la fin de la correction du DS, j ai distribué la solution des exercices aux élèves concernés. 11

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13 1 S É A N C E Quadrilatères particuliers (5ème)

14 1 L activité TICE 1 0 Avant de commencer... Ouvrer votre session. Si ce n est pas déjà fait, créer un dossier Mathématiques dans «Mes documents». Ouvrer Geogebra pour l activité. Bien lire les fichiers de prérequis : «Parallélogramme et quadrilatères particuliers» et «Coordonnées d un point». Pour chaque activité, créer un nouveau fichier sur Geogebra. (Fichier -> Nouveau à chaque fois que vous finissez une activité). Tout ce qui est en italique est à faire sur Geogebra. Pour vous aider, vous pouvez faire apparaître le quadrillage dans le cadre de construction de figure (Affichage -> Grille). Si vous n avez pas terminé l activité à la fin de l heure, vous pouvez la terminer chez vous. Vous pouvez télécharger Geogebra à l adresse suivante : (Version Windows). 1 1 Un parallélogramme avec un angle droit Vous enregistrerez votre travail sous un fichier nommé QUADP_1_Nom_Prenom.ggb. 1) Construire les points : A(0; 0), B(0; 2), C(3; 2). 2) Que peut-on dire de l angle ÂBC? Faire apparaître la mesure de l angle ÂBC sur l écran. 3) Où faut-il placer le point D pour que ABCD soit un parallélogramme? Placer le point D sur votre figure. 4) Que peut-on dire des droites (AB) et (CD)? Le faire apparaître sur l écran de votre ordinateur. Quelle donnée de l énoncé permet de l affirmer? Justifier. 5) Que peut-on dire des angles du parallélogramme? Faire apparaître les mesures d angle sur l écran d ordinateur 6) En déduire la nature de ABCD. Justifier. 14 SÉANCE 1. QUADRILATÈRES PARTICULIERS (5ÈME)

15 7) Compléter la phrase : Si un parallélogramme a un angle droit 1 2 Diagonales d un parallélogramme de même longueur Vous enregistrerez votre travail sous un fichier nommé QUADP_2_Nom_Prenom.ggb. 1) Placer les points A(0; 0), B(0; 3), C(4; 3) et D(4; 0). Tracer le parallélogramme ABCD. 2) Tracer les segments [AC] et [BD] et vérifier qu ils ont la même longueur. 3) Placer le point O, centre du parallélogramme. 4) Construire le symétrique E du point A par rapport à B. Construire le point P, intersection des segments [BC] et [DE]. Que peut-on dire du point P d intersection des segments [BC] et [DE]? 5) En déduire la nature du quadrilatère BDCE. 6) Que peut-on dire sur la longueur des segments [DB] et [CE]? : [AC] et [DB]? : En déduire que AC = CE. 7) Montrer que C et B appartiennent à la médiatrice de la droite (AE). Que peut-on dire des droites (BC) et (AE)? 8) En se servant de ce qui a été fait à la première activité, en déduire la nature du quadrilatère ABCD. 9) Compléter la phrase : Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur Conclusion Activité 1 et L ACTIVITÉ TICE 15

16 1 3 Un parallélogramme avec deux côtés consécutifs de même longueur Vous enregistrerez votre travail sous un fichier nommé QUADP_3_Nom_Prenom.ggb. 1) Placer les points A(0; 0), B(5; 0), D(4; 3). 2) Placer le point C tel que ABCD soit un parallélogramme. 3) Montrer sur l écran que AB = DC et BC = AD. Justifier pourquoi on a ces égalités. 4) En déduire que AB = DC = BC = AD. 5) Quelle est la nature de ABCD? Justifier. 6) Compléter la phrase : Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur 1 4 Un parallélogramme avec ses diagonales perpendiculaires Vous enregistrerez votre travail sous un fichier nommé QUADP_4_Nom_Prenom.ggb. 1) Placer les points A(3; 0), B(6; 2), C(3; 4), D(0; 2). Tracer le parallélogramme ABCD. 2) Montrer sur l écran que les diagonales sont perpendiculaires. 3) Construire le point E symétrique de B par rapport à l axe (AC). Qu observe-t-on? Construire le point E symétrique de B par rapport à l axe (AC). Qu observe-t-on? Justifier. 4) Que peut-on dire du symétrique de [BA] par rapport à l axe (AC)? Comme la symétrie conserve les, BA = 5) En déduire la nature de ABCD. Justifier (on pourra, pour cela, utiliser le résultat de l activité n o 3) 6) Compléter la phrase : Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires Conclusion Activité 3 et 4 16 SÉANCE 1. QUADRILATÈRES PARTICULIERS (5ÈME)

17 2 Annexes de l activité 2 1 Coordonnées d un point Dans la figure suivante, on considère le repère cartésien. Le point A a pour abscisse 3 et pour ordonnée 2. Les coordonnées du point A sont (3, 2). On notera A = (3, 2). y A x Exercice 1.1. Placer, sur le repère cartésien, les points B = (1, 1), C = (2, 3), D = (4, 1), E = (5, 2). 2 2 Parallélogrammes particuliers Définition 1.2 Parallélogramme Un parallélogramme est un quadrilatère dont les cotés opposés sont parallèles deux à deux. Définition 1.3 Rectangle Un rectangle est un quadrilatère ayant quatre angles droits. Définition 1.4 Losange Un losange est un quadrilatère ayant quatre côtés égaux. Définition 1.5 Carré Un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et ses quatre côtés égaux. FIGURE 1.1 Le parallélogramme, le rectangle, le losange et le carré Remarque 1.6. Un carré est à la fois un rectangle et un losange. Propriétés 1.7 Propriétés du parallélogramme Un parallélogramme a 1. ses côtés opposés deux à deux égaux ; 2. sesa ngles opposés deux à deux égaux ; 3. ses diagonales se coupent en leur milieu ; Le rectangle, le losange et le carré sont des parallélogrammes particuliers ANNEXES DE L ACTIVITÉ 17

18 2 3 Tutorial Geogebra 1. Téléchargement du logiciel Geogebra Le logiciel Geogebra peut être téléchargé à l adresse suivante : (Version Windows) 2. Interface du logiciel Geogebra 3. Pour gagner du temps... Pour gagner du temps, il est vivement conseillé d utiliser le champ de saisie plutôt que les constructions géométriques à la souris. Pendant l activité en salle pupitre, il vous sera tout de même demandé une construction géométrique à la souris. 4. Placer un point Construction géométrique Icône : (Nouveau point - cadre 2) ; Déplacer le point sur le cadre «Graphique» ; Cliquer sur le point quand il est aux coordonnées voulues. Dans la fenêtre Algèbre, les points apparaissent en bleu ou en noir ou Dans le champ de saisie A = (0,0) pour placer le point A de coordonnées (0, 0). 5. Distance entre deux points Construction géométrique Icône : (Distance ou longueur - cadre 8) ; Cliquer sur les deux points dont vous voulez connaître la distance. Dans la fenêtre Algèbre, la distance apparaît en noir. 18 SÉANCE 1. QUADRILATÈRES PARTICULIERS (5ÈME)

19 ou Dans le champ de saisie Distance[A,B] si A et B sont deux points définis sur la figure. 6. Redéfinir un objet (point, droite, segment...) Construction géométrique Clic droit sur l objet à renommer -> Renommer. Donner un nouveau nom à l objet (nom différent de tous les objets définis dans la figure Geogebra). ou Dans le champ de saisie Pas d action! 7. Construire le symétrique d un point par rapport à un autre Construction géométrique Icône : (Symétrie centrale - cadre 9) ; Sélectionner d abord l objet dont vous voulez créer le symétrie. Ensuite cliquez sur le point qui sera le centre de cette symétrie. Dans la fenêtre Algèbre, le point symétrique apparaîtra en noir. ou Dans le champ de saisie Symétrie[A,B] construit le symétrique du point A par rapport au point B si A et B sont des points définis sur Geogebra. 8. Construire un segment Construction géométrique Icône : (Segment entre deux points - cadre 3) ; Cliquer sur les deux points dans la fenêtre Algèbre qui constitue le segment. Dans la fenêtre Algèbre, les segments apparaissent en noir. ou Dans le champ de saisie Segment[A,B] si A et B sont des points définis sur Geogebra. 9. Milieu d un segment Construction géométrique Icône : (Milieu ou centre - cadre 2) ; Cliquer sur le segment dont vous voulez construire le centre. Dans la fenêtre Algèbre, les coordonnées du milieu du segment apparaît en noir. ou 1.2. ANNEXES DE L ACTIVITÉ 19

20 Dans le champ de saisie Centre[s] si s est un segment défini sur Geogebra. 10. Construire une médiatrice Construction géométrique Icône : (Médiatrice - cadre 4) ; Cliquer sur les deux points (ou le segment) dont vous voulez construire sa médiatrice. Dans la fenêtre Algèbre, l équation de la droite médiatrice apparaît en noir. ou Dans le champ de saisie Médiatrice[A,B] construit la médiatrice du segment passant par A et B (si A et B sont deux points définis sur Geogebra). 11. Construire une droite Construction géométrique Icône : (Droite passant par deux points - cadre 3) ; Cliquer sur les points dans la fenêtre Algèbre qui constitue la droite. Dans la fenêtre Algèbre, l équation de la droite apparaît en noir. ou Dans le champ de saisie Droite[A,B] si A et B sont des points définis sur Geogebra. 12. Construire une droite parallèle à une autre Construction géométrique Icône : (Droite parallèle - cadre 3) ; Sélectionner une droite d, Sélectionner un point A, Geogebra vous donne la droite passant par A et parallèle à d. ou Dans le champ de saisie Droite[A,d] pour construire la droite passant par A et parallèle à d (si d est une droite et A un point). 13. Intersection entre deux objets Construction géométrique Icône : (Intersection entre deux objets - cadre 2) ; Cliquer sur les deux objets (dans la fenêtre Algèbre ou la fenêtre Graphique) dont vous cherchez l intersection. ou 20 SÉANCE 1. QUADRILATÈRES PARTICULIERS (5ÈME)

21 Dans le champ de saisie Par exemple, Intersection[d,e] si d et e sont des droites définies sur Geogebra. 14. Construire un angle Construction géométrique Icône : (Angle - cadre 8) ; Soient A, B et C trois points définis sur Geogebra. Si on veut tracer l angle ÂBC, on clique d abord sur le point A, ensuite sur le point B et enfin sur le point C. Attention! Les angles sont crées dans le sens contraire des aiguilles d une montre. Si vous trouvez un angle supérieur à 180, supprimez l angle (clic droit -> Supprimer) et le reconstruire en cliquant sur les points dans l ordre inverse de la première tentative. Dans la fenêtre Algèbre, la valeur de l angle apparaît en vert. ou Dans le champ de saisie Angle[A,B,C] sur Geogebra. 15. Construire un quadrilatère Construction géométrique pour tracer l angle ÂBC si A, B et C sont trois points définis Icône : (Polygone - cadre 5) ; Cliquer dans l ordre sur les points dont vous voulez construire le polygone. (si, par exemple, vous voulez construire un quadrilatère, cliquer sur les quatre points qui constituent le quadrilatère). Pour refermer le polygone, cliquer sur le premier point qui forme la figure. Dans la fenêtre Algèbre, l aire du polygone est affichée en orange foncé. ou Dans le champ de saisie Polygone[A,B,C,D] pour tracer le quadrilatère ABCD si A, B et C et D sont quatre points définis sur Geogebra ANNEXES DE L ACTIVITÉ 21

22 22 SÉANCE 1. QUADRILATÈRES PARTICULIERS (5ÈME)

23 2 Problème ouvert : Plus court et plus long chemin (5ème) S É A N C E

24 Activité A. Plus court et plus long chemin (5ème) Les villes A, B, C, D, E, F, G et H sont reliées par des routes représentées par des flèches. La longueur (en kilomètres) de la route est représentée par le nombre qui borde la flèche. Vous habitez à la ville A et vous devez vous rendre à votre collège dans la ville H. 1. Vous avez vraiment envie d aller en cours. Quel est le chemin le plus court pour vous rendre de votre maison au collège? 2. Aujourd hui, vous ne voulez pas aller en cours mais vous y êtes obligé. Quel est le chemin le plus long pour vous rendre de votre maison au collège? 3. Vous prenez votre vélo et vous roulez constamment à 20 km/h. Quel est le temps de trajet du plus court chemin. Et du plus long chemin? A B C D E F G H FIGURE 2.1 Le réseau routier reliant les villes A, B, C, D, E, F, G, H 24 SÉANCE 2. PROBLÈME OUVERT : PLUS COURT ET PLUS LONG CHEMIN (5ÈME)

25 3 S É A N C E Théorème de Pythagore (en 4ème)

26 Exercices supplémentaires Indications : L utilisation de la calculatrice est autorisée. Utilisez une copie de DS (copie double) pour faire les exercices supplémentaires. 1 Un petit échauffement Sur la figure, on donne AB = 6cm et BH = 3cm. Le segment [AH] est la hauteur relative à l hypoténuse [BC]. A B H C 1. Calculer la longueur AH et donner une valeur approchée au dixième. 2. Sachant que H est le triple de BH, calculer la longueur BC. 3. Calculer une valeur approchée au dixième de la longueur AC. 4. Calculer une valeur approchée au dixième de l aire du triangle ABC. 5. Reproduire la figure en vraie grandeur. On appelera O le milieu du segment [BC] et A le symétrique de A par rapport au point O. 6. On admettra que A, B et C appartiennent au cercle de centre O et de rayon [OB]. Calculer OH. 7. Quelle est la nature du quadrilatère ABA C? Justifier la réponse. (Indications : montrer que le quadrilatère ABA C a trois angles droits). 2 Symétries et théorème de Pythagore 1. Construire un triangle ABO rectangle en O tel que AB = 5cm et AO = 4cm. 2. Calculer BO. 3. Soit C le symétrique du point A par rapport à O et P le symétrique de O par rapport à l axe (BC). Montrer que P BC est un triangle rectangle en P. 3 Pour les plus rapides d entre vous La figure représente un triangle qu on a découpé en quatre morceaux. Les morceaux sont placés d une nouvelle façon dans le triangle initial. Et... Oh! Surprise! Il manque maintenant un carré pour en occuper totalement la surface. Est-ce que vous seriez expliquer pourquoi? (Indications : Utiliser le Triangle orange : 8 de longueur, 3 de hauteur, Triangle violet : 5 de longueur, 2 de hauteur. ) 26 SÉANCE 3. THÉORÈME DE PYTHAGORE (EN 4ÈME)

27 Correction des exercices supplémentaires 1 1. Comme (AH) est la hauteur relative à l hypoténuse [BC], (AH) est perpendiculaire à (BC) et comme H appartient à (BC), (BH) correspond à la droite (BC). D où (AH) est perpendiculaire à (BH) donc AHB est rectangle en H. Si le triangle ABH est un triangle rectangle en H alors d après le théorème de Pythagore : Donc : AH 5, 2 cm. AB 2 = BH 2 + AH 2 AH 2 = AB 2 BH 2 AH 2 = = 36 9 = 27 AH = 27 = 3 3 5, 2 2. On traduit mathématiquement la phrase «HC est le triple de BH» par «HC = 3HB». Or, BC = HC+HB et HB = 3cm. Donc : BC = 12 cm. BC = HC + HB = 3HB + HB = 4HB = 4 3 = 12cm. 3. D après la figure 1 de la feuille d énoncé, le triangle ABC est rectangle en A. Si le triangle ABC est rectangle en A, alors d après le théorème de Pythagore : Donc : AC = 10, 4 cm. 4. L aire du triangle ABC est : BC 2 = AB 2 + AC 2 AC 2 = BC 2 AB 2 = = 108 AC = , 4 cm. Aire ABC = b h 2 = AB AC 2 = , 4 = 3 10, 4 = 31, 2cm2. 5. L aire du triangle ABC est 31, 2 cm 2. A B H O C A 3.2. CORRECTION DES EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES 27

28 6. On admet que A, B et C appartiennent au cercle de centre O et de rayon [OB]. On a donc : OA = OB = OC = 6 cm. Si le triangle OHA est rectangle en H alors, d après le théorème de Pythagore : Donc : OH = 3 cm. OA 2 = OH 2 + AH 2 AH 2 = OA 2 OH 2 = = = 9 AH = 9 = 3 cm. 7. On veut montrer que ABA C est un quadrilatère avec trois angles droits. On sait que BAC = 90. La symétrie centrale préserve les mesures d angles. A est le symétrique de A par rapport à O, B est le symétrique de C par rapport à O et C est le symétrique de B par rapport à O. Donc : BAC = ĈA B = 90. On montre maintenant que le triangle ABA est un triangle rectangle. Avant cela, on calcule la longueur AA. Comme A est le symétrique de A par rapport à O, O est le milieu de [AA ]. Donc : AA = 2OA = 2 6 = 12 cm. On a besoin aussi de la longueur de BA. Comme B est le symétrique de C par rapport à O, A est le symétrique de A par rapport à O et la symétrie centrale préserve les longueurs, alors AC = BA = 108 cm. On a : AA = 12 cm ; AB = 6 cm ; BA = 108 cm. Donc : AA 2 = 12 2 = 144, AB 2 + BA 2 = ( 108) 2 = = 144. D où AA 2 = AB 2 +BA 2. D après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABA est rectangle en A et donc ÂBA = 90. On a alors : ÂBA = ĈA B = ĈAB = 90. D où le quadrilatère ABA C a trois angles droits, c est donc un rectangle B A O 2. Si le triangle OAB est rectangle en O alors d après le théorème de Pythagore : AB 2 = OA 2 + OB 2 OB 2 = AB 2 OA 2 = = = 9 OB = 9 = 3 cm. Donc : OB = 3 cm. 3. Il y a deux méthodes pour montrer que P BC est un triangle rectangle. 28 SÉANCE 3. THÉORÈME DE PYTHAGORE (EN 4ÈME)

29 P B A O C Première méthode B est le symétrique de B par rapport à l axe (BC) (car B appartient à [BC]). P est le symétrique de O par rapport à l axe (BC). C est le symétrique de C par rapport à l axe (BC) car C appartient à (BC). Donc : (P C) est le symétrique de (OC) par rapport à (BC) et (P B) est le symétrique de (OB) par rapport à (BC). L angle BOC est le symétrique de BP C par rapport à (BC). Comme la symétrie centrale conserve les mesures d angles, BOC = BP C = 90 car (OB) est perpendiculaire à (AC). D où BP C est un triangle rectangle en P. Seconde méthode On calcule les longueurs BC, P C et P B. O est le milieu de [AC] donc OA = OC. Si le triangle OAC est un triangle rectangle en O alors d après le théorème de Pythagore : BC 2 = OA 2 + OB 2 = = = 25 BC = 25 = 5 cm. (P C) est le symétrique de (OC) par rapport à (BC) et (P B) est le symétrique de (OB) par rapport à (BC). Comme la symétrie centrale conserve les longueurs, P C = OC = 4 cm et P B = OB = 3 cm. On a : BC 2 = 5 2 = 25. P B 2 + P C 2 = = = 25. On a bien : P B 2 + P C 2 = BC 2. Donc, d après la réciproque du théorème de Pythagore, P BC est un triangle rectangle en P. 3 Quand on déplace les pièces, l aire du triangle ne devrait pas augmenter ou diminuer. Mais est-ce vraiment un triangle qui est dessiné sur la figure? En réalité, non! En effet, la pente du petit triangle rectangle violet (celui qui a 2 cases de hauteur et 5 de largueur)est 2 = 0, 4 alors que celle du petit triangle orangé est de 3 = 0, 375 ; les deux 5 8 hypoténuses ne s alignent pas l une avec l autre. Dans le premier dessin, le «pseudo-triangle» est légèrement creusé, alors que le second «pseudo-triangle» est légèrement gonflé (ce qui explique qu on puisse y loger un carré blanc de plus) CORRECTION DES EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES 29

30 30 SÉANCE 3. THÉORÈME DE PYTHAGORE (EN 4ÈME)

31 II Stage au lycée Beaupré (Haubourdin, 2011)

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33 D E S C R I P T I F D E S T A G E Mon second stage de ma première année de Master Enseignement des Mathématiques s est déroulé au Lycée Beaupré à Haubourdin (59) sous la direction de M. G. GUILON. Les stages se sont essentiellement déroulés les lundis, je n ai pu observé que deux de ses classes, une Seconde et une Première S. Le travail qui était demandé pendant ce stage était, à partir des préparations du maître de stage, préparer la séance de cours avec anticipation des demandes des élèves et préparation des questions à poser pour faire avancer le cours. Le but de ces préparations était de rendre le cours plus vivant au niveau de l élève car faire participer un élève est primordial pour le faire progresser dans ses acquis. Pour mon mémoire de stage, je me suis mis à la recherche de quelques énigmes pour les lycéens. Données sous forme de devoir non surveillé (non noté!), il était d une difficulté moyenne. Globalement, les élèves ont bien répondu à la question même si j attendais un peu plus de travail de la part d autres élèves. Le maître de stage a aussi organisé une séance de problèmes ouverts pendant son heure de cours. J ai pu ainsi comparer les différentes mises en œuvre des séances de problèmes ouverts vu au premier (graphes en cinquième) et au second stage (problème d optimisation, remplissage de récipients et aire de triangles inchangée) 33

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35 4 S É A N C E Équations d un cercle (1 re S)

36 1 Détermination de l équation cartésienne du cercle Activité A. Soit (O, #» ı, #» j ) un repère orthonormé. Soit (C) le cercle de centre Ω = (a, b) et de rayon R > 0. On cherche à déterminer l équation cartésienne du cercle C. On se donne un point M de coordonnées (x, y) et on rappelle que la distance ΩM est donnée par la formule suivante : Ainsi ΩM = En utilisant la formule (4.1), on obtient : (x a) 2 + (y b) 2. (4.1) M(x, y) (C) ΩM = R ΩM 2 = R 2. y (x a) 2 + (y b) 2 = R 2. M(x, y) Ω(a, b) j O ı x Propriété 4.1 Dans un repère orthonormé (O, #» ı, #» j ), une équation du cercle de centre Ω(a, b) et de rayon R (R > 0) est (x a) 2 + (y b) 2 = R 2. Exemple 4.2. Soit (C) le cercle de centre Ω(2, 3) passant par A(1, 1). On cherche son équation cartésienne. y Ω(2, 3) 2 1 j A(1, 1) O ı x 36 SÉANCE 4. ÉQUATIONS D UN CERCLE (1 RE S)

37 Méthode 1 On calcule tout d abord le rayon du cercle C grâce à la formule (4.1) : ΩA = (1 2) 2 + (1 3) 2 = ( 1) 2 + ( 2) 2 = = 5 donc le rayon R = 5. Ainsi, d après la propriété 4.1, (C) a pour équation : (x 2) 2 + (y 3) 2 = 5. (4.2) Méthode 2 On a l équation cartésienne du cercle (C) et on considère que la valeur R est inconnue : (x 2) 2 + (y 3) 2 = R 2. Comme A (C) A (C) ΩA = R ΩA 2 = R 2 (1 2) 2 + (1 3) 2 = R 2 5 = R 2. Ainsi, on obtient l équation (4.2). On peut développer l équation (4.2) : (x 2) 2 + (y 3) 2 = 5 x 2 4x y 2 6y + 9 = 5 x 2 + y 2 4x 6y + 8 = 0. Remarque 4.3. Si (C) est un cercle alors (C) admet une équation du type x 2 +y 2 +ax+by+c = 0. 2 Etude de l équation x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 Activité B. Est-ce que les équations suivantes sont des équations cartésiennes de cercle? 1. x 2 + y 2 + 2x 4y = 0 2. x 2 + y 2 + 6x + 12y + 47 = 0 3. x 2 + y 2 + 6x 4y + 13 = 0 Pour traiter les questions, il faut réduire les équations proposées en des équations de la forme : (x α) 2 + (y β) 2 = γ x 2 + y 2 2x 4y = 0 x 2 + 2x + y 2 4y = 0 x 2 2x y 2 4y = 0 (x + 1) (y 2) 2 4 = 0 (x + 1) 2 + (y 2) 2 = 5. Cette équation correspond à une équation d un cercle car 5 > 0, ce cercle a pour centre Ω( 1, 2) et rayon 5. x 2 + y 2 + 6x + 12y + 47 = 0 x 2 + 6x + y y + 47 = 0 x 2 + 6x y y = 0 (x + 3) (y + 6) = 0 (x + 3) 2 + (y + 6) 2 = 2 Il n y a aucun couple solution de l équation car la somme de deux carrés est toujours positive. Ce n est donc pas une équation cartésienne d un cercle ETUDE DE L ÉQUATION X 2 + Y 2 + AX + BY + C = 0 37

38 3. x 2 + y 2 + 6x 4y + 13 = 0 x 2 + 6x + y 2 4y + 13 = 0 (x + 3) (y 2) = 0 (x + 3) 2 + (y 2) 2 = 0 Le couple ( 3, 2) est l unique solution de l équation donc ce n est pas une équation cartésienne d un cercle. Remarque 4.4. Toute équation du type x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 n est pas forcément l équation d un cercle. Une équation du type x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 peut toujours se mettre sous la forme Propriété 4.5 (x α) 2 + (y β) 2 = γ. (4.3) Si γ > 0, l équation (4.3) est l équation cartésienne d un cercle de centre Ω(α, β) et de rayon γ. 3 Exercices Exercices d applications 1 Soit (O, #» ı, #» j ) un repère orthonormé. Déterminer une équation du cercle (Γ) répondant aux conditions suivantes. 1. (Γ) a pour centre A(2, 2) et pour rayon (Γ) a pour centre A(0, 2) et pour rayon 2OA. 2 Les équations suivantes sont-elles celles d un cercle? Si oui, précisez le centre et le rayon du cercle. 1. x 2 + y 2 2x + 3y = 0 2. x 2 + y 2 3x 3y + 2 = 0 3. x 2 + y 2 + x + y + 2 = 0 4. x 2 + y 2 5x + y + 4 = 0 5. x 2 + y 2 + 3x + 2y 3 = 0 3 Étudier l intersection de la droite (D) et du cercle (C) admettant pour équation : (D) : x + y 2 = 0 1. (C) : x 2 + y 2 6x 4y + 8 = 0 (D) : x y = 0 2. (C) : x 2 + y 2 6x + 2y + 5 = 0 4 Tracer un triangle ABC. Déterminer et construire : (E 1 ) = { M P, #» MA ( #» MB + #» MC) = 0 }. 38 SÉANCE 4. ÉQUATIONS D UN CERCLE (1 RE S)

39 Correction 1 1. y 5 4 L équation cartésienne du cercle (Γ) est 3 R = 2 2 (x 2) 2 + (y 2) 2 = (2 2) A(2, 2) ou (x 2) 2 + (y 2) 2 = 8 j O ı x 2. y 1 j 2 1 O ı 1 2 R = 2OA 1 A(0, 2) x Dans un repère cartésien, l origine O a pour coordonnées (0, 0). On calcule numériquement le rayon du cercle (Γ) : 2OA = 2 (0 0) 2 + (0 + 2) 2 = 2 4 = 2 2 = 4. D où (Γ) est le cercle d équation cartésienne ou (x 0) 2 + (y + 2) 2 = 4 2 x 2 + (y + 2) 2 = x 2 + y 2 2x + 3y = 0 x 2 2x + y 2 + 3y = 0 (x 1) ( y + 3 2) = 0 (x 1)2 + C est l équation cartésienne du cercle de centre Ω(1, 3 2 ) et de rayon R = 13 4 = x 2 + y 2 3x 3y + 2 = 0 x 2 3x + y 2 3y + 2 = 0 ( x 3 ) 2 9 ( y 3 2 ) = 0 ( x 3 2) 2 + C est l équation cartésienne du cercle de centre Ω( 3 2, 3 2 ) et de rayon R = 10 4 = x 2 + y 2 + x + y + 2 = 0 x 2 + x + y 2 + y + 2 = 0 ( x + 1 ) 2 1 ( y ) = 0 ( x + 2) 1 2 ( + y + 1 ) 2 = ( y + 3 ) 2 = ( y 3 ) 2 = CORRECTION 39

40 4. Ce n est pas l équation cartésienne d un cercle car 3 2 < 0. x 2 + y 2 5x + y + 4 = 0 x 2 5x + y 2 + y + 4 = 0 ( x 5 ) 2 25 (y ) = 0 ( x 2) 5 2 ( + y = 2) C est l équation cartésienne du cercle de centre Ω( 5 2, 1 2 ) et R = x 2 + y 2 + 3x + 2y 3 = 0 x 2 + 3x + y 2 + 2y 3 = 0 ( x + 2) ( 4 + (y + 1)2 1 3 = 0 x + 3 ) 2 + (y + 1) 2 = C est l équation du cercle de centre Ω( 3 2, 1) et R = Géométrique On se donne (O, #» ı, #» j ) un repère orthonormé. On cherche deux points de la droite (D) : y Ω(3, 2) 1 R = 5 j 1 O ı x 1 Pour x = 0, y 2 = 0 y = 2 donc (0, 2) (D). Pour x = 1, y 1 = 0 y = 1 donc (1, 1) (D). On cherche ensuite le centre et le rayon du cercle (C) : x 2 + y 2 6x 4y + 8 = 0 x 2 6x + y 2 4y + 8 = 0 (x 3) (y 2) = 0 (x 3) 2 + (y 2) 2 = 5. Le cercle (C) a donc pour centre Ω(3, 2) et R = 5. On remarque sur la figure qu il y a deux points d intersection. Analytique Pour trouver les coordonnées des points d intersection de (C) et (D), on résout le système d équations suivant : x + y 2 = 0 x 2 + y 2 6x 4y + 8 = 0 y = x + 2 (x 3) 2 + (y 2) 2 = 5 y = x + 2 x 2 6x ( x) 2 = 5 y = x + 2 2x 2 6x + 4 = 0 On résout l équation 2x 2 6x + 4. Son discriminant est = = = 4 et ainsi on obtient les racines : x 1 = 6 2 = = 1 et x 2 = = = SÉANCE 4. ÉQUATIONS D UN CERCLE (1 RE S)

41 On a donc y = x + 2 2x 2 6x + 4 = 0 y = = 0 x = 2 et y = = 1 x = 1 Conclusion : les coordonnées des points d intersection de la droite (D) et le cercle (C) sont (2, 0) et (1, 1). 2. Géométrique On se donne (O, #» ı, #» j ) un repère orthonormé. On cherche deux points de la droite (D) : y j 1 O ı R = 5 Ω(3, 1) 1 x 2 3 Pour x = 0, y 0 = 0 y = 0 donc (0, 0) (D). Pour x = 1, y 1 = 0 y = 1 donc (1, 1) (D). On cherche ensuite le centre et le rayon du cercle (C) : x 2 + y 2 6x + 2y + 5 = 0 (x 3) (y + 1) = 0 (x 3) 2 + (y + 1) 2 = 5 Le cercle (C) a donc pour centre Ω(3, 1) et R = 5. On remarque sur la figure qu il n y a pas de point d intersection entre (C) et (D). Analytique On va montrer qu il n y a pas de point d intersection entre (C) et (D) analytiquement. On résout le système d équation suivant x y = 0 x 2 + y 2 6x + 2y + 5 = 0 x = y 2x 2 4x + 5 = 0 On résout l équation 2x 2 4x + 5. Son discriminant est = = < 0 L équation n admet pas de solution réelle. Conclusion : Il n y a pas de point d intersection entre le cercle (C) et la droite (D). 4 On utilise la propriété suivante : Propriété 4.6 Soient A, B P et (C) un cercle de diamètre [AB]. M appartient à (C) si et seulement si MA #» MB #» = 0. Ce qui nous embête dans le produit scalaire suivant : #» MA ( MB #» + MC) #» = 0, (4.4) c est le somme vectoriel MB #» + MC. #» On introduit I le barycentre de (B, 1), (C, 1) (c est-à-dire I est le milieu de [BC] ou encore IB #» + IC #» = II #» = #» 0.). Ainsi : #» MB + MC #» = MI #» 4.4. CORRECTION 41

42 et l équation (4.4) devient : (E 1 ) est donc l ensemble suivant : #» MA + MI #» = 0. (E 1 ) = { M P, #» MA #» MI = 0 }, (E 1 ) est donc, d après la propriété précédente, le cercle de diamètre [AI] où I est le milieu de [BC]. Une figure pour finir l exercice. (E 1 ) A B I C 42 SÉANCE 4. ÉQUATIONS D UN CERCLE (1 RE S)

43 5 S É A N C E Inéquations (2 nde )

44 Exercices 1 Résoudre : 1. (2x + 5)(x + 3) 2 < 0 2. (2x + 5)(x + 3) (x 3)(5 + 2x) (x 3)(x 6) 4. (2x + 8) 2 (x 2) 2 5. (2x 4)(x 1) < 4 2 On donne la hauteur d un projectile en fonction du temps : h(t) = 5t t 1. A quel instant le projectile retombe-t-il au sol? 2. Tracer (C h ) à la calculatrice sur [0, 20] 3. Déterminer graphiquement la période pendant laquelle l altitude du projectile est 320 m. 4. a. Vérifier que h(t) 320 = 5(t 16)(t 4) b. Répondre à la question 3 par le calcul. Correction 1 1. On développe l expression : (2x + 5)(x + 3) 2 = (2x + 5)(x + 3)(x + 3). Pour trouver le signe du produit, on fait un tableau de signe. On remarque que : 2x + 5 = 0 x = 5 2, x + 3 = 0 x = 3. Ainsi, on peut construire le tableau de signe suivant : x 2x + 5 x + 3 x + 3 (2x + 5)(x + 3)(x + 3) d où (2x + 5)(x + 3) 2 < 0 x ], 3[ ] 3, 5 2 [. 2. On reprend le tableau de signe de la question 1 et on remarque que : (2x + 5)(x + 3) 2 0 x { 3} ] 5 2, + [. 3. Soit (x 3)(5 + 2x) (x 3)(x 6), on se ramène à une équation du type A(x) 0. Pour cela, on transpose le membre de droite de l inégalité : (x 3)(5 + 2x) (x 3)(x 6) (x 3)(5 + 2x) (x 3)(x 6) 0. On peut factoriser le membre de gauche par (x 3) : (x 3)(5 + 2x x + 6) 0 (x 3)(11 + x) SÉANCE 5. INÉQUATIONS (2 NDE )

45 On veut maintenant construire la tableau de signe : d où : (x 3) = 0 x = 3 et x + 11 = 0 x = 11, x x 3 x + 11 (x 3)(x + 11) Ainsi : (x 3)(5 + 2x) (x 3)(x 6) (x 3)(x + 11) 0 x [ 11, 3]. 4. Soit (2x + 8) 2 (x 2) 2 et on essaie de se ramener à une équation du type A(x) 0. Pour cela, on transpose le membre de droite de l inégalité : (2x + 8) 2 (x 2) 2 0. On remarque l identité remarquable A 2 B 2 = (A B)(A + B), d où : (2x + 8) 2 (x 2) 2 0 (2x x 2)(2x + 8 x + 2) 0 (3x + 6)(x + 10) 0. On fait un tableau de signe : 3x + 6 = 0 x = 6 3 x = 2 et x + 10 = 0 x = 10. d où : x 3x + 6 x + 10 (3x + 6)(x + 10) Ainsi : (2x + 8) 2 (x 2) 2 (x 3)(x + 11) 0 x [ 10, 2]. 5. On transpose le membre de droite de l inégalité : (2x 4)(x 1) < 4 (2x 4)(x 1) 4 < 0. Ce n est pas un produit de termes, ni une identité remarquable donc il faut développer le membre de gauche de l inégalité : (2x 4)(x 1) 4 < 0 2x 2 2x 4x < 0 2x 2 6x < 0. x est facteur commun dans le membre de gauche donc on peut factoriser : On peut donc construire un tableau de signe : d où : 2x 2 6x < 0 x(2x 6) < 0. x = 0 et 2x 6 = 0 x = 6 2 = 3, 5.2. CORRECTION 45

46 x x 2x 6 x(2x 6) Ainsi : (2x 4)(x 1) < 4 x(2x 6) < 0 x ]0, 3[ Le projectile retombe sur le sol si h(t) = 0. Il faut donc résoudre l équation h(t) = 0 : h(t) = 0 5t t = 0 t( 5t + 100) = 0 t = 0 et 5t = 0 5t = 100 t = 20. Le projectile retombe sur le sol à t = 20 (et non à t = 0 car c est le moment où on a lancé le projectile). 2. Avant de tracer la courbe représentative (C h ) de h, on va décider des valeurs de Ymin et Ymax. Pour cela, on va faire un tableau de valeurs de la fonction h. t h(t) Ainsi, on peut prendre Ymin = 0 et Ymax = 500. On trace ensuite la fonction sur la calculatrice. [f(x)] \Y_1 = -5X^2+100Xw [fenetre] Xmin=0 Xmax=20 Xgrad=1 Ymin=0 Ymax=500 Ygrad=50 [graphe] 3. Pour déterminer la période pendant laquelle le projectile est à plus de 320 mètres d hauteur, on trace la courbe représentative de la fonction g(x) = 320 et on regarde quand est-ce que (C h ) est au-dessus de (C g ). Sur la calculatrice, [f(x)] \Y_2= 320 [graphe] [2nde]+[trace] 5:intersect Déplacer les points à gauche vers x=4 et regarder le point d intersection [2nde]+[trace] 5:intersect Déplacer les points à droite vers x=16 et regarder le point d intersection 46 SÉANCE 5. INÉQUATIONS (2 NDE )

47 Graphiquement, (C g ) est au dessus de (C h ) quand 4 t Le but étant maintenant de le démontrer analytiquement. a. On remarque que : 5(t 4)(t 16) = ( 5t + 20)(t 16) = 5t t + 20t 320 = 5t t 320 = h(t) 320. b. On résout donc h(t) 320 grâce à la question 4(a) : h(t) 320 h(t) (t 4)(t 16) 0. On fait un tableau de signes : t 4 = 0 t = 4 et t 16 = 0 t = 16, d où t t 4 t 16 5(t 4)(t 16) Ainsi : h(t) 320 5(t 4)(t 16) 0 t [4, 16]. Le projectile atteint une altitude supérieure à 320 mètres entre l instant t = 4 et l instant t = CORRECTION 47

48 48 SÉANCE 5. INÉQUATIONS (2 NDE )

49 6 S É A N C E Étude des variations de suites (1 re S)

50 Exercices Sens de variations de suites numériques Rappel de cours. Pour déterminer le sens de variation d une suite : Regarder le signe de u n+1 u n Si pour tout n > 0 alors on peut comparer u n+1 u n à 1 (en cherchant éventuellement le signe de la différence si nécessaire) ; Si u n = f(n), on étudie les variations de f et on regarde si elle est monotone sur un intervalle du type [n 0, + [ 1 Déterminer le sens de variation des suites numériques suivantes : w 0 = 1 1. w n+1 = w n (1 w n ) 2. u n = 3 n n Soit u n = 3n 2. Déterminer le sens de variation de n+1 la suite (u n ). 3 Déterminer le sens de variation des suites numériques suivantes : 1. u n = 8 3 n+1 2. u n = 3n (n + 1) (Indication : il faudra chercher u n+1 u n 1). En plus : suite arithmétique Vu en cours. La définition d une suite arithmétique (par la définition récurrente) et les formules donnant u n en fonction de u 0, u 1 et u p ont été vues mais pas encore appliquées. 4 Préciser si la suite (u n ) est arithmétique : 1. u n = 2n + 3, 2. u n+1 = 2 + u n, 3. u n = n 2 n. Correction 1 1. On calcule les trois premiers termes de la suite : w 0 = 1, w 1 = 1(1 1) = 0, w 2 = 0(1 0) = 0. A partir du rang 1, la suite est constante égale à 0. On peut le justifier par le fait que : w n+1 w n = w 2 n. Cette formule, étant valable pour tout n N, et w 1 = 0, on a ainsi que la suite (u n ) est constante égale à On calcule les trois premiers termes de la suite : u 0 = = 2, u 1 = = 3, u 2 = = 8. On peut conjecturer que la suite est croissante. On le montre par la méthode des différences : u n+1 u n = 3 n+1 (n + 1) + 1 (3 n n + 1) = 3 n 2 n + n 1 = 2 3 n 1 > 0. car 2 3 n > 1 pour tout n N. 2 Soit u n = 3n 2. On calcule les trois premiers termes de la suite : n+1 On conjecture que la suite est croissante. u 0 = 2 1 = 2, u 1 = 1 2, u 2 = SÉANCE 6. ÉTUDE DES VARIATIONS DE SUITES (1 RE S)

51 On pose la fonction f : x f(x) = 3x 2 x+1 et ainsi u n = f(n). On va étudier le sens de variation de f sur [0, + [ et, pour cela, on calcule f : f (x) = 3(x + 1) 1(3x 2) (x + 1) 2 = 3x + 3 3x 2 (x + 1) 2 = 1 (x + 1) 2 0 Comme f (x) > 0, pour tout x 0, f est croissante sur [0, + [, on peut donc en déduire que la suite (u n ) est croissante pour tout n N Soit u n = 8 3 n+1. On calcule les trois premiers termes de la suite : u 0 = 8, u 1 = 8 3, u 2 = = 8 9. On conjecture que la suite (u n ) est décroissante. Comme, pour tout n N, u n > 0, on peut utiliser la méthode des quotients : La suite (u n ) est donc décroissante. u n+1 = 8 u n 3 n+1 3n 8 = 1 3 < Soit u n = 3n. On calcule les trois premiers termes de la suite : n+1 u 0 = 30 1 = 1, u 1 = 3 2 = 3 2, u 2 = 32 2 = 3. On conjecture que la suite (u n ) est croissante, pour tout n N. Comme u n > 0, on peut utiliser la méthode des quotients : On ne peut pas conclure directement. On compare : On construit un tableau de signes, on voit que : u n+1 u n = 3n+1 n + 2 n n = 3 n + 1 n + 2. T n = 3 n + 1 3(n + 1) (n + 2) 1 = n + 2 n + 2 = 2n 1 n + 2 2x + 1 = 0 x = 1 2, x + 2 = 0 x = 2. x 2x 1 x + 2 2x 1 x Donc pour n > 1, T 2 n > 0. Or n > 0 donc pour tout n N, T n > 0, c est-à-dire u n+1 u n (u n ) est croissante pour tout n N. > 1 et ainsi, la suite CORRECTION 51

52 1. La suite (u n ) est arithmétique car de la forme u n = an + b avec a = 2 et b = 3. Pour le démontrer rigoureusement, on fait : u n+1 u n = 2(n + 1) + 3 (2n + 3) = 2n 2n = 2. La différence u n+1 u n étant constante, la suite (u n ) est arithmétique de raison On montre que (u n ) est une suite arithmétique. u n+1 u n = 2 + u n u n = 2. La différence u n+1 u n étant constante, la suite (u n ) est arithmétique de raison Si la suite (u n ) était arithmétique alors elle serait de la forme an+b. Or, elle ne l est pas! En effet, on remarque que : u n+1 u n = (n + 1) 2 (n + 1) [n 2 n] = n 2 + 2n + 1 n + 1 [n 2 n] = 2n + 1 qui n est pas indépendant de n. 52 SÉANCE 6. ÉTUDE DES VARIATIONS DE SUITES (1 RE S)

53 7 Lien entre résolution algébrique et géométrique pour les inéquations (2 nde ) S É A N C E

54 Exercices 1 1. a. Construire la courbe (C) représentant la fonction x 1 et la droite ( ) d équation y = x 3x + 2. b. Conjecturer les abscisses des points d intersection de (C) et ( ). c. Conjecturer les valeurs de x pour lesquelles (C) est au-dessus de ( ). 2. a. Vérifier que, pour tout x 0, 1 x (1 3x)(x + 1) (3x + 2) =. x b. Étudier le signe de (1 3x)(x+1) x. c. Est-ce en accord avec les conjectures émises aux questions 1b et 1c? 2 Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x 2 + 4x + 21 et on donne ci-dessous (C f ) sa courbe représentative y (C f ) x 1. Démontrer que f(x) = (7 x)(x + 3). 2. Répondre à chacune des questions suivantes par un calcul algébrique (en choisissant la forme de f la plus adaptée), puis vérifier graphiquement votre résultat : a. Déterminer le signe de f(x) en fonction de x. b. Résoudre f(x) 21. c. i. Résoudre f(x) 2x + 6. ii. Construire la représentation graphique de la fonction g définie sur R par g(x) = 2x + 6. iii. Interpréter graphiquement le résultat de la question 2b-i. d. Déterminer les abscisses des points pour lesquels (C f ) est en dessous de (C h ), courbe représentative de la fonction définie sur R par h(x) = 7 x. e. Démontrer que f(x) = 25 (x 2) 2. Déterminer graphiquement si la fonction f admet un maximum? Si oui, quel est sa valeur et en quel point est-il atteint? En utilisant l expression ci-dessus, le démontrer algébriquement Correction 1 1. a. La fonction x 1/x est impaire donc on peut calculer f(x) pour x > 0 et faire f( x) = f(x) pour trouver les points symétriques. On a : f(1) = 1, f( 1) = 1, f(1/2) = 2, f( 1/2) = 2, f(2) = 1/2, f( 2) = 1/2. Calculons les coordonnées de deux points de la droite ( ). Soit g : x 3x + 2 : g(0) = 2 et g(1) = = 5. On peut ainsi construire (C) et ( ) comme en dessous. 54 SÉANCE 7. LIENS-INÉQUATIONS

55 y 2 (C) ( ) x 2 b. On conjecture que la courbe (C) et la droite ( ) se rencontrent aux points d abscisses 1 et 1. Voir la 3 figure suivante. y 2 (C) ( ) x 2 c. On conjecture que la courbe (C) est au-dessus de la droite ( ) quand x < 1 et 0 x 1 3. y 2 (C) ( ) x CORRECTION 55

56 2. a. Pour x > 0, on a : (1 3x)(x + 1) x b. (1 3x)(x+1) x = x + 1 3x2 3x x = 2x 3x2 + 1 x x( 3 2x) + 1 = x 1 x(2x + 3) = = 1 (2x + 3). x x est le quotient de facteurs de premier degré donc on peut dresser le tableau de signe avec au préalable, la détermination des valeurs charnières : (1 3x)(x + 1) = 0 (1 3x) = 0 ou (x + 1) = 0 x = 1 3 ou x = 1 Il y a aussi comme valeur interdite : x = 0. Donc : x x x + 1 x (1 3x)(x+1) x c. En lisant le tableau de signe, on remarque que et : on remarque que : et : 1. On développe : 1 x = (2x + 3) 1 (1 3x)(x + 1) (2x + 3) = 0 x x (1 3x)(x + 1) x = 0 x = 1 3 et x = 1 1 x (2x + 3) 1 (1 3x)(x + 1) (2x + 3) 0 x x (1 3x)(x + 1) x 0 x ], 1] [0, 1/3]. (7 x)(x + 3) = 7x x x = x 2 + 4x + 21 = f(x). 2. a. On choisit la forme de la question 1 car c est un produit de facteur de premier degré. = 0 0 (7 x)(x + 3) = 0 (7 x) = 0 ou (x + 3) = 0 x = 7 ou x = 3. On peut maintenant dresser le tableau de signe : x 7 x x + 3 (7 x)(x + 3) SÉANCE 7. LIENS-INÉQUATIONS

57 Donc : f(x) > 0 si x ] 3, 7[, f(x) = 0 si x { 3} {7}, f(x) < 0 si x ], 3[ ]7, + [. b. Pour résoudre f(x) 21, on préfère l expression donnée par l énoncé : f(x) 21 f(x) 21 0 x 2 + 4x x 2 + 4x 0 x(4 x) 0. On cherche les valeurs charnières : D où x(4 x) = 0 x = 0 ou 4 x = 0 x = 0 ou x = 4. x 4 x x x(4 x) Donc : f(x) 21 x(4 x) 0 x [0, 4]. c. i. Pour résoudre f(x) 2x+6, on prend la forme factorisée de f en remarquant que f(x) = 2(x+3) : (7 x)(x + 3) 2(x + 3) (7 x)(x + 3) 2(x + 3) 0 (7 2 x)(x + 3) 0 (5 x)(x + 3) 0 (x 5)(x + 3) 0 On cherche ainsi les valeurs charnières : (x 5)(x + 3) = 0 (x 5) = 0 ou (x + 3) = 0 x = 5 ou x = 3. Ainsi, on peut dresser le tableau de signes : x x 5 x (x 5)(x + 3) Donc : f(x) 2x + 6 (x 5)(x + 3) 0 x [ 3, 5]. ii. Pour construire la courbe représentative de g, on a besoin des coordonnées de deux points : g(0) = 6 et g(1) = = 8. La courbe représentative est construite sur la figure suivante : 7.2. CORRECTION 57

58 y (C f ) (C g ) x iii. Graphiquement, «f(x) 2x + 6» correspond à (C f ) est au-dessus de (C g ), c est la partie délimitée par les deux courbes (C f ) et (C g ) entre x = 3 et x = y (C f ) (C g ) x d. On voudrait résoudre f(x) (7 x). Pour cela, on prend la forme factorisée de f : (7 x)(x + 3) 7 x (7 x)(x + 3) (7 x) 0 (7 x)(x + 3 1) 0 (7 x)(x + 2) 0. On cherche ensuite les valeurs charnières : (7 x)(x + 2) = 0 (7 x) = 0 ou (x + 2) = 0 x = 7 ou x = 2. D où : x 7 x x + 2 (7 x)(x + 2) Donc (C f ) est en-dessous de (C h ) si et seulement si : (7 x)(x + 3) 7 x (7 x)(x + 2) 0 x ], 2] [7, + [. 58 SÉANCE 7. LIENS-INÉQUATIONS

59 y (C f ) (C h ) x e. On développe : 25 (x 2) 2 = 25 (x 2 4x + 4) = x 2 + 4x = x 2 + 4x + 21 = f(x). Graphiquement, on voit que f admet un maximum en x = 2 et f(2) = y (Cf) x Algébriquement, il faut résoudre : 25 (x 2) 2 = 25 (x 2) 2 = 0 x = 2. D où le maximum de f est atteint en x = 2 et vaut CORRECTION 59

60 60 SÉANCE 7. LIENS-INÉQUATIONS

61 8 S É A N C E Problèmes ouverts pour les 2 nde

62 Problèmes ouverts 1 Histoire de récipients 1. J ai besoin de cinq litres d eau et pour cela je me rapproche d une fontaine (on suppose que la fontaine donne de l eau en continu) et je dispose d un récipient de 10 litres, un de 4 litres et un de 3 litres. Comment dois-je faire pour parvenir à mes fins? 2. J ai besoin de quatre litres d eau et pour cela je me rapproche d une fontaine (on suppose que la fontaine donne de l eau en continu) et je dispose d un récipient de 5 litres et un de 3 litres. Comment doisje faire pour parvenir à mes fins? 2 Multiplication chinoise (non rendu) Cette énigme vous permettra d utiliser une technique de multiplication découverte dans l Empire du Milieu. Vous pouvez, pour répondre aux questions suivantes, regarder la vidéo qui se trouve à l URL : (si le lien ne fonctionne pas, recherchez sur Youtube, la vidéo «multiplication chinoise» et normalement, c est la première vidéo qui dure 2 min 30). 1. Faire les multiplications chinoises suivantes : et Comment faire les multiplications chinoises suivantes : et ? Faites un dessin qui illustre les multiplications données. Note : Ce qui est attendu dans les réponses, c est le dessin de la méthode expliquée dans la vidéo. Les résultats des opérations peuvent être vérifiés à la calculatrice. Solutions des problèmes ouverts 1 1. Il y a beaucoup de solutions pour résoudre ce problème. En voici une : Tout d abord, je remplis le récipient de 4 litres et une fois rempli, je le transvase sur le récipient de 3 litres. Il me reste donc 1 litre dans le récipient de 4 litres. On transvase ensuite le récipient de 4 litres dans celui de 10 litres. Il y a donc 1 litre d eau dans le récipient de 10 litres, 3 dans celui de 3 litres et le récipient de 4 litres est vide. On remplit encore le récipient de 4 litres qu on transvase ensuite dans le récipient de 10 litres et ainsi, on obtient un récipient qui contient 5 litres. 2. Encore une fois, il y a beaucoup de solutions. En voici une d entre elles : Pour commencer, on remplit le récipient de 5 litres qu on transvase ensuite dans celui de 3 litres. Ainsi, il y a 3 litres dans le récipient de 3 litres et 2 dans le récipient de 5 litres. On vide le récipient de 3 litres et on transvase ensuite le contenu de celui de 5 litres dans celui de 3 litres. Le récipient de 5 litres est donc vide et celui de 3 litres contient juste 2 litres d eau. On remplit enfin le récipient de 5 litres et on transvase pour remplir le récipient de 3 litres. Ainsi, il y a donc 4 litres d eau dans le récipient de 5 litres et 3 dans celui de 3 litres a. Voici la multiplication faite par les chinois : 62 SÉANCE 8. PROBLÈMES OUVERTS POUR LES 2 NDE

63 2 8 6 b. Voici la multiplication faite par les chinois : 3(2 + 1) 1 2(11 + 1) 8(18) 8 2. Pour le chiffre 0, on peut tracer un trait en pointillés. Alors on ne compte pas les intersections avec les autres droites. a. Voici la multiplication faite par les chinois : b. Voici la multiplication faite par les chinois : 8.2. SOLUTIONS DES PROBLÈMES OUVERTS 63

64 SÉANCE 8. PROBLÈMES OUVERTS POUR LES 2 NDE

65 9 S É A N C E Problèmes ouverts pour les Premières S

66 Problèmes ouverts 3. 1 Aire de triangles inchangée Soit ABCD un rectangle de longueur 4 et de largeur D I C 1. Montrer que, pour tout I appartenant à [CD], l aire du triangle ABI est de 6cm Soient I appartenant à [CD] et O milieu de [AI]. Calculer l aire du triangle ABO. 3. Pourquoi l aire du triangle ABO reste inchangé quand on fait déplacer I sur le segment [CD]? Indications : quel(s) théorème(s) en géométrie permet d affirmer cela?. A O 2 Horaires de sommeil particulières Chaque nuit, je me couche entre 22h et 23h quand les aiguilles sont parfaitement confondus et je me réveille entre 4h et 5h quand les aiguilles sont parfaitement alignés. Combien d heures de sommeil je m accorde par jour? Solutions des problèmes ouverts pour les Premières S B 1 1. Soit I [CD]. On note H le projeté orthogonal de I sur [AB]. On montre que IH = AD. Comme H est le projeté orthogonal de I sur [AB], on a alors ÂHI = 90. De plus, ABCD est un rectangle, d où DAB = 90 et ÂDC = 90. On rappelle qu un quadrilatère qui a trois angles droits est un rectangle. D où ADIH est un rectangle et ainsi AD = IH. On peut alors conclure que : Aire(AIB) = B h 2 = IH AB 2 = = 6 cm Pour résoudre cette question, on utilise la propriété suivante 1 : «Une médiane partage un triangle en deux triangles d aires égales». Comme O est milieu le milieu de [AI], la médiane issue de B passe par O. Donc : Aire(AOB) = Aire(AIB) 2 = 6 2 = 3 cm2. 3. On veut montrer que pour tout I appartenant à [CD], si O est le milieu de (AI) alors en notant P le projeté orthogonal de O sur [AB], on a : OP = IH = 1,5 cm, ainsi l aire du triangle AOB reste inchangée par 2 déplacement du point I. Comme les droites (OP ) et (IH) sont parallèles (car elles sont perpendiculaires toutes deux à (AB)), par le théorème de Thalès appliquée dans le triangle AHI (rectangle en H), on a : AO AI = AP AH = 1 2 AP = 1 2 AH donc P est milieu de [AH]. On applique encore le théorème de Thalès dans le triangle AHI : OP IH = AO OI = 1 2 OP = 1 2 IH. Dans la question 1, on a montré que pour tout I sur [CD], IH = AD donc OP = 1IH = 1 AD = 1,5 cm et 2 2 ainsi : OP AB Aire(AOB) = = = 4 3 = 3 cm 2, l aire du triangle AOB reste donc inchangée par déplacement du point I. 1. Si vous n en êtes pas convaincus, faites-en la démonstration 66 SÉANCE 9. PROBLÈMES OUVERTS POUR LES PREMIÈRES S

67 Remarque finale : En répondant à la question 2, on répond indirectement à la question 3. 2 On cherche l heure où l on se couche et où l on se lève. Pour cela, on a besoin de faire un peu de modélisation. Un cadran de montre fait 360 degrés et il y a 12 heures. Donc en une heure, la grande aiguille parcourt 360 = degrés. Chaque minute, la grande aiguille parcourt ainsi 30 = 0, 5 degrés. La petite aiguille, quant à elle, parcourt 60 chaque minute, 360 = 60 degrés. 60 Pour trouver l heure où l on se couche, on cherche le moment x quand les aiguilles sont confondues entre 22 heures et 23 heures : , 5x = 6 x. La résolution de cette équation est assez simple : , 5x = 6x 300 = 5, 5x x = 300 5, 5 54, 54 minutes. On se couche donc à 22 heures 54 minutes et 32 secondes. Pour trouver l heure où l on se réveille, on cherche le moment x quand les aiguilles sont alignés entre 4 heures et 5 heures, c est-à-dire quand les aiguilles forment un angle de 180 degrés. On veut donc trouver le moment x lorsque les aiguilles des heures et des minutes forment un angle de 180 degrés. Pour cela, il faut enlever la quantité de 180 degrés dans le second membre de l égalité : Là encore, la résolution de cette équation est aisée : , 5x = 6x , 5x = 6x = 5, 5x x = 300 5, 5 = 54, 54 minutes. On se lève donc à 4 heures 54 minutes et 32 secondes. Pour conclure le problème, il nous faut trouver le temps de sommeil qu on s est accordé : , , 5 = = 360 minutes. On s est accordé 6 heures de sommeil SOLUTIONS DES PROBLÈMES OUVERTS POUR LES PREMIÈRES S 67

68 68 SÉANCE 9. PROBLÈMES OUVERTS POUR LES PREMIÈRES S

69 III Stage au collège Voltaire (Wattignies, 2012) - Activités en 5 e

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71 D E S C R I P T I F D U S T A G E Mon stage en responsabilité, dans le cadre de ma seconde année de Master Enseignement de Mathématiques, s est déroulé au collège Voltaire à Wattignies (59), sous la direction de Mme D. LAHAYE. Le but avoué de ce stage est de poursuivre le travail fait en classe de lycée sur les problèmes ouverts et énigmes. Je proposerai de faire au sein même d un devoir maison, quelques énoncés d énigmes. Le travail sur l énigme sera facultatif mais valorisera sûrement une copie moyenne... 71

72 72

73 0 S É A N C E Parallélogramme

74 1 Introduction du parallélogramme Contenu du cours Date 17 février 2012 Classe 5 e -1 Déroulé INTRODUCTION DU PARALLELOGRAMME Activités : A la recherche de noms Un parallélogramme fait de bandes de papiers Cours : Introduction du parallélogramme Définition d un parallélogramme Construction du parallélogramme par tracé de paires de parallèles Justification Exercices d application : à finir n o 1 p 148 n o 3 p 148 n o 4 p 148 Activité A. À la recherche de noms 1 1 Activités : Rappels sur les quadrilatères et introduction du parallélogramme 1. Utiliser les lettres des sommets pour nommer les quadrilatères ci-dessous. a. D B N O H b. T E C 2. Reproduire, à main levée, ces quadrilatère sur le cahier. Tracer leurs diagonales puis écrire le nom de ces diagonales. 3. Cite deux côtés opposés du quadrilatère a., du quadrilatère b. 4. Cite deux angles opposés du quadrilatère c., du quadrilatère d. 5. Avez-vous reconnu un quadrilatère particulier dans les quatre quadrilatères proposés? c. T R C E d. S A R C Activité B. Un quadrilatère fait de bande de papiers Vous disposez d une bande de papier chacun. 1. Avec votre voisin, croisez les deux bandes de papiers afin que la croisement obtenu soit un quadrilatère (il ne faut pas que les deux bandes soient parallèles ou perpendiculaires). 2. Dessinez à main levé le croisement obtenu. 3. Décrivez les particularités géométriques du quadrilatère obtenu. 1 2 Le cours : Définition d un parallélogramme Définition 10.1 Parallélogramme Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles 74 SÉANCE 10. PARALLÉLOGRAMME

75 Comme (AB)//(DC) et (AD)//(DC), ABCD est un parallélogramme. D C B A Exercices d applications 1 3 Exercices d application 1 n o 1 p. 148 Nommer les quadrilatères qui semblent être des parallélogrammes. F G E K D H L J I C M A B 2 n o 3 p 148 Sur la figure ci-dessous, on a : (AC)//(GI) ; (DF )//(GI) ; (AG)//(CI) ; (BH)//(CI). A B F C G D H I Nomme tous les parallélogrammes de cette figure ayant pour sommets les points indiqués. Combien y en a-t-il? 3 n o 4 p 148 ABCD est un parallélogramme. 1. Nomme deux côtés de ce prallélogramme qui sont opposés. 2. Nomme les deux diagonales de ce parallélogramme INTRODUCTION DU PARALLÉLOGRAMME 75

76 2 À la découverte des propriétés du parallélogramme (TICE) Contenu du cours Date 20 février 2012 Classe 5 e -1 Déroulé A LA DECOUVERTE DES PROPRIETES DU PARALLELOGRAMME Activité TICE : A la découverte des propriétés du parallélogramme 1. Avant toute chose 2. Un centre de symétrie 3. Démonstration de la conjecture 4. Diagonales et milieux 5. Longueur des côtés opposés 6. Mesure des angles opposés 2 1 Avant toute chose Ouvrer votre session. Si ce n est pas déjà fait, créer un dossier Mathématiques dans «Mes documents». Ouvrer Geogebra pour l activité. Déasctiver les axes (pour cela, il faut cliquer sur (Affichage > Axes) Tout ce qui est en italique est à faire sur Geogebra. Ce symbole signifie qu il faut lever le doigt pour faire valider votre figure et vos réponses par le professeur. Les cadres «Conclusion» seront intégrés au fur et à mesure dans le cahier de cours. 2 2 Un centre de symétrie 1. Placer trois points A, B et O non alignés au hasard sur votre fenêtre de tracé. 2. Tracer le point A symétrique du point A par rapport à O. 3. Tracer le point B symétrique du point B par rapport à O. 4. Tracer le quadrilatère ABA B. 5. Quelle conjecture peut-on faire sur la nature du quadrilatère ABA B? 2 3 Démonstration de la conjecture 1. Construire les droites (AB) et (A B ). Que peut-on dre des droites (AB) et (A B ) par rapport au point O? Conclure avec une propriété du cours. 2. Construire les droites (AB ) et (BA ). Que peut-on dire des droites (AB ) et (BA ) par rapport au point O? Conclure avec une propriete du cours. 3. D après les questions précédentes, que peut-on en conclure de la nature du quadrilatère ABA B? 76 SÉANCE 10. PARALLÉLOGRAMME

77 Conclusion Propriété sur le centre de symétrie Si un quadrilatère est un parallélogramme alors 2 4 Diagonales et milieux 1. Tracer les diagonales du quadrilatère ABA B. 2. Tracer le milieu de la diagonale [AA ]. 3. Tracer le milieu de la diagonale [BB ]. 4. Que peut-on conjecturer sur les milieux des diagonales du quadrilatère ABA B? 5. On va démontrer que les diagonales d un parallélogramme se coupent en leur milieu. a. Quel est le symétrique de A par rapport à O? b. Quel est le symétrique de la droite (AB) par rapport à O? c. Quel est le symétrique de la droite (BA ) par rapport à O? d. Quel est le symétrique du point A par rapport à O? e. Que peut-on en déduire du point O par rapport au segment [AA ]? f. Les longueurs AO et OA sont-elles égales? Pourquoi? g. Les longueurs BO et OB sont-elles égales? Pourquoi? h. Conclure À LA DÉCOUVERTE DES PROPRIÉTÉS DU PARALLÉLOGRAMME (TICE) 77

78 Conclusion Propriété sur les diagonales Si un quadrilatère est un parallélogramme alors 2 5 Longueur des côtés opposés 1. Afficher la longueur des côtés du quadrilatère ABA B. 2. Que peut-on conjecturer sur les longueurs des côtés opposés du quadrilatère ABA B? 3. On va démontrer qu un parallélogramme a ses côtés opposés de même longueur. a. Rappeler (sans justifier) les images des segments [AB] et [A B] par rapport à O. b. Comme une symétrie centrale conserve les, les longueurs AB et sont. c. Comme une symétrie centrale conserve les, les longueurs AB et sont. Conclusion Propriété sur les côtés opposés Si un quadrilatère est un parallélogramme alors 2 6 Mesure des angles opposés 1. Afficher les angles et la mesure des angles du quadrilatère ABA B. 2. Que peut-on conjecturer sur la mesure des angles opposés du quadrilatère ABA B? 3. On va démontrer qu un parallélogramme a ses angles opposés de même longueur. a. Quel est le symétrique de l angle B AB par rapport au point O? b. Quel est le symétrique de l angle ÂBA par rapport au point O? c. Comme une symétrie centrale conserve les d angle, les angles B AB et sont. d. Comme une symétrie centrale conserve les d angle, les angles ÂBA et sont. 78 SÉANCE 10. PARALLÉLOGRAMME

79 Conclusion Propriété sur les angles opposés Si un quadrilatère est un parallélogramme alors À LA DÉCOUVERTE DES PROPRIÉTÉS DU PARALLÉLOGRAMME (TICE) 79

80 3 Démontrer qu un quadrilatère est un parallélogramme Contenu du cours Date 12 mars 2012 Classe 5 e -1 Déroulé DEMONTRER QU UN QUADRILATERE EST UN PARALLELO- GRAMME Rappel sur les propriétés du parallélogramme Activités : Vrai ou faux? Montrer qu un quadrilatère est un parallélogramme Activité C. Vrai ou faux? Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Pour cela, on pourra s aider d un dessin fait à main levé. 1. Un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles est un parallélogramme. 2. Un quadrilatère qui a un angle droit et deux côtés de même longueur est un parallélogramme. 3. Un quadrilatère qui a ses diagonales qui ont le même milieu est un parallélogramme. 4. Un quadrilatère qui a deux angles de 60 est un parallélogramme. 5. Un quadrilatère croisé qui a ses côtés opposés de même longueur est un parallélogramme. 6. Un quadrilatère non croisé qui a ses côtés opposés de même longueur est un parallélogramme. 7. Un quadrilatère non croisé qui a deux côtés opposés parallèles et de même longueur est un parallélogramme. 8. Un quadrilatère non croisé qui a ses angles opposés de même mesure est un parallélogramme. Activité D. Sur la figure ci-dessous, trouver tous les quadrilatères dont on peut affirmer qu ils sont des parallélogrammes. Pour chacun, énoncer une propriété qui permet de justifier la réponse. 80 SÉANCE 10. PARALLÉLOGRAMME

81 1 Nombres relatifs (addition et soustraction) S É A N C E

82 1 Additionner deux nombres relatifs Contenu du cours Date 19 mars 2012 Classe 5 e -1 Déroulé ADDITIONNER DEUX NOMBRES RELATIFS Rappel sur les nombres relatifs Activités : Gains et pertes Cours : Additionner des nombres relatifs Exercices (à faire) : n o 20 p 73 n o 23 p L activité Activité A. Gains et perte Quatre amis de longue date, Thomas, Jennifer, Julien et Marion, ont décidé de jouer au casino deux soirées de suite : a. Thomas : «J ai gagné 20 e le premier jour et gagné 50 e le second jour». b. Jennifer : «J ai perdu 20 e le premier jour et perdu 50 e le second jour». c. Julien : «J ai gagné 20 e le premier jour et perdu 50 e le second jour». d. Marion : «J ai perdu 20 e le premier jour et gagné de 50 e le second jour». 1. Associer les additions suivantes aux joueurs de casino : a. ( 20) + (+50) ; b. (+20) + ( 50) ; c. ( 20) + ( 50) ; d. (+20) + (+50). 2. Qui a gagné de l argent au bout de ces deux soirées? Qui en a perdu? 3. Illustrer chaque opération par une phrase du style «Le premier jour, j ai gagné... e et le second jour, j ai perdu... e» et dites si vous avez gagné de l argent au final ou non. a. 8 + ( 5) ; b. ( 9) + 4 ; c. ( 14) + ( 4) ; d ( 9) ; e. ( 21) + 11 ; f. ( 15) Cours : Addition de deux nombres relatifs Rappel. La distance à zéro d un nombre relatif est la distance entre l origine et le point ayant ce nombre pour abscisse. Définition 11.1 Si les deux nombres ont le même signe, on ajoute les distances à zéro et le résultat est de même signe. Exemples SÉANCE 11. NOMBRES RELATIFS (ADDITION ET SOUSTRACTION)

83 a. (+5) + (+3) = (+8) b. ( 6) + ( 3) = ( 9) Définition 11.3 Si les deux nombres ont des signes différents, on soustrait leurs distances à zéro et le résultat est du signe de celui qui a la plus grande distance à zéro. Exemples a. (+6) + ( 11) = ( 5) b. ( 3) + (+5) = (+2) Définition 11.5 La somme de deux nombres opposés est égale à zéro. Exercices d applications Exemple (+2) + ( 2) = Exercices d application 1 n o 20 p 73 Calculer : 1. (+3) + (+7) ; 2. ( 4) + ( 7) ; 3. (+8) + ( 5) ; 4. ( 3) + ( 6) ; 5. ( 15) + ( 12) ; 6. ( 4) + (+11) ; 7. (+15) + ( 24) ; 8. ( 36) + (+42). 2 n o 23 p 73 Calculer : 1. ( 9,4) + (+65) ; 2. ( 82) + ( 3,6) ; 3. 10,6 + (+236) ; 4. (+3,76) + ( 4,18) ; 5. 7,04 + ( 7,4) ; 6. ( 3,05) + (+30,5) ; 7. ( 12,36) + ( 15,7) ; 8. ( 45,5) + ( 1,38) ADDITIONNER DEUX NOMBRES RELATIFS 83

84 2 Soustraire deux nombres relatifs Contenu du cours Date 23 mars 2012 Classe 5 e -1 Déroulé SOUSTRAIRE DEUX NOMBRES RELATIFS Activités : Des + qui se transforment en?!!? Ecarts de température Cours : Soustraire des nombres relatifs Exercices : n o 24 p 73 n o 26 p 73 n o 27 p 73 Activité B. Des + qui se transforment en -?!!? 2 1 Activités : Soustraire des nombres relatifs 1. Effectuer les calculs suivants à la main en vous inspirant de ce qu on a fait lundi. a. (+12) + (+28) ; b. (+12) + ( 28) ; c. ( 12) + ( 28) ; d. ( 12) + (+28). 2. Effectuer les calculs suivants à la calculatrice et associer les soustractions avec les additions de la question 1. a. (+12) (+28) ; b. (+12) ( 28) ; c. ( 12) ( 28) ; d. ( 12) (+28). 3. Recopier et compléter les deux phrases suivantes : a. «(+28) et ( 28) sont des nombres......». b. «Règle : Pour soustraire un nombre relatif, on...son Pour vous entrainer, calculer : a. 5 (+9) ; b. ( 3) ( 8). Activité C. Ecart de température Le tableau ci-contre donne les températures maximales et minimales (en degré Celsius ou C) observées au mois de décembre dans huit villes du monde. Ville Pays max. min. Ecart Athènes Grèce 11 6 Chicago États-Unis 8-2 Genève Suisse 7 1 Moscou Russie -3-9 Oslo Norvège 0-6 Paris France 10-1 Tokyo Japon 1-3 Québec Canada SÉANCE 11. NOMBRES RELATIFS (ADDITION ET SOUSTRACTION)

85 On appelle écart de température, la différence de la température maximale avec la température minimale. 1. Écrire l opération d écart de température pour Athènes et pour Chicago? 2. Compléter la dernière colonne du tableau ci-dessus (à compléter sur la feuille). 2 2 Cours : soustraire des nombres relatifs Définition 11.7 Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé. Exemples a. b. c. 3 8 =3 + ( 8) = 5 10 ( 7) =10 + (+7) = = 5 + ( 4) = SOUSTRAIRE DEUX NOMBRES RELATIFS 85

86 Séance d approfondissement Contenu du cours Date 2 avril 2012 Classe 5 e -1 Déroulé SEANCE D APPRONFONDISSEMENT Activités : Une activité de calcul mental ludique Exercices : Feuille d exercices distribuée par Mme Lahaye (exo ) Une activité amusante de calcul mental Prenez un nombre de deux chiffres. Multipler ce nombre par 5. On rajoute à ce résultat 50. On multiplie ensuite le résultat par 20. On rajoute ensuite Soustrayez votre résultat par votre année de naissance. Enoncez à haute voix le nombre calculé. Je peux vous dire ainsi le nombre de deux chiffres choisi et votre âge au début de l année. Feuille d exercices proposée par D. Lahaye 1 1. Calcule : 3 Arthur et Jospeh ont lancé cinq flèchettes sur la cible ci-dessous. A = C = N = O = R = T = Range les résultats dans l ordre croissant. Tu obtiendras le nom d un mathématicien allemand du 19 e siècle Calcule : B = I = M = O = S = U = Range les résultats obtenus dans l ordre décroissant. Tu obtiendras le nom d un mathématicien et astronome allemand du 19 e siècle. Arthur a obtenu : 2 impacts sur le disque blanc, 1 imapct sur la couronne grise et 2 impacts sur la couronne noire. Joseph a obtenu : 1 impact sur le disque blanc, 3 impacts sur la couronne grise et 1 impact sur la couronne noire. 4 Qui a gagné? 86 SÉANCE 11. NOMBRES RELATIFS (ADDITION ET SOUSTRACTION)

87 1. Calcule : E = I = L = S = W = Range les résultats dans l ordre croissant. Tu obtiendras le nom d un mathématicien anglais né en Calcule : A = 4 8 C = E = H = 5 8 I = M = N = O = R = S = Range les résultats dans l ordre croissant. Tu obtiendras le nom du mathématicien italien qui initia l Empereur Napoléon 1 er aux subtilités de la géométrie Calcule : A = C = D = E = H = I = L = N = P = R = S = U = Range les résultats dans l ordre croissant. Tu obtiendras le nom du mathématicien français ( ) qui créa les services statistiques français Ecris sans parenthèses les nombres suivants : A = (+12) E = ( 4) G = +( 7) I = ( 11) N = (+3) S = +(+7) 2. Range les résultats dans l ordre croissant. Tu obtiendras le nom d une mathématicienne et philosophe du 18 e siècle Simplifie puis calcule les expressions numériques suivantes : E = 3 + (+7) G = 7 + ( 9) H = 2 + ( 5) N = 7 ( 4) S = 2 ( 17) U = 1 (+6) Y = 6 ( 3) 2. Range les résultats dans l ordre croissant. Tu obtiendras le nom du mathématicien et astronome néerlandais qui inventa l horloge à balancier Simplifie puis calcule les expressions numériques suivantes : I = 6 ( 3) S = 7 (+7) T = 2 + ( 3) E = 7 ( 5) + ( 8) N = 9 + (+8) ( 3) V = 2 ( 9) 2. Range les résultats dans l ordre croissant. Tu obtiendras le nom d un mathématicien qui s intéressa aux fractions décimales SÉANCE D APPROFONDISSEMENT 87

88 1. Simplifie puis calcule les expressions numériques suivantes : A = 3 + ( 2) G = 1 + (+7) I = 4 ( 5) T = 6 (+8) F = 2 + ( 7) 9 L = 4 + ( 9) ( 1) N = 1 (+7) ( 10) S = 1 ( 7) Range les résultats dans l ordre croissant. Tu obtiendras le nom du mathématicien allemand né en 1954 qui reçut la Médaille Fields en Sur une droite graduée (unité 1 cm ou 1 grand carreau), place les points A( 2), B(3), F ( 7) et E(5). 2. Calcule AB, AF, AE, BF, BE et EF Sur une droite graduée, place les points A( 4) et B(6). 2. E est le point d abscisse x A+x B 2. Calculer l abscisse de E, puis place E. 3. Calcule AE et BE. 4. Que représente le point E pour le segment [AB]. Justifie la réponse. 13 Monsieur Donetrodexo a donné à ses élèves l exercice suivant : Exercice Sur une droite graduée (unité le cm), le point A a pour abscisse 2. J est un point tel que AJ = 3 cm. Donne l abscisse de J. 88 SÉANCE 11. NOMBRES RELATIFS (ADDITION ET SOUSTRACTION)

89 2 S É A N C E Quadrilatères particuliers

90 1 Parallélogrammes particuliers I (TICE) Contenu du cours Date 6 avril 2012 Classe 5 e -1 Déroulé PARALLELOGRAMMES PARTICULIERS I (TICE) 1. Un parallélogramme avec un angle droit 2. Diagonales d un parallélogramme de même longueur Le travail de certains élèves était ramassé 1 0 Avant de commencer... Ouvrer votre session. Si ce n est pas déjà fait, créer un dossier Mathématiques dans «Mes documents». Ouvrer Geogebra pour l activité. Bien lire les fichiers de prérequis : «Parallélogramme et quadrilatères particuliers» et «Coordonnées d un point». Pour chaque activité, créer un nouveau fichier sur Geogebra. (Fichier -> Nouveau à chaque fois que vous finissez une activité). Tout ce qui est en italique est à faire sur Geogebra. Pour vous aider, vous pouvez faire apparaître le quadrillage dans le cadre de construction de figure (Affichage -> Grille). Si vous n avez pas terminé l activité à la fin de l heure, vous pouvez la terminer chez vous. Vous pouvez télécharger Geogebra à l adresse suivante : (Version Windows). 1 1 Un parallélogramme avec un angle droit Vous enregistrerez votre travail sous un fichier nommé QUADP_1_Nom_Prenom.ggb. 1) Construire les points : A(0, 0), B(0, 2), C(3, 2). 2) Que peut-on dire de l angle ÂBC? Faire apparaître la mesure de l angle ÂBC sur l écran. 3) Où faut-il placer le point D pour que ABCD soit un parallélogramme? Placer le point D sur votre figure. 4) Que peut-on dire des droites (AB) et (CD)? Le faire apparaître sur l écran de votre ordinateur. Quelle donnée de l énoncé permet de l affirmer? Justifier. 90 SÉANCE 12. QUADRILATÈRES PARTICULIERS

91 5) Que peut-on dire des angles du parallélogramme? Faire apparaître les mesures d angle sur l écran d ordinateur 6) En déduire la nature de ABCD. Justifier. 7) Compléter la phrase : Si un parallélogramme a un angle droit 1 2 Diagonales d un parallélogramme de même longueur Vous enregistrerez votre travail sous un fichier nommé QUADP_2_Nom_Prenom.ggb. 1) Placer les points A(0, 0), B = (0, 3), C = (4, 3) et D = (4, 0). Tracer le parallélogramme ABCD. 2) Tracer les segments [AC] et [BD] et vérifier qu ils ont la même longueur. 3) Placer le point O, centre du parallélogramme. 4) Construire le symétrique E du point A par rapport à B. Construire le point P, intersection des segments [BC] et [DE]. Que peut-on dire du point P d intersection des segments [BC] et [DE]? 5) En déduire la nature du quadrilatère BDCE. 6) Que peut-on dire sur la longueur des segments [DB] et [CE]? : [AC] et [DB]? : En déduire que AC = CE. 7) Montrer que C et B appartiennent à la médiatrice de la droite (AE). Que peut-on dire des droites (BC) et (AE)? 8) En se servant de ce qui a été fait à la première activité, en déduire la nature du quadrilatère ABCD. 9) Compléter la phrase : Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur PARALLÉLOGRAMMES PARTICULIERS I (TICE) 91

92 Conclusion 92 SÉANCE 12. QUADRILATÈRES PARTICULIERS

93 2 Parallélogrammes particuliers II (TICE) Contenu du cours Date 13 avril 2012 Classe 5 e -1 Déroulé PARALLELOGRAMMES PARTICULIERS II (TICE) 1. Un parallélogramme avec deux côtés consécutifs de même longueur 2. Un parallélogramme avec ses diagonales perpendiculaires 2 1 Un parallélogramme avec deux côtés consécutifs de même longueur Vous enregistrerez votre travail sous un fichier nommé QUADP_3_Nom_Prenom.ggb. 1) Placer les points A(0, 0), B(5, 0), D(4, 3). 2) Placer le point C tel que ABCD soit un parallélogramme. 3) Montrer sur l écran que AB = DC et BC = AD. Justifier pourquoi on a ces égalités. 4) En déduire que AB = DC = BC = AD. 5) Quelle est la nature de ABCD? Justifier. 6) Compléter la phrase : Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur 2 2 Un parallélogramme avec ses diagonales perpendiculaires Vous enregistrerez votre travail sous un fichier nommé QUADP_4_Nom_Prenom.ggb. 1) Placer les points A = (3, 0), B = (6, 2), C = (3, 4), D = (0, 2). Tracer le parallélogramme ABCD. 2) Montrer sur l écran que les diagonales sont perpendiculaires. 3) Construire le point E symétrique de B par rapport à l axe (AC). Qu observe-t-on? Justifier. 4) Que peut-on dire du symétrique de [BA] par rapport à l axe (AC)? Comme la symétrie conserve les, BA = 5) En déduire la nature de ABCD. Justifier (on pourra, pour cela, utiliser le résultat de l activité n o 3) PARALLÉLOGRAMMES PARTICULIERS II (TICE) 93

94 6) Compléter la phrase : Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires Conclusion 94 SÉANCE 12. QUADRILATÈRES PARTICULIERS

95 3 Le losange Contenu du cours Date 16 avril 2012 Classe 5 e -1 Déroulé LE LOSANGE Conclusion de l activité TICE : Parallélogrammes particuliers II Cours : Le losange Définition Construction du losange Propriétés Comment reconnaitre un losange? Exercices : 3 p 166 (Losanges) 9 p p Cours sur le losange Définition 12.1 Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés égaux. B A C D Propriété 12.2 les diagonales d un losange se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires (ce sont les deux axes de symétrie). il a toutes les propriétés du parallélogramme. B A C D LE LOSANGE 95

96 Méthode 12.3 Comment reconnaitre un losange Avec les diagonales : Si les diagonales d un quadrilatère se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires alors ce quadrilatère est un losange. Si les diagonales d un parallélogramme sont perpendiculaires alors ce parallélogramme est un lonsage. Avec les côtés : Si les quatre côtés d un quadrilatère sont de même longueur alors ce quadrilatère est un losange. Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs égaux alors ce parallélogramme est un losnage. Exercices d applications 3 2 Exercices sur le losange 1 3 p 166 Reproduis à main levée les six quadrilatères. Dans chaque cas, complète au minimum le codage correspondant à la nature du quadrilatère indiquée. Faire que les losanges! 2 9 p 166 Voici quatre losanges. Reproduis-les en vraie grandeur en tenant compte des indications p 166 Après avoir fait une figure à main levée, construis les losanges suivants. 1. AV EC tel que AE = 12 cm ; CV = 8 cm. 2. BLEU tel que : BL = 7 cm ; LU = 5 cm. 3. AMIS tel que : AI = 10 cm ; MAI = SÉANCE 12. QUADRILATÈRES PARTICULIERS

97 4 Introduction du carré Contenu du cours Date 20 avril 2012 Classe 5 e -1 Déroulé INTRODUCTION DU CARRE Correction Exercice 9 p 167 Exercice 13 p 167 (c) Séance d exercices Exercice 24 p 168 (+ correction au tableau) Exercice 31 p 169 (pour les plus rapides) Activité : Introduction du carré Activité 12 p 161 Intervention de la CPE Exercices d applications 4 1 Exercices supplémentaires sur le losange 1 21 p 168 B 1. Reproduis sur ta feuille la figure, ci-dessous. A D C 4, 5 cm E (d) 4 31 p 169 Les cercles C 1 et C 2 de centres respectives A et C ont le même rayon AC. G B 2. Construis le losange EF GH tel que F soit sur la droite (d). A E C 2 22 p 168 Construis un losange T AP E de centre O tel que ÂT O = 60 ; AE = 10 cm. Explique la construction en citant la (les) propriété(s) que tu as utilisée(s) p 168 Voici une figure non réalisée en vraie grandeur où ABCD est un losange. 1. Reproduis cette figure avec AC = 5 cm. 2. Écris des propriétés de la figure. Justifie-les en citant les propriétés que tu as utilisées. D 4 2 Activités sur le carré Activité A INTRODUCTION DU CARRÉ 97

98 Le carré, 12 p 161 Construis un carré ABCD de côté 10 cm. 1. Explique pourquoi un carré est à la fois un rectangle et un losange. 2. Trace ses axes de symétrie et son centre de symétrie. Liste toutes les propriétés du carré que tu peux justifier. 98 SÉANCE 12. QUADRILATÈRES PARTICULIERS

99 5 Le carré Contenu du cours Date 7 mai 2012 Classe 5 e -1 Déroulé LE CARRE Activité : n o 13 p 161 Cours : le carré Définition Propriétés Comment reconnaître un carré? Exercices (à faire pour jeudi 10 mai) : n o 3 p 166 n o 10 p Activité de découverte Activité B. Voici deux programmes de construction. Programme 1 Programme 2 1. Tracer un triangle EOF rectangle isocèle en O tel que OF = 4 cm. 2. Construis les points G et H symétriques respectifs des points E et F par rapport au point O. 3. Trace en couleur le quadrilatère EF GH. 1. Tracer un cercle C de centre O et de rayon 4 cm. Place un point E sur ce cercle. 2. Construis le point G symétrique du point E par rapport au point O. 3. Construis le point F du cercle C tel que ĜEF = 45. Construis le point H du cercle C tel que [EG) soit la bissectrice de l angle F EH. 4. Trace en couleur le quadrilatère EF GH. 1. Construis une figure pour chaque programme. 2. Quelles remarques peux-tu faire pour les deux figures en couleur? 3. Rédige un troisième programme de construction du quadrilatère EF GH. 5 2 Cours : Le carré 1. Définition Définition 12.4 Un carré est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur et quatre angles droits LE CARRÉ 99

100 2. Propriétés Remarques a. Un carré est un parallélogramme particulier. Il est à la fois un rectangle et un losange. b. Il a donc 4 axes de symétrie et un centre de symétrie. c. Ses côtés et ses diagonales ont les mêmes propriétés que celles du rectangle et du losange. B C O A D 3. Comment reconnaitre un carré? Méthode 12.6 Reconnaitre un carré À partir d un rectangle Si un rectangle a ses diagonales qui sont perpendiculaires alors c est un carré. Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur alors c est un carré. À partir d un losange Si un losange a ses diagonales de même longueur alors c est un carré. Si un losange a deux côtés consécutifs perpendiculaires alors c est un carré. Exercices d applications 5 3 Exercices d entrainement 1 3 p 166 Reproduis à main levée les six quadrilatères. Dans chaque cas, complète au minimum le codage correspondant à la nature du quadrilatère indiquée. (Faire seulement les carrés) 2 10 p 167 Voici deux carrés. Reproduis-les en vraie grandeur en tenant compte des indications p 168 Construit un carré F AIT de centre G tel que F I = 8 cm. Explique ta construction en citant la (les) propriété(s) que tu as utilisée(s). 100 SÉANCE 12. QUADRILATÈRES PARTICULIERS

101 3 S É A N C E Statistiques

102 1 Activités TICE : Statistiques Contenu du cours Date 21 mai 2012 Classe 5 e -1 Déroulé STATISTIQUES (TICE) Activité TICE : Statistiques 1. Correction d un DS de Mathématiques 2. Fréquentation d un cinéma 3. Saut en hauteur + Tutorial OpenOffice.org CALC 1. Mettre un titre au document 2. Mettre en forme un tableau 3. Pourcentages dans un tableau 4. Construire un graphique Dans les 3 activités proposés, nous allons utiliser le logiciel OpenOffice.org Calc. Chaque activité doit se travailler sur un seul fichier portant un nom bien défini. On n hésitera pas à enregistrer autant que possible l avancement du travail. 1 1 Correction d un DS de Mathématiques Nom du fichier : Correction_NOM_PREMON.ods M. Boulonne a corrigé les copies du DS de Mathématiques des 28 élèves de la classe de 5ème-1 du collège Voltaire de Wattignies. Les voici : 12,7,5,1,18,10,8,11,16,17,2,2,18,7,1,18,1,15,9,16,14,5,4,3,18,13,1 1. Mettre un titre à votre document. 2. Quel est l effectif total? Tracer et compléter le tableau suivant (la première cellule du tableau doit être en B3) : Note Total Effectifs 4. Tracer un diagramme en bâtons des résultats du DS de Mathématiques. 1 2 Fréquentation d un cinéma Nom du fichier : Cinema_NOM_PRENOM.ods Samedi, au cinéma, il y a eu 200 personnes qui ont regardé un film. 70% de ces 200 personnes ont regardé un film comique, 10% de ces 200 personnes ont regardé un film d horreur et 20% de ces 200 personnes ont regardé un film d action. 1. Mettre un titre à votre document. 2. Quel est l effectif total? Combien de personnes ont vu un film d horreur? Tracer et compléter le tableau suivant (la première cellule du tableau doit être en B3) : Films comique horreur action Total Effectif Pourcentage 70% 10% 20% 100% 5. Tracer un diagramme circulaire de la fréquentation du cinéma. 102 SÉANCE 13. STATISTIQUES

103 1 3 Saut en hauteur Nom du fichier : Saut_NOM_PRENOM.ods Dans un concours de saut en hauteur, voici les résultats en cm des 16 participants : Mettre un titre à votre document. 2. Quel est l effectif total? Combien de personnes ont sauté entre 120 cm et 135 cm? Tracer et compléter le tableau suivant (la première cellule du tableau doit être en B3) : Hauteur du saut (en cm) [105, 120[ [120, 135[ [135, 150[ [150, 165[ Total Effectif 5. Tracer un histogramme des résultats du concours de saut en hauteur. Tutorial OpenOffice.org Calc Mettre un titre au document On se place sur la cellule C1. On écrit le titre du document. On le met en valeur, c est-à-dire : On choisit une belle police d écriture avec le premier menu déroulant (troisième ligne de menu). On met une taille de 18 pour la police d écriture (deuxième menu déroulant, troisième ligne de menu). On met le titre en gras (on appuie sur le bouton B). Mettre en forme un tableau Un beau tableau est un tableau avec du contenu et de la forme (c est-à-dire avec traçage des lignes de cellules). Un exemple de beau tableau : Un exemple de mauvais tableau : On constitue son tableau avec les données de l énoncé. On sélectionne les cellules de son tableau. On va dans Format > Cellules... puis on clique sur l onglet Bordures On sélectionne le bouton avec toutes les lignes noires. Pourcentages dans un tableau Pour mettre en forme un pourcentage dans une cellule, on procède de la manière suivante : On sélectionne la (ou les) cellule(s) qui contiennent un pourcentage. On va dans Format > Cellulles... On clique sur l onglet Nombres et on sélectionne «Pourcentages». Construire un graphique On crée un graphique de la manière suivante : 1. On sélectionne la première colonne (colonne de type de données) et la deuxième colonne (la colonne effectif) du tableau. 2. On va dans Insertion > Diagramme 3. On sélectionne dans un premier temps le type de graphique : «Colonne» pour un diagramme en batons et un histogramme. «Secteur» pour un diagramme circulaire. 4. Dans «Plage de données», on sélectionne «Séries de données en ligne» et on coche «Première ligne comme étiquette» et «Première colonne comme étiquette». 5. Dans «Éléments du diagramme», on met un titre à son graphique et on nomme les axes X (abscisses) et les axes Y (ordonnées) TUTORIAL OPENOFFICE.ORG CALC 103

104 3 Tableaux et graphiques II (TICE) Contenu du cours Date 25 mai 2012 Classe 5 e -1 Déroulé STATISTIQUES (TICE) Fin de l activité TICE : Statistiques 3. Saut en hauteur Utilisation du tableau : personnalisation des graphiques (couleurs des barres, arrière-plan, 3D) Correction de l exercice 21 p 226 Exercices d applications 3 1 L exercice à corriger 1 21 p 226 Quelques élèves d un collège rural ont évalué la distance entre leur domicile et le collège. Les distances sont arrondies à 0, 1 km. 2, 8 ; 0, 6 ; 3, 4 ; 0, 9 ; 2, 8 ; 2, 4 ; 2, 8 ; 6, 4 ; 2, 8 ; 0, 3 ; 3, 2 ; 3 ; 0, 3 ; 2, 1 ; 1, 6 ; 1; 6, 5 ; 2, 1 ; 0, 6 3, 2 ; 0, 5 ; 0, 7 ; 0, 8 ; 1, 8 ; 4, 3 ; 0, 5 ; 5, 4 ; 1, Regroupe ces données par classes de 1 km : moins de 1 km ; entre 1 km et 2 km (2 km non compris) ; Représente cette répartition par un histogramme. 3. Les élèves habitant à moins de 2 km ne reçoivent pas d aide pour payer le transport scolaire. Combien d élèves sont dans ce cas? 104 SÉANCE 13. STATISTIQUES

105 S É A N C E Aires 4

106 1 Aires Contenu du cours Date 1 er juin 2012 Classe 5 e -1 Déroulé AIRES Activité : L aire d un triangle rectangle L aire d un triangle quelconque Formulaire : Aires Feuille d exercices : Exercices 1 et 2 à faire pour lundi 4 juin Activité : L aire d un parallélogramme (à faire pour lundi 4 juin) 1 1 L activité de découverte Activité A. A - Rappels Calculer l aire et le périmètre de chacune des figures suivantes (les unités sont en centimètres) : D 2 C R 1 E F 2 D A 2 1 C B 2 T R 2 3 C E C O 3 2 A 4 B G AB = 2 AG = 4 2 B - L aire d un triangle rectangle 1. Tracer un triangle ABC rectangle en B tel que AB = 4 cm et BC = 3 cm. R 2. Tracer le point D tel que ABCD forme un rectangle. 3. Quel est l aire du rectangle ABCD? 4. Que peut-on dire de l aire du triangle ABC par rapport à l aire du rectangle ABCD? 5. Calculer l aire du triangle ABC. E C - L aire d un triangle quelconque Nous allons montrer dans cette activité que l aire du triangle est : A T = b h 2 où h est la longueur d une des hauteurs du triangle et b la longueur de la base associée. Pour cela, nous allons utiliser la méthode vue en partie B. 106 SÉANCE 14. AIRES

107 1. Tracer ABC un triangle tel que AB = 4 cm, AC = 3 cm et BC = 2 cm. 2. Tracer H la hauteur du triangle ABC issue du point C. On notera H l intersection de la hauteur H avec le côté [AB]. 3. On va tracer le rectangle d aire minimale qui englobe totalement le triangle ABC. a. Tracer (d) la perpendiculaire au côté [AB] passant par A. b. Tracer (d ) la perpendiculaire au côté [AB] passant par B. c. Tracer (d ) tel que (d ) soit parallèle à (AB) et passe par le point C. d. On note D l intersection de la droite (d ) et (d ) et E l intersection (d) et (d ). 4. Montrer que ABDE est un rectangle. (On montrera de même que AHCE et BHCD sont des rectangles). 5. On donne CH = 1,45 cm. En vous inspirant de ce qui a été fait en partie B, calculer l aire du triangle ABC. D - L aire d un parallélogramme Sauriez-vous calculer l aire du parallélogramme ABCD? (les unités sont en centimètres) E 2 D C 2 A 3 B 1 2 Formulaire sur les aires Les unités d aires sont : km 2, hm 2, dam 2, m 2, dm 2, cm 2, mm 2. Carré : c = côté A carré = côté côté = c c Rectangle : L = longueur l = largueur A rectangle = longueur largeur = L l Losange : d = petite diagonale D = grande diagonale A losange = A losange = d D 2 petite diagonale grande diagonale 2 Parallélogramme : Triangle rectangle : b h b a b = base h = hauteur a b } A parallélogramme = base hauteur = b h côtés de l angle droit A triangle rectangle = a b 2 Triangle : h b b = base h = hauteur A triangle = b h AIRES 107

108 Cercle : r r = rayon A cercle = π r r 108 SÉANCE 14. AIRES

109 Exercices d applications 1 3 Feuille d exercices sur l aire d un triangle 1 Voici 10 triangles. Pour chacun d eux, nous avons choisi un côté pour base (b). Pour les deux premiers triangles, nous avons tracé la hauteur associée à la base choisie. Faire de même pour les huit autres triangles. b b b b b b b b b b 2 Le quadrillage proposé est constitué de carrés de 1 cm de côté. Pour chaque triangle : 1. Tracer en couleur la hauteur associée à la base choisie. 2. En déduire l aire de chaque triangle. b b b b 3 1. Sur une feuille de papier milimétré, tracer deux axes de coordonnées perpendiculaires (unité sur chaque axe : le cm) puis placer les points : A(3; 0), B(3; 3), C( 4; 3), D( 3, 3). 2. a. Calculer l aire des triangles DAB et DCB puis celle du quadrilatère ABCD. b. Calculer l aire du triangle ABC ; en déduire celle du triangle CAD AIRES 109

110 4 Classer les 4 triangles par ordre décroissant des aires. d d 5 ABC est un triangle quelconque. B I J C H A À partir de la formule de l aire d un triangle, donner trois expressions différentes de l aire du triangle ABC. 110 SÉANCE 14. AIRES

111 5 S É A N C E Séances de soutien

112 11 mai 2012 Contenu du cours Date 11 mai 2012 Classe 5 e -1 Déroulé THEMES ABORDES : 1. Nombres relatifs et opérations (1 exercice) 2. Parallélogrammes particuliers (4 exercices) Nombres relatifs et opérations 1 Un peu de calcul Calculer : 3 Nature des quadrilatères Dans la figure ci-dessous, préciser, en justifiant les réponses, la nature des quadrilatères suivants : ABCD ; DEGH ; CDEF ; ABDH ; AIDH ; ADEH. A = (+6) + ( 4) (+9) ( 2) + ( 7) G H A B = ( 6, 5) + ( 4, 5) ( 5) (+9) + (+13) C = J D = 24, 5 14, 2 35, 8 24, 5 E = 3 (4 5) + (6 10) E D I B F = (3 4) ( ) F C Parallélogrammes particuliers 2 Reconnaitre les quadrilatères Nommer les quadrilatères particuliers : 1. Je suis un quadrilatère qui a ses côtés opposés deux à deux parallèles. 2. Je suis un quadrilatère qui a quatre angle droit. 3. Je suis un quadrilatère qui a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires. 4. Je suis un quadrilatère qui a pour axes de symétries, ses diagonales. 5. Je suis un quadirlatère qui a pour axes de symétries, les médianes des côtés. 6. Je suis un quadrilatère qui a ses côtés oppoés parallèles et de même longueur. 7. Je suis un quadrilatère qui a ses quatre angles droits et ses quatre côtés de même longueur. 4 Codage Tracer à main levée : a. un parallélogramme b. un rectangle c. un losange d. un carré et renseigner les figures à l aide de codage sur les côtés, les angles (droits?) et les diagonales. 5 Construire... Construire : 1. un losange dont les diagonales mesurent 6 cm et 4 cm ; 2. un rectangle dont les diagonales mesurent 8 cm et font un angle de 70 ; 3. un carré dont les diagonales mesurent 8 cm. 112 SÉANCE 15. SÉANCES DE SOUTIEN

113 25 mai 2012 Contenu du cours Date 25 mai 2012 Classe 5 e -1 Déroulé THEMES ABORDES : STATISTIQUES 1. Lire des données dans un tableau (2 exercices) 2. Lire des données dans un graphique (1 exercice) 3. Construire un graphique (2 exercices) Lire des données dans un tableau 1 Le club de tennis Un club de tennis a établi un tableau récapitulatif de ses membres selon leur catégorie. Catégorie Benjamins Pupilles Minimes Juniors Effectif Quel est l effectif des benjamins? 2. Quel est l effectif de ceux qui ne jouent pas dans la catégorie pupilles? 3. Quel est l effectif total du club? 2 Durée d écoute quotidienne télévisuelle Voici un tableau indiquant l évolution de la durée d écoute quotidienne de la télévision selon l âge d après le CNC (centre national de la cinématographie). 1. Quelle est la durée d écoute a. en 2004 pour les ans? b. en 2008 pour les 4-10 ans? Nombre Âge d heures 4-10 ans ans ans ans En h 05 2 h 21 2 h 05 3 h 14 En h 10 2 h 17 2 h 07 3 h 29 En h 13 2 h 09 1 h 53 3 h Quelle catégorie d âge a subi la plus grande augmentation entre 2000 et 2008? Lire des données dans un graphique 3 Structure de la population française Le graphique suivant illustre la structure de la population française de plus de 15 ans selon l état matrimonial en pourcentage en 2009 (source INSEE). Les questions sont sur l autre page! MAI

114 1. Recopier et compléter le tableau suivant : Hommes Femmes État matrimonial en pourcentage Célibataires Mariés Veufs Divorcés 2. Colorier en bleu la case du tableau qui correspond au pourcentage d hommes mariés. Construire un diagramme 4 Les jours fériés! Voici le nombre de jours fériés par pays. (voir tableau) Pays Jours fériés Allemagne 13 Danemark 10 Espagne 14 Finlande 14 France 11 Grèce 12 Irlande 9 Royaume-Uni 8 Représenter (sur cette feuille) ces données par un diagramme en barres. 114 SÉANCE 15. SÉANCES DE SOUTIEN

115 5 Dans une maison de 90 m 2, la superficie des pièces est donnée dans le tableau ci-dessous. Chambres Bains + WC Salon-Séjour Cuisine Dégagement Total Superficie Angle en 360 Compléter le tableau et le diagramme circulaire ci-dessous (sachant que le disque est gradué de 10 en 10 1 ). Utilisez une couleur pour chaque pièce de la maison et préciser une légende pour le diagramme ciruclaire. 1. pour vous aider à tracer le diagramme, utilisez les pointillés. Toutefois, quand vous tracez le diagramme circulaire, RIEN ne doit dépasser du cercle MAI

116 116 SÉANCE 15. SÉANCES DE SOUTIEN

117 6 S É A N C E Évaluations

118 DM n o 12 de Mathématiques Énigme du DM L énigme n entre pas en compte dans la notation du DM mais valorisera la copie si elle est traitée convenablement. Tracer une droite (d) et un point A qui n appartient pas à la droite (d). Donner une méthode de construction qui permettrait de construire les points B et C sur la droite (d) tels que ABC soit un triangle équilatéral. 1 Calcul fractionnaire Calculer et donner le résultat sous la forme d une fraction la plus simple possible. a) 11 ( ) 15 ; b) ; c) De la géométrie pour finir Dans la figure ci-contre, on sait que F GE = 32, BF E = 100 et BCE = 48. De plus, les droites (BG) et (CD) sont parallèles. A 2 C est quoi ce cirque? 1. Ranger les nombres suivants dans l ordre croissant : B F G N = 3,2 ; C = 2,3 ; S = 4,5 ; W = 2,1 ; L = 1,2 2. Sur un axe gradué d origine O et d unité 1 cm, placer les nombres rangés en question 1. En associant les nombres aux lettres (et en considérant l origine), retrouver le mot mystère. C 48 E D 3 Vingt milieux sous la mer 1. Dans un repère d origine O et d unité 1 cm, placer les points : 2. a. Placer le point I, milieu du segment [AB], le point J, milieu du segment [CD] et le point K, milieu du segment [AC]. b. Quelles sont les coordonnées des points I, J et K? 1. Donner, en justifiant, la mesure de ÊCD. 2. Que peut-on dire des angles BCE et ÊCD? Donner la mesure de ÂCD. 3. Donner, en justifiant, la mesure de ÂF B. A(2; 3) ; B( 5; 3) ; C( 2; 4) ; D(0; 2) ; E(6,5; 4. 0). Donner, en justifiant, la mesure de ÊDC. 5. Que peut-on en déduire pour le triangle ACD? Justifier. 6. Donner, en justifiant, la mesure de l angle ĈAD. 7. En calculant préalablement la mesure d un autre angle, donne, en justifiant, la mesure de F EG. 118 SÉANCE 16. ÉVALUATIONS

119 Correction - DM n o 12 de Mathématiques Enigme du DM Il y avait deux façons de faire : 1. X A B C 2. On trace (d ) la droite parallèle à (d) passant par le point A. On place un point X distinct de A sur la droite (d ). On trace le point B sur la droite (d) tel que XAB = 60 puis le point C tel que ĈAB = 60. On a en plus ĈBA = 60 car les angles ĈBA et BAX sont alernes-internes et que les droites (d) et (d ) sont parallèles. Ainsi, ABC est bien un triangle équilatéral. A C H B 1 On trace (d ) la droite perpendiculaire à la droite (d) et passant par A. On note H le point d intersection de (d) et (d ). On place le point B sur la droite (d) tel que ĤAB = 30 puis le point C sur la droite (d) tel que ĈAH = 30 (B et C sont deux points distincts). Les angles ĈBA et BCA mesurent 60 car AHB et AHC sont deux triangles rectangles et ĈBA = = 60. Ainsi, ABC est un triangle équilatéral. A = 11 ( ) 15 A = ( A = A = 6 15 = 2 5 ) B = B = B = B = 7 9 C = C = C = C = CORRECTION - DM N O 12 DE MATHÉMATIQUES 119

120 2 1. 2, 3 < 1, 2 < 2, 1 < 3, 2 < 4, C L O W N S 3 1. Le mot mystère est CLOWNS. B I E D J 3 K A C 4 2. Voir dans le repère orthonormé ci-dessus. 3. I(0; 1, 5), J( 1, 3), K(0, 3, 5) Je sais que : les droites (BG) et (ED) sont parallèles ; les angles BGC et ĜCD sont alternes-internes ; (GC) est la sécante des droites (BG) et (CD). Propriété : Si deux droites parallèles sont coupés par une sécante alors ces droites forment des angles alternes-internes de même mesure. Calcul : BGC = ÊCD = 32. Donc : l angle ÊCD mesure Les angles BEC et ÊCD sont adjacents. Calcul : ÂCD = ÂCE + ÊCD = = 80. Donc : l angle ÂCD mesure Je sais que : A, F, E sont alignés dans cet ordre donc ÂF E = 180. BF E et BF A sont supplémentaires. Calcul : ÂF E = BF E + ÂF B ÂF B = = SÉANCE 16. ÉVALUATIONS

121 Donc : l angle ÂF B mesure Je sais que : les droites (BG) et (ED) sont parallèles ; les angles BF A et ĜDC sont correspondants ; (AD) est la sécante des droites (BG) et (CD). Propriété : Si deux droites parallèles sont coupés par une sécante alors ces droites forment des angles correspondants de même mesure. Calcul : BF A = ÊDC = 80. Donc : l angle ÊDD mesure Je sais que : ÂCD = 80 ; ĈDE = 80. Propriété : Si un triangle a ses deux angles adjacents au troisième côté de même mesure alors ce triangle est isocèle. Donc : le triangle ACD est un triangle isocèle en A. 6. Je sais que : ACD est un triangle isocèle en A ; ÂCD = 80 ; ĈDE = 80. Propriété : La somme des angles d un triangle est de 180. Calcul : ÂCD + ĈDE + ĈAD = 180 ĈAD = = 20. Donc : l angle ĈAD mesure Je sais que : BF E et BF G sont deux angles supplémentaires ; BF E = 100. Calcul : ÊF G = = 80. Donc : l angle ÊF G mesure 80. Je sais que : ÊF G = 80 ; F GE = 32. Propriété : La somme des angles d un triangle est de 180. Calcul : F EG + ÊF G + F GE = 180 F EG = = 68. Donc : l angle F EG mesure CORRECTION - DM N O 12 DE MATHÉMATIQUES 121

122 DS n o 9 de Mathématiques SUJET PROPOSÉ PAR MME LAHAYE 1 Barème : 1,5 points Calculer et donner le résultat sous forme d une fraction la plus simple possible : Barème : 2 points Le salaire mensuel de Paul est 2300 e. Il en a dépensé deux-cinquièmes la première semaine. 1. Quelle somme a-t-il dépensé? 2. Quelle somme lui reste-il? 3 Barème : 2 points Un article valant 34 euros bénéficie d une remise de 25%. Combien va-t-on payer cet article? 4 Barème : 1,5 points Transforme cette différence en un produit puis calcule : Barème : 5 points Calculer : A = 5 + ( 2) ; B = 5 ( 2) : C = D = (2, 5 3, 5) + ( 5, 2 + 3, 2) ; E = (15 25) ( ) F = 1 3 (9, 2 5) (6 7) (8 9) 6 Barème : 5 points ABC est un triangle isocèle en A ; on note M le milieu du segment [BC] et D le symétrique de A par rapport à M. 1. Faire une figure. 2. Prouver que ABDC est un parallélogramme. 3. Pourquoi ABDC est-il un losange? Justifier. 7 Barème : 3 points On considère la figure ci-dessous. O est un point du segment [NP ] tel que les droites (OL) et (NP ) sont perpendiculaires, on a OL = OP et LN P = 68. L N O P 1. Quelle est la nature du triangle LOP? 2. Expliquer pourquoi l angle ÔP L vaut En déduire la mesure de l angle NLP. Justifier. 122 SÉANCE 16. ÉVALUATIONS

123 Correction - DS n o 9 de Mathématiques 1 Barème : 1,5 points = = = = = Barème : 2 points 1. Calcul : = Paul a depensé 920 e. = 920 e. 2. Calcul : Il lui reste 1380 e. 3 Barème : 2 points Calcul : = 1380 e ( ) = = = = 25, 5 e. Après remise, l article vaut 25, 5 e. 4 Barème : 1,5 points On transforme cette différence en un produit : puis on calcule =413 (64 54) = = Barème : 5 points A = 5 + ( 2) A = 5 2 A = 7 B = 5 ( 2) B = B = 7 C = C = C = C = 6 4 C = 2 D = (2, 5 3, 5) + ( 5, 2 + 3, 2) D = 0 + ( 2, 4) D = 2, 4 E = (15 25) ( ) E = ( 10) (16) E = E = 26 F = 1 3 (9, 2 5) (6 7) (8 9) F = 1 3 4, 2 ( 1) ( 1) F = 1 12, F = 11, F = 10, F = 9, CORRECTION - DS N O 9 DE MATHÉMATIQUES 123

124 6 Barème : 5 points 1. A C M B D 2. Je sais que : M est le milieu du segment [BC] D est le symétrique de A par rapport à M donc M est le milieu du segment [AD]. Propriété : Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc : ABDC est un parallélogramme. 3. Je sais que : ABDC est un parallélogramme, ABC est un triangle isocèle en A donc AB = AC. Propriété : Si un quadrilatère a deux côtés consécutifs de même longueur alors ce quadrilatère est un losange. Donc : ABDC est un losange. 7 Barème : 3 points 1. Je sais que : (OL) et (NP ) sont perpendiculaires ; OL = OP Donc : LOP est un triangle isocèle et rectangle. 2. Je sais que : LOP est un triangle isocèle et rectangle. Propriétés : (a) Dans un triangle, la somme des angles est de 180. (b) Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux. Calculs : Donc : ÔP L = 45. ÔP L = = 90 2 = Je sais que : LNP = 68 ; NOL = 90. Propriété : Dans un triangle, la somme des angles est de 180. Calcul : ÔLN = = 22. Donc : ÔLN = SÉANCE 16. ÉVALUATIONS

125 4. Je sais que : ÔLN = 22 ; ÔLP = 45. Les angles ÔLN et ÔLP sont supplémentaires. Calcul : NLP = NLO + ÔLP = = 67. Donc : NLP = CORRECTION - DS N O 9 DE MATHÉMATIQUES 125

126 5 Évaluation du professeur en 5 e -1 Les qualités : Explications (17) Sympathique (4) Activités en salle d info (4) Correction au bureau des exos (3) Bonne ambiance (2) Leçons compréhensibles (2) Attentif envers les élèves (2) Cours (2) Cours rapidement assimilés (2) Peu d exercices (1) Leçons courtes (1) Cours sur les parallélogrammes (1) Temps de réfléxion en exercice (1) Ludique (1) Impression de temps passé en cours (1) Participation des élèves (1) Déroulement des cours sans problème (1) Apprentissage rapide des cours (1) Exercices faits en cours (1) Méthodes très pédagogiques (1) Suivi du cours par l explication (1) Détails des explications (1) Rectification des erreurs (1) Cours intéressants (1) Cours bien détaillés (1) Aide aux élèves (1) Les défauts : Hésiation de parole (7) Peu d autorité (5) Lanque de confiance en lui (3) Stressé (3) Ecriture au tableau (2) Compréhension des explications (2) Interrogation de mêmes élèves (2) Chemises, habillement (1) Ambiance bruyante (1) Eplications trop rapides (1) Absence de regard sur l élève (1) Explications trop rapides (1) Absence de regard sur l élève (1) Rythme trop lent (1) Suivi du cours (1) Cours + pseronnels (1) Begaiments (1) Répétition de la phrase trop fréquente (1) Liberté de bavardage (1) Cours sur les parallélogrammes (1) 126 SÉANCE 16. ÉVALUATIONS

127 Rythme trop rapide (1) Cours sur les nombres relatifs (1) Explications collcetives moins bien comprises (1) Débit de parole trop rapide (1) ÉVALUATION DU PROFESSEUR EN 5 E

128 128 SÉANCE 16. ÉVALUATIONS

129 IV Stage au collège Voltaire (Wattignies, 2012) - Activités en 3 e

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131 D E S C R I P T I F D U S T A G E Mon stage en responsabilité, dans le cadre de ma seconde année de Master Enseignement de Mathématiques, s est déroulé au collège Voltaire à Wattignies (59), sous la direction de Mme D. LAHAYE. Le but avoué de ce stage est de poursuivre le travail fait en classe de lycée sur les problèmes ouverts et énigmes. Je proposerai de faire au sein même d un devoir maison, quelques énoncés d énigmes. Le travail sur l énigme sera facultatif mais valorisera sûrement une copie moyenne

132 132

133 7 S É A N C E Fonctions linéaires

134 1 Propriétés des fonctions linéaires Contenu du cours Date : 13 février 2012 Classe : 3 e -1 ; 3 e -4 Déroulé : PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS LINÉAIRES Activité : Je démontre les propriétés des fonctions linéaires Cours : Les propriétés des fonctions linéaires Image d une somme Image d un produit par un nombre Exercices d application : n o 49 p 152 n o 50 p 152 n o 51 p 152 Travail à finir : n o 50 p 152 n o 51 p Activités d introduction Activité A. Activité 3 page Je démontre des propriétés des fonctions linéaires A - Propriétés de la proportionnaité On veut faire des crêpes. Dans le tableau suivant, on indique la masse de farine (en g) nécessaire pour réaliser un certain nombre de crêpes. Nombres de crêpes Masse de farine (en g) ? La masse de farine est proportionnelle au nombre de crêpes. On note f la fonction qui, à un nombre de crêpes, associe la masse de farine nécessaire à leur fabrication. Paul a cherché sur sa copie la quantité de farine nécessaire pour faire 50 crêpes. 1. La fonction f est-elle linéaire? Justifier la réponse. 2. Déterminer f(20) et f(30). 3. a. Comment Paul a-t-il calculé f(50)? Copie de Paul : = 50 e t = 625 D o n c, Œp ošuˆr 50 c r ê p e š, ˆi l f aˆuˆt 625 g d e f aˆrˆi n e b. Le résultat de Paul est-il correct? Justifier la réponse. 4. Déterminer f(90) en utilisant le tableau. B - Démonstration On considère une fonction linéaire f : x ax. x 1 et x 2 désignent deux nombres relatifs et k désigne un nombre relatif donné. Recopier et compléter : 134 SÉANCE 17. FONCTIONS LINÉAIRES

135 1. f(x 1 + x 2 ) = (x 1 + x 2 ) =... x x 2 = f(...) + f(...). 2. f(kx 1 ) =... kx 1 = k... x 1 = k f(...). 1 2 Le cours - Propriétés d une fonction linéaire 1. Image d une somme Propriété 17.1 On considère f une fonction linéaire et x et y deux nombres. On a : f(x + y) = f(x) + f(y) Remarque Par une fonction linéaire, l image d une somme est égale à la somme des images. Exemple On considère g la fonction linéaire telle que g(2) = 4 et g(3) = 6 alors 2. Image d un produit g(5) = g(3) + g(2) = = 10, g(7) = 14, g(12) = 24. Propriété 17.4 On considère f une fonction linéaire, x un nombre et k un nombre donné. On a : f(kx) = kf(x). Exercices d applications Remarque On considère f une fonction linéaire, x et y deux nombres et k un nombre donné. En combinant les deux propriétés précédentes, on obtient : f(kx + y) = kf(x) + f(y) Exemple La fonction linéaire h est telle que h(5) = 11. Donc : 1 3 Exercices d application h(15) = h(3 5) = 3 h(5) = 3 11 = n o 49 p. 152 On considère la fonction linéaire f telle que f( 2,5) = 7,2. Sans calculer le coefficient de la fonction, calculer : 1. f( 5) ; 2. f(10) ; 3. f(25). 2 n o 50 p. 152 On considère la fonction linéaire h telle que h(4) = 0,3 et h(9) = 0, Sans calculer le coefficient de la fonction, calculer h(13) puis h(5). 2. Calculer de deux façons différentes h(18). 3 n o 51 p. 152 Un producteur vend des cerises. Monica achète 3,4 kg de ces cerises et paye 7,65 e, tandis que Samira achète 2,8 kg pour 6,30 e. 1. Sans déterminer le prix d un kilogramme de cerises, calculer le prix de 6,2 kg de cerises. 2. Sofiane a payé 1,35 e. Quelle quantité de cerises a-t-il acheté? PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS LINÉAIRES 135

136 136 SÉANCE 17. FONCTIONS LINÉAIRES

137 8 S É A N C E Probabilités

138 1 Introduction des probabilités Contenu du cours Date : 12 mars 2012 Classe : 3 e -1 ; 3 e -4 Déroulé : INTRODUCTION DES PROBABILITES Activité TICE : Simulation de lancers de dés 1. On lance un dé 2. On lance un dé 100 (!!!) fois 3. On lance un dé 200 (!!!!!!!!!) fois 4. Vers les probabilités 1 1 On lance un dé 1. Chacun votre tour, lancez le dé et énoncez à haute voix le nombre de points sur la face supérieure. 2. À partir des données récoltées, comptez le nombre de... sorti lors de l expérience. 3. Donner la fréquence d apparition du nombre Que remarquez-vous? 1 2 On lance un dé 100 (!!!) fois On veut calculer la fréquence d appartition d une face sur 100 lancers de dés. Bien sûr, si l on veut faire ça dans le réel, cela nous prendrait du temps. Ainsi, pour en gagner, nous allons utiliser un logiciel de tableur sur ordinateur. 1. Ouvrez votre tableur favori sur votre ordinateur. 2. Sur une première colonne, vous allez numéroter le nombre de lancés. Pour cela, on place 1 sur une cellule du tableur et on fait glisser pour obtenir le nombre de jets nécessaire pour réaliser l expérience. (Une démonstration vous sera proposée!) 3. Sur une seconde colonne, on va simuler 100 lancers de dés. Pour cela, on tape à côté de la cellule «Jet n o 1», =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6) et on fait glisser la colonne jusqu au jet n o 100. (Une démonstration vous sera proposée!) 4. Attendez que le professeur vous ait donné la face dont vous devez compter le nombre d apparition. Votre face à compter : 5. Compter le nombre d apparition de votre face. 6. Compter la fréquence d apparition de votre face. 7. Comparer le résultat avec votre voisin (s il a terminé!). 1 3 On lance un dé 200 (!!!!!!!!!) fois On va maintenant simuler 200 lancers de dés sur ordinateur. Pour gagner du temps, on gardera les 100 premiers lancers de dés et les résultats de la partie Faire glisser la première colonne pour obtenir un nombre de jets égal à Faire glisser la seconde colonne pour simuler 200 jets de dés. 3. Calculer le nombre d apparition de votre face. 4. Calculer la fréquence d apparition de votre face. 138 SÉANCE 18. PROBABILITÉS

139 5. Comparer le résultat avec votre voisin (s il a terminé!) 6. Que peut-on remarquer par rapport à la partie 2? 1 4 Vers les probabilités 1. Le professeur va vous faire une simulation de lancers de 1000 dés et 2000 dés. Il calculera la fréquence d apparition de la face Que peut-on dire des fréquences d apparition de la face 3? 3. Pour un grand nombre de lancers, la fréquence d apparition de la face 3 se rapproche d une valeur théorique que l on appelle probabilité. 4. Que semble être la probabilité d obtenir en un lancer de dé la face 3? 5. D après les remarques formulées en partie 2 et 3, que semble être la probabilité d obtenir en un lancer de dé la face 6? INTRODUCTION DES PROBABILITÉS 139

140 Feuille d exercices : Des probabilités au brevet Contenu du cours Date 19 mars 2012 Classe 3 e -1 ; 3 e -4 Déroulé 3 e -1 SEANCE D EXERCICES SUR LES PROBABILITES Correction n o 31 p 207 n o 32 p 207 Feuille d exercices : Des probabilités au brevet de n o 1 jusqu à n o 5 inclus Déroulé 3 e -4 SEANCE D EXERCICES SUR LES PROBABILITES Correction n o 24 p 206 n o 25 p 206 n o 26 p 206 Exercices n o 31 p 206 n o 32 p 206 Feuille d exercices : Des probabilités au brevet de n o 1 jusqu à n o 5 inclus 1 Un jeu de 32 cartes est composé de quatre couleurs : trèfle, carreau, cœur et pique. Chaque couleur est composée de huit cartes : sept, huit, neuf, dix, valet, dame, roi et as. Chaque carte possède la même probabilité d être tirée. On tire au hasard une carte d un jeu de 32 et on la remet dans le jeu avant d effectuer tout autre tirage. Répondre aux cinq questions posées dans le tableau ci-après. Pour chaque ligne du tableau ci-après, trois réponses sont proposées mais une seule est exacte. Questions Réponse 1 Réponse 2 Réponse 3 Réponse choisie La probabilité de tirer un cœur est égale à : 2. La probabilité de tirer un neuf est égale à : 3. La probabilité de tirer un trèfle ou un pique est égale à : 4. La probabilité de tirer un valet ou une dame ou un roi (c est-à-dire une figure) est égale à : 5. La probabilité de tirer l as de carreau est égale à : , ,25 1 0,375 On ne peut le 4 savoir Un sac contient 20 boules ayant chacune la même probabilité d être tirée. Ces 20 boules sont numérotées de 1 à 20. On tire une boule au hasard et on la remet dans le sac avant d effectuer un autre tirage. 140 SÉANCE 18. PROBABILITÉS

141 1. Quelle est la probabilité de tirer la boule numérotée 13? 2. Quelle est la probabilité de tirer une boule portant un numéro pair? 3. Quelle est la probabilité de tirer une boule portant un numéro multiple de 3? 4. Quelle est la probabilité de tirer une boule portant un numéro qui soit un nombre premier? 3 Un jeu de construction est composé de 4 cubes bleus, 5 cubes rouges, 6 cubes verts et 10 cubes blancs. Tous les cubes sont de dimensions identiques. Il est donc impossible de les différencier «les yeux fermés». Pour chaque ligne du tableau ci-après, trois réponses sont proposées, mais une seule est exacte. Le barème est le suivant : 1 point pour une bonne réponse ; 0 point s il n y a pas de réponse ; 0,5 point si la réponse est fausse. Si le total des points pour l exercice est négatif, l exercice est noté 0 point. Questions Réponse 1 Réponse 2 Réponse 3 Réponse choisie 1. On tire un cube 0,05 1 0,2 au hasard. La probabilité d obtenir un cube rouge est égale à : 2. On tire un cube 0 0,5 1 au hasard. La probabilité d obtenir un cube est égale à : 3. On tire un cube 0,6 0,4 0,08 au hasard. La probabilité d obtenir un cube rouge ou blanc est égale à : 4. On tire un cube 1 0 0, 5 au hasard. La probabilité d obtenir un cube jaune est égale à : 5. On tire un cube au hasard. La probabilité d obtenir un cube dont la couleur est l une des couleurs du drapeau français est égale à : 0,4 0, ,76 4 On effectue le tirage au sort des rencontres de la coupe du monde de «Chasse aux Papillons». Dans une urne, on met 32 papiers portant chacun le nom d un des pays qualifiés pour cette coupe. Parmi ces 32 pays, figurent des pays européens. La probabilité pour que le pays tiré en premier soit européen est égale à 0,375. Combien de pays non européens participent à cette coupe? Vous expliquerez très clairement la démarche effectuée pour résoudre cet exercice. 5 Une classe de troisième est composée de 14 graçons et 11 filles. Un professeur envoie au tableau un élève choisi au hasard pour corriger un exercice. 1. Quelle est la probabilité pour que cet élève soit une fille? FEUILLE D EXERCICES : DES PROBABILITÉS AU BREVET 141

142 2. Quelle est la probabilité pour que cet élève soit un garçon? 3. Calculer la somme des deux probabilités obtenues aux deux questions précédentes. Interpréter le résultat obtenu. 6 On considère deux dés cubiques, l un rouge et l autre vert. Chaque face de chaque dé est numérotée de 1 à 6. On lance simultanément les deux dés. 1. a. Élaborer un tableau indiquant tous les couples de chiffres qu il est possible d obtenir lors d un lancer. b. Combien en existe-t-il? 2. Quelle est la probabilité d obtenir un couple composé des mêmes chiffres? 3. On s intéresse maintenant à la somme des chiffres apparus lors d un lancer. a. Quelle est la probabilité d obtenir une somme égale à 2? b. Quelle est la probabilité d obtenir une somme égale à 7? c. Quelle est la probabilité d obtenir une somme égale à 11? d. Quelle est la probabilité d obtenir une somme au moins égale à 3? 7 On lance une pièce de monnaie trois fois de suite. Si un lancer donne «Pile», on note P le résultat obtenu. Si un lancer donne «Face», on note F le résultat obtenu. Par exemple (P, F, P ) désigne le résultat suivant : «Pile» au premier lancer, «Face» au deuxième lancer et «Pile» au troisième lancer. 1. a. Tracer un arbre permettant de visualiser toutes les issues possibles. b. Combien existe-t-il d issues possibles? 2. Lorsqu on lance trois fois de suite une pièce de monnaie, quelle est la probabilité d obtenir : a. Trois fois «Face»? b. Exactement deux fois «Pile»? c. Au moins une fois «Face»? 8 Le tableau ci-dessous donne la répartition, selon la surface en m 2, des magasins d un centre commercial. L effectif total est de 67. Surface d un magasin en m Effectif Fréquence 1. Recopier et compléter le tableau ci-dessus. On donnera les fréquences en pourcentages arrondi au dixième près. 2. Quel est le pourcentage de magasins dont la superficie est inférieure ou égale à 69 m 2? 3. Dans cette partie, les résultats seront données sous forme de fraction. Un client se rend au hasard dans l un de ces magasins. a. Quelle est la probabilité que la surface du magasin soit de 81 mètres carrés? b. En déduire la probabilité que la surface du magasin soit inférieure à 81 mètres carrés. 142 SÉANCE 18. PROBABILITÉS

143 3 Arbres Contenu du cours Date 23 mars 2012 Classe 3 e -4 Déroulé ARBRES EN PROBABILITES Correction : Des probabilités au brevet n o 1 n o 4 n o 5 Activités : Lancers simultanés de deux pièces de monnaie ; Lancers sucessifs de deux pièces de monnaie (introduction des arbres) Exercices : Des probabilités au brevet n o 6 n o 7 Activité A. Lancers simultanés de deux pièces de monnaie On effectue l expérience suivante : On lance deux pièces de monnaies On note le nom de la face des deux pièces (indifférement des deux lancers) : «P P» si les deux pièces montrent la face «Pile», «P F», si l une des pièces montre «Pile» et l autre «Face» et «F F» si les deux pièces montrent la face «Face». On a lancé fois les deux pièces de monnaie (simulation sur ordinateur). On a obtenu fois P P et fois F F. 1. Calculer le nombre de fois qu on a obtenu P F. Calculer la fréquence P P, celle de F F, puis celle de P F. Présenter vos résultats sous la forme d un tableau (premier ligne : Résultats, deuxième ligne : Effectif, troisième ligne : Fréquence). 2. a. Est-on dans un cas d équiprobabilité? b. Quelle semble être la probabilité de l événement : «on a obtenu deux piles» «on a obtenu deux faces» «on a obtenu une pile et une face» Activité B. Lancers successifs d une pièce de monnaie On effectue l expérience suivante : on lance une pièce de monanie, on note son résultat : P pour pile et F pour face ; on lance la pièce une seconde fois et on note son résultat. 1. Recopier et compléter l arbre ci-dessous qui permet de déterminer tous les événements élémentaires. P 1 er lancer «on a obtenu..., puis...» F «on a obtenu P, puis F» 2 nd lancer... «on a obtenu..., puis...»... «on a obtenu..., puis...» ARBRES 143

144 2. a. Expliquer pourquoi il s agit d une situation d équiprobabilité. b. En déduire la probabilité de chacun des événements élémentaires. Mettre ces probabilités sur les branches des arbres. 3. Déterminer la probabilité de l événement «on a obtenu une seule fois pile». 144 SÉANCE 18. PROBABILITÉS

145 9 S É A N C E Fonctions affines

146 1 Introduction des fonctions affines Contenu du cours Date 2 avril 2012 (3 e -1) et 9 avril 2012 (3 e -4) Classe 3 e -1 ; 3 e -4 Déroulé INTRODUCTION DES FONCTIONS AFFINES Activité : A la découverte d une nouvelle fonction Cours : Définition d une fonction affine Exercices : n o 44 p 170 n o 49 p 170 n o 51 p Activité : À la découverte d une nouvelle fonction Activité A. Un opérateur de téléphonie propose un forfait de 2 heures de communication à 40 e. Au delà de ce forfait, chaque communication est facturée 0,30 e la minute. 1. a. Combien paiera-t-on de supplément si on dépasse le forfait de 10 min? b. Quel sera le montant total de la facture? 2. Recopier et compléter le tableau suivant : Temps de dépassement (en min) x Supplément payé (en e) Montant de la facture (en e) 3. a. Le supplément payé est-il proportionnel au temps de dépassement? Justifier la réponse. b. Le motant de la facture est-il proportionnel au temps de dépassement? Justifier la réponse. 4. On note s la fonction qui, à un dépassement de x min, associe le supplément payé en euros. Déterminer la fonction s. Quelle est la nature de la fonction s? Justifier la réponse. 5. On note f la fonction qui, à un dépassement de x min, associe le montant total de la facture en euros. a. Déterminer la fonction f. b. Cette fonction est-elle linéaire? Justifier la réponse. c. a et b sont des nombres fixés, une fonctionqui, à tout nombre x, associe le nombre ax + b est appelée fonction affine. La fonction f est-elle une fonction affine? Justifier la réponse. 1 2 Cours : Définition d une fonction affine Définition 19.1 Soient a et b deux nombres donnés. Une fonction affine est une fonction qui, à un nombre x, associe le nombre ax + b. Si f désigne cette fonction, on la note f : x ax + b. On dit que ax + b est l image de x et on note f(x) = ax + b. Remarques SÉANCE 19. FONCTIONS AFFINES

147 Exercices d applications a. Pour calculer l image du nombre x par la fonction f, on multiple x par a, puis on ajoute b. b. f(0) = a 0 + b = b. Le nombre b est l image de 0 par la fonction affine f. Exemple La fonction f qui, à tout nombre x, associe son double augmenté de 5 se note f : x 2x + 5. f est une fonction affine car elle est de la forme f : x ax + b avec a = 2 et b = 5. On a f( 3) = 2 ( 3) + 5 = = 1. L image du nombre 3 par la fonction f est 1. Un antécédent du nombre 1 par la fonction f est le nombre Exercices d entrainement 1 n o 44 p 170 On considère les fonctions suivantes : f : x 3x + 7, g : x 7x 3, h: x 7x + 3, i: x 7x À quelle fonction correspond le processus «Je multiplie par 7 puis j ajoute 3»? 2. Trouver le processus associé à chacune des autres fonctions. 2 n o 49 p 170 On considère la fonction f : x x + 8. Recopier et compléter le tableau suivant : x f(x) n o 51 p 170 On considère uen fonction affine f telle que f(0) = 0. Justifier que la fonction f est linéaire INTRODUCTION DES FONCTIONS AFFINES 147

148 2 Image et antécédent d une fonction affine Contenu du cours Date 7 mai 2012 Classe 3 e -1 Déroulé IMAGE ET ANTECEDENT D UNE FONCTION AFFINE Activité : n o 2 p 162 Je recherche une image ou un antécédent Cours : Définition d une fonction affine Cas particuliers (fonctions constantes et linéaires) Antécédent d une fonction affine non constante + exemples Antécédent d une fonction constante Exercices (à faire pour jeudi 10 mai) : n o 45 p 170 n o 46 p 170 n o 47 p 170 n o 48 p Activité de découverte Activité B. n o 2 p Je recherche une image ou un antécédent A - On considère la fonction affine f : x 3x a. Calculer l image du nombre 4 par la fonction f, puis l image du nombre 5 par la fonction f. b. Récopier et compléter : «Pour calculer l image d un nombre par la fonction f, on ce nombre par 3, puis on 7.» 2. Le nombre x est un antécédent du nombre 2 par la fonction f. a. Quelle égalité vérifie ce nombre x? En déduire une équation dont x est solution. b. Résoudre cette équation. c. En déduire les antécédents du nombre 2 par la fonction f. Combien le nombre 2 a-t-il d antécédents par la fonction f? B - On considère la fonction g : x 8 1. Cette fonction est-elle affine? linéaire? constante? 2. Déterminer l image par la fonction g de chacun des nombres 4, 8 et a. Déterminer les antécédents du nombre 8 par la fonction g. b. Déterminer les antécédents du nombre 3 par la fonction g. 2 2 Cours : Définition d une fonction affine Remarques Cas particuliers : Soit f : x ax + b. Si b = 0 alors on dit que f est une fonction linéaire. Si a = 0 alors on dit que f est une fonction constante. Dans les deux cas, f est une fonction affine. Propriété 19.5 Antécédent Si f est une fonction affine non constante, alors tout nombre admet un antécédent par la fonction f et cet antécédent est unique. 148 SÉANCE 19. FONCTIONS AFFINES

149 Exemple La fonction f : x 4x + 9 est de la forme x ax + b avec b 0. Ainsi, f est une fonction affine non constante. Par la fonction f, tout nombre a un antécédent unique. Par exemple, le nombre 11 admet un unique antécédent par la fonction f, la solution de l équation f(x) = 11. L unique solution de l équation 4x + 9 = 11 est le nombre 5. L antécédent du nombre ( 11) par la fonction f est donc le nombre 5. Remarque Si f est une fonction constante définie par f : x b, alors le nombre b a pour antécédents tous les nombres. Un nombre différent de b n a pas d antécédent. 2 3 Exercices d entrainement Exercices d applications Pour les exercices 45 à 48, on considère las six fonctions suivantes : f : x 4x + 7 ; g : x 4 ; h : x 4 x ; i : x 4x ; j : x 4 ; x k : x x p 170 Décrire le processus associé à chacune de ces fonctions p 170 Parmi ces fonctions, déterminer en justifiant chaque réponse : 1. celles qui sont affines ; 2. celles qui sont linéaires ; 3. celles qui sont constantes ; 4. celles qui ne sont pas affines p 170 Pour chacune de ces fonctions calculer : 1. l image du nombre 10 ; 2. l image du nombre p 170 Pour chacune de ces fonctions déterminer les antécédents du nombre IMAGE ET ANTÉCÉDENT D UNE FONCTION AFFINE 149

150 3 Représentation graphique d une fonction affiine I Contenu du cours Date 14 mai 2012 Classe 3 e -1 ; 3 e -4 Déroulé REPRESENTATION GRAPHIQUE D UNE FONCTION AFFINE I Correction de l activité : le fournisseur d accès Websurf Cours : Représentation graphique d une fonction affine Exercices (à faire pour vendredi 18 mai) : p L activité de découverte Activité C. Le fournisseur d accès Internet WEBSURF propose divers tarifs : Tarif 1 : une formule sans abonnement à 0, 05 e la minute de connexion, soit Tarif 2 : un abonnement mensuel de 10 e et 0,03 e la minute de connexion, soit Tarif 3 : un forfait illimité à 40 e pour le mois. e par heure. e par heure. On note f 1, f 2 et f 3 les fonctions qui font correspondre au temps x de connexion en heure le prix de revient mensuel selon les trois tarifs. Compléter : x x f 1 (x) f 2 (x) f 1 : x f 2 : x f 3 : x Dans un repère, placer les points correspondants aux trois tableaux précédents en reliant ceux d un même tarif. Les unités graphiques sont les suivantes : 1 cm pour 2 h en abscisses. 1 cm pour 8 e en ordonnées 3 2 Le cours : Représentation graphique des fonctions affines Propriété 19.8 Admise Dans un repère, la représentation graphique de la fonction affine f : x ax + b est la droite d équation y = ax + b. Propriété 19.9 La droite coupe l axe des ordonnées en y = b (quand x = 0). b est alors appelé l ordonnée à l origine. a est, quant à lui, appelé le coefficient directeur de la droite. Exemples a. Soit f : x 3x 5. f est une fonction affine (a = 3 et b = 5) donc sa représentation graphique est la droite d équation y = 3x 5. Pour tracer la droite, nous avons besoin de deux points : x 0 4 y SÉANCE 19. FONCTIONS AFFINES

151 b. Soit g : x 3x. g est une fonction linéaire. Sa représentation graphique est la droite passant par l origine du repère et d équation y = 3x. x 0 2 y 5 6 c. Soit h : x 4. h est une fonction constante. Sa représentation graphique est la droite parallèle à l axe des abscisses d équation y = 4. 5 y = 3x y = 3x 5 y = Exercices d applications 3 3 Exercices d entraînement 1 52 p 170 Soit f la fonction telle que f(x) = 3x Quelle est la nature de sa représentation graphique? Justifier la réponse. 2. a. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant : x 0 1 f(x) b. En déduire les coordonnés de deux points appartenant à cette représentation graphique. c. Tracer la représentation graphique de la fonction f p 170 Soit f la fonction telle que f(x) = 2x Quelle est la nature de sa représentation graphique? Justifier la réponse. 2. Tracer la représentation graphique de la fonction f REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D UNE FONCTION AFFIINE I 151

152 4 Représentation graphique d une fonction affine II Contenu du cours Date 18 mai 2012 Classe 3 e -4 Déroulé REPRESENTATION GRAPHIQUE D UNE FONCTION AFFINE II Correction des exercices 52 p p 170 Exercice : 55 p 170 (a et c) Activité : A la découverte d une nouvelle propriété des fonctions affines (à terminer pour lundi 21 mai) Exercices d applications 4 1 Exercices à corriger 1 52 p 170 Soit f la fonction telle que f(x) = 3x Quelle est la nature de sa représentation graphique? Justifier la réponse. 2. a. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant : x 0 1 f(x) b. En déduire les coordonnés de deux points appartenant à cette représentation graphique. c. Tracer la représentation graphique de la fonction f p 170 Soit f la fonction telle que f(x) = 2x Quelle est la nature de sa représentation graphique? Justifier la réponse. 2. Tracer la représentation graphique de la fonction f. Exercices d applications 4 2 Exercice d entraînement 3 55 p 170 Dans un même repère orthogonal, tracer la représentation graphique de chacune des fonctions : 1. f : x 7x 1 ; 2. h : x 3 + 2x. Pour les plus rapides : 1. g : x 9x ; 2. i : x SÉANCE 19. FONCTIONS AFFINES

153 4 3 L activité de découverte Activité D. À la découverte d une nouvelle propriété des fonctions affines On considère la fonction f : x 3x + 4. A - Représentation graphique de la fonction 1. f est-elle affine? linéaire? constante? 2. Quelle est la nature de la représentation graphique? 3. Tracer dans un repère orthogonal d origine O et d unité un carreau, la représentation graphique C f de la fonction f. B - Un rapport surprenant 1. Recopier et compléter le tableau suivant : x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) x 2 x 1 f(x 2 ) f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 1 ) x 2 x 1 (on appelle accroissements des x, la différence de x 2 par x 1, accroissements des f(x), la différence de f(x 2 ) par f(x 1 ) et quotient des accroissements, le nombre f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 ). 2. Que constatez-vous? 3. À quoi correspond le quotient des accroissements pour la fonction f? C - Démonstration On considère la fonction affine f définie par f : x ax+b. x 1 et x 2 désignent deux nomrbes relatifs distincts. 1. a. Démontrer que f(x 2 ) f(x 1 ) = a(x 2 x 1 ) en écrivant, par exemple, que f(x 1 ) = ax 1 + b. b. En déduire la valeur de f(x 2) f(x 1 ) x 2 x Que peut-on dire de l accroissement des f(x) par rapport à l accroissement des x? REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D UNE FONCTION AFFINE II 153

154 5 Proportionnalité des accroissements Contenu du cours Date 21 mai 2012 Classe 3 e -1 ; 3 e -4 Déroulé PROPORTIONNALITÉ DES ACCROISSEMENTS Activité : A la découverte d une propriété des fonctions affines Correction des parties B et C Cours : Proportionnalité des accroissements Exercices : p 168 (à finir pour vendredi 25 mai) 5 1 L activité de découverte Activité E. À la découverte d une nouvelle propriété des fonctions affines On considère la fonction f : x 3x + 4. A - Représentation graphique de la fonction 1. f est-elle affine? linéaire? constante? 2. Quelle est la nature de la représentation graphique? 3. Tracer dans un repère orthogonal d origine O et d unité un carreau, la représentation graphique C f de la fonction f. B - Un rapport surprenant 1. Recopier et compléter le tableau suivant : x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) x 2 x 1 f(x 2 ) f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 1 ) x 2 x 1 (on appelle accroissements des x, la différence de x 2 par x 1, accroissements des f(x), la différence de f(x 2 ) par f(x 1 ) et quotient des accroissements, le nombre f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 ). 2. Que constatez-vous? 3. À quoi correspond le quotient des accroissements pour la fonction f? C - Démonstration On considère la fonction affine f définie par f : x ax+b. x 1 et x 2 désignent deux nomrbes relatifs distincts. 1. a. Démontrer que f(x 2 ) f(x 1 ) = a(x 2 x 1 ) en écrivant, par exemple, que f(x 1 ) = ax 1 + b. b. En déduire la valeur de f(x 2) f(x 1 ) x 2 x Que peut-on dire de l accroissement des f(x) par rapport à l accroissement des x? 154 SÉANCE 19. FONCTIONS AFFINES

155 5 2 Le cours : Proportionnalité des accroissements Propriété a et b désignent des nombres relatifsz ; f est la fonction affine telle que f(x) = ax+b. Pour deux nombres distincts x 1 et x 2, on a : f(x 2 ) f(x 1 ) = a(x 2 x 1 ) ou encore a = f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1. Exercices d applications Remarques a. Pour une fonction affine f : x ax + b, les accroissements des valeurs de f(x) sont proportionnels aux accroissements des valeurs de x. b. Cette propriété permet de calculer le nombre a connaissant deux nombres et leurs images. Exemple f est une fonction affine telle que f(3) = 6 et f(5) = 12. a = f(5) f(3) 5 3 = = 6 2 = 3, donc a = 2. Pour trouver b, on remplace x par une valeur connue de la foncton : et on vérifie si f(5) = 12 : 5 3 Exercices d entraînement f(3) = b = b = 6 b = 6 9 b = 3, f(5) = = 15 3 = p 168 f est une fonction affine telle que : On pose f(x) = ax + b. 1. Calculer le nombre a. 2. En déduire le nombre b. 3. Déterminer la fonction f p 168 g est une fonction affine telle que : On pose g(x) = ax + b. 1. Calculer le nombre a. 2. En déduire le nombre b. 3. Déterminer la fonction g. f(2) = 4 et f(5) = 13. g(1) = 4 et g(3) = PROPORTIONNALITÉ DES ACCROISSEMENTS 155

156 156 SÉANCE 19. FONCTIONS AFFINES

157 S É A N C E PGCD 0

158 1 Division euclidienne, diviseurs Contenu du cours Date 25 mai 2012 Classe 3 e -4 Déroulé DIVISION EUCLIDIENNE, DIVISEURS Activités : Introduction du PGCD 1 p 52 2 p 52 3A p 52 A faire pour le 1er juin : 3B p 52 4A p Une activité TICE sur le PGCD non traitée en classe (sur XCAS) 1. À la découverte du PGCD 1. Aller sur le site Web suivant : et dès que vous êtes sur la page d accueil, cliquez sur l écran noir (il y ait marqué x, en haut de la page). 2. Trouver tous les diviseurs de Pour cela, taper la commande L := divisors(145) (on a créé une liste L qui contient les diviseurs de 145). 3. Trouver tous les diviseurs de Pour cela, taper la commande M := divisors(464) (on a créé une liste M qui contient les diviseurs de 464). 4. Quels sont les éléments en commun dans la liste L (diviseurs de 145) et la liste M (diviseurs de 464)? Pour cela, on tape I := L intersect M (on a créé une liste I dont les éléments sont les éléments en commun). 5. Quel est le plus grand élément de la liste I? On appelle cet élément le Plus grand commun diviseur (ou PGCD) des nombres 145 et 464. Sur la page, vous pouvez écrire max(i) 6. Choissisez deux entiers naturels non nuls. Quel est leur PGCD? Si n et m sont les deux nombres choisis (non nuls), on peut taper gcd(m,n) pour obtenir le PGCD des nombres n et m 2. Vers la méthode des soustractions succesives 1. (a) Déterminer le PGCD de 75 et (b) Déterminer le PGCD de 55 et (a) Que remarque-t-on? (b) Si cette remarque est vraie, quel est son intérêt? Trouver le PGCD de 2724 et 714 en utilisant plusieurs fois la propriété précédente. (On élaborera une stratégie sur la feuille et on calcule les PGCD sur ordinateurs). 4. Compléter le cadre suivant par la propriété découverte dans cette activité. 158 SÉANCE 20. PGCD

159 Soient a et b deux entiers relatifs (avec a > b). Si PGCD(a, b) = d alors PGCD(a, a b) = et PGCD(a, a + b) =. 1 2 Les activités faites en classe Activité A. 1 p 52 - J effectue une division euclidienne 1. a. Éffectuer la division euclidienne de 264 par 15. Quel est le quotient entier? Quel est le reste? b. Quelle égalité peut-on écrire à l aide de ces nombres? 2. a. Effectuer la division euclidienne de 1288 par 23. Quel est le quotient entier? Quel est le reste? b. Quelle égalité peut-on écrire à l aide de ces nombres? c. Recopier et compléter : «23 est un de 1288.» et «1288 est un de 23.» Activité B. 2 p 52 - Je détermine les diviseurs d un entier A : Liste des diviseurs 1. On veut déterminer tous les divisuers du nombre 20. a. Recopier et compléter les égalités : 20 = 1 20 = 2 20 = 4 b. Déduire de chaque égalité deux diviseurs du nombre 20. c. Pourquoi n a-t-on pas écrit l égalité 20 = 3? l égalité 20 = 5? d. Écrire la liste des diviseurs de Déterminer la liste des diviseurs de 90. B : Nombres premiers Un nombre premier est un nombre entier qui admet exactement deux diviseurs. Dans chaque cas, préciser si le nombre est premier. Justifier la réponse. 11 ; 4 ; 2 ; 34 ; 1 ; 0. Activité C. 3 p 52 - Je découvre le PGCD de deux nombres entiers A : Notion de PGCD 1. a. Déterminer la liste des diviseurs de 24, celle des diviseurs de 30 et celle des diviseurs de 35. b. Écrire la liste des diviseurs communs à 24 et 30. Quel est le plus grand? c. Écrire la liste des diviseurs communs à 30 et 35. Quel est le plus grand? d. Écrire la liste des diviseurs communs à 24 et 35. Quel est le lplus grand? DIVISION EUCLIDIENNE, DIVISEURS 159

160 2. Expliquer pourquoi deux nombres entiers positifs ont au moins un diviseur commun. 3. Le plus grand des diviseurs communs à deux nombres entiers a et b s appelle le Plus Grand Commun Diviseur de a et b et se noet PGCD(a; b). Recopier et compléter : «PGCD(24; 30) = ; PGCD(30; 35) = ; PGCD(24; 35) =.» B : Propriétés du PGCD a et b désignent deux nombres entiers strictement positifs. Justifier chaque propriété : 1. PGCD(a; b) = PGCD(b; a) ; 2. PGCD(a; a) = a ; 3. Si b est un diviseur de a alors PGCD(a; b) = b. Activité D. 4 p 53 - Je calcule le PGCD de deux nombres entiers A : Propriétés a et b désignent deux nombres entiers positifs avec a > b. 1. a. Démontrer la propriété : «Si un nombre d divise a et b, alors d divise b et a b». b. Démontrer la propriété : «Si un nombre d divise b et a b, alors d divise a et b.». 2. Que peut-on dire des diviseurs communs à a et b et des diviseurs communs à a et a b? 3. Que peut-on en déduire pour PGCD(a; b) et PGCD(b; a b)? B : Algorithme des soustractions successives [A faire en classe le 1 er juin] 160 SÉANCE 20. PGCD

161 2 À la découverte du PGCD Contenu du cours Date 01 juillet 2012 Classe 3 e -4 Déroulé A LA DECOUERTE DU PGCD Activité : Introduction du PGCD 3B p 52 Cours : Division euclidienne Diviseurs Diviseurs communs PGCD Méthode de recherche du PGCD Exercices : Trouver le PGCD de deux nombres entiers en listant les diviseurs communs des deux nombres Pas de trace écrite! À LA DÉCOUVERTE DU PGCD 161

162 162 SÉANCE 20. PGCD

163 1 S É A N C E Évaluations

164 DM n o 13 de Mathématiques Contenu du cours Date 16 février 2012 À rendre 12 mars 2012 Thèmes Statistiques Calcul littéral Trigonométrie Énigme du DM L énigme n entre pas en compte dans la notation du DM mais valorisera la copie si elle est traitée convenablement. On se donne une série statistique de trois données et on note m la moyenne. Valeurs x 1 x 2 x 3 Effectif n 1 n 2 n 3 Démontrer que : n 1 (x 1 m) + n 2 (x 2 m) + n 3 (x 3 m) n 1 + n 2 + n 3 = 0. 1 On considère les expressions A = 9x (3x 4)(2x 5), B = 9x 2 16, C = (3x 4)(2x 5) 1. Factoriser l expression B. 2. Développer et réduire l expression C. 3. Remarquer que A = B + C et factoriser au maximum l expression A grâce à la question Résoudre l équation 9x 2 16+(3x 4)(2x 5) = On considère x = 2. Mettre A sous la forme a b + c avec a, b, c sont des entiers relatifs, b étant un nombre positif le plus petit possible. 2 Voici les notes obtenues par Louane en mathématiques et en physique Mathématiques 9; 11; 15; 14; 7; 13 Physique 14; 13; 9; 16; 3; Ranger chacune des deux séries de notes dans l ordre croissant. Que peut-on remarquer concernant ces deux séries? 2. Pour chacune des deux séries, calculer : a. la moyenne ; b. la médiane ; c. l étendue. 3. Commenter les résultats obtenus à la question précédente. 3 Un peu de trigonométrie - Brevet Moyen Orient 2005 Le triangle AHC est rectangle en H. La droite passant par le point A et perpendiculaire à la droite (AC) coupe la droite (HC) au point B. On donne : AH = 4,8 cm et HC = 6,4 cm. C 1. a. Justifier l égalité : ÂCH = 90 ĤAC. b. Justifier l égalité : BAH = 90 ĤAC. c. Que peut-on en déduire pour les angles ÂCH et BAH? 2. a. Montrer que tan ÂCH = 3 4. b. En utilisant le triangle BAH, exprimer tan BAH en fonction de BH. 3. Déduire des questions 1 et 2 que BH = 3,6 cm. 4. Calculer la mesure en degré, arrondie au degré de l angle ÂCH. A H B 164 SÉANCE 21. ÉVALUATIONS

165 Brevet blanc février Énoncé Consignes générales : 1. La présentation, la rédaction et l orthographe seront évaluées sur 4 points. 2. L emploi des calculatrices est autorisé (circulaire n o du 16 novembre 1999, publiée au B.O. n o 42 du 25 nouvembre 1999), mais tous les calculs intermédiaires doivent être recopiés. 3. Tout prêt ou emprunt de matériel à un camarade est formellement interdit durant l épreuve. PREMIÈRE PARTIE : ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 POINTS) N1 (2 pts) Les calculs intermédiaires doivent figurer sur la copie. 1. (1 pt) Calculer A et donner le résultat sous la forme d un entier : A = ( ) ( ) 2. (1 pt) Calculer B et donner le résultat en écriture scientifique : B = (10 3 ) N2 (2 pts) Les étapes de calculs doivent figurer sur la copie. A = ( ) 2 et B = ( 7 + 3)( 7 3). 1. (1 pt) Écrire A sous la forme a + b 2 où a et b sont des nombres entiers. 2. (1 pt) Calculer B. N3 (4 pts) On considère C = (1 + 4x) 2 (1 + 4x)(x 4). 1. (1,5 pt) Développer et réduire C. 2. (1,5 pt) Factoriser C. 3. (1 pt) Résoudre l équation (1 + 4x)(3x + 5) = 0. N4 (4 pts) Lors d un contrôle, une classe de 3 e a obtenu les notes suivantes : (1,5 pt) Reproduire et compléter le tableau suivant en rangeant toutes les notes par ordre croissant. 2. (0,5 pt) Quel est l effectif total de ce groupe? Notes 2 4 Effectifs (1 pt : 0,5 pt pour la formule + 0,5 pt pour l arrondi) Quelle est la moyenne des notes de cette classe? Arrondir le résultat à 0, 1 près. 4. (1 pt) Donner la médiane de ces notes BREVET BLANC FÉVRIER ÉNONCÉ 165

166 DEUXIÈME PARTIE : ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (12 POINTS) G1 (5 pts) Pour procéder au chargement des rochers dans les camions, une carrière utilise le dispositif par tapis roulant représenté par le schéma simplifié ci-contre : H D C S A On donne : Longueur du tapis roulant : CD = 11, 70 m. Longueur au sol : CA = 10, 80 m. (DA) et (CA) sont perpendiculaires. Les question 1, 2 et 3 sont indépendantes. 1. (1,5 pt) Calculer DA, la hauteur de laquelle tombent les matériaux. 2. a. (0,5 pt) Exprimier cos DCA. b. (0,5 pt) En déduire à l arrondi à 0, 1 près de l angle que fait le tapis roulant avec l horizontale. c. (1,5 pt : si arrondi 1 pt) Sachant que CS = 6, 50 m et en utilisant la question 2.a., démontrer que CH = 6 M. 3. (1 pt) La vitesse du tapis est de 1, 5 m/s. Calculer la durée nécessaire en secondes, pour acheminer un rocher de C en D. G2 (7 pts) La figure suivante n est pas représentée en vraie grandeur. Il n est pas demandé de la reproduire. I A M O B J P On donne : (MP ) et (AB) sont parallèles. MO = 4, 2 cm ; MP = 6 cm. OA = 10, 8 cm ; OB = 6, 3 cm. 1. (2 pts) En justifiant votre démarche, calculer la longueur AB. 2. (2 pts) Sur la demi-droite [OA), on place le point I tel que OI = 8, 4 cm. Sur la demi-droite [OB), on place le point J tel que OJ = 8, 1 cm. Les droites (IB) et (AJ) sont-elles parallèles? Justifier votre réponse. 3. (1,5 pt) On donne OP = 7, 2 cm. Le triangle MOP est-il rectangle? 4. (1,5 pt) Montrer que les angles MP O et ÔAB sont égaux. Justifier soigneusement votre réponse. 166 SÉANCE 21. ÉVALUATIONS

167 PROBLÈME (12 POINTS) Partie A (5 points) Il existe trois variétés de thon pêché en Polynésie française : le thon Germon (variété de thon blanc) le thon Jaune (à nageoires jaunes, variété de thon rouge) le thon Obèse (variété de thon rouge). 1. Le graphique (sur la feuille à rendre) représente la taille du thon Germon en fonction de sa masse. a. (1 pt) Est-ce que la taille du thon Germon est proportionnelle à sa masse? Justifier. b. (1 pt) L équipe de Moana a capturé un thon Germon de 22 kg. Déterminer graphiquement sa taille. (On laissera apparents les traits de construction). c. (1 pt) L équipe de Teiki a pris un thon Germon de 70 cm. Déterminer graphiquement sa masse. (On laissera apparents les traits de construction). 2. La masse de thon Jaune représente en moyenne 17% de la masse totale des trois espèces de thon pêchées. Le graphique 2, ci-contre, représente la masse de thon Jaune pêché par rappport à la masse totale de thon pêché. a. (1 pt) La masse du thon Jaune est-elle proportionnelle à la masse total de thon pêché? Justifier. b. (1 pt) L équipe de Moana a pêché 400 kg de thon ; calculer la masse de thon jaune pêché. Partie B (7 points) À un concours de pêche au large, les prises sont constituées de thons, d espadons, de thazards et de mahi-mahi. On a réparti les différentes prises des équipes de Moana et de Teiki dans les tableaux I et II (feuille à rendre). 1. (2 pts) Compléter, sur la feuille à rendre, le tableau II. 2. (2 pts) Représenter, sur la feuille à rendre, les prises exprimées en fréquence de ce deuxième tableau, par un diagramme semi-circulaire de rayon 4 cm. 3. (1 pt) Quel est le poisson principalement capturé par chacune des équipes? 4. (2 pts) Quel pourcentage de la masse totale de poissons capturés par l ensemble des deux équipes, représente la masse totale de thon pêché par l ensemble des deux équipes? (Arrondir à l unité) BREVET BLANC FÉVRIER ÉNONCÉ 167

168 Feuille à rendre Diagramme semi-circulaire des prises de l équipe de Teiki 168 SÉANCE 21. ÉVALUATIONS

169 Brevet blanc février Correction PREMIÈRE PARTIE : ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 POINTS) N1 ( A = ) ( ) ( 2 3 A = + 2 ) ( ) 5 3 ( 6 A = ( ) ) 15 A = A = A = A = 20 B = (10 3 ) B = B = B = B = 1, (Notation scientifique) N2 A = ( ) 2 A = A = A = B = ( 7 3)( 7 + 3) B = ( 7) B = 7 9 B = 2 N3 C = (1 + 4x) 2 (1 + 4x)(x 4) 1. On développe l expression C. 2. On factorise l expression C. C = x + (4x) 2 [x 4 + 4x 2 16x] C = 1 + 8x + 16x 2 [4x 2 15x 4] C = x + 12x 2. C = (1 + 4x)(1 + 4x) (1 + 4x)(x 4) C = (1 + 4x)(1 + 4x [x 4]) C = (1 + 4x)(5 + 3x). 3. On veut résoudre l équation (1 + 4x)(5 + 3x) = 0. On a affaire à une équation produit (c est-à-dire à une équation qui s écrit sous la forme d un produit de facteurs égal à zéro). Donc, il y a deux solutions à l équation : soit (1 + 4x) = 0 4x 1 3x = BREVET BLANC FÉVRIER x = CORRECTION x = soit 5 + 3x = 0

170 Ainsi, les solution de l équation (1 + 4x)(5 + 3x) sont x = 1 4 et x = 5 3. N4 1. Notes Effectif Il faut sommer les effectifs de chaque note pour obtenir l effectif total : = 28. Il y a 28 élèves dans la classe de 3 e étudiée. 3. On utilise la formule de la moyenne : M= ,3. La moyenne de la classe est d environ 10, 3 (arrondi à 0, 1 près). 4. Pour calculer la médiane, on range la série statistique dans l ordre croissant : De plus, l effectif total est de 28 (effectif pair), donc pour obtenir la médiane, on fait la moyenne de la 14 e note et de la 15 e note, d où : m = = 10, 5. 2 La note médiane du contrôle est donc de 10, SÉANCE 21. ÉVALUATIONS

171 DEUXIÈME PARTIE : ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (12 POINTS) G1 1. Les droites (DA) et (CA) sont perpendiculaires donc CAD est un triangle rectangle en A. On a : CA = 10, 80 m et CD = 11, 70 m. On cherche la longueur DA. D après le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle CAD en A. La longueur du tapis est de 4, 5 mètres. 2. a. On utilise la formule du cosinus : cos DCA = CA 2 + AD 2 = CD 2 10, AD 2 = 11, 7 2 AD 2 = 11, , 8 2 AD 2 = 20, 25 (= 81 4 ) AD = 20, AD = 4 81 AD = 4 AD = 9 2 = 4, 5 m. «côté adjacent» «hypothénuse» = CA CD = 10, 8 11, 7 = = b. Comme cos DCA = 12, DCA 22, 6 (sur la calculatrice, on tape 13 2nd + cos : + 13). Donc : L angle DCA vaut environ 22, 6. c. Comme H [CD] et S [CA], l angle DCA = ĤCS et ainsi : On sait de plus que CS = 6, 5 m. cos DCA = cos ĤCS = CH CS = CH = La longueur du segment [CH] est de 6 mètres. 12 6, 5 13 = 12 2 = 6 m. 3. On sait que CB = 11, 70 mètres. La vitesse est de 1, 5 m/s. Pour 1, 5 mètres, on met une seconde donc pour 11, 70 mètres, on met 7, 8 secondes. 11, 70 1, 5 = 7, 8. G2 Le rocher est acheminé du point C au point D en 7, 8 secondes. 1. Les points M, O, B et P, O, A, sont alignés dans le même ordre. De plus, les droites (MP ) et (AB) sont parallèles donc on peut appliquer le théorème de Thalès. MP AB = OM OB = 4, 2 6, 3 AB = 6 6, 3 4, 2 = La longueur du segment [AB] est égale à 9 centimètres. = = 9 cm BREVET BLANC FÉVRIER CORRECTION 171

172 2. Les points J, B, O et A, I, O sont alignés dans le même ordre. De plus on a : OB OJ = 6, 3 8, 1 = 7 9 et OI OA = 8, 4 10, 8 = 7 9. Donc, d après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (IB) et (AJ) sont parallèles. 3. On a : OP 2 = 7, 2 2 = 51, 84 OM 2 + MP 2 = 4, = 53, 64 D où : OP 2 OM 2 + MP 2. Le triangle MOP n est pas rectangle (d après le théorème de Pythagore). 4. Comme les angles MP O et ÔAB sont des angles alternes-internes et que les droites (AB) et (MP ) sont parallèles, les angles MP O et ÔAB sont des angles égaux. 172 SÉANCE 21. ÉVALUATIONS

173 PROBLÈME (12 POINTS) Partie A (5 points) 1. a. La taille du thon de Germon n est pas proportionnelle à la masse car la courbe représentative de la masse du thon par rapport à sa taille n est pas une droite. b. Il fallait indiquer les pointillés et les flèches utiles à la lecture : Par une lecture graphique, le thon de Germon de 22 kg qu a capturé l équipe de Moana fait 100 centimètres (ou un mètre). c. Il fallait indiquer les pointillés et les flèches utiles à la lecture : Par une lecture graphique, le thon de Germon mesurant 68 centimètres qu a capturé l équipe de Teiki pèse 7 kg. 2. a. La masse du thon jaune est proportionnelle à la mase totale pêché car la courbe représentative de la masse du thon jaune par rapport à la masse du thon total pêché est une droite passant par l origine. b. La masse de thon jaune représente 17% de la masse total de thon pêché. D où : L équipe de Moana a pêché 68 kg de thon jaune. = 4 17 = 68 kg BREVET BLANC FÉVRIER CORRECTION 173