PRODUIT SCALAIRE DANS LE PLAN (1/4) : DÉFINITION ET PREMIÈRES

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1 PRODUIT SCALAIRE DANS LE PLAN (/4) : DÉFINITION ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS Définition : Le projeté orthogonal d un point B sur une droite (OA) est le point H de la droite (OA) tel que (BH) (OA). Définition : Soient u et v deux vecteurs non nuls du plan, et O, A et B trois points tels que u et OA = OB = v. le produit scalaire des deux vecteurs u et v, noté u. v, est un nombre réel défini ainsi : Si l un des deux vecteurs est nul, alors u.v =0 ; Si aucun des deux vecteurs n est nul, alors, en notant H le projeté orthogonal de B sur (OA) : u.v = OA OH u.v =OA OH u.v =0 Théorème : Soient u et v deux vecteurs du plan. v. u= u. v Démonstration. On note H le projeté orthogonal de B sur (OA) et K le projeté orthogonal de A sur (OB). On a : OB OK = OB (OA AK) = OB OA AK OB = (OH+HB) OA AK OB = OH OA + HB OA AK OB = OH OA + ( Aire(OAB)) ( Aire(OAB)) = OA OH En résumé (OB OK)= (OA OH). Comme les longueurs sont des nombres réels positifs, on en déduit que : OB OK = OA OH. On a démontré que : v. u= u. v. Commentaire. Le produit scalaire ne dépend donc pas de la projection orthogonale choisie. Exemple. On considère un carré AD de côté et E le milieu de [AB]. Calculer EB. AC et ED. EB. EB. AC = AE. AC B est le projeté orthogonal de C sur (AB) donc : AE. AC = AE AB = donc EB. AC =. ED. EB = EB. ED A est le projeté orthogonal de D sur (EB) donc : EB. ED = EB EA = = donc EB. ED =. Définition : La norme d un vecteur u est sa longueur. Elle est notée u. Théorème : Soient u et v deux vecteurs du plan et A, B et C trois points tels que u et AB = AC = v. u. v = ( u + v u v ) ce qui peut s écrire AB. AC = (AB + AC ) Démonstration. En exercice. Exemple. Un triangle A est tel que AB = 7 cm, AC = 4 cm et = 9 cm. Calculer AB. AC et AB. CB. AB. AC = (AB + AC ) = ( ) = 8 donc AB. AC = 8. AB. CB = ( AB + CB AB CB ) = ( AB +CB AB+ ) = ( AB +CB AC ) = ( ) = 57 donc AB. CB = 57.

2 PRODUIT SCALAIRE DANS LE PLAN (/4) : DÉFINITION ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS Exercice L unité de longueur étant le côté d un carreau du quadrillage, calculer les produits scalaires suivants : AB. AF, BA. BE, GF. FA, CD. GC et GE. CA. Exercice Soient A, B et C trois points du plan. L objectif est de démontrer la propriété suivante : AB. AC = (AB + AC ). On se limite au cas où le projeté orthogonal H de C sur (AB) appartient à [AB].. Montrer que : AB = AB AH + AB HB.. Montrer que AC = AH BH et que BH = BH AB BH AH et en déduire que AC = AB AH AB HB. 3. Démontrer alors la propriété. Exercice 3 Soit AD un parallélogramme tel que AB = 5, AC = 6 et AD = 4. Calculer les produits scalaires suivants : BA., BA. CA et DC. AB. Exercice 4 A est un triangle dans lequel AB = et AC = 3. De plus, AB. AC = 4. Démontrer que ce triangle est rectangle en B. Exercice 5 Un triangle A est tel que AB = 9 cm, AC = 7 cm et = 5 cm. L objectif est de calculer l aire de ce triangle. On nomme H le pied de la hauteur du triangle A issue de C.. Calculer AB. AC.. En déduire la longueur AH puis l aire du triangle A.

3 PRODUIT SCALAIRE DANS LE PLAN (/4) : EXPRESSION ANALYTIQUE, NORME ET ANGLE Commentaire. Dans la re partie, nous avons vu qu un produit scalaire était un nombre réel obtenu à partir de deux vecteurs et nous avons vu deux façons de calculer un produit scalaire. Dans cette partie, nous allons ajouter encore plusieurs façons de calculer un produit scalaire et nous allons voir que le produit scalaire est fortement lié à la notion d angle entre deux vecteurs, et plus particulièrement à l orthogonalité de deux vecteurs. u = x + y. Commentaire. Si, dans un repère orthonormé, u a pour coordonnées (x ; y ), alors Théorème. Dans un repère orthonormé, soient u (x ; y) et v (x ; y ). u. v = xx + yy Exemple. Dans un repère orthonormé, soient u ( ; 3) et v ( 4 ; 5). Calculer u. v. u. v = ( 4) = Donc : u. v = 5. Théorème. Soient u et v deux vecteurs non nuls du plan, et A, B et C trois points du plan, on a : BAC). u v cos( u ;v ) ce qui peut s écrire u. v = AB. AC = AB AC cos ( ^ Commentaire. Les cosinus d un angle et de son opposé sont égaux ce qui permet d écrire le cosinus d un angle orienté comme le cosinus BAC) d un angle géométrique : cos ( ^ = cos ( AB; AC) = cos ( AC ; AB). π Exemple. A est un triangle tel que AB = 4, AC = 5 et (. AB. AC ) = 3 π AB. AC = AB AC cos( AB. AC ) = 4 5 cos 3 ( ) = 0 ( ) = 0. Donc AB. AC = 0. Commentaire. Nous retrouvons ici ce que la définition de départ met en évidence : si les vecteurs forment un angle droit, le cosinus est nul et le produit scalaire vaut 0 ; si les deux vecteurs sont orientés du même côté (ils forment un angle aigu), le cosinus est alors positif et le produit scalaire aussi ; si les deux vecteurs ne sont pas orientés du même côté (ils forment un angle obtus), le cosinus est dans ce cas négatif et le produit scalaire aussi. Les cas qui donnent les produits scalaires les plus éloignés de 0 (positif ou négatif) sont les cas de colinéarité, comme le parallélisme est le plus «éloigné» de la perpendicularité. Théorème. Soient u et v deux vecteurs du plan. u.v = ( u +v u v ) Commentaire. La mémorisation doit se faire en parallèle de la re partie où nous avons vu que : u. v = ( u + v u v ). Définition. Soient u et v deux vecteurs non nuls du plan. u et v sont orthogonaux si (u,v ) = ± π Commentaire. Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur. Théorème. Soient u et v deux vecteurs du plan. u et v sont orthogonaux si et seulement si u. v = 0 Exemple. Dans un repère orthonormé, soient u (6 ; 3) et v ( ; 4). Montrer que u et v sont orthogonaux. u. v = 6 ( ) = + = 0. Donc : u et v sont orthogonaux.

4 PRODUIT SCALAIRE DANS LE PLAN (/4) : EXPRESSION ANALYTIQUE, NORME ET ANGLE Exercice 6 Calculer AB. AC dans chaque cas, en choisissant la méthode qui vous semble la plus adaptée. Exercice 7 On donne trois points A(4 ; ), B(0 ; 5) et C( ; ).. Calculer AB. AC. BAC) BAC.. En déduire que cos ( ^ = et donner une mesure, à un degré près, de ^ 5 Exercice 8 Un point O est soumis à deux forces F et F qui forment un angle de 50. Les intensités des deux forces F et F sont respectivement 300 N et 00 N (mathématiquement, cela peut être modélisé par leur norme). La résultante des forces est le vecteur R= F + F. Calculer l intentisté de la résultante, à un Newton près. Exercice 9 Le travail W d une force F appliqué à un solide se déplaçant d un point O à un point A est : W = F. OA C est un indicateur de l action d une force sur le déplacement d un objet : si W = 0, la force appliquée n a pas d incidence sur le déplacement ; si W < 0, la force appliquée s oppose au déplacement ; si W > 0, la force contribue au déplacement. Pour tirer sur 50 m de O à A une péniche, un cheval, placé sur le chemin de halage exerce une force F d une intensité de 000 N selon un angle constant de 45 par rapport au déplacement.. Calculer le travail W de la force?. Si la péniche est tirée dans son axe par un bateau, quelle est l intensité de la force qu il faut exercer pour obtenir le même travail?

5 PRODUIT SCALAIRE DANS LE PLAN (3/4) : THÉORÈME DE LA MÉDIANE ET AUTRES PROPRIÉTÉS A. Le carré scalaire Définition : Soit u un vecteur du plan. Le produit scalaire u. u est noté u (et se nomme carré scalaire de u ). Théorème : Soit u un vecteur du plan. On a : u = u Commentaire. Pour tous points A et B du plan, on a donc : AB. AB = AB = AB. Exemple. A( ; ) et B(3 ; ). Calculer AB. AB = AB = (3 ) + ( ) = + = B. Propriétés Théorème : Soient u, v et w des vecteurs du plan, et a et b deux réels. u.( v + w )= u. v + u.w (a v ).(b u ) = (ab) ( u. v ) ( u + v ) = u + u. v + v ( u v ) = u u. v + v On rappelle (voir partie ) que : v. u= u. v C. Applications Théorème d Al Kashi. Soit un triangle A. On a alors : A) = AB + AC AB AC cos ( ^ AC) = cos ( AC ; AB). A ) = cos ( AB; Commentaire. cos ( ^ ; AB) Démonstration. = BA+ AC) = ( AC AB) = = ( AC AC. AB + AB =AB + AC AC AB cos ( AC A) = AB + AC AB AC cos ( ^ ^ est droit (cos ( ^ A ) = 0). Commentaire. Ce théorème généralise le théorème de Pythagore, qui est un cas particulier lorsque l angle A A ). Cette écriture du théorème d Al Kashi est Commentaire. Si on note a =, b = AC et c = AB, on a alors : a = b + c b c cos ( ^ la plus habituelle. Théorème de la médiane. Soient un triangle A et I le milieu de []. On a alors : AB + AC = AI + Démonstration. AB + AC = AB + AC = ( AI + IB) + ( AI + IC) = AI + AI. IB + IB + AI + AI. IC + IC = AI + AI. ( IB + IC) + IB + IC Or, I étant le milieu de [], on a :. IB+ IC = 0 et IB = IC = On en déduit : AB + AC = AI + ( ) = AI +

6 PRODUIT SCALAIRE DANS Exercice 0 Exercice Exercice Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 LE PLAN (3/4) : THÉORÈME DE LA MÉDIANE ET AUTRES PROPRIÉTÉS