Collège Jean-Baptiste Clément

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1 Collège Jean-Baptiste Clément 5-7, rue Albert Chardavoine DUGNY réalisés par M. LENZEN. Également disponibles en consultation sur son site internet Ce document est sous contrat Creative Commons. Afin de contribuer au respect de l environnement, merci de n imprimer ce manuel que si nécessaire.

2 page 2 Le manuel utilisé dans ce cours est le Dimathème 3 ème, programme 2008 (pas la dernière édition!), chez Didier : Des manipulations sont faites à la calculatrice dans ce manuel. Les touches font référence à la «TI- Collège Plus» de chez Texas Instruments : On trouvera dans ce manuel, à chaque début de chapitre, les points du programme concernés. Les capacités qui ne sont pas exigibles pour le socle commun sont écrits en lettres italiques. Si la phrase en italique est précédée d un astérisque, l item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. Dire que l exigibilité pour le socle est différée ne veut pas dire que la capacité ne doit pas être travaillé bien au contraire! mais que les élèves pourront bénéficier de plus de temps pour la maîtriser.

3 page 3 Sommaire SOMMAIRE... 3 CHAPITRE N 1 : ARITHMÉTIQUE... 5 I DIVISIBILITÉ... 5 IV QUOTIENTS & FRACTIONS (RAPPELS)... 7 CHAPITRE N 2 : NOTION DE FONCTIONS... 9 I PREMIÈRE APPROCHE... 9 II VOCABULAIRE ET NOTATIONS... 9 III REPRÉSENTATION GRAPHIQUE CHAPITRE N 3 : THALÈS I AGRANDISSEMENTS & RÉDUCTIONS II THÉORÈME DE THALÈS & APPLICATIONS CHAPITRE N 4 : DÉVELOPPEMENTS I DÉVELOPPEMENTS SIMPLES ET DOUBLES II IDENTITÉS REMARQUABLES CHAPITRE N 5 : STATISTIQUES I VOCABULAIRE II MÉDIANE III ÉTENDUE IV QUARTILES CHAPITRE N 6 : THALÈS, LE RETOUR II CONTRAPOSÉE DU THÉORÈME DE THALÈS CHAPITRE N 7 : FACTORISATIONS I FACTORISATION AVEC UN FACTEUR COMMUN (NOMBRE, LETTRE OU EXPRESSION) II FACTORISATION AVEC LES IDENTITÉS REMARQUABLES CHAPITRE N 8 : TRIGONOMÉTRIE CHAPITRE N 9 : ÉQUATIONS I ÉQUATION DU PREMIER DEGRÉ À UNE INCONNUE II ÉQUATION PRODUIT NUL CHAPITRE N 10 : ANGLES & POLYGONES I ANGLE INSCRIT & ANGLE AU CENTRE II POLYGONES RÉGULIERS CHAPITRE N 11 : PROBABILITÉS I VOCABULAIRE II NOTIONS DE PROBABILITÉ... 34

4 page 4 CHAPITRE N 12 : SYSTÈMES D ÉQUATIONS I SYSTÈME DE DEUX ÉQUATIONS II RÉSOLUTION D UN SYSTÈME D ÉQUATIONS III À LA CALCULATRICE CHAPITRE N 13 : FONCTIONS AFFINES & LINÉAIRES I DÉFINITIONS II PROPORTIONNALITÉ DES ACCROISSEMENTS III REPRÉSENTATION GRAPHIQUE CHAPITRE N 14 : INÉQUATIONS I DÉFINITIONS II PROPRIÉTÉS À CONNAÎTRE III RÉSOLUTION D UNE INÉQUATION CHAPITRE N 15 : RACINES CARRÉES I PREMIÈRE APPROCHE II CALCULS AVEC DES RACINES CARRÉES III LES TYPES DE NOMBRES CHAPITRE N 16 : PUISSANCES I PUISSANCES II CALCULS AVEC DES PUISSANCES III ÉCRITURE SCIENTIFIQUE CHAPITRE N 17 : GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE I SECTIONS PLANES DE SOLIDES II PYRAMIDE & CÔNE DE RÉVOLUTION III SPHÈRE & BOULE CHAPITRE N 18 : GRANDEURS I AIRE DE LA SPHÈRE & VOLUME DE LA BOULE II GRANDEURS COMPOSÉES... 51

5 page 5 Chapitre n 1 : Arithmétique Programme en vigueur Connaissances Capacités Commentaires Plusieurs méthodes peuvent être envisagées. 2.1 Nombres entiers et rationnels Diviseurs communs à deux entiers, PGCD. - Connaître et utiliser un algorithme donnant le PGCD de deux entiers (algorithme des soustractions, algorithme d Euclide). - Calculer le PGCD de deux entiers. - Déterminer si deux entiers donnés sont premiers entre eux. La connaissance de relations arithmétiques entre nombres que la pratique du calcul mental a permis de développer permet d identifier des diviseurs communs de deux entiers. Le recours à une décomposition en produits de facteurs premiers est possible dans des cas simples mais ne doit pas être systématisée. Les tableurs, calculatrices et logiciels de calcul formel sont exploités. Fractions irréductibles. Opérations sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire. [Reprise du programme du cycle central] - Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible. Dans le cadre du socle commun, les élèves utilisent leur calculatrice pour rendre irréductible une fraction donnée. Dans le cadre du socle commun, l addition, la soustraction et la multiplication «à la main» de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire, sont exigibles seulement dans des cas simples ; pour l addition et la soustraction, il s agit uniquement des cas où un calcul mental est possible. Dans les autres cas, la calculatrice est utilisée. I Divisibilité 1. Division euclidienne (rappel) Soient a et b deux nombres entiers positifs, avec b 0. Faire la division euclidienne de a par b signifie trouver une égalité de la forme a = bq + r, où q et r sont deux nombres entiers positifs tels que r < b. Dans ce cas, le nombre q s appelle quotient entier et le nombre r reste. Interrogation orale : 42, 43, 45 p. 29 Exercices de rappels (nombres relatifs) : p. 7 En classe/à la maison : 54, 55, 56, 57 p Diviseurs s Soit a un nombre entier positif. On dit qu un nombre entier b différent de 0 est un diviseur de a s il existe un nombre entier n positif tel que a = nb (donc si a est dans la table de multiplication de b). On dit aussi que a est un multiple de b, ou que a est divisible par b. Exemple : Les diviseurs de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9 et 18 car : 18 = 18 1 ; 18 = 9 2 ; 18 = 6 3 ; 18 = 3 6 ; Pour faire une division, on appuie sur la touche. Si l on tape à la place, on obtiendra une division euclidienne : la calculatrice affiche alors le quotient et le reste. Propriété Un nombre entier a > 1 admet au moins deux diviseurs : 1 et lui-même.

6 page 6 Un nombre entier a > 1 qui admet exactement deux diviseurs est appelé un nombre premier. Exemples : Les 10 plus petits nombres premiers sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29. Les autres nombres, comme 18, ne sont pas premiers puisqu ils admettent plus que deux diviseurs. Qu en est-il de 1? 1 n admet comme diviseur que 1 : puisqu il n en admet pas deux, ce n est pas un nombre premier! 63, 66 p. 30 À la maison : 64, 65, 67 p. 30 II P.G.C.D. 1. Le P.G.C.D. de deux nombres entiers a et b strictement positifs est le Plus Grand Diviseur Commun à ces deux nombres. Il se note PGCD(a ; b). Exemples : Quel est le PGCD de 8 et de 20? Quel est le PGCD de 8 et de 15? Les diviseurs de 8 sont 1, 2, 4 et 8. Ceux de 20 sont 1, 2, 4, 5, 10 et 20. Les diviseurs communs à 8 et 20 sont donc 1, 2 et 4. Par conséquent, PGCD(8 ; 20) = 4. Remarques PGCD(a ; a) = a. Si b est un diviseur de a, alors PGCD(a ; b) = b. PGCD(a ; b) = PGCD(b ; a). 2. Algorithme d Euclide Propriété Le PGCD de deux nombres entiers a et b strictement positifs peut être calculé rapidement grâce à l algorithme d Euclide : il s agit du dernier reste non nul. Exemple : Calculer le PGCD de 320 et = = = = PGCD Interrogation orale : 44 p. 29 1, 4 p. 24 2, 5, 7, 9 p. 24 III Fractions irréductibles 1. Nombres premiers entre eux Deux nombres entiers a et b strictement positifs sont dits premiers entre eux lorsque PGCD(a ; b) = 1. Exemples : Les nombres 320 et 460 ne sont pas premiers entre eux puisque PGCD(320 ; 460) = 20. Qu en est-il des nombres 9 et 25? 25 = = = = et 25 sont premiers entre eux. Interrogation orale : 10 p , 14, 15 p p , 16 p p. 31

7 page 7 2. Fraction irréductible (= qu on ne peut plus simplifier) Propriété Si le numérateur et le dénominateur d une fraction sont premiers entre eux, alors cette fraction est irréductible. Exemples : La fraction est-elle irréductible? Et la fraction 460 9? est réductible puisque PGCD(320 ; 460) = 20 ; 25 9 est déjà irréductible car PGCD(9 ; 25) = 1. Propriété Si on divise le numérateur et le dénominateur d une fraction par leur PGCD, alors la fraction obtenue est irréductible. Exemple : Simplifier la fraction 320. On sait déjà que PGCD(320 ; 460) = 20 (si on ne le sais pas, il faut le 460 déterminer). Donc : = = Pour saisir une fraction, taper (et non ), puis le numérateur, puis et le dénominateur, puis valider sur. Si une flèche vers le bas apparaît sur l écran à côté du résultat, taper sur, puis autant de fois sur que nécessaire (jusqu à ce que cette flèche n apparaisse plus). Le résultat affiché est alors la fraction irréductible égale à celle qui a été saisie. Faites le test avec 320/460! Si l on souhaite malgré tout une valeur approchée, il faut encore appuyer sur. Problèmes utilisant le PGCD : 26 (en classe), 27, 28, 29 p , 79 p , 20, 22 p (en utilisant PGCD), 23, 24, 25 p. 26 IV Quotients & fractions (rappels) 1. Additions et soustractions Propriété Mêmes dénominateurs : a D + b D = a + b a et D D b D = a b D. Dénominateurs différents : il faut d abord les mettre sur le même dénominateur. Exemples : ( 1) = = = 2 et = = = Multiplication Propriété a b c d = a c b d. Exemples : = 9 ( 1) = 9 16 = 9 16 et = = = Division

8 page 8 Propriété a b c d = a b c d = a b d c. Exemples : = = = = 1 15 et = = = = 5 6. Propriété («produit en croix») Si a b = c d, alors ad = bc. Réciproquement, si ad = bc, alors a b = c d. Exemple : Calculer le nombre manquant dans l égalité x 3 = 7 5. x 3 = 7 5 x 5 = 7 3 x = 7 3 = = 4,2. On regardera au «Chapitre n 9 : Équations» (page 25) pour la seconde équivalence. 32 p. 9 34, 35 p. 9

9 page 9 Chapitre n 2 : Notion de fonctions Image, antécédent, notations f (x), x 1 f (x). [Thèmes de convergence] Programme en vigueur Connaissances Capacités Commentaires 1.1 Notion de fonction - Déterminer l image d un nombre par une fonction déterminée par une courbe, un tableau de données ou une formule. - Déterminer un antécédent par lecture directe dans un tableau ou sur une représentation graphique. Toute définition générale de la notion de fonction et la notion d ensemble de définition sont hors programme. La détermination d un antécédent à partir de l expression algébrique d une fonction n est exigible que dans le cas des fonctions linéaires ou affines. I Première approche Une fonction est un outil mathématique qui transforme un nombre en un autre nombre, que l on peut assimiler à une machine : nombre autre nombre Exemple : L aire d un carré est donnée par a = c 2. L outil «aire du carré» est une fonction qui transforme un nombre (côté du carré) en un autre nombre (aire du carré). Pouvez-vous me donner d autres exemples? II Vocabulaire et notations Notation : Cette fonction, notée f, qui transforme un nombre en son carré, se note f : x x 2. Par exemple, au nombre 4, cette fonction associe son carré, c est-à-dire 4 2 = 16. On dit que : - l image de 4 par la fonction f est 16 ; f : est un antécédent de 16 par la fonction f. antécédent de 16 image de 4 L image du nombre 4 par la fonction f se note f(4) (et se lit «f de quatre»), de sorte que f(4) = 16 (on lit «f de quatre égal seize»). Par conséquent, la fonction f associe au nombre x le nombre f(x) = x 2. Remarques - L image d un nombre par une fonction est unique! - f( 4) = ( 4) 2 = 16 : 4 est donc un autre antécédent de 16 par la fonction f ; - f : x x 2 se lit «la fonction f qui à x associe x 2» : f est une fonction ; - f(x) = x 2, donc puisque x 2 est un nombre, f(x) aussi ; - pour déterminer une fonction g, on peut : utiliser une phrase la fonction g qui à x associe 4x + 3, utiliser la notation g : x 4x + 3, utiliser une égalité g(x) = 4x + 3. Exemple : Voici le tableau de valeurs d une fonction f : x f (x)

10 page 10 On peut dire que : * 1 est l image de 2 par la fonction f ou f ( 2) = 1 ; * 4 est l image de 1 par la fonction f ou f ( 2) = 4 ; * 1 admet comme image 2 par la fonction f ou f ( 1) = 2 ; * 0 est un antécédent de 1 par la fonction f ou f ( 1) = 0 ; * 3 est un antécédent de 2 par la fonction f (il y en a un autre : 1!!!) ou f (3) = f ( 1) = 2. Exercice : On considère la fonction f : x 1 x + 2. Calculer les valeurs suivantes : x 1 f ( 2) ; f ( 1) ; f ( 0,5) ; f (0) ; f (2) ; f (4). f ( 2) = = = 0 // f ( 1) = = 1 0,5 + 2 = 0,5 // f ( 0,5) = 2 0,5 1 = 1,5 1,5 = 1 f (0) = = = 2 // f (2) = = = 4 // f (4) = = 6 3 = 2. Interrogation orale : 16, 17 p p p p , 7 p. 112 On repère sur la calculatrice une touche qui ressemble à la notation introduite ci-dessus :. Après avoir appuyé dessus, saisir l expression de f (x) en fonction de x, par exemple x 2 :. Valider par. La calculatrice permet alors deux choses : - générer un tableau de valeurs automatiquement : il faut pour cela donner la valeur initiale puis le pas, puis naviguer dans le tableau à l aide des touches de direction. En se plaçant sur un résultat dans la colonne f (x), un appui sur le changera en valeur approchée si nécessaire. - Mettre le curseur sur «x =?», valider par, puis écrire manuellement les nombres pour lesquels la calculatrice doit déterminer l image en les validant par. III Représentation graphique Soient a un nombre relatif et f(a) son image par une fonction f. Dans un repère, on considère les points M de coordonnées (a ; f(a)). L ensemble (c) de ces points constitue la représentation graphique de la fonction f dans ce repère. Exemple et illustration : (c) f (a) M a 1. Quelle est l image de 4 par la fonction f? L image de 4 par la fonction f est L image de 8 par la fonction f est. L image de 8 par la fonction f est f (5) = f (5) = Quels sont les antécédents de 2 par la fonction f? Les antécédents de 2 par la fonction f sont 6 et 8 5. f ( ) = f ( ) = f ( ) = f ( ) = 1. f ( 4) = f ( 2) = f (4) = f (10) = Quels nombres entiers ont exactement deux antécédents? Les nombres 2, 1, 4 et Quels nombres entiers ont exactement une image? Tous, puisque chaque nombre a une unique image! 1 p p p p p , 38 p. 119

11 page 11 Chapitre n 3 : Thalès Programme en vigueur Connaissances Capacités Commentaires 3.1 Figures planes - Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les Il s agit de prolonger l étude commencée en classe de quatrième Configuration de Thalès. côtés des deux triangles déterminés par deux parallèles qui, seule, est exigible dans le cadre du socle commun. coupant deux droites sécantes. Agrandissements et réductions. [Reprise du programme de 4 e ] - Agrandir ou réduire une figure en utilisant la conservation des angles et la proportionnalité entre les longueurs de la figure initiale et celles de la figure à obtenir. Dans le cadre du socle commun, il est attendu des élèves qu ils sachent, dans des situations d agrandissement ou de réduction, retrouver des éléments (longueurs ou angles) de l une des deux figures connaissant l autre. En ce qui concerne les longueurs, ce travail se fait en relation avec la proportionnalité. 4.1 Aires et volumes Effet d une réduction ou d un agrandissement. - Connaître et utiliser le fait que, dans un agrandissement ou une réduction de rapport k, l aire d une surface est multipliée par k 2, le volume d un solide est multipliée par k 3, I Agrandissements & réductions s Lorsque deux figures (ou solides) sont exactement les mêmes mais pas à la C N même taille, on dit que - la plus grande est un agrandissement de l autre : on appelle alors rapport longueur agrandie d agrandissement le quotient k = longueur initiale = AB A (k > 1) ; AM M B - la plus petite est une réduction de l autre : on appelle alors rapport de réduction le quotient longueur réduite k = longueur initiale = AN (0 < k < 1) ; AC Pour deux triangles, les angles restent inchangés. Si les deux triangles ont deux côtés commune, on parle de configuration de Thalès (voir illustration ci-dessus). Propriété Si les longueurs d une figure sont multipliées par un nombre k, alors son aire sera multipliée par le nombre k 2 ; Si les longueurs d un solide sont multipliées par un nombre k, alors son volume sera multiplié par le nombre k 3. DÉFI : 49 p p p , 10 p , 15, 16 p. 241 II Théorème de Thalès & applications 1. Théorème Théorème de Thalès Soient (d) et (d ) deux droites sécantes en un point O, ainsi que A, B deux points de (d) distincts de O et A, B deux points de (d ) distincts de O. Si les droites (AB) et (A B ) sont parallèles, alors : OA OB = OA OB = AA BB. B B O A A» (d ) (d)

12 page 12 Exemple : La configuration 4 ème reste toujours d actualité : B A (d ) Remarque OA OB = OA OB = AA BB En rouge, le point d intersection des deux droites. En bleu, les points de (d). En vert, les points de (d ). Le dernier quotient est constitué des «droites parallèles». 32 p. 244 O B 33, 34, 35, 38 p. 244 A» (d) 2. Calculer une longueur Exemple : Sur la figure ci-contre, les droites (AB) et (A B ) se coupent en O et les droites (AA ) et (BB ) sont parallèles. Calculer la longueur BB. Les hypothèses du théorème de Thalès sont vérifiées : on a bien les points A, O, B alignés dans cet ordre, ainsi que A, O, B, et les droites (AA ) et (BB ) sont parallèles. On a donc : OA OB = OA OB = AA BB, c est-à-dire 4 3 = OA OB = 10 BB. D après le produit en croix, on a donc BB = = 30 4 = 7,5 cm. A 3 cm B 10 cm O B A 4 cm Interrogation orale : 24, 25 p , 2 p , 4, 5 p p Partager un segment Exemple : Étant donné un segment [AB], construire le point C de ce segment tel que : AC = 5 7 AB. On trace une demi-droite d origine A. On prend le compas et on reporte sept longueurs égales à partir du point A. On appelle les 5 ème et 7 ème points d intersection D et E. La parallèle à la droite (BD) passant par E coupe le segment [AB] en un point C : c est le point recherché!! A E C D B Preuve : Les droites (AB) et (AD) se coupent en A et les droites (BD) et (CE) sont parallèles. D après le théorème de Thalès, on a donc : AC AB = AE AD = CE, c est-à-dire : AC BD AB = 5 7, ou encore AC = 5 7 AB. 62 p , 64 p. 249

13 page 13 Chapitre n 4 : Développements Programme en vigueur Connaissances Capacités Commentaires 2.3 Écritures littérales - Connaître les identités : Identités remarquables. (a + b)(a b) = a 2 b 2 (a + b) 2 = a 2 + 2ab b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 - Les utiliser dans les deux sens sur des exemples numériques ou littéraux simples. Dans le cadre du socle commun, les élèves connaissent l existence des identités remarquables et doivent savoir les utiliser pour calculer une expression numérique mais aucune mémorisation des formules n est exigée. I Développements simples et doubles 1. Rappel : réduction Réduire une expression, c est calculer ensemble tous les nombres d une même famille dans une expression littérale où il ne reste plus que des additions et soustractions. Exemples : F = (x + 2)(x 3) + x(x + 3)= x 2 3x + 2x 6 + x 2 + 3x = 2x 2 + 2x 6. G = (2x + 2y)(2y 3x) = 4xy 6x 2 + 4y 2 6yx = 2xy 6x 2 6y p p. 48 Remarques On n oubliera pas qu on peut ôter le symbole de multiplication (mais PAS la multiplication elle-même) dans les trois cas suivants : - entre un nombre et une lettre ; - entre deux lettres ; - entre un nombre connu (ou inconnu) et une parenthèse ouvrante. 2. Rappels : développements simples Formules k ( a + b ) = k a + k b. k ( a b ) = k a k b. Remarques On a transformé un produit en une somme. On dit qu on a développé l expression k (a + b). On a transformé une somme en un produit. On dit qu on a factorisé l expression k a + k b. Exemples : Développer les expressions suivantes : A = 3(x + 2) ; B = 7(2 x) et C = 2(y 6). [A = 3x + 6 ; B = 14 7x ; C = 2y + 12] 63, 65 p , 26 p Double-distributivité Propriété ( a + b ) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd. Chaque flèche signifie un produit (une multiplication). Bien sûr, entre chaque produit, il faut un signe + ou : celui-ci est déterminé par la règle des signes au moment où le produit (la flèche) est calculé. Il est donc hyper important de bien identifier les nombres a, b, c et d, si possible en les soulignant avec leur signe!

14 page 14 Exemples : * D = (2 + 3x)(3 2y) * E = ( 2 + x)(y 3) [D = 6 4y + 9x 6xy ; E = 2y xy 3x] 67 p p. 48 II Identités remarquables Formules (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ; (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 ; (a + b)(a b) = a 2 b 2. développements Exemples : Un développement grâce aux identités remarquables se fait en trois étapes : 1. Identifier l identité remarquable à utiliser. 2. L utiliser en remplaçant a et b par les valeurs données. 3. Faire les calculs et réduire si possible. H = (2x + 5) 2 I = (x 3) 2 J = (5 + 2x)(5 2x) H = (2x) x I = x 2 2 x J = 5 2 (2x) 2 H = 4x x + 25 I = x 2 6x + 9 J = 25 4x 2. En général, (a + b) 2 a 2 + b 2. En effet, (2 + 3) 2 = 5 2 = 25 et = = 13. C est pareil pour la soustraction!! Interrogation orale : 46, 47, 49 p. 47 1, 3, 5, 7 p p p. 49 2, 4, 6, 8 p , 72 p p. 49

15 page 15 Chapitre n 5 : Statistiques Approche de caractéristiques de dispersion. [Thèmes de convergence] Programme en vigueur Connaissances Capacités Commentaires 1.3 Statistique - Une série statistique étant donnée (sous forme de liste ou de tableau ou par une représentation graphique) : Caractéristique de position. déterminer une valeur médiane de cette série et en donner la signification ; déterminer des valeurs pour les premier et troisième quartiles et en donner la signification ; déterminer son étendue. - Exprimer et exploiter les résultats de mesures d une grandeur. Le travail est conduit aussi souvent que possible en liaison avec les autres disciplines dans des situations où les données sont exploitables par les élèves. L utilisation d un tableur permet d avoir accès à des situations plus riches que celles qui peuvent être traitées «à la main». La notion de dispersion est à relier, sur des exemples, au problème posé par la disparité des mesures d une grandeur, lors d une activité expérimentale, en particulier en physique et chimie. I Vocabulaire En comptant sur le relevé de notes, on peut déterminer le nombre de notes au-dessus de la moyenne pour chaque élève de cette classe pour le 2 nd trimestre : 1 ; 4 ; 0 ; 3 ; 4 ; 1 ; 4 ; 1 ; 0 ; 3 ; 2 ; 2 ; 1 ; 5 ; 1 ; 0 ; 2 ; 2 ; 3 ; 0 ; 1 ; 0 ; 1 ; 2. La population étudiée ici sont les élèves de cette classe (sur qui?) ; Le caractère étudié est le nombre de notes au-dessus de 10 au 2 nd trimestre (sur quoi?) ; L effectif total est de 24, parce qu on a compté 24 valeurs en tout (combien?) ; Les valeurs du caractère sont 0, 1, 2, 3, 4 et 5. II Médiane La médiane d une série de données est un nombre (pas forcément dans la série) qui partage cette série en deux sous-séries de même effectif : c est une caractéristique de position, comme la moyenne. Exemples : Pour déterminer une médiane, il faut d abord ranger toutes les valeurs dans l ordre croissant, puis séparer les cas où l effectif total est pair et où il est impair : Effectif total impair Exemple : , valeurs 3 valeurs médiane La médiane de cette série est 9. En effet, il y a autant de valeurs au-dessus qu endessous. Effectif total pair Exemple : , valeurs 4 valeurs médiane La médiane est alors la demi-somme de 9 et 12 : = = 10,5. La médiane est donc égale à 10,5. Faire uniquement les questions sur la moyenne et la médiane en laissant la place nécessaire. 5 p p p , 34 p III Étendue L étendue d une série de données est égale à la différence des valeurs extrêmes : c est une caractéristique de dispersion. Exemples : Pour l exemple du paragraphe I, la dispersion est égale à 5 0 = 5.

16 page 16 Pour l exemple de l effectif total impair, la dispersion est égale à 15 7 = 8. Faire uniquement les questions sur l étendue en laissant la place nécessaire. 5 p p p p. 172 IV Quartiles Les quartiles d une série de données rangées dans l ordre croissant sont des nombres qui partagent cette série en quatre parties qui ont un effectif à peu près égal. Les quartiles font partie des données de la série. 25 % 25 % 25 % 25 % Le premier quartile est noté Q 1. Le troisième quartile est noté Q 3. Q 1 Q 3 Pour déterminer les quartiles, - on compte l effectif total, noté N ; - on prend le premier nombre entier supérieur ou égal N/4 ce nombre correspond au premier quartile ; - on prend le premier nombre entier supérieur ou égal 3N/4 ce nombre correspond au troisième quartile. Exemples : Cas n 1 (N est divisible par 4) On dispose d une série d effectif total N = 20. Alors : N 4 = 20 4 = 5 et 3 N 4 = = 15. Q 1 est donc la 5 ème valeur de la série et Q 3 est la 15 ème valeur de la série. Cas n 2 (N n est pas divisible par 4) On dispose d une série d effectif total N = 27. Alors : N 4 = 27 4 = 6,75 et 3 N 4 = = 20,25. Q 1 est donc la 7 ème valeur de la série et Q 3 est la 21 ème valeur de la série. Cette méthode ne sert qu à donner la position des quartiles dans la série rangée dans l ordre croissant, elle ne donne pas les quartiles!! Il FAUT encore aller les chercher dans la série de données!!! Les quartiles sont utiles à construire des boîtes à moustache, dans lesquelles se cachent beaucoup d informations. Par exemple, si l on prend toutes les notes des contrôles d un trimestre, on arrive à construire le graphique suivant : On y voit les notes minimale (1,5), maximale (20), médiane (10,5 : ce qui signifie que la moitié des élèves a eu plus que 10,5 et l autre moitié moins) et moyenne (9,5). Grâce aux quartiles, on sait aussi que : ¼ des élèves a eu entre 1,5 et 6 ; ¼ des élèves a eu entre 6 et 10,5 ; ¼ des élèves a eu entre 10,5 et 15 ; et le dernier ¼ des élèves a eu entre 15 et 20. Appuyer sur la touche. Pour un tableau simple, remplir les valeurs du caractère dans la colonne L 1. Pour des valeurs pondérées (ex : notes avec coefficients), saisir les valeurs dans L 1 et les effectifs correspondants dans L 2. À la fin de la saisie, appuyer sur puis. Laisser les données sur L 1. Si la colonne L 2 a été remplie, mettre «EFF» sur L 2 sinon laisser sur 1. Aller sur CALC et valider par. L écran suivant affiche dans l ordre l effectif total, la moyenne, la médiane, Q 1 et Q 3, l étendue, les valeurs minimale et maximale, la somme des valeurs, la somme des carrés des valeurs et l écart-type. Les trois derniers nombres ne nous serviront pas cette année. 5 p p p , 34 p p. 175

17 page 17 Chapitre n 6 : Thalès, le retour Programme en vigueur Connaissances Capacités Commentaires 3.1 Figures planes Configuration de Thalès. - Connaître et utiliser un énoncé réciproque. La réciproque est formulée en tenant compte de l ordre relatif des points sur chaque droite mais, dans le cadre du socle commun, les élèves n ont pas à distinguer formellement le théorème direct et sa réciproque. L utilisation d un logiciel de construction géométrique permet de créer des situations d approche ou d étude du théorème et de sa réciproque. I Réciproque du théorème de Thalès Théorème de Thalès (réciproque) Soient (d) et (d ) deux droites sécantes en un point O, ainsi que A, B deux points de (d) distincts de O et A, B deux points de (d ) distincts de O. B O A (d ) Si OA OB = OA et que les points O, A, B sont alignés OB dans le même ordre que les points O, A, B, alors les droites (AA ) et (BB ) sont parallèles. B A» (d) Exemple : Sur la figure ci-contre (non dessinée en taille réelle), on sait que : - les droites (MS) et (AH) sont sécantes en T ; - TM = 5 ; TA = 7,5 ; TS = 4 et TH = 6. L unité de longueur est le centimètre. M S T A Les droites (HS) et (MA) sont-elles parallèles? Solution : On a TM TS = 5 4 = 15 TA et 12 TH = 7,5 6 = 15 TM, c est-à-dire 12 TS = TA. De plus, les points T, M, S TH sont alignés dans le même ordre que les points T, A, H. Donc d après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (HS) et (MA) sont bien parallèles. H S Et les droites (HS ) et (MA)? Solution : On a aussi grâce au codage TM TS = 5 4 = 15 et TA 12 TH = 7,5 6 = 15, c est-à-dire TM 12 TS = TA TH. Par contre, les points T, M, S ne sont pas alignés dans le même ordre que les points T, A, H. On ne peut donc pas utiliser la réciproque du théorème de Thalès, justifiant ainsi que les droites (HS ) et (AM) ne sont pas parallèles. Remarques Le théorème de Thalès permet de calculer une longueur grâce à deux droites parallèles. La contraposée du théorème de Thalès permet de montrer que deux droites ne sont pas parallèles. La réciproque du théorème de Thalès permet de montrer que deux droites sont parallèles. 46 p p. 246

18 page 18 II Contraposée du théorème de Thalès Théorème de Thalès (contraposée) Soient (d) et (d ) deux droites sécantes en un point O, ainsi que A, B deux points de (d) distincts de O et A, B deux points de (d ) distincts de O. B O A (d ) Si OA OB OA, alors les droites (AA ) et (BB ) ne OB sont pas parallèles. B A» (d) Exemple : Dans la figure ci-dessus, on a OA = 3, OB = 2, OA = 7 et OB = 4. Les droites (AA ) et (BB ) sontelles parallèles? Les droites (AB) et (A B ) sont sécantes en O. De plus, on a : OA OB = 3 2 = 6 et OA 4 OB = 7 4, c est-à-dire OA OB OA OB. D après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (AA ) et (BB ) ne sont pas parallèles. Remarque Il arrivera que la question soit fermée dans les exercices («est-ce que les droites machin et truc sont parallèles?»). On ne pourra donc pas savoir au début s il s agit d utiliser la réciproque et la contraposée. Le début de la rédaction est cependant commun entre les deux propriétés, c est le test de l égalité qui permettra de faire cette différence. 6 p p p p. 245

19 page 19 Chapitre n 7 : Factorisations Programme en vigueur Connaissances Capacités Commentaires 2.3 Écritures littérales Factorisation. - Factoriser des expressions algébriques dans lesquelles le facteur est apparent. Les travaux se développent dans trois directions : - utilisation d expressions littérales donnant lieu à des calculs numériques ; - utilisation du calcul littéral pour la mise en équation et la résolution de problèmes ; - utilisation pour prouver un résultat général (en particulier en arithmétique). Les activités visent la maîtrise du développement ou de la factorisation d expressions simples. Identités remarquables. - Connaître les identités : (a + b)(a b) = a 2 b 2 (a + b) 2 = a 2 + 2ab b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 - Les utiliser dans les deux sens sur des exemples numériques ou littéraux simples. Dans le cadre du socle commun, les élèves connaissent l existence des identités remarquables et doivent savoir les utiliser pour calculer une expression numérique mais aucune mémorisation des formules n est exigée. Tout le problème des factorisations, qui sont plus compliquées que les développements, est de savoir comment faire entre les quatre possibilités qui vont être présentées, en analysant l expression donnée dans l énoncé : - A-t-on un nombre comme facteur commun? - A-t-on une «lettre» comme facteur commun? - A-t-on carrément une expression littérale comme facteur commun? - Et si on me demande de factoriser alors que je n ai rien de tout ça??? I Factorisation avec un facteur commun (nombre, lettre ou expression) Méthode en 5 étapes : 1) On entoure la dernière opération (obligatoirement + ou ) : elle coupe l expression en deux parties ; 2) On souligne le facteur commun dans chacune des deux parties ; 3) On écrit le facteur commun au début de la ligne suivante ; 4) On écrit à la suite tout ce qui n a pas été souligné, en prenant soin de rajouter des parenthèses ; 5) On réduit dans la parenthèse, si possible. Exemples : Factoriser A = 2x 2y ; B = 3x + xy 2x 2 et C = (2x + 1) 2 (6 x)(2x + 1). Solution : A = 2x 2y B = 3x + xy 2 x x C = (2x + 1)(2x + 1) (6 x)(2x + 1) A = 2(x y). B = x(3 + y 2x). C = (2x + 1) [(2x + 1) (6 x)] C = (2x + 1)(2x x) C = (2x + 1)(3x 5). Puisque le symbole n est pas obligatoire, il faut le souligner s il apparaît avec un facteur commun. Cette méthode fonctionne aussi si l expression est coupée en 3, 4, morceaux. N ESSAYEZ PAS DE GRILLER DES ÉTAPES!!! Vous ne feriez que plus d erreurs 19, 21 p , 22, 23, 24 p p p. 50 (rappel : x 2 = x x)

20 page 20 II Factorisation avec les identités remarquables Formules a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 ; a 2 2ab + b 2 = (a b) 2 ; a 2 b 2 = (a + b)(a b). factorisations Une factorisation grâce aux identités remarquables se fait en quatre étapes : 1) Identifier l identité remarquable à utiliser : - 3 termes et aucun symbole : première identité remarquable, - 3 termes et un seul symbole : deuxième identité remarquable, - 2 termes : dernière identité remarquable. 2) Faire ressortir les carrés : on aura ainsi les nombres a et b. 3) Pour les deux premières identités remarquables, vérifier le double produit. 4) Factoriser. Exemples : Factoriser les expressions A = x 2 + 4x + 4 ; B = 9x 2 24x + 16 et C = 9x Solution : A = x 2 + 4x + 4 B = 9x 2 24x + 16 C = 9x 2 16 A = x x B = (3x) 2 2 3x C = (3x) A = (x + 2) 2 B = (3x 4) 2 C = (3x + 4)(3x 4). Remarques On peut toujours factoriser une différence de deux carrés, mais en général pas une somme de deux carrés. 25, 27, 30 p p , 28, 31 p p. 50

21 page 21 Chapitre n 8 : Trigonométrie Triangle rectangle, relations trigonométriques. Programme en vigueur Connaissances Capacités Commentaires 3.1 Figures planes - Connaître et utiliser les relations entre le cosinus, le sinus ou la tangente d un angle aigu et les longueurs de deux des côtés d un triangle rectangle. - Déterminer, à l aide de la calculatrice, des valeurs approchées : du sinus, du cosinus et de la tangente d un angle aigu donné ; de l angle aigu dont on connaît le cosinus, le sinus ou la tangente. La définition du cosinus a été vue en classe de quatrième. Le sinus et la tangente d un angle aigu sont introduits comme rapports de longueurs. Les formules suivantes sont à démontrer : cos 2  + sin 2  = 1 et tan  = sin  cos  La seule unité utilisée est le degré décimal. I Cosinus (rappel) Dans un triangle rectangle, le cosinus d un angle est égal au rapport entre le côté adjacent à cet angle et l hypoténuse. A Dans le triangle ci-contre rectangle en A, on a donc : cos ABC = BA BC. B C Remarques Dans ce même triangle, on a aussi cos ACB = AC BC. Les longueurs étant toujours strictement positives, un cosinus l est aussi. De plus, le côté adjacent aura toujours une longueur inférieure à celle de l hypoténuse, donc le cosinus d un angle sera toujours plus petit que 1 : finalement, «0 < cos < 1». Exemple : Soit CAR un triangle rectangle en A tel que CA = 3, AR = 4 et CR = 5 cm. Calculer ARC arrondi au degré près : dans le triangle CAR rectangle en A, on a : cos ARC = AR RC = 4 5 = 0,8 ; donc ARC = cos 1 (0,8) 36, II Sinus Dans un triangle rectangle, le sinus d un angle est égal au rapport entre le côté opposé à cet angle et l hypoténuse. A Dans le triangle ci-contre rectangle en A, on aura donc : sin ABC = AC BC. B C Remarque Pour les même raisons que le cosinus, on peut écrire que «0 < sin < 1». Dans ce même triangle, on aura aussi que sin ACB = AB BC. On constate que sin ACB = AB BC = BA BC = cos ABC. Exemple : Soit CAR un triangle rectangle en A tel que CA = 3, CR = 5 cm et ACR = 53,13. Calculer AR arrondi au millimètre près : dans le triangle CAR rectangle en A, on a :

22 page 22 sin ACR = AR sin(53,13 ) = AR 5 sin(53,13 ) ; donc AR = 3, cm 4 cm. RC Ici, l information AC = 3 cm était complètement inutile, si ce n est pour vérifier la bonne mesure de l angle : cos ACR = AC RC = 3 5 = 0,6 ; donc ACR = cos 1 (0,6) 53,13! III Tangente Dans un triangle rectangle, la tangente d un angle est égal au rapport entre le côté opposé à cet angle et le côté adjacent à cet angle. A Dans le triangle ci-contre rectangle en A, on aura donc : tan ABC = AC AB. B C Remarque Puisque la tangente est un quotient de longueurs positives, elle est strictement positive : «tan > 0». Dans ce même triangle, on aura aussi que tan ACB = AB AC. On constate que tan ACB = AB AC = 1 AC AB = 1 tan. ABC Exemple : Soit CAR un triangle rectangle en A tel que CA = 3, CR = 5 cm. Calculer ARC arrondi au degré près. Le problème de cet énoncé est qu étant dans le paragraphe «tangente», il nous faudrait les côtés adjacents et opposés à l angle demandé. On ne dispose cependant que du côté adjacent (CA). Néanmoins, grâce au théorème de Pythagore, on peut calculer la longueur manquante du troisième côté : D : Le triangle CAR est rectangle en A, D : donc d après le théorème de Pythagore, on a : C : CR 2 = CA 2 + AR 2 52 = 32 + AR = AR 2 AR = 16 AR = 4 cm. On peut maintenant utiliser la tangente (plus besoin de préciser que le triangle est rectangle, c est déjà fait plus haut) : tan ARC = AC AR = 3 4 = 0,75 ; donc ARC = tan 1 (0,75) 36, , 2 p , 6 p p , 4 p , 8, 9 p p. 228 IV Relations trigonométriques Propriété Soit x la mesure d un angle aigu. On a les égalités suivantes : (cos x) 2 + (sin x) 2 = 1 et tan x = cos x sin x. Justification : - Considérons dans un repère le quart de cercle de centre l origine O et de rayon 1, comme sur la figure ci-contre. Soit M un point quelconque de ce quart de cercle, et H le point d intersection entre la perpendiculaire à l axe des abscisses passant par M et l axe des abscisses. Le triangle OHM est donc rectangle en H. 1 M On note x l angle HOM. Alors, OM = 1 (c est un rayon du quart de cercle), O x H 1

23 page 23 cos HOM = OH, donc cos x = OH, donc OH = cos x, OM 1 sin HOM = MH, donc sin x = MH, donc MH = sin x. OM 1 Enfin, puisque le triangle est rectangle, on peut appliquer le théorème de Pythagore, de sorte que OH 2 + HM 2 = OM 2, soit (cos x) 2 + (sin x) 2 = 1. - Prenons cette même figure. On a alors : sin x cos x = MH OM OH OM = MH OM 1 = MH OH OM OM OH = MH OH OM = tan x. Exemple : Calculer le cosinus d un angle dont le sinus vaut 0,6. Notons x cet angle. Alors sin x = 0,6. Par la formule ci-dessus, on a : (cos x) 2 = 1 (sin x) 2 = 1 (0,6) 2 = 1 0,36 = 0,64, donc comme cos x > 0, on a finalement que cos x = 0,64 = 0,8. Remarque Si l on connaît une longueur de côté et un angle, on peut calculer toutes les autres longueurs de côtés. Si l on connaît deux longueurs de côtés, alors on peut calculer une valeur approchée de tous les angles. «CAH-SOH-TAO» qui signifie : Cos = Adjacent Hypoténuse ; Sin = Opposé et Tan = Opposé Hypoténuse Adjacent. Deux utilisations, selon que l on veuille calculer une longueur ou un angle. Avant tout, bien vérifier que la calculatrice est en mode «degrés» : il doit y avoir écrit «DEG» sur l écran. Si ce n est pas le cas, appuyer sur et placer le curseur sur «DEG» avant de valider par. - longueur : appuyer sur, ou selon le cas, compléter avec la valeur de l angle (pas besoin de mettre le symbole, la calculatrice est déjà en mode degrés) et terminer avec une avant de valider par. - angle : appuyer sur avant la touche, ou selon le cas, et mettre dans la parenthèse la valeur calculée du cosinus, sinus ou tangente.

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25 page 25 Chapitre n 9 : Équations Programme en vigueur Connaissances Capacités Commentaires 2.4 Équations et inéquations du premier degré La notion d équation ne fait pas partie du socle commun. Néanmoins, les élèves peuvent être amenés à résoudre des problèmes du premier degré (méthode arithmétique, méthode par essais successifs, ). Problèmes se ramenant au premier degré : équations produits. - Résoudre une équation mise sous la forme A(x).B(x) = 0, où A(x) et B(x) sont deux expressions du premier degré de la même variable x. L étude du signe d un produit ou d un quotient de deux expressions du premier degré de la même variable est hors programme. I Équation du premier degré à une inconnue 1. Rappels Une équation est une opération à trous dont les trous ont été remplacés par des inconnues (= lettres). Résoudre une équation revient à trouver toutes les valeurs (si elles existent) de l inconnue qui vérifient l égalité. Chacune de ces valeurs est alors appelée solution de l équation. Remarque On appelle degré d une équation le plus grand exposant de l inconnue. Ainsi, l équation 5(x + 2) = 3x 6 est de degré 1, et l équation x 2 4x + 4 = 0 est de degré 2. Propriété (de la balance) On ne change pas une égalité en faisant une addition, soustraction, multiplication ou division par un même nombre. Autrement dit, pour trois nombres relatifs a, b et c (avec c 0 pour la division), si a = b, alors : a + c = b + c ; a c = b c ; a c = b c ; a c = b c. 46, 50 p , 48, 49 p Méthode de résolution Il faut procéder par étapes. On va résoudre l équation 2(7 2x) = x (7 2x) = x x = x = x x 14 = 5x = 5x 9 = 5x 5x = 9 x = = = = = = 34 5 Cette équation admet une solution : 9 5. Étape 1 : On enlève les parenthèses (en développant). Étape 2 : On regroupe toutes les inconnues d un côté du «=» et tous les nombres de l autre côté du «=» en utilisant la propriété de la balance ou. À ce stade, il ne doit rester plus qu un ou une!!! Étape 3 : Si nécessaire, on utilise la propriété de la balance ou pour arriver à quelque chose de la forme «x =». Étape 4 : On vérifie en testant l égalité de départ pour la solution trouvée (ici, x = 9/5) : si on trouve le même résultat, c est que la solution est correcte! Étape 5 : On écrit la conclusion. Remarques - Il peut être utile d utiliser en premier la propriété pour supprimer un quotient : x = Il ne doit rester plus qu un seul nombre de chaque famille à la fin de l étape 3 : «x =». - Pour un problème, l étape 0 consiste à mettre le problème en équation. 1, 2, 3a)b) p , 54 p. 80 3c)d), 4 p , 55 p p. 81

26 page 26 Cette calculatrice sait comment résoudre les systèmes d équations (voir Chapitre n 12 : Systèmes d équations, page 35), mais cet outil permet aussi de résoudre les équations réduites (après l étape 2) du premier degré : appuyer sur. Saisir (toujours mettre 0y sur la première ligne et 1y = 1 sur la deuxième ligne) afin de voir l écran Il ne reste plus qu à appuyer une ultime fois sur. La solution se lit sur la ligne «x =». II Équation produit nul 1. et propriété Une équation produit nul d inconnue x est une équation de la forme (ax + b)(cx + d) = 0. Remarque En général, une équation produit est de degré 2. Par exemple, l équation (2x + 3)(x 6) = 0 est la même, après développement, que 2x 2 9x 18 = 0 Propriété (du produit nul) Si un produit est nul, alors l un au moins de ses facteurs est nul. Autrement dit, pour deux nombres a et b, si a b = 0, alors a = 0 ou b = Méthode de résolution Quelques étapes sont nécessaires. Nous allons résoudre l équation (2x + 3)(x 6) = 0 : Étape 1 : On se ramène à deux équations du premier degré en utilisant la propriété du produit nul ; Étape 2 : On résout chacune des équations du premier degré grâce au paragraphe I ; Étape 4 : On vérifie la (les) solution(s) trouvée(s) en testant l égalité de départ pour chaque valeur trouvée ; Étape 5 : On écrit la conclusion. Au niveau de la rédaction, voilà le résultat : (2x + 3)(x 6) = 0. Si un produit est nul, alors l un au moins de ses facteurs est nul, donc : 2x + 3 = 0 ou x 6 = 0 2x = 3 ou x = 6 x = 3 2 ou x = 6. Je vérifie les valeurs trouvées : = = 0. ( ) (6 6) = ( ) 0 = 0. L équation (2x + 3)(x 6) = 0 admet donc deux solutions : x = 3 et x = , 6, 7 p p. 80 8, 9, 10, 11, 13 p p p. 82

27 page Cas particulier : équation de type «x 2 = a» Propriété Soit a un nombre relatif quelconque. - Si a < 0, alors l équation x 2 = a n admet aucune solution ; - Si a = 0, alors l équation x 2 = a admet une unique solution : x = 0 ; - Si a > 0, alors l équation x 2 = a admet deux solutions : x = a et x = a. 1, 2 p p. 58

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29 page 29 Chapitre n 10 : Angles & polygones Polygones réguliers. Programme en vigueur Connaissances Capacités Commentaires 3.1 Figures planes - Connaître et utiliser la relation entre un angle inscrit et l angle Angle inscrit, angle au centre. au centre qui intercepte le même arc. - Construire in triangle équilatéral, un carré, un hexagone régulier, un octogone connaissant son centre et son sommet. Cette comparaison entre angle inscrit et angle au centre permet celle de deux angles inscrits sur un même cercle interceptant le même arc. I Angle inscrit & angle au centre 1. s s Soient (c) un cercle de centre O, et A, B, C trois points distincts de ce cercle. On appelle : - angle inscrit : l angle ACR (ou ACR, ou encore ACR) ; B B - angle au centre : l angle ACR (ou ACR, ou encore ACR) ; O A O A - petit arc de cercle T AC : l arc de cercle violet ; - grand arc de cercle T AC : l arc de cercle orange. C (c) C (c) Par rapport à l angle ABC, il y a forcément l un des deux arcs T AC qui se trouve «coincé» entre les côtés de Remarque cet angle, ici le petit. On dit alors que l angle ABC intercepte le petit arc T AC à 3. p Propriétés Propriété 1 Dans un cercle, si un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc de cercle, alors l angle au centre mesure le double de l angle inscrit. Exemple : Nommer les points de la figure et trouver deux égalités traduisant cette propriété (l une concernant l angle au centre et l autre concernant l angle inscrit). En choisissant les notations de 1., Propriété 2 Dans un cercle, si deux angles inscrits interceptent le même arc de cercle, alors ils ont la même mesure.

30 page 30 Exemple : Nommer les points de la figure et trouver l égalité traduisant cette propriété. En choisissant les notations de 1. + D pour la quatrième point, Remarque Cas particulier : Si l angle au centre est plat (= 180 ), alors l angle inscrit qui intercepte le même arc de cercle mesurera = 90 : c est un angle droit! On retrouve ainsi une propriété énoncée l année dernière : «si un triangle est rectangle, alors le milieu de l hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit.» Interrogation orale : 28 p , 12 p p p , 45 p. 229 II Polygones réguliers 1. s s Un polygone régulier est un polygone qui a tous ses côtés de même longueur et tous ses angles de même mesure. On constate que tous les sommets d un polygone régulier appartiennent à un même cercle. On dit que le polygone est inscrit dans ce cercle et le centre de ce cercle est appelé centre du polygone régulier. Exemple : On sait qu un triangle équilatéral possède trois côtés de même longueur et trois angles égaux. C est donc un polygone régulier à 3 côtés. Sur chaque figure du paragraphe 2, O est le centre du polygone. 2. Propriétés Propriété Si un polygone est inscrit dans un cercle et a tous ses côtés de même mesure, alors il est régulier. Exemple : Un rectangle ABCD a ses diagonales de même longueur et qui se coupent en leur milieu O. Donc OA = OB = OC = OD, ce qui signifie que chaque point A, B, C et D se trouve sur un même cercle de centre O. Est-ce que le rectangle est un polygone régulier? Pourquoi? Comment le «transformer» pour qu il en devienne un? Propriété Soit un polygone régulier à n côtés (n est un nombre entier naturel). Si A et B sont deux points consécutifs de ce polygone, alors AOB = 360 n. Cet angle est appelé angle au centre du polygone régulier. Exemples : n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 A C O 120 B C D O 90 B A E D A O 72 C B E F D O A 60 C B G F H E O A 45 D B C AOB = AOB = AOB = AOB = AOB = 360 7

31 page 31 On peut aussi calculer les angles des polygones (par exemple) en utilisant des triangles isocèles de sommet O. Par exemple, pour n = 5, l angle au centre mesure 72. Par conséquent, puisque la somme des angles d un triangle est égale à 180, on a : BAO = ABO = Par conséquent, on a : 2 = = 54 et BCO = CBO = 54. ABC = ABO + CBO = = , 19 p , 18 p p. 229

32 page 32

33 page 33 Chapitre n 11 : Probabilités Programme en vigueur Connaissances Capacités Commentaires 1.4 Notion de probabilité [Thèmes de convergence] - Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilité. - Calculer des probabilités dans des contextes familiers. La notion de probabilité est abordée à partir d expérimentations qui permettent d observer les fréquences des issues dans des situations familières (pièces de monnaie, dés, roues de loteries, urnes, etc.). La notion de probabilité est utilisée pour modéliser des situations simples de la vie courante. Les situations étudiées concernent les expériences aléatoires à une ou à deux épreuves. Dans tout ce chapitre, tous les exemples seront basés sur les trois expériences suivantes : On lance une pièce de monnaie équilibrée, on la laisse tomber et on regarde la face visible On lance un dé à 6 faces équilibré et on regarde le chiffre inscrit sur sa face supérieure On fait tourner une roue de loterie équilibrée, on attend qu elle s arrête et on regarde la couleur désignée par la flèche I Vocabulaire Lors d une expérience aléatoire, chaque résultat possible est appelé issue. Exemple : La pièce de monnaie Le dé à 6 faces La roue de loterie Cette expérience n admet que deux Cette expérience admet six issues : Combien d issues ici? et issues : pile et face 1, 2, 3, 4, 5 et 6 lesquelles? s Un événement est une condition qui peut être, ou ne pas être, réalisée lors de l expérience. Un événement peut être réalisé par une ou plusieurs issues de cette expérience ; Un événement élémentaire est un événement qui n est réalisé que par une seule issue ; Exemple : La pièce de monnaie Le dé à 6 faces La roue de loterie «on obtient face» est un événement élémentaire. «on obtient pile» est un autre événement élémentaire. «on obtient 4» est un événement élémentaire. «on obtient 7» est un événement impossible. «on obtient un nombre impair» est un événement réalisé par les issues 1, 3, 5. «la flèche désigne une couleur primaire» est un événement réalisé par deux issues : rouge et jaune. «la flèche désigne le jaune» est un événement élémentaire. Une expérience est dite aléatoire si chaque issue ne dépend pas des issues des expériences précédentes.

34 page 34 Exemples : Nos 3 expériences sont ici aléatoires. En effet, le fait d «obtenir un 4» maintenant ne veut pas dire qu on aura moins ou plus de chances d «obtenir un 4» au lancer suivant! Par contre, quelle sont mes chances d «avoir 21» au tirage de la première boule du Loto? 1/49. Mais quelles sont mes chances d «avoir 21» au tirage de la dernière boule du Loto? 1/43 (à développer) Pour la même boule, mes chances sont différentes selon le tirage, donc l expérience «avoir 21 au Loto» n est pas aléatoire. II Notions de probabilité Lorsqu on effectue un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence de réalisation d un événement A se rapproche d une «fréquence théorique», appelée probabilité de l événement A et notée p(a). Exemple : La pièce de monnaie Le dé à 6 faces La roue de loterie En «théorie», on obtient face une fois sur deux. Si A désigne l événement «obtenir 5», alors p(a) = 1/6. En effet, en «théorie», on a une chance sur 6 d obtenir 5. Quelle est la probabilité que la roue s arrête sur le vert? le rouge? le jaune? Propriétés Une probabilité est un nombre toujours compris entre 0 et 1 : 0 # p(a) # 1 ; Un événement impossible a une probabilité nulle. Un événement dont la probabilité vaut 1 est appelé événement certain. La somme des probabilités de tous les événements élémentaires vaut toujours 1. Lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité, ont dit qu il s agit d une situation d équiprobabilité. Exemple : La pièce de monnaie Le dé à 6 faces La roue de loterie On a autant de chance d obtenir pile que face : il s agit d une situation d équiprobabilité. Y a-t-il équiprobabilité ici? Y a-t-il équiprobabilité ici? Propriété Dans une situation d équiprobabilité, si une expérience aléatoire possède n issues, alors la probabilité d un événement élémentaire est égale à l inverse de n : 1 n. Exemple : La pièce de monnaie Le dé à 6 faces La roue de loterie La probabilité d un événement La probabilité d un événement équiprobabilité ici??? élémentaire est égale à 1 2. élémentaire est égale à , 2 p p (sauf 2.) p , 4 p p. 193

35 page 35 Chapitre n 12 : Systèmes d équations 2.4 Équations et inéquations du premier degré Problèmes du premier degré : système de deux équations à deux inconnues. Programme en vigueur Connaissances Capacités Commentaires - Résoudre algébriquement un système de deux équations du premier degré à deux inconnues admettant une solution et une seule ; en donner une interprétation graphique. I Système de deux équations 1. Soient a, b, c, d, e et f six nombres relatifs quelconques. On appelle système de deux équations de degré 1 et d inconnues x et y les deux équations liées ax + by = c et dx + ey = f. On note ce système ax + by = c dx + ey = f. Résoudre un système de deux d équations à deux inconnues revient à trouver tous les couples de nombres (x ; y) tels qu ils vérifient simultanément les deux équations. Chacun de ces couples est alors appelé solution du système. Remarques - Chacune des équations est de degré 1, mais avec deux inconnues : x et y ; ces équations sont donc liées! - Lorsqu on aura trouvé la solution, l ordre des solutions sera important : x d abord, y ensuite Exemple : On considère le système x + 2y = 3 2x y = 0. On déterminera plus loin que le couple ( 1 ; 2) est solution : en effet, = 3 et 2 ( 1) 2 = 0. Et (1 ; 2) est-il solution? NON, car même si l on a 2 1 ( 2) = 0, on a aussi ( 2) = 3 3. Interrogation orale : 30 p p , 40 p Interprétation graphique Considérons le système d équations x + 2y = 3 2x y = 0. La première équation peut aussi s écrire 2y = x + 3, soit y = 0,5x + 1,5 La seconde équation peut aussi s écrire 2x = y, soit y = 2x On trace les deux droites (d) et (d ) dans un repère : équation d une droite (d). équation d une droite (d ). y (d ) (d) x

36 page 36 La solution du système d équations est alors représentée par les coordonnées du point d intersection de ces deux droites. Par lecture graphique, il semble donc que le couple ( 1 ; 2) soit solution du système ci-dessus. 48 p , 50 p II Résolution d un système d équations On considère toujours le système d équations suivant : x + 2y = 3 L 1 2x y = 0. L 2 Méthode par combinaison (ou addition) On exprime x en fonction de y dans la première équation Méthode par substitution x + 2y = 3 L 1 2x y = 0. L 2 2 L 1 donne 2x + 4y = 6, donc 2L 1 + L 2 donne : 2 x + 4 y = x y = 0 0 x + 3 y = 6 On résout cette équation pour trouver y : 3y = 6 donne directement y = 2. On remplace cette valeur dans l une des deux équations au choix pour trouver x : x = 3 2y = 3 4 = 1. x + 2y = 3 2x y = 0 x = 3 2y 2 (3 2y) y = 0 x = 3 2y 6 + 4y y = 0 x = 3 2y 3y = 6 x = y = 2 x = 1 y = 2 On substitue (= remplace) x dans la 2 nde équation par l expression trouvée On résout la seconde équation On remplace y par sa valeur dans la première équation La solution du système x + 2y = 3 2x y = 0 est donc le couple ( 1 ; 2). 1 p p (S), 44 (C), 46 p p , 20 p (S), 45 (C) p. 154 III À la calculatrice Nous avons déjà vu en partie cet outil dans le «Chapitre n 9 : Équations» (page 25), mais nous allons désormais le compléter en utilisant l exemple proposé ci-dessus : appuyer sur pour rentrer dans le module. Saisir bonne saisie du système : afin de voir l écran suivant, qui permettra de vérifier la Il ne reste plus qu à appuyer sur pour que la calculatrice s exécute : 58 p. 155 Revérifier les systèmes déjà résolus + 73 p. 157

37 page 37 Chapitre n 13 : Fonctions affines & linéaires Programme en vigueur Connaissances Capacités Commentaires 1.2 Fonction linéaire, fonction affine Proportionnalité. Fonction linéaire. Coeff. directeur de la droite représentant une fonction linéaire. Fonction affine. Coeff. directeur et ordonnée à l origine d une droite représentant une fonction affine. [Thèmes de convergence] - Déterminer par le calcul l image d un nombre donné et l antécédent d un nombre donné. - Déterminer l expression algébrique d une fonction linéaire à partir de la donnée d un nombre non nul et de son image. - Représenter graphiquement une fonction linéaire. - Connaître et utiliser la relation y = ax entre les coordonnées (x,y) d un point M qui est caractéristique de son appartenance à la droite représentative de la fonction linéaire x 1 ax. - Lire et interpréter graphiquement le coefficient d une fonction linéaire représentée par une droite. - Déterminer par le calcul l image d un nombre donné et l antécédent d un nombre donné. - Connaître et utiliser la relation y = ax + b entre les coordonnées (x,y) d un point M qui est caractéristique de son appartenance à la droite représentative de la fonction linéaire x 1 ax + b. - Déterminer une fonction affine à partir de la donnée de deux nombres et de leurs images. - Représenter graphiquement une fonction affine. - Lire et interpréter graphiquement les coefficients d une fonction affine représentée par une droite. - Déterminer la fonction affine associée à une droite donnée dans un repère. En classe de troisième, il s agit de compléter l étude de la proportionnalité par une synthèse d un apprentissage commencé à l école primaire. L utilisation de tableaux de proportionnalité permet de mettre en place le fait que le processus de correspondance est décrit par une formulation du type «je multiplie par a». Cette formulation est reliée à x 1 ax. Pour des pourcentages d augmentation ou de diminution, le fait que, par exemple, augmenter de 5 % c est multiplier par 1,05 et diminuer de 5 % c est multiplier par 0,95 est établi. Certains traitements des situations de proportionnalité utilisés dans les classes précédentes sont reliés aux propriétés d additivité et d homogénéité de la fonction linéaire. Parmi les situations qui ne relèvent pas de la proportionnalité, certaines sont cependant modélisables par une fonction dont la représentation graphique est une droite. Cette remarque peut constituer un point de départ à l étude des fonctions affines. Pour les fonctions affines, la proportionnalité des accroissements de x et y est mise en évidence. I s 1. Cas général et particuliers s Soient a et b deux nombres relatifs fixés. On appelle fonction affine toute fonction f définie par f : x ax + b. On dit aussi que le nombre ax + b est l image du nombre x par la fonction f, ce qui est noté f(x) = ax + b. Cas particuliers : Si b = 0, alors f(x) = ax + b = ax une fonction affine qui vérifie b = 0 est une fonction linéaire. Si a = 0, alors f(x) = ax + b = b une fonction affine qui vérifie a = 0 est appelée fonction constante car tous les nombres ont la même image par cette fonction. Exemple : Soit f la fonction définie par f (x) = 2x 3. f est bien une fonction affine car elle est de la forme f (x) = ax + b, avec a = 2 et b = 3. - Calculer l image du nombre 2 par la fonction f? f (2) = = 4 3 = 1. - Quel est un antécédent du nombre 1 par cette fonction? 2, car on vient de calculer que f (2) = 1! Remarques Pour calculer f (x), on multiplie x par a, puis on ajoute b au résultat. ATTENTION : f est une fonction ; mais a, b, x et f(x) sont des nombres!! f(0) = 0 a + b = b l image par toute fonction affine f du nombre 0 est b. Interrogation orale : 50 p p , 3, 6 p. 128

38 page Antécédent Propriété Si f est une fonction affine, alors tout nombre possède un unique antécédent par cette fonction. Exemple : Nous avons vu plus haut que 2 était un antécédent du nombre 1 par la fonction f : x 2x 3. Grâce à cette propriété, nous pouvons affirmer que c est le seul! Pour trouver l antécédent d un nombre c par une fonction f, il faut résoudre l équation f (x) = c en remplaçant f (x) par son expression. Interrogation orale : 51, 52 p p , 7 p. 128 II Proportionnalité des accroissements Propriété Si f est une fonction affine définie par f : x ax + b, alors pour tous nombres x 1 et x 2 distincts, on a : f (x2) f (x1) f (x 2) f (x 1) = a (x 2 x 1) ou encore a =. x 2 x 1 Remarques Traduction : Les accroissements des valeurs de f (x) sont proportionnels aux accroissements des valeurs de x. Cette propriété permet de calculer le nombre a en connaissant deux nombres et leur image par la fonction f. Exemple : On considère une fonction affine f : x ax + b telle que f (2) = 1 et f (5) = 2,5. Déterminer l expression de f. a = f (5) f (2) = 2, = 1,5 3 = 0,5. donc f (x) = 0,5x + b. On a alors f (2) = 1 0,5 2 + b = 1 b = 0. 9, 14 p , 11, 15, 16 p. 129 III Représentation graphique Dans tout ce paragraphe, f est une fonction affine définie par f : x ax + b. Propriété La représentation graphique de la fonction f dans un repère est une droite (d). Cette droite (d) passe par le point de coordonnées (0 ; b) et a pour équation y = ax + b. s Le nombre a s appelle le coefficient directeur de la droite (d) représentant la fonction f ; Le nombre b s appelle l ordonnée à l origine de la droite (d) représentant la fonction f. Exemple : Représenter graphiquement la droite (d) représentant la fonction f : x 2x 2. Quelle est la fonction qui est représentée par la droite (d )?

39 page 39 (d ) y (d) s appelle le coefficient directeur (si on avance de 1, on monte de 2 +2) x ,5 3 s appelle l ordonnée à l origine (se lit sur l axe des ordonnées 2) Il y a deux moyens de représenter graphiquement la fonction f : x 2x 2 : Première méthode On choisit deux nombres et on calcule leur image : f ( 1) = 2 ( 1) 2 = 2 2 = 4 ; f (2) = = 4 2 = 2. L image du nombre 1 par la fonction f est 4. La droite (d) représentant f passera donc par le point de coordonnées ( 1 ; 4). De la même manière, cette droite passera aussi par le point de coordonnées (2 ; 2). Il ne reste plus qu à relier ces deux points. Deuxième méthode L ordonnée à l origine nous donne un premier point de la droite (sur l axe des ordonnées) : ici, ce sera le point de coordonnées (0 ; 2). Le coefficient directeur est égal à 2, ce qui signifie que si on avance d une unité, on doit monter de deux unités pour rejoindre la droite (d), ce qui nous donne un second point, de coordonnées (1 ; 0). Il ne reste plus qu à relier ces deux points. La deuxième méthode marche aussi dans l autre sens : pour la droite (d ), on voit qu elle coupe l axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 1). Son ordonnée à l origine est donc 1. De plus, son coefficient directeur est 0,5. La droite (d ) représente donc la fonction g : x 1 2 x 1. 20, 21 p p , 28 p p , 23 p p , 30, 31, 32 p p. 139

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41 page 41 Chapitre n 14 : Inéquations Programme en vigueur Connaissances Capacités Commentaires 2.4 Équations et inéquations du premier degré Problèmes du premier degré : inéquation du premier degré à une inconnue. - Mettre en équation un problème. - Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue à coefficients numériques ; représenter ses solutions sur une droite graduée. La notion d équation ne fait pas partie du socle commun. Néanmoins, les élèves peuvent être amenés à résoudre des problèmes du premier degré (méthode arithmétique, méthode par essais successifs, ). I s Une inéquation à une inconnue est une inégalité dans laquelle un nombre a été remplacé par une inconnue. Dans une inégalité, ce qui se trouve à gauche du symbole (<, >, P ou #) s appelle le membre de gauche et ce qui se trouve à droite s appelle le membre de droite. Résoudre une inéquation, c est trouver toutes les valeurs de l inconnue qui vérifient l inéquation. Chacune de ces valeurs est alors appelée solution de l inéquation. Exemples : 2(x 5) > 7x + 2 est une inéquation du premier degré à une inconnue. - Quelle est l inconnue? L inconnue est x. - Quels sont les deux membres? Membre de gauche : 2(x 5) ; membre de droite : 7x + 2 II Propriétés à connaître Propriété de la balance Soient a, b et c trois nombres quelconques. Si a < b, alors a + c < b + c ; Si a b < 0, alors a c < a b. (Fonctionne aussi avec les symboles «>», «#» et «P»!!) Propriétés de la balance Si on multiplie (ou divise) les deux membres d une inégalité par un nombre strictement positif, alors elle ne change pas de sens ; Si on multiplie (ou divise) les deux membres d une inégalité par un nombre strictement négatif, alors elle change de sens. Remarque Si a < b, alors a > b. Autrement dit, les opposés sont rangés dans l ordre contraire de a et b. Cela est évident puisqu il suffit de multiplier les deux membres de l inégalité a < b par ( 1) qui est strictement négatif 68, 69 p , 15 p. 76 III Résolution d une inéquation Il faut procéder par étapes. On va résoudre l équation 2(x 5) > 7x (x 5) > 7x + 2 4x 10 > 7x + 2 Étape 1 : On enlève les parenthèses.

42 page 42 4x 7x 10 > 2 3x > x > 12 x < 12 3 x < 4. Étape 2 : On regroupe toutes les inconnues d un côté du «>» et tous les nombres de l autre côté en utilisant la propriété de la balance ou. Étape 3 : Si nécessaire, on utilise la propriété de la balance ou pour arriver à quelque chose de la forme «x >». Attention à l éventuel changement de signe!! Cette équation admet tous les nombres strictement inférieurs à 4 comme solutions. Étape 4 : Conclusion. Remarques - La propriété de la balance ou peut éventuellement être utilisée d abord : x > Il ne doit rester plus qu un seul nombre de chaque famille à la fin de l étape 3 : «x <». 16 p p p p p. 83

43 page 43 Chapitre n 15 : Racines carrées Programme en vigueur Connaissances Capacités Commentaires 2.2 Calculs élémentaires sur les radicaux Racine carrée d un nombre positif. - Savoir que si a désigne un nombre positif, a est le nombre positif dont le carré est a et utiliser les égalités ( a) 2 = a, a 2 = a. - Déterminer, sur des exemples numériques, les nombres x tels que x 2 = a, où a est un nombre positif. Dans le cadre du socle commun, la seule capacité exigible, relative à la racine carrée, concerne le calcul à la calculatrice de la valeur exacte ou approchée de la racine carrée d un nombre positif. Produit et quotient de deux radicaux. - Sur des exemples numériques, où a et b sont deux nombres positifs, utiliser les égalités : a ab = a b ; b = a (b non nul). b Ces résultats permettent de transformer l écriture d un nombre et de choisir la forme la mieux adaptée à la résolution d un problème posé. I Première approche Soit a un nombre positif. La racine carée de a est le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne a. On note ce nombre a de sorte que a P 0 et ( a) 2 = a. On appelle radical le symbole. Exemples : * 5 est le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne 5, donc ( 5) 2 = 5 ; * 16 est le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne 16. Or 4 2 = 16, donc 16 = 4 ; Remarque Il est bon de connaître les racines carrées des premiers carrés parfaits : 0 = 0 ; 1 = 1 ; 4 = 2 ; 9 = 3 ; 16 = 4 ; 25 = 5 ; 36 = 6 ; 49 = 7 ; 64 = 8 ; 81 = 9 ; 100 = 10 ; 121 = 11 ; 144 = 12 et 169 = 13. Propriété Soit a un nombre positif. Alors a 2 = a. Exemple : Cette propriété permet de justifier les racines carrées de la remarque ci-dessus : 25 = 5 2 = 5. 5, 7 p. 58 6, 8 p. 58 II Calculs avec des racines carrées Formules Soient a et b deux nombres positifs. On a : a b = a b et si b 0, a b = a b. Exemples : * 75 = 25 3 = 25 3 = 5 3 = 5 3 ; * 3 5 = 3 5 = 15 ; * 16 4 = 16 4 = 4 2 = 2 * 21 7 = 21 7 = 3.

44 page 44 Nombres irrationnels Remarques ATTENTION : En général, a + b a + b. Par exemple : = 7 et = 25 = 5. Pour beaucoup de valeurs de a, a n est pas un nombre entier, ni un décimal. Il possède une infinité de chiffres après la virgule, qui ne présentent aucune répétition : ce sont des nombres irrationnels. La calculatrice étant limitée à un affichage de 10 chiffres, elle n en donnera donc qu une valeur approchée!! Pour saisir 5, on tape :. 12, 14, 16 p , 23 p , 15, 17 p , 24 p. 60 III Les types de nombres s - Un nombre entier naturel est un nombre positif sans virgule : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; - Un nombre entier relatif est un nombre positif ou négatif, sans virgule : 86 ; 2 ; + 4 ; - Un nombre décimal est un quotient d un nombre entier relatif par une puissance de dix. Le nombre de chiffre après la virgule est fini : 4,5 = ; 0,374 = ; - Un nombre rationnel est un quotient d un nombre entier relatif par un autre nombre entier relatif (non nul). Le nombre de chiffres après la virgule peut être infini, mais on trouvera toujours une répétition d au plus 9 chiffres : 3 4 ; 1 7 ; 11 9 ; 2 = 2 1 ; - Un nombre irrationnel est un nombre qui n est pas rationnel. Le nombre de chiffres après la virgule est infini, et il n y existe aucune répétition : π ; 5 ; Propriété Grâce à ces définitions, on peut dire que : - un nombre entier naturel est aussi un nombre entier relatif, un nombre décimal et un nombre rationnel ; - un nombre entier relatif est aussi un nombre décimal et un nombre rationnel ; - un nombre décimal est aussi un nombre rationnel. On peut regrouper toutes ces informations dans le schéma suivant : Nombres entiers naturels 1 4 5, , π Nombres entiers relatifs Nombres décimaux Nombres rationnels ,2 12, Théorème de Pythagore (rappel) Dans un triangle rectangle, le carré de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Autrement dit, si ABC est un triangle rectangle en A, alors : BC 2 = BA 2 + AC p p. 209

45 page 45 Chapitre N 16 : Puissances Programme en vigueur Connaissances Capacités Commentaires 2.3 Écritures littérales Puissances. [Thèmes de convergence] - Utiliser sur des exemples les égalités : a m a n = a m + n ; a m / a n = a m n ; (a m ) n = a mn ; (ab) n = a n b n (a/b) n = a n / b n où a et b sont des nombres non nuls et m et n des entiers relatifs. Comme en classe de quatrième, ces résultats sont construits et retrouvés, si besoin est, en s appuyant sur la signification de la notation puissance qui reste l objectif prioritaire. La mémorisation de ces égalités est favorisée par l entraînement à leur utilisation en calcul mental. I Puissances 1. Exposant positif Soient a un nombre relatif et n un entier positif non nul. On définit le nombre a n (se lit «a puissance n» ou «a exposant n») par le produit de n facteurs, tous égaux au nombre a : a n = a a a. n fois Le nombre n s appelle un exposant. Cas particuliers : pour tout nombre relatif a, a 1 = a ; pour nombre relatif a 0, a 0 = 1. Exemples : * 4 3 = = 64 * ( 5) 2 = ( 5) ( 5) = 25 * 5 2 = 5 5 = Exposant négatif Soient a un nombre relatif et n un entier relatif non nul. On définit le nombre a n (se lit «a puissance/exposant moins n») par l inverse du nombre a n : a n = 1 1 a n = a a a. Le nombre n s appelle toujours un exposant. Cas particuliers : pour nombre relatif a 0, a 1 = a. n fois Exemples : * 4 3 = = Puissances de dix * ( 5) 2 = 1 ( 5) 2 = 1 25 * 5 2 = = Propriété Soit n un entier positif non nul. Dans ce cas, 10 n = et 10 n = 0, n zéros n zéros Exemples : * 10 6 = * 2, = 2,1 0,01 = 0,021 * 0, = , 37, 44 p , 39, 45 p. 11

46 page 46 II Calculs avec des puissances Propriétés Si a, b sont deux nombres relatifs et n, p deux entiers relatifs, alors : a n a p = a n + p ; an a = p an p ; (a n ) p = a n p ; (ab) n = a n b n n ; a a = n b b n. Exemples : * ( 4) 4 ( 4) 3 = ( 4) = ( 4) 7 ; * (6 7) 4 = ; * = =2 2 2 ; * x x 2 = = x2 9 * (( 3) 4 ) 5 = ( 3) 4 5 = ( 3) 20 ; Remarque ATTENTION aux «non-formules» : par exemple, a n + a p a n + p! En effet, = = 36 et = 3 5 = 243!!! 40, 41, 46 p , 43, 47 p. 11 III Écriture scientifique Tout nombre décimal peut s écrire sous la forme a 10 n, où a est un nombre ayant un seul chiffre non nul devant la virgule (mais il peut être positif ou négatif!) et n est un entier relatif. Cette forme du nombre a s appelle écriture scientifique du nombre a. Exemples : * 2, est une écriture scientifique, mais pas 0, : pourquoi? ; * = 4, = 4, = 4, ; * 0, = = = ; * 0, = p , 52, 53 p. 11

47 page 47 Programme en vigueur Chapitre n 17 : Géométrie dans l espace Connaissances Capacités Commentaires 3.2 Configuration dans l espace Problèmes de sections planes de solides. - Connaître et utiliser la nature des sections du cube, du parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face, à une arête. - Connaître et utiliser la nature des sections du cylindre de révolution par un plan parallèle ou perpendiculaire à son axe. - Connaître et utiliser les sections d un cône de révolution et d une pyramide par un plan parallèle à la base. L utilisation de logiciels de géométrie dans l espace permet de conjecturer ou d illustrer la nature des sections planes. C est aussi l occasion de faire des calculs de longueur et d utiliser les propriétés rencontrées dans d autres rubriques ou les années antérieures. Les élèves sont également confrontés au problème de représentation d objets à 3 dimensions, ainsi qu à celle de la représentation en vraie grandeur d une partie de ces objets dans un plan (par exemple : section plane, polygone déterminé par des points de l objet ). Sphère, centre, rayon. Sections planes d une sphère. [Thèmes de convergence] - Connaître la nature de la section d une sphère par un plan. - Calculer le rayon du cercle intersection connaissant le rayon de la sphère et la distance du plan au centre de la sphère. - Représenter la sphère et certains de ses grands cercles. Les grands cercles de la sphère et les couples de points diamétralement opposés sont mis en évidence. Le fait que le centre du cercle d intersection est l intersection du plan et de la perpendiculaire menée du centre de la sphère à ce plan est admis. Le cas particulier où le plan est tangent à la sphère est également étudié. Aucune difficulté n est soulevée sur ces représentations. Le rapprochement est fait avec les connaissances que les élèves ont déjà de la sphère terrestre, notamment pour le repérage sur la sphère à l aide des méridiens et des parallèles. I Sections planes de solides 1. Lorsqu un solide est coupé par un plan, la surface obtenue s appelle la section du solide par un plan ou section plane du solide. Les points de la section sont à la fois sur le plan et sur le solide. 2. Section d un parallélépipède rectangle Propriété La section d un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à l un des faces est un rectangle de même dimension que cette face : La section d un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à l un des arêtes est un rectangle : A D I J B C A D J I B C E H L K F G E H K L F G Exemple : À gauche, le rectangle IJKL est le même que le rectangle BCGF. À droite, le rectangle IJKL n a pas les mêmes dimensions que le rectangle BCGF (ou ADHE) ; cependant, on a quand même IL = JK = AE. 3 p p p. 270

48 page Section d un cylindre de révolution Propriété La section d un cylindre de révolution par un plan parallèle à l une des bases est un disque de même dimension que cette base : La section d un cylindre de révolution par un plan parallèle à son axe est un rectangle : r r O M O L O I O K J Exemple : À droite, la section est le rectangle IJKL. On sait simplement que IJ = LK = OO. 5 p p p. 262 II Pyramide & cône de révolution 1. : pyramide régulière Une pyramide régulière est une pyramide dont la base est un polygone régulier et dont la hauteur coupe la base en son centre. On notera que les arêtes latérales d une pyramide régulière ont toutes la même longueur puisque toutes les faces latérales représentent un seul triangle isocèle de sommet S. Sur cette figure, la base est un carré. S H 2. Section d une pyramide ou d un cône de révolution Propriété La section d une pyramide ou d un cône de révolution par un plan parallèle à sa base est une réduction de sa base (un polygone pour la pyramide et un disque pour le cône) : Exemple : À gauche, la base jaune est un carré, donc la section plane rouge sera elle aussi un carré, mais plus petit. À droite, la base est un disque, donc la section plane sera aussi un disque de rayon inférieur. 1 p p p. 270

49 page 49 III Sphère & boule 1. s Soit O un point de l espace et r un nombre positif. D - On appelle sphère de centre O et de rayon r l ensemble des points M de l espace tels que OM = r. - On appelle boule de centre O et de rayon r l ensemble des points M de l espace tels que OM # r. A O r A M D Remarques - La «boule» désigne sa surface et son intérieur : une balle de foot ou de pétanque, la Terre (non vide) ; - La «sphère» ne désigne que la surface d une boule : une balle de ping-pong ou de tennis. 2. Section d une sphère Propriété La section d une sphère par un plan quelconque est un cercle : si la sphère est de centre O, de rayon r et que la perpendiculaire à ce plan passant par O le coupe en H, alors la section sera un cercle de centre H. 0 < OH < r OH = 0 OH = r H O r M O (= H) r M O r r H Exemple : À gauche, le triangle HOM formé est rectangle, permettant souvent de calculer le rayon de la section plane (Pythagore), qui partage d ailleurs cette sphère en deux calottes sphériques. Au milieu, les points O et H sont confondus, la sphère est partagée en deux hémisphères. Enfin, à droite, la section plane est un cercle de rayon nul, réduit au point H. On dit que le plan vert est tangent à la sphère au point H. Remarque Si OH > r, alors le plan vert ne coupera pas la sphère. 7 p , 9 p. 263

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51 page 51 Chapitre n 18 : Grandeurs Programme en vigueur Connaissances Capacités Commentaires 4.1 Aires et volumes Il s agit aussi d entretenir les acquis des années précédentes : aires des surfaces et volumes des solides étudiés dans ces classes. Calculs d aires et volumes. - Calculer l aire d une sphère de rayon donné. Dans le cadre du socle commun, les surfaces dont les aires sont à - Calculer le volume d une boule de rayon donné. connaître sont celles du carré, du rectangle, du triangle, du disque et les solides dont les volumes sont à connaître sont le cube, le parallélépipède rectangle, le cylindre droit et la sphère. 4.3 Grandeurs composées, changement d unités Vitesse moyenne. [Thèmes de convergence] - Effectuer des changements d unités sur des grandeurs produits ou des grandeurs quotients. Plusieurs grandeurs produits et grandeurs dérivées peuvent être utilisées : passagers kilomètres, kwh, euros/kwh, m 3 /s ou m 3. s 1, Les changements d unités s appuient, comme dans les classes antérieures, sur des raisonnements directs et non pas sur des formules de transformation. Dans le cadre du socle commun la capacité ne porte que sur des situations de la vie courante, sur des unités et des nombres familiers aux élèves. I Aire de la sphère & volume de la boule s L aire d une sphère de rayon r et le volume d une boule de rayon r sont donnés par les formules suivantes : a = 4π r 2 et v = 4 3 π r 3. Remarque - La sphère n est qu une surface, on peut donc calculer son aire mais pas son volume car elle n en a pas ; - La boule n est pas vide à l intérieur, on peut donc calculer son volume. Exemples : Calculer le volume d une boule de 6 cm de rayon : v = 4 3 π r 3 = 4 3 π 6 3 = π = 288π Le volume de cette boule est d environ 905 cm 3. 5 cm Calculer l aire d une sphère de 6 cm de rayon : a = 4π r 2 = 4π 6 2 = 144π 452. L aire de la sphère est d environ 452 cm 2. 1, 3 p , 4 p p. 282 II Grandeurs composées 1. Grandeur quotient Une grandeur quotient s obtient en faisant le quotient de deux grandeurs. Exemple : La vitesse (km/h), le prix au kilogramme ( /kg),

52 page Grandeur produit Une grandeur produit s obtient en faisant le produit de deux grandeurs. Exemple : L aire d un rectangle (donnée par la formule a = L l), l énergie obtenue en multipliant la puissance d un appareil (en kw) par sa durée d utilisation (h) exprimée en kwh. 3. Exemples de grandeurs dérivées La masse volumique ρ d un corps physique est donnée par la formule ρ = m. Elle est donc exprimée par le v quotient d une grandeur simple (une masse, exprimée par exemple en kg) par une grandeur produit (le volume, exprimé par exemple en m 3 ). Son unité est par exemple le kg/m 3. L accélération a d une voiture départ arrêté est donnée par la formule a = v/t, où v désigne la vitesse (exprimée par exemple en m/s) et t le temps (exprimé par exemple en s). Elle est donc exprimée par le quotient d une grandeur quotient par une grandeur simple. Son unité est le km/s 2, encore noté km.s -2 (communément, le «mètre par seconde par seconde»). Interrogation orale : 9, 11 p p p , 12 p p p. 96