Chapitre IV. Chapitre IV : Parties génératrices et parties libres

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1 Chapitre IV Chapitre IV : Parties génératrices et parties libres

2 Introduction On va étudier plus en profondeur la structure d un espace vectoriel quelconque V sur K. Tout ce qu on va raconter dans la suite sera donc vrai (sauf précision contraire) pour n importe quel espace vectoriel : les espaces K n, les espaces de polynômes, etc.

3 Introduction Dans la suite, V désignera toujours un espace vectoriel quelconque sur un corps K. L étudiant qui a du mal avec cette approche un peu plus abstraite peut garder les espaces K n à l esprit, même si ce qu on va raconter est vrai de façon bien plus générale (pour des espaces vectoriels n ayant pas grand chose à voir avec K n, comme l espace R R de fonctions de R dans R).

4 Sous-espace engendré On a vu au Chapitre I que si v K n, alors la droite vectorielle <v> engendrée par v <v> = {λv λ K} est un sous-espace vectoriel de K n contenant le vecteur v.

5 Sous-espace engendré En fait, <v> est le plus petit sous-espace de K n contenant v. En effet, si W est un sous-espace contenant v alors <v> W vu que tous les multiples de v doivent être dans W (c est la troisième propriété définissant un sous-espace).

6 Sous-espace engendré On va maintenant montrer plus généralement, pour un espace vectoriel quelconque V et X V, l existence d un plus petit sous-espace vectoriel de V contenant X.

7 Sous-espace engendré Remarquons que si X V, alors certains sous-espaces de V contiennent forcément X. Par exemple, l espace tout entier V est un tel sous-espace. Il peut en exister beaucoup d autre (cela dépend de V et de X ).

8 Sous-espace engendré On définit le sous-espace engendré par X V comme l intersection de tous les sous-espaces de V contenant X, on le note <X >. On a démontré (chapitre I, Proposition 3) que l intersection d un nombre fini de sous-espaces de K n est toujours un sous-espace de K n. De façon générale, la propriété reste vraie pour un nombre quelconque de sous-espace de V où V est un espace vectoriel quelconque (pas nécessairement égal à K n ).

9 Sous-espace engendré Ainsi, <X > est un sous-espace de V, et il contient forcément X (vu que tous les sous-espaces impliqués dans l intersection contiennent X ). De plus, <X > est forcément le plus petit sous-espace contenant X (pour l inclusion) vu que, par construction, il est contenu dans tout sous-espace contenant X. La terminologie "sous-espace engendré" par X est donc bien justifiée!

10 Sous-espace engendré La définition qu on vient de donner n est cependant pas pratique si l on souhaite calculer <X > explicitement. Il faudrait prendre l intersection de tous les sous-espaces contenant X, or il y en a généralement une infinité! On va donc trouver une moyen plus pratique.

11 Sous-espace engendré Exemple 1 Soit V = R 3. Prenons X = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} et déterminons <X >. Comme <X > est un sous-espace, on doit avoir λ(1, 0, 0) <X > et µ(0, 1, 0) <X > pour tous λ, µ R. Du coup on aurait aussi pour tous λ, µ : λ(1, 0, 0) + µ(0, 1, 0) = (λ, µ, 0) <X >. Donc {(λ, µ, 0) λ, µ R} <X >. Mais {(λ, µ, 0) λ, µ R} est un sous-espace de R 3 qui contient X. Donc on doit avoir {(λ, µ, 0) λ, µ R} = <X >.

12 Sous-espace engendré En fait {(λ, µ, 0) λ, µ R} est le plan d équation x 3 = 0. x 3 (0, 1, 0) (1, 0, 0) λ(1, 0, 0) + µ(0, 1, 0)

13 Sous-espace engendré Soit X V et x 1,..., x m des éléments de X. Si λ 1,..., λ m K, nous dirons que λ 1 x λ m x m est une combinaison linéaire de x 1,..., x m. L exemple précédent suggère qu il y a un lien entre les combinaisons linéaires d éléments de X et <X >.

14 Sous-espace engendré Exemple 2 Le vecteur (5, 3, 0) est une combinaison linéaire de (1, 0, 0) et (0, 1, 0) vu que (5, 3, 0) = 5(1, 0, 0) 3(0, 1, 0). En revanche, (1, 1, 1) n est pas combinaison linéaire de (1, 0, 0) et (0, 1, 0) vu que ces deux vecteurs ont une troisième composante nulle, contrairement à (1, 1, 1).

15 Combinaisons linéaires Remarque : une combinaison linéaire ne contient qu un nombre fini de termes. Une "somme infinie" d éléments d un espace vectoriel ne possède à priori aucun sens!

16 Sous-espace engendré Théorème 3 Soit X V avec X non vide. Alors <X > est égal à l ensemble de toutes les combinaisons linéaires d éléments de X. Démonstration : Soit Y = {λ 1 x λ m x m x 1,..., x m X, λ 1,..., λ m K} l ensemble de toutes les combinaisons linéaires de X. Il est clair que Y <X > vu que <X > est un sous-espace de V contenant X.

17 Sous-espace engendré Mais Y est aussi un sous-espace de V vu que : 0 Y, La somme de deux combinaisons linéaires d éléments de X est encore une combinaison linéaire d éléments de X, Multiplier une combinaison linéaire d éléments de X par un scalaire λ redonne une combinaison linéaire d éléments de X. Comme Y contient X (vu que x est une combinaison linéaire pour tout x X ), on doit avoir Y = <X >.

18 Sous-espace engendré Si X = est l ensemble vide, alors < > = {0}. Rappel : ici, 0 désigne donc le vecteur nul de V, qui n est pas égal au nombre réel 0! (Sauf bien sûr si V = K n avec n = 1).

19 Sous-espace engendré Exemple 4 Considérons le sous-ensemble suivant de K n (pour K quelconque) : X = {(1, 0,..., 0), (0, 1, 0,..., 0),..., (0, 0,..., 0, 1)}. Alors <X > = {(λ 1, λ 2,..., λ n ) λ 1,..., λ n K} c est-à-dire <X > = K n.

20 Parties génératrices Lorsque <X > = V, on dit que X est une partie génératrice de V. Exemple 5 D après l exemple précédent, {(1, 0,..., 0), (0, 1, 0,..., 0),..., (0, 0,..., 0, 1)} est une partie génératrice de K n.

21 Parties génératrices Un espace vectoriel admet en général plus d une partie génératrice : Exemple 6 Considérons le sous-espace V = <(1, 2, 3)> = {λ(1, 2, 3) λ R} de R 3. Alors {(1, 2, 3)} est une partie génératrice de V. Voici d autres parties génératrices de V : 1 {(0, 0, 0), (1, 2, 3)} 2 {(1, 2, 3), (2, 4, 6)} 3 {(0, 0, 0), (1, 2, 3), (2, 4, 6)} 4...

22 Parties génératrice En fait, si X est une partie génératrice d un espace vectoriel V et si Y V, alors <X Y > est évidemment aussi génératrice pour V. Donc, les vecteurs de Y sont superflus. Ils ne permettent pas d engendrer plus de vecteurs vu qu ils sont déjà dans V, et tous les vecteurs de V sont déjà engendrés par X.

23 Parties libres On aimerait pouvoir disposer, pour un espace vectoriel donné, d une partie génératrice qui soit minimale (c est-à-dire avec le moins de vecteurs possibles). La notion de partie libre va nous permettre de formaliser ceci. Nous dirons qu une partie X V est libre si pour tout vecteur x X, on a x / <X \ {x}>.

24 Parties libres Ainsi, une partie X est libre si aucun vecteur de X ne peut être engendré à partir des autres. Exemple 7 Dans R 3, la partie {(0, 0, 0), (1, 2, 3)} n est pas libre vu que (0, 0, 0) = 0(1, 2, 3) donc (0, 0, 0) <(1, 2, 3)>. De même, {(1, 2, 3), (1, 2, 4), (3, 6, 11)} n est pas libre vu que (3, 6, 11) = (1, 2, 3) + 2(1, 2, 4). Exemple 8 La partie {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} est libre dans R 3.

25 Parties libres Les vecteurs d une partie libre X sont appelés linéairement indépendants. Si la partie n est pas libre, il existe un vecteur de X qui est combinaison linéaire des autres, et les vecteurs sont alors appelés linéairement dépendants.

26 Bases Si X est une partie à la fois libre et génératrice de V, on dira que X forme une base de V. Les bases constituent donc les parties génératrices minimales (pour l inclusion) de V. Nous en parlerons plus en détails au prochain chapitre.

27 Parties libres Voici un critère permettant de déterminer si une partie X donné est libre : Proposition 1 Le sous-ensemble X V est libre si et seulement si la propriété suivante est satisfaite : si il existe des scalaires λ 1,..., λ m et des éléments x 1,..., x m dans X tels que alors λ 1 = λ 2... = λ m = 0. λ 1 x λ m x m = 0

28 Parties libres Démonstration : Supposons que X soit libre et qu il existe x 1,..., x m et λ 1,..., λ m tels que λ 1 x λ m x m = 0 avec, disons, λ i 0. Alors on peut isoler x i dans cette équation et on en déduirait que x i est combinaison linéaire des autres éléments, ce qui serait en contradiction avec le fait que X est libre. On doit donc avoir λ 1 = λ 2... = λ m = 0.

29 Parties libres Supposons à présent que la condition du théorème soit satisfaite et que X ne soit pas libre. Il existe alors x tel que x <X \ {x}>. On peut donc trouver des vecteurs x 1,..., x m différents de x et des scalaires λ 1,..., λ m tels que c est-à-dire x = λ 1 x λ m x m x λ 1 x 1... λ m x m = 0 ce qui est une contradiction avec la condition de la proposition vu que le coefficient devant x est 1 (et est donc non nul). Donc X doit être libre.

30 Parties libres La Proposition 1 est souvent appliquée lorsqu on souhaite prouver qu une partie est libre.

31 Parties libres Exemple 9 Montrons que la partie suivante de (Z 3 ) 4 est libre : X = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 1), (2, 2, 2, 1)}. Supposons donc que λ 1 (1, 1, 1, 1) + λ 2 (1, 2, 1, 1) + λ 3 (2, 2, 2, 1) = 0 et montrons que tous les λ sont nuls. Cette équation s écrit aussi (λ 1 +λ 2 +2λ 3, λ 1 +2λ 2 +2λ 3, λ 1 +λ 2 +2λ 3, λ 1 +λ 2 +λ 3 ) = (0, 0, 0, 0)

32 Parties libres Exemple (Suite de l exemple 9) Comme deux vecteurs de K n sont égaux si et seulement si ils sont égaux composante par composante, la dernière équation sera satisfaite si et seulement si le système suivant l est : λ 1 + λ 2 + 2λ 3 = 0 λ 1 + 2λ 2 + 2λ 3 = 0 (1) λ 1 + λ 2 + 2λ 3 = 0 λ 1 + λ 2 + λ 3 = 0 On applique alors la méthode de Gauss au système (exercice!), et on trouve que l unique solution est (0, 0, 0) ce qui montre bien que tous les λ sont nuls. Donc la partie est bien libre par la Proposition 1.

33 Parties libres Exemple 10 La partie {(1, 0,..., 0), (0, 1, 0,..., 0),..., (0, 0,..., 0, 1)} est clairement libre par la Proposition 1. Comme elle est aussi génératrice de K n, il s agit d une base de K n.

34 Résumé des points importants du chapitre 1 Les définitions de sous-espace engendré, combinaison linéaire, partie génératrice, partie libre, 2 Le sous-espace engendré par X est égal à l ensemble des combinaisons linéaires d éléments de X, 3 La Proposition 1 qui caractérise les parties libres.