CORRECTION BACCALAUREAT BLANC N 1 - Séries ES et L EXERCICE 1 (4 points) COMMUN A TOUS LES CANDIDATS

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1 CORRECTION BACCALAUREAT BLANC N 1 - Séries ES et L EXERCICE 1 (4 points) COMMUN A TOUS LES CANDIDATS Extrait Bac. ES ) Une baisse de 25 % est compensée par une hausse, arrondie à l unité, de : (a) 20% (b) 25% (c) 33% Méthode : le taux réciproque vérifie 1 + = =, 1,33 donc 1,33 1 = 0,33. 2) La population d une ville a augmenté de 7% en 2004, de 5 % en 2005 et de 6 % en L augmentation de la population de cette ville sur la période est, arrondie à l unité près, égale à : (a) 17% (b) 18% (c) 19% Méthode : le taux global vérifie 1 + = (1 + )(1 + )(1 + ) 1,19 donc 1,19 1 = 0,19. 3) ( ) est une suite géométrique telle que = 2 et = 32. Sa raison est égale à : (a) (b) 2 (c) 4 Méthode : = donc 32 = 2 donc = 16 donc = 2 convient. 4) Le nombre = ( )² où est un réel est égale à : (a) ² (b) (c). Méthode : ( )² = =. EXERCICE 2 (5 points) CANDIDATS N AYANT PAS SUIVI L ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE Données : - un tableau qui représente l'évolution du taux d'endettement des ménages, en pourcentage du revenu disponible brut, en France de 2001 à une fonction qui modélise l'évolution du taux d'endettement des ménages, définie sur 0 ; 11 par () = 0,04 + 0,68² 0, ,4 1) a. Taux d'endettement des ménages en 2009 : (0,5 point) 2009 est l année de rang 9 d où (9) = 0, ,68 9² 0, ,4 76,78. Avec ce modèle, le taux d'endettement des ménages en 2009 est estimé à 76,78%. b. Pourcentage d'erreur par rapport au taux réel d'endettement des ménages en 2009 : (0,5 point) D après le tableau, l endettement en 2009 s élève à 75,7% d où,,, 1,4. Avec ce modèle, le taux d'endettement des ménages en 2009 est surestimé d'environ 1,4 %. 2) a. Calcul de () et () : pour tout de 0 ; 11 () = 0,04 3² + 0,68 2 0,06 () = 0, ,36 donc () =, ² +,, (0,5 point) donc () =, +, (0,5 point) b. Etude de la convexité : elle dépend du signe de (). (1 point) () = 0 =, = donc, () 0 pour 0 ; et () 0 pour ; 11. est convexe sur l intervalle ; et concave sur l intervalle ;.

2 c. Existence d un point d'inflexion : (0,5 point) La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour =. La courbe admet un point d'inflexion d'abscisse. 3) Le rythme de croissance instantané du taux d'endettement est assimilé à la dérivée de la fonction. Au cours de quelle année, le rythme de croissance du taux d'endettement a-t-il commencé à diminuer? (1,5 point) Les variations de la fonction se déduisent du signe de sa dérivée. 0 () () est décroissante sur l'intervalle ; 11 et 5<<6 donc : Le rythme de croissance du taux d'endettement d a commencé à diminuer au cours de l'année EXERCICE 2 (5 points) CANDIDATS AYANT SUIVI L ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE 1) Chaque sommet du graphe est relié par une chaine. Donc le graphe est connexe. (1 point) 2) D après le graphe on a : Sommet A B C D E F Degré Chaque sommet a un degré pair donc le graphe admet un cycle eulérien. (1 point) Donc le touriste peut emprunter er tous les trajets inter-stations du réseau de tramway ci-dessus, une fois et une seule, tout en revenant à son point de départ. 3) a. Matrice d'adjacence associée au graphe : (1 point) = b. On veut relier E à F donc le nombre de chaîne de longueur est donné par le terme de la matrice. Si = 1, = 0 donc il n existe pas de chaine de longueur 1 reliant E à F. Si = 2, = 2 donc il existe 2 chaines de longueur 2 reliant E à F. Si = 3, = 4 donc il existe 4 chaines de longueur 3 reliant E à F. Donc le touriste a 6 possibilités. (1 point) 4) Le chemin correspondant au trajet le plus court est F-E-C F en 6 minutes. (1 point)

3 EXERCICE 3 (6 points) COMMUN A TOUS LES CANDIDATS Extrait Bac. ES- Réunion 2006 Données : une suite ( ) définie par récurrence par = 3 et = 0,75 + 1,2. A 1) Pour obtenir la représentation des termes de la suite : - placer le terme initial = 3 sur l'axe des abscisses. - est l'ordonnée du point de la droite D d'abscisse 3. - à l'aide de la droite on rabat l'ordonnée sur l'axe des abscisses. - poursuivre le procédé pour représenter les termes suivants. (1 point) A 2) 2 La suite ( ) semble converger vers l'abscisse du point d'intersection des droites et Δ. Si on note cette limite alors est solution de l équation 0,75 + 1,2 =. Or 0,75 + 1,2 = 0,75 = 1,2 0,25 = 1,2 =, = 4,8., Donc ( ) semble converger vers 4,8. (0,75 point) A 3) Nouveau programme : (1+0,5 point),. A prend la valeur 3 Pour I allant de 1 à 11 faire prend la valeur 0,75 + 1,2; Fin pour Afficher. B 1) La suite ( ) définie par = 4,8 pour tout nombre entier naturel. a. Calcul de : (0,25 point) = 4,8 = 3 4,8 =,.

4 b. Nature de la suite ( ) : (1 point) pour tout entier, = 4,8 or par définition = 0,75 + 1,2 = 0,75 + 1,2 4,8 = 0,75 3,6 = 0,75( 4,8) = 0,75 Donc la suite ( ) est une suite géométrique de raison 0,75 et de 1 er terme =,. c. Expression de en fonction de : (0,5 point) ( ) étant une suite géométrique de raison 0,75 alors = 0,75 = 1,8 0,75. Comme = 4,8 alors = + 4,8. Donc pour tout entier, =,, (, ). d. Limite de ( ) (0,5 point) Comme 0<0,75<1 alors lim 0,75 = 0 donc lim 1,8 0,75 = 0 d où lim = 4,8. Donc converge et =,. B 2) 2 La suite ( ) convergeant vers 4,8 elle ne dépassera jamais cette valeur. (0,5 point) Si l évolution du nombre d adhérents se poursuit selon ce modèle, le nombre d adhérents du club ne dépassera pas 480. EXERCICE 4 (7 points) COMMUN A TOUS LES CANDIDATS PARTIE A : fonction auxiliaire On considère la fonction définie sur IR par : () = + 1. A 1) Calcul de () : (0,5 point) () =. A 2) Résoudre dans IR l inéquation : 1 0. (0,5 point) L ensemble des solutions est l intervalle ; +. A 3) Tableau de variation de sur IR : (1 point) 0 + () 0 + () 2 (0) = + 1 = = 2 admet un minimum 2 en 0. Donc est une fonction strictement positive sur IR.

5 PARTIE B : étude de fonction On considère maintenant la fonction définie sur 1 ; + par : () = On note la courbe représentative de. B 1) a. Fonction dérivée (): (1 point) Pour tout réel 1, () = 1 + = + () =. ( ) Donc pour tout réel, () = (). b. Variations de sur 1 ; + (0,5 point) () est du signe de () puisque > 0. Donc est strictement croissante sur 1 ; +. B 2) Equation de la tangente à au point d abscisse 0 : (0,5 point) L équation s écrit = (0)( 0) + (0). Or (0) = () = = 2 et (0) = 1. La tangente au point d abscisse 0 a pour équation réduite = +. B 3) a. Equation () = 0 admet une unique solution dans l'intervalle 1 ; 0 : (0,75 point) est une fonction continue et strictement croissante sur 1 ; 0. ( 1) = = < 0 et (0) = 1 > 0 donc ( 1) < 0 < (0). D après le théorème des valeurs intermédiaires l équation () = admet une unique solution dans l'intervalle ;. b. Encadrement de (0,25 point) D après la calculatrice, ( 0,5) 0,3244 et ( 0,4) 0,00327 donc, < < 0,4. c. Signe de () sur 1 ; + (0,5 point) est strictement croissante et s annule une seule fois en d où le tableau de signes : 1 + () 0 + B 4) A l aide d un logiciel de calcul formel, on a obtenu l expression de la dériver seconde () de. a. Signe de () sur 1 ; + : (0,5 point) Pour tout 1, () = qui est du signe de () 0 + b. Convexité de sur 1 ; + (1 point) La convexité de dépend du signe de (), est concave sur ;, convexe sur ; + et admet un point d inflexion en 2.

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